函数极限的性质

第一篇：函数极限的性质

§3.2 函数极限的性质

§2 函数极限的性质

Ⅰ.教学目的与要求

1.理解掌握函数极限的唯一性、局部有界性、局部保号性、保不等式性，迫敛性定理并会利用这些定理证明相关命题.2.掌握函数极限四则运算法则、迫敛性定理,会利用其求函数极限.Ⅱ.教学重点与难点:

重点: 函数极限的性质.难点: 函数极限的性质的证明及其应用.Ⅲ.讲授内容

在§1中我们引入了下述六种类型的函数极限：

1)limfx ；2)limfx；3)limfx

xxxfx；

6)limfx。4)limfx； 5)limxx0xx0xx0它们具有与数列极限相类似的一些性质，下面以第4)种类型的极限为代表来叙述并证明这些性质．至于其他类型极限的性质及其证明，只要相应地作些修改即可.定理3．2(唯一性)若极限limfx存在，则此极限是唯一的．

xx0

证

设,都是f当xx0时的极限，则对任给的0，分别存在正数

1与2，使得当0xx01时有

fx，(1)

当0xx02时有

fx，(2)

取min1,2，则当0xx0时，(1)式与(2)式同时成立，故有

(fx)fxfxfx2

由的任意性得，这就证明了极限是唯一的.定理3。3（局部有限性）若limfx存在，则f在x0的某空心邻域U0x0内有界．

xx0

证

设limfx．取1，则存在0使得对一切xU0x0;有

xx0

fx1fx1 这就证明了f在U0x0;内有界．

§3.2 函数极限的性质

定理3．4(局部保号性)若limfx0(或0)，则对任何正数r（或

xx0r)，存在U0x0，使得对一切xU0x0有

fxr0（或fxr0）

证

设0，对任何r(0,)，取r，则存在0，使得对一切

xU0x0;

fxr，这就证得结论．对于0的情形可类似地证明．

注

在以后应用局部保号性时，常取rA．

2xx0定理3．5(保不等式性)设limfx与都limgx都存在，且在某邻域U0x0;'内

xx0有fxgx则

limfxlimgx

（３）

xx0xx0

证

设

limfx=，limgx=，则对任给的0，分别存在正数1与2使xx0xx0得当0xx01时有

fx，当0xx02 时有

gx

令min',1,2，则当0xx0时，不等式fxgx与(4)、(5)两式同时成立，于是有

fxgx

从而2．由的任意性推出，即(3)式成立．

定理3．6(迫敛性)设limfx=limgx=Ａ，且在某U0x0;'内有

xx0xx0

fx则limhx．

xx0hxgx

证

按假设，对任给的0，分别存在正数1与2，使得当 0xx01时有，§3.2 函数极限的性质

fx

(7)

当0xx02时有

gx

(8)

令min,1,2，则当0xx0时，不等式(6)、(7)、(8)同时成立，故有

fxhxgx 由此得hx，所以limhx

xx0'

定理3．7（四则运算法则）若极限limfx与limgx都存在，则函数

xx0xx0fg,fg当xx0时极限也存在，且

1)limfxgxlimfxlimgx；

xx0xx0xx02）limfxgxxx0xx0limfx．limgx；

xx0 又若limgx0，则f|g当xx0时极限存在，且有

xx03）limxx0fxgxxx0limfxlimgx．

xx0

这个定理的证明类似于数列极限中的相应定理，留给学生作为练习．

利用函数极限的迫敛性与四则运算法则，我们可从一些简单的函数极限出发，计算较复杂的函数极限．

例 1求limxx0x解

当x0时有

1xx1，x1

11x1故由迫敛性得：

xlim

而limx=1

0x0x另一方面，当x0有1x1x，故又由迫敛性又可得：

lim x1 

x0

xx综上，我们求得lim x1

x0x

1111§3.2 函数极限的性质

例 2求limxtanx1x

4解由xtanxxsinx及§1例4所得的，cosxsixnsin

limx442limcoxs，2x4并按四则运算法则有

limsinxxtanx1=limx

limxx

44x4limcosx

x

1=limx41 44例 3求lim313．

x1x1x1解 当x10时有

x1x2x

2133x1x1x31x2x1故所求的极限等于

x2121 2x1x2x1111lim例4

证明lima1a1 xx0

证

任给0(不妨设1)，为使

x

a1

（9）

即1a1，利用对数函数loga

loga1xloga1 于是，令

x（当a1时）的严格增性，只要

minloga1,loga1，则当0x时，就有(9)式成立，从而证得结论．

Ⅳ 小结与提问:本节要求学生理解掌握函数极限的性质，并利用其讨论相关命题.指导学生对定理的应用作总结.Ⅴ 课外作业: P51 2、3、5、7、8、9.

第二篇：函数极限的性质

§3.2 函数极限的性质

§2函数极限的性质

Ⅰ.教学目的与要求

1.理解掌握函数极限的唯一性、局部有界性、局部保号性、保不等式性，迫敛性定理并会利用这些定理证明相关命题.2.掌握函数极限四则运算法则、迫敛性定理,会利用其求函数极限.Ⅱ.教学重点与难点:

重点: 函数极限的性质.难点: 函数极限的性质的证明及其应用.Ⅲ.讲授内容

在§1中我们引入了下述六种类型的函数极限：

1)limfx ；2)limfx；3)limfxxxx

fx；6)limfx。4)limfx； 5)limxx0xx0xx0

它们具有与数列极限相类似的一些性质，下面以第4)种类型的极限为代表来叙述并证明这些性质．至于其他类型极限的性质及其证明，只要相应地作些修改即可.定理3．2(唯一性)若极限limfx存在，则此极限是唯一的． xx0

证设,都是f当xx0时的极限，则对任给的0，分别存在正数

1与2，使得当0xx01时有

fx，(1)当0xx02时有

fx，(2)

取min1,2，则当0xx0时，(1)式与(2)式同时成立，故有

(fx)fxfxfx2

由的任意性得，这就证明了极限是唯一的.定理3。3（局部有限性）若limfx存在，则f在x0的某空心邻域U0x0内有界． xx0

证设limfx．取1，则存在0使得对一切xU0x0;有 xx0

fx1fx1

这就证明了f在U0x0;内有界．

定理3．4(局部保号性)若limfx0(或0)，则对任何正数r（或xx0

r)，存在U0x0，使得对一切xU0x0有

fxr0（或fxr0）

证设0，对任何r(0,)，取r，则存在0，使得对一切

xU0x0;

fxr，这就证得结论．对于0的情形可类似地证明．

注在以后应用局部保号性时，常取rA．2

xx0定理3．5(保不等式性)设limfx与都limgx都存在，且在某邻域U0x0;'内xx0

有fxgx则

limfxlimgx（３）xx0xx0

证设limfx=，limgx=，则对任给的0，分别存在正数1与2使xx0xx0

得当0xx01时有

fx，当0xx02 时有

gx

令min',1,2，则当0xx0时，不等式fxgx与(4)、(5)两式同时成立，于是有

fxgx

从而2．由的任意性推出，即(3)式成立．

定理3．6(迫敛性)设limfx=limgx=Ａ，且在某U0x0;'内有 xx0xx0

fx

则limhx． xx0hxgx

证按假设，对任给的0，分别存在正数1与2，使得当0xx01时有，2fx(7)当0xx02时有

gx(8)令min,1,2，则当0xx0时，不等式(6)、(7)、(8)同时成立，故有

fxhxgx

由此得hx，所以limhx xx0'

定理3．7（四则运算法则）若极限limfx与limgx都存在，则函数 xx0xx0

fg,fg当xx0时极限也存在，且

1)limfxgxlimfxlimgx； xx0xx0xx0

2）limfxgxxx0xx0limfx．limgx； xx0

又若limgx0，则f|g当xx0时极限存在，且有 xx0

3）limxx0fxgxxx0limfxlimgx． xx0

这个定理的证明类似于数列极限中的相应定理，留给学生作为练习．

利用函数极限的迫敛性与四则运算法则，我们可从一些简单的函数极限出发，计算较复杂的函数极限．

例 1求limxx0x

解当x0时有

1xx1，x1 1

1x1故由迫敛性得：xlim而limx=1 0x0x

另一方面，当x0有1x1x，故又由迫敛性又可得：lim x1 x0xx

综上，我们求得lim x1 x0x1111

例 2求limxtanx1

x

解由xtanxxsinx及§1例4所得的，cosx

sixnsilim

x442limcoxs，2x4

并按四则运算法则有

limsinx

xtanx1=limxlim

xx44x

4limcosxx1=limx41

4例 3求lim313． x1x1x1

解 当x10时有

x1x2x2133x1x1x31x2x1

故所求的极限等于

x2121 2x1x2x1111lim

例4证明lima1a1 x

x0

证任给0(不妨设1)，为使

xa1（9）

即1a1，利用对数函数loga

loga1xloga1

于是，令x（当a1时）的严格增性，只要 minloga1,loga1，则当0x时，就有(9)式成立，从而证得结论．

Ⅳ 小结与提问:本节要求学生理解掌握函数极限的性质，并利用其讨论相关命题.指导学生对定理的应用作总结.Ⅴ 课外作业: P51 2、3、5、7、8、9.

第三篇：2函数极限的性质解读

§2 函数极限的性质

在§1中我们引入了下述六种类型的函数极限：

1）；

2）；

3）；

4）；

5）；

6）。

它们具有与数列极限相类似的一些性质，下面以第4）种类型的极限为代表来叙述并证明这些性质。

至于其他类型极限的性质及其证明，只要相应的作些修改即可。

定理3.2（唯一性）若极限 证

设与、都是

当

存在，则此极限是唯一的。

时的极限，则对任给的，分别存在正数，使得当

时有

（1）

当 时有

（2）

取，则当时，（1）式与(2)式同时成立，故有

由的任意性得。这就证明了极限是唯一的。定理3.3（局部有界性）若极限 内有界。

存在，则在某空心邻域证

设。取，则存在，使得对一切。

有

这就证明了在内有界。

定理3.4（局部保号性）若（或），存在，使得对一切

有

（或），则对任何正数

（或证 设有，这就证得结论。对于，对任何，取，则存在）。，使得对一切的情形可类似地证明。

定理3.5（保不等式性）设 内有，则

与都存在，且在某邻域。

（3）

证 设，使得当，时，则对任给的，分别存在正数与

（4）

当

时有

（5）

令，则当

时，不等式

与（4）,（5）式同时成立，于是 有式成立。，从而

。由的任意性得，即（3）定理3.6（迫敛性）设==，且在某内有

（6）

则。

证 按假设，对任给的时

（7），分别存在正数

与，使得当当时有

（8）

令，则当

时，不等式（6）、（7）、（8）式同时成立，故有，由此得，所以。定理3.7（四则运算法则）若极限数，当

与

都存在，则函 时极限也存在，且

1）=

2）=

又若，则当时极限也存在，且有

3）

这个定理的证明类似于数列极限中的相应定理，留给读者作为练习。利用函数极限的迫敛性与四则运算法则，我们可从一些简单的函数极限出发计算较复杂的函数极限。

例1求。

解 由第一章§3习题13，当 时有，而，故由迫敛性得

。另一方面，当时有，故由迫敛性又可得。

综上，我们求得。

例2 求。

解

由

及§1例4所得的

并按四则运算法则有

=

例3 求

解 当 时有。故所求极限等于。

例4

证明

证

任给（不妨设），为使

（9）

即，利用对数函数

（当

时）的严格增性，只要

于是，令成立，从而证得结论。，则当时，就有（9）式

第四篇：函数极限的性质证明

函数极限的性质证明

X1=2,Xn+1=2+1/Xn,证明Xn的极限存在，并求该极限

求极限我会

|Xn+1-A|<|Xn-A|/A

以此类推，改变数列下标可得|Xn-A|<|Xn-1-A|/A;

|Xn-1-A|<|Xn-2-A|/A;

……

|X2-A|<|X1-A|/A;

向上迭代，可以得到|Xn+1-A|<|Xn-A|/(A^n)

2只要证明{x(n)}单调增加有上界就可以了。

用数学归纳法：

①证明{x(n)}单调增加。

x(2)=√=√5>x(1);

设x(k+1)>x(k)，则

x(k+2)-x(k+1))=√-√(分子有理化)

=/【√+√】>0。

②证明{x(n)}有上界。

x(1)=1<4，设x(k)<4，则

x(k+1)=√<√(2+3*4)<4。

3当0

当0

构造函数f(x)=x*a^x(0

令t=1/a，则：t>

1、a=1/t

且，f(x)=x*(1/t)^x=x/t^x(t>1)

则：

lim(x→+∞)f(x)=lim(x→+∞)x/t^x

=lim(x→+∞)(分子分母分别求导)

=lim(x→+∞)1/(t^x*lnt)

=1/(+∞)

=0

所以，对于数列n*a^n，其极限为0

用数列极限的定义证明

3.根据数列极限的定义证明：

(1)lim=0

n→∞

(2)lim=3/2

n→∞

(3)lim=0

n→∞

(4)lim0.999…9=1

n→∞n个9

5几道数列极限的证明题，帮个忙。。Lim就省略不打了。。

n/(n^2+1)=0

√(n^2+4)/n=1

sin(1/n)=0

实质就是计算题，只不过题目把答案告诉你了，你把过程写出来就好了

第一题，分子分母都除以n，把n等于无穷带进去就行

第二题，利用海涅定理，把n换成x，原题由数列极限变成函数极限，用罗比达法则(不知楼主学了没，没学的话以后会学的)

第三题，n趋于无穷时1/n=0，sin(1/n)=0

不知楼主觉得我的解法对不对呀limn/(n^2+1)=lim(1/n)/(1+1/n^2)=lim(1/n)/(1+lim(1+n^2)=0/1=0

lim√(n^2+4)/n=lim√(1+4/n^2)=√1+lim(4/n^2)=√1+4lim(1/n^2)=1

limsin(1/n)=lim=lim(1/n)*lim/(1/n)=0*1=0

第五篇：函数极限

《数学分析》教案

第三章 函数极限

xbl

第三章 函数极限

教学目的：

1.使学生牢固地建立起函数极限的一般概念，掌握函数极限的基本性质； 2.理解并运用海涅定理与柯西准则判定某些函数极限的存在性； 3.掌握两个重要极限

和，并能熟练运用；

4.理解无穷小（大）量及其阶的概念，会利用它们求某些函数的极限。教学重（难）点：

本章的重点是函数极限的概念、性质及其计算；难点是海涅定理与柯西准则的应用。

教学时数：16学时

§ 1 函数极限概念（3学时）

教学目的：使学生建立起函数极限的准确概念；会用函数极限的定义证明函数极限等有关命题。

教学要求：使学生逐步建立起函数极限的定义的清晰概念。会应用函数极限的定义证明函数的有关命题，并能运用语言正确表述函数不以某实数为极限等相应陈述。

教学重点：函数极限的概念。

教学难点：函数极限的定义及其应用。

一、复习：数列极限的概念、性质等

二、讲授新课：

（一）时函数的极限：

《数学分析》教案

第三章 函数极限

xbl

例4 验证

例5 验证

例6 验证

证 由 =

为使

需有

需有

为使

于是, 倘限制 , 就有

例7 验证

例8 验证(类似有

（三）单侧极限:

1．定义：单侧极限的定义及记法.几何意义: 介绍半邻域

《数学分析》教案

第三章 函数极限

xbl

我们引进了六种极限:.以下以极限，为例讨论性质.均给出证明或简证.二、讲授新课：

（一）函数极限的性质: 以下性质均以定理形式给出.1.唯一性:

2.局部有界性:

3.局部保号性:

4.单调性(不等式性质):

Th 4 若使，证 设

和都有 =

(现证对 都存在, 且存在点 的空心邻域)，有

註: 若在Th 4的条件中, 改“ 就有

5.6.以

迫敛性:

”为“ 举例说明.”, 未必

四则运算性质:(只证“+”和“ ”)

（二）利用极限性质求极限： 已证明过以下几个极限：

《数学分析》教案

第三章 函数极限

xbl

例8

例9

例10 已知

求和

补充题:已知

求和（）§ 3 函数极限存在的条件（4学时）

教学目的：理解并运用海涅定理与柯西准则判定某些函数极限的存在性。教学要求：掌握海涅定理与柯西准则，领会其实质以及证明的基本思路。教学重点：海涅定理及柯西准则。教学难点：海涅定理及柯西准则 运用。

教学方法：讲授为主，辅以练习加深理解，掌握运用。本节介绍函数极限存在的两个充要条件.仍以极限

为例.一.Heine归并原则——函数极限与数列极限的关系：

Th 1 设函数在,对任何在点

且的某空心邻域

内有定义.则极限都存在且相等.(证)

存Heine归并原则反映了离散性与连续性变量之间的关系,是证明极限不存在的有力工具.对单侧极限,还可加强为

单调趋于

.参阅[1]P70.例1 证明函数极限的双逼原理.7 《数学分析》教案

第三章 函数极限

xbl

教学难点：两个重要极限的证明及运用。

教学方法：讲授定理的证明，举例说明应用，练习。一．

（证）（同理有）

例1

例2.例3

例4

例5 证明极限 不存在.二.证 对

有

例6

特别当 等.例7

例8

《数学分析》教案

第三章 函数极限

xbl

三． 等价无穷小：

Th 2(等价关系的传递性).等价无穷小在极限计算中的应用: Th 3(等价无穷小替换法则)

几组常用等价无穷小:（见[2]）

例3 时, 无穷小

与

是否等价? 例4

四.无穷大量:

1.定义:

2.性质:

性质1 同号无穷大的和是无穷大.性质2 无穷大与无穷大的积是无穷大.性质3 与无界量的关系.无穷大的阶、等价关系以及应用, 可仿无穷小讨论, 有平行的结果.3.无穷小与无穷大的关系:

无穷大的倒数是无穷小,非零无穷小的倒数是无穷大

习题 课（2学时）

一、理论概述：

《数学分析》教案

第三章 函数极限

xbl

例7.求

.注意 时, 且

.先求

由Heine归并原则

即求得所求极限

.例8 求是否存在.和.并说明极限

解;

可见极限 不存在.--32