数学中常用极限方法总结

第一篇：数学中常用极限方法总结

【1】 忽略高阶无穷小方法。

很多极限看起来很复杂，而且也不好使用洛必达法则，但是如果忽略掉次要部分，则会很容易计算。

比如

再比如斐波那契数列，忽略掉比x低的无穷小项后为√x / √2x = 1/√2

忽略掉[(1-√5)/2]^n的次要项后，可以求得lim a(n+1)/a(n)=(1+√5)/2

再比如 lim(x->∞)(sinh(x)+sinx)/(2Cosh(x)-3Cos(x))当x->∞的时候sinx和cosx是sinh(x)和cosh(x)的高阶无穷小 所以lim(x->∞)(sinh(x)+sinx)/(2Cosh(x)-3Cos(x))= lim(x->∞)sinh(x)/2Cosh(x)

= lim(x->∞)(e^x-e^(-x))/ 2(e^x+e^(-x))= lim(x->∞)e^x / 2e^x =1

【2】 取对数与洛必达法则

洛必达法则是求极限的时候用的最多的方法，但是很多题目都会饶下弯子，需要先对代数式进行一些变形，否则计算起来会越来越烦，常见的的代换包括取对数，等价无穷小代换，省略高阶无穷小部分，在用完这些方法后，再使用洛必达法则，可以有效的解决这类问题。

比如

这个直接用等价无穷小代换后会因为损失了高阶无穷小导致结果不正确，取对数后就会化成容易计算的形式了 lim(x->∞)x^2*ln(1+1/x)1)/ 2t =-1/2 所以原式极限为e^(-1/2)

再比如 tanx ^(1/lnx)在x->0+的时候的极限 这个极限是0^∞的形式

直接取对数得 ln(tanx)/ lnx，现在是∞/∞的形式

用洛必达法则得 = x /(sinx cosx)= x/sinx * 1/cosx = 1 所以tanx^(1/lnx)在x->0+的时候的极限为e

【3】 常用等价无穷小

经常用到的等价无穷小有

(1)tanx ~ sinx ~ acrsinx ~ arctanx ~ sinh(x)~ acsinh(x)~ x(x->0)(2)1-cosx ~ x^2/2(x->0)(3)e^x1 ~ ax(x->0)(6)esinx)/ x^3在x->0处的极限，这个可以使用多次洛必达求得，或提取sinx后用两个等价无穷小代换，也可以用tanx和sinx的级数代入求得 =(x+x^3/3 + O(x^4)(13 x^7)/210 + O(x^9)sin(tan(sin(tan(x))))在x=0处的幂级数展开为x + x^3/3 + x^5/302)/ x^2在 x->0处的极限 用泰勒公式就比较简单

√(1+x)~ 1+x/2x/2x^2/4(e x)/2 +(11 e x^2)/24 + O(x^3)(1+1/x)^x在x=0处的级数展开为1-x lnx +(1+(lnx)^2)x^2 + O(x^3)

【6】 中值定理

有些极限用常见的方法处理比较困难，但是可以很容易的看出这是某个函数在两个很近的点处的割线的斜率或两个点之间的面积，那么这个时候可以考虑使用微分中值定理或积分中值定理。

比如求sin(√(x+1)sin√x)/(√(x+1)-√x)所以lim(sin(√(x+1)arctan a/(x+1))在x->∞处的极限

令f(x)= arctan a/x那么存在x< ξ

由于x^2/(a^2+(x+1)^2)< x^2/(a^2+ξ^2)< x^2 /(a^2+x^2)，取极限得1 <= lim x^2/(1+ξ^2)<= 1 所以原式极限是a

再比如求(Pi/2arctanx = ∫ 1/(1+t^2)dt(积分限为[x,∞])所以存在x<ξ<∞使得 ξ/(1+ξ^2)= Pi/2(n-1)^(k+1)] =n^k / [ n^(k+1)C(k+1,2)n^(k-1)+....] =n^k / [C(k+1,1)n^kln(n!)+ n ln(n))/(n+1-n)=lim [ ln(n+1)ln(n+1)+ n ln(n)] =lim n * ln(n/(n+1))=-1

【8】 利用定积分的数值公式

有些求和的极限用夹挤定理只能得到级数收敛，但不能求出具体的极限值，而一些题刚好是利用定积分的数值公式（主要是矩形公式）分解而来，这个时候可以考虑凑定积分的方式来对级数求和。

比如求

可以写成1/n ∑1/(1+(k/n)^2)

所以这个刚好是1/(1+x^2)在[0,1]上的定积分 所以极限为Pi/4

再如上面出现过的(1^k+2^k+...+n^k)/ n^(k+1)这个可以写成1/n ∑(i/n)^k

所以可以看成是 x^k在[0,1]上的定积分 所以极限是1/(k+1)

【9】 利用级数展开

某些涉及到求和的极限可能刚好是某个函数的级数展开的特殊值 比如交错级数 1-1/2+1/3-1/4+...这个刚好是ln(1+x)= xx^4/4 +...在x=1处的值 所以极限是ln2 而对于其他一些级数也可能是函数展开的特殊值 比如1 + 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^ + 1/n^2 +...考虑正弦函数的无穷积展开为 sinx = x ∏(1-x^2/k^2Pi^2)取对数后求导数得

Cot[x] = 1/x1/4 + 1/7-1/11 +...(-1)^(3k+1)/(3k+1)+....也是可以计算出来的，结果留给你们算

第二篇：2018考研数学：数列极限方法总结归纳

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2018考研数学：数列极限方法总结归纳

极限是考研数学每年必考的内容,在客观题和主观题中都有可能会涉及到平均每年直接考查所占的分值在10分左右，而事实上，由于这一部分内容的基础性，每年间接考查或与其他章节结合出题的比重也很大。极限的计算是核心考点，考题所占比重最大。熟练掌握求解极限的方法是得高分的关键。下面凯程考研就分享一下数列极限方法，大家注意学习。

极限无外乎出这三个题型：求数列极限、求函数极限、已知极限求待定参数。熟练掌握求解极限的方法是的高分地关键，极限的运算法则必须遵从，两个极限都存在才可以进行极限的运算，如果有一个不存在就无法进行运算。以下我们就极限的内容简单总结下：

极限的计算常用方法：四则运算、洛必达法则、等价无穷小代换、两个重要极限、利用泰勒公式求极限、夹逼定理、利用定积分求极限、单调有界收敛定理、利用连续性求极限等方法。

四则运算、洛必达法则、等价无穷小代换、两个重要极限是常用方法，在基础阶段的学习中是重点，考生应该已经非常熟悉，进入强化复习阶段这些内容还应继续练习达到熟练的程度;在强化复习阶段考生会遇到一些较为复杂的极限计算，此时运用泰勒公式代替洛必达法则来求极限会简化计算，熟记一些常见的麦克劳林公式往往可以达到事半功倍之效;夹逼定理、利用定积分定义常常用来计算某些和式的极限，如果最大的分母和最小的分母相除的极限等于1，则使用夹逼定理进行计算，如果最大的分母和最小的分母相除的极限不等于1，则凑成定积分的定义的形式进行计算;单调有界收敛定理可用来证明数列极限存在，并求递归数列的极限。

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第三篇：2018考研数学：16种极限求解的方法总结

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2018考研数学：16种极限求解的方法总

结

学好高数，极限基础必须要打好，极限求解也是必要解决的问题，下面总结了16种可用的方法，大家学习学习，可灵活应用。

1、等价无穷小的转化，(只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用,前提是必须证明拆分后极限依然存在,e的X次方-1或者(1+x)的a次方-1等价于Ax等等。全部熟记(x趋近无穷的时候还原成无穷小)。

2、洛必达法则(大题目有时候会有暗示要你使用这个方法)。首先他的使用有严格的使用前提!必须是X趋近而不是N趋近!(所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件(还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷!)必须是函数的导数要存在!(假如告诉你g(x),没告诉你是否可导，直接用，无疑于找死！)必须是0比0无穷大比无穷大!当然还要注意分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：0比0无穷比无穷时候直接用;0乘以无穷，无穷减去无穷(应为无穷大于无穷小成倒数的关系)所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成

第四篇：极限满分方法

的题目是以直接求极限的形式出现，例如2011年数学一的15题：求极限也有的题目是间接涉及到求极限问题，例如2012年数学一的1题是要求曲线渐近线的条数，求曲线渐进线最终还是通过求函数极限来达到的。这两类题目在历年考研数学试题中出现的频率都很高，求极限的方法一定要熟记于心、熟练掌握，不可轻视！

??? 求极限的方法不只限于两三种，概括来讲共分为下面八大类：

??? 1.定义法。此法一般用于极限的证明题，计算题很少用到，但仍应熟练掌握，不重视基础知识、基本概念的掌握对整个复习过程都是不利的。

??? 2.洛必达法则。此法适用于解型等不定式极限，但要注意适用条件（不只是使用洛必达法则要注意这点，数学本身是逻辑性非常强的学科，任何一个公式、任何一条定理的成立都是有使其成立的前提条件的，不能想当然的随便乱用），如出现的极限是形如，则都可以转化为型来求解。

??? 3.对数法。此法适用于指数函数的极限形式，指数越是复杂的函数，越能体现对数法在求极限中的简便性，计算到最后要注意代回以e为底，不能功亏一篑。

??? 4.定积分法。此法适用于待求极限的函数为或者可转化为无穷项的和与一个分数单位之积，且这无穷项为等差数列，公差即为那个分数单位。例如《2013无师自通考研数学复习大全》第26页末尾的一道题：极限

?

??? 5.泰勒展开法。待求极限函数为分式，且用其他方法都不容易简化时使用此法会有意外收获。当然这要求考生能熟记一些常见初等函数的泰勒展开式且能快速判断题目是否适合用泰勒展开法，坚持平时多记多练，这都不是难事。

??? 6.等价替换法。此法能快速简化待求极限函数的形式，也需要考生熟记一些常用的等价关系，才能保证考试时快速准确地解题。注意等价替换只能替换乘除关系的式子，加减关系的不可替换。

??? 7.放缩法（夹逼定理）。此法较简单，就是对待求极限的函数进行一定的扩大和缩小，使扩大和缩小后的函数极限是易求的，例如《2013考研数学接力题典1800》第4页的56题：求极限，该题即是用放缩法求解，具体解法可参见书内答案。

??? 8.重要极限法。高数中的两个重要极限：及其变形要熟记并学会应用。

??? 掌握了以上八大方法还是不够的，要学会融会贯通，因为考研题的综合性很强，不是一道题只用一种方法就能够解出来的，往往是同时用到两三种甚至更多才能顺利解答。这就需要考生平时多想多练，做到熟能生巧，才能在最后的考试决战中胜人一筹。

第五篇：高等数学极限方法总结

摘要：数列极限的求法一直是数列中一个比较重要的问题，本文通过归纳和总结，从不同 的方面罗列了它的几种求法.关键词：高等数学、数列极限、定义、洛比达法则、英文题目Limit methods summarize

Abstract:

The method of sequence limit has been in the series a more important problems, this paper summed up from different aspects and a few of its listing is also given.Key words:

Higher mathematics, sequence limit, definition, los than amounting to law，一.引言

高等数学第二章在整个高等数学的学习中都占有相当重要的地位，特别是极限，原因就是后续章节本质上都是极限。一个经典的形容就是假如高等数学是棵树木的话，那么极限就是它的根，函数就是它的皮。树没有根，活不下去，没有皮，只能枯萎，可见极限的重要性。

极限一直是数学分析中的一个重点内容，而对数列极限的求法可谓是多种多样，通过归纳和总结，我们罗列出一些常用的求法。求数列极限的最基本的方法 还是利用数列极限的定义，也要注意运用两个重要极限，其中，可以利用等量代 换,展开、约分，三角代换等方法化成比较好求的数列，也可以利用数列极限的 四则运算法则计算。夹逼性定理和单调有界原理是很重要的定理，在求的时候要 重点注意运用。泰勒公式、洛必达法则、黎曼引理是针对某些特殊的数列而言的。还有一些比较常 用的方法，在本文中都一一列举了。

二.研究问题及成果

一、极限定义、运算法则和一些结果

1．定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述）。

说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：

blim(3x1)5lim0(a,b为常数且a0)；；x2nan0，当|q|1时limqn；等等 n

（2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。

2．极限运算法则

定理1 已知 limf(x)，limg(x)都存在，极限值分别为A，B，则下面极限都存在，且有

（1）lim[f(x)g(x)]AB

（2）limf(x)g(x)AB（3）limf(x)A,(此时需B0成立)g(x)B当|q|1时不存在，说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。

3．两个重要极限

（1）limx0sinxx 2

(11)xe

(1x)e ； lim（2）limxxx01x说明：(1)不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式.（2）一定注意两个重要极限成立的条件。一定注意两个重要极限 成立的条件。

sin3x3lim1，lim(12x)2xe，lim(1)3e；等等。例如：x0xxx03x1x4．洛比达法则

定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。

定理3 当x0时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有：

x～sinx～tanx～arcsinx～arctanx～ln(1x)～ex1。

说明：当上面每个函数中的自变量x换成g(x)时（g(x)0），仍有上面的等价

关系成立，例如：当x0时，e3x21 ～ 3x ；ln(1x2)～ x。

定理4 如果函数f(x),g(x),f1(x),g1(x)都是xx0时的无穷小，且f(x)～f1(x)，g(x)～g1(x)，则当limxx0f1(x)f(x)lim存在时，xx也存在且0g(x)g1(x)lim等于f(x)xx0f1(x)f(x)f(x)lim1lim，即x=。

xxx00g(x)g1(x)g1(x)5．洛比达法则

定理5 假设当自变量x趋近于某一定值（或无穷大）时，函数f(x)和g(x)满足：（1）f(x)和g(x)的极限都是0或都是无穷大；

（2）f(x)和g(x)都可导，且g(x)的导数不为0；

（3）limf(x)存在（或是无穷大）； g(x)f(x)f(x)=lim。g(x)g(x)f(x)f(x)il

则极限lim也一定存在，且等于lim，即mg(x)g(x)说明：定理5称为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满足，只要有一条不满足，洛比达法则就不能应用。特别要注意条件（1）是否满足，即验证所求极限是否为“”型或“”型；条件（2）一般都满足，而条件（3）则在求导完毕后可以知道是否满足。另外，洛比达法则可以连续使用，但每次使用之前都需要注意条件。

6．连续性

定理6 一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果x0是函数f(x)的定义去间内的一点，则有limf(x)f(x0)。

xx0007．极限存在准则

定理7（准则1）单调有界数列必有极限。

定理8（准则2）已知{xn},{yn},{zn}为三个数列，且满足：

（1）ynxnzn,(n1,2,3,)

（2）limyna，limzna

nn

则极限limxn一定存在，且极限值也是a，即limxna。

nn

二、求极限方法举例

1． 利用函数的连续性（定理6）求极限 x2e 例4 limx2解：因为x02是函数f(x)xe的一个连续点，所以

原式=22e4e。2． 利用两个重要极限求极限 例5 limx01cosx 3x2121x12xxx2sin22lim21lim解：原式=x0x0x26。3x212()22sin2注：本题也可以用洛比达法则。

(13sinx)例6 limx0(13sinx)解：原式=limx016sinx3sinxx2xlim[(13sinx)x013sinx]6sinxxe6。

(例7 limnn2n)n1n13nn133(1)解：原式=limnn133n1lim[(1)]e3。nn1n13n注：两个重要的极限分别为 limsin x 1 2 = 1 和 lim(1 +)x = e，对第一个而言是 x→0 x →∞ x xX 趋近0 时候的 sinx 与 x 比值。第2 个实际上如果 x 趋近无穷大和无穷小都有 对有对应的形式。当底数是 1 的时候要特别注意可能是用第2 个重要极限。3． 利用定理2求极限 x2sin 例8 limx01x解：原式=0（定理2的结果）。4． 利用等价无穷小代换（定理4）求极限

这种方法的理论基础主要包括：(1)有限个无穷小的和、差、积仍是无穷小.(2)有界函数与无穷小的乘积是无穷小.(3)非零无穷小与无穷大互为倒数.(4)等价无穷小代换(当求两个无穷小之比的极限时，分子与分母都可用等价无穷小代替).设~、~且lim[3]

lim；则：与是等价无穷小的充分必要条件为：0()．

常用等价无穷小：当变量x0时，sinx~x,tanx~x,arcsinx~x,arctanx~x,ex1~x,ln(1x)~x,1cosx~12x,21x1x~x,(1x)1~x．

例1 求limx01cosx．

xarctanx解 x0时,1cosx~12x,arctanx~x，212x1 故，原式lim22

x0x2例2 求lim(1x)1．

x0cosx1123123解 x0时,(1x)1~121x,1cosx~x2,因此: 3212x23． 原式limx0123x23例3 求 limx0131．

tanx1x1133解 x0时,1x1~x,tanx~x，故:原式=lim．

x0x33 例4 求limx0ex122xln(1x)．

解 x0时,ex1~x,ln(1x)~x,故: x21原式lim2．

x02x2例5 试确定常数a与n，使得当x0时，ax与ln(1x3)x3为等价无穷小．

n3x223x333ln(1x)x3x51x1 而左边lim解 lim，limn1n1x0x0x0axnnaxnax33111a． 故 n15即n6 limx06a6a25.利用洛比达法则求极限

利用这一法则的前提是：函数的导数要存在；为0比0型或者

型等未定式类型.洛必达法则分为3种情况：（1）0比0，无穷比无穷的时候直接用.（2）0乘以无穷，无穷减去无穷（无穷大与无穷小成倒数关系时）通常无穷大都写成无穷小的倒数形式,通项之后，就能变成（1）中形式了.（3）0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方，对于（指数,幂函数）形式的方法主要是取指数的方法，这样就能把幂函数指数位置的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了.洛必达法则中还有一个定理：当xa时，函数f(x)及F(x)都趋于0；在点a的某去心邻域内，f(x)﹑F(x)的导数都存在且F(x)的导数不等于0；limxaf(x)存在，那么F(x)limxaf(x)f(x)[1]lim.xaF(x)F(x)求极限有很多种方法如洛必达法则，夹逼定理求极限的秘诀是：强行代入，先定型后定法.[3]例12 limx01cosx（例4）3x2sinx1。（最后一步用到了重要极限）6x6解：原式=limx0 cosx例13 limx12 x12sinx解：原式=limx1例14 limx02。

12xsinx x31cosxsinx1lim。=（连续用洛比达法则，最后用2x06x63x解：原式=limx0重要极限）例15 limx0解： sinxxcosx

x2sinx原式limsinxxcosxcosx(cosxxsinx)limx0x0x2x3x2

xsinx1lim2x033x11lim[] 例18 x0xln(1x)11lim[解：错误解法：原式=x0]0。

xx正确解法：

原式limln(1x)xln(1x)xlimx0xln(1x)xxx01 1x1lim1xlim。x0x02x2x(1x)2应该注意，洛比达法则并不是总可以用，如下例。例19 limx x2sinx

3xcosx8

lim解：易见：该极限是“”型，但用洛比达法则后得到：x0012cosx，3sinx此极限

不存在，而原来极限却是存在的。正确做法如下：

2sinxx原式=lim（分子、分母同时除以x）xcosx3x1

=（利用定理1和定理2）

注：使用罗比达法则必须满足使用条件，要注意分母不能为零，导数存在。罗比达法则分为三种情况（1）0 比0 和无穷比无穷时候直接分子分母求导；（2）0 乘以无穷，无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都 写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成 1 的形式；（3）的 0 次方，0 1 的无穷次方，无穷的 0 次方，对于（指数幂数）方程，方法主要是取指数还取 对数的方法，这 样就能把幂上的函数移下来了，就是写成 0 与无穷的形式了，（这就是为什么只有 3 种形式的原因，）6.利用极限存在准则求极限 13xn 例20 已知x12,xn12xn,(n1,2,)，求limnxn解：易证：数列{xn}单调递增，且有界（0

a2a，解得：a2或a1（不合题意，舍去）

xn2。所以 limn(例21 limn1n1n21n2121nn1n222)

1nn2解： 易见：因为 limnnn2n12nn12

nnn21，limnnn121

11nn2(所以由准则2得：limn7.直接使用求导的定义求极限

1n12n22)1。

当题目中告诉你F(0)0时，F(x)的导数等于0的时候，就是暗示你一定要用导数定义：（1）设函数yfx在点x0的某个领域内有定义，当自变量x在x0处取得增量x（点xx0仍在该领域内）时，相应的函数取得增量yfxx0fx0；如果y与x之比x0时的极限存在，则称函数yfx在点x0处可导，并称这个极限为函数yfx在点x0处可导，并称这个极限为函数yfx在点x0处的导数，记作fx0，即

fx0limfxx0fx0ylim；

x0xx0x（2）在某点处可导的充分必要条件是左右导数都存在且相等.例36 fxx1xex，求f''.解 f =limxfxflimx1xex1xe.xx'例37 若函数fx有连续二阶导数且f0=0，f0=1，f''0=-2，fxx则 limx0x2.A:不存在 B：0 C：-1 D：-2 fxxf'x11f'xf'01''f01.limlim解 lim2x0x0x02x2x2x0所以，答案为D.10 例38 若f(x)x(x1)(x2).....(x2010)，求f(0).f(x)f(0)

x0xx(x1)(x2).....(x2010)lim

x0x解 f(0)lim limx(x1)(x2).....(x2010)

x0 2010!.8.求数列极限的时候可以将其转化为定积分[1]

例33 已知fx1x ,在区间0,1上求lim20fx（其中将0,1分为n个小

iii1n区间xi1,xi,xi1ixi，为xi中的最大值）.解 由已知得: lim0fixifxdx

i10n1 101x2dx

4.（注释：由已知可以清楚的知道，该极限的求解可以转化为定积分,求函数fx在区间0,1上的面积）.在有的极限的计算中，需要利用到如下的一些结论、概念和方法：

（1）定积分中值定理：如果函数fx在积分区间a,b上连续，则在a,b上至少有一个点，使下列公式成立：fxdxxba abab；

（2）设函数fx在区间a,上连续，取ta，如果极限 lim此极限为函数fx在无穷区间a,上的反常积分，记作

tafxdx存在，则称

t0f(x)dx，即af(x)dxlimf(x)dx；

tat设fx在区间a,b上连续且fx0，求以曲线yfx为曲线，底为a,b的曲边梯形的面积A，把这个面积A表示为定积分：A=fxdx 的步骤是：

ab首先，用任意一组的点把区间a,b分成长度为xi(i1,2,...n)的n个小区间，相应地把曲 线梯形分成n个窄曲边梯形，第i个窄曲边梯形的面积设为Ai，于是有A其次，计算Ai的近似值 Aif然后，求和，得A的近似值 AnA；

ii1nixixi1ixi；

niifx；

i1最后，求极限，得Alim0f(i)xif(x)dx.i1ax02xbxtftdt..例34 设函数fx连续，且f00，求极限 limxfxtdtx00解 limx00xtftdtxfxtdt0xx =limx0x0xftdttftdt0xxfudu0x，ftdt+xfxxfx由洛必达得：limfuduxfx，0x0x0x其中fxtdx,令uxt,得fudu,0x

再由积分中值定理得:limx0xf

在0到x之间xfxfxlimx0ff01ffxf0f02dx1x2..例35 计算反常积分: 解 dxarctanx().limarctanxlimarctanx ===1x2xx-229.用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限

利用如下的极限运算法则来求极限：(1)如果limfxA,limgxB，那么lim[f(x)g(x)]limf(x)limg(x)AB

limfxgxlimfxlimgxAB

若又有B0，则limf(x)limf(xg(x))limg(x)AB（2）如果limf(x)存在，而c为常数，则lim[cf(x)]climf(x)（3）如果limf(x)存在，而n为正整数，则lim[f(x)]n[limf(x)]n（4）如果(x)(x)，而lim(x)a,lim(x)b，则ab（5）设有数列xn和yn，如果limnxnynAB;

那么，limnxnynAB;limnxnynAB

当yn0n1,2,...且b0时，limxnAny nB 例1 lim3x12x1x1

解：原式=(3x1)222lim3x33x1(x1)(3x12)limx1(x1)(3x12)4。注：本题也可以用洛比达法则。

例2 limnn(n2n1)n[(n2)(n1)]分子分母同除以n解：原式=limnn2n1lim3n1232n11n例3 lim(1)n3nn2n3n(1)n1解：原式上下同除以3nlim3n1。(23)n1三，极限运算思维的培养

。极限运算考察的是一种基本能力，所以在做题或者看书的时候依赖的是基本概念和基本方法。掌握一定的技巧可以使学习事半功倍。而极限思维的培养则是对做题起到指导性的意义。如何培养，一方面要立足概念，另一方面则需要在具体的运算中体会，多做题多总结。

四.结束语

上面对求极限的常用方法进行了比较全面的总结，由此可以看出，求极限方法灵活多样，而且许多题目不只用到一种方法，因此，要想熟练掌握各种方法，必须多做练习，在练习中体会。另外，求极限还有其它一些方法，如用定积分求极限等，由于平时练习中不经常使用，这里不作一一介绍了。

[参 考 文 献] [1] 同济大学应用数学系 高等数学 1997

[2] 吉米多维奇.数学分析[M].济南:山东科技文献出版社1995.[3] 陈纪修,等.数学分析[M].北京:高等教育出版社,1999.[4] 同济大学应用数学组.高等数学[M].北京:高等教育出版社,1996.第3期张宏达:高

等数学中求极限的常用方法

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