数列极限的定义教案

第一篇：数列极限的定义教案

第十七教时

教材：数列极限的定义（N）

目的：要求学生掌握数列极限的N定义，并能用它来说明（证明）数列的极限。过程：

一、复习：数列极限的感性概念

二、数列极限的N定义

n

1．以数列(1)n为例

a111n:1，，234 0 观察：随n的增大，点越来越接近

2只要n充分大，表示点a(1)n即：n与原点的距离an0n01n可以充分小 进而：就是可以小于预先给定的任意小的正数 n

2．具体分析：(1)如果预先给定的正数是

1(1)10，要使an0n01n<110 只要n10即可 即：数列(1)nn的第10项之后的所有项都满足

(2)同理：如果预先给定的正数是1103，同理可得只要n103即可(3)如果预先给定的正数是

110k(kN*)，同理可得：只要n10k即可

3．小结：对于预先给定的任意小正数，都存在一个正整数N，使得只要nN

就有an0<

4．抽象出定义：设an是一个无穷数列，a是一个常数，如果对于预先给定的任意小的正数，总存在正整数N，使得只要正整数nN，就有ana<，那么就说数列an以a为极限（或a是数列an的极限）

记为：limnana 读法：“”趋向于

“n” n无限增大时

注意：①关于：不是常量，是任意给定的小正数

②由于的任意性，才体现了极限的本质

③关于N：N是相对的，是相对于确定的，我们只要证明其存在

④ana：形象地说是“距离”，an可以比a大趋近于a，也可以比a小趋近于

a，也可以摆动趋近于a

三、处理课本 例

二、例

三、例四

例三：结论：常数数列的极限是这个常数本身

例四 这是一个很重要的结论

四、用定义证明下列数列的极限：

1．lim2n1n2

2．lim3n1n1

n2n132 证明1：设是任意给定的小正数

2n12n111n12n要使2n 即：2

两边取对数 nlog1

取 N12log2

„„„„介绍取整函数 2n12n当nN时，2n1恒成立

∴lim1n2n1

证明2：设是任意给定的小正数

要使

3n11512n132 只要

2n15

n42 取N513n1342

当nN时，2n12恒成立

∴lim3n1n2n132

第二篇：数列极限的定义

第十六教时

教材：数列极限的定义

目的：要求学生首先从实例（感性）去认识数列极限的含义，体验什么叫无限地“趋

近”，然后初步学会用N语言来说明数列的极限，从而使学生在学习数学中的“有限”到“无限”来一个飞跃。过程：

一、实例：1当n无限增大时，圆的内接正n边形周长无限趋近于圆周长

2在双曲线xy1中，当x时曲线与x轴的距离无限趋近于0

二、提出课题：数列的极限考察下面的极限

1 数列1：

110,111

102,103,,10

n,①“项”随n的增大而减少②但都大于0

③当n无限增大时，相应的项1

n可以“无限趋近于”常数0

2 数列2：123n

2,3,4,,n1,

①“项”随n的增大而增大②但都小于1

③当n无限增大时，相应的项n

n1可以“无限趋近于”常数1

3 数列3：1,11(1)n

2,3,,n,①“项”的正负交错地排列，并且随n的增大其绝对值减小

②当n无限增大时，相应的项(1)n

n

可以“无限趋近于”常数

引导观察并小结，最后抽象出定义：

一般地，当项数n无限增大时，无穷数列an的项an无限地趋近于某

个数a（即ana无限地接近于0），那么就说数列an以a为极限，或者说a是数列an的极限。（由于要“无限趋近于”，所以只有无穷数列才有极限）

数列1的极限为0，数列2的极限为1，数列3的极限为0

三、例一（课本上例一）略

注意：首先考察数列是递增、递减还是摆动数列；再看这个数列当n无限

增大时是否可以“无限趋近于”某一个数。

练习：（共四个小题，见课本）

四、有些数列为必存在极限，例如：an(1)n

或ann都没有极限。例二下列数列中哪些有极限？哪些没有？如果有，极限是几？

1．a1(1)n1(1)n

n22．an2

3．anan(aR)

n

4．a1)n135

n(n5．an5 3

解：1．an：0,1,0,1,0,1,„„不存在极限

2．a2,0,22

n：3,0,5,0,极限为0

3．an：a,a2,a3,不存在极限

4．a,33

n：32,14,极限为0

5．an

5525n：先考察，， 无限趋近于0 3：

392781∴ 数列an的极限为5

五、关于“极限”的感性认识，只有无穷数列才有极限

六、作业：习题1

补充：写出下列数列的极限：1 0.9,0.99,0.999,„„2 a1

n

2n

3 



(1)n113456111n4 2,3,4,5,5 an1242n

第三篇：数列极限的定义

Xupeisen110高中数学

教材：数列极限的定义（N）

目的：要求学生掌握数列极限的N定义，并能用它来说明（证明）数列的极限。过程：

一、复习：数列极限的感性概念

二、数列极限的N定义



1n

3．小结：对于预先给定的任意小正数，都存在一个正整数N，使得只要nN 就

有an0<

4．抽象出定义：设an是一个无穷数列，a是一个常数，如果对于预先给定的任

意小的正数，总存在正整数N，使得只要正整数nN，就有ana<，那么就说数列an以a为极限（或a是数列an的极限）

Xupeisen110高中数学

记为：limana 读法：“”趋向于“n” n无限增大时

n

注意：①关于：不是常量，是任意给定的小正数

②由于的任意性，才体现了极限的本质

③关于N：N是相对的，是相对于确定的，我们只要证明其存在④ana：形象地说是“距离”，an可以比a大趋近于a，也可以比a小趋近于

例四1．lim

n

证明

证明2：设是任意给定的小正数

要使3n13 只要

2n1

12n1





n

54



取N51当nN时，3n13恒成立

422n12

第四篇：关于数列极限的两个定义

关于数列极限的两个定义

定义1．设有数列an，a 是有限常数。若对任意0N，对任意正整

数nN，有 ana，则称数列an的极限是 a。

定义2．设有数列an，a 是有限常数。若对任意0，对任意正整数

nN，有 ana，则称数列an的极限是 a

定义1 是课本第46面的原文，定义2 是我讲课时用的。这两个定义的区别只在对N的要求：定义1 要求N是正整数，而定义2只要求N是实数，这是很低的要求，故定义2比定义1较便于应用。

由于两个定义对N的要求不同，易使人误认为两个定义界定的对象不一样，即：两个定义不等价。实际上，这两个定义完全是等价的！为说明这两个定义的等价性，我们需要两个显然的命题：

命题1．对于任意实数r均存在正整数n，使得nr。

命题2．对于任意实数r，若正整数n，成立nr，则对于每一个正整数m均有nmr。要证明定义1与定义2等价，我们只需证明这两个定义界定的极限一样即可。证明：设有数列an。

（1）若有限常数a是定义1 界定的极限，由于正整数N是实数，因此，常数a也

是定义2 界定的极限。

（2）若有限常数a是定义2 界定的极限，由定义2，对任意0，存在实数N，对任意正整数nN，有 ana；对于实数N，必有正整数M使得MN（命题1）；当nM时，必有nN；故对于正整数M，当nM时必有ana。因此，常数a也是定义1 界定的极限。

说明：（2）中的正整数M即是定义1 中的N。极限证明中关键是由 nN 保证

ana，而不是N是否是正整数。

另，请大家注意课本p.55 的第1题，这个题对于帮助大家深入理解数列极限定义是有很大作用的。

第五篇：数列极限教案

数列的极限教案

授课人：###

一、教材分析

极限思想是高等数学的重要思想。极限概念是从初等数学向高等数学过渡所必须牢固掌握的内容。

二、教学重点和难点

教学重点：数列极限概念的理解及数列极限N语言的刻画。

教学难点：数列极限概念的理解及数列极限N语言的刻画，简单数列的极限进行证明。

三、教学目标

1、通过学习数列以及数列极限的概念，明白极限的思想。

2、通过学习概念，发现不同学科知识的融会贯通，从哲学的量变到质变的思想的角度来看待数列极限概念。

四、授课过程

1、概念引入

例子一：(割圆术)刘徽的割圆术来计算圆的面积。

.........内接正六边形的面积为A1，内接正十二边形的面积为A2......内接正62n1形的面积为An.A1,A2,A3......An......圆的面积S.用圆的内接正六n边形来趋近，随着n的不断增加，内接正六n边形的面积不断

1接近圆的面积。

例子二：庄子曰“一尺之锤，日取其半，万世不竭”。

第一天的长度1第二天的剩余长度 第二天的剩余长度

第四天的剩余长度 8

.....第n天的剩余长度n1.......2

随着天数的增加，木杆剩余的长度越来越短，越来越接近0。

这里蕴含的就是极限的概念。

总结：极限是变量变化趋势结果的预测。例一中，内接正六n边形的边数不断增加，多边形的面积无限接近圆面积；例二中，随着天数的不断增加，木杆的剩余长度无限接近0.在介绍概念之前看几个具体的数列：

1111（1）: 1，,......； 23nn

1n1111:1，，,......；（2）n2345

（3）n2:1,4,9,16,......；

（4）1:1,1,1,1,......,1,......； nn

我们接下来讨论一种数列xn，在它的变化过程中，当n趋近于时，xn不断接近于某一个常数a。如随着n的增大，（1），（2）中的数列越来越接近0；（3）

（4）中的数列却没有这样的特征。

此处“n趋近于时”，“xn无限接近于数a”主要强调的是“一个过程”和一种“接近”程度。

可是只凭定性的描述和观察很难做到准确无误，所以需要精确的，定量的数学语言来刻画数列的概念。本节课的重点就是将数列的这样一个特征用数学语言刻画出来，并引入数列极限的概念。

2、内容讲授

（定义板书）设xn是一个数列，a是实数。如果对于任意给定的数0，总存在一个正整数N，当nN时，都有xna，我们称a是数列x

n的极限，或者说数列xn收敛且收敛于数a。

写作：limxna或xnan。

n

如果数列没有极限，就说数列是发散的。

注意：（1）理解定义中的“任意给定”：是代表某一个正数，但是这个数在选取时是任意的，选定以后就是固定的。不等式xna是表示xn与a的接近程度，所以可以任意的小。

（2）N的选取是与任意给定的有关的。11以数列为例，欲若取，则存在N100，当nNxna； 100n

若取1，则存在N1000，当nN时，xna。1000

数列极限的N语言：

limx

nna0,N,nNxna.数列极限的几何解释：

3、例题讲解

n211。例题1用数列极限的定义证明limnnn

n21证明：设xn，因为 nn

n21212xn1nnnnn

0，欲使xn，只要22即n，n

2我们取N1，当nN时，

n2122.nnNn

n21所以lim1.nnn

2注：N的取法不是唯一的，在此题中，也可取N10等。

例题2 设xnC（C为常数），证明limxnC。n

证明：任给的0，对于一切正整数n，xnCCC0，所以limxnC。n

小结：用定义证数列极限存在时,关键是任意给定寻找N,但不必要求最小的N.五、课后作业