数学分析中极限的求法总结

第一篇：数学分析中极限的求法总结

数学分析中极限的求法总结

1.1 利用极限的定义求极限

用定义法证明极限，必须有一先决条件，即事先得知道极限的猜测值A，这种情况一般较困难推测出，只能对一些比较简单的数列或函数推测分析出极限值，然后再去用定义法去证明，在这个过程中，放缩法和含绝对值的不等式总是密切相连的。

例：limfxA的ε-δ 定义是指：ε＞0，δ=δ(x0，ε)＞0，0＜|x-x0|xx0

＜δ|f(x)-A|＜ε 为了求δ 可先对x0的邻域半径适当限制，如然后适当放

大｜f(x)-A｜≤φ(x)(必然保证φ(x)为无穷小)，此时往往要用含绝对值的不等式：

｜x+a｜=|(x-x0)+(x0+a)|≤|x-x0|+|x0+a|＜｜x0+a｜+δ

1域|x+a|=|(x-x0)+(x0+a)|≥|x0+a|-|x-x0|＞|x0+a|-δ1

从φ(x)＜δ2，求出δ2后，取δ＝min(δ1，δ2)，当0＜|x-x0 |＜δ 时，就有|f(x)-A|＜ε.xx...xna.例：设limxna则有lim1

2nnn

xn-a于是当证明：因为limxna,对0，N1N1(),当nN1时，n2

xx...xnxx...xnna12a12 nN1nn

0

其中Ax1ax2axN1是一个定数,再由

解得n2AA，n2xx...xn2A ,故取NmaxN1,当nN12+=。n22

1.2 利用极限的四则运算性质求极限

定理[1]：若极限limf(x)和limg(x)都存在，则函数f(x)g(x)，f(x)g(x)当xx0xx0

xx0时也存在且

①limf(x)g(x)limf(x)limg(x)xx0xx0xx0

②limf(x)g(x)limf(x)limg(x)xx0xx0xx0

limf(x)f(x)f(x)xx

又若c0，则在xx0时也存在，且有lim.0

xx0g(x)g(x)limg(x)

xx0

利用该种方法求极限方法简单，但要注意条件是每项或每个因子极限存在，0

一般情况所给的变量都不满足这个条件，例如出现， 等情况，都

0

不能直接运用四则运算法则，必须对变量进行变形。变形时经常用到因式分解、有理化的运算以及三角函数的有关公式。

31（）例：求lim x11x31x

解：由于当x1时，与的极限都不存在，故不能利用“极限的和等3

1x1x

于和的极限”这一法则，先可进行化简

313(1xx2)(1x)(2x)(2x)

这样得到的新函数当=

1x31x1-x3(1x)(1xx2)(1xx2)

x1时，分子分母都有极限且分母的极限不为零，可用商的极限法则，即

31(2x)lim（）=lim=1 x11x31xx1(1xx2)

1.3 利用函数的连续性求极限

定理[2]：一切连续函数在其定义区间内的点处都连续，即如果x0是函数f(x)的定义区间内的一点，则有limf(x)f(x0)。

xx0

一切初等函数在其定义域内都是连续的，如果f(x)是初等函数，x0是其定义域内一点，则求极限limf(x)时，可把x0代入f(x)中计算出函数值，即

xx0

xx0

limf(x)=f(x0)。

对于连续函数的复合函数有这样的定理：若u(x)在x0连续且u0(x0)，yf(u)在u0处连续，则复合函数yf[(x)]在x0处也连续，从而

xxo

limfxfxo或limfxflimx。

xxo

xxo

lnsinx 例：lim

x

解：复合函数x=



在处是连续的，即有limlnsinx=lnsinln10

22x

1.4 利用无穷小的性质求极限

我们知道在某一过程中无穷大量的倒数是无穷小量，有界变量乘无穷小是无穷小，对一些特殊的函数而言用其他方法很难求得，只能用这种方法来求。

4x-7

例：求lim2

x1x3x2

解：当时x1，分母的极限为零，而分子的极限不为零，可先求处所给函数倒

4x-7x23x2

=。=0，故lim2数的极限lim

x1x1x3x24x-7

1.5 利用单调有界原理求极限

这种方法是利用定理:单调有界数列必有极限，先判断极限存在，进而求极限。

例：求

n解：令xn

xn1

n，即xn1xn，所

以数列x

n单调递增，由单调有界定理知，A，limxn1，即

A

n

n，所以

n1。2

1.6 利用夹逼准则求极限[3]

已知{xn},{yn},{zn}为三个数列，且满足：（1）ynxnzn,(n1,2,3,)；（2）limyna，limzna。

则极限limxn一定存在，且极限值也是a，即limxna。利用夹逼准则求极

n

n

n

n

限关键在于从xn的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个同极限值的数列使得ynxnzn。

例：xn

...xn的极限

解：因为xn单调递减，所以存在最大项和最小项

xn

...

xn

...



xnn

又因为n，则limxn1。

x

第二篇：浅析极限的若干求法

科技信息 ○高校讲台○ SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION

2007 年第 23 期

浅析极限的若干求法

孟金涛

(郑州航空工业管理学院数理系河南 郑州 450015)

摘要: 极限理论是高等数学的基础, 本文给出了极限的若干求法, 并用具体实例加以说明。关键词: 极限;表达式;等价无穷小

极限理论是高等数学的基础, 极限问题是高等数学中困难问题之

a +a +⋯+a

xx

x n

一。中心问题有两个: 一是证明极限的存在性, 二是求极限的值。两个 问题密切相关: 若求出了极限的值, 自然极限的存在性也就证明了。反 之, 证明了存在性, 常常也就为求极限铺平了道路。

利用定义证明极限的存在, 有一先决条件, 即事先要知道极限的 猜测值。通常情况下我们都不知道表达式的极限值, 那么如何根据表

→0

a1

+lim

x→0

+⋯+lim x a21 x→0 x→

1解】【(1)将根式有理化, 于是有原式为

x

解】令 t=-x,则 x→∞时, t→∞。于是lim(1-)=lim(1+)= 【

x→∞ t→∞ x t e

x

-t

=1 lim x→0x

(enπ)=sin2 【π, 由于初等函数在有定义的地方都连续,=sin

π

=sin项趋向于零求极限。1+

(1)利用收敛级数的通项趋向于零求极限。(2)利用收敛级数的余 2 π2lim =1。

原极限=sinn→∞ 2 +

1n

12×13×⋯×(n+10)例 9】求下列极限lim 【x, 其中(1)xn= 11×

十一、利用导数定义求极限n→∞ n

2×5×8⋯×(3n-1)

f(x-3h)-f(x0)例 11】设 f(x)在 x0 处可导, 求lim 0 【(2)xn=⋯+ h→0 2 2

2n)n+1 *(2n)

原极限=lim= 0 =arctan1= π 20n→∞ n i=11+x 4 i)

九、利用收敛级数的性质求极限,-

nπ

n+n +n

*)-

*

xn+1解】【(+当 x→∞时), 所以正项级数 1)由于 +x

n 3n+2 3 n =

1收敛, 从而可得通项 xn→0(当 n→∞时)。

∞

∞

∞

解】由导数定义有【

f(x03h)-f(x0)

h→0

lim

h→0

=lim

h

·(1

=0

Mathematics of Computation,1995,64:1147-1170.[ 2] A.R.Conn and Ph.L.Toint.An algorithm using quadratic interpolation for unconstrained derivative free optimization[ A].In G.Di Pillo and F.Gianessi, editors,Nonlinear Optimization and Applications [ M] ,New York, Plenum Publishing, 1996,27-47.[ 3] A.R.Conn,K.ScheinbergandPh.L.Toint.Ontheconvergenceof derivative-free methods for unconstrained optimization[ A].In A.Iserles andM.Buhmann,editors,ApproximationTheoryandOptimization: Tributes to M.J.D.Powell [ C] , Cambridge,UK,Cambridge University Press, 1997,83-103.[ 4] J.J.More and D.C.Sorensen.Computing a trust region step [ J].SIAM J.Sci.Stat.Comput,1983,4(3):553-572.Kef

≤Kk

2Kef

max$△k,△ kKgk

△k

(上接第 480 页)实可行的财务风险防范措施。

从单个企业来讲, 收益不足是导致财务风险的主要因素, 经营收 入扣除经营成本费用税金等经营费用后是经营收益, 如果从经营收益 开始就已经亏损, 说明企业已近破产倒闭, 即使总收益为盈利, 可能是 由于非主营业务或营业外收入所形成利润增加, 如出售手中持有有价 证券、固定资产等;如果经营收益为盈利, 而总收益为亏损, 问题不太 严重的话,说明已经出现危机信号, 但是可以正常经营的, 这是因为企 业的资本结构不合理, 举债规模大,利息负担重所致。企业必须针对财

务指标的评价采取有效措施加以调整。

综上所述,利用财务指标的评价, 找出企业的薄弱环节, 制定出企 业的筹资活动、投资活动、资金回收、收益分配策略及措施, 防范规避 财务风险,才能使企业长久稳定健康发展。

[ 1] 温素彬, 薛恒新.基于科学发展观的企业三重绩效评价模型[J].会计

研究.[ 2] 王化成, 刘俊勇, 孙薇.企业业绩评价[M].北京: 中国人民大学出版

参考文社.献

488

第三篇：高数极限求法总结

首先说下我的感觉，假如高等数学是棵树木得话，那么 极限就是他的根，函数就是他的皮。树没有跟，活不下去，没有皮，只能枯萎，可见这一章的重要性。

为什么第一章如此重要？ 各个章节本质上都是极限，是以函数的形式表现出来的，所以也具有函数的性质。函数的性质表现在各个方面

首先 对 极限的总结 如下

极限的保号性很重要 就是说在一定区间内 函数的正负与极限一致 极限分为 一般极限，还有个数列极限，（区别在于数列极限时发散的，是一般极限的一种）

2解决极限的方法如下：（我能列出来的全部列出来了！！！你还能有补充么？？？）1 等价无穷小的转化，（只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用 但是前提是必须证明拆分后极限依然存在）e的X次方-1 或者（1+x）的a次方-1等价于Ax 等等。全部熟记

（x趋近无穷的时候还原成无穷小）

2落笔他 法则（大题目有时候会有暗示 要你使用这个方法）

首先他的使用有严格的使用前提！！！

必须是 X趋近而不是N趋近！！！！（所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件（还有一点 数列极限的n当然是趋近于正无穷的 不可能是负无穷！）

必须是 函数的导数要存在！！！！（假如告诉你g（x）, 没告诉你是否可导，直接用无疑于找死！）

必须是 0比0 无穷大比无穷大！！！！！

当然还要注意分母不能为0 落笔他 法则分为3中情况 0比0 无穷比无穷 时候 直接用 0乘以无穷 无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以 无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后 这样就能变成1中的形式了 3 0的0次方 1的无穷次方 无穷的0次方

对于（指数幂数）方程 方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候 LNX趋近于0）

3泰勒公式(含有e的x次方的时候，尤其是含有正余旋 的加减的时候要 特变注意！！）

E的x展开 sina 展开 cos 展开 ln1+x展开 对题目简化有很好帮助

4面对无穷大比上无穷大形式的解决办法

取大头原则 最大项除分子分母！！！！！！看上去复杂处理很简单！！！！！

5无穷小于有界函数的处理办法

面对复杂函数时候，尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。

面对非常复杂的函数 可能只需要知道它的范围结果就出来了！！

6夹逼定理（主要对付的是数列极限！）

这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。

7等比等差数列公式应用（对付数列极限）（q绝对值符号要小于1）

8各项的拆分相加（来消掉中间的大多数）（对付的还是数列极限）可以使用待定系数法来拆分化简函数

9求左右求极限的方式（对付数列极限）例如知道Xn与Xn+1的关系，已知Xn的极限存在的情况下，xn的极限与xn+1的极限时一样的，应为极限去掉有限项目极限值不变化2 个重要极限的应用。这两个很重要！！！对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x比值。地2个就如果x趋近无穷大 无穷小都有对有对应的形式（地2个实际上是 用于 函数是1的无穷的形式）（当底数是1 的时候要特别注意可能是用地2 个重要极限）还有个方法，非常方便的方法

就是当趋近于无穷大时候

不同函数趋近于无穷的速度是不一样的！！！！！！！！

x的x次方 快于 x！快于 指数函数 快于 幂数函数 快于 对数函数（画图也能看出速率的快慢）！！！当x趋近无穷的时候 他们的比值的极限一眼就能看出来了 换元法 是一种技巧，不会对模一道题目而言就只需要换元，但是换元会夹杂其中

13假如要算的话 四则运算法则也算一种方法，当然也是夹杂其中的

14还有对付数列极限的一种方法，就是当你面对题目实在是没有办法 走投无路的时候可以考虑 转化为定积分。一般是从0到1的形式。

15单调有界的性质

对付递推数列时候使用 证明单调性！！！

16直接使用求导数的定义来求极限，（一般都是x趋近于0时候，在分子上f（x加减麽个值）加减f（x）的形式，看见了有特别注意）

（当题目中告诉你F(0)=0时候 f（0）导数=0的时候 就是暗示你一定要用导数定义！！）

（从网上发现，谢谢总结者）

第四篇：浅谈数列极限的求法

浅谈数列极限的求法

龙门中小李海东

摘要：本文主要介绍了数列极限的几种求法，并通过一个例题说明利用函数极限的求法，帮助寻找数列极限的方法，帮助学生理解和掌握求极限的方法。

关键词：数列极限方（求）法说明

引言：在初等代数，高等代数学习过程中发现或多或少都涉及到数列极限的有关内容，在数学分析中数列极限是极其重要的章节，数列极限是学习函数极限的基础和铺垫，数列极限的求法和函数极限求法在某种程度上是彼此相似的，所以可以对照学习，也可以用一种求极限的方法，求出另外一种极限，给解答习题带来一定的灵活性。方法也是比较灵活的。下面就数列极限的求法略作浅谈，且举例说明。

一 利用单调有界准则求极限

预备知识：若数列an收敛，则an为有界数列，即存在正数M，使得对一切正整数n，有 anM.此方法的解题程序为：

1、直接对通项进行分析或用数学归纳验证数列an单调有界；

2、设an的极限存在，记为limanA代入给定的表达式中，则该式变为A的代数方n

程，解之即得该数列的极限。

举例说明：

例：若序列an的项满足a1a(a0)且an11aan,(n1,2,),试证2an

an有极限并求此极限。

解由a1a

21a1a12a2a1aa1aa22aa2a111

用数学归纳法证明aka需注意

22a2aka1a1akaka.ak2ak2akak

又anan12a1aana0 n2an2an

an为单调减函数且有下界。

令其极限为A 由 an1

1a

an有： 2an

1a

an2an

liman1

n

即A

1a

A 2A

AaA

a(A0)

n

从而liman

a.二 利用数列极限的定义求数列的极限

大家知道，数列极限的定义是这样的：设an为数列，a为定数，若对任给的正数，总存在正整数N，使得当nN时，有ana，则称数列收敛于a，定数a称为数列

anan的极限，记作：limn

a，当数列不单调时，我们就用此定义来求极限，其步骤：

1、先根据数列极限的唯一性求出极限；

2、再去证明极限的存在性。举例说明：

例：设x12, xn12解1.令limxnt

n

(n1)求:：limxn.nxn

则limxn1lim2

n

n



xn

 

即t2t12xn2

t2 t12(t12舍去)

1t

2.证明其极限的存在性对0xnt(2)(2)xn1t

xn1txn2t1xn1t ttxn1442



24n1

(当n足够大)



1xn1



x144n1

由极限的下定义可得：limxnt0

n

limxnt1

n

2.三 利用数列夹逼准则求数列极限

回顾一下：设收敛数列an数列{cn}满足：存在正数N0，当nN0，bn都以a为极限，时，有：ancnbn.则数列{cn}收敛，且limcna.n

此方法一般通过放大或缩小分母来找出两边数列的通项，从而达到求极限的目的。

举例说明：

11

例：求 lim12.n

nn

111n1

解由11212

nnnn

n1n11

1112 (n1)(n1)n1n1

n

n

n

n

nnn

1

显然 lim1e

n

n

nn1

111lim11并且 lim1e nn

n1n1n1

n

11

lim12e.n

nn

四 利用重要公式求极限或转化为函数的极限

此方法必须在牢记重要极限的形式和其值的基础上，对所求式子作适当变形，从而达到求其极限的目的，这种方法灵活，有相当的技巧性。

举例说明：

n

n1

n11

例：求 limsin.n

nnn

n1

n11

解limsin

n

nnn

=lim

n1

nn

n1

sin1

nsin1n1n

=lim1

n

1n

n1

=lim1=e11=e

n



111nn1

n

n

sin

例：求极限lim

sinx

xasina

xa

1xa

.解lim

sinx

xasina

xa



1xa

=lim1

sinxsina

sina

1sinacosa

xacosasina

xaxa2cossin=lim1xasina

xa2cosasin

=lim1xasina

sina

cosa(xa)



cosasina

sina

cosa(xa)xa2cosasin=lim1xasina

ctga

=e

ctga

sin



xaxa

~ 22

五 利用数列极限与函数的极限等值关系来求极限

此方法把数列极限化成函数形式的极限，而后回代，从而求出数列极限的一种方法。

举例说明：

abc

.例：若 a,b,c0,求limn3

解先考虑：

1

axbxcx

ln

3

n



xln

x

1

axbxcx

3 

1

axbxcx

而limxln

x3

 

1xxxlnabcln3=lim

x1

x

2axlna2bxlnb2cxlnc=lim

x

12x

1x

1x

1x

1x1x1x

=lim

alnablnbclnc

abc

1x

1x

1x

x

=lnabc

c

 limn3

n

1

axbxcx

=lim

n3

 

n

=lime

n

111axbxcxxln



=e

lnabc

3

=e

lnabc3

=abc

通过上面简单的对求数列极限的一般方法加以归纳，并举例说明，就可以在我们大脑中造成深刻的印象，更好地掌握函数和数列极限的求法。但数列极限的求法并不限于这几种方法，或许还有很多种，希望大家在学习过程中善于归纳总结求数列极限的方法，以便我们共勉。

参考文献：

[1]程其襄.数学分析第三版[M].高等教育出版社，1981（4）[2]谢惠民.数学分析习题课讲义[M].高等教育出版社，2003（7）

[3]周建莹 李正元.高等数学解题指南[M].北京大学出版社，2002.（10）[4]王汝发.高等数学解题方法[M].兰州大学出版社，1994.（3）

第五篇：浅谈函数极限的求法

浅谈函数极限的求法

摘要：函数极限是数学分析的基本内容之一，也是解决其它问题的基础。如何求出已知函数的极限是学习微积分必须掌握的基本技能。本文系统地介绍了利用定义、两个重要极限、无穷小量代换、洛必达法则、夹逼准则等求极限的方法，并结合具体的例子，指出了在解题中常遇见的一些问题。

关键词: 函数极限夹逼准则等价无穷小量洛必达法则泰勒展开式无穷小量

引言

极限研究的是函数的变化趋势，在自变量的某个变化过程中，对应的函数值无限解决某个确定的数，那这个数就是函数的极限了。极限是数学分析中一个非常重要的概念，是贯彻数学分析的一条主线，它将数学分析的各个知识点连在一起，所以，求极限的方法显得尤为重要的，我们知道，函数是数学分析研究的对象，而极限方法则是数学分析中研究函数的重要方法，因此怎样求极限就非常重要。

数学分析中所讨论的极限大体上分为两类：一类是数列的极限，一类是函数的极限。两类极限的本质上是相同的，在形式上数列界限是函数极限的特例。因此，本文只就函数极限进行讨论。函数极限运算是高等数学的一个重要的基本运算，一部分函数的极限可以通过直接或间接的运用“极限四则运算法则”来求解，而另一部分函数极限需要通过特殊方法解决。求函数极限的方法较多，但是每种方法都有其局限性，都不是万能的。对某个具体的求极限的问题，我们应该追求最简便的方法。在求极限的过程中，必然以相关的概念、定理以及公式为依据，并借助一些重要的方法和技巧。本文给出了十七种求极限的方法，每种方法都是以定理或简述开头，然后以例题来全面展示具体的求法。下面我们通过对一元函数和二元函数极限的求法来进行分类讨论

一元函数极限的求法

1.1利用函数定义求极限

利用函数极限的定义验证函数的极限。设函数f在点x0的某空心邻域，使得当U0(x0;)内有定义,A为定数。若对任给的0，存在正数（）

0xx0时，有f(x)A成立，则称函数f当x趋于x0时以A为极限，记作limf(x)A或f(x)A(xx0)。xx0

x24例1设f(x),证明limf(x)4.x2x

2x244x24x2，证明: 由于当x2时，f(x)4x2

故对给定的0，只要取，则当0x2时，有f(x)4.这就证明了limf(x)4.x2

(1)定义中的正数，相当于数列极限N定义中的N，它依赖于，但也不是由所惟一确定。一般来说，愈小，也相应地要小一些，而且把取得更小一些也无妨，如在题1中可取

2或

3等等。

(2)定义中只要求函数f在点x0的某个空心领域内有定义，而一般不考虑f在点x0处的函数值是否有定义，或者取什么值。这是因为，对于函数极限我们所研究的是当x趋于x0过程中函数值的变化趋势。如在题1中函数f在点x2是没有定义的，但当x2时,f的函数值趋于一个定数。

1.2 利用单侧极限求函数极限

这种方法适用于求分段函数在分段点处的极限。首先必须考虑分段点处的左、右极限都存在且相等，则函数在分界点处的极限存在，否则极限不存在。如符号函数sgnx，由于它在x0处的左、右极限不相等，所以limsgnx不存在。x0

f(x)limf(x)A.定理1 limf(x)Alimxx0xx0xx0

2xx0例2 ： f(x)0 x0,求f(x)在x0处的极限.1x2x0

f(x)lim2x1，解: limx0x0

f(x)lim1x1，limx0x0

2f(x)limf(x)1， limx0x0

 limf(x)1.x0

1.3 利用函数极限的四则运算法则求极限

定理2 若极限limf(x)和limg(x)都存在，则函数f(x)g(x)，f(x)g(x)，xx0xx0

当xx0时也存在极限，且有

①limxx0

xx0f(x)g(x)limf(x)limg(x)； xx0xx0xx0xx0②limf(x)g(x)=limf(x)limg(x)；

limf(x)f(x)f(x)xx0③又若limg(x)0，则在xx0时也存在极限，且有lim.xx0xx0g(x)g(x)limg(x)

xx0

利用函数极限的四则运算法则求极限，条件是每项或每个因子极限都存在，一般所给的变量都不满足这个条件，如0，等情况，都不能直接用四则运算法0

则，必须要对变量进行变形，设法消去分子、分母中的零因子，在变形时，要熟练掌握因式分解、有理化运算等恒等变形。

(xtanx1).例3：求limx4

解: 由xtanxxsinx2及limsinxsinlimcosx，有 xxcosx42lim(xtanx1)=limxx4limsinxx4xlimcosxxlim1x41.1.6 利用函数的连续性求函数极限

参考文献:

[1] 华东师范大学数学系.数学分析(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2001.[2] 陈传璋,朱学炎等.数学分析(第二版)[M].北京:高等教育出版社,1998.[3] 张再云，陈湘栋等，极限计算的方法与技巧[J].湖南理工学院学报(自然科学版),2009,22(2):16-19.[4]欧阳光中.数学分析[M].上海：复旦大学出版社，2002.[5]钱吉林.数学分析解题精粹[M].武汉：崇文书局出版社，2001