§2函数极限的性质[大全五篇]

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第一篇:§2函数极限的性质

《数学分析》上册教案第三章函数极限武汉科技学院理学院

§2 函数极限的性质

教学章节:第三章函数极限——§2 函数极限的性质

教学目标:使学生掌握函数极限的基本性质.教学要求:掌握函数极限的基本性质:唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等.教学重点:函数极限的性质及其计算.教学难点:函数极限性质证明及其应用.教学方法:讲练结合.教学过程:

引言

在§1中我们引进了下述六种类型的函数极限:

1、limf(x);

2、limf(x);

3、limf(x);

4、limf(x);

5、limf(x);

6、limf(x).xxxxx0xx0xx0

它们具有与数列极限相类似的一些性质,下面以limf(x)为代表来叙述并证明这些性质.至

xx0

于其它类型极限的性质及其证明,只要作相应的修改即可.一、函数极限的性质

性质1(唯一性)如果xa

limf(x)xalimf(x)存在,则必定唯一.证法一设A,xalimf(x)B,则

0,10,当0|xa|1时,|f(x)A|,(1)

20,当0|xa|2时,|f(x)B|.(2)

min1,2取

因而有,则当0xa时(1)和(2)同时成立.AB(f(x)A)(f(x)B)f(x)Af(x)B2,(3)

由的任意性,(3)式只有当

AB0

时,即AB时才成立.AB

2证法二反证,如xa

0xa

limf(x)

A,xa

limf(x)B

且AB,取

0,则0,使当

时,f(x)A0,f(x)B0,即

AB2

A0f(x)B0

AB2

矛盾.性质2(局部有界性)若limf(x)存在,则f在x0的某空心邻域内有界.xx0

limf(x)A

1xx0证明取, 由 , 0, 当0xx0时, 有f(x)A1,即

f(x)Af(x)AA

1,A1

说明f(x)在U0(x0;)上有界,就是一个界.limf(x)b

xa

性质3(保序性)设,xa

limg(x)c

.0xa00

1)若bc,则0,当时有f(x)g(x);

0xa0

2)若

00,当

时有f(x)g(x),则bc.(保不等式性)

证明1)取

0

bc2

即得.2)反证,由1)即得.注若在2)的条件中, 改“f(x)g(x)”为“f(x)g(x)”,未必就有

AB.以 f(x)1x,g(x)1,x00

举例说明.推论(局部保号性)如果xa

号.limf(x)b

0xa00

且b0,则0使当时f(x)与b同

性质4(迫敛性)设limf(x)limh(x)A,且在某U0(x0;)内有f(x)g(x)h(x),xx0

xx0

则limh(x)A.xx0

证明0, 由xx

limh(x)A

limf(x)A,10,使得当0xx01时,有f(x)A,即 Af(x)A.又由

xx0,20,使得当0xx02时,有h(x)A,即Ah(x)A.令min(1,2),则当0xx0时,有Af(x)g(x)h(x)A

limg(x)A

即g(x)A,故 xx.性质6(四则运算法则)若limf(x)和limg(x)都存在,则函数fg,fg当xx0时极限

xx0

xx0

也存在,且 1)limf(x)g(x)limf(x)limg(x);2)limf(x)g(x)limf(x)limg(x).xx0

xx0

xx0

xx0

xx0

xx0

又若limg(x)0,则

xx0

fg

当xx0时极限也存在,且有 3)lim

f(x)g(x)

xx0

xx0

limf(x)

xx0

limg(x)

.3)的证明 只要证有

xx0

lim

1g(x)

B2

1B,令

0

B2

0,由

xx0

limg(x)B

B2

0xx01,10使得当时,B2

g(x)B,即

g(x)Bg(x)BB

.g(x)B

B2

0,仍然由

xx0

limg(x)B

20, 使得当0xx02时,有

.0xx0

取min(1,2),则当时,有

1g(x)

1B

g(x)Bg(x)B

2B

g(x)B

2B

B2



xx0

lim

1g(x)

1B.二、利用函数极限的性质计算某些函数的极限

利用“迫敛性”和“四则运算”,可以从一些“简单函数极限”出发,计算较复杂函数的极限.已证明过以下几个极限:

limCC,limxx0,limsinxsinx0,limcosxcosx0;

xx0

xx0

xx0

xx0

lim

1x

x

0,limarctgx

x

.(注意前四个极限中极限就是函数值)

这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,利用极限性质,特别是运算性质求极限的原理是:通过有关性质, 把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值, 即计算得所求极限.例1 求limx.x0

x

1

例2 求lim

(xtgx1).x

例3 求lim(1x1

x1

3x3

1).例4lim

5x3x73x3

2x2

5

.x

注关于x的有理分式当x时的极限.参阅[4]P37.7

例5lim

x1n

x

10利用公式x1

1

.[a1(a1)(a

n1

a

n2

a1)

].例6lim

x2x21x1

x2

x2

.例7lim

2x

3x1

x

3x5

.例8lim

xsin(2xx10)

32x

.x

例9lim

x1.x0

x1

例10已知 lim

x16A参阅[4]P69.x3

x3

B.求 A和B.作业教材P51—521-7,8(1)(2)(4)(5); 2

补充题已知lim

xAxB7.求A和B.(A

16x2

x24

B3,B

203

.)

例11lim2x2axb

0.x1x

求a和b.

2解法一

2x

axax

1x

ax

2x1x

(a1)x2

ax2

1x

b,(x).a10,a1;又 ab,b1.解法二2x2

1xaxbx  2x2ab

,xx

2x 由x且原式极限存在,

2x2xx

ab

x0,即 alim2x2b

1,blim2x2x1x.xx2xx1x

第二篇:2函数极限的性质解读

§2 函数极限的性质

在§1中我们引入了下述六种类型的函数极限:

1);

2);

3);

4);

5);

6)。

它们具有与数列极限相类似的一些性质,下面以第4)种类型的极限为代表来叙述并证明这些性质。

至于其他类型极限的性质及其证明,只要相应的作些修改即可。

定理3.2(唯一性)若极限 证

设与、都是

存在,则此极限是唯一的。

时的极限,则对任给的,分别存在正数,使得当

时有

(1)

当 时有

(2)

取,则当时,(1)式与(2)式同时成立,故有

由的任意性得。这就证明了极限是唯一的。定理3.3(局部有界性)若极限 内有界。

存在,则在某空心邻域证

设。取,则存在,使得对一切。

这就证明了在内有界。

定理3.4(局部保号性)若(或),存在,使得对一切

(或),则对任何正数

(或证 设有,这就证得结论。对于,对任何,取,则存在)。,使得对一切的情形可类似地证明。

定理3.5(保不等式性)设 内有,则

与都存在,且在某邻域。

(3)

证 设,使得当,时,则对任给的,分别存在正数与

(4)

时有

(5)

令,则当

时,不等式

与(4),(5)式同时成立,于是 有式成立。,从而

。由的任意性得,即(3)定理3.6(迫敛性)设==,且在某内有

(6)

则。

证 按假设,对任给的时

(7),分别存在正数

与,使得当当时有

(8)

令,则当

时,不等式(6)、(7)、(8)式同时成立,故有,由此得,所以。定理3.7(四则运算法则)若极限数,当

都存在,则函 时极限也存在,且

1)=

2)=

又若,则当时极限也存在,且有

3)

这个定理的证明类似于数列极限中的相应定理,留给读者作为练习。利用函数极限的迫敛性与四则运算法则,我们可从一些简单的函数极限出发计算较复杂的函数极限。

例1求。

解 由第一章§3习题13,当 时有,而,故由迫敛性得

。另一方面,当时有,故由迫敛性又可得。

综上,我们求得。

例2 求。

及§1例4所得的

并按四则运算法则有

=

例3 求

解 当 时有。故所求极限等于。

例4

证明

任给(不妨设),为使

(9)

即,利用对数函数

(当

时)的严格增性,只要

于是,令成立,从而证得结论。,则当时,就有(9)式

第三篇:函数极限的性质

§3.2 函数极限的性质

§2 函数极限的性质

Ⅰ.教学目的与要求

1.理解掌握函数极限的唯一性、局部有界性、局部保号性、保不等式性,迫敛性定理并会利用这些定理证明相关命题.2.掌握函数极限四则运算法则、迫敛性定理,会利用其求函数极限.Ⅱ.教学重点与难点:

重点: 函数极限的性质.难点: 函数极限的性质的证明及其应用.Ⅲ.讲授内容

在§1中我们引入了下述六种类型的函数极限:

1)limfx ;2)limfx;3)limfx

xxxfx;

6)limfx。4)limfx; 5)limxx0xx0xx0它们具有与数列极限相类似的一些性质,下面以第4)种类型的极限为代表来叙述并证明这些性质.至于其他类型极限的性质及其证明,只要相应地作些修改即可.定理3.2(唯一性)若极限limfx存在,则此极限是唯一的.

xx0

设,都是f当xx0时的极限,则对任给的0,分别存在正数

1与2,使得当0xx01时有

fx,(1)

当0xx02时有

fx,(2)

取min1,2,则当0xx0时,(1)式与(2)式同时成立,故有

(fx)fxfxfx2

由的任意性得,这就证明了极限是唯一的.定理3。3(局部有限性)若limfx存在,则f在x0的某空心邻域U0x0内有界.

xx0

设limfx.取1,则存在0使得对一切xU0x0;有

xx0

fx1fx1 这就证明了f在U0x0;内有界.

§3.2 函数极限的性质

定理3.4(局部保号性)若limfx0(或0),则对任何正数r(或

xx0r),存在U0x0,使得对一切xU0x0有

fxr0(或fxr0)

设0,对任何r(0,),取r,则存在0,使得对一切

xU0x0;

fxr,这就证得结论.对于0的情形可类似地证明.

在以后应用局部保号性时,常取rA.

2xx0定理3.5(保不等式性)设limfx与都limgx都存在,且在某邻域U0x0;'内

xx0有fxgx则

limfxlimgx

(3)

xx0xx0

limfx=,limgx=,则对任给的0,分别存在正数1与2使xx0xx0得当0xx01时有

fx,当0xx02 时有

gx

令min',1,2,则当0xx0时,不等式fxgx与(4)、(5)两式同时成立,于是有

fxgx

从而2.由的任意性推出,即(3)式成立.

定理3.6(迫敛性)设limfx=limgx=A,且在某U0x0;'内有

xx0xx0

fx则limhx.

xx0hxgx

按假设,对任给的0,分别存在正数1与2,使得当 0xx01时有,§3.2 函数极限的性质

fx

(7)

当0xx02时有

gx

(8)

令min,1,2,则当0xx0时,不等式(6)、(7)、(8)同时成立,故有

fxhxgx 由此得hx,所以limhx

xx0'

定理3.7(四则运算法则)若极限limfx与limgx都存在,则函数

xx0xx0fg,fg当xx0时极限也存在,且

1)limfxgxlimfxlimgx;

xx0xx0xx02)limfxgxxx0xx0limfx.limgx;

xx0 又若limgx0,则f|g当xx0时极限存在,且有

xx03)limxx0fxgxxx0limfxlimgx.

xx0

这个定理的证明类似于数列极限中的相应定理,留给学生作为练习.

利用函数极限的迫敛性与四则运算法则,我们可从一些简单的函数极限出发,计算较复杂的函数极限.

例 1求limxx0x解

当x0时有

1xx1,x1

11x1故由迫敛性得:

xlim

而limx=1

0x0x另一方面,当x0有1x1x,故又由迫敛性又可得:

lim x1 

x0

xx综上,我们求得lim x1

x0x

1111§3.2 函数极限的性质

例 2求limxtanx1x

4解由xtanxxsinx及§1例4所得的,cosxsixnsin

limx442limcoxs,2x4并按四则运算法则有

limsinxxtanx1=limx

limxx

44x4limcosx

x

1=limx41 44例 3求lim313.

x1x1x1解 当x10时有

x1x2x

2133x1x1x31x2x1故所求的极限等于

x2121 2x1x2x1111lim例4

证明lima1a1 xx0

任给0(不妨设1),为使

x

a1

(9)

即1a1,利用对数函数loga

loga1xloga1 于是,令

x(当a1时)的严格增性,只要

minloga1,loga1,则当0x时,就有(9)式成立,从而证得结论.

Ⅳ 小结与提问:本节要求学生理解掌握函数极限的性质,并利用其讨论相关命题.指导学生对定理的应用作总结.Ⅴ 课外作业: P51 2、3、5、7、8、9.

第四篇:函数极限的性质

§3.2 函数极限的性质

§2函数极限的性质

Ⅰ.教学目的与要求

1.理解掌握函数极限的唯一性、局部有界性、局部保号性、保不等式性,迫敛性定理并会利用这些定理证明相关命题.2.掌握函数极限四则运算法则、迫敛性定理,会利用其求函数极限.Ⅱ.教学重点与难点:

重点: 函数极限的性质.难点: 函数极限的性质的证明及其应用.Ⅲ.讲授内容

在§1中我们引入了下述六种类型的函数极限:

1)limfx ;2)limfx;3)limfxxxx

fx;6)limfx。4)limfx; 5)limxx0xx0xx0

它们具有与数列极限相类似的一些性质,下面以第4)种类型的极限为代表来叙述并证明这些性质.至于其他类型极限的性质及其证明,只要相应地作些修改即可.定理3.2(唯一性)若极限limfx存在,则此极限是唯一的. xx0

证设,都是f当xx0时的极限,则对任给的0,分别存在正数

1与2,使得当0xx01时有

fx,(1)当0xx02时有

fx,(2)

取min1,2,则当0xx0时,(1)式与(2)式同时成立,故有

(fx)fxfxfx2

由的任意性得,这就证明了极限是唯一的.定理3。3(局部有限性)若limfx存在,则f在x0的某空心邻域U0x0内有界. xx0

证设limfx.取1,则存在0使得对一切xU0x0;有 xx0

fx1fx1

这就证明了f在U0x0;内有界.

定理3.4(局部保号性)若limfx0(或0),则对任何正数r(或xx0

r),存在U0x0,使得对一切xU0x0有

fxr0(或fxr0)

证设0,对任何r(0,),取r,则存在0,使得对一切

xU0x0;

fxr,这就证得结论.对于0的情形可类似地证明.

注在以后应用局部保号性时,常取rA.2

xx0定理3.5(保不等式性)设limfx与都limgx都存在,且在某邻域U0x0;'内xx0

有fxgx则

limfxlimgx(3)xx0xx0

证设limfx=,limgx=,则对任给的0,分别存在正数1与2使xx0xx0

得当0xx01时有

fx,当0xx02 时有

gx

令min',1,2,则当0xx0时,不等式fxgx与(4)、(5)两式同时成立,于是有

fxgx

从而2.由的任意性推出,即(3)式成立.

定理3.6(迫敛性)设limfx=limgx=A,且在某U0x0;'内有 xx0xx0

fx

则limhx. xx0hxgx

证按假设,对任给的0,分别存在正数1与2,使得当0xx01时有,2fx(7)当0xx02时有

gx(8)令min,1,2,则当0xx0时,不等式(6)、(7)、(8)同时成立,故有

fxhxgx

由此得hx,所以limhx xx0'

定理3.7(四则运算法则)若极限limfx与limgx都存在,则函数 xx0xx0

fg,fg当xx0时极限也存在,且

1)limfxgxlimfxlimgx; xx0xx0xx0

2)limfxgxxx0xx0limfx.limgx; xx0

又若limgx0,则f|g当xx0时极限存在,且有 xx0

3)limxx0fxgxxx0limfxlimgx. xx0

这个定理的证明类似于数列极限中的相应定理,留给学生作为练习.

利用函数极限的迫敛性与四则运算法则,我们可从一些简单的函数极限出发,计算较复杂的函数极限.

例 1求limxx0x

解当x0时有

1xx1,x1 1

1x1故由迫敛性得:xlim而limx=1 0x0x

另一方面,当x0有1x1x,故又由迫敛性又可得:lim x1 x0xx

综上,我们求得lim x1 x0x1111

例 2求limxtanx1

x

解由xtanxxsinx及§1例4所得的,cosx

sixnsilim

x442limcoxs,2x4

并按四则运算法则有

limsinx

xtanx1=limxlim

xx44x

4limcosxx1=limx41

4例 3求lim313. x1x1x1

解 当x10时有

x1x2x2133x1x1x31x2x1

故所求的极限等于

x2121 2x1x2x1111lim

例4证明lima1a1 x

x0

证任给0(不妨设1),为使

xa1(9)

即1a1,利用对数函数loga

loga1xloga1

于是,令x(当a1时)的严格增性,只要 minloga1,loga1,则当0x时,就有(9)式成立,从而证得结论.

Ⅳ 小结与提问:本节要求学生理解掌握函数极限的性质,并利用其讨论相关命题.指导学生对定理的应用作总结.Ⅴ 课外作业: P51 2、3、5、7、8、9.

第五篇:2 函数极限的性质(小编推荐)

§2 函数极限的性质

在§1中我们引入了下述六种类型的函数极限:

1);2);3);

4);5);6)。

它们具有与数列极限相类似的一些性质,下面以第4)种类型的极限为代表来叙述并证明这些性质。

至于其他类型极限的性质及其证明,只要相应的作些修改即可。

定理3.2(唯一性)若极限

证设与、都是当 存在,则此极限是唯一的。时的极限,则对任给的,分别存在正数,使得当

时有

(1)

时有

(2)取,则当时,(1)式与(2)式同时成立,故有

由的任意性得。这就证明了极限是唯一的。

定理3.3(局部有界性)若极限

内有界。存在,则在某空心邻域

证设

。取,则存在,使得对一切。

这就证明了在内有界。

定理3.4(局部保号性)若(或),存在,使得对一切

(或),则对任何正数

(或

证 设

有,这就证得结论。对于,对任何,取,则存在)。,使得对一切的情形可类似地证明。

定理3.5(保不等式性)设

内有,则

都存在,且在某邻域

。(3)

证 设,使得当,时,则对任给的,分别存在正数与

(4)

时有

(5)

令,则当

时,不等式

与(4),(5)式同时成立,于是

有式成立。,从而

。由的任意性得,即(3)

定理3.6(迫敛性)设==,且在某内有

(6)

则。

证 按假设,对任给的,分别存在正数

与,使得当

(7)

时有

(8)

式同时成立,故有,则当

时,不等式(6)、(7)、(8),由此得,所以。

定理3.7(四则运算法则)若极限,当

都存在,则函数

时极限也存在,且

1)

=

2)

=

又若,则当时极限也存在,且有)

这个定理的证明类似于数列极限中的相应定理,留给读者作为练习。利用函数极限的迫敛性与四则运算法则,我们可从一些简单的函数极限出发计算较复杂的函数极限。

例1求。

解 由第一章§3习题13,当 时有,而,故由迫敛性得。

另一方面,当时有,故由迫敛性又可得。

综上,我们求得。

例2 求。

解由

及§1例4所得的并按四则运算法则有

=

例3 求

解 当 时有。

故所求极限等于。

例4证明证任给

(不妨设),为使

(9)

即,利用对数函数

(当

时)的严格增性,只要

于是,令

成立,从而证得结论。,则当时,就有(9)式

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