第2讲数列极限及其性质2009

第一篇：第2讲数列极限及其性质2009

《数学分析I》第2讲教案

第2讲数列极限概念及其性质

讲授内容

一、数列极限概念

数列 a1,a2,,an,,或简单地记为{an}，其中an，称为该数列的通项．

关于数列极限，先举二个我国古代有关数列的例子．（1）割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽.n

22园内接正n边形的面积An

Rsin

2n

sin

(n3,4,），当n时，AnR

2nn

R

2

（2）古代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其含义是：一根长为一尺的木棒，每天截下一半，这样的过程可以无限制地进行下去．第一天截下

12，第二天截下

n

2，„„，第n天截下

n，„„这样就得到一个数列

22,2,,1,．或n.n22

不难看出，数列{}的通项

n

随着n的无限增大而无限地接近于0．一般地说，对于数列{an}，若当n无

限增大时an能无限地接近某一个常数a，则称此数列为收敛数列，常数a称为它的极限．不具有这种特性的数列就不是收敛数列．下面我们给出收敛数列及其极限的精确定义．

定义1设{an}为数列，a为定数．若对任给的正数，总存在正整数N，使得当，n>N时有|ana|则称数列{an收敛于a，定数a称为数列{an}的极限，并记作limana，或ana(n).读作“当n

n

趋于无穷大时，an的极限等于a或an趋于a”．

若数列{an}没有极限，则称{an}为发散数列．下面举例说明如何根据N定义来验证数列极限．

二、根据N定义来验证数列极限

例2证明lim

1n



n

0，这里为正数

,故对任给的>0，只要取N=

1



1，则当nN时，便有 

证：由于 |

1n



0|

1n



1n





1N



即|

1n



0|.这就证明了lim

1n



n

0.例3证明lim

3n

n

n33n

3.分析由于|

n

33|

9n3



9n

(n3).因此，对任给的>o，只要

9n

，便有

|

3n

n3

3|,即当n

时，(2)式成立．故应取Nmax{3, 

999

证任给0,取Nmax{3,据分析，当nN时有|23|,式成立.于是本题得证.n3

n

例4证明limq=0，这里|q|<1．

n

3n

证若q=0，则结果是显然的．现设0<|q|<1．记h

1|q|

1，则h>0．我们有

|q0||q|

11nh

nn

1(1h)

n,并由(1h)1+nh得到|q|

|q0|，这就证明了limq

n

n

nn



1nh

.对任给的0,只要取N

h,则当nN时，得

n

0.注：本例还可利用对数函数ylgx的严格增性来证明，简述如下：对任给的>0(不妨设<1)，为使

n

n

只要nlg|q|lg即n|q0||q|，lglg|q|

（这里0|q|1).于是，只要取N

lglg|q|

即可。

例5证明lim

n

n

a1，其中a>0．

证：(ⅰ)当a1时，结论显然成立.(ⅱ)当a1时，记an1，则0.由 a(1)n1n1n(an1)得

an1

a1n.（1）

任给0，由(1)式可见，当n

a1



N时，就有an1，即|an1|.所以lim

n

a1.(ⅲ)当0a1时，,１

n

－１，则0.由

a

1

1n

(1)1n1n1得 aa1

1a

n



a

1n.a

a

1

1

n.1

（2）

任给0，由（2式可见，当n１

a1



N时，就有1an，即|an1|.所以lim

n

n

a1.关于数列极限的—N定义，应着重注意下面几点：

1．的任意性：尽管有其任意性，但一经给出，就暂时地被确定下来，以便依靠它来求出N，又既



2时任意小的正数，那么,3或等等同样也是任意小的正数，因此定义1中不等式|ana|中的可用

,3或等来代替．

2．N的相应性：一般说，N随的变小而变大，由此常把N写作N()，来强调N是依赖于的；但这并不意味着N是由所唯一确定的.3．从几何意义上看，“当n>N时有|aa|”意味着：所有下标大于N的项aｎ都落在邻域U(a;)内；而在U(a;)之外，数列{an}中的项至多只有N个(有限个)．

定义2若liman0，则称{an}为无穷小数列．由无穷小数列的定义，不难证明如下命题：

n

n

定理2.1数列{an}收敛于a的充要条件是：{ana}为无穷小数列．

三、收敛数列的性质

定理2.2(唯一性)若数列{an}收敛，则它只有一个极限．

定理2.3(有界性)若数列{an}收敛，则{an}为有界数列，即存在正数M，使得对一切正整数有|an|M.证：设limana取1，存在正数N，对一切n>N有

n

|ana|1即a1ana1.记Mmax{|a1|,|a2|,|aN|,|a1|,|a1|},则对一切正整数n都有anM．注：有界性只是数列收敛的必要条件，而非充分条件．例如数列1定理2.4(保号性)若limana0

n



n

有界，但它并不收敛．

(a,0

(或<0)，则对任何a(0,a)(或a，存在正数N，使

得当nN时有ana(或ana)．

证：设a0．取aa(>0)，则存在正数N，使得当nN时有aana，即

anaa，这就证得结果．对于a0的情形，也可类似地证明．

注：在应用保号性时，经常取a

a2

.即有an

a2，或an

a2

定理2.5(保不等式性)设an与bn均为收敛数列．若存在正数N0，使得当nN0时，有anbn，则limanlimbn.n

n

请学生思考：如果把定理2.5中的条件anbn换成严格不等式anbn，那么能否把结论换成limanlimbn?，并给出理由.n

n

例1设an0n1,2,．证明：若limana,则lim

n

n

an

a.证：由定理2.5可得a0.若a0，则由liman0，任给0，存在正数N，使得当nN时有an，从而an即

n

an0,故有lim

n

an0.anaan

a

ana

a

若a0，则有

an

a

.任给0，由limana，存在正数N，使得当

n

nN时有ana

a,从而

an

a．故得证．

第二篇：数列极限的运算性质

极限的运算

教学目标

1．熟练运用极限的四则运算法则，求数列的极限．

2．理解和掌握三个常用极限及其使用条件．培养学生运用化归转化和分类讨论的思想解决数列极限问题的能力．

3．正确认识极限思想和方法是从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的一种辩证唯物主义的思想． 教学重点与难点

使用极限四则运算法则及3个常用极限时的条件． 教学过程

（一）运用极限的四则运算法则求数列的极限

师：高中数学中的求极限问题，主要是通过极限的四则运算法则，把所求极限转化成三个常用极限：lim1=0，limC=C，limqn=0（|q|<1）来解决。

nnnn例1：求下列极限：

7n33n2n(1)lim 3n4n1

师：（1）中的式子如何转化才能求出极限．

生：可以分子、分母同除以n3，就能够求出极限．

师：（2）中含有幂型数，应该怎样转化？

师：分子、分母同时除以3n-1结果如何？ 生：结果应该一样．

师：分子、分母同时除以2或2，能否求出极限？

n

n-

1（二）先求和再求极限 例2 求下列极限：

由学生自己先做，教师巡视．

判断正误．

生：因为极限的四则运算法则只适用于有限个数列加、减、乘、除的情况．此题当n→∞，和式成了无限项的和，不能使用运算法则，所以解法1是错的．

师：解法2先用等差数列的求和公式，求出分子的和，满足了极限四则运算法则的条件，从而求出了极限．第（2）题应该怎样做？

生：用等比数列的求和公式先求出分母的和．

=12． 师：例2告诉我们不能把处理有限项和问题的思路及方法随意地搬到无限项和的问题中去，要特别注意极限四则运算法则的适用条件．

例3求下列极限：

师：本例也应该先求出数列的解析式，然后再求极限，请同学观察所给数列的特点，想出对策．

生：（1）题是连乘积的形式，可以进行约分变形．

生：（2）题是分数和的形式，可以用“裂项法”变形．

例4设首项为1，公比为q（q＞0）的等比数列的前n项和为Sn，师：等比数列的前n项和Sn怎样表示？

师：看来此题要分情况讨论了．

师：综合两位同学的讨论结果，解法如下：

师：本例重点体现了分类讨论思想的运用能够使复杂问题条理化．同

（三）公比绝对值小于1的无穷等比数列前n项和的极限 师：利用无穷等比数列所有各项和的概念以及求极限的知识，我们已经得到了公比的绝对值小于1的无穷等比数列各项和的公式：

例5计算：

题目不难，可由学生自己做． 师：（1）中的数列有什么特点？

师：（2）中求所有奇数项的和实质是求什么？

（1）所给数列是等比数列；（2）公比的绝对值小于1；

（四）利用极限的概念求数的取值范围

师：（1）中a在一个等式中，如何求出它的值． 生：只要得到一个含有a的方程就可以求出来了．

师：同学能够想到用方程的思想解决问题非常好，怎样得到这个方程？ 生：先求极限．

师：（2）中要求m的取值范围，如何利用所给的等式？

|q|＜1，正好能得到一个含有m的不等式，解不等式就能求出m的范围．

解得0＜m＜4．

师：请同学归纳一下本课中求极限有哪些类型？ 生：主要有三种类型：

（1）利用极限运算法则和三个常用极限，求数列的极限；（2）先求数列的前n项和，再求数列的极限；（3）求公比绝对值小于1的无穷等比数列的极限． 师：求数列极限应注意的问题是什么？ 生甲：要注意公式使用的条件．

生乙：要注意有限项和与无限项和的区别与联系．

上述问答，教师应根据学生回答的情况，及时进行引导和必要的补充．

（五）布置作业 1．填空题：

2．选择题：

则x的取值范围是[ ]． 的值是[ ]．

A．2 B．-2 C．1 D．-1 作业答案或提示

（7）a． 2．选择题：

（2）由于所给两个极限存在，所以an与bn的极限必存在，得方程

以上习题教师可以根据学生的状况，酌情选用． 课堂教学设计说明

1．掌握常用方法，深化学生思维． 数学中对解题的要求，首先是学生能够按部就班地进行逻辑推理，寻找最常见的解题思路，当问题解决以后，教师要引导学生立即反思，为什么要这么做？对常用方法只停留在会用是不够的，应该对常用方法所体现的思维方式进行深入探讨，内化为自身的认知结构，然后把这种思维方式加以运用．例1的设计就是以此为目的的．

2．展示典型错误，培养严谨思维． 第二课时

数列极限的运算性质

教学目标：

1、掌握数列极限的运算性质；会利用这些性质计算数列的极限

2、掌握重要的极限计算公式：lim(1+1/n)n=e 教学过程：

一、数列极限的运算性质

如果liman=A，limbn=B，那么

（1）lim(an+bn)= liman+ limbn =A+B（2）lim(an-bn)= liman-limbn =A-B（3）lim(anbn)= liman limbn =AB（4）lim(an/bn)= liman/ limbn =A/B（B0，bn0）注意：运用这些性质时，每个数列必须要有极限，在数列商的极限中，作为分母的数列的项及其极限都不为零。

数列的和的极限的运算性质可推广为：如果有限个数列都有极限，那么这有限个数列对应各项的和所组成的数列也有极限，且极限值等于这有限个数列的极限的和。类似地，对数列的积的极限的运算性质也可作这样的推广。注意：上述性质只能推广为有限个数列的和与积的运算，不能推广为无限个数列的和与积。

二、求数列极限

1、lim（5+1/n）=5

2、lim(n2-4)/n2=lim(1-4/n2)=1

3、lim(2+3/n)2=4

4、lim[(2-1/n)(3+2/n)+(1-3/n)(4-5/n)]=10

5、lim(3n2-2n-5)/(2n2+n-1)=lim(3-2/n-5/n2)/(2+1/n-1/n2)=3/2 分析：由于lim(3n2-2n-5)及lim(2n2+n-1)都不存在，因此不能直接应用商的极限运算性质进行计算。为了能应用极限的运算性质，可利用分式的性质先进行变形。在变形时分子、分母同时除以分子、分母中含n的最高次数项。

4、一个重要的数列极限

我们曾经学过自然对数的底e2.718，它是一个无理数，它是数列(1+1/n)n的极限。lim(1+1/n)n =e（证明将在高等数学中研究）求下列数列的极限

lim(1+1/n)2n+1 =lim(1+1/n)n (1+1/n)n (1+1/n)=ee1=e2 lim(1+3/n)n =lim[(1+1/(n/3))n/3] 3=e3

分析：在底数的两项中，一项为1，另一项为3/n，其中分子不是1，与关于e的重要极限的形式不相符合，为此需要作变形。其变形的目标是将分子中的3变为1，而不改变分式的值。为此可在3/n的分子、分母中同时除以3，但这样又出现了新的矛盾，即分母中的n/3与指数上的n以及取极限时n不相一致，为此再将指数上的n改成n/33，又因为n与n/3是等价的。

lim(1+1/(n+1))n=lim(1+1/(n+1))(n+1)-1=lim(1+1/(n+1))n+1/lim(1+1/(n+1))=e

练习：计算下列数列的极限

lim(3-1/2n)=3

lim(1/n2+1/n-2)(3/n-5/2)=5

lim(-3n2-1)/(4n2+1)=-3/4 lim(n+3)(n-4)/(n+1)(2n-3)=1/2

lim(1+3/2n)2=1

lim(1+1/3n)2(2-1/(n+1)3=18=8 lim(1+1/n)3n+2=lim[(1+1/n)n] 3(1+1/n)2=e3

lim(1+4/n)n=e4

lim(1+1/(n+2))n+1=e lim[(n+5)/(n+4)]n=lim(1+1/(n+4))n=e

lim(1+2/(n+1))n=e2

lim[(n+5)/(n+2)] n=lim[(1+3/(n+2))(n+2)/3] 3/(1+3/(n+2))2=e3

第三篇：第4讲函数极限及性质2009

《数学分析I》第4讲教案

第4讲函数极限概念及其性质

讲授内容

一、x趋于时函数的极限

例如，对于函数f(x)

1x，当x无限增大时，函数值无限地接近于0；而对于函数g(x)=arctanx，则



2当x趋于+时函数值无限地接近于．

定义1设f为定义在[a,)上的函数，A为定数．若对任给的>0，存在正数M(a)，使得当x>M时有 |f(x)A|<

则称函数f当x趋于+时以A为极限，记作limf(x)A.x

定义1的几何意义如图3—1所示，对任给的>0，在坐标平面上平行

于x轴的两条直线)yA与yA，围成以直线yA为中心线、宽为2的带形区域；定义中的“当x>M时有|f(x)A|”表示：在直线xM的右方，曲线y=f(x)全部落在这个带形区域之内．如果正

数给得小一点，即当带形区域更窄一点，那么直线xM一般要往右平移；但无论带形区域如何窄，总存在这样的正数M，使得曲线yf(x)在直线xM的右边部分全部落在这更窄的带形区域内.limf(x)A或 f(x)A(x)；

x

limf(x)A或f(x)A(x).x

这两种函数极限的精确定义与定义1相仿，只须把定义1中的“xM”分别改为“xM或”xM"．不难证明：若f为定义在U()上的函数，则limf(x)Alimf(x)limf(x)A

x

x

x

例1 证明lim

1x

x

0

证：任给0，取

，则当：x时有



1x

0

1x



1

，所以lim

1x

x

0。

例2证明：（1）limarctanx

x,(2)limarctanx

x



.注：当x时arctanx不存在极限．

二、x趋于x0时函数的极限

定义2(函数极限的定义)设函数f在点x0的某个空心邻域U(x0;)内有定义，为定数．若

'

对任给的0存在正数()，使得当0xx0时有 f(x)，则称函数f当x趋于x0。

'

时以为极限，记作limf(x)或f(x)(xx0)

xx0

举例说明如何应用定义来验证这种类型的函数极限．特别讲清以下各例中的值是怎样确定的．

例3设f(x)

x4x

2，证明limf(x)4.x2

证：由于当x2时，f(x)4

x4x2

4x24x2，故对给定的0，只要取，则当0x2时有f(x)4，这就证明了limf(x)

4x2

例4证明：limsinxsinx0;limcosxcosx0

xx0

xx0

证：先建立一个不等式：当0x



时有sinxxtanx(1)

事实上，在如图32的单位圆内，当0x

时，显然有

SOCDS扇形OADSOAB即又当x



sinx

x

tanx，由此立得(1)式．

时有sinx1x，故对一切x0都有sinxx，当x0时，由sin(x)x得sinxx综上，我们得到不等式sinxx,xR，其中等号仅当x0时

xx0

xx0

成立．而sinxsinx02cos

sin

xx0．

对任给的0,只要取，则当0xx0时，就有sinxsinx0．

所以limsinxsinx0.可用类似方法证明limcosxcosx0

xx0

xx0

例证明lim

x12xx

1x1



3．x132x1

证：当x1时有

x12xx1





x12x1





若限制x于0x11（此时x0）则2x11，于是，对任给的0只要取min{3,1}，则当

x12xx1

0x1时，便有



x13

．

例6证明

xx0

limx



x0(x01)

证：由于x1,x01 因此xx



x0x1x

x



xx0xx0

x



2xx0x

于是，对任给的0（不妨设01）取 

x02

，则当0xx0时，就有1xx0．

关于函数极限的定义的几点说明：

（1）定义2中的正数，相当于数列极限定义中的，它依赖于，但也不是由所惟一确定．一



般来说，愈小，也相应地要小一些，而且把取得更小些也无妨．如在例3中可取或等等．

（2）定义中只要求函数f在x0的某一空心邻域内有定义，而一般不考虑f在点x0处的函数值是否有定义，或者取什么值．这是因为，对于函数极限我们所研究的是当x趋于x0过程中函数值的变化趋势．如在例3中，函数f在点x2是没有定义的，但当x2时f的函数值趋于一个定数．

（3）定义2中的不等式0xx0等价于xU

x0;,，而不等式

fx等价于

fxU;．

下面我们讨论单侧极限．

x2,x0

例如，函数 fx(I)

x,x0

当x0而趋于0时，应按fxx2来考察函数值的变化趋势；当x0而趋于0时，则应按fxx.定义3设函数f在Ux0;

'

或Ux

0

;

'

内有定义，为定数．若对任给的

0，存在正数



'

，使得当x

xx0,



x0xx0时有fx

则称数为函数f当x趋于x0(或x0)时的右(左)极限，记作



limfxlimfx或fxxx0fxxx0

xx0





xx0









右极限与左极限统称为单侧极限．f在点x0的右极限与左极限又分别记为fx00limfx与fx00limfx

xx0





xx0

按定义3容易验证函数(I)在x0处的左、右极限分别为f00limfxlimx0，f00lim

x0



x0



fxlimx



0

x0

x0

同样还可验证符号函数sgnx在x0处的左、右极限分别为limsgnxlim11,limsgnxlim1

1x0



x0



x0



x0



定理3.1limfxlimfxlimfx

xx0

xx0



xx0



三、函数极限的性质

定理3.2(唯一性)若极限limfx存在，则此极限是唯一的．

xx0

证：设,都是f当xx0时的极限，则对任给的0，分别存在正数1与2，使得： 当0xx01时有fx，(1)当0xx02时有fx，(2)取min1,2，则当0xx0时，(1)式与(2)式同时成立，故有(fx)fxfxfx2由的任意性得，这就证明了极限是唯一的.定理3.3（局部有限性）若limfx存在，则f在x0的某空心邻域U

xx0

x0内有界．

证：设limfx．取1，则存在0使得对一切xU

xx0

x0;有

x0;内有界．

fx1fx1，这就证明了f在U

定理3.4(局部保号性)若limfx0(或0)，则对任何正数r（或r)，存在xx0

U

x0，使得对一切xU0x0有 fx

r0（或fxr0）

证：设0，对任何r(0,)，取r，则存在0，使得对一切xUfxr，这就证得结论．对于0的情形可类似地证明．

x0;

注：在以后应用局部保号性时，常取r

A2

．

定理3.5(保不等式性)设limfx与都limgx都存在，且在某邻域U

xx0

xx0

x

;

'

内有fxgx则

xx0

limfxlimgx

xx0

证：设limfx=，limgx=，则对任给的0，分别存在正数1与2使得当0xx01

xx0

xx0

时有fx，当0xx02 时有gx，令min,1,2，则当0xx0时，有fxgx，'

从而2．由的任意性推出，即limfxlimgx成立．

xx0

xx0

第四篇：作业2数列极限

作业2数列极限

1、用数列极限的N定义证明下列极限：

4n

241）lim2nnn

证明：0

4n2442 nnn

14n2

取N1，当nN时，恒有24 nn

44n2

4所以lim2nnn

2）limnn1n0 

证明：0

n1n0

11n1n1n取N2，当nN时，恒有n1n0

所以limnn1n0 

n2

3）limn0 n

3证明：0，无妨设n3

n2n2n2n26n6n0n n332Cn1n2n311n

n2

取N3，当nN时，恒有n0 36

n2

所以limn0。n32、若limunA，证明limunA。并举例说明器逆命题不成立。nn

证明：0，因为limunA，所以存在N0，当nN时，恒有 n

unA

此时恒有

unAunA 所以limunA。n

例：lim11，但lim1不存在。nn

nn

3、设数列un有界，又limvn0，证明：limunvn0。nn证明：因为un有界，所以存在正数M，对任给的n有

xnM

对任给的0，由于limvn0，一定存在N0，当nN时，恒有 n

vn0vn

此时恒有

unvn0unvnM

（注意M也可以取到任意小的正数）

因此limunvn0。n

4、设un,vn两个数列有相同的极限A，求证：若xnunvn，则limxn0。n证明：0，因为limunA，所以存在N10，当nN1时，恒有 n

unA

又因为limvnA，所以存在N20，当nN2时，恒有 n

vnA

取NmaxN1,N2，当nN时

xn0unvnAunAvn2

（注意2也可以取到任意小的正数）

所以limxn0 n

5、若limunA0，n

1）证明存在N0，当nN时有un证明：取A0。2A，因为limunA，所以存在正数N，当nN时有 n2

AunA 2

AAAunAun0 222即有

2）用数列极限的定义证明limun11。nun

证明：0，因为limunA，存在N10，当nN1时有 n

unAA 4

A0 2再由1）可得存在N20，当nN2时有un

取NmaxN1,N2，当nN时，uuuAunA4Aun11n1nn1 AununA4

所以limun11。nun

第五篇：第一讲 数列极限(数学分析)

第一讲 数列极限

一、上、下确界

1、定义：

1）设SR，若MR:xS,xM，则称M是数集S的一个上界，这时称S上有界；若LR:xS,xL，则称L是数集S的一个下界，这时称S下有界；当S既有上界又有下界时就称S为有界数集。

2）设SR，若MR:xS,xM，且0,xS:xM，则称M是数集S的上确界，记MsupS；若LR:xS,xL，且0,xS:xL，则称L是数集S的下确界，记LinfS。

2、性质：

1）（确界原理）设SR，S，若S有上界，则S有上确界；若S有下界，则S有下确界。

2）当S无上界时，记supS；当S无下界时，记infS。

3）sup(AB)max{supA,supB};inf(AB)min{infA,infB}。

4）supSinf(S);infSsup(S)。

5）sup(AB)supAsupB;inf(AB)infAinfB。

6）sup(AB)supAinfB。（武大93）

7）设f(x),g(x)是D上的有界函数，则

inff(D)infg(D)inf{f(x)g(x)}supf(D)infg(D)xD

sup{f(x)g(x)}supf(D)supg(D)

xD3、应用研究

1）设{xn}为一个正无穷大数列，E为{xn}的一切项组成的数集，试证必存在自然数p，使得xpinfE。（武大94）

二、数列极限

1、定义：

1）limana0,NN():nN,|ana|，称{an}为收敛数列； n

2）limanM0,N:nN,anM，称{an}为数列； n

3）limanM0,N:nN,anM，称{an}为数列； n

4）limanM0,N:nN,|an|M，称{an}为数列；

n

5）liman0，称{an}为无穷小数列；

n

2、性质

1）唯一性：若limana,limanbab。

n

n

2）有界性：若{an}为收敛数列，则{an}为有界数列。3）保号性：limana0N,nN,an0.n

4）保不等式性：若limana,limbnb,anbn(nN0)ab.n

n

5）迫敛性：若ancnbn(nN0),limanlimbnclimcnc.n

n

n

6）四则运算：若limana,limbnb,则

n

n

lim(anbn)ab;lim(anbn)ab;lim

n

n

bnb

(a0)。

naan

xnxn1xxxn

1存在，则limnlimn。

nnynyn1ynynyn1

7）Stolz定理：设{yn}为严格增的数列，若lim

n

证明：（1）Sn明）

aaaana1a

2（用归纳法证，,nbk0,k1,2,,n，则minSn12maxSn。

b1b2bnb1b2bn

acaacc

,b0,d0a(bd)b(ac),(ac)d(bd)c，bdbbdd

minSn1minSn

an1a1anan1a1anan1

； 

bn1b1bnbn1b1bnbn1an1a1anan1a1anan1

。

bn1b1bnbn1b1bnbn1

maxSn1maxSn

（2）设lim

n

xnxn1xxxx

r0,k,nk:|nn1r|，由（1）得|nkr|，又

ynyn1ynyn12ynyk2

xk

y

rkyxx

nrk，又|因为ynyk

xnxrykyxxkx

rk(1knr)，所以|nr|ynynynynykynlim

n

xkrykxrykx

0Nk,nN:|k|，从而|nr|(nN)

nynyn2yn3、极限存在条件：

1）（Cauchy收敛准则）{an}收敛的充要条件是0,N:n,mN|anam|；

2）（单调有界收敛原理）若{an}单调增上有界，则{an}收敛，且limansupan；若{an}单调减下有界，n

n

则{an}收敛，且limaninfan；

n

n

3）（致密性定理）有界数列必有收敛子列。4）{an}收敛的充要条件是limsup(amak)0

nm.kn4、子列：n1n2,{ank}称为{an}的子列： 1）{an}收敛的充要条件是{an}的任何子列都收敛；

2）liman存在lima2n,lima2n1都存在，且lima2nlima2n1；

n

n

n

n

n

3）limanA0,满足anA至多有限项，满足anA有无穷多项，称A为{an}的上极

n

限；limanB0,满足anB至多有限项，满足anA有无穷多项，称B为{an}的下极

n

限；liman存在limanliman。

n

n

n

（1）limanlimsupxk;limanlimsupxk；

n

nkn

n

nkn

（2）anbn(nn0)limanlimbnanbn；

n

n

n

n

（3）limanlim(an)；

n

n

（4）n

anbnanbn)anlimbn

n

n

n

n

lim(anbn)limanlimbn

n

n

n

三、应用研究

11lnn，证明liman存在。

n2n

1n1dn111nxdx

b1ln,nln(1证：令n

nn2n12n1x1、设an1从而liman．

n

nd11x), an1an,bn1bn，nnn

ccxn,n1,2,，证明limxn存在并求其值。２、c[3,0),x1,xn1

n22

2c|c||c|2cxnc|c|2,xn|c|,xn10，证明：显然xn，x10。若xn0，则|xn|

224222

x2k1x2k1l

xi2k

121222

(x2kx2),xx(x2k1x2k22k22kk1)x2k1x2k1,x2k2x2k22，从而

k

cx2cx2cb2ca2nn

1maxkb,，由xl2n1i,x2n,n1,2,得a,b，1k22222222

从而ab

(ba2),(ab)(ab2)0，2

ca22

若ab20，由b，得a2a4c0，则c3，总之有ab1，即limxn1.n223、yn1yn(2yn),0y01，求证： limyn1。（武大00）

n

证明：若y0yn1，则1yn1yny0，f(x)x(2x)1(0x1)，y0y1y0(2y0)1，从而limyn(a)存在，在yn1yn(2yn)取极限，得aa(2a),0y0a1，所以a1。

n

4、设a13,a23述极限。（武大99）证明：由an13

4,a3,，如果数列{an}收敛，计算其极限，并证明数列{an} 收敛于上

3333

11111，a2n1a2n14(),a2n2a2n4()，可归纳证得：ana2na2n2a2n1a2n

1n

n

n

n

a2n,liam3an5,a2n1a2n1,a2n2a2n,从而lim2n1都存在，令lima2na,lima2n1b，由

a2n13

1,aa2n

n2

23

1a2n，取极限得a3

11ab,b3,3a,b5,abab，baab

所以数列{an} 收敛，且liman4

n

5、设数列{an}有一子列{ank}收敛，且{ank}{a2n}及{ank}{a2n1}都有无穷个元，而{a2n}及{a2n1}都为单调数列，问{an}上否收敛？为什么？（武大98）证明：1）单调数列若有收敛子列，则本身收敛：

2）由1）知{a2n}及{a2n1}都收敛，又因为lima2nlimanklima2n1，故{an}收敛。

n

k

n

6、设an0，且an（武大97），证明数列{an}中存在一子序列{ank}是收敛的子序列。



7、设ana(n)，令anmax{an,0},amax{a,0}，证明an（武大96）a(n)。





8、设{an}无上界，证明存在子序列{ank}，使得ank(k)。（武大95）9、设a0,x1

xn1n1,2,,证明极限limxn存在并求极限.（北大02）

n

xn2a，当x1a时，{xn}单调增；当x1a时，{xn}单调减，从而极限limxn存

n

在，令limxn

x，在xn1

n

x22xx2x1，xn2a得

limxn2。

n

a2n10、求极限lim.（北大01）

n1a2n

a2na2na2n1222n

a1(a)0lim0lim解：当a1时，0，；当时，；当a12n2n2nn1an1a1a

2a2n

1lim1。时，lim

n1a2nn1

12n

a

1f(a)11、设f(x)在点a右导，f(a)0，求极限lim.（北大01）n

f(a)

解：

12、a0).（北大98）

nn13、证明：（1）

11nn1n

（用ba[(n1)bna],ba0）(1)为递减数列：

n

1ln(1),n1,2（华东师大00）n1nn

（2）

14、设R中数列{an}，{bn}满足an1bnqan,n1,2,其中0q1,证明：

（1）若{bn}有界，则{an}有界；

（2）若{bn}收敛，则{an}收敛。（清华01）

证明：（1）设|bn|M,|a1|M，由于an1bnqanbnqbn1qan1从而|an1|



n

1kn

(q)b(q)a1，nkk0

k0qkMqnM

n1

M。1q

（2）设limbnb，|an1

n

bn1

||k0(q)kbnk(q)na1k0(q)kb| 1q



|k0(q)k(bnkb)(q)n(a1b)||kn1(q)kb|

n1

|k0(q)(bnkb)||km1(q)(bnk

k

k

mn1

qn

b)(q)(a1b)||b|

1q

n

|knm(q)

n

nk

qmqn

(bkb)|2M|b|

1q1q

1。x1x15、（1）用语言证明：lim

（2）设函数f在点a可导，且f(a)0。求：

f(a)

n。lim

nf(a)

n

（3）求极限

1p2pnp

lim，其中p0。（清华00）

nn1p16、求极限lim[n(e1)]（清华99）

n

1n

n17、设limana，证明 lim

n

a12a2nana

。（上海交大04）

nn2

2证明 由Stolz公式lim

a12a2nan(n1)an1a

lim。

nn(n1)2n2n2218、设xn1

3(1xn),(x10为已知)求limxn.（南京大学00）

n3xn

19、求limsin(。（浙大01）

n

20、试证：单调数列{xn}收敛到a的充要条件是存在子列{xnk}收敛到a。（武汉所00）