第十三章多元函数的极限和连续性

第一篇：第十三章多元函数的极限和连续性

《数学分析（1，2，3）》教案

第十三章 多元函数的极限和连续性

§

1、平面点集

一 邻域、点列的极限

定义1 在平面上固定一点M0x0,y0，凡是与M0的距离小于的那些点M组成的平面点集，叫做M0的邻域，记为OM0,。

定义2 设Mnxn,yn，M0x0,y0。如果对M0的任何一个邻域OM0,，总存在正整数N，当nN时，有MnOM0,。就称点列Mn收敛，并且收敛于

M0，记为limMnnM0或xn,ynx0,y0n。

性质：（1）xn,ynx0,y0xnx0,yny0。（2）若Mn收敛，则它只有一个极限，即极限是唯一的。二 开集、闭集、区域

设E是一个平面点集。

1． 内点：设M0E，如果存在M0的一个邻域OM0,，使得OM0,E，就称M0是E的内点。2． 外点：设M1E，如果存在M1的一个邻域OM1,，使得OM1,E，就称M1是E的外点。

3． 边界点：设M*是平面上的一点，它可以属于E，也可以不属于E，如果对M*的任何邻域OM*,，其中既有E的点，又有非E中的点，就称M*是E的边界点。E的边界点全体叫做E的边界。4． 开集：如果E的点都是E的内点，就称E是开集。

5． 聚点：设M*是平面上的一点，它可以属于E，也可以不属于E，如果对M*的任何邻域OM*,，至少含有E中一个（不等于M*的）点，就称M*是E的聚点。性质：设M0是E的聚点，则在E中存在一个点列Mn以M0为极限。6． 闭集：设E的所有聚点都在E内，就称E是闭集。

7． 区域：设E是一个开集，并且E中任何两点M1和M2之间都可以用有限条直线段所组成的折线连接起来，而这条折线全部含在E中，就称E是区域。一个区域加上它的边界就是一个闭区域。三平面点集的几个基本定理

1．矩形套定理：设anxbn,cnydn是矩形序列，其中每一个矩形都含在前一个矩形中，并且

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bnan0，dncn0，那么存在唯一的点属于所有的矩形。

2.致密性定理：如果序列Mnxn,yn有界，那么从其中必能选取收敛的子列。

3.有限覆盖定理：若一开矩形集合x,y覆盖一有界闭区域。那么从里，必可选出有限个开矩形，他们也能覆盖这个区域。

N4．收敛原理：平面点列Mn有极限的充分必要条件是：对任何给定的0，总存在正整数N，当n,m时，有rMn,Mm。

§2 多元函数的极限和连续

一 多元函数的概念

不论在数学的理论问题中还是在实际问题中，许多量的变化，不只由一个因素决定，而是由多个因素决定。例如平行四边行的面积A由它的相邻两边的长x和宽y以及夹角所确定,即Axysin;圆柱体体积V由底半径r和高h所决定,即Vrh。这些都是多元函数的例子。

2一般地，有下面定义：

定义1 设E是R的一个子集，R是实数集，f是一个规律，如果对E中的每一点(x,y)，通过规律f，在R中有唯一的一个u与此对应，则称f是定义在E上的一个二元函数，它在点(x,y)的函数值是u，并记此值为f(x,y)，即uf(x,y)。

有时，二元函数可以用空间的一块曲面表示出来，这为研究问题提供了直观想象。例如，二元函数xR22x2y2就是一个上半球面，球心在原点，半径为R，此函数定义域为满足关系式xyR222222的x，y全体，即D{(x,y)|xyR}。又如，Zxy是马鞍面。二 多元函数的极限

2定义2

设E是R的一个开集，A是一个常数，二元函数fMf(x,y)在点M0x0,y0E附近有定义．如果0，0，当0rM,M0时，有f(M)A，就称A是二元函数在M0点的极限。记为limfMA或fMAMM0。

MM02定义的等价叙述1 设E是R的一个开集，A是一个常数，二元函数fMf(x,y)在点M0x0,y0E附近有定义．如果0，0，当0xx0yy0时，有f(x,y)A，就称A是13-2

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二元函数在M0点的极限。记为limfMA或fMAMM0。

MM02定义的等价叙述2 设E是R的一个开集，A是一个常数，二元函数fMf(x,y)在点M0x0,y0E附近有定义．如果0，0，当0xx0,0yy0且x,yx0,y0时，有

f0f(x,y)A，就称A是二元函数在M0点的极限。记为limMMMA或fMAMM0 。注：（1）和一元函数的情形一样，如果limf(M)A，则当M以任何点列及任何方式趋于M0时，f(M)MM0的极限是A；反之，M以任何方式及任何点列趋于M0时，f(M)的极限是A。但若M在某一点列或沿某一曲线M0时，f(M)的极限为A，还不能肯定f(M)在M0的极限是A。所以说，这里的“”或“”要比一元函数的情形复杂得多，下面举例说明。例：设二元函数f(x,y)xyx2y22，讨论在点(0,0)的的二重极限。

例：设二元函数f(x,y)2xyx2y或2，讨论在点(0,0)的二重极限是否存在。

0,例：f(x,y)1,xy其它y0，讨论该函数的二重极限是否存在。

二元函数的极限较之一元函数的极限而言，要复杂得多，特别是自变量的变化趋势，较之一元函数要复杂。例：limxyxyx2xyysinxyx2。

例：① limx0y0② lim(xy)ln(xy)③ lim(xy)ex0y0xy2222222(xy)

例：求f(x,y)xy3223xy在（０，０）点的极限，若用极坐标替换则为limrr0coscos32sin23sin0?（注意：cos3sin在374时为０，此时无界）。

xyx22例：（极坐标法再举例）：设二元函数f(x,y)y2，讨论在点(0,0)的二重极限．

证明二元极限不存在的方法．

基本思想：根据重极限定义，若重极限存在，则它沿任何路径的极限都应存在且相等，故若１）某个特殊路径的极限不存在；或２）某两个特殊路径的极限不等；３）或用极坐标法，说明极限与辐角有关． 例：f(x,y)xyx2y2在(0,0)的二重极限不存在．

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三

二元函数的连续性

定义3

设fM在M0点有定义，如果limf(M)f(M0)，则称fM在M0点连续．

MM0“语言”描述：0,0,当0

四 有界闭区域上连续函数的性质

有界性定理

若fx,y再有界闭区域D上连续，则它在D上有界。一致连续性定理

若fx,y再有界闭区域D上连续，则它在D上一致连续。

最大值最小值定理

若fx,y再有界闭区域D上连续，则它在D上必有最大值和最小值。

nP0和P1是D内任意两点，f是D内的连续函数，零点存在定理

设D是R中的一个区域，如果f(P0)0，f(P1)0，则在D内任何一条连结P0,P1的折线上，至少存在一点Ps，使f(Ps)0。

五

二重极限和二次极限

在极限limf(x,y)中，两个自变量同时以任何方式趋于x0,y0，这种极限也叫做重极限（二重极限）．此xx0yy0外，我们还要讨论当x,y先后相继地趋于x0与y0时f(x,y)的极限．这种极限称为累次极限（二次极限），其定义如下：

若对任一固定的y，当xx0时，f(x,y)的极限存在：limf(x,y)(y),而(y)在yy0时的xx0极限也存在并等于A，亦即lim(y)A，那么称A为f(x,y)先对x，再对y的二次极限，记为yy0limlimf(x,y)A．

yy0xx0同样可定义先y后x的二次极限：limlimf(x,y)．

xx0yy0上述两类极限统称为累次极限。

注意：二次极限（累次极限）与二重极限（重极限）没有什么必然的联系。例：（二重极限存在，但两个二次极限不存在）．设

11xsinysinyxf(x,y)0x0,y0x0ory0

由f(x,y)xy 得limf(x,y)0（两边夹）;由limsinx0y0y01y不存在知f(x,y)的累次极限不存在。

例：（两个二次极限存在且相等，但二重极限不存在）。设

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f(x,y)xyx2y2，(x,y)(0,0)

由limlimf(x,y)limlimf(x,y)0知两个二次极限存在且相等。但由前面知limf(x,y)不存在。

x0y0y0x0x0y0例：（两个二次极限存在，但不相等）。设

f(x,y)xx22yy22，(x,y)(0,0)

则 limlimf(x,y)1，limlimf(x,y)1;limlimf(x,y)limlimf(x,y)（不可交换）

x0y0y0x0x0y0y0x0上面诸例说明：二次极限存在与否和二重极限存在与否，二者之间没有一定的关系。但在某些条件下，它们之间会有一些联系。

定理1 设（1）二重极限limf(x,y)A；（2）y,yy0，limf(x,y)(y)。则

xx0yy0xx0yy0lim(y)limlimf(x,y)A。

yy0xx0（定理1说明：在重极限与一个累次极限都存在时，它们必相等。但并不意味着另一累次极限存在）。推论1

设（1）limf(x,y)A；（2）y,yy0，limf(x,y)存在；（3）x,xx0，limf(x,y)xx0yy0xx0yy0存在；则limlimf(x,y)，limlimf(x,y)都存在，并且等于二重极限limf(x,y)。

yy0xx0xx0yy0xx0yy0推论2 若累次极限limlimf(x,y)与limlimf(x,y)存在但不相等，则重极限limf(x,y)必不存在（可xx0yy0yy0xx0xx0yy0用于否定重极限的存在性）。例：求函数fx,yxy22222xyxy在0,0的二次极限和二重极限。

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第二篇：函数的极限和函数的连续性（本站推荐）

第一部分高等数学

第一节函数的极限和函数的连续性

考点梳理

一、函数及其性质

1、初等函数

幂函数：yxa(aR)

指数函数yax(a1且a1)

对数函数：ylogax(a0且a1)

三角函数：sin x , cos x , tan x , cot x

反三角函数：arcsin x , arcos x , arctan x , arccot x2、性质（定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、有界性）

【注】奇偶性、单调性相对考察的可能性打，但一般不会单独出题，常与其他知识点结合起来考察（比如与积分、导数结合）

二、函数极限

1． 数列极限

定义（略）

收敛性质：极限的唯一性、极限的有界性、极限的保号性。

·类比数列极限，函数极限有唯一性、局部有界性、局部保号性。

单侧极限（左极限、右极限）

【注】函数极限为每年的必考内容，常见于客观题中。一般为2~3题。

2． 两个重要极限

（1）limsinx1 x0x

x类似得到：x→0时，x～ln(x+1)～arcsin x～arctan x～tan x（2）lim(1x)e x0

类似得到：lim(1)elim(1)xx1xx

1xx1 e

·此处，需提及无穷大，无穷小的概念，希望读者进行自学。

三、函数的连续性

1． 概念：函数f(x)在x0处的连续（f(x)在x0点左连续、f(x)在x0点右连续）函数f(x)在开区间（a,b）上的连续

函数f(x)在闭区间[a,b]上的连续

2． 函数的间断点分类

● 跳跃式间断点：函数f(x)在点x0的左右极限都存在但不相等。

● 函数在点x0的左右极限都存在且相等，但不等于该点的函数值（或函数值在该

点无定义）

● 振荡间断点：f(x)在点x0的左右极限至少有一个不存在。

3． 连续函数的和、积、商，初等函数的连续性

● 有限个在某点连续的函数的和是一个在该点连续的函数。

● 有限个再某点连续的函数的积是一个在该点连续的函数。

● 两个在某点连续的函数的商事一个在该点连续的函数（分母在该点不为零）● 一切基本初等函数在定义域（或定义区间）上是连续的。

4． 闭区间上的连续函数的性质

●（最大、最小定理）在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值。

●（有界性定理）在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界。

●（零点定理）设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与f(b)异号（即f(a)·f(b)<0），那么在开区间(a,b)内至少有函数f(x)的一个零点。

● 介值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在这区间的端点处取不同的函

数值f(a)=A及f(b)=B，那么，对于A与B之间的任意一个数C，在开区间(a,b)

内至少有一点ξ，使得f(b)=C(a<ξ

【注】函数的连续性，一般在客观题目中出现，分值不大，一般1~2题。

典型例题分析

【例1】（2010年真题）（工程类）计算极限limxsinx x0xsinx

A.1B.-1C.0D.2sinx1这一重要极限。如此，我们不难解x0x

sinxsinx11limxsinxx00。出该极限为0.即limlimx0xsinxx011limx0xx

xcx)e6,则常数c=_________。【例2】（2010年真题）（工程类）设lim(xxc

1x1【解析】解决此类题目，我们要灵活运用lim(1)。xxe【解析】：解决此类题目，我们要深刻掌握lim

2cxxcx2cx

2ccxclim()lim(1)limexxcxxxc2c1ce2ce6。则c=-3。

1xsin,x0【例3】（2009年真题）（工程类）设f(x)若f(x)在点x=0处连续，则αx0,x0的取值范围是

A．(-∞,+ ∞)B.[0,+ ∞]C.(0,+ ∞)D.(1,+ ∞)

【解析】函数f(x)为一个分段函数，要使其在点x=0处连续，只需limxsinx010，不难x

发现x→0时，sin x 为有界的，我们只需满足limx0即可。易得，α>0。但α不能等于x0

0，否则limsinx010。x

提高训练

1、求下列函数的定义域

（1）y

（2）y1 2x2x

（3）y=lg(3x+1)

(4)y1 1x22、判断一下函数的奇偶性

axax

(1)y = tan x(2)ya(3)y 2x3、求下列函数的极限

1x34x2(1)lim(3x1)(2)lim3(3)limxsinx3x0x0xxx

sin3x15sin2x(4)lim(5)lim(6)lim(1)x0xx01cosxxx

1ex,x0

4、讨论f(x)0,x0在x=0点的连续性。

x05、证明方程x3x1至少有一个根介于1和2之间。

【答案】

1、（1）[-1,1](2)(-∞,0)∪(0,2)∪(2,+∞)(3)(-1/3,+∞)

(4)[-2,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞)

2、（1）奇（2）非奇非偶（3）偶

3、（1）8（2）4（3）0（4）2（5）3（6）

14、连续

5、证明：记f(x)x3x1，f(1)=-3<0,f(2)=25>0。由零点存在定理知，至少存在一个零点介于1和2之间。即方程x3x1在1和2之间至少有一个根。555

第三篇：7.1多元函数的概念、极限与连续性

§7.1多元函数的概念、极限与连续性

一．多元函数的基本概念 1.引例

在自然科学和工程技术中常常遇到一个变量依赖于多个自变量的函数关系，比如：

例1矩形面积S与边长x，宽y有下列依从关系：

Sxy(x0,y0)．

其中，长x与宽y是独立取值的两个变量．在它们变化范围内，当x，y取定值后，矩形面积S有一个确定值与之对应．

例2在第7章中我们学习了曲面的方程，例如椭圆抛物面的方程为：x2y2x2y2z22，双曲抛物面的方程为z22，这里的z坐标既跟x有关，又跟ababy有关，它是x，y的二元函数.2.多元函数的概念

定义1设D是R2的一个非空子集，映射f ：DR称为定义在D上的二元函数，记为

zf(x，y)(x，y)D(或zf(P)PD)其中，点集D称为该函数的定义域，x，y称为自变量，z称为因变量.上述定义中，与自变量x、y的一对值(x，y)相对应的因变量z的值，也称为f 在点(x y)处的函数值，记作f(x，y)，即zf(xy).函数f(x，y)值域：f(D){z|zf(x，y)，(x，y)D}.函数的其它符号zz(x，y)，zg(x，y)等.类似地可定义三元函数uf(x y z)，(x y z)D以及三元以上的函数.一般地，把定义1中的平面点集D换成n维空间Rn内的点集D 映射f ：DR称为定义在D上的n元函数，通常记为uf(x1，x2，...，xn)，(x1，x2，...，xn)D，或简记为uf(x)，x(x1，x2，...，xn)D，也可记为uf(P)，P(x1，x2，...，xn)D.关于函数定义域的约定：在一般地讨论用算式表达的多元函数uf(x)时，就以使这个算式有意义的变元x的值所组成的点集为这个多元函数的自然定义域.因而，对这类函数它的定义域不再特别标出.例如：

函数zln(xy)的定义域为{(x，y)|xy>0}(无界开区域) 函数zarcsin(x2y2)的定义域为{(x，y)|x2y21}(有界闭区域)

二元函数的图形点集{(x，y，z)|zf(x，y)，(x，y)D}称为二元函数zf(x，y)的图形，由第6章的学习知，二元函数的图形是一张曲面.例如zaxbyc是一张平面，而函数z=x2+y2的图形是旋转抛物面.例1求二元函数z9x2y2的定义域． 解 容易看出，当且仅当自变量x，y满足不等式

x2y29, 函数z才有定义．其几何表示是xOy平面上以原点为圆心，半径为3的圆内及圆周边界上点的全体，如图7.1.1所示．即函数z的定义域为

x2y29．

图7.1.1 图7.1.2

例2求函数zln(xy)的定义域．

解 函数的定义域为xy0，其几何图形是xOy平面上位于直线yx上方的半平面，而不包括直线的阴影部分，如图7.1.2所示．

x2y2arcsec(x2y2)的定义域． 例3求函数zarcsin2解 函数z是两个函数的和，其定义域应是这两个函数的定义域的公共部分．函数的定义域由不等式组

22xy2 22xy1构成，即1x2y22．

定义域的图形是圆环（包括边界），如图7.1.3所示．

图7.1.3 图7.1.4

例5求函数z11xy22的定义域．

解 函数的定义域为

1(x2y2)0，即x2y21.它的图形是不包括边界的单位圆，如图7.1.4所示． 二多元函数的极限

与一元函数的极限概念类似，如果在P(x，y)P0(x0，y0)的过程中，对应的函数值f(x，y)无限接近于一个确定的常数A，则称A是函数f(x，y)当(x，y)(x0，y0)时的极限

定义2设二元函数f(P)f(xy)的定义域为D，P0(x0，y0)是D的聚点.如果存

(,)DUP(,)0时，在常数A，使得对于任意给定的正数，总存在正数，当Pxy总有

|f(P)A||f(xy)A|

成立，则称常数A为函数f(x，y)当(x，y)(x0，y0)时的极限，记为

(x,y)(x0,y0)limf(x,y)A，或f(x，y)A((x，y)(x0，y0)也可简记为

PP0limf(P)A或f(P)A(PP0)上面定义的极限也称为二重极限.定义用两个正数，和相关距离对极限过程做出了精确描述，这种描述通常称为—语言，该语言可以用来验证某个常数是函数在相关过程中的极限.极限概念的推广：在定义2中将P(x，y)改为P(x1，x2，…，xn)即可得到n元函数的极限.多元函数的极限运算法则与一元函数的运算法则类似.例5 设f(x,y)(x2y2)sin证 因为

|f(x,y)0||(x2y2)sin10| |x2y2||sin1| x2y2，x2y2x2y21，求证limf(x,y)0

(x,y)(0,0)x2y2可见 >0，取，则当

0(x0)2(y0)2 即P(x,y)DU(O,)时，总有

|f(xy)0|，因此(x,y)(0,0)limf(x,y)0

sin(x2y).例6求极限limx0x2y2y0sin(x2y)sin(x2y)x2ylim22,令u=x2y，则 解 lim222x0xyx0xyxyy0y0x2ysinu1sin(x2y)12xylimx1,lim=而x22222x0u0xyu2xy2xyy0x00，sin(x2y)0.所以limx0x2y2y0例7证明limxy不存在.x0x2y2y0证取ykx(k为常数)，则 limx0y0xyxkxklim，x2y2x0x2k2x21k2ykx易见，所要求的极限值随k的变化而变化，故limx3y例8证明lim6不存在.x0xy2y0xy不存在.x0x2y2y0kx3yx3kx3,其极限值随k的不同而变证取ykx,lim6limx0xy2x0x6k2x61k233y0ykx化，故极限不存在.例9证明lim(1xy)x0y01xy极限不存在.证取xn0,ynlim(1xnyn)n1xnyn1(n为自然数)，则当n时，yn0,且 nlim(10)n101/n1.11,则当n时，xn0,yn0,且 取xn,ynnn1lim(1xnyn)n1xnyn1lim1nn(n1)n(n1)1, e1xy因为对于不同的子列，所求得的极限的值不同，故lim(1xy)x0y0不存在.三多元函数的连续性 1.多元函数连续性概念

定义3设二元函数f(P)f(x，y)的定义域为D（1）P0(x0，y0)为D的聚点且P0D.如果

(x,y)(x0,y0)limf(x,y)f(x0,y0)，则称函数f(x，y)在点P0(x0，y0)连续.（2）设D内的每一点都是D的聚点，如果函数f(x，y)在D的每一点都连续 则称函数f(x，y)在D上连续 或称f(x，y)是D上的连续函数.二元函数的连续性概念可相应地推广到n元函数f(P)上去.一元基本初等函数可看成其中一个自变量不出现的二元函数，很容易证明，把一元基本初等函数看成二元函数时它们都是连续的.例10 设f(x，y)cosx，证明f(x y)是R2上的连续函数.证 对于任意的P0(x0，y0)R2，因为

(x,y)(x0,y0)limf(x,y)(x,y)(x0,y0)limcosxcosx0f(x0,y0)

所以，函数f(x，y)cosx在点P0(x0，y0)连续，由P0的任意性知 cosx作为x y的二元函数在R2上连续.类似的讨论可知 一元基本初等函数看成二元函数或二元以上的多元函数时，它们在各自的定义域内都是连续的.定义4设函数f(xy)的定义域为D P0(x0y0)是D的聚点.如果函数f(xy)在点P0(x0y0)不连续 则称P0(x0，y0)为函数f(xy)的间断点.注 间断点可能是孤立点也可能是曲线上的点.可以证明 多元连续函数的和、差、积仍为连续函数，连续函数的商在分母不为零处的点仍连续；多元连续函数的复合函数也是连续函数.多元初等函数 与一元初等函数类似，多元初等函数是指可用一个式子所表示的多元函数，这个式子是由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算而得到的.xx2y2x2y2z2例如 cos(xy+z)都是多元初等函数.e1y2一切多元初等函数在其定义区域内是连续的.所谓定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域.由多元连续函数的连续性 如果要求多元连续函数f(P)在点P0处的极限 而该点又在此函数的定义区域内 则

pp0limf(P)f(P0)

例11讨论二元函数

x3y3,(x,y)(0,0)f(x,y)x2y2

0,(x,y)(0,0)在(0,0)处的连续性.解由f(x,y)表达式的特征，利用极坐标变换：令

xcos,ysin,则

(x,y)(0,0)limf(x,y)lim(sin3cos3)0f(0,0)，0所以函数在(0,0)点处连续.y例12求极限limln(yx).x021xy1y1解 limln(yx)ln(10)1.x021x10y1exy.例13求limx0xyy1exye01exy2.解 因初等函数f(x,y)在(0,1)处连续，故 limx0xy01xyy12.多元连续函数的性质

性质1(有界性与最大值最小值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数，必定在D上有界且在D上取得它的最大值和最小值.性质1表明：若f(P)在有界闭区域D上连续，则必存在常数M0，使得对一切PD，有|f(P)|M，且存在P1、P2D，使得

f(P1)max{f(P)|PD}，f(P2)min{f(P)|PD}

性质2(介值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值.问题讨论：

1.若点(x,y)沿着无数多条平面曲线趋向于点(x0,y0)时，函数f(x,y)都趋向于A，能否断定2.讨论函数

xy2,x2y2024f(x,y)xy

20,xy20(x,y)(x0,y0)limf(x,y)A? 的连续性.3.你能否用—语言证明

sin(x2y)lim220.x0xyy0

本节引入了多元函数概念，给出了多元函数极限的定义和计算方法，通过例题介绍了根据定义证明极限存在（即-语言）和不存在（沿不同方向或取不同子列得不同值）的方法，最后讨论了多元连续函数，给出了定义和它的基本性质.习题7.1 y1.设fxy,x2y2,求f(x,y).xx22已知函数f(x,y)xyxycot2，试求f(tx，ty).y3求下列各函数的定义域(1)zln(y25xy1)(2)z11 22xyxyxy(3)z(4)uR2x2y2z21(Rr0)

2222xyzr(5)uarcsinzxy22

4 求下列各极限

1x2y(1)lim(x,y)(0,3)x3y3(2)limln(yex)xy22(x,y)(1,1)(3)2xy4 xy(x,y)(0,0)limlimxy

xy11(4)(5)(x,y)(0,0)sin(xy)

(x,y)(0,2)xlim1cos(x2y2)(6)lim22(x,y)(0,0)(x2y2)exy5证明下列极限不存在(1)xy

(x,y)(0,0)xylim(2)xy

(x,y)(0,0)xyxylimeyax6函数z（a为常数）在何处间断？

y2x7用 - 语言证明

(x,y)(0,0)limxy0 22xy

第四篇：多元函数的极限

三． 多元函数的极限

回忆一元函数极限的定义：

limf(x)A设是定义域Df的聚点。xx0x00对0，总0,xU(x0,)Df时，都有f(x)A成立。

定义1 设二元函数f(P)f(x,y)的定义域为Df，P(x0,y0)是Df的聚点。如果

0Df时，都有存在常数A，对0，总0,P(x,y)U(P0(x0,y0),)f(x,y)A成立，那么称A为P(x,y)趋于P0(x0,y0)时，函数f(x,y)的极限，lifmP(A)记作P或者P0(x,y)(x0,y0)limf(P)A或者xlxi0fmP(A)或者

yy0f(x,y)A,(P(x(x0,y0)。0P,y))Df趋于P0； 注：1.P(x,y)P0(x0,y0)是指点P沿着任意路径在2.为了区别一元函数的极限，把二元函数的极限也称之为二重极限；

3.二元及其多元函数的极限的四则运算法则与一元函数一致。

22例1 设f(x,y)(xy)sin1limf(x,y)0。22，求证xx0yy0xy2证明 显然函数f(x,y)的定义域为DfR{(0,0)}，(0,0)是Df的聚点。因为

(x2y2)sin只须1122220xy(xy)sin0，0，所以对，要使2222xyxyx2y2成立即可。也就是说，对0，总0，22P(x,y)U0(O(0,0),)时，总有(xy)sin10成立，故

x2y2xx0yy0lim(x2y2)sin10。22xysin(x2y)? 例2 求极限limx0x2y2y0提示：四则运算，并考虑重要极限和基本不等式。x3y例3 证明函数lim不存在？ x0x6y2y0提示：设ykx3。学生练习1.求极限limsin(xy)?

x0xy2xy,x2y202limf(x,y)2学生练习2.证明函数f(x,y)xy的极限x0不存在？

y00,x2y20 四.多元函数的连续连

回忆一元函数连续的定义：

limf(x)f(x0)。f(x)在点x0处连续xx0Df的聚点，且定义2 设二元函数f(P)f(x,y)的定义域为Df，P0(x0,y0)是limf(x,y)f(x0,y0)PDxx0。如果，那么称函数f(x,y)在点P 0f0(x0,y0)处连续。yy0定义3 设二元函数zf(x,y)的定义域为Df，且Df内每一点都是聚点。如果函数zf(x,y)在Df内的没一点处都连续，那么称zf(x,y)在Df上联系或者称zf(x,y)为Df上的连续函数。

注：1.定义2和定义3可以推广至n元函数的情形。

例1 设f(x,y)sinx，证明函数f(x,y)是R2上的连续函数？

limf(x,y)sinx02xx0(x,y)R分析：对P,证明（语言）。000yy0证明

Df的聚点，P定义4.设二元函数zf(x,y)的定义域为Df，且P0Df。0(x0,y0)是如果函数f(x,y)在点P则称点P0(x0,y0)处不连续，0(x0,y0)为函数zf(x,y)的间断点。

xy,x2y2022例2 函数f(x,y)xy在点O(0,0)的连续性？

0,x2y20解：点O(0,0)虽为定义域R2的聚点，但由于f(x,y)在点O(0,0)无极限，故函数f(x,y)在点O(0,0)间断。

例3 函数f(x,y)sin122的定义域为Df{(x,y)xy1}，但22xy1C{(x,y)x2y21}上的点为Df的聚点，又由于f(x,y)在C上没有定义。故C上的点是f(x,y)的间断点。

1.函数极限存在；2.有定义； 连续

3.极限等于该点的函数值；

多元函数的连续性的性质与一元函数一致：

1.多元连续函数的和差积商仍为其定义域上的连续函数； 2.多元连续函数的商在分母不为零的点处任连续； 3.多元连续函数的复合函数是连续函数；

4.多元初等函数是其定义区域内的连续函数（定义区域：半酣定义域的区域或者闭区域）。

可以利用多元初等函数的连续性求极限。例4 limxy?

x1xyy2,2)Df是内点，因此存在U(P分析：Df{(x,y)x0且y0}，P0(10;)Df是xy3f(1,2)。Df内的区域，因此limx1xy2y2一般地，若f(x,y)是初等函数，且P0(x0,y0)是f(P)的定义域的内点，则xx0yy0limf(x,y)f(x0,y0)。

与闭区间上一元连续函数的最值定理类似，有

性质1 定义在有界闭区域D上多元连续函数必取得最大值和最小值。性质2（介值定理）有界闭区域上多元连续函数必取得介于最大值与最小值之间 的任何一个值。

性质3 有界闭区域上多元连续函数必一致连续。

第五篇：极限的四则运算函数的连续性

极限的四则运算函数的连续性

极限的四则运算，函数的连续性

二.教学重、难点： 1.函数在一点处连续

2.函数在开区间，闭区间上连续 3.连续函数的性质

（1）若与在处连续，则，（）在处也连续。

（2）最大、最小值，若是[]上的连续函数，那么在上有最大值和最小值，最值可在端点处取得，也可以在内取得。

【典型例题】 [例1] 求下列极限（1）（2）（3）（4）解：（1）原式（2）原式

（3）原式

（4）原式

[例2] 求下列各数列的极限（1）（2）（3）解：（1）原式（2）原式（3）原式

[例3] 已知数列是正数构成的数列，且满足，其中是大于1的整数，是正数。

（1）求的通项公式及前项和；（2）求的值。解：

（1）由已知得

∴ 是公比为的等比数列，则

（2）① 当时，原式 ② 当时，原式 ③ 当时，原式

[例4] 判定下列函数在给定点处是否连续。（1）在处；（2），在处。解：（1），但

故函数在处不连续（2）函数在处有定义，但，即

故不存在，所以函数在点处不连续。

[例5] 已知函数，试求：（1）的定义域，并画出的图象；（2）求，；

（3）在哪些点处不连续。解：

（1）当，即时，当时，不存在 当时，当时，即或时，∴

∴ 定义域为（）（），图象如图所示

（2）

∴ 不存在

（3）在及处不连续

∵ 在处无意义 时，即不存在∴ 在及处不连续

[例6] 证明方程至少有一个小于1的正根。证明：令，则在（0，1）上连续，且当时。时，∴ 在（0，1）内至少有一个，使

即：至少有一个，满足且，所以方程至少有一个小于1的正根。

[例7] 函数在区间（0，2）上是否连续？在区间[0，2]上呢？ 解：（且）任取，则

∴ 在（0，2）内连续，但在处无定义 ∴ 在处不连续，从而在[0，2]上不连续

[例8] 假设，在上不连续，求的取值范围。

解：若函数，在上连续，由函数在点处连续的定义，必有，因为，所以，所以，若不连续，则且。

[例9] 设

（1）若在处的极限存在，求的值；（2）若在处连续，求的值。解：

（1），因为在处极限存在，所以，所以，即（2）因为在处连续，所以在处的极限存在，且，由（1）知，且，又，所以。

【模拟试题】 一.选择题：

1.已知，则下列结论正确的是（）

A.B.不存在C.=1

D.= 2.的值为（）

A.5

B.4

C.7

D.0 3.的值为（）

A.1

B.0

C.D.4.的值为（）

A.B.C.1

D.5.若，则的取值范围是（）

A.B.C.D.6.若在上处处连续，则常数等于（）

A.0

B.1

C.2

D.7.在点处连续是在点处连续的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

8.的不连续点是（）

A.无不连续点

B.C.D.二.解答题： 1.求下列极限：

（1）

（2）

（3）2.为常数，1，求。

3.已知

（1）在处是否连续？说明理由；（2）讨论在和上的连续性。

【试题答案】 一.1.B

2.C

3.C D

二.1.解：（1）（2）

① 当时，∴

② 当时，∴

③ 当时，（3）2.解：∵

∴

∴，4.B

5.C

6.C

7.A

8.3.解：

（1）∵，则

∴

∵，且

∴

∵

∴ 不存在∴ 在处不连续（2）∵

∴ 在上是不连续函数 ∵

∴ 在上是连续函数。