第一篇:数列的极限2(学生)
1、数列极限的含义:在n_________的变化过程中,若无穷数列{an}于一个常数A,则A叫做数列
7、已知数列an满足a1(1)求a2,a3的值,且Snn(2n1)an,3
{an}的极限,记作
2、几个特殊数列的极限
①②③
1、下列极限正确的个数是
①lim③lim
(2)猜想an的表达式并用数学归纳法证明(3)求Sn8、求Sn(
9、求Sn133310、设f(n)=
+
+
+…+
(n∈N*),那么
n1
n
1n
=0(α>0)②limq=0 nn
2n3n2n3n
n
=-1④limC=C(C为常数)
n
AB
2、Aliman=A,则liman=A
nn
1521212)52535452n152n
Ban>0,liman=A,则A>0
n
Climan=A,则liman=A
nn
lim(an-b)=0,则liman=limbn
nnn
3、若limq存在,则实数q的取值范围是_______
n
n4、an是首项为3,公差为2的等差数列,则
111。a1a2a2a3an1an5、求Sn
6、求Sn[n(1-
1232n
n21n21n21n21
f(n+1)﹣f(n)等于______________
11、在用数学归纳法证明(n+1)(n+2)…(n+n)
n*=2•1•2•3•…•(2n﹣1)(n∈N)时,从k到k+1,左端需要增加的代数式是____________
12、用数学归纳法证明:1*n+2*(n-1)+3*(n-2)+ …+(n-1)*2+n*1=(1/6)n(n+1)(n+2)
1111)(1-)(1-)…(1-)] 345n2
第二篇:作业2数列极限
作业2数列极限
1、用数列极限的N定义证明下列极限:
4n
241)lim2nnn
证明:0
4n2442 nnn
14n2
取N1,当nN时,恒有24 nn
44n2
4所以lim2nnn
2)limnn1n0
证明:0
n1n0
11n1n1n取N2,当nN时,恒有n1n0
所以limnn1n0
n2
3)limn0 n
3证明:0,无妨设n3
n2n2n2n26n6n0n n332Cn1n2n311n
n2
取N3,当nN时,恒有n0 36
n2
所以limn0。n32、若limunA,证明limunA。并举例说明器逆命题不成立。nn
证明:0,因为limunA,所以存在N0,当nN时,恒有 n
unA
此时恒有
unAunA 所以limunA。n
例:lim11,但lim1不存在。nn
nn
3、设数列un有界,又limvn0,证明:limunvn0。nn证明:因为un有界,所以存在正数M,对任给的n有
xnM
对任给的0,由于limvn0,一定存在N0,当nN时,恒有 n
vn0vn
此时恒有
unvn0unvnM
(注意M也可以取到任意小的正数)
因此limunvn0。n
4、设un,vn两个数列有相同的极限A,求证:若xnunvn,则limxn0。n证明:0,因为limunA,所以存在N10,当nN1时,恒有 n
unA
又因为limvnA,所以存在N20,当nN2时,恒有 n
vnA
取NmaxN1,N2,当nN时
xn0unvnAunAvn2
(注意2也可以取到任意小的正数)
所以limxn0 n
5、若limunA0,n
1)证明存在N0,当nN时有un证明:取A0。2A,因为limunA,所以存在正数N,当nN时有 n2
AunA 2
AAAunAun0 222即有
2)用数列极限的定义证明limun11。nun
证明:0,因为limunA,存在N10,当nN1时有 n
unAA 4
A0 2再由1)可得存在N20,当nN2时有un
取NmaxN1,N2,当nN时,uuuAunA4Aun11n1nn1 AununA4
所以limun11。nun
第三篇:数列极限例题
三、数列的极限
(1)n1}当n时的变化趋势.观察数列{1n问题:
当n无限增大时, xn是否无限接近于某一确定的数值?如果是, 如何确定? 通过上面演示实验的观察:
(1)n1当n无限增大时, xn1无限接近于1.n问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.xn1(1)n1给定
11 nn1111, 由, 只要n100时, 有xn1, 100n10010011,只要n1000时, 有xn1, 给定1000100011,只要n10000时, 有xn1, 给定10000100001给定0,只要nN([])时, 有xn1成立.定义
如果对于任意给定的正数(不论它多么小), 总存在正整数N, 使得对于nN时的一切xn, 不等式xna都成立, 那末就称常数a是数列xn的极限, 或者称数列xn收敛于a, 记为
limxna,或xna(n).n如果数列没有极限, 就说数列是发散的.注意:
N定义:limxna0,N0, 使nN时, 恒有xna.n其中记号:每一个或任给的;:至少有一个或存在.数列收敛的几何解释:
a2axN2x2x1xN1ax3x
当nN时, 所有的点xn都落在(a,a)内, 只有有限个(至多只有N个)落在其外.注意:数列极限的定义未给出求极限的方法.n(1)n11.例1 证明limnnn(1)n111 .证
注意到xn1 nn任给0, 若要xn1, 只要
11,或 n, n所以, 取 N[], 则当nN时, 就有 1n(1)n11.nn(1)n11.即limnn
重要说明:(1)为了保证正整数N,常常对任给的0,给出限制01;
n(1)n11”的详细推理
(2)逻辑“取 N[], 则当nN时, 就有
n1见下,以后不再重复说明或解释,对函数极限同样处理逻辑推理.由于N立.严格写法应该是:任给0, 不妨取01,若要11N1,所以当nN时一定成立nN11,即得
1成nn(1)n11111< ,只要 n,所以, 取 N[], 则当nN时, 由于xn1=nn1111NN1,所以当nN时一定成立nN1,即得成立.也就
n是成立
n(1)n111.xn1=
nnn(1)n11.即limnn小结: 用定义证数列极限存在时, 关键是任意给定0,寻找N, 但不必要求最小的N.例3证明limq0, 其中q1.nn证
任给0(要求ε<1)若q0, 则limqlim00;
nnn若0q1, xn0q, nlnqln,nnlnln, 取N[](1), 则当nN时, 就有qn0, lnqlnqlimqn0.n0, q1,q1,, n
说明:当作公式利用:limq
n1, q1,不存在,q1.
第四篇:数列极限教案
数列的极限教案
授课人:###
一、教材分析
极限思想是高等数学的重要思想。极限概念是从初等数学向高等数学过渡所必须牢固掌握的内容。
二、教学重点和难点
教学重点:数列极限概念的理解及数列极限N语言的刻画。
教学难点:数列极限概念的理解及数列极限N语言的刻画,简单数列的极限进行证明。
三、教学目标
1、通过学习数列以及数列极限的概念,明白极限的思想。
2、通过学习概念,发现不同学科知识的融会贯通,从哲学的量变到质变的思想的角度来看待数列极限概念。
四、授课过程
1、概念引入
例子一:(割圆术)刘徽的割圆术来计算圆的面积。
.........内接正六边形的面积为A1,内接正十二边形的面积为A2......内接正62n1形的面积为An.A1,A2,A3......An......圆的面积S.用圆的内接正六n边形来趋近,随着n的不断增加,内接正六n边形的面积不断
1接近圆的面积。
例子二:庄子曰“一尺之锤,日取其半,万世不竭”。
第一天的长度1第二天的剩余长度 第二天的剩余长度
第四天的剩余长度 8
.....第n天的剩余长度n1.......2
随着天数的增加,木杆剩余的长度越来越短,越来越接近0。
这里蕴含的就是极限的概念。
总结:极限是变量变化趋势结果的预测。例一中,内接正六n边形的边数不断增加,多边形的面积无限接近圆面积;例二中,随着天数的不断增加,木杆的剩余长度无限接近0.在介绍概念之前看几个具体的数列:
1111(1): 1,,......; 23nn
1n1111:1,,,......;(2)n2345
(3)n2:1,4,9,16,......;
(4)1:1,1,1,1,......,1,......; nn
我们接下来讨论一种数列xn,在它的变化过程中,当n趋近于时,xn不断接近于某一个常数a。如随着n的增大,(1),(2)中的数列越来越接近0;(3)
(4)中的数列却没有这样的特征。
此处“n趋近于时”,“xn无限接近于数a”主要强调的是“一个过程”和一种“接近”程度。
可是只凭定性的描述和观察很难做到准确无误,所以需要精确的,定量的数学语言来刻画数列的概念。本节课的重点就是将数列的这样一个特征用数学语言刻画出来,并引入数列极限的概念。
2、内容讲授
(定义板书)设xn是一个数列,a是实数。如果对于任意给定的数0,总存在一个正整数N,当nN时,都有xna,我们称a是数列x
n的极限,或者说数列xn收敛且收敛于数a。
写作:limxna或xnan。
n
如果数列没有极限,就说数列是发散的。
注意:(1)理解定义中的“任意给定”:是代表某一个正数,但是这个数在选取时是任意的,选定以后就是固定的。不等式xna是表示xn与a的接近程度,所以可以任意的小。
(2)N的选取是与任意给定的有关的。11以数列为例,欲若取,则存在N100,当nNxna; 100n
若取1,则存在N1000,当nN时,xna。1000
数列极限的N语言:
limx
nna0,N,nNxna.数列极限的几何解释:
3、例题讲解
n211。例题1用数列极限的定义证明limnnn
n21证明:设xn,因为 nn
n21212xn1nnnnn
0,欲使xn,只要22即n,n
2我们取N1,当nN时,
n2122.nnNn
n21所以lim1.nnn
2注:N的取法不是唯一的,在此题中,也可取N10等。
例题2 设xnC(C为常数),证明limxnC。n
证明:任给的0,对于一切正整数n,xnCCC0,所以limxnC。n
小结:用定义证数列极限存在时,关键是任意给定寻找N,但不必要求最小的N.五、课后作业
第五篇:数列极限复习
数列极限复习题
姓名
242n1、lim=; n139(3)n
an22n1a2、若lim(2n)1,则=; nbn2b
1an3、如果lim()0,则实数a的取值范围是;n2a
n4、设数列{an}的通项公式为an(14x),若liman存在,则x的取值范围是n
___;
a5.已知无穷等比数列n的前n项和
穷等比数列各项的和是;
6、数列an满足a1Sn1a(nN*)n3,且a是常数,则此无1,且对任意的正整数m,n都有amnaman,则数列an的3所有项的和为;
7、无穷等比数列an的首项是某个自然数,公比为单位分数(即形如:数,m为正整数),若该数列的各项和为3,则a1a2;
8、无穷等比数列an的各项和为2,则a1的取值范围是
1的分m
9、无穷等比数列an中,为;
lim(a2a3...an)
n
=1,则a1的取值范围
cosnsinn
10、计算: lim,[0,]
ncosnsinn
222na2n111、若lim2n1,则实数a的取值范围是; 2n
12a
23n2n(1)n(3n2n)
12、若数列{an}的通项公式是an=,n=1,2,„,则
lim(a1a2an)__________;
n
1
1n2012n(n1)
13、若an,Sn为数列an的前n项和,求limSn____;
n
31n2013n1
214、等差数列an,bn的前n项和分别为Sn,Tn且
an
nbn
Sn2n
,则Tn3n
1lim15、设数列an、bn都是公差不为0的等差数列,且lim
lim
b1b2b3n
na4n
an
3,则bn16、已知数
列为等差数列,且,则
a117、设等比数列{an}的公比为q,且lim1qn),则a1的取值范围是
n1q
2__________;
18、已知等比数列{an}的首项a11,公比为q(q0),前n项和为Sn,若
lim
Sn
11,则公比q的取值范围是.;
nSn19、已知数列{an}的各项均为正数,满足:对于所有nN*,有4Sn(an1)2,n
()其中Sn表示数列{an}的前n项和.则limnan
A.0B.1C.D.
220、下列命题正确的是 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„()
(A)limanA, limbnB则lim
n
n
anA
(bn0,nN)
nbBn
(B)若数列{an}、{bn}的极限都不存在,则{anbn}的极限也不存在(C)若数列{an}、{anbn}的极限都存在,则{bn}的极限也存在(D)设Sna1a2an,若数列{an}的极限存在,则数列{Sn}的极限也存在21、用记号“○+”表示求两个实数a与b的算术平均数的运算, 即a○+b=已知数列{xn}满足x1=0,x2=1,xn=xn-1○+xn-2(n≥3),则limxn等于()
n
ab
.2A.2
3B.12
C.0D.122、连结ABC的各边中点得到一个新的A1B1C1,又A1B1C1的各边中点得到一个新的A2B2C2,如此无限继续下去,得到一系列三角形,A1B1C1,A2B2C2,A3B3C3,, 这一系列三角形趋向于一个点M。已知
A0,0,B3,0,C2,2,则点M的坐标是()
52522A、(,)B、(,1)C、(,1)D、(1,)
3333323、已知数列
lim
{an},{bn}
都是无穷等差数列,其中
a13,b12,b2是a2和a
3的等差中
an1111lim(...)nbn2,求极限a1b1a2b2anbn的值; n项,且
24、设正数数列
lga
lin
1n
an
为一等比数列,且a24,a416,求
lagn2n
2al2ng;
bnlgan,25、数列{an}是由正数组成的数列,其中c为正常数,数列bna1c,成等差数列且公差为lgc(1)求证an是等比数列;(2)an的前n项和为Sn,求lim26、已知f(x)logax(ao且a1),an
nSn
且2,f(a1),f(a2),f(a3),,f(an),2n1,(nN)成等差数列,(1)求数列an的通项公式;
(2)若数列an的前n项和为Sn,当a1时,求lim
Sn
nan