2、函数的图像与性质

第一篇：2、函数的图像与性质

高考必备：

二、函数的图像和性质

要点强记

思想方法：

1、函数与方程的思想：若问题中含有解析式，应考虑使用函数的图像和性质解决问题，若不含解析式，可构造函数，再用函数的图象和性质解题。

2、形结合的思想：把数量关系的问题转化为图形的性质问题来研究，或者把图形问题转化为数量关系问题来处理，数形结合的思想在解选择、填空题具有得天独厚的优势。

3、等价转化的思想：等价转化要求转化前后互为充要条件。

4、分类讨论思想：当问题不能进行统一，则应分类研究。

常规方法

1、定义域：定义域分默认型（式子有意义）、实际型（由实际有意义定）、规定型（无条件规定）。求函数表达式时务必写出定义域。对于复合函数，如：已知fgx的表达式，求此时关于x定义域就是gx的值域；已知fx的表达式，求fgx的fx表达式，表达式，此时关于x定义域就是使得gx的值域为fx的定义域的全体x的取值。

2、值域：函数的最值问题是函数各种性质的综合反映，求函数的值域和最值的常用方法有常数分离法（一次分式法）、配方法（二次函数）、换元法（包括三角换元）、判别式法（二次分式函数）、单调法、，利用重要不等式、导数法、图象法，利用几何意义等。

3、解析式：求解析式的方法有换元法和配凑法两种，近几年分段函数是高考的热点。

4、函数的图像：有些函数虽然不能画出其正确的图像，但是我们可以通过对导函数的研究，画出原函数的图像走向，这样我们仍然可以求出函数的极值、最值等。

5、奇偶性：判断函数的奇偶性应从两方面考虑，即定义域和判别恒等式。奇偶性的应用主要是通过局部看整体。

奇函数若在x=0处有定义，则f00。

6、单调性：①求单调区间时，必须先挖定义域，常用的方法有：定义法、导数法、图象法、复合函数单调性质和利用重要不等式法。②作为单调性的应用，主要有：比大小，求最值，求值域。③有了导数这一工具后，给求函数的单调性带来了极大的方便。

7、周期性：①判断函数的周期性应从两方面考虑，即定义域和判别恒等式；②周期性的应用是通过局部看整体。

8、对称性：有两种对称，关于点对称和关于直线对称。若求对称后的曲线（与原曲线不同）的方程，通常利用间接法（转移法）。若要证明曲线自身关于点或直线对称，通常是先设曲线上一点，再求出对称点，然后证明对称后的点也的在曲线上。

9、抽象函数的性质：①若fxfx,则函数图像关于y轴对称；②若fxfx,则函数图像关于原点对称；③若fxafbx,则函数图像关于x④若fab对称；2xafab,0对称；⑤若bx函数图像关于点,则

2fxaf⑥若fxafxb,则函数还是周期xb,则函数为周期函数。函数。

10、抽象函数解题策略：①利用函数的单调性，作等价转化，最后脱离函数符号f；②利用函数的对称性，通过数形结合，使抽象函数具体化；③利用函数的周期性，以点推面，回归已知；④合理赋值，构造方程，解出抽象函数的表达式。

11、图像的变换：常见的变换有平移、放缩、对称，这些变换可以用间接法求之，要学会用向量法解决平移问题。另外还要掌握yfx的图像与yfx,yfx,yfx,y|fx|,yf1x,yf'x之间的关系。

特别警示

1、研究函数的性质，要注意先确定函数的定义域，如奇函数的必要条件是定义域关于原点对称。

2、函数的单调性是对某一个区间而言的。如函数f(x)在（-1，0）上是增函数，在（0，1）上是增函数，但在

（-1，0）∪（0，1）上却不一定是增函数。

3、在反函数的运算中，要注意yfx1与yf反函数是

1x1不是互为反函数；yfx1的yf1x1；yf1x1是函数yf1x中自变量x换为x1的结果。

第二篇：正切函数的性质与图像教案

1．4．3 正切函数的性质和图像

一、教学目标

1.用单位圆中的正切线作正切函数的图象；2.用正切函数图象解决函数有关的性质；

二、课时 1课时

三、教学重点 正切函数的性质与图象的简单应用.四、教学难点 正切函数性质的深刻理解及其简单应用.五、教具

多媒体、实物投影仪

六、教学过程 导入新课

思路1.(直接导入)常见的三角函数还有正切函数,前面我们研究了正、余弦函数的图象和性质,你能否根据研究正弦函数、余弦函数的图象与性质的经验,以同样的方法研究正切函数的图象与性质？由此展开新课.思路2.先由图象开始,让学生先画正切线,然后类比正弦、余弦函数的几何作图法来画出正切函数的图象.这也是一种不错的选择,这是传统的导入法.推进新课 新知探究 提出问题

①我们通过画正弦、余弦函数图象探究了正弦、余弦函数的性质.正切函数是我们高中要学习的最后一个基本初等函数.你能运用类比的方法先探究出正切函数的性质吗？都研究函数的哪几个方面的性质？②我们学习了正弦线、余弦线、正切线.你能画出四个象限的正切线吗？③我们知道作周期函数的图象一般是先作出长度为一个周期的区间上的图象,然后向左、右扩展,这样就可以得到它在整个定义域上的图象.那么我们先选哪一个区间来研究正切函数呢？为什么？④我们用“五点法”能简捷地画出正弦、余弦函数的简图,你能画出正切函数的简图吗？

你能类比“五点法”也用几个字总结出作正切简图的方法吗？

活动:问题①,教师先引导学生回忆:正弦、余弦函数的性质是从定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性这几个方面来研究的,有了这些知识准备,然后点拨学生也从这几个方面来探究正切函数的性质.由于还没有作出正切函数图象,教师指导学生充分利用正切线的直观性.(1)周期性 由诱导公式tan(x+π)=tanx,x∈R,x≠

+kπ,k∈Z

2可知,正切函数是周期函数,周期是π.这里可通过多媒体课件演示,让学生观察由角的变化引起正切线的变化的周期性,直观理解正切函数的周期性,后面的正切函数图象作出以后,还可从图象上观察正切函数的这一周期性.(2)奇偶性 由诱导公式 tan(-x)=-tanx,x∈R,x≠

+kπ,k∈Z 2

可知,正切函数是奇函数,所以它的图象关于原点对称.教师可进一步引导学生通过图象还能发现对称点吗？与正余弦函数相对照,学生会发现正切函数也是中心对称函数,它的对称中心是(k,0)k∈Z.2(3)单调性

通过多媒体课件演示,由正切线的变化规律可以得出,正切函数在(又由正切函数的周期性可知,正切函数在开区间(22,)内是增函数,2+kπ,+kπ),k∈Z内都是增函数.2(4)定义域

根据正切函数的定义tanα=

y,显然,当角α的终边落在y轴上任意一点时,都有x=0,这时x正切函数是没有意义的；又因为终边落在y轴上的所有角可表示为kπ+数的定义域是{α|α≠kπ+

,k∈Z,所以正切函2,k∈Z},而不是{α≠+2kπ,k∈Z},这个问题不少初学者很不理解,在22解题时又很容易出错,教师应提醒学生注意这点,深刻明了其内涵本质.(5)值域

由多媒体课件演示正切线的变化规律,从正切线知,当x大于切线AT向Oy轴的负方向无限延伸;当x小于向无限延伸.因此,tanx在(2且无限接近2时,正

且无限接近时,正切线AT向Oy轴的正方2222,)内可以取任意实数,但没有最大值、最小值.因此,正切函数的值域是实数集R.问题②,教师引导学生作出正切线,并观察它的变化规律,如图1.图1

问题③,正切函数图象选用哪个区间作为代表区间更加自然呢？教师引导学生在课堂上展开充分讨论,这也体现了“教师为主导,学生为主体”的新课改理念.有的学生可能选取了［0,π］作为正切函数的周期选取,这正是学生作图的真实性的体现.此时,教师应调整计划,把课件中先作出［-,］内的图象,改为先作出［0,π］内的图象,再进行图象的平移,得到整22,)的图象为好.22+kπ(k∈Z)2个定义域内函数的图象,让学生观察思考.最后由学生来判断究竟选用哪个区间段内的函数图象既简单又能完全体现正切函数的性质,让学生通过分析得到先作区间(-这时条件成熟,教师引导学生来作正切函数的图象,如图2.根据正切函数的周期性,把图2向左、右扩展,得到正切函数y=tanx,x∈R,且x≠的图象,我们称正切曲线,如图3.图2

图3

问题④,教师引导学生观察正切曲线,点拨学生讨论思考,只需确定哪些点或线就能画出函数y=tanx,x∈(22,)的简图.学生可看出有三个点很关键:(4,-1),(0,0),（,1),还有两4条竖线.因此,画正切函数简图的方法就是:先描三点(x=4,-1),(0,0),（,1),再画两条平行线42,x=,然后连线.教师要让学生动手画一画,这对今后解题很有帮助.2讨论结果:①略.②正切线是AT.③略.④能,“三点两线”法.提出问题

①请同学们认真观察正切函数的图象特征,由数及形从正切函数的图象讨论它的性质.②设问:每个区间都是增函数,我们可以说正切函数在整个定义域内是增函数吗？请举一个例子.活动:问题①,从图中可以看出,正切曲线是被相互平行的直线x=

+kπ,k∈Z所隔开的无2穷多支曲线组成的.教师引导学生进一步思考,这点反应了它的哪一性质——定义域；并且函数图象在每个区间都无限靠近这些直线,我们可以将这些直线称之为正切函数的什么线——渐近线；从y轴方向看,上下无限延伸,得到它的哪一性质——值域为R；每隔π个单位,对应的函数值相等,得到它的哪一性质——周期π;在每个区间图象都是上升趋势,得到它的哪一性

+kπ),k∈Z,没有减区间.它的图象是关于原点对称

22k的,得到是哪一性质——奇函数.通过图象我们还能发现是中心对称,对称中心是(,0),k∈Z.2质——单调性,单调增区间是(+kπ,问题②,正切函数在每个区间上都是增函数,但我们不可以说正切函数在整个定义域内是增函数.如在区间(0,π)上就没有单调性.讨论结果:①略.②略.应用示例 略

课堂小结

1.先由学生回顾本节都学到了哪些知识方法,有哪些启发、收获.本节课我们是在研究完正、余弦函数的图象与性质之后,研究的又一个具体的三角函数,与研究正弦、余弦函数的图象和性质有什么不同?研究正、余弦函数,是由图象得性质,而这节课我们从正切函数的定义出发得出一些性质,并在此基础上得到图象,最后用图象又验证了函数的性质.2.(教师点拨)本节研究的过程是由数及形,又由形及数相结合,也是我们研究函数的基本方法,特别是又运用了类比的方法、数形结合的方法、化归的方法.请同学们课后思考总结:这种多角度观察、探究问题的方法对我们今后学习有什么指导意义？ 作业课本习题1.4 A组6、8、9.

第三篇：反比例函数的图像与性质教案

《反比例函数的图象与性质》

授课教师：还地桥镇松山中学卢青

【教学目的】

1、知识目标：经历观察、归纳、交流的过程，探索反比例函数的主要性质及其图像形状。

2、能力目标：提高学生的观察、分析能力和对图形的感知水平。

3、情感目标：让学生进一步体会反比例函数刻画现实生活问题的作用。

【教学重点】

探索反比例函数图象的主要性质及其图像形状。

【教学难点】

1、准确画出反比例函数的图象。

2、准确掌握并能运用反比例函数图象的性质。

【教学过程】

活动

1、汇海拾贝

让学生回忆我们所学过得一次函数y=kx+b(k≠0)，说出画函数图像的一般步骤。（列表、描点、连线），对照图象回忆一次函数的性质。

活动

2、学海历练

让学生仿照画一次函数的方法画反比例函数y=2/x和y=-2/x的图像并观察图像的特点 活动

3、成果展示

将各组的成果展示在大家的面前，并纠正可能出现的问题。

活动

4、行家看台

1．反比例函数的图象是双曲线

2．当k>0时,两支双曲线分别位于第一,三象限内

当k<0时,两支双曲线分别位于第二,四象限内

3．双曲线会越来越靠近坐标轴，但不会与坐标轴相交

活动

5、星级挑战

1星：

1、反比例函数y=-5/x的图象大致是（）

2、函数y=6/x的图像在第象限，函数y=-4/x的图像在第象限。2星：

1、函数y=(m-2)/x的图像在二、四象限，则m的取值范围是

2、函数y=(4-k)/x的图像在一、三象限，则k的取值范围是3星：

1、下列反比例函数图像的一个分支，在第三象限的是（）

A、y=(3-π)/xB、y=2-1/xC、y=-3/xD、y=k/x2、已知反比例函数y=-k/x的图像在第二、四象限，那么一次函数y=kx+3的图像

经过（）

A、第一、二、三象限B、第一、二、四象限

C、第一、三、四象限D、第二、三、四象限

4星：

1、在同一坐标系中，函数y=-k/x和y=kx-k的图像大致是

2、反比例函数y=ab/x的图像在第一、三象限，那么一次函数y=ax+b的图像大致

是

5星：

1、反比例函数y2m

1xm28,它的图像在一、三象限，则

2、反比例函数y

活动

6、回味无穷 k4k2，它的图像在一、三象限，则k的取值范围是x

1．反比例函数的图象是双曲线

2．当k>0时,两支双曲线分别位于第一,三象限内

当k<0时,两支双曲线分别位于第二,四象限内

3．双曲线会越来越靠近坐标轴，但不会与坐标轴相交

活动

7、终极挑战

如图，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数y=(k2-5k-10)/x的图像上，若点A的坐标是（-2，-2）则k的值为

第四篇：9、2反比例函数的图像与性质教案

„„„„„„„„„八年级（下）数学学案N0.23 9．2反比例函数的图象与性质（2）教案

备课时间:2008-1-24上课时间 主备: 审核:备课组 班级 姓名 学习目标：1.综合运用一次函数和反比例函数的知识解决有关问题；

2.通过看图（象）、识图（象）、读图（象），体会用“数、形”结合思想解答函数题． 重点：反比例函数图形、性质的应用 难点：用“数、形”结合思想解答函数题 【温故·知新】 反比例函数 ① y=21031、② y=、③ y=、④ y= 的图像中： xx100x3x（1）在第一、三象限的是，在第二、四象限的是.（2）在其所在象限内，随增大而增大的是.【探究·研讨】

问题一：已知正比例函数y＝ax和反比例函数y交于点(1,2).（1）你会求a、b的值吗？（2）如何求出另一个交点坐标？

问题二：如图是反比例函数 yb的图象相x2m 的图像的一支.x（1）你知道它的另一支在第几象限吗？请求出常数m的取值范围；（2）点A（-3，y1）、B（-1，y2）和C（2，y3）都在这个反比例函数的图像上，比较y1、y2、y3的大小.完成“问题二 ”后,请探索“比较y1、y2、y3的大小”有哪些方法？

【归纳】 综合运用一次函数和反比例函数的知识解题，一般先根据题意画出图象，借助图象和题目中提供的信息解题．

第五篇：正切函数的性质与图像教学反思

《正切函数的性质与图像》教后反思

-------写在同课异构大赛之后

一、设计背景

本节课的主要内容是讲解“正切函数的性质与图像”。在此之前已经研究了“正弦函数余弦函数的图像与性质”。函数的研究具有其本身固有的特征和特有的研究方式，我希望通过预习提纲的设置、课件的运用、课堂的灵活处理，使学生顺利掌握本节课的重点和难点。

二、设计思路

为了提高课堂效率，我精心设计了本节课的预习提纲，凸显数形结合在本节课的应用，延续了研究正余弦函数的方法——从图象入手，在“数”与“形”两个方面对正切函数的性质加以提炼分析，并整理成表格。而从“数”的角度研究函数ytanx的单调性是一个难点，学生缺乏公式sin()sincoscossin，我将其作为一个探究让有能力有兴趣的学生探究。

三、教学过程回顾

1、在探究函数ytanx的图象，我采用的方法是提前检查学生的预习并将作图上传至课件，让学生对比观察学习。同时用“几何画板”

工具进行ytanx x0,的图象动画演示，以及ytanx在整个定义域2上的图象展示。让学生更加肯定自己的作图猜想，并适时归纳出“三点两线”作图法。

2、在检查预习提纲中渗透新知识。对一些细节的知识和学生共同分析，规避错误。比方“正切函数在定义域上单调递增？”“如何从数的角度证明函数ytanx的对称中心为(k,0)kZ？”等问题都引2发了学生的深思。同时高度重视“数”与“形”的结合，灌输“以数助形”、“以形助数”、“数形结合”的思想方法，从而让学生感知数学是严谨的：“形”给我们以直观感受，“数”助我们严格证明。

3、在习题的选取上，我将教材的例题变式处理：讨论函数1ytan(x)的性质。在此基础上进行多个变式处理，针对每个性质23x)的性质处理。深入探究，让学生初步结识函数yAtan（四、存在的不足和别人的可取之处

1、语言不够精炼、不够准确。对比上官慧芳教师的教学，个人感受是她的语言规范、精炼，课堂提问有针对性。同时自己在处理“正切函数在定义域上单调递增？”这一问题时，受定义域区间形式的干扰有了疑惑，但在课堂上妄下结论实为教学之大忌。

2、教学设计不够合理。成丽娟老师，上官慧芳老师，祁佳佳老师都是从“性质”入手，作出图象，再从图象提炼性质，高度重视了教材的设计意图，并将其在课堂上体现的淋漓尽致。而自己沿用了正余弦函数性质的处理方法，并没有认真揣摩教材的设计意图。

3、课堂掌控能力不强，学生的参与度不高。相比其他教师，我的学生课堂参与度不高，更多的是个人表演和完成教学任务，并未考虑学生的实际理解能力，归结起来是课前学情了解不足。

本次同课异构是一场比赛，于我而言更是一次学习的好机会，它折射出我在教学上的诸多不足。独行速，众行远，唯有不断汲取别人的精华，方能越行越远。