数列极限定义的教学设计探讨(科技创新导报)

第一篇：数列极限定义的教学设计探讨(科技创新导报)

联系方法：浙江杭州临安浙江林学院理学院 顾庆凤 邮编 311300 联系电话：*** 邮箱：ganzhougirl@163.com

数列极限定义的教学过程设计探讨

顾庆凤

（浙江林学院理学院，浙江临安 311300）

摘要：数列极限是高等数学的基础，理解和掌握好数列极限的定义对大学生高等数学的学习起着至关重要的作用，而数列极限定义中的符号关系复杂，不易理解。为帮助学生深刻理解数列极限的定义，我们这里对数列极限定义教学过程的设计进行了探讨。关键词：数列；数列极限；描述性定义；-N定义

数列极限是高等数学的基础，是高等数学中最重要的概念之一，它是研究微分学和积分学的必备工具，对它的理解和掌握关系到高等数学这门课的学习，也关系到对后继课程理解的程度。另外，由于学生刚入学不久的高等数学课就要接触极限概念，而且数列极限的-N定义中符号关系复杂，不易理解，如果不能理解好数列极限的-N定义，这将会影响学生学习高数的信心。怎样教数列极限，才能让学生真正了解它的直观背景，理解它的思想方法，而不至于只是形式地去“理解”它的定义，机械地去“掌握”它的方法呢？重要的是如何引导学生从数列极限的描述性定义向-N定义过渡和转化。笔者总结多年教学经验，对数列极限定义的教学过程进行了如下设计：

1.导入新知—-让学生体会极限的思想方法及极限定义发生发展的过程

介绍我国古代数学家对数列极限思想所作的贡献。如公元前四世纪，我国古代的哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话“一尺之锤，日取其半，万事不竭”，这句话用数量形式加以描述，便得到每天截去一半所余的尺数是一个无穷等比数列111111，2,3,,n，然后启发学生思考由无穷数列n的变化趋势怎样去解释“万世22222不竭”的含义。通过思考，学生最后得出结论：“

1越来越接近0，但永远不等于0，所以n2万世不竭。又介绍我国魏晋时期大数学家刘徽利用圆的内接正多边形来推算圆的面积的方法—割圆术，就是用到极限思想研究几何问题。他首先作圆的内接正六边形，再作圆的内接正十二边形、内接正二十四边形、内接正四十八边形„，当边数无限增大时，从图形上看，内接正多边形无限接近于圆，从数值上看，内接正多边形的面积无限接近于一个常数，这个常数就是该圆的面积。通过模拟割圆术，使学生比较具体的感受到“无穷数列的变化趋势”，加深了学生对“变化趋势”、“无限接近”、“极限”等感性的认识。

2.无穷数列的概念—-让学生理解数列也是一种函数，我们主要关心其变化趋势

这里告诉学生：数列xn可以看作自变量为正整数n的函数，即xnf(n),nZ.这样后面函数极限定义的讲解可以从数列极限定义自然地过度。然后，让学生对数列 1 作者简介：顾庆凤（1979.1）,女,硕士,讲师,硕士,研究方向：排队论。n1(1)nnn,,(1),2考察：当n时，这些数列分别无限接近多少。从而让学2n生明白：对于数列xn，我们主要关心当n无限增大时，数列xn无限接近什么？

3.通过观察引出极限的描述性定义

通过第2部分的例子让学生直观地归纳出数列的描述性定义：“如果n无限增大时，数列xn无限接近于一个常数a，则称该数列以a为极限，记作limxna或xna(n).n如果这样的常数a不存在，则称数列xn没有极限。这里指出描述性定义易懂但不精确，科学的极限定义必须超越直观与想象，在运算和推理论证中具有可操作性，所以必须将“无限增大”、“无限接近”这些定性描述的语句转换为定量的刻画。

4.从极限的描述性定义向-N定义转化

结论“xn无限接近于一个常数a”的转换：该语句等价于“距离xna可以任意小”，因此表达成“0,xna”，但此式的成立是以“n无限增大”为前提的，这个前提条件表达成“N(某项数)，当nN时”。所以“n无限增大时，数列xn无限接近于一个常数a”的转换成：“0,N(某项数)，当nN时，有xna”。这相当于说，0,n1,2,N时不必有xna，从N1项起后面的所有项皆有xna，即xN1a，xN2a，。

5.-N定义的进一步分析

教师还须对-N定义作进一步的解释，要指出：

①是事先给定的任意小的正数，它具有两重性。一是它的任意性，因此它不是一个固定的常数，它是用来刻画xn无限接近于常数a的程度的；二是它的相对固定性，一经取定，就相对固定了下来，以便根据它去求出N。

②N的相对存在性。N由相应的确定，一般越小，N越大，有时N也记成N(),但并不意味着N由唯一确定。N重要的是存在，而不在乎其大小。

③与N的关系：任意给定后，才能找到相应的N，当n满足nN时，才有xna，其中N是给定后才确定的。

6.从理性认识又回归感性认识，对定义作出几何解释

介绍极限定义的几何意义，将数学语言转化为几何语言：不管多么小，总能找到一个正整数N，从N1项开始后面的所有项xn都落在点a的邻域内，在邻域外最多只有有限项x1,x2,,xN.通过对极限定义的几何表达，学生对于图像这样的具体表现形式更容易接受和理解。

7.用极限的-N定义来证明数列的极限

首先分析如何用-N定义来证明limxna.任意给定了之后，问题的关键就是找正

n整数N，使得当nN时，就有xna都成立。那么怎么找N呢？问题转化为根据去找N，也就是说，从不等式xna出发，去解一个关于n的不等式，一定要推出nh()的形式，这样的[h()]就是我们要找的N。

n2然后师生按-N定义证明极限lim0;lim21;limqn0,q1。

nnn1nn1指出论证的目的是对任意给出的考察相应的N是否存在，总结解题步骤，初步学习证明数列极限的方法，其中涉及不等式适当放大的技巧。

8.课余讨论题

让学生讨论问题“的功能可否用a来替代，可否限制0a(其中a为某正数)，nN可否写成nN？”，让学生进一步体会，N的本质。

9.布置作业

书后的习题约3到4题。

在这样的教学过程中，极限的-N定义的难度得到了合理的分解，学生循序渐进，最终达到理解、掌握和运用的目标，为后继学习准备了必要的基本工具。

参考文献：

[1] 同济大学数学系.高等数学[M].上册.第六版.高等教育出版社.2007.[2] 同济大学数学系.高等数学习题全解指南[M].上册.第六版.高等教育出版社.2007.[3]王家军.高等数学 [M].上册.第一版.中国农业出版社.2009.

第二篇：数列极限的定义

第十六教时

教材：数列极限的定义

目的：要求学生首先从实例（感性）去认识数列极限的含义，体验什么叫无限地“趋

近”，然后初步学会用N语言来说明数列的极限，从而使学生在学习数学中的“有限”到“无限”来一个飞跃。过程：

一、实例：1当n无限增大时，圆的内接正n边形周长无限趋近于圆周长

2在双曲线xy1中，当x时曲线与x轴的距离无限趋近于0

二、提出课题：数列的极限考察下面的极限

1 数列1：

110,111

102,103,,10

n,①“项”随n的增大而减少②但都大于0

③当n无限增大时，相应的项1

n可以“无限趋近于”常数0

2 数列2：123n

2,3,4,,n1,

①“项”随n的增大而增大②但都小于1

③当n无限增大时，相应的项n

n1可以“无限趋近于”常数1

3 数列3：1,11(1)n

2,3,,n,①“项”的正负交错地排列，并且随n的增大其绝对值减小

②当n无限增大时，相应的项(1)n

n

可以“无限趋近于”常数

引导观察并小结，最后抽象出定义：

一般地，当项数n无限增大时，无穷数列an的项an无限地趋近于某

个数a（即ana无限地接近于0），那么就说数列an以a为极限，或者说a是数列an的极限。（由于要“无限趋近于”，所以只有无穷数列才有极限）

数列1的极限为0，数列2的极限为1，数列3的极限为0

三、例一（课本上例一）略

注意：首先考察数列是递增、递减还是摆动数列；再看这个数列当n无限

增大时是否可以“无限趋近于”某一个数。

练习：（共四个小题，见课本）

四、有些数列为必存在极限，例如：an(1)n

或ann都没有极限。例二下列数列中哪些有极限？哪些没有？如果有，极限是几？

1．a1(1)n1(1)n

n22．an2

3．anan(aR)

n

4．a1)n135

n(n5．an5 3

解：1．an：0,1,0,1,0,1,„„不存在极限

2．a2,0,22

n：3,0,5,0,极限为0

3．an：a,a2,a3,不存在极限

4．a,33

n：32,14,极限为0

5．an

5525n：先考察，， 无限趋近于0 3：

392781∴ 数列an的极限为5

五、关于“极限”的感性认识，只有无穷数列才有极限

六、作业：习题1

补充：写出下列数列的极限：1 0.9,0.99,0.999,„„2 a1

n

2n

3 



(1)n113456111n4 2,3,4,5,5 an1242n

第三篇：数列极限的定义

Xupeisen110高中数学

教材：数列极限的定义（N）

目的：要求学生掌握数列极限的N定义，并能用它来说明（证明）数列的极限。过程：

一、复习：数列极限的感性概念

二、数列极限的N定义



1n

3．小结：对于预先给定的任意小正数，都存在一个正整数N，使得只要nN 就

有an0<

4．抽象出定义：设an是一个无穷数列，a是一个常数，如果对于预先给定的任

意小的正数，总存在正整数N，使得只要正整数nN，就有ana<，那么就说数列an以a为极限（或a是数列an的极限）

Xupeisen110高中数学

记为：limana 读法：“”趋向于“n” n无限增大时

n

注意：①关于：不是常量，是任意给定的小正数

②由于的任意性，才体现了极限的本质

③关于N：N是相对的，是相对于确定的，我们只要证明其存在④ana：形象地说是“距离”，an可以比a大趋近于a，也可以比a小趋近于

例四1．lim

n

证明

证明2：设是任意给定的小正数

要使3n13 只要

2n1

12n1





n

54



取N51当nN时，3n13恒成立

422n12

第四篇：数列极限教学设计

数列极限教学设计

复习目的：1.理解数列极限的概念，会用“”定义证明简单数列的极限。

2.掌握三个最基本的极限和数列极限的运算法则的运用。

3.理解无穷数列各项和的概念。

4.培养学生的推理论证能力、运算能力，提高学生分析问题，解决问

题的能力。

教学过程：

问题1：根据你的理解，数列极限的定义是如何描述的？

数列极限的定义：对于数列{an},如果存在一个常数A，无论事先指定多么小的正数，都能在数列中找到一项aN,使得这一项后的所有项与A的差的绝对值小于，（即当n>N时，记<恒成立），则常数A叫数列{an}的极限。——“”定义。问题2：“作用？ 正数”定义中，的任意性起什么作用？，N的存在性又起什么的任意性和N的存在性是定义的两个基本特征。

时，an趋近于A的无限性，即趋近程度的无（1）的任意性刻划了当

限性（要有多近有多近）。

（2）N的存在性证明了这一无限趋近的可能性。

问题3：“

问题4：“”定义中的N的值是不是唯一？ ”定义中，<的几何意义是什么？

因为< 即A-n,所以无论区间（A-，A+）多么小，当n>N时，an对应的点都在区间（A-

问题5：利用“，A+）内。”定义来证明数列极限的关键是什么？ <恒成关键是对任意的要找到满足条件的N。（条件是当n>N时，立）。

问题6

：无穷常数数列有无极限？数列呢？数列

（<1）呢？

三个最基本的极限：（1）C=C，（2）=0，（3）=0（<1）。

问题7

：若=A，=B，则（）=？，（）=

？，=

？，=？。数列极限的运算法则：（）=A+B，（）=A-B，=AB，=（B0）。

即如果两个数列都有极限，那么这两个数列对应项的和，差，积，商组成新数列的极限分别等于它们极限的和，差，积，商。（各项作为除数的数列的极限不能为零)

问题8：（，）

=

++

+=0对吗？ 运算法则中的只能推广到有限个的情形。

问题9：无穷数列各项和s是任何定义的？ s=,其中为无穷数列的前n项和，特别地，对无穷等比数列（<1），s=。注意它的含义和成立条件。例1

．用极限定义证明：

例2．求下列各式的值

（2）[（）=，]

（2）（）

例3

．已知例4

．计算：

（++）=0，求实数a,b的值。+，例5．已知数列是首项为1，公差为d的等差数列，它的前n项和为

<1)的等比数列，它的前n项和为，是首项为1，公比为q（记=+++，若（-）=1，求d , q。

小结：本节课复习了数列极限的概念，运算法则，三个最基本的极限，无穷数列各项和的概念，以及它们的运用，主要是利用数列极限概念证明简单数列的极限，利用运算法则求数列的极限，（包括已知极限求参数），求无穷数列各项和。

第五篇：数列极限的定义教案

第十七教时

教材：数列极限的定义（N）

目的：要求学生掌握数列极限的N定义，并能用它来说明（证明）数列的极限。过程：

一、复习：数列极限的感性概念

二、数列极限的N定义

n

1．以数列(1)n为例

a111n:1，，234 0 观察：随n的增大，点越来越接近

2只要n充分大，表示点a(1)n即：n与原点的距离an0n01n可以充分小 进而：就是可以小于预先给定的任意小的正数 n

2．具体分析：(1)如果预先给定的正数是

1(1)10，要使an0n01n<110 只要n10即可 即：数列(1)nn的第10项之后的所有项都满足

(2)同理：如果预先给定的正数是1103，同理可得只要n103即可(3)如果预先给定的正数是

110k(kN*)，同理可得：只要n10k即可

3．小结：对于预先给定的任意小正数，都存在一个正整数N，使得只要nN

就有an0<

4．抽象出定义：设an是一个无穷数列，a是一个常数，如果对于预先给定的任意小的正数，总存在正整数N，使得只要正整数nN，就有ana<，那么就说数列an以a为极限（或a是数列an的极限）

记为：limnana 读法：“”趋向于

“n” n无限增大时

注意：①关于：不是常量，是任意给定的小正数

②由于的任意性，才体现了极限的本质

③关于N：N是相对的，是相对于确定的，我们只要证明其存在

④ana：形象地说是“距离”，an可以比a大趋近于a，也可以比a小趋近于

a，也可以摆动趋近于a

三、处理课本 例

二、例

三、例四

例三：结论：常数数列的极限是这个常数本身

例四 这是一个很重要的结论

四、用定义证明下列数列的极限：

1．lim2n1n2

2．lim3n1n1

n2n132 证明1：设是任意给定的小正数

2n12n111n12n要使2n 即：2

两边取对数 nlog1

取 N12log2

„„„„介绍取整函数 2n12n当nN时，2n1恒成立

∴lim1n2n1

证明2：设是任意给定的小正数

要使

3n11512n132 只要

2n15

n42 取N513n1342

当nN时，2n12恒成立

∴lim3n1n2n132