数列极限例题

时间:2019-05-14 15:44:04下载本文作者:会员上传
简介:写写帮文库小编为你整理了多篇相关的《数列极限例题》,但愿对你工作学习有帮助,当然你在写写帮文库还可以找到更多《数列极限例题》。

第一篇:数列极限例题

三、数列的极限

(1)n1}当n时的变化趋势.观察数列{1n问题:

当n无限增大时, xn是否无限接近于某一确定的数值?如果是, 如何确定? 通过上面演示实验的观察:

(1)n1当n无限增大时, xn1无限接近于1.n问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.xn1(1)n1给定

11 nn1111, 由, 只要n100时, 有xn1, 100n10010011,只要n1000时, 有xn1, 给定1000100011,只要n10000时, 有xn1, 给定10000100001给定0,只要nN([])时, 有xn1成立.定义

如果对于任意给定的正数(不论它多么小), 总存在正整数N, 使得对于nN时的一切xn, 不等式xna都成立, 那末就称常数a是数列xn的极限, 或者称数列xn收敛于a, 记为

limxna,或xna(n).n如果数列没有极限, 就说数列是发散的.注意:

N定义:limxna0,N0, 使nN时, 恒有xna.n其中记号:每一个或任给的;:至少有一个或存在.数列收敛的几何解释:

a2axN2x2x1xN1ax3x

当nN时, 所有的点xn都落在(a,a)内, 只有有限个(至多只有N个)落在其外.注意:数列极限的定义未给出求极限的方法.n(1)n11.例1 证明limnnn(1)n111 .证

注意到xn1 nn任给0, 若要xn1, 只要

11,或 n, n所以, 取 N[], 则当nN时, 就有 1n(1)n11.nn(1)n11.即limnn

重要说明:(1)为了保证正整数N,常常对任给的0,给出限制01;

n(1)n11”的详细推理

(2)逻辑“取 N[], 则当nN时, 就有

n1见下,以后不再重复说明或解释,对函数极限同样处理逻辑推理.由于N立.严格写法应该是:任给0, 不妨取01,若要11N1,所以当nN时一定成立nN11,即得

1成nn(1)n11111< ,只要 n,所以, 取 N[], 则当nN时, 由于xn1=nn1111NN1,所以当nN时一定成立nN1,即得成立.也就

n是成立

n(1)n111.xn1=

nnn(1)n11.即limnn小结: 用定义证数列极限存在时, 关键是任意给定0,寻找N, 但不必要求最小的N.例3证明limq0, 其中q1.nn证

任给0(要求ε<1)若q0, 则limqlim00;

nnn若0q1, xn0q, nlnqln,nnlnln, 取N[](1), 则当nN时, 就有qn0, lnqlnqlimqn0.n0, q1,q1,, n

说明:当作公式利用:limq

n1, q1,不存在,q1.

第二篇:第一讲 数列的极限典型例题

第一讲

数列的极限

一、内容提要

1.数列极限的定义

limxna0,nN,nN,有xna.注1 的双重性.一方面,正数具有绝对的任意性,这样才能有

xn无限趋近于axna(nN)

另一方面,正数又具有相对的固定性,从而使不等式xna.还表明数列xn无限趋近于a的渐近过程的不同程度,进而能估算xn趋近于a的近似程度.注2 若limxn存在,则对于每一个正数,总存在一正整数N与之对应,但这种N不是n唯一的,若N满足定义中的要求,则取N1,N2,,作为定义中的新的一个N也必须满足极限定义中的要求,故若存在一个N则必存在无穷多个正整数可作为定义中的N. 注3 xna(n)的几何意义是:对a的预先给定的任意邻域U(a,),在xn中至多除去有限项,其余的无穷多项将全部进入U(a,). 注4 limxna00,nN,n0N,有xna0.02.子列的定义

在数列xn中,保持原来次序自左往右任意选取无穷多个项所得的数列称为xn的子列,记为xnk,其中nk表示xn在原数列中的项数,k表示它在子列中的项数.

k注1 对每一个k,有nkk.

注2 对任意两个正整数h,k,如果hk,则nhnk.反之,若nhnk,则hk. 注3 limxna0,nkK,kK,有xna.k注4 limxnaxn的任一子列xnnk收敛于a.3.数列有界

对数列xn,若M0,使得对nN,有xnM,则称数列xn为有界数列. 4.无穷大量

对数列xn,如果G0,N,作limxn.

nnN,有xnG,则称xn为无穷大量,记 1 注1 只是一个记号,不是确切的数.当xn为无穷大量时,数列xn是发散的,即limxnn不存在.

注2 若limxn,则xn无界,反之不真.

n注3 设xn与yn为同号无穷大量,则xnyn为无穷大量. 注4 设xn为无穷大量,yn有界,则xnyn为无穷大量.

注5 设xn为无穷大量,对数列yn,若0,有yn,N,使得对nN,则xnyn为无穷大量.特别的,若yna0,则xnyn为无穷大量. 5.无穷小量

若limxn0,则称xn为无穷小量.

n注1 若limxn0,yn有界,则limxnyn0.

nn注2 若limxn,则limn1xnnil若m0;

nxn0,且N,使得对nN,xn0,则lim1xnn.

6.收敛数列的性质

(1)若xn收敛,则xn必有界,反之不真.(2)若xn收敛,则极限必唯一.

(3)若limxna,limynb,且ab,则N,使得当nN时,有xnyn.

nn注

这条性质称为“保号性”,在理论分析论证中应用极普遍.

(4)若limxna,limynb,且N,使得当nN时,有xnyn,则ab.

nn注

这条性质在一些参考书中称为“保不等号(式)性”.

(5)若数列xn、yn皆收敛,则它们和、差、积、商所构成的数列xnyn,xnyn,xnyn,xnyn0)也收敛,且有 (limnynnyn,xnlim

limxnynlimnnxnynlimxnlimyn,limnnn 2

lim7.迫敛性(夹逼定理)

xnynlimxnnnlimynn(limyn0).

n若N,使得当nN时,有ynxnzn,且limynlimzna,则limxna.

nnn8.单调有界定理

单调递增有上界数列xn必收敛,单调递减有下界数列xn必收敛. 9.Cauchy收敛准则

数列xn收敛的充要条件是:0,N,n,mN,有xnxm.

注 Cauchy收敛准则是判断数列敛散性的重要理论依据.尽管没有提供计算极限的方法,但它的长处也在于此――在论证极限问题时不需要事先知道极限值. 10.Bolzano Weierstrass定理 有界数列必有收敛子列.

111.lim1e2.7182818284nnn

12.几个重要不等式

(1)ab2ab, sinx  1.sinx  x.(2)算术-几何-调和平均不等式:

 对a1,a2,,anR, 记 2 M(ai) a1a2annn 1niani1,(算术平均值)G(ai)nna1a2anai,(几何平均值)

i1

H(ai)n1a11a21an11nni11ainnai11i.(调和平均值)有均值不等式:

H(ai) G(ai) M(ai),等号当且仅当a1a2an时成立.(3)Bernoulli 不等式:

(在中学已用数学归纳法证明过)对x0, 由二项展开式(1x)1nxnnn(n1)2!x2n(n1)(n2)3!x3xn,(1x)1nx,(n1)

(4)Cauchy-Schwarz 不等式: ak,bk(k1,2,,n),有

nn

akbkakbkk1k122n2kn2kabk1k1

(5)nN,13.O.Stolz公式 1n1ln(11n)1n

二、典型例题 1.用“N”“GN”证明数列的极限.(必须掌握)例1 用定义证明下列各式:(1)lim3n5n13nn622n1;

(2)设xn0,limxna,则limnnxna;(97,北大,10分)

(3)limlnnnn0(0)

证明:(1)0,欲使不等式

3n5n13nn662216n53nn6626n3nn26nn26n

成立,只须n,于是,0,取N[]1,当nN时,有

3n5n13nn62

2216n

limn3n5n13nn621.

(2)由limxna,xn0,知0,nN,xnaanN,有xnaa,则

xnaxnaxna

于是,0,N,nN,有

xnaxnaa,即

lim(3)已知nlnn,因为

20lnnnnxna.

lnnn22lnn12n22n12n4

2[n2]n4nn24,n2

2所以,0,欲使不等式

lnnn0lnnn4n24成立,只须n.

24

于是,0,取N1,当nN时,有



lnnn0lnnn4,n20. 即

lim

lnnnn评注1 本例中,我们均将xna做了适当的变形,使得xnag(n),从而从解不等式g(n)中求出定义中的N.将xna放大时要注意两点:①g(n)应满足当n时,g(n)0.这是因为要使g(n),g(n)必须能够任意小;②不等式g(n)容易求解.

评注2 用定义证明xna(n),对0,只要找到一个自然数N(),使得当nN()时,有xna即可.关键证明N()的存在性.

评注3 在第二小题中,用到了数列极限定义的等价命题,即:(1)0,(2)0,N,N,nN,有xnaM(M为任一正常数).nN,有xnak(kN).例2 用定义证明下列各式:(1)limnnn1;(92,南开,10分)

kn(2)limnna0(a1,kN)

nn证明:(1)(方法一)由于n1(n1),可令n1(0),则

nnnn(1)n1nn2n(n1)22nn(n1)22(n2)

当n2时,n1,有

n2

n n(n1)2242n24(nn1)

2即

0nn12nn.

0,欲使不等式n1nn12n成立,只须n42.

于是,0,取Nmax21,2,当nN时,有

n4n12n,即

limnnn1.

(方法二)因为 1nn(nn2个1n111)nnn11n2nn2n12n,所以

nn12n,0,欲使不等式

nn1nn12n成立,只须n42.

于是,0,取N21,当nN时,有

n4n12n,即

limnnn1.

(2)当k1时,由于a1,可记a1(0),则

an(1)n1nn(n1)22nn(n1)22(n2)

当n2时,n1

0nann2,于是有

nn(n1)24n2.

2

0,欲使不等式

nan0 nan4n2成立,只须n42.

对0,取Nmax21,2,当nN时,有



nan40 nan4n2.

1当k1时,ak1(a1),而

naknn1kn(a). n1k则由以上证明知0,N,nN,有0,即

n(ak)

0naknkn,k故

limnna0.

评注1 在本例中,0,要从不等式xna中解得N非常困难.根据xn的特征,利用二项式定理展开较容易.要注意,在这两个小题中,一个是变量,一个是定值.

评注2 从第一小题的方法二可看出算术-几何平均不等式的妙处. 评注3 第二小题的证明用了从特殊到一般的证法. 例 用定义证明:limannn!(山东大学)0(a0)证明:当0a1时,结论显然成立.

aaaaaaa0成立,当a1时,欲使

aa1a!nn!12nanaaa1只须n.于是0,取N1,当nN时,有 a!a!aa1ann!0aaa!an

a即

lim0.

nn!n例 设1,用“N”语言,证明:lim[(n1)n]0.

n证明:当0时,结论恒成立. 当01时,0,欲使(n1)n0n[(11n)1]n(11n1)1n1

只须n1111.于是0,取N111,当nN时,有 1n1(n1)n0

lim[(n1)n]0.

n2.迫敛性(夹逼定理)

n项和问题可用夹逼定理、定积分、级数来做,通项有递增或递减趋势时考虑夹逼定理.

ynxnzn,ynb,znc{xn}有界,但不能说明xn有极限.使用夹逼定理时,要求yn,zn趋于同一个数.

an例

求证:limnn!. 0(a为常数)分析:ann!aaaaaa,因a为固定常数,必存在正整数m,使123mm1nam1mam1,因此,自开始,am11,am21,,an1,且n时,an0.

证明:对于固定的a,必存在正整数m,使am1,当nm1时,有

an0mn!a1a2a3amanam1anamm!an,由于limanm!an0,由夹逼定理得limnn!0,即

limnann!0.

评注 当极限不易直接求出时,可将求极限的变量作适当的放大或缩小,使放大、缩小所得的新变量易于求极限,且二者极限值相同,直接由夹逼定理得出结果.

例 若{an}是正数数列,且lima12a2nannn0,则

limnnna1an0.

证明:由n1a12a2nana12a2nann,知

nn!na1a2ana12a2nann1n

即 na1a2ana12a2nann1n.

n!于是,0nna1a2ana12a2nann,而由已知

n!lima12a2nannn0及lim1nnn!0

limna12a2nann1nn!0

由夹逼定理得

limnnna1an0.

评注1 极限四则运算性质普遍被应用,值得注意的是这些性质成立的条件,即参加运算各变量的极限存在,且在商的运算中,分母极限不为0. 评注2 对一些基本结果能够熟练和灵活应用.例如:(1)limqnn0(q1)

(2)lim1nnan0(a0)

(3)limnna1(a0)

(4)limnnn1

(5)limann!0(a0)

(6)lim1nnn!0

例 证明:若limxna(a有限或),则

nlimx1x2xnnna(a有限或).

证明:(1)设a为有限,因为limxna,则0,nN1,有xnanN1,2.9 于是x1x2xnnax1ax2axnan

x1ax2axN1anAnnN1nxN11axnan

An2.

其中Ax1ax2axNa为非负数.

1因为limnAn0,故对上述的0,N2,nN2,有

An2.

取Nmax{N1,N2}当nN时,有

x1x2xnna22

limx1x2xnnna.

nN1,有xn2G,(2)设a,因为limxn,则G0,nN1,且x1x2xN0.于是 x1x2xnn

x1x2xN1nxN11xnn

xN11xnn

2G(nN1)n2G2N1nG

取N2N1,当nN时,2N1nGG,于是

x1x2xnn2GGG.

limx1x2xnnn

(3)a时证法与(2)类似.

评注1 这一结论也称Cauchy第一定理,是一个有用的结果,应用它可计算一些极限,例如:

112n1n0(已知limn(1)lim1nnn0);

(2)lim1233nnn1(已知limnnn1).

评注2 此结论是充分的,而非必要的,但若条件加强为“{xn}为单调数列”,则由x1x2xnnlimna可推出limxna.

n评注3 证明一个变量能够任意小,将它放大后,分成有限项,然后证明它的每一项都能任意小,这种“拆分方法”是证明某些极限问题的一个常用方法,例如:

若01,limana(a为有限数),证明:

nlim(anan1an2a0)n2n分析:令xnanan1an2a0,则

2na1.

(1)xnan(an1an)(an2an1)(a0a1)2nn1a0.

2n只须证

(an1an)(an2an1)(a0a1)0(n)

由于limana,故N,nnN,有anan1.于是

2n(an1an)(an2an1)(a0a1)

an1anan2an12NanN1anNN1anNanN1a0a1nn再利用lim0(01)即得.

n例 求下列各式的极限:(1)lim(n1nn122nn22nnnn2)

(2)limnn1121n

(3)limn135(2n1)2462n2n

2nn22解:(1)12nnnn1nn12nnnn212nnn12

n(n1)∵lim12,22nnnnn2nnnn(n1)12n12limlim,2nnn2n1nn12由夹逼定理,12nlim∴lim(n1nn1n22nn22nnnnn2)12

(2)1∵limnn1121nn111n

n1,由夹逼定理,∴limnn11121n1.

(3)∵1n2n352n11135(2n1)132n11,242n22n2462n242n∴2nnn135(2n1)2462n1.

∵lim12nnnn1,由夹逼定理,∴limn135(2n1)2462n2n12nn1.

评注 的极限是1,用此法体现了“1”的好处,可以放前,也可放后.若极限不是1,则不能用此法,例如:

xn23(n1)35(2n1),求limxn.

n解:∵xn0,xn单调递减,xn单调递减有下界,故其极限存在. 令limxna,∵xn1xnnn2∴limxn1limxnlimnn2n3n2

12a,n2n3,a∴a0,xn0. 即

limn 12 lim(1n112112n)(中科院)

评注 拆项:分母是两项的积,1n(n1)1n1n1

nn1n11n11n插项:分子、分母相差一个常数时总可以插项.3单调有界必有极限 常用方法:①xn1xn;②

xn1xn1

;③归纳法;④导数法.

xn1f(xn)

f(x)0

f(x)单调递增

x2xf(x2)f(x1)

x3x2 x2x1

f(x2)f(x1)

x3x2

f(x)0

f(x)单调递减

x2x1

f(x2)f(x1)

x3x2

x2x1

f(x2)f(x1)

x3x2不解决决问题.

命题:xn1f(xn),若f(x)单调递增,且x2x1(x2x1),则xn单调递增(单调递减).

求下列数列极限:

(1)设A0,x10,xn112(xnAxn(98,华中科大,10分));(2)设x10,xn133xn3xn;(04,武大)

(3)设x0a,x1b,xn12xn1xn22Axn12(n2,3,).(2000,浙大)

解:(1)首先注意xn1另一方面,因为

(xn)2xnAxnA,所以xn为有下界数列.

xn1xn12(xnAxn)xn12xn(Axn)0.

1A(或

xn1xn12(1Ax2n)A221)

故xn为单调递减数列.因而limxn存在,且记为a.

n

由极限的四则运算,在xn112Aa).并注意到xn12(xnAxn)两端同时取极限n,得a(aA0,解得a3(1xn)3xnA.

(2)注意到0xn1另一方面,由

33xn3xn3,于是xn为有界数列.

xn1xn33xn3xnxn3xn23xn33xn133xn133xn133xn122(3xn1)(3xn1)(42xn1)2

3xn1(3xn1)(2xn1)22

3xn1知xn1xnxnxn1(3xn1)(2xn1)3xn13xn1212xn10.

即xn1xn与xnxn1保持同号,因此xn为单调数列,所以limxn存在(记为a).

n

由极限的四则运算,在xn133xn3xn两端同时取极限n,得a33a3a.并注意到0xn3,解得a(3)由于xn1xn3.

xnxn12xnxnxn12x2x1(2)n1x1x0(2)1nba(2)n, n1n1又xnm0(xm1xm)x0xn(ba)1m1(a(ba)1(m0(2)21)na,)2 14

1(1所以

limxn(ba)limnn1(21)na)2(ba)3a2ba3.

2评注1 求递归数列的极限,主要利用单调有界必有极限的原理,用归纳法或已知的一些基本结果说明数列的单调、有界性.在说明递归数列单调性时,可用函数的单调性.下面给出一个重要的结论:设xn1f(xn)(n1,2,)xnI,若f(x)在区间I上单调递增,且x2x1(或x2x1),则数列xn单调递增(或单调递减).

评注2 第三小题的方法较为典型,根据所给的xn1,xn,xn1之间的关系,得到xn1xn与xnxn1的等式,再利用错位相减的思想,将数列通项xn写成级数的表达式.

例 设a1,b1为任意正数,且a1b1,设an则an,bn收敛,且极限相同. 证明:由an2an1bn1an1bn12an1bn12an1bn12an1bn1an1bn1,bn,an1bn1(n2,3,)

an1bn1bn,知

bnan1bn1bn1bn1bn1.

则0bnb1,即bn为单调有界数列.

又0anbnb1,且 anan12an1bn1an1bn1an12an1bn1an1an1bn1an1bn12an1(bn1an1)an1bn10,所以an亦为单调有界数列.

由单调有界必有极限定理,liman与limbn存在,且分别记为a与b.在nnan2an1bn1an1bn1与bnan1bn1两端同时取极限n,得a2abab与bab.

考虑到a1,b1为任意正数且0a1anbnb1. 即得ab0. 例(1)设x12,xn121xn,求limxn;

n 15(2)设x10,x22,且3xn1xn2xn10(n2,3,),求limxn.

n解:(1)假设limxn存在且等于a,由极限的四则运算,在xn12n1xn两端同时取极限n,得a21a,即a12.

2.又xn2,故a1下面只须验证数列xna趋于零(n).由于

xna11112a2xax1a,nxnaxna44n0xn1n1而limx1a0,由夹逼定理得limxna1nn42.

(2)由3xn1xn2xn10,知

3xn12xn3xn2xn13xn12xn23x22x16,则

xn123xn2.

65假设limxn存在且等于a,由极限的四则运算,得an.

下面只须验证数列xn6523n16.由于 趋于零(n)

5n1xnxn12622xn13553662x153n165.

2显然limn3650,由夹逼定理得limxnn65.

评注1 两例题中均采用了“先求出结果后验证”的方法,当我们不能直接用单调有界必有极限定理时,可以先假设limxna,由递归方程求出a,然后设法证明数列xna趋于

n零.

评注2 对数列xn,若满足xnakxn1a(n2,3,),其中0k1,则必有limxna.这一结论在验证极限存在或求解递归数列的极限时非常有用.

n评注3 本例的第二小题还可用Cauchy收敛原理验证它们极限的存在性.

设a1>0,an1=an+

(1)要证lim21an,证明limnan2n=1(04,上海交大)

an2an2n2n=1,只要证lim2n2n1,即只要证liman1ann(2n2)2n1an1,即证lim(an1an)2

2n(2)因an1=an+a2n12n,故an1an1an0,an1an11a2n

a(an1an)(an1an)1a2nan1anan11a2n121a2n因此只要证limn0,即只要证limann

(3)由an1an1an0知,{an}单调增加,假如{an}有上界,则{an}1an必有极限a,由an1=an+

知,a=a+,因此0,矛盾.aa11这表明{an}单调增加、没有上界,因此liman.(证完)

n

4 利用序列的Cauchy收敛准则 例(1)设x1x2(0x1),xnx2xn122,求limxn;

n(2)设x1y11,xn1xn2yn,yn1xnyn,求limx2122xnyn2n;

14解:(1)由x1(0x1),得x1x2.假设xk12212,则xk.有

xk1xk212xxk12

由归纳法可得

xn于是

xnpxnx2xnp122.

2xxn1 22 17

xnp1xn1xnp1xn1212n112xnp1xn1

xp1x112n1. 0(n)

x2xn122由Cauchy收敛准则知:limxn存在并记为a,由极限的四则运算,在xnn两端同时取极限n,得a22ax0. 注意到xn(2)设an12,故limxna11x.

nxnyn,显然an1.xn2ynxnyn11an由于an1xn1yn11,则

an1an11an11an1

anan11an1an114anan114n1a2a1.于是anpananpanp1anp1anp2an1an

anpanp1anp1anp2an1an

11

41np2p114aa aa2211n1n114414

14n113a2a10(n).由Cauchy收敛准则知:limxn存在并记为a.n由极限的四则运算,在an11xnyn11an2两端同时取极限n,得a2.

注意到an1,故limnlimann2.

评注1 Cauchy收敛准则之所以重要就在于它不需要借助数列以外的任何数,只须根据数列各项之间的相互关系就能判断该数列的敛散性.本例两小题都运用了Cauchy收敛准则,但细 18 节上稍有不同.其实第一小题可用第二小题的方法,只是在第一小题中数列xn有界,因此有xp1x1xp1x11.保证了定义中的N仅与有关.评注2 “对pN有limxnpxn0”这种说法与Cauchy收敛准则并不一致.这里

n要求对每个固定的p,可找到既与又与p的关的N,当nN,有xnpxn.而Cauchy收敛准则要求所找到的N只能与任意的有关.

5 利用Stolz定理计算数列极限

例 求下列极限

1323n3n (1)lim3n4n

lim(2)假设limana,证明:na12a2...nann2na2(00,大连理工,10)(04,上海交大)

证明:Stolz公式 lima12a2...nann2nlim(a12a2...nan(n1)an1)(a12a2...nan)(n1)n22nlim(n1)an12n111232

na21n n1nlnn(3)limn2n(4)lim

n(5)limna2n(a1)

n6 关于否定命题的证明(书上一些典型例题需背)

limxna

nxn发散

证明:xn112131nan1an发散.

例 设an0(n1,2,),且liman0,若存在极限limnn(北大,l,则l1.20)

7 杂例(1)lim1121231n(n1)

n

(2)(04,武大)lim(n1a2a2...nan),(a1)1n 1()1naalim()n2n1a1a(a1)1a

22n(3)lim(1x)(1x)(1x)(x1);n

2(4)设a13,an1anan(n1,2,),求:

111llimn1a1a21an1. 

第三篇:数列经典例题

11.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a37,a4a66,则当Sn取最小值时,n

等于_________.

20.(本小题满分14分)

22已知数列{an}是首项为1的正项数列,且(n1)an1nanan1an0.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)求证:i1nai2(1an11).

S13等于2.等差数列

()

A.168 an中,a3a7a108,a11a44,记Sna1a2an,则B.156 C.152 D.78

21.(本小题满分14分)

设数列an满足a11,an111. an

(1)写出这个数列的前5项;

(2)求这个数列的一个通项公式.

9.在等比数列an中,a24,a5

20.(本小题满分14分)1,则公比q=___________. 2

已知数列{an}为公差大于0的等差数列,Sn为数列{an}的前n项和,且满足S416,a2a315.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)若bn1,求数列{bn}的前n项和Tn; anan1

(3)对于大于1的自然数n,求证:(1

20.(本小题满分14分)1112n1)(1)(1)a2a3an2

已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn1an(nN),各项为正数的数列{bn}中,对于一切nN,有**k1n1kk1nb1bn1,且b11,b22,b33.

(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;

(2)设数列{anbn}的前n项和为Tn,求证:Tn2.

3.已知an为等比数列,Sn是它的前n项和,若a2a32a1,且a4与2a7的等差中项为,则S5()4

A.35

20.(本小题满分14分)

B.33

C.31

D.29

2n

已知数列an满足a13,且anan12(nN,n2),记数列bn,Sn

anan1

n1

*

为数列bn的前n项和.(1)求a2,b1的值;(2)求数列an的通项公式;(3)求证:Sn

1. 3

20.(本小题满分14分)

设Sn为数列{an}的前n项和,Snkn2n,nN*,其中k是常数.(1)用k表示a1及an,并证明数列{an}是等差数列;(2)若对于任意的mN*,am,a2m,a4m成等比数列,求数列{

an的前n项和Tn. 2n

*

4.已知数列an为等差数列,且a2a7a1224,Sn为数列an的前n项和,nN,则S13的值为 A.100 B.99 21.(本小题满分14分)

C.104

D.102

*ylog1x的图象上.

已知点P1(a1,b1),P2(a2,b2),,P(an,bn)(nN)都在函数

(1)若数列{bn}是等差数列,求证数列{an}是等比数列;

(2)若数列{an}的前《项和是Sn12,过点Pn,Pn1的直线与两坐标轴所围二角 形面积为cn,求最小的实数t使cnt对nN恒成立;

(3)若数列{bn}为山(2)中{an}得到的数列,在bk与bk1之间插入3k1(kN*)个3,得一新数列{dn},问是杏存在这样的正整数w,使数列{dn}的前m项的和Sm2008,*

n

如果存在,求出m的值,如果不存在,请说明理由

9.已知数列{an}的前n项和为Sn,且S11an(nN*).(1)求数列{an}的通项公式;

(2)

设bn,cn

log1an

记Tnc1c2cn,证明:Tn1.19.(本小题满分14分)在数列{an}中,已知a11,.anan1an2

(1)求数列{an}的通项公式;(2)若bnlog2,an,a2a1(nN*,n2).

11b3b4b4b5

m对于任意的nN*,且n3恒成bnbn1

立,求m的取值范围.

17.(本小题满分12分)

f(x)loaxg(a为常数且a0,a1),已知数列

f(x1),f(x2),f(xn),是公差为2的等差数列,且x1a2.

(Ⅰ)求数列{xn}的通项公式;(Ⅱ)当a

11时,求证:x1x2xn. 23

20.(14分)已知数列an是各项均不为0的等差数列,公差为d,Sn为其前n项和,且满足

an2S2n1,nN*.数列bn满足bn

和.,nN*,Tn为数列bn的前n项

anan1

(1)求数列an的通项公式an和数列bn的前n项和Tn;

(2)若对任意的nN*,不等式Tnn8(1)恒成立,求实数的取值范围;(3)是否存在正整数m,n(1mn),使得T

1,Tm,Tn成等比数列?若存在,求出所有

m,n的值;若不存在,请说明理由.

n

5.设an12

2an,nN*,an>0,令bnlgan则数列bn为()A.公差为正数的等差数列 B.公差为负数的等差数列

C.公比为正数的等比数列 D.公比为负数的等比数列

19.(本题满分14分)在数列an中,a11,a2

1(n1)an,且an1,(n2). 4nan

(Ⅰ)求a3,a4,猜想an的表达式,并加以证明;(Ⅱ)

设bn,求证:对任意的自然数nN*,都

b1b2bn

19.(本小题满分14分)已知数列an是等差数列,a35,a59.数列bn的前n项和

为Sn,且Sn

1bn

n. 2

(1)求数列an和bn的通项公式;

(2)若cnanbn,求数列cn的前n项和n. 13.设Sn是等差数列an的前n项和.若

S31

,则S73

___________.

19.(本小题满分14分)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Snn2.数列{bn}为等比数列,且b11,b48.

(Ⅰ)求数列{an},{bn}的通项公式;

(Ⅱ)若数列{cn}满足cnabn,求数列{cn}的前n项和Tn,并证明Tn1.

21.(本小题共14分)已知数列an中,a12,对于任意的p,qN,有apqapa q,

(1)求数列an的通项公式;(2)数列bn满足:an

bb1bb

22334421212121

(1)n1

bn,2n1

(nN),求数列bn的通项公式;

(3)设Cn3nbn(nN),是否存在实数,当nN时,Cn1Cn恒成立,若存在,求实数的取值范围,若不存在,请说明理由.

第四篇:数列极限教案

数列的极限教案

授课人:###

一、教材分析

极限思想是高等数学的重要思想。极限概念是从初等数学向高等数学过渡所必须牢固掌握的内容。

二、教学重点和难点

教学重点:数列极限概念的理解及数列极限N语言的刻画。

教学难点:数列极限概念的理解及数列极限N语言的刻画,简单数列的极限进行证明。

三、教学目标

1、通过学习数列以及数列极限的概念,明白极限的思想。

2、通过学习概念,发现不同学科知识的融会贯通,从哲学的量变到质变的思想的角度来看待数列极限概念。

四、授课过程

1、概念引入

例子一:(割圆术)刘徽的割圆术来计算圆的面积。

.........内接正六边形的面积为A1,内接正十二边形的面积为A2......内接正62n1形的面积为An.A1,A2,A3......An......圆的面积S.用圆的内接正六n边形来趋近,随着n的不断增加,内接正六n边形的面积不断

1接近圆的面积。

例子二:庄子曰“一尺之锤,日取其半,万世不竭”。

第一天的长度1第二天的剩余长度 第二天的剩余长度

第四天的剩余长度 8

.....第n天的剩余长度n1.......2

随着天数的增加,木杆剩余的长度越来越短,越来越接近0。

这里蕴含的就是极限的概念。

总结:极限是变量变化趋势结果的预测。例一中,内接正六n边形的边数不断增加,多边形的面积无限接近圆面积;例二中,随着天数的不断增加,木杆的剩余长度无限接近0.在介绍概念之前看几个具体的数列:

1111(1): 1,,......; 23nn

1n1111:1,,,......;(2)n2345

(3)n2:1,4,9,16,......;

(4)1:1,1,1,1,......,1,......; nn

我们接下来讨论一种数列xn,在它的变化过程中,当n趋近于时,xn不断接近于某一个常数a。如随着n的增大,(1),(2)中的数列越来越接近0;(3)

(4)中的数列却没有这样的特征。

此处“n趋近于时”,“xn无限接近于数a”主要强调的是“一个过程”和一种“接近”程度。

可是只凭定性的描述和观察很难做到准确无误,所以需要精确的,定量的数学语言来刻画数列的概念。本节课的重点就是将数列的这样一个特征用数学语言刻画出来,并引入数列极限的概念。

2、内容讲授

(定义板书)设xn是一个数列,a是实数。如果对于任意给定的数0,总存在一个正整数N,当nN时,都有xna,我们称a是数列x

n的极限,或者说数列xn收敛且收敛于数a。

写作:limxna或xnan。

n

如果数列没有极限,就说数列是发散的。

注意:(1)理解定义中的“任意给定”:是代表某一个正数,但是这个数在选取时是任意的,选定以后就是固定的。不等式xna是表示xn与a的接近程度,所以可以任意的小。

(2)N的选取是与任意给定的有关的。11以数列为例,欲若取,则存在N100,当nNxna; 100n

若取1,则存在N1000,当nN时,xna。1000

数列极限的N语言:

limx

nna0,N,nNxna.数列极限的几何解释:

3、例题讲解

n211。例题1用数列极限的定义证明limnnn

n21证明:设xn,因为 nn

n21212xn1nnnnn

0,欲使xn,只要22即n,n

2我们取N1,当nN时,

n2122.nnNn

n21所以lim1.nnn

2注:N的取法不是唯一的,在此题中,也可取N10等。

例题2 设xnC(C为常数),证明limxnC。n

证明:任给的0,对于一切正整数n,xnCCC0,所以limxnC。n

小结:用定义证数列极限存在时,关键是任意给定寻找N,但不必要求最小的N.五、课后作业

第五篇:数列极限复习

数列极限复习题

姓名

242n1、lim=; n139(3)n

an22n1a2、若lim(2n)1,则=; nbn2b

1an3、如果lim()0,则实数a的取值范围是;n2a

n4、设数列{an}的通项公式为an(14x),若liman存在,则x的取值范围是n

___;

a5.已知无穷等比数列n的前n项和

穷等比数列各项的和是;

6、数列an满足a1Sn1a(nN*)n3,且a是常数,则此无1,且对任意的正整数m,n都有amnaman,则数列an的3所有项的和为;

7、无穷等比数列an的首项是某个自然数,公比为单位分数(即形如:数,m为正整数),若该数列的各项和为3,则a1a2;

8、无穷等比数列an的各项和为2,则a1的取值范围是

1的分m



9、无穷等比数列an中,为;

lim(a2a3...an)

n

=1,则a1的取值范围

cosnsinn

10、计算: lim,[0,]

ncosnsinn

222na2n111、若lim2n1,则实数a的取值范围是; 2n

12a

23n2n(1)n(3n2n)

12、若数列{an}的通项公式是an=,n=1,2,„,则

lim(a1a2an)__________;

n

1

1n2012n(n1)

13、若an,Sn为数列an的前n项和,求limSn____;

n

31n2013n1

214、等差数列an,bn的前n项和分别为Sn,Tn且

an

 nbn

Sn2n

,则Tn3n

1lim15、设数列an、bn都是公差不为0的等差数列,且lim

lim

b1b2b3n

na4n

an

3,则bn16、已知数

列为等差数列,且,则

a117、设等比数列{an}的公比为q,且lim1qn),则a1的取值范围是

n1q

2__________;

18、已知等比数列{an}的首项a11,公比为q(q0),前n项和为Sn,若

lim

Sn

11,则公比q的取值范围是.;

nSn19、已知数列{an}的各项均为正数,满足:对于所有nN*,有4Sn(an1)2,n

()其中Sn表示数列{an}的前n项和.则limnan

A.0B.1C.D.

220、下列命题正确的是 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„()

(A)limanA, limbnB则lim

n

n

anA

(bn0,nN)

nbBn

(B)若数列{an}、{bn}的极限都不存在,则{anbn}的极限也不存在(C)若数列{an}、{anbn}的极限都存在,则{bn}的极限也存在(D)设Sna1a2an,若数列{an}的极限存在,则数列{Sn}的极限也存在21、用记号“○+”表示求两个实数a与b的算术平均数的运算, 即a○+b=已知数列{xn}满足x1=0,x2=1,xn=xn-1○+xn-2(n≥3),则limxn等于()

n

ab

.2A.2

3B.12

C.0D.122、连结ABC的各边中点得到一个新的A1B1C1,又A1B1C1的各边中点得到一个新的A2B2C2,如此无限继续下去,得到一系列三角形,A1B1C1,A2B2C2,A3B3C3,, 这一系列三角形趋向于一个点M。已知

A0,0,B3,0,C2,2,则点M的坐标是()

52522A、(,)B、(,1)C、(,1)D、(1,)

3333323、已知数列

lim

{an},{bn}

都是无穷等差数列,其中

a13,b12,b2是a2和a

3的等差中

an1111lim(...)nbn2,求极限a1b1a2b2anbn的值; n项,且

24、设正数数列

lga

lin

1n

an

为一等比数列,且a24,a416,求

lagn2n

2al2ng;

bnlgan,25、数列{an}是由正数组成的数列,其中c为正常数,数列bna1c,成等差数列且公差为lgc(1)求证an是等比数列;(2)an的前n项和为Sn,求lim26、已知f(x)logax(ao且a1),an

nSn

且2,f(a1),f(a2),f(a3),,f(an),2n1,(nN)成等差数列,(1)求数列an的通项公式;

(2)若数列an的前n项和为Sn,当a1时,求lim

Sn

nan

下载数列极限例题word格式文档
下载数列极限例题.doc
将本文档下载到自己电脑,方便修改和收藏,请勿使用迅雷等下载。
点此处下载文档

文档为doc格式


声明:本文内容由互联网用户自发贡献自行上传,本网站不拥有所有权,未作人工编辑处理,也不承担相关法律责任。如果您发现有涉嫌版权的内容,欢迎发送邮件至:645879355@qq.com 进行举报,并提供相关证据,工作人员会在5个工作日内联系你,一经查实,本站将立刻删除涉嫌侵权内容。

相关范文推荐

    数列经典例题4

    例1错误!未指定书签。.设{an}是公比为q的等比数列. (Ⅰ)推 导{an}的前n项和公式;(Ⅱ) 设q≠1, 证明数列{an1}不是等比数列.例2 已知数列an的首项为a11,其前n项和为sn,且对任意正......

    数列极限的证明(★)

    例1 设数列xn满足0x1,xn1sinxnn1,2,。 (Ⅰ)证明limxn存在,并求该极限;nxn1xn(Ⅱ)计算lim。 nxn解 (Ⅰ)用归纳法证明xn单调下降且有下界, 由0x1,得0x2sinx1x1,设0xn,则0xn1sinxnxn,所以xn......

    数列、极限、数学归纳法·数学归纳法

    数列、极限、数学归纳法·数学归纳法·教案 教学目标 1.了解归纳法的意义,培养学生观察、归纳、发现的能力. 2.了解数学归纳法的原理,并能以递推思想作指导,理解数学归纳法的操作......

    数列、极限、数学归纳法专题

    数列专 题复习选题人:董越【考点梳理】 一、考试内容 1.数列,等差数列及其通项公式,等差数列前n项和公式。 2.等比数列及其通项公式,等比数列前n项和公式。 3.数列的极限及其四......

    作业2数列极限

    作业2数列极限1、用数列极限的N定义证明下列极限:4n241)lim2nnn证明:04n2442 nnn14n2取N1,当nN时,恒有24 nn44n24所以lim2nnn2)limnn1n0 证明:0n1n011n1n1n取N2,当nN时,恒有n1n0所以l......

    数列极限的证明

    例1 设数列xn满足0x1,xn1sinxnn1,2,。 (Ⅰ)证明limxn存在,并求该极限; n1xn1xn2(Ⅱ)计算lim。 nxn解 (Ⅰ)用归纳法证明xn单调下降且有下界, 由0x1,得 0x2sinx1x1, 设0xn,则 0xn1sinxnxn,......

    数列极限的证明

    数列极限的证明X1=2,Xn+1=2+1/Xn,证明Xn的极限存在,并求该极限 求极限我会 |Xn+1-A|......

    数列极限和函数极限(最终版)

    数列极限和函数极限极限概念是数学分析中最重要的概念,如连续、导数、积分等都要用极限来定义,而且由极限出发产生的极限方法,是数学分析的最基本的方法.更好的理解极限思想,掌......