函数的极限及函数的连续性典型例题

第一篇：函数的极限及函数的连续性典型例题

函数的极限及函数的连续性典型例题

一、重点难点分析：

①

此定理非常重要，利用它证明函数是否存在极限。② 要掌握常见的几种函数式变形求极限。③ 函数f(x)在x=x0处连续的充要条件是在x=x0处左右连续。

。④ 计算函数极限的方法，若在x=x0处连续，则

⑤ 若函数在[a,b]上连续，则它在[a,b]上有最大值，最小值。

二、典型例题

例1．求下列极限

①

②

③

④

解析：①。

②。

③。

④。

例2．已知，求m,n。

解：由可知x2+mx+2含有x+2这个因式，∴ x=-2是方程x2+mx+2=0的根，∴ m=3代入求得n=-1。

例3．讨论函数的连续性。

解析：函数的定义域为(-∞,+∞)，由初等函数的连续性知，在非分界点处函数是连续的，又

∴

由

从而f(x)在点x=-1处不连续。

∴ f(x)在(-∞,-1),(-1,+∞)上连续，x=-1为函数的不连续点。，∴ f(x)在x=1处连续。，例4．已知函数

试讨论a,b为何值时，f(x)在x=0处连续。,(a,b为常数)。

解析：∵

且，∴，∴ a=1, b=0。

例5．求下列函数极限

①

②

解析：①。

②。

例6．设

解析：∵

要使存在，只需，问常数k为何值时，有存在？。，∴ 2k=1，故 时，存在。

例7．求函数

在x=-1处左右极限，并说明在x=-1处是否有极限？

解析：由∵，∴ f(x)在x=-1处极限不存在。，三、训练题：

1．已知，则

2．的值是_______。

3.已知，则=______。

4．已知

5．已知，2a+b=0，求a与b的值。，求a的值。

参考答案：1.3

2.3.4.a=2, b=-45.a=0

第二篇：函数的极限和函数的连续性（本站推荐）

第一部分高等数学

第一节函数的极限和函数的连续性

考点梳理

一、函数及其性质

1、初等函数

幂函数：yxa(aR)

指数函数yax(a1且a1)

对数函数：ylogax(a0且a1)

三角函数：sin x , cos x , tan x , cot x

反三角函数：arcsin x , arcos x , arctan x , arccot x2、性质（定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、有界性）

【注】奇偶性、单调性相对考察的可能性打，但一般不会单独出题，常与其他知识点结合起来考察（比如与积分、导数结合）

二、函数极限

1． 数列极限

定义（略）

收敛性质：极限的唯一性、极限的有界性、极限的保号性。

·类比数列极限，函数极限有唯一性、局部有界性、局部保号性。

单侧极限（左极限、右极限）

【注】函数极限为每年的必考内容，常见于客观题中。一般为2~3题。

2． 两个重要极限

（1）limsinx1 x0x

x类似得到：x→0时，x～ln(x+1)～arcsin x～arctan x～tan x（2）lim(1x)e x0

类似得到：lim(1)elim(1)xx1xx

1xx1 e

·此处，需提及无穷大，无穷小的概念，希望读者进行自学。

三、函数的连续性

1． 概念：函数f(x)在x0处的连续（f(x)在x0点左连续、f(x)在x0点右连续）函数f(x)在开区间（a,b）上的连续

函数f(x)在闭区间[a,b]上的连续

2． 函数的间断点分类

● 跳跃式间断点：函数f(x)在点x0的左右极限都存在但不相等。

● 函数在点x0的左右极限都存在且相等，但不等于该点的函数值（或函数值在该

点无定义）

● 振荡间断点：f(x)在点x0的左右极限至少有一个不存在。

3． 连续函数的和、积、商，初等函数的连续性

● 有限个在某点连续的函数的和是一个在该点连续的函数。

● 有限个再某点连续的函数的积是一个在该点连续的函数。

● 两个在某点连续的函数的商事一个在该点连续的函数（分母在该点不为零）● 一切基本初等函数在定义域（或定义区间）上是连续的。

4． 闭区间上的连续函数的性质

●（最大、最小定理）在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值。

●（有界性定理）在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界。

●（零点定理）设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与f(b)异号（即f(a)·f(b)<0），那么在开区间(a,b)内至少有函数f(x)的一个零点。

● 介值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在这区间的端点处取不同的函

数值f(a)=A及f(b)=B，那么，对于A与B之间的任意一个数C，在开区间(a,b)

内至少有一点ξ，使得f(b)=C(a<ξ

【注】函数的连续性，一般在客观题目中出现，分值不大，一般1~2题。

典型例题分析

【例1】（2010年真题）（工程类）计算极限limxsinx x0xsinx

A.1B.-1C.0D.2sinx1这一重要极限。如此，我们不难解x0x

sinxsinx11limxsinxx00。出该极限为0.即limlimx0xsinxx011limx0xx

xcx)e6,则常数c=_________。【例2】（2010年真题）（工程类）设lim(xxc

1x1【解析】解决此类题目，我们要灵活运用lim(1)。xxe【解析】：解决此类题目，我们要深刻掌握lim

2cxxcx2cx

2ccxclim()lim(1)limexxcxxxc2c1ce2ce6。则c=-3。

1xsin,x0【例3】（2009年真题）（工程类）设f(x)若f(x)在点x=0处连续，则αx0,x0的取值范围是

A．(-∞,+ ∞)B.[0,+ ∞]C.(0,+ ∞)D.(1,+ ∞)

【解析】函数f(x)为一个分段函数，要使其在点x=0处连续，只需limxsinx010，不难x

发现x→0时，sin x 为有界的，我们只需满足limx0即可。易得，α>0。但α不能等于x0

0，否则limsinx010。x

提高训练

1、求下列函数的定义域

（1）y

（2）y1 2x2x

（3）y=lg(3x+1)

(4)y1 1x22、判断一下函数的奇偶性

axax

(1)y = tan x(2)ya(3)y 2x3、求下列函数的极限

1x34x2(1)lim(3x1)(2)lim3(3)limxsinx3x0x0xxx

sin3x15sin2x(4)lim(5)lim(6)lim(1)x0xx01cosxxx

1ex,x0

4、讨论f(x)0,x0在x=0点的连续性。

x05、证明方程x3x1至少有一个根介于1和2之间。

【答案】

1、（1）[-1,1](2)(-∞,0)∪(0,2)∪(2,+∞)(3)(-1/3,+∞)

(4)[-2,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞)

2、（1）奇（2）非奇非偶（3）偶

3、（1）8（2）4（3）0（4）2（5）3（6）

14、连续

5、证明：记f(x)x3x1，f(1)=-3<0,f(2)=25>0。由零点存在定理知，至少存在一个零点介于1和2之间。即方程x3x1在1和2之间至少有一个根。555

第三篇：极限的四则运算函数的连续性

极限的四则运算函数的连续性

极限的四则运算，函数的连续性

二.教学重、难点： 1.函数在一点处连续

2.函数在开区间，闭区间上连续 3.连续函数的性质

（1）若与在处连续，则，（）在处也连续。

（2）最大、最小值，若是[]上的连续函数，那么在上有最大值和最小值，最值可在端点处取得，也可以在内取得。

【典型例题】 [例1] 求下列极限（1）（2）（3）（4）解：（1）原式（2）原式

（3）原式

（4）原式

[例2] 求下列各数列的极限（1）（2）（3）解：（1）原式（2）原式（3）原式

[例3] 已知数列是正数构成的数列，且满足，其中是大于1的整数，是正数。

（1）求的通项公式及前项和；（2）求的值。解：

（1）由已知得

∴ 是公比为的等比数列，则

（2）① 当时，原式 ② 当时，原式 ③ 当时，原式

[例4] 判定下列函数在给定点处是否连续。（1）在处；（2），在处。解：（1），但

故函数在处不连续（2）函数在处有定义，但，即

故不存在，所以函数在点处不连续。

[例5] 已知函数，试求：（1）的定义域，并画出的图象；（2）求，；

（3）在哪些点处不连续。解：

（1）当，即时，当时，不存在 当时，当时，即或时，∴

∴ 定义域为（）（），图象如图所示

（2）

∴ 不存在

（3）在及处不连续

∵ 在处无意义 时，即不存在∴ 在及处不连续

[例6] 证明方程至少有一个小于1的正根。证明：令，则在（0，1）上连续，且当时。时，∴ 在（0，1）内至少有一个，使

即：至少有一个，满足且，所以方程至少有一个小于1的正根。

[例7] 函数在区间（0，2）上是否连续？在区间[0，2]上呢？ 解：（且）任取，则

∴ 在（0，2）内连续，但在处无定义 ∴ 在处不连续，从而在[0，2]上不连续

[例8] 假设，在上不连续，求的取值范围。

解：若函数，在上连续，由函数在点处连续的定义，必有，因为，所以，所以，若不连续，则且。

[例9] 设

（1）若在处的极限存在，求的值；（2）若在处连续，求的值。解：

（1），因为在处极限存在，所以，所以，即（2）因为在处连续，所以在处的极限存在，且，由（1）知，且，又，所以。

【模拟试题】 一.选择题：

1.已知，则下列结论正确的是（）

A.B.不存在C.=1

D.= 2.的值为（）

A.5

B.4

C.7

D.0 3.的值为（）

A.1

B.0

C.D.4.的值为（）

A.B.C.1

D.5.若，则的取值范围是（）

A.B.C.D.6.若在上处处连续，则常数等于（）

A.0

B.1

C.2

D.7.在点处连续是在点处连续的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

8.的不连续点是（）

A.无不连续点

B.C.D.二.解答题： 1.求下列极限：

（1）

（2）

（3）2.为常数，1，求。

3.已知

（1）在处是否连续？说明理由；（2）讨论在和上的连续性。

【试题答案】 一.1.B

2.C

3.C D

二.1.解：（1）（2）

① 当时，∴

② 当时，∴

③ 当时，（3）2.解：∵

∴

∴，4.B

5.C

6.C

7.A

8.3.解：

（1）∵，则

∴

∵，且

∴

∵

∴ 不存在∴ 在处不连续（2）∵

∴ 在上是不连续函数 ∵

∴ 在上是连续函数。

第四篇：第二讲 函数的极限典型例题

第二讲

函数的极限

一

内容提要

1.函数在一点处的定义

xx0limf(x)A0,0,使得x:0xx0，有f(x)A.右极限

xx0limf(x)A0,0,使得x:0xx0，有f(x)A.左极限

xx0limf(x)A0,0,使得x:0x0x，有f(x)A.注1 同数列极限一样，函数极限中的同样具有双重性．

注2 的存在性（以xx0为例）：在数列的“N”定义中，我们曾经提到过，N的存在性重在“存在”，而对于如何去找以及是否能找到最小的N无关紧要；对也是如此，只要对给定的0，能找到某一个，能使0xx0时，有f(x)A即可．

注3 讨论函数在某点的极限，重在局部，即在此点的某个空心邻域内研究f(x)是否无限趋近于A．

注4 limf(x)Alimf(x)limf(x)A．

xx0xx0xx0n注５ limf(x)A{xn}{xn}|xnx0,且xnx0，有limf(xn)A，称为

nxx0归结原则――海涅（Heine）定理．它是沟通数列极限与函数极限之间的桥梁．说明在一定条件下函数极限与数列极限可以相互转化．因此，利用定理必要性的逆否命题，可以方便地验证某些函数极限不存在；而利用定理的充分性，又可以借用数列极限的现成结果来论证函数极限问题．（会叙述，证明，特别充分性的证明．）注6 limf(x)A00,xx00，x:0xx0，有f(x)A0． 函数在无穷处的极限 设f(x)在[a,)上有定义，则

limf(x)A0,xXa,Xa,Xa,使得x:xX，有f(x)A． 使得x:xX，有f(x)A． 使得x:xX，有f(x)A． xlimf(x)A0,limf(x)A0,x注１ limf(x)Alimf(x)limf(x)A．

xxx 1

n注２ limf(x)A{xn}{xn}|xn，有limf(xn)A．

nx３ 函数的有界

设f(x)在[a,)上有定义，若存在一常数M0，使得x[a,)，有f(x)M，则称f(x)在[a,)上有界． ４ 无穷大量

xx0limf(x)G0,0,X0,使得x:0xx0，有f(x)G． 使得x:xX，有f(x)G． limf(x)G0,x类似地，可定义limf(x)，limf(x)，limf(x)，limf(x)等．

xx0xx0xx0xx0注 若limf(x)，且0和C0，使得x:0xx0，有f(x)C0，xx0则limf(x)g(x)．

xx0

特别的，若limf(x)，limg(x)A0，则limf(x)g(x)．

xx0xx0xx0５ 无穷小量

若limf(x)0，则称f(x)当xx0时为无穷量．

xx0注1 可将xx0改为其它逼近过程．

注2 limf(x)Af(x)A(x)，其中lim(x)0．由于有这种可以互逆的表xx0xx0达关系，所以极限方法与无穷小分析方法在许多场合中可以相互取代． 注3 limf(x)0，g(x)在x0的某空心邻域内有界，则limf(x)g(x)0．

xx0xx0注4 limf(x)0，且当x足够大时，g(x)有界，则limf(x)g(x)0．

xxx0注5 在某一极限过程中，无穷大量的倒数是无穷小量，非零的无穷小量的倒数是无穷大量． 6 函数极限的性质

以下以xx0为例，其他极限过程类似．（1）limf(x)A，则极限A唯一．

xx0（2）limf(x)A，则,M0，使得x:0xx0，有f(x)M．

xx0（3）limf(x)A，limg(x)B，且AB，则0，使得x:0xx0，xx0xx0有

f(x)g(x)注

这条性质称为函数的“局部保号性”．在理论分析论证及判定函数的性态中应用极普遍．（4）limf(x)A，limg(x)B，且0当0xx0时，f(x)g(x)则xx0xx0AB．

（5）limf(x)A，limg(x)B，则

xx0xx0xx0limf(x)g(x)AB

limf(x)g(x)AB

limxx0f(x)g(x)xx0AB（B0）

要求：①进行运算的项数为有限项；②极限为有限数． 7 夹逼定理 若0,使得x:0xx0，有f(x)g(x)h(x)，且

xx0xx0xx0limf(x)limh(x)A，则limg(x)A． Cauchy收敛准则

函数f(x)在x0的空心邻域内极限存在0,0,使得x,x，当0xx0，0xx0时，有f(x)f(x)． 无穷小量的比较

设lim(x)0，lim(x)0，且limxx0xx0(x)(x)xx0k，则

（1）当k0时，称(x)为(x)的高阶无穷小量，记作(x)o(x)；（2）当k时，称(x)为(x)的低阶无穷小量；（3）当k0且k时，称(x)为(x)的同阶无穷小量．

特别的，当k1时，称(x)和(x)为等价的无穷小量，记作(x)～(x)．

注1 上述定义中，自变量的变化过程xx0也可用x，x，x，xx0，xx0之一代替． 注2 当x0时，常见的等价无穷小有：

sinx～x，tanx～x，1cosx～

x22，e1～x，ln(1x)～x，(1x)xm1～mx

注3 在用等价无穷小替换计算极限时，一般都要强调限定对“乘积因式”的等价替换．因为：

若(x)～(x)（P），则

limPf(x)(x)limPf(x)(x)f(x)limP(x)(x)(x)或

limg(x)(x)limg(x)(x)PP(x)(x)． limg(x)(x)

（P为某逼近过程）

P而对于非乘积因式，这样的替换可能会导致错误的结果．

注4 在某一极限过程中，若(x)为无穷小量，则在此极限过程，有

(x)o(x)～(x)． 10 两个重要极限（1）limsinxx1x01；

（2）lim(1x)xe．

x0

二、典型例题

例 用定义证明下列极限：（1）limx(x1)x12x112；

12（2）limxx1x2x．

例 limf(x)A，证明：

xx0（1）若A0，则有lim31f(x)2xx01A2；

（2）lim3xx0f(x)A．

例 设f(x)是[a,b]上的严格严格单调函数，又若对xn(a,b]（n1,2,），有limf(xn)f(a)，试证明：limxna．

nn

例 函数f(x)在点x0的某邻域I内有定义，且对xnI（xnx0,xnx0），且 0xn1x0xnx0（nN），有limf(xn)A，证明：limf(x)A．

nxx0

例

设函数f(x)，x(0,1)，满足f(x)0（x0），且

f(x)f()o(x)（x0）

2x则

f(x)o(x)（x0）

问：在题设条件下，是否有f(0)0？答：否．如f(x)01x0x0．

例

设函数f(x)在(0,)上满足议程f(2x)f(x)，且limf(x)A，则

n

f(x)A（x(0,)）．

例

求下列函数极限（1）limn0xb（a0,b0）；

axxb（2）lim（a0,b0）；

n0ax12exsinx（3）lim． 4n0x1ex 8

例

求下列极限（1）lim1tanxx1tanxn0e1；

（2）lim1cosxx)x；

n0x(1cosln(sin22（3）limxe)x2xn0ln(xe)2x．

例

求下列极限：（1）limn0etanxexsinxxcosx；

（2）lim1cosxcos2x3cos3xx2．

n0 10

例

求下列极限：（1）limx1xlnxx；

n1（2）lim(ax)ax2xx．

n0

例

求下列极限：

1（1）lim(cosx)n0ln(1x)2；

11（2）lim(sinn1xcos1x)；

nx1xa（3）设ai0（i1,2,,n），求limn0ax2ax． nxn

例

（1）已知lim(1xaxb)0，求常数a,b；

n33ln(1f(x)（2）已知limn0sin2xx31)5，求limn0f(x)x2．

第五篇：函数极限

习题

1.按定义证明下列极限:

(1)limx6x5=6;(2)lim(x2-6x+10)=2;x2x

x251;(4)lim(3)lim2xx1x2

(5)limcos x = cos x0 xx04x2=0;

2.根据定义2叙述limf(x)≠ A.xx0

3.设limf(x)= A.,证明limf(x0+h)= A.xx0h0

4.证明:若limf(x)= A,则lim| f(x)| = |A|.当且仅当A为何值时反之也成立? xx0xx0

5.证明定理3.1

6.讨论下列函数在x0→0 时的极限或左、右极限:(1)f(x)=x

x;(2)f(x)= [x]

2x;x0.(3)f(x)=0;x0.1x2,x0.

7.设 limf(x)= A,证明limf(xxx01)= A x

8.证明:对黎曼函数R(x)有limR(x)= 0 , x0∈[0,1](当x0=0或1时,考虑单侧极限).xx0

习题

1． 求下列极限：

x21（1）lim2（sinx－cosx－x）;(2)lim;x02x2x1x22

x21x113x;

lim(3)lim;(4)

x12x2x1x0x22x3

xn1(5)limm(n,m 为正整数)；（6）lim

x1xx41

（7）lim

x0

2x3x2

70；

a2xa3x68x5.（a>0）;(8)lim

xx5x190

2． 利用敛性求极限：(1)lim

x

xcosxxsinx

;(2)lim2

x0xx4

xx0

3． 设 limf(x)=A, limg(x)=B.证明：

xx0

（1）lim[f(x)±g(x)]=A±B;

xx0

（2）lim[f(x)g(x)]=AB;

xx0

（3）lim

xx0

f(x)A

=(当B≠0时)g(x)B

4． 设

a0xma1xm1am1xam

f(x)=,a0≠0,b0≠0,m≤n,nn1

b0xb1xbn1xbn

试求 limf(x)

x

5． 设f(x)>0, limf(x)=A.证明

xx0

xx0

lim

f(x)=A，其中n≥2为正整数.6.证明limax=1(0

x0

7.设limf(x)=A, limg(x)=B.xx0

xx0

(1)若在某∪(x0)内有f(x)< g(x)，问是否必有A < B ? 为什么？

（2）证明：若A>B,则在某∪(x0)内有f(x)> g(x).8.求下列极限（其中n皆为正整数）：(1)lim 

x0

x

x11

lim;(2);nnx0x1xx1x

xx2xnn

(3)lim;(4)lim

x0x0x1

x1

x

(5)lim

x

x(提示：参照例1)

x

x0

x0

x0

9．（1）证明：若limf(x3)存在，则limf(x)= lim f(x3)（2）若limf(x2)存在，试问是否成立limf(x)=limf(x2)?

x0

x0

x0

习题

1.叙述函数极限limf(x)的归结原则,并应用它证明limcos x不存在.n

n

2.设f 为定义在[a,+)上的增(减)函数.证明: lim= f(x)存在的充要条件是f在n

[a,+)上有上(下)界.3.(1)叙述极限limf(x)的柯西准则;

n

(2)根据柯西准则叙述limf(x)不存在的充要条件,并应用它证明limsin x不存在.n

n

4.设f在∪0(x0)内有定义.证明:若对任何数列{xn}∪0(x0)且limxn=x0,极限limf(xn)都

n

n

存在,则所有这极限都相等.提示: 参见定理3.11充分性的证明.5设f为∪0(x0)上的递减函数.证明:f(x0－0)和f(x0+0)都存在,且f(x0－0)=supf(x),f(x0+0)=

0xu

x0

0xun(x0)

inff(x)

6.设 D(x)为狄利克雷函数,x0∈R证明limD(x)不存在.xx0

7.证明:若f为周期函数,且limf(x)=0,则f(x)=0

x

8.证明定理3.9

习题

1.求下列极限

sin2xsinx3

(1)lim;(2)lim

x0x0sinx2x

(3)lim

x

cosxx



tanxsinxarctanx

lim(5)lim;(6);3x0x0xx

sin2xsin2a1

(7)limxsin;(8)lim;

xxaxxa

;(4)lim

x0

tanx

;x

cosx2

(9)lim;(10)lim

x0x01cosxx11

sin4x

2.求下列极限

12x

(1)lim(1);(2)lim1axx(a为给定实数);

nx0x

x

(3)lim1tanx

x0

cotx

;(4)lim

1x

;

x01x

(5)lim（x

3x22x1);(6)lim(1)x(,为给定实数)

n3x1x

3.证明:limlimcosxcoxcos4.利用归结原则计算下列极限:(1)limnsin

n



x0n





x2

xxcos1 2n22



n

;(2)

习题

1． 证明下列各式

(1)2x－x2=O(x)(x→0);(2)x sinxO(x)(x→0);

+

(3)x1o(1)(x→0);

(4)(1+x)n= 1+ nx+o(x)(x→0)(n 为正整数)(5)2x3 + x2=O(x3)(x→∞);

(6)o(g(x))±o(g(x))=o(g(x))(x→x0)

(7)o(g1(x))·0(g2(x))=o(g1(x)g2(x))(x→x0)2． 应用定理3.12求下列极限：

x21x(1)lim(2)lim x01cosxxxcosx

x3． 证明定理3.13

4． 求下列函数所表示曲线的渐近线：

13x34

(1)y =;(2)y = arctan x;(3)y = 2

xx2x

5． 试确定a的值，使下列函数与xa当x→0时为同阶无穷小量：

(1)sin2x－2sinx;(2)

－(1－x);1x

(3)tanxsinx;(4)

x24x3

6． 试确定a的值，使下列函数与xa当x→∞时为同阶无穷大量：

(1)

x2x5;(2)x+x2(2+sinx);

(3)(1+x)(1+x2)…(1+xn).7． 证明：若S为无上界数集，则存在一递增数列{xn}s，使得xn→+∞(n→∞)

8． 证明：若f为x→r时的无穷大量，而函数g在某U0(r)上满足g(x)≥K>0，则fg为x→r

时的无穷大量。

9． 设 f(x)~g(x)(x→x0)，证明：

f(x)－g(x)= o(f(x))或 f(x)－g(x)= o(g(x))

总 练习题

1． 求下列极限：

1

(x[x])lim([x]1)(1)lim;(2)

x3

x1

(3)lim（x

axbxaxbx)

xxa

(4)lim

x

(5)lim

xxa

x

(6)lim

xxxx

x0

(7)lim

nm,m,n 为正整数 nx11xm1x

2． 分别求出满足下述条件的常数a与b：

x21

(1)limaxb0 xx1

x(3)limx

(2)lim

xxx2

x1axb0

x1axb0

x2

3． 试分别举出符合下列要求的函数f：

(1)limf(x)f(2)；(2)limf(x)不存在。

4． 试给出函数f的例子，使f(x)>0恒成立，而在某一点x0处有limf(x)0。这同极限的xx0

局部保号性有矛盾吗？

5． 设limf(x)A，limg(u)B，在何种条件下能由此推出

xa

gA

limg(f(x))B?

xa

6． 设f(x)=x cos x。试作数列

(1){xn} 使得 xn→∞(n→∞), f(xn)→0(n→∞);(2){yn} 使得 yn→∞(n→∞), f(yn)→0(n→∞);(3){zn} 使得 zn→∞(n→∞), f(zn)→0(n→∞).7． 证明：若数列{an}满足下列条件之一，则{an}是无穷大数列：

(1)limanr1

n

(2)lim

an1

s1(an≠0,n=1,2,…)

nan

n2

n2

8． 利用上题（1）的结论求极限：

(1)lim1

n

11(2)lim1

nnn

9． 设liman，证明

n

(1)lim

(a1a2an) nn

n

(2)若an > 0(n=1,2,…),则lima1a2an 10.利用上题结果求极限：

(1)limn!(2)lim

n

In(n!)

nn

11.设f为U-0(x0)内的递增函数。证明：若存在数列{xn}U-0(x0)且xn→x0(n→∞)，使得

limf(xn)A，则有

n

f(x0－0)=

supf(x)A

0xU(x0)

12.设函数f在(0,+∞)上满足方程f(2x)=f(x)，且limf(x)A。证明：f(x)A，x∈(0,+∞)

x

13.设函数f在(0,+∞)此上满足方程f(x2)= f(x)，且

f(x)=limf(x)f(1)lim

x0

x

证明：f(x)f(1)，x∈(0,+∞)

14.设函数f定义在(a,+∞)上，f在每一个有限区间内(a,b)有界，并满足

x

lim(f(x1)f(1))A证明

x

lim

f(x)

A x