6.2二次函数的图像和性质教案

第一篇：6.2二次函数的图像和性质教案

课 题: §6.1二次函数 教学目标：

1.掌握二次函数ya(xm)2k与yax2、yax2k、ya（xm)2的图像的位置关系；

2、会用配方法确定二次函数yax2bxc图象的顶点坐标、对称轴和函数的最值，会用列表描点法画函数ya(xm)2k的图象．

教学重点：通过配方法画二次函数y=ax2+bx+c的图象、确定其开口方向、顶点坐标、对称轴以及函数的最值问题

教学难点：用配方法确定二次函数的顶点坐标和对称轴 教学程序设计：

一、情境创设

上节课，我们发现了 yax2与 yax2k，ya(xm)2的图象之间的关系，那么你认为形如ya(xm)2k的图象会是什么呢？形如 yax2bxc的图易用又是什么呢？它们有什么性质？ 师生活动设计：

22师：展示同一坐标系中 yx2与y（x1）y（x1）2的图象，出示这个问题。生：思考并解决。生2：补充回答

设计意图：展示上节课的探究内容，让学生进入这个数学活动，意图是引领学生从点坐标的数量变化、图形的位置变化着手，用运动变化的观点来分析解决问题

二、探索活动

活动一：探索二次函数 ya(xm)2k的图象和性质。1． 在直角坐标系把yx2的图象沿X轴左向移动1个单位，再沿y轴向上移动2 个单位，画出这条新的抛物线。

2． 写出这条抛物线的解析式。3． 抛物线y(x1)22的性质。抛物线y(x1)22的性质

活动二：探索yax2bxc的图象及其性质。1．讨论yx22x3的图象及性质。

2．运用配方法，找一找yax2bxc的顶点坐标公式和对称轴。3．讨论yax2bxc的图象性质

师生活动设计：展示坐标系中的抛物线yx2 师：把它x轴向左平移1个单位，再沿y轴向上平移2个单位。请同学画出这两条抛物线。生1：板演。

师：说出这两条抛物线的解析式。生2：y(x1)y(x1)22

师：说说y(x1)22的图象是什么？有哪些性质？ 生3：独立回答。生4：独立回答。

师：讨论y(x1)22 的图象。生5.独立回答。

请同学们独立思考形如ya(xm)2k的图象及其性质。

生9：回答开口方向、顶点坐标、对称轴、函数的最大（小）值。生10：补充或纠正回答

师：二次函数yx22x3的图象也是条抛物线吗？ 生1：是的。

师：那它的顶点坐标和对称轴分别是什么？ 生2：对称轴是直线x=-1，顶点是（-1，2）。师：你是怎么知道的？

生3：通过配方，把yx22x3变形成y(x1)22。

师：那么对于一般式yax2bxc来说，能不能找到它的顶点坐标和对称轴呢？ 生4：能，配方。

生5：板演配方过程。师：评析配方过程。师：顶点坐标是（4acb4a2b2a，b2a,)。对称轴是直线x=有了这个公式，以后我们代入计算就可以了，无须再写出配方的过程。再请同学们说说它还有哪些性质？ 生6：（开口方向）

生7：（增减性方面）

设计意图：活动一中：学生已有左加右减上加下减的平移规律，知道平移前后仅仅是顶点和对称轴的位置变化，容易归纳出形如ya(xm)2k的图象性质。活动二中： 学生能直观看出yx2x32与

y(x1)22其实是同一个解析式，此时老师点评只要把一般式配方成顶点式，我们就能找到任何一条抛物线的解析式了。再抛砖引玉：如果对yax2bxc进行配方，能不能找到顶点坐标与系数abc的关系？正如一元二次方程的求根公式一样，以后我们就可以直接代入公式，不用再配方？以此激发出学生探索的乐趣和主动。

三、例题教学

例1：分别回答下列抛物线的开口方向，顶点坐标，对称轴，增减性，并说明x取何值时函数的最大（小）值是多少

（1）y2(x1)2（2）y3(x4)25（3）y(x5)27

（4）y4(x3)21 例2：填空：

（1）x24x______(x___)2

（2）x26x_____(x___)2（3）x25x_____(x___)2

(4)x23x______(x_____)2 例3：根据顶点坐标公式求出下列图象的顶点坐标、对称轴，函数的最值。① y=x-2x-3

②y=-2x-5x+7

③y=3x+2x④y=例4：画出y=12x222

252x23x

23x52的图象。

并说明X取何值时y有最小值，这个最小值是多少？

师生活动设计：师：画图象最关键的要有顶点坐标和对称轴这两要素，这样才能根据 对称性左右各取两点。本题如何求顶点坐标。

生1：配方。生2：代入坐标公式

生3：板演配方过程。

生4：板演坐标公式。师：根据对称性质，我们用5个点画图，顶点+对称轴左右各两个点。下面我们列表取X算y.生5：描点画出抛物线

设计意图：已知函数解析式能画出它的图象，训练这个基本技能，为以后的二次函数的综合题的解题能力的培养作好台阶

四、课堂小结

本节课学到了什么？

1.形如ya(xm)2k的图象及其性质 2.形如yax2bxc的图象及其性质

五、当堂反馈（见导学案当堂反馈）师生活动设计：独立思考并完成。

设计意图：通过当堂反馈，巩固和复习本节课的内容。

六、课后作业（见导学案课后作业）

设计意图：既照顾全体，又关注个别，真正体现全面关注所有学生的发展，并巩固学生所学习的知识.七、教学反思

第二篇：二次函数图像教案

二次函数的图像

略阳天津高级中学 杨 娜

课 型：新授课 课时安排： 1课时 教学目标：

1、理解二次函数中a,b,c,h,k对其图像的影响。

2、领会二次函数图像平移的研究方法，并能迁移到其他函数图像的研究，而提高识图和用图能力。

3、培养学生数形结合的思想意识。重点难点: 1．教学重点:二次函数图像平移变换规律及应用

2．教学难点:理解平移对解析式的影响及如何利用平移变换规律求解析式，并能把平移变换规律迁移到一般函数． 教学过程：

一、导入新课

在初中我们已经学过二次函数，知道其图像为抛物线，并了解其图像的开口方向，对称轴，顶点等特征，本节课将进一步研究一般的二次函数的性质。二、讲授新课

提出问题1 二次函数yax(a0)的图像与二次函数yx的图像之间有什么关系？ 1.我们先画出yx 的图像，并在此基础上画出y2x的图像。

学生阅读课本41页并在练习本上作图（教师用几何画板演示）2.学生阅读课本41页，并动手实践。

3.概括：二次函数yax(a0)的图像可以由yx的图像个点的纵坐标变为原来的a倍得到。4.用几何画板演示a对开口大小得影响。5.抽象概括

二次函数y=ax2(a≠0)的图像可由的y=x2图像各点纵坐标 变为原来的a倍得到。

a决定了图像的开口方向:a>o开口向上，a<0开口向下

222222a决定了图像在同一直角坐标系中的开口大小:|a|越小图像开口就越大 6.练习列二次函数图像开口，按从小到大的顺序排列为_ 11(1)f(x)=x2;(2)f(x)=x242

问题

212(3)f(x)=-x;(4)f(x)=-3x23函数ya(xh)2k(a0)的图像与函数yax2(a0)的图像之间有什么关系呢？

1.我们先一起回顾y2x2与y=2(x+1)²+3图像的关系。（教师用几何画板演示）

在初中我们已经知道，只要把y2x2的图像向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，就可以得到y=2(x+1)²+3的图像。它们形状相同，位置不同（如图2-22）。2.学生动手实践想想并回答课本上的问题2。3.概括：二次函数y=a(x+h)2+k(a0), ①a决定了二次函数图像的开口大小及方向；

而且“a正开口向上，a负开口向下”；｜a｜越大开口越小； ②h决定了二次函数图像的左右平移，而且“h正左移，h负右移”； ③k决定了二次函数图像的上下平移，而且“k正上移，k负下移”。

问题3 yax(a0)和yaxbxc(a0)的图像之间有什么关系？ 1.我们先来回顾y2x与y2x4x1的图像关系（教师在黑板演示，可以转化为顶点式）

至此我们知道把y2x的图像向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，就可以得到y2x4x1的图像（如图2-23）。

2.动画演示yaxbxc(a0)中a,b,c对图像的影响。3.概括：

⑴一般地，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0），通过配方可以得到它的恒等形式y=a(x+h)2 +k，从而知道可以由y=ax2 的图像

通过平移得到y=ax2+bx+c(a≠0）的图像.⑵a决定了二次函数图像的开口大小及方向；

而且“a正开口向上，a负开口向下”；｜a｜越大开口越小；b影响了图像的位置不仅2222222上下平移而且左右平移；c决定了图像与坐标轴y轴的交点位置，c>0 交点在y轴上半轴，c<0交点在y轴下半轴。

三、巩固练习

１.完成课后练习题1，2，3 ２.把下列二次函数一般式化为顶点式：

① yx28x9 ② y2x212x16 ③yax2bxc(a0)3.把yx2的图像经过怎样平移可得到yx28x9的图像？

4.将二次函数y=3x2的图像平行移动,顶点移到（－３，２），则它的解式为？

5..二次函数y=f(x)与y=g(x)的图像开口大小相同，开口方向也相同，已知函数g(x)=x2+1，f(x)图像的顶点为(3,2)，则f(x)的表达式为什么？ 四．小结

1.回顾二次函数ya(xh)2k(a0)中，h,k对函数图像有何影响？

二次函数yaxbxc(a0)中，确定函数开口大小及方向的参数是什么？确定函数位置的参数是什么？

2.我们经历了yx到yax2(a0)，yax2(a0)到ya(xh)2k(a0)，通过这个过程，我们就能体会yax2(a0)到yax2bxc(a0)的图像变化过程，到研究一般函数的拓展过程。五．作业

完成课后习题1.2题。六．板书设计

二次函数再研究

问题1 演算过程 练习题 问题2 结论 问题3 附加题：

将二次函数y2x的图像平移顶点移到下列各点，写出对应的函数解析式。⑴（4,0）;⑵（0，-2）;⑶(-3，2)⑷（3，-1）222

第三篇：二次函数的图像和性质教学反思

二次函数的图像和性质教学反思

本节的学习内容是在前面学过二次函数的概念和二次函数y=ax2、y=ax2+h、y=a（x-h）2的图像和性质的基础上，运用图像变换的观点把二次函数y=ax2的图像经过一定的平移变换，而得到二次函数y=a(x-h)2+k(h≠0，k≠0)的图像。二次函数是初中阶段所学的最后一类最重要、图像性质最复杂、应用难度最大的函数，是学业达标考试中的重要考查内容之一。教材中主要运用数形结合的方法从学生熟悉的知识入手进行知识探究。这是教学发现与学习的常用方法，同学们应注意学习和运用。另外，在本节内容学习中同学们还要注意 “类比”前几节的内容学习，在对比中加强联系和区别，从而更深刻的体会二次函数的图像和性质。

通过本节课教学，得出几点体会：

1、在教学中二次函数图像的对称轴，顶点坐标，开口方向尤其重要，必需特别强调。

2、在探究中要积累研究问题的方法并积累经验，学生在前面已经历过探索、分析和建立两个变量之间的关系的过程，学习了一次函数和反比例函数，学会了用描点法作函数图象并据此分析得出函数的性质。我们可以把研究这些问题的方法应用于研究二次函数的图象和性质，并据此形成研究问题的基本方法。

3、要使课堂真正成为学生展示自我的舞台

还学生课堂学习的主体地位，教师要把激发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位，为学生提供展示自己聪明才智的机会，使课

堂真正成为学生展示自我的舞台。充分利用合作交流的形式，能使教师发现学生分析问题解决问题的独到见解以及思维的误区，以便指导今后的教学。但在复习与练习的过程中，我发现学生存在着这样几个问题。

1、某些记忆性的知识没记住。

2、学生稍遇到点难题就失去做下去的信心。题目较长时就不愿意仔细读，从而失去读下去的勇气

3、学生的识图能力、读题能力与分析问题、解决问题的能力较弱。

4、解题过程写得不全面，丢三落四的现象严重。针对上述问题，需要采取的措施与方法是：

1、根据实际情况，对于中考升学有希望的学生利用课余时间做好他们的思想工作。并对他们进行面对面的单独辅导，增强他们的自信心，以此来提高他们的数学成绩。

2、结合自己的学习经验对他们进行学法指导和解题技巧的指导。

3、根据不同的学生情况，搜集典型题让他们单独做，并给予及时的辅导与矫正。

4、与其它任课教师联手一起想对策，指导学生读题的方法与分析问题，解决问题的方法。

5、无论是做练习还是考试之前，都告诉学生要认真仔细的读题，从图形中获取信息。

第四篇：二次函数的性质和图像教学设计

《二次函数的性质和图像》教学设计

一、设计理念：

本节课遵循“探索—研究——运用“亦即“观察——思维——迁移”的三个层次要素，侧重学生的“思”、“探”、“究”的自主学习，由旧知识类比得新知识，自主探究二次函数图象及其性质。学生动脑思和究，动手探。教师的“诱”要在点上，在精不用多。通过本节学习，学生更进一步的掌握二次函数性质及其图象特征。

二、学情分析：

学生在初中学习中，已有二次函数的基础，了解二次函数图象及其相关性质，接受起来较快。基于此，教师应在学生原有基础上拓宽知识面，引入新概念，帮助学生加深并提高对二次函数的认识。

三、教学目标

（一）、知识目标

1、使学生掌握研究二次函数的一般方法——配方法。进一步掌握二次函数y=ax2+bx+c(a)的图象的顶点坐标，对称轴方程，单调区间和最值的求法。

2、会用描点法画出二次函数图像，能通过图像认识二次函数的性质

3、通过具体例子，在探索二次函数图像和性质的过程中，学会利用配方法将数字系数的二次函数表达式表示成：y=a(x-h)^2+k的形式，从而确定二次函数图像的顶点和对称轴。

4、通过一般式与顶点式的互化过程，了解互化的必要性。培养学生认识“事物都是相互联系、相互制约”的辩证唯物主义观点。

5、在经历“观察、猜测、探索、验证、应用”的过程中，渗透从“形”到“数”和从“数”到“形”的转化，培养了学生的转化、迁移能力，实现感性到理性的升华。

（二）、情感目标

1、通过主动操作、合作交流、自主评价，改进学生的学习方式及学习质量，激发学生的兴趣，唤起好奇心与求知欲，点燃起学生智慧的火花，使学生积极思维，勇于探索，主动获取知识。

2、让学生在猜想与探究的过程中，体验成功的快乐，培养他们主动参与的意识、协同合作的意识、勇于创新和实践的科学精神。

（三）、能力目标

1、拟通过本节课的学习，培养学生的观察能力、探索能力、数形结合能力、归纳概括能力，综合培养学生的思维能力及创新能力。

2、培养学生运用运动变化的观点来分析、探讨问题的意识。教学重点：二次函数的性质

教学难点：研究二次函数图象和性质的重要方法——配方法。

对于任何一个二次函数，只要通过配方变形为：(x-h)2 + k的形式，就可以知道函数的图象特征和有关性质。通过本节课的学习，学生从理论上加深了对函数的理解，也可利用所学知识解决日常生活中常见的实际问题，提高自身分析问题，联系实际的能力，从而达到学习目的。

四、教学过程：

（一）、复习

1、二次函数定义、表达式。

2、求二次函数y= a(x-h)2+ k(a0)的对称轴和顶点坐标。（教师通过多媒体展示问题，通过对旧知识的回顾为新知识的学习做好认知铺垫，学生思考后回答）

（二）、导入新课

1、教师展示问题，要求在同一坐标系中做出下列函数图象：y=-3x2 ,y=-2x2 ,y=-x2 , y=3x2 ,y=2x2 ,y= x2.回答下列问题：

问题一 ：函数y= ax2 的单调性、奇偶性、最值与图象开口方向、对称性、顶点？

问题二：函数图象随a 值变化，如何变化？ 问题三：y= ax2 与 y=-ax2 图象有何关系？

（教师借助多媒体手段，放映问题答案，展示函数图象随a 值变化的过程，即函数y= ax2(a)的图象和性质。）函数y= ax2(a)的图象和性质： 1．函数是偶函数，图象关于y轴对称.2．顶点坐标（0，0）

3．当a >0 时，开口向上，在上是减函数，在上是增函数，当时，有最小值0。4．当a <0 时，开口向下，在上是增函数，在上是减函数，当时，有最大值0。

5．当a >0 时，抛物线在x轴上方，开口随 a增大逐渐减小；当a<0 时，抛物线在x轴下方，开口随 a增大逐渐减大。

教师提问：若将函数的图象进行平移，则函数的哪些性质将不发生变化？哪些将发生变化？（学生讨论回答），研究一般的二次函数的性质和图象：

1、研讨二次函数的性质和图象。

2、研讨二次函数的性质和图象。教师设计问题，学生探究：

问题一：指出两个函数的开口方向，并说明哪个函数图象的开口较大？ 问题二：分别将二次函数与配方，然后分别求出两个函数的最值以及与x轴交点。

问题三：列表画图，分别在直角坐标系中作出两个函数的图象：

1、推测两个函数图象的对称轴，并给出证明。

2、y= a(x-h)2+ k(a)的顶点坐标是________，对称轴是________。

3、分别指出两个函数的单调区间。

问题四：将二次函数y=ax2+bx+c(a)配方，并回答下列问题：

1、函数图象的顶点坐标和对称轴分别是_______、_______。

2、对于a>0和a<0分别指出函数图象的开口方向，和最值。

（学生完成以上问题的过程中教师要适时启发，并在最后加以总结。）

二次函数性质如下：

1、图象是一条抛物线，顶点坐标是，对称轴是直线

2、当a >0 时，抛物线开口向上，函数在处取最小值；在区间上是减函数，在区间上是增函数;

3、当a <0 时，抛物线开口向下，函数在处取最大值；在区间上是增函数，在区间上是减函数;概念深化：

（教师指出配方法是研究二次函数性质的通法，对于二次函数性质的有关结论不必死记硬背，关键在于如何运用配方法来研究二次函数性质，组织学生分组讨论。）“配方法”是研究二次函数的主要方法，熟练的掌握配方法是掌握二次函数的关键，对一个具体的二次函数，通过配方就能知道这个函数的主要性质。应用举例：

例：求函数的最小值和它的图像的对称轴，在哪个区间上是增函数？在哪个区间上是减函数？

（例题由学生版演，教师给予纠正。让学生充分体验研究二次函数的方法——配方法。通过学生版演，可以发现解题过程中出现的问题，及时给予纠正）解：因为：

所以 函数图象的对称轴是直线，它在区间上是减函数，在区间上是增函数。

（三）、随堂练习：

1、用配方法，求下列函数的最大值或最小值：

（1）1．根据二次函数的顶点坐标公式确定下列函数的对称轴和顶点坐标：

（1）y=2x2-12x+13（2）（2）y=-5x2+80x-319

2、求下列函数图象的对称轴和顶点坐标，并做出图象：

（1）y＝2x2－2x－2.5（2）y＝－2x2－4x＋8（学生做完练习后，教师进行及时评价）

（四）、归纳小结：

方法：研究二次函数的主要方法——配方法。

知识：二次函数的图象与性质的有关结论。

(1）抛物线，当x=（）时，y有最（）值，是 ．（2）当m=（）时，抛物线 开口向下．

（3）已知函数 是二次函数，它的图象开口（），当x()时，y随x的增大而增大．

（4）抛物线的开口（），对称轴是（），顶点坐标是（），它可以看作是由抛物线 向（）平移()个单位得到的．（5）函数，当x()时，函数值y随x的增大而减小．当x()时，函数取得最()值，最()值y=()．

（6）抛物线 可由抛物线 向()平移()个单位，再向平移()个单位而得到．

（7）二次函数 的图象的顶点是()，当x()时，y随x的增大而减小．

（五）、作业: P22习题27.2 第2题（1）、（3）、（5）及第3题

第五篇：二次函数的图像和性质教学反思

二次函数的图像和性质教学反思

这节课的教学主要使学生在原有基础上，通过类比一次函数掌握二次函数图象和性质，突出的是探索交流合作的方式。

在知识学习过程中给学生留有充分的思考与交流的时间和空间，让学生经历了画图、观察、猜测、交流、反思等活动，借助图形教学，形象直观，体现了数形结合思想，激发了学生的学习兴趣，培养学生的观察、分析、归纳、概括能力，提高数学课堂教学的效率和效果，促使学生主动参与到“做”数学的活动中，从而更加深刻地认识最简二次函数的性质。

对于本节课，我个人认为在教学思路上还是比较清晰的，重难点把握得还是比较准确的，复习时利用原来学过的函数图像，让学生说出增减性，很自然的就引发出了探究二次函数性质的问题以及利用具体的图像，学生比较容易理解和掌握。

但是，整体来看，课堂容量稍有点偏大，学生没有充分的时间进行探究。在得出性质后，应该设置几道练习，让学生能运用新知识，有助于性质的掌握。课堂上时间较紧张，题目的设置还不够精，也没有给学生足够的思考时间，急于得出答案，造成正确率的下降。二次函数的性质教学反思--于洋

2011年10月21日 来源：本站

二次函数的性质教学反思

进入二次函数这一章节后，难点也就随之而来了，因为这一章节中大部分的内容都是数形结合的知识，学生在这部分也一直是难点。在学习一次函数的时候，涉及到函数增减性的问题，当时的解决方法是让学生动手去做，方法如下：首先做出一次函数的草图，然后用左手从图像的左到右移动，并且要求学生说出随着x的增大（手由左向右的移动过程中x是一直在增大的），图像是升高了还是降低了。最后把话说完整，随着x的增大y是增大了还是减小了，这种方法在当时大部分学生还是能够接受的。所以在二次函数的性质这节课之前我就决定了，还是用动手比划的方法让学生去理解增减性。

首先，让学生理解想求出二次函数的增减性首先要从二次函数的一般式转化为顶点式，目的在于通过顶点式就可以直接看出对称轴，再给学生充分的时间让学生发现，二次函数与一次函数的增减性是不同的，一次函数不用分段去说，而二次函数要求以对称轴为分界点分段去说。在这些都准备好之后，告诉学生判断增减性的要点：

（1）通过函数的顶点和开口方向，画出二次函数的草图。

（2）在草图上标出对称轴，然后用对称轴把二次函数的定义域分成两部分。

（3）确定其中的一部分，用左手在草图上从左到右移动，并仔细观察图像是升高了还是降低了，然后再判断随着x的增大y是增大了还是减小了，从而确定是增函数还是减函数。在用了这样的方法之后，自我感觉学生在理解方面的难度不大，学生的习题完成情况也较好，但是还有一些自己没有预料的问题，比如说学生把一般式转化为顶点式有问题，在说范围的时候，学生不注意对称轴是什么，而都说成了x>0、x<0等，在下节课针对于这些点我还会继续强调。