浅谈数列极限的求法

第一篇：浅谈数列极限的求法

浅谈数列极限的求法

龙门中小李海东

摘要：本文主要介绍了数列极限的几种求法，并通过一个例题说明利用函数极限的求法，帮助寻找数列极限的方法，帮助学生理解和掌握求极限的方法。

关键词：数列极限方（求）法说明

引言：在初等代数，高等代数学习过程中发现或多或少都涉及到数列极限的有关内容，在数学分析中数列极限是极其重要的章节，数列极限是学习函数极限的基础和铺垫，数列极限的求法和函数极限求法在某种程度上是彼此相似的，所以可以对照学习，也可以用一种求极限的方法，求出另外一种极限，给解答习题带来一定的灵活性。方法也是比较灵活的。下面就数列极限的求法略作浅谈，且举例说明。

一 利用单调有界准则求极限

预备知识：若数列an收敛，则an为有界数列，即存在正数M，使得对一切正整数n，有 anM.此方法的解题程序为：

1、直接对通项进行分析或用数学归纳验证数列an单调有界；

2、设an的极限存在，记为limanA代入给定的表达式中，则该式变为A的代数方n

程，解之即得该数列的极限。

举例说明：

例：若序列an的项满足a1a(a0)且an11aan,(n1,2,),试证2an

an有极限并求此极限。

解由a1a

21a1a12a2a1aa1aa22aa2a111

用数学归纳法证明aka需注意

22a2aka1a1akaka.ak2ak2akak

又anan12a1aana0 n2an2an

an为单调减函数且有下界。

令其极限为A 由 an1

1a

an有： 2an

1a

an2an

liman1

n

即A

1a

A 2A

AaA

a(A0)

n

从而liman

a.二 利用数列极限的定义求数列的极限

大家知道，数列极限的定义是这样的：设an为数列，a为定数，若对任给的正数，总存在正整数N，使得当nN时，有ana，则称数列收敛于a，定数a称为数列

anan的极限，记作：limn

a，当数列不单调时，我们就用此定义来求极限，其步骤：

1、先根据数列极限的唯一性求出极限；

2、再去证明极限的存在性。举例说明：

例：设x12, xn12解1.令limxnt

n

(n1)求:：limxn.nxn

则limxn1lim2

n

n



xn

 

即t2t12xn2

t2 t12(t12舍去)

1t

2.证明其极限的存在性对0xnt(2)(2)xn1t

xn1txn2t1xn1t ttxn1442



24n1

(当n足够大)



1xn1



x144n1

由极限的下定义可得：limxnt0

n

limxnt1

n

2.三 利用数列夹逼准则求数列极限

回顾一下：设收敛数列an数列{cn}满足：存在正数N0，当nN0，bn都以a为极限，时，有：ancnbn.则数列{cn}收敛，且limcna.n

此方法一般通过放大或缩小分母来找出两边数列的通项，从而达到求极限的目的。

举例说明：

11

例：求 lim12.n

nn

111n1

解由11212

nnnn

n1n11

1112 (n1)(n1)n1n1

n

n

n

n

nnn

1

显然 lim1e

n

n

nn1

111lim11并且 lim1e nn

n1n1n1

n

11

lim12e.n

nn

四 利用重要公式求极限或转化为函数的极限

此方法必须在牢记重要极限的形式和其值的基础上，对所求式子作适当变形，从而达到求其极限的目的，这种方法灵活，有相当的技巧性。

举例说明：

n

n1

n11

例：求 limsin.n

nnn

n1

n11

解limsin

n

nnn

=lim

n1

nn

n1

sin1

nsin1n1n

=lim1

n

1n

n1

=lim1=e11=e

n



111nn1

n

n

sin

例：求极限lim

sinx

xasina

xa

1xa

.解lim

sinx

xasina

xa



1xa

=lim1

sinxsina

sina

1sinacosa

xacosasina

xaxa2cossin=lim1xasina

xa2cosasin

=lim1xasina

sina

cosa(xa)



cosasina

sina

cosa(xa)xa2cosasin=lim1xasina

ctga

=e

ctga

sin



xaxa

~ 22

五 利用数列极限与函数的极限等值关系来求极限

此方法把数列极限化成函数形式的极限，而后回代，从而求出数列极限的一种方法。

举例说明：

abc

.例：若 a,b,c0,求limn3

解先考虑：

1

axbxcx

ln

3

n



xln

x

1

axbxcx

3 

1

axbxcx

而limxln

x3

 

1xxxlnabcln3=lim

x1

x

2axlna2bxlnb2cxlnc=lim

x

12x

1x

1x

1x

1x1x1x

=lim

alnablnbclnc

abc

1x

1x

1x

x

=lnabc

c

 limn3

n

1

axbxcx

=lim

n3

 

n

=lime

n

111axbxcxxln



=e

lnabc

3

=e

lnabc3

=abc

通过上面简单的对求数列极限的一般方法加以归纳，并举例说明，就可以在我们大脑中造成深刻的印象，更好地掌握函数和数列极限的求法。但数列极限的求法并不限于这几种方法，或许还有很多种，希望大家在学习过程中善于归纳总结求数列极限的方法，以便我们共勉。

参考文献：

[1]程其襄.数学分析第三版[M].高等教育出版社，1981（4）[2]谢惠民.数学分析习题课讲义[M].高等教育出版社，2003（7）

[3]周建莹 李正元.高等数学解题指南[M].北京大学出版社，2002.（10）[4]王汝发.高等数学解题方法[M].兰州大学出版社，1994.（3）

第二篇：浅析极限的若干求法

科技信息 ○高校讲台○ SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION

2007 年第 23 期

浅析极限的若干求法

孟金涛

(郑州航空工业管理学院数理系河南 郑州 450015)

摘要: 极限理论是高等数学的基础, 本文给出了极限的若干求法, 并用具体实例加以说明。关键词: 极限;表达式;等价无穷小

极限理论是高等数学的基础, 极限问题是高等数学中困难问题之

a +a +⋯+a

xx

x n

一。中心问题有两个: 一是证明极限的存在性, 二是求极限的值。两个 问题密切相关: 若求出了极限的值, 自然极限的存在性也就证明了。反 之, 证明了存在性, 常常也就为求极限铺平了道路。

利用定义证明极限的存在, 有一先决条件, 即事先要知道极限的 猜测值。通常情况下我们都不知道表达式的极限值, 那么如何根据表

→0

a1

+lim

x→0

+⋯+lim x a21 x→0 x→

1解】【(1)将根式有理化, 于是有原式为

x

解】令 t=-x,则 x→∞时, t→∞。于是lim(1-)=lim(1+)= 【

x→∞ t→∞ x t e

x

-t

=1 lim x→0x

(enπ)=sin2 【π, 由于初等函数在有定义的地方都连续,=sin

π

=sin项趋向于零求极限。1+

(1)利用收敛级数的通项趋向于零求极限。(2)利用收敛级数的余 2 π2lim =1。

原极限=sinn→∞ 2 +

1n

12×13×⋯×(n+10)例 9】求下列极限lim 【x, 其中(1)xn= 11×

十一、利用导数定义求极限n→∞ n

2×5×8⋯×(3n-1)

f(x-3h)-f(x0)例 11】设 f(x)在 x0 处可导, 求lim 0 【(2)xn=⋯+ h→0 2 2

2n)n+1 *(2n)

原极限=lim= 0 =arctan1= π 20n→∞ n i=11+x 4 i)

九、利用收敛级数的性质求极限,-

nπ

n+n +n

*)-

*

xn+1解】【(+当 x→∞时), 所以正项级数 1)由于 +x

n 3n+2 3 n =

1收敛, 从而可得通项 xn→0(当 n→∞时)。

∞

∞

∞

解】由导数定义有【

f(x03h)-f(x0)

h→0

lim

h→0

=lim

h

·(1

=0

Mathematics of Computation,1995,64:1147-1170.[ 2] A.R.Conn and Ph.L.Toint.An algorithm using quadratic interpolation for unconstrained derivative free optimization[ A].In G.Di Pillo and F.Gianessi, editors,Nonlinear Optimization and Applications [ M] ,New York, Plenum Publishing, 1996,27-47.[ 3] A.R.Conn,K.ScheinbergandPh.L.Toint.Ontheconvergenceof derivative-free methods for unconstrained optimization[ A].In A.Iserles andM.Buhmann,editors,ApproximationTheoryandOptimization: Tributes to M.J.D.Powell [ C] , Cambridge,UK,Cambridge University Press, 1997,83-103.[ 4] J.J.More and D.C.Sorensen.Computing a trust region step [ J].SIAM J.Sci.Stat.Comput,1983,4(3):553-572.Kef

≤Kk

2Kef

max$△k,△ kKgk

△k

(上接第 480 页)实可行的财务风险防范措施。

从单个企业来讲, 收益不足是导致财务风险的主要因素, 经营收 入扣除经营成本费用税金等经营费用后是经营收益, 如果从经营收益 开始就已经亏损, 说明企业已近破产倒闭, 即使总收益为盈利, 可能是 由于非主营业务或营业外收入所形成利润增加, 如出售手中持有有价 证券、固定资产等;如果经营收益为盈利, 而总收益为亏损, 问题不太 严重的话,说明已经出现危机信号, 但是可以正常经营的, 这是因为企 业的资本结构不合理, 举债规模大,利息负担重所致。企业必须针对财

务指标的评价采取有效措施加以调整。

综上所述,利用财务指标的评价, 找出企业的薄弱环节, 制定出企 业的筹资活动、投资活动、资金回收、收益分配策略及措施, 防范规避 财务风险,才能使企业长久稳定健康发展。

[ 1] 温素彬, 薛恒新.基于科学发展观的企业三重绩效评价模型[J].会计

研究.[ 2] 王化成, 刘俊勇, 孙薇.企业业绩评价[M].北京: 中国人民大学出版

参考文社.献

488

第三篇：浅谈函数极限的求法

浅谈函数极限的求法

摘要：函数极限是数学分析的基本内容之一，也是解决其它问题的基础。如何求出已知函数的极限是学习微积分必须掌握的基本技能。本文系统地介绍了利用定义、两个重要极限、无穷小量代换、洛必达法则、夹逼准则等求极限的方法，并结合具体的例子，指出了在解题中常遇见的一些问题。

关键词: 函数极限夹逼准则等价无穷小量洛必达法则泰勒展开式无穷小量

引言

极限研究的是函数的变化趋势，在自变量的某个变化过程中，对应的函数值无限解决某个确定的数，那这个数就是函数的极限了。极限是数学分析中一个非常重要的概念，是贯彻数学分析的一条主线，它将数学分析的各个知识点连在一起，所以，求极限的方法显得尤为重要的，我们知道，函数是数学分析研究的对象，而极限方法则是数学分析中研究函数的重要方法，因此怎样求极限就非常重要。

数学分析中所讨论的极限大体上分为两类：一类是数列的极限，一类是函数的极限。两类极限的本质上是相同的，在形式上数列界限是函数极限的特例。因此，本文只就函数极限进行讨论。函数极限运算是高等数学的一个重要的基本运算，一部分函数的极限可以通过直接或间接的运用“极限四则运算法则”来求解，而另一部分函数极限需要通过特殊方法解决。求函数极限的方法较多，但是每种方法都有其局限性，都不是万能的。对某个具体的求极限的问题，我们应该追求最简便的方法。在求极限的过程中，必然以相关的概念、定理以及公式为依据，并借助一些重要的方法和技巧。本文给出了十七种求极限的方法，每种方法都是以定理或简述开头，然后以例题来全面展示具体的求法。下面我们通过对一元函数和二元函数极限的求法来进行分类讨论

一元函数极限的求法

1.1利用函数定义求极限

利用函数极限的定义验证函数的极限。设函数f在点x0的某空心邻域，使得当U0(x0;)内有定义,A为定数。若对任给的0，存在正数（）

0xx0时，有f(x)A成立，则称函数f当x趋于x0时以A为极限，记作limf(x)A或f(x)A(xx0)。xx0

x24例1设f(x),证明limf(x)4.x2x

2x244x24x2，证明: 由于当x2时，f(x)4x2

故对给定的0，只要取，则当0x2时，有f(x)4.这就证明了limf(x)4.x2

(1)定义中的正数，相当于数列极限N定义中的N，它依赖于，但也不是由所惟一确定。一般来说，愈小，也相应地要小一些，而且把取得更小一些也无妨，如在题1中可取

2或

3等等。

(2)定义中只要求函数f在点x0的某个空心领域内有定义，而一般不考虑f在点x0处的函数值是否有定义，或者取什么值。这是因为，对于函数极限我们所研究的是当x趋于x0过程中函数值的变化趋势。如在题1中函数f在点x2是没有定义的，但当x2时,f的函数值趋于一个定数。

1.2 利用单侧极限求函数极限

这种方法适用于求分段函数在分段点处的极限。首先必须考虑分段点处的左、右极限都存在且相等，则函数在分界点处的极限存在，否则极限不存在。如符号函数sgnx，由于它在x0处的左、右极限不相等，所以limsgnx不存在。x0

f(x)limf(x)A.定理1 limf(x)Alimxx0xx0xx0

2xx0例2 ： f(x)0 x0,求f(x)在x0处的极限.1x2x0

f(x)lim2x1，解: limx0x0

f(x)lim1x1，limx0x0

2f(x)limf(x)1， limx0x0

 limf(x)1.x0

1.3 利用函数极限的四则运算法则求极限

定理2 若极限limf(x)和limg(x)都存在，则函数f(x)g(x)，f(x)g(x)，xx0xx0

当xx0时也存在极限，且有

①limxx0

xx0f(x)g(x)limf(x)limg(x)； xx0xx0xx0xx0②limf(x)g(x)=limf(x)limg(x)；

limf(x)f(x)f(x)xx0③又若limg(x)0，则在xx0时也存在极限，且有lim.xx0xx0g(x)g(x)limg(x)

xx0

利用函数极限的四则运算法则求极限，条件是每项或每个因子极限都存在，一般所给的变量都不满足这个条件，如0，等情况，都不能直接用四则运算法0

则，必须要对变量进行变形，设法消去分子、分母中的零因子，在变形时，要熟练掌握因式分解、有理化运算等恒等变形。

(xtanx1).例3：求limx4

解: 由xtanxxsinx2及limsinxsinlimcosx，有 xxcosx42lim(xtanx1)=limxx4limsinxx4xlimcosxxlim1x41.1.6 利用函数的连续性求函数极限

参考文献:

[1] 华东师范大学数学系.数学分析(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2001.[2] 陈传璋,朱学炎等.数学分析(第二版)[M].北京:高等教育出版社,1998.[3] 张再云，陈湘栋等，极限计算的方法与技巧[J].湖南理工学院学报(自然科学版),2009,22(2):16-19.[4]欧阳光中.数学分析[M].上海：复旦大学出版社，2002.[5]钱吉林.数学分析解题精粹[M].武汉：崇文书局出版社，2001

第四篇：数列极限例题

三、数列的极限

(1)n1}当n时的变化趋势.观察数列{1n问题:

当n无限增大时, xn是否无限接近于某一确定的数值?如果是, 如何确定? 通过上面演示实验的观察:

(1)n1当n无限增大时, xn1无限接近于1.n问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.xn1(1)n1给定

11 nn1111, 由, 只要n100时, 有xn1, 100n10010011,只要n1000时, 有xn1, 给定1000100011,只要n10000时, 有xn1, 给定10000100001给定0,只要nN([])时, 有xn1成立.定义

如果对于任意给定的正数(不论它多么小), 总存在正整数N, 使得对于nN时的一切xn, 不等式xna都成立, 那末就称常数a是数列xn的极限, 或者称数列xn收敛于a, 记为

limxna,或xna(n).n如果数列没有极限, 就说数列是发散的.注意：

N定义:limxna0,N0, 使nN时, 恒有xna.n其中记号:每一个或任给的;:至少有一个或存在.数列收敛的几何解释:

a2axN2x2x1xN1ax3x

当nN时, 所有的点xn都落在(a,a)内, 只有有限个(至多只有N个)落在其外.注意：数列极限的定义未给出求极限的方法.n(1)n11.例1 证明limnnn(1)n111 .证

注意到xn1 nn任给0, 若要xn1, 只要

11,或 n, n所以, 取 N[], 则当nN时, 就有 1n(1)n11.nn(1)n11.即limnn

重要说明：（1）为了保证正整数N，常常对任给的0,给出限制01；

n(1)n11”的详细推理

（2）逻辑“取 N[], 则当nN时, 就有

n1见下，以后不再重复说明或解释，对函数极限同样处理逻辑推理.由于N立.严格写法应该是：任给0, 不妨取01，若要11N1，所以当nN时一定成立nN11，即得

1成nn(1)n11111< ,只要 n,所以, 取 N[], 则当nN时, 由于xn1=nn1111NN1，所以当nN时一定成立nN1，即得成立.也就

n是成立

n(1)n111.xn1=

nnn(1)n11.即limnn小结: 用定义证数列极限存在时, 关键是任意给定0,寻找N, 但不必要求最小的N.例3证明limq0, 其中q1.nn证

任给0(要求ε<1)若q0, 则limqlim00;

nnn若0q1, xn0q, nlnqln，nnlnln, 取N[](1), 则当nN时, 就有qn0, lnqlnqlimqn0.n0, q1,q1,, n

说明：当作公式利用：limq

n1, q1,不存在，q1.

第五篇：数列极限教案

数列的极限教案

授课人：###

一、教材分析

极限思想是高等数学的重要思想。极限概念是从初等数学向高等数学过渡所必须牢固掌握的内容。

二、教学重点和难点

教学重点：数列极限概念的理解及数列极限N语言的刻画。

教学难点：数列极限概念的理解及数列极限N语言的刻画，简单数列的极限进行证明。

三、教学目标

1、通过学习数列以及数列极限的概念，明白极限的思想。

2、通过学习概念，发现不同学科知识的融会贯通，从哲学的量变到质变的思想的角度来看待数列极限概念。

四、授课过程

1、概念引入

例子一：(割圆术)刘徽的割圆术来计算圆的面积。

.........内接正六边形的面积为A1，内接正十二边形的面积为A2......内接正62n1形的面积为An.A1,A2,A3......An......圆的面积S.用圆的内接正六n边形来趋近，随着n的不断增加，内接正六n边形的面积不断

1接近圆的面积。

例子二：庄子曰“一尺之锤，日取其半，万世不竭”。

第一天的长度1第二天的剩余长度 第二天的剩余长度

第四天的剩余长度 8

.....第n天的剩余长度n1.......2

随着天数的增加，木杆剩余的长度越来越短，越来越接近0。

这里蕴含的就是极限的概念。

总结：极限是变量变化趋势结果的预测。例一中，内接正六n边形的边数不断增加，多边形的面积无限接近圆面积；例二中，随着天数的不断增加，木杆的剩余长度无限接近0.在介绍概念之前看几个具体的数列：

1111（1）: 1，,......； 23nn

1n1111:1，，,......；（2）n2345

（3）n2:1,4,9,16,......；

（4）1:1,1,1,1,......,1,......； nn

我们接下来讨论一种数列xn，在它的变化过程中，当n趋近于时，xn不断接近于某一个常数a。如随着n的增大，（1），（2）中的数列越来越接近0；（3）

（4）中的数列却没有这样的特征。

此处“n趋近于时”，“xn无限接近于数a”主要强调的是“一个过程”和一种“接近”程度。

可是只凭定性的描述和观察很难做到准确无误，所以需要精确的，定量的数学语言来刻画数列的概念。本节课的重点就是将数列的这样一个特征用数学语言刻画出来，并引入数列极限的概念。

2、内容讲授

（定义板书）设xn是一个数列，a是实数。如果对于任意给定的数0，总存在一个正整数N，当nN时，都有xna，我们称a是数列x

n的极限，或者说数列xn收敛且收敛于数a。

写作：limxna或xnan。

n

如果数列没有极限，就说数列是发散的。

注意：（1）理解定义中的“任意给定”：是代表某一个正数，但是这个数在选取时是任意的，选定以后就是固定的。不等式xna是表示xn与a的接近程度，所以可以任意的小。

（2）N的选取是与任意给定的有关的。11以数列为例，欲若取，则存在N100，当nNxna； 100n

若取1，则存在N1000，当nN时，xna。1000

数列极限的N语言：

limx

nna0,N,nNxna.数列极限的几何解释：

3、例题讲解

n211。例题1用数列极限的定义证明limnnn

n21证明：设xn，因为 nn

n21212xn1nnnnn

0，欲使xn，只要22即n，n

2我们取N1，当nN时，

n2122.nnNn

n21所以lim1.nnn

2注：N的取法不是唯一的，在此题中，也可取N10等。

例题2 设xnC（C为常数），证明limxnC。n

证明：任给的0，对于一切正整数n，xnCCC0，所以limxnC。n

小结：用定义证数列极限存在时,关键是任意给定寻找N,但不必要求最小的N.五、课后作业