第一篇:§2函数极限的性质
《数学分析》上册教案第三章函数极限武汉科技学院理学院
§2 函数极限的性质
教学章节:第三章函数极限——§2 函数极限的性质
教学目标:使学生掌握函数极限的基本性质.教学要求:掌握函数极限的基本性质:唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等.教学重点:函数极限的性质及其计算.教学难点:函数极限性质证明及其应用.教学方法:讲练结合.教学过程:
引言
在§1中我们引进了下述六种类型的函数极限:
1、limf(x);
2、limf(x);
3、limf(x);
4、limf(x);
5、limf(x);
6、limf(x).xxxxx0xx0xx0
它们具有与数列极限相类似的一些性质,下面以limf(x)为代表来叙述并证明这些性质.至
xx0
于其它类型极限的性质及其证明,只要作相应的修改即可.一、函数极限的性质
性质1(唯一性)如果xa
limf(x)xalimf(x)存在,则必定唯一.证法一设A,xalimf(x)B,则
0,10,当0|xa|1时,|f(x)A|,(1)
20,当0|xa|2时,|f(x)B|.(2)
min1,2取
因而有,则当0xa时(1)和(2)同时成立.AB(f(x)A)(f(x)B)f(x)Af(x)B2,(3)
由的任意性,(3)式只有当
AB0
时,即AB时才成立.AB
2证法二反证,如xa
0xa
limf(x)
A,xa
limf(x)B
且AB,取
0,则0,使当
时,f(x)A0,f(x)B0,即
AB2
A0f(x)B0
AB2
矛盾.性质2(局部有界性)若limf(x)存在,则f在x0的某空心邻域内有界.xx0
limf(x)A
1xx0证明取, 由 , 0, 当0xx0时, 有f(x)A1,即
f(x)Af(x)AA
1,A1
说明f(x)在U0(x0;)上有界,就是一个界.limf(x)b
xa
性质3(保序性)设,xa
limg(x)c
.0xa00
1)若bc,则0,当时有f(x)g(x);
0xa0
2)若
00,当
时有f(x)g(x),则bc.(保不等式性)
证明1)取
0
bc2
即得.2)反证,由1)即得.注若在2)的条件中, 改“f(x)g(x)”为“f(x)g(x)”,未必就有
AB.以 f(x)1x,g(x)1,x00
举例说明.推论(局部保号性)如果xa
号.limf(x)b
0xa00
且b0,则0使当时f(x)与b同
性质4(迫敛性)设limf(x)limh(x)A,且在某U0(x0;)内有f(x)g(x)h(x),xx0
xx0
则limh(x)A.xx0
证明0, 由xx
limh(x)A
limf(x)A,10,使得当0xx01时,有f(x)A,即 Af(x)A.又由
xx0,20,使得当0xx02时,有h(x)A,即Ah(x)A.令min(1,2),则当0xx0时,有Af(x)g(x)h(x)A
limg(x)A
即g(x)A,故 xx.性质6(四则运算法则)若limf(x)和limg(x)都存在,则函数fg,fg当xx0时极限
xx0
xx0
也存在,且 1)limf(x)g(x)limf(x)limg(x);2)limf(x)g(x)limf(x)limg(x).xx0
xx0
xx0
xx0
xx0
xx0
又若limg(x)0,则
xx0
fg
当xx0时极限也存在,且有 3)lim
f(x)g(x)
xx0
xx0
limf(x)
xx0
limg(x)
.3)的证明 只要证有
xx0
lim
1g(x)
B2
1B,令
0
B2
0,由
xx0
limg(x)B
B2
0xx01,10使得当时,B2
g(x)B,即
g(x)Bg(x)BB
.g(x)B
B2
0,仍然由
xx0
limg(x)B
20, 使得当0xx02时,有
.0xx0
取min(1,2),则当时,有
1g(x)
1B
g(x)Bg(x)B
2B
g(x)B
2B
B2
即
xx0
lim
1g(x)
1B.二、利用函数极限的性质计算某些函数的极限
利用“迫敛性”和“四则运算”,可以从一些“简单函数极限”出发,计算较复杂函数的极限.已证明过以下几个极限:
limCC,limxx0,limsinxsinx0,limcosxcosx0;
xx0
xx0
xx0
xx0
lim
1x
x
0,limarctgx
x
.(注意前四个极限中极限就是函数值)
这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,利用极限性质,特别是运算性质求极限的原理是:通过有关性质, 把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值, 即计算得所求极限.例1 求limx.x0
x
1
例2 求lim
(xtgx1).x
例3 求lim(1x1
x1
3x3
1).例4lim
5x3x73x3
2x2
5
.x
注关于x的有理分式当x时的极限.参阅[4]P37.7
例5lim
x1n
x
10利用公式x1
1
.[a1(a1)(a
n1
a
n2
a1)
].例6lim
x2x21x1
x2
x2
.例7lim
2x
3x1
x
3x5
.例8lim
xsin(2xx10)
32x
.x
例9lim
x1.x0
x1
例10已知 lim
x16A参阅[4]P69.x3
x3
B.求 A和B.作业教材P51—521-7,8(1)(2)(4)(5); 2
补充题已知lim
xAxB7.求A和B.(A
16x2
x24
B3,B
203
.)
例11lim2x2axb
0.x1x
求a和b.
2解法一
2x
axax
1x
ax
2x1x
(a1)x2
ax2
1x
b,(x).a10,a1;又 ab,b1.解法二2x2
1xaxbx 2x2ab
,xx
2x 由x且原式极限存在,
2x2xx
ab
x0,即 alim2x2b
1,blim2x2x1x.xx2xx1x
第二篇:2函数极限的性质解读
§2 函数极限的性质
在§1中我们引入了下述六种类型的函数极限:
1);
2);
3);
4);
5);
6)。
它们具有与数列极限相类似的一些性质,下面以第4)种类型的极限为代表来叙述并证明这些性质。
至于其他类型极限的性质及其证明,只要相应的作些修改即可。
定理3.2(唯一性)若极限 证
设与、都是
当
存在,则此极限是唯一的。
时的极限,则对任给的,分别存在正数,使得当
时有
(1)
当 时有
(2)
取,则当时,(1)式与(2)式同时成立,故有
由的任意性得。这就证明了极限是唯一的。定理3.3(局部有界性)若极限 内有界。
存在,则在某空心邻域证
设。取,则存在,使得对一切。
有
这就证明了在内有界。
定理3.4(局部保号性)若(或),存在,使得对一切
有
(或),则对任何正数
(或证 设有,这就证得结论。对于,对任何,取,则存在)。,使得对一切的情形可类似地证明。
定理3.5(保不等式性)设 内有,则
与都存在,且在某邻域。
(3)
证 设,使得当,时,则对任给的,分别存在正数与
(4)
当
时有
(5)
令,则当
时,不等式
与(4),(5)式同时成立,于是 有式成立。,从而
。由的任意性得,即(3)定理3.6(迫敛性)设==,且在某内有
(6)
则。
证 按假设,对任给的时
(7),分别存在正数
与,使得当当时有
(8)
令,则当
时,不等式(6)、(7)、(8)式同时成立,故有,由此得,所以。定理3.7(四则运算法则)若极限数,当
与
都存在,则函 时极限也存在,且
1)=
2)=
又若,则当时极限也存在,且有
3)
这个定理的证明类似于数列极限中的相应定理,留给读者作为练习。利用函数极限的迫敛性与四则运算法则,我们可从一些简单的函数极限出发计算较复杂的函数极限。
例1求。
解 由第一章§3习题13,当 时有,而,故由迫敛性得
。另一方面,当时有,故由迫敛性又可得。
综上,我们求得。
例2 求。
解
由
及§1例4所得的
并按四则运算法则有
=
例3 求
解 当 时有。故所求极限等于。
例4
证明
证
任给(不妨设),为使
(9)
即,利用对数函数
(当
时)的严格增性,只要
于是,令成立,从而证得结论。,则当时,就有(9)式
第三篇:函数极限的性质
§3.2 函数极限的性质
§2 函数极限的性质
Ⅰ.教学目的与要求
1.理解掌握函数极限的唯一性、局部有界性、局部保号性、保不等式性,迫敛性定理并会利用这些定理证明相关命题.2.掌握函数极限四则运算法则、迫敛性定理,会利用其求函数极限.Ⅱ.教学重点与难点:
重点: 函数极限的性质.难点: 函数极限的性质的证明及其应用.Ⅲ.讲授内容
在§1中我们引入了下述六种类型的函数极限:
1)limfx ;2)limfx;3)limfx
xxxfx;
6)limfx。4)limfx; 5)limxx0xx0xx0它们具有与数列极限相类似的一些性质,下面以第4)种类型的极限为代表来叙述并证明这些性质.至于其他类型极限的性质及其证明,只要相应地作些修改即可.定理3.2(唯一性)若极限limfx存在,则此极限是唯一的.
xx0
证
设,都是f当xx0时的极限,则对任给的0,分别存在正数
1与2,使得当0xx01时有
fx,(1)
当0xx02时有
fx,(2)
取min1,2,则当0xx0时,(1)式与(2)式同时成立,故有
(fx)fxfxfx2
由的任意性得,这就证明了极限是唯一的.定理3。3(局部有限性)若limfx存在,则f在x0的某空心邻域U0x0内有界.
xx0
证
设limfx.取1,则存在0使得对一切xU0x0;有
xx0
fx1fx1 这就证明了f在U0x0;内有界.
§3.2 函数极限的性质
定理3.4(局部保号性)若limfx0(或0),则对任何正数r(或
xx0r),存在U0x0,使得对一切xU0x0有
fxr0(或fxr0)
证
设0,对任何r(0,),取r,则存在0,使得对一切
xU0x0;
fxr,这就证得结论.对于0的情形可类似地证明.
注
在以后应用局部保号性时,常取rA.
2xx0定理3.5(保不等式性)设limfx与都limgx都存在,且在某邻域U0x0;'内
xx0有fxgx则
limfxlimgx
(3)
xx0xx0
证
设
limfx=,limgx=,则对任给的0,分别存在正数1与2使xx0xx0得当0xx01时有
fx,当0xx02 时有
gx
令min',1,2,则当0xx0时,不等式fxgx与(4)、(5)两式同时成立,于是有
fxgx
从而2.由的任意性推出,即(3)式成立.
定理3.6(迫敛性)设limfx=limgx=A,且在某U0x0;'内有
xx0xx0
fx则limhx.
xx0hxgx
证
按假设,对任给的0,分别存在正数1与2,使得当 0xx01时有,§3.2 函数极限的性质
fx
(7)
当0xx02时有
gx
(8)
令min,1,2,则当0xx0时,不等式(6)、(7)、(8)同时成立,故有
fxhxgx 由此得hx,所以limhx
xx0'
定理3.7(四则运算法则)若极限limfx与limgx都存在,则函数
xx0xx0fg,fg当xx0时极限也存在,且
1)limfxgxlimfxlimgx;
xx0xx0xx02)limfxgxxx0xx0limfx.limgx;
xx0 又若limgx0,则f|g当xx0时极限存在,且有
xx03)limxx0fxgxxx0limfxlimgx.
xx0
这个定理的证明类似于数列极限中的相应定理,留给学生作为练习.
利用函数极限的迫敛性与四则运算法则,我们可从一些简单的函数极限出发,计算较复杂的函数极限.
例 1求limxx0x解
当x0时有
1xx1,x1
11x1故由迫敛性得:
xlim
而limx=1
0x0x另一方面,当x0有1x1x,故又由迫敛性又可得:
lim x1
x0
xx综上,我们求得lim x1
x0x
1111§3.2 函数极限的性质
例 2求limxtanx1x
4解由xtanxxsinx及§1例4所得的,cosxsixnsin
limx442limcoxs,2x4并按四则运算法则有
limsinxxtanx1=limx
limxx
44x4limcosx
x
1=limx41 44例 3求lim313.
x1x1x1解 当x10时有
x1x2x
2133x1x1x31x2x1故所求的极限等于
x2121 2x1x2x1111lim例4
证明lima1a1 xx0
证
任给0(不妨设1),为使
x
a1
(9)
即1a1,利用对数函数loga
loga1xloga1 于是,令
x(当a1时)的严格增性,只要
minloga1,loga1,则当0x时,就有(9)式成立,从而证得结论.
Ⅳ 小结与提问:本节要求学生理解掌握函数极限的性质,并利用其讨论相关命题.指导学生对定理的应用作总结.Ⅴ 课外作业: P51 2、3、5、7、8、9.
第四篇:函数极限的性质
§3.2 函数极限的性质
§2函数极限的性质
Ⅰ.教学目的与要求
1.理解掌握函数极限的唯一性、局部有界性、局部保号性、保不等式性,迫敛性定理并会利用这些定理证明相关命题.2.掌握函数极限四则运算法则、迫敛性定理,会利用其求函数极限.Ⅱ.教学重点与难点:
重点: 函数极限的性质.难点: 函数极限的性质的证明及其应用.Ⅲ.讲授内容
在§1中我们引入了下述六种类型的函数极限:
1)limfx ;2)limfx;3)limfxxxx
fx;6)limfx。4)limfx; 5)limxx0xx0xx0
它们具有与数列极限相类似的一些性质,下面以第4)种类型的极限为代表来叙述并证明这些性质.至于其他类型极限的性质及其证明,只要相应地作些修改即可.定理3.2(唯一性)若极限limfx存在,则此极限是唯一的. xx0
证设,都是f当xx0时的极限,则对任给的0,分别存在正数
1与2,使得当0xx01时有
fx,(1)当0xx02时有
fx,(2)
取min1,2,则当0xx0时,(1)式与(2)式同时成立,故有
(fx)fxfxfx2
由的任意性得,这就证明了极限是唯一的.定理3。3(局部有限性)若limfx存在,则f在x0的某空心邻域U0x0内有界. xx0
证设limfx.取1,则存在0使得对一切xU0x0;有 xx0
fx1fx1
这就证明了f在U0x0;内有界.
定理3.4(局部保号性)若limfx0(或0),则对任何正数r(或xx0
r),存在U0x0,使得对一切xU0x0有
fxr0(或fxr0)
证设0,对任何r(0,),取r,则存在0,使得对一切
xU0x0;
fxr,这就证得结论.对于0的情形可类似地证明.
注在以后应用局部保号性时,常取rA.2
xx0定理3.5(保不等式性)设limfx与都limgx都存在,且在某邻域U0x0;'内xx0
有fxgx则
limfxlimgx(3)xx0xx0
证设limfx=,limgx=,则对任给的0,分别存在正数1与2使xx0xx0
得当0xx01时有
fx,当0xx02 时有
gx
令min',1,2,则当0xx0时,不等式fxgx与(4)、(5)两式同时成立,于是有
fxgx
从而2.由的任意性推出,即(3)式成立.
定理3.6(迫敛性)设limfx=limgx=A,且在某U0x0;'内有 xx0xx0
fx
则limhx. xx0hxgx
证按假设,对任给的0,分别存在正数1与2,使得当0xx01时有,2fx(7)当0xx02时有
gx(8)令min,1,2,则当0xx0时,不等式(6)、(7)、(8)同时成立,故有
fxhxgx
由此得hx,所以limhx xx0'
定理3.7(四则运算法则)若极限limfx与limgx都存在,则函数 xx0xx0
fg,fg当xx0时极限也存在,且
1)limfxgxlimfxlimgx; xx0xx0xx0
2)limfxgxxx0xx0limfx.limgx; xx0
又若limgx0,则f|g当xx0时极限存在,且有 xx0
3)limxx0fxgxxx0limfxlimgx. xx0
这个定理的证明类似于数列极限中的相应定理,留给学生作为练习.
利用函数极限的迫敛性与四则运算法则,我们可从一些简单的函数极限出发,计算较复杂的函数极限.
例 1求limxx0x
解当x0时有
1xx1,x1 1
1x1故由迫敛性得:xlim而limx=1 0x0x
另一方面,当x0有1x1x,故又由迫敛性又可得:lim x1 x0xx
综上,我们求得lim x1 x0x1111
例 2求limxtanx1
x
解由xtanxxsinx及§1例4所得的,cosx
sixnsilim
x442limcoxs,2x4
并按四则运算法则有
limsinx
xtanx1=limxlim
xx44x
4limcosxx1=limx41
4例 3求lim313. x1x1x1
解 当x10时有
x1x2x2133x1x1x31x2x1
故所求的极限等于
x2121 2x1x2x1111lim
例4证明lima1a1 x
x0
证任给0(不妨设1),为使
xa1(9)
即1a1,利用对数函数loga
loga1xloga1
于是,令x(当a1时)的严格增性,只要 minloga1,loga1,则当0x时,就有(9)式成立,从而证得结论.
Ⅳ 小结与提问:本节要求学生理解掌握函数极限的性质,并利用其讨论相关命题.指导学生对定理的应用作总结.Ⅴ 课外作业: P51 2、3、5、7、8、9.
第五篇:2 函数极限的性质(小编推荐)
§2 函数极限的性质
在§1中我们引入了下述六种类型的函数极限:
1);2);3);
4);5);6)。
它们具有与数列极限相类似的一些性质,下面以第4)种类型的极限为代表来叙述并证明这些性质。
至于其他类型极限的性质及其证明,只要相应的作些修改即可。
定理3.2(唯一性)若极限
证设与、都是当 存在,则此极限是唯一的。时的极限,则对任给的,分别存在正数,使得当
时有
(1)
当
时有
(2)取,则当时,(1)式与(2)式同时成立,故有
由的任意性得。这就证明了极限是唯一的。
定理3.3(局部有界性)若极限
内有界。存在,则在某空心邻域
证设
。取,则存在,使得对一切。
有
这就证明了在内有界。
定理3.4(局部保号性)若(或),存在,使得对一切
有
(或),则对任何正数
(或
证 设
有,这就证得结论。对于,对任何,取,则存在)。,使得对一切的情形可类似地证明。
定理3.5(保不等式性)设
内有,则
与
都存在,且在某邻域
。(3)
证 设,使得当,时,则对任给的,分别存在正数与
(4)
当
时有
(5)
令,则当
时,不等式
与(4),(5)式同时成立,于是
有式成立。,从而
。由的任意性得,即(3)
定理3.6(迫敛性)设==,且在某内有
(6)
则。
证 按假设,对任给的,分别存在正数
与,使得当
时
(7)
当
时有
(8)
令
式同时成立,故有,则当
时,不等式(6)、(7)、(8),由此得,所以。
定理3.7(四则运算法则)若极限,当
与
都存在,则函数
时极限也存在,且
1)
=
2)
=
又若,则当时极限也存在,且有)
这个定理的证明类似于数列极限中的相应定理,留给读者作为练习。利用函数极限的迫敛性与四则运算法则,我们可从一些简单的函数极限出发计算较复杂的函数极限。
例1求。
解 由第一章§3习题13,当 时有,而,故由迫敛性得。
另一方面,当时有,故由迫敛性又可得。
综上,我们求得。
例2 求。
解由
及§1例4所得的并按四则运算法则有
=
例3 求
解 当 时有。
故所求极限等于。
例4证明证任给
(不妨设),为使
(9)
即,利用对数函数
(当
时)的严格增性,只要
于是,令
成立,从而证得结论。,则当时,就有(9)式