高等数学B上册 求极限方法总结

第一篇：高等数学B上册 求极限方法总结

锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。

出自----荀子----《劝学》

求极限的几种常用方法

1．约去零因子求极限

例1：求极限limx1x41x1

【说明】x1表明x与1无限接近，但x1，所以x1这一零因子可以约去。

x1x1x212【解】lim=limx1x1=4 x1x1x1

2．分子分母同除求极限

例2：求极限limxx3x2 33x1

型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。 

1132xx1 【解】limlimx3x31x1333x【说明】

【注】（1）一般分子分母同除x的最高次方；

0m>n

anxnan1xn1...a0m

anm=n bn

3．分子(母)有理化求极限

例3：求极限limxx32

2x21 【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。【解】limxx3x21limxx23x21x23x21x23x21

lim

2x3x1

x

0

例4：求极限lim

x0

tanxsinx

x3

【解】lim

x0

tanxsinxtanxsinx

= limx0x3x3tanxsinx

=lim

x0

1tanxsinx1tanxsinx1

=limlim33x0x0x2x4tanxsinx

【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子是解题的关键

4.应用两个重要极限求极限

两个重要的极限（1）lim

sinx

1

x0x

x

n

11

（2）lim1lim1lim1xxe

xxx0

xn

在这一类型题中，一般也不能直接运用公式，需要恒等变形进行化简后才可

以利用公式。

x1

例5：求极限lim

xx1

【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑+

x，最后凑指数部分。x

x11xx2122x11【解】lime2 =lim1lim1xx1xx1x1xx1

2

补：求下列函数的极限(1)limlimcoscos



n0n





x2

xxxcos......cos 22232n

n2

(2)（2）lim12 mm

m

5.利用无穷小量的性质求极限

无穷小量的性质：无穷小量与有界量的乘积还是无穷小量。如果limfx0，gx在x0

某区间x,xx,x有界，则limfxgx0。这种方法可以处理一个函数不存

x0

在但有界，和另一个函数的极限是零的极限的乘积的问题。

0 xx

【解】因为sinx1lim

6.用等价无穷小量代换求极限

【说明】

(1)常见等价无穷小有：

当x0时,x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln1x~e1，x

1cosx~

12b

x，1ax1~abx 2

(2)等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式。(3)此方法在各种求极限的方法中应作为首选。

xln1x x01cosx

xln1xxx

【解】limlim2

x01cosxx02

x2

sinxx

例8：求极限lim

x0tan3x

例7：lim

12x

sinxxsinxxcosx11 【解】lim=limlimlimx0tan3xx0x0x03x2x33x26



7.利用函数的连续性求极限

这种方法适合求复合函数的极限。如果ugx在点x0处连续gx0u0，而

fu在点x0处连续，那么复合函数yfgx在点x0处连续。limfgx=fgx0=

xx0



flimgx也就说，极限号lim与f可以互换顺序。

xx0

xx01例9：求limln1

x

x1

【解】令ylnu,u1

x

1

因为lnu在点u0lim1e处连续

x

x1

所以limln1

x

x

x

xx

x

1x

=lnlim1

xx

=lne

=1

8．用洛必达法则求极限

洛必达法则只能对

0

或型才可直接使用，其他待定型必须先化成这两种类型之一，0

f'xfx等于A时，那么lim存g'xgx然后再应用洛必达法则。洛必达法则只说明当也存在lim

在且等于A。如果lim

f'xfx不存在时，并不能断定lim也不存在，这是不能用洛必达

g'xgxfx。

gx法则的，而须用其他方法讨论lim

lncos2xln1sin2x

例10：求极限lim

x0x2lncos2xln1sin2x

【解】lim 2x0x





2sin2xsin2x

2

=limx02x

=lim=3

sin2x21

 2x02xcos2x1sinx

9.用对数恒等式求limfxgx极限

例11：求极限lim1ln1x

x0

2x

【解】lim1ln1x=lime

x0

x0



2x2

ln1ln1xx

e

x0

lim

2ln1ln1x

x

=e

x0

lim

2ln1xx

e2

【注】对于1型未定义式，也可以用公式limfx因为

limfx

gx

gx

1e



limfx1gx

elimgxln1fx1elimfx1gx

10.利用两个准则求极限

（1）夹逼准则：若一正数N。当n>N时，有xnynzn且limxnlimzna，则有

x

x

limyna.x

利用夹逼准则求极限关键在于从xn的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列yn和zn，使得ynxnzn。例12：xn

1n1



1n2

......1nn

求xn的极限。

【解】因为xn单调递减，所以存在最大项和最小项xn

1nn1n1



1nn1n1

......

1nn1n1



nnnnn1

xn

......

nnn

n

xn

nn1n

又因为lim

x

nn

lim

x

n1

1

所以limxn1

x

（2）单调有界准则：单调有界数列必有极限，而且极限唯一。

利用单调有界准则求极限，关键先要证明数列的存在，然后根据数列的 通项递推公式求极限。

例，证明下列极限存在，并求其极限。y1

a,y2aa,y3aaa,......,ynaaa...a

证明：从这个数列看yn显然是增加的。用归纳法可证。又因为y2

ay1,y3ay2,......,ynayn1

所以得ynayn1.因为前面证明yn是单调增加的。两端除以yn得yn

a1 yn

因为yny1

a,则

aa

a，从而1a1 ynyn

ayna1

即yn是有界的。根据定理yn有极限且极限唯一。

令limynl则limylimyn1a

nnn

则lla，因为yn>0.解方程得l

14a1

所以limynl

n

14a1

本文对极限的求法作了一下小结归纳了几种求极限的基本方法。对一般的极限用上面的方法可以求出来，复杂一点的可能要综合几种方法才能求出，关键是“运用之妙，存孚一心”。

第二篇：高等数学微积分求极限的方法整理

一，求极限的方法横向总结：

1带根式的分式或简单根式加减法求极限：1）根式相加减或只有分子带根式：用平方差公式，凑平方（有分式又同时出现未知数的不同次幂：将未知数全部化到分子或分母的位置上）

2）分子分母都带根式：将分母分子同时乘以不同的对应分式凑成完全平方式（常用到

2分子分母都是有界变量与无穷大量加和求极限：分子与分母同时除以该无穷大量凑出无穷小量与有界变量的乘积结果还是无穷小量。

3等差数列与等比数列和求极限：用求和公式。

4分母是乘积分子是相同常数的n项的和求极限：列项求和

5分子分母都是未知数的不同次幂求极限：看未知数的幂数，分子大为无穷大，分子小为无穷小或须先通分。

6运用重要极限求极限（基本）。

7乘除法中用等价无穷小量求极限。

8函数在一点处连续时，函数的极限等于极限的函数。

9常数比0型求极限：先求倒数的极限。

10根号套根号型：约分，注意别约错了。

11三角函数的加减求极限：用三角函数公式，将sin化cos

二，求极限的方法纵向总结：

1未知数趋近于一个常数求极限：分子分母凑出（x-常数）的形式，然后约分（因为x不等于该常数所以可以约分）最后将该常数带入其他式子。

2未知数趋近于0或无穷：1）将x放在相同的位置

2）用无穷小量与有界变量的乘积

3）2个重要极限

4）分式解法（上述）

第三篇：高等数学极限总结

我的高等数学 学我所学，想我所想

【摘要】《高等数学》教学中对于极限部分的要求很高，这主要是因为其特殊的地位决定的。然而极限部分绝大部分的运算令很多从中学进入高校的学生感到困窘。本文立足教材的基本概念阐述，着重介绍极限运算过程中极具技巧的解决思路。希望以此文能对学习者有所帮助。【关键词】高等数学 极限 技巧

《高等数学》极限运算技巧

《高等数学》的极限与连续是前几章的内容，对于刚入高校的学生而言是入门部分的重要环节。是“初等数学”向“高等数学”的起步阶段。

一，极限的概念

从概念上来讲的话，我们首先要掌握逼近的思想，所谓极限就是当函数的变量具有某种变化趋势（这种变化趋势是具有唯一性），那么函数的应变量同时具有一种趋势，而且这种趋势是与自变量的变化具有对应性。通俗的来讲，函数值因为函数变量的变化而无限逼近某一定值，我们就将这一定值称为该函数在变量产生这种变化时的极限！

从数学式子上来讲，逼近是指函数的变化，表示为。这个问题不再赘述，大家可以参考教科书上的介绍。

二，极限的运算技巧

我在上课时，为了让学生好好参照我的结论，我夸过这样一个海口，我说，只要你认真的记住这些内容，高数部分所要求的极限内容基本可以全部解决。现在想来这不是什么海口，数学再难也是基本的内容，基本的方法，关键是技巧性。我记得blog中我做过一道极限题，当时有网友惊呼说太讨巧了！其实不是讨巧，是有规律可循的！今天我写的内容希望可以对大家的学习有帮助!

我们看到一道数学题的时候，首先是审题，做极限题，首先是看它的基本形式，是属于什么形式采用什么方法。这基本上时可以直接套用的。

我的高等数学 学我所学，想我所想

1，连续函数的极限

这个我不细说，两句话，首先看是不是连续函数，是连续函数的直接带入自变量。

2，不定型

我相信所有学习者都很清楚不定型的重要性，确实。那么下面详细说明一些注意点以及技巧。

第一，所有的含有无穷小的，首先要想到等价无穷小代换，因为这是最能简化运算的。等价代换的公式主要有六个：

需要注意的是等价物穷小代换是有适用条件的，即：在含有加减运算的式子中不能直接代换，在部分式子的乘除因子也不能直接代换，那么如果一般方法解决不了问题的话，必须要等价代换的时候，必须拆项运算，不过，需要说明，拆项的时候要小心，必须要保证拆开的每一项极限都存在。此外等价无穷小代换的使用，可以变通一些其他形式，比如：

等等。特别强调在运算的之前，检验形式，是无穷小的形式才能等价代换。

当然在一些无穷大的式子中也可以去转化代换，即无穷大的倒数是无穷小。这需要变通的看问题。

在无穷小的运算中，洛必答法则也是一种很重要的方法，但是洛必答法则适用条件比较单一，就是无穷小比无穷小。比较常见的采用洛必答法则的是无穷小乘无穷大的情况。(特别说明无穷小乘无穷大可以改写为无穷小比无穷小或者无穷大比无穷大的形式，这根据做题的需要来进行）。

我的高等数学 学我所学，想我所想

第二，在含有∞的极限式中，一般可分为下面几种情况：（1），“∞/∞ ”形式

如果是幂函数形式的（包含幂函数四则运算形式），可以找高次项，提出高次项，这样其他一切项就都是无穷小了，只有高次项是常数。比如：

，这道题中，可以看到提出最高次x（注意不是）其他项都是“0”，原来的x都是常数1了。当然如果分式形式中，只有分子中含有高次项，那么该极限式极限不存在（是无穷大），如果只有分母中含有高次项，那么该极限式极限为0，如果分子分母都含有高次项，我们可以直接去看高次项的系数，基本原理其实就是上面所说的提高次项。比如上面的例子，可以直接写1/2。

如果不是纯幂函数形式，无法用提高次项的方法（提高次项是优先使用的方法），使用洛必达也是一种很好的方法。需要强调的是洛必达是一种解决“∞/∞ ”或“0/0 ”的基本方法，它的严格限制形式只有这两种，所以比较好观察。但是多数时候我们优先采用其他的方法来解决，这主要是考虑运算量的问题。（2），“∞-∞ ”形式

“ ∞-∞”形式不能直接运算，需要转换形式，即转换成“∞/∞ ”或“0/0 ”的形式，基本解法同上。比如：

这道题是转换形式之后是“∞/∞ ”的形式，提高次项解。（3）“ ”形式

我的高等数学 学我所学，想我所想

这也是需要转换的一种基本形式。因为无穷大与无穷小之间的倒数关系，所以这种转换时比较简单也是比较容易解决的。转换之后的形式也是“∞/∞ ”或“0/0 ”的形式。

第三，“ ”

这种形式的解决思路主要有两种。

第一种是极限公式，这种形式也是比较直观的。比如：道题的基本接替思路是，检验形式是“式，最后直接套用公式。

这

”，然后选用公式，再凑出公式的形第二种是取对数消指数。简单来说，“ ”形式指数的存在是我们解题的主要困难。那么我们直接消掉指数就可以采用其他方法来解决了。比如上面那道题用取对数消指数的方法来解，是这样的：

可以看出尽管思路切入点不一样，但是这两种方法有异曲同工之妙。三，极限运算思维的培养

极限运算考察的是一种基本能力，所以在做题或者看书的时候依赖的是基本概念和基本方法。掌握一定的技巧可以使学习事半功倍。而极限思维的培养则是对做题起到指导性的意义。如何培养，一方面要立足概念，另一方面则需要在具体的运算中体会，多做题多总结。

第四篇：高等数学极限总结

【摘 要】《高等数学》教学中对于极限部分的要求很高，这主要是因为其特殊的地位决定的。然而极限部分绝大部分的运算令很多从中学进入高校的学生感到困窘。本文立足教材的基本概念阐述，着重介绍极限运算过程中极具技巧的解决思路。希望以此文能对学习者有所帮助。

【关键词】高等数学 极限 技巧

《高等数学》极限运算技巧

《高等数学》的极限与连续是前几章的内容，对于刚入高校的学生而言是入门部分的重要环节。是“初等数学”向“高等数学”的起步阶段。

一，极限的概念

从概念上来讲的话，我们首先要掌握逼近的思想，所谓极限就是当函数的变量具有某种变化趋势（这种变化趋势是具有唯一性），那么函数的应变量同时具有一种趋势，而且这种趋势是与自变量的变化具有对应性。通俗的来讲，函数值因为函数变量的变化而无限逼近某一定值，我们就将这一定值称为该函数在变量产生这种变化时的极限！

从数学式子上来讲，逼近是指函数的变化，表示为。这个问题不再赘述，大家可以参考教科书上的介绍。

二，极限的运算技巧

我在上课时，为了让学生好好参照我的结论，我夸过这样一个海口，我说，只要你认真的记住这些内容，高数部分所要求的极限内容基本可以全部解决。现在想来这不是什么海口，数学再难也是基本的内容，基本的方法，关键是技巧性。我记得blog中我做过一道极限题，当时有网友惊呼说太讨巧了！其实不是讨巧，是有规律可循的！今天我写的内容希望可以对大家的学习有帮助!

我们看到一道数学题的时候，首先是审题，做极限题，首先是看它的基本形式，是属于什么形式采用什么方法。这基本上时可以直接套用的。

1，连续函数的极限

这个我不细说，两句话，首先看是不是连续函数，是连续函数的直接带入自变量。

2，不定型

我相信所有学习者都很清楚不定型的重要性，确实。那么下面详细说明一些注意点以及技巧。

第一，所有的含有无穷小的，首先要想到等价无穷小代换，因为这是最能简化运算的。等价代换的公式主要有六个：

需要注意的是等价物穷小代换是有适用条件的，即：在含有加减运算的式子中不能直接代换，在部分式子的乘除因子也不能直接代换，那么如果一般方法解决不了问题的话，必须要等价代换的时候，必须拆项运算，不过，需要说明，拆项的时候要小心，必须要保证拆开的每一项极限都存在。

此外等价无穷小代换的使用，可以变通一些其他形式，比如：

等等。特别强调在运算的之前，检验形式，是无穷小的形式才能等价代换。

当然在一些无穷大的式子中也可以去转化代换，即无穷大的倒数是无穷小。这需要变通的看问题。

在无穷小的运算中，洛必答法则也是一种很重要的方法，但是洛必答法则适用条件比较单一，就是无穷小比无穷小。比较常见的采用洛必答法则的是无穷小乘无穷大的情况。(特

别说明无穷小乘无穷大可以改写为无穷小比无穷小或者无穷大比无穷大的形式，这根据做题的需要来进行）。

第二，在含有∞的极限式中，一般可分为下面几种情况：

（1），“∞/∞ ”形式

如果是幂函数形式的（包含幂函数四则运算形式），可以找高次项，提出高次项，这样其他一切项就都是无穷小了，只有高次项是常数。比如：

，这道题中，可以看到提出最高次x（注意不是）其他项都是“0”，原来的x都是常数1了。当然如果分式形式中，只有分子中含有高次项，那么该极限式极限不存在（是无穷大），如果只有分母中含有高次项，那么该极限式极限为0，如果分子分母都含有高次项，我们可以直接去看高次项的系数，基本原理其实就是上面所说的提高次项。比如上面的例子，可以直接写1/2。

如果不是纯幂函数形式，无法用提高次项的方法（提高次项是优先使用的方法），使用洛必达也是一种很好的方法。需要强调的是洛必达是一种解决“∞/∞ ”或“0/0 ”的基本方法，它的严格限制形式只有这两种，所以比较好观察。但是多数时候我们优先采用其他的方法来解决，这主要是考虑运算量的问题。

（2），“∞-∞ ”形式

“ ∞-∞”形式不能直接运算，需要转换形式，即转换成“∞/∞ ”或“0/0 ”的形式，基本解法同上。比如：

这道题是转换形式之后是“∞/∞ ”的形式，提高次项解。

（3）“ ”形式

这也是需要转换的一种基本形式。因为无穷大与无穷小之间的倒数关系，所以这种转换时比较简单也是比较容易解决的。转换之后的形式也是“∞/∞ ”或“0/0 ”的形式。

第三，“ ”

这种形式的解决思路主要有两种。

第一种是极限公式，这种形式也是比较直观的。比如：

这道题的基本接替思路是，检验形式是“式。

”，然后选用公式，再凑出公式的形式，最后直接套用公第二种是取对数消指数。简单来说，“ ”形式指数的存在是我们解题的主要困难。那么我们直接消掉指数就可以采用其他方法来解决了。比如上面那道题用取对数消指数的方法来解，是这样的：

可以看出尽管思路切入点不一样，但是这两种方法有异曲同工之妙。

三，极限运算思维的培养

极限运算考察的是一种基本能力，所以在做题或者看书的时候依赖的是基本概念和基本方法。掌握一定的技巧可以使学习事半功倍。而极限思维的培养则是对做题起到指导性的意义。如何培养，一方面要立足概念，另一方面则需要在具体的运算中体会，多做题多总结。

第五篇：高等数学极限方法总结

摘要：数列极限的求法一直是数列中一个比较重要的问题，本文通过归纳和总结，从不同 的方面罗列了它的几种求法.关键词：高等数学、数列极限、定义、洛比达法则、英文题目Limit methods summarize

Abstract:

The method of sequence limit has been in the series a more important problems, this paper summed up from different aspects and a few of its listing is also given.Key words:

Higher mathematics, sequence limit, definition, los than amounting to law，一.引言

高等数学第二章在整个高等数学的学习中都占有相当重要的地位，特别是极限，原因就是后续章节本质上都是极限。一个经典的形容就是假如高等数学是棵树木的话，那么极限就是它的根，函数就是它的皮。树没有根，活不下去，没有皮，只能枯萎，可见极限的重要性。

极限一直是数学分析中的一个重点内容，而对数列极限的求法可谓是多种多样，通过归纳和总结，我们罗列出一些常用的求法。求数列极限的最基本的方法 还是利用数列极限的定义，也要注意运用两个重要极限，其中，可以利用等量代 换,展开、约分，三角代换等方法化成比较好求的数列，也可以利用数列极限的 四则运算法则计算。夹逼性定理和单调有界原理是很重要的定理，在求的时候要 重点注意运用。泰勒公式、洛必达法则、黎曼引理是针对某些特殊的数列而言的。还有一些比较常 用的方法，在本文中都一一列举了。

二.研究问题及成果

一、极限定义、运算法则和一些结果

1．定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述）。

说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：

blim(3x1)5lim0(a,b为常数且a0)；；x2nan0，当|q|1时limqn；等等 n

（2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。

2．极限运算法则

定理1 已知 limf(x)，limg(x)都存在，极限值分别为A，B，则下面极限都存在，且有

（1）lim[f(x)g(x)]AB

（2）limf(x)g(x)AB（3）limf(x)A,(此时需B0成立)g(x)B当|q|1时不存在，说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。

3．两个重要极限

（1）limx0sinxx 2

(11)xe

(1x)e ； lim（2）limxxx01x说明：(1)不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式.（2）一定注意两个重要极限成立的条件。一定注意两个重要极限 成立的条件。

sin3x3lim1，lim(12x)2xe，lim(1)3e；等等。例如：x0xxx03x1x4．洛比达法则

定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。

定理3 当x0时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有：

x～sinx～tanx～arcsinx～arctanx～ln(1x)～ex1。

说明：当上面每个函数中的自变量x换成g(x)时（g(x)0），仍有上面的等价

关系成立，例如：当x0时，e3x21 ～ 3x ；ln(1x2)～ x。

定理4 如果函数f(x),g(x),f1(x),g1(x)都是xx0时的无穷小，且f(x)～f1(x)，g(x)～g1(x)，则当limxx0f1(x)f(x)lim存在时，xx也存在且0g(x)g1(x)lim等于f(x)xx0f1(x)f(x)f(x)lim1lim，即x=。

xxx00g(x)g1(x)g1(x)5．洛比达法则

定理5 假设当自变量x趋近于某一定值（或无穷大）时，函数f(x)和g(x)满足：（1）f(x)和g(x)的极限都是0或都是无穷大；

（2）f(x)和g(x)都可导，且g(x)的导数不为0；

（3）limf(x)存在（或是无穷大）； g(x)f(x)f(x)=lim。g(x)g(x)f(x)f(x)il

则极限lim也一定存在，且等于lim，即mg(x)g(x)说明：定理5称为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满足，只要有一条不满足，洛比达法则就不能应用。特别要注意条件（1）是否满足，即验证所求极限是否为“”型或“”型；条件（2）一般都满足，而条件（3）则在求导完毕后可以知道是否满足。另外，洛比达法则可以连续使用，但每次使用之前都需要注意条件。

6．连续性

定理6 一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果x0是函数f(x)的定义去间内的一点，则有limf(x)f(x0)。

xx0007．极限存在准则

定理7（准则1）单调有界数列必有极限。

定理8（准则2）已知{xn},{yn},{zn}为三个数列，且满足：

（1）ynxnzn,(n1,2,3,)

（2）limyna，limzna

nn

则极限limxn一定存在，且极限值也是a，即limxna。

nn

二、求极限方法举例

1． 利用函数的连续性（定理6）求极限 x2e 例4 limx2解：因为x02是函数f(x)xe的一个连续点，所以

原式=22e4e。2． 利用两个重要极限求极限 例5 limx01cosx 3x2121x12xxx2sin22lim21lim解：原式=x0x0x26。3x212()22sin2注：本题也可以用洛比达法则。

(13sinx)例6 limx0(13sinx)解：原式=limx016sinx3sinxx2xlim[(13sinx)x013sinx]6sinxxe6。

(例7 limnn2n)n1n13nn133(1)解：原式=limnn133n1lim[(1)]e3。nn1n13n注：两个重要的极限分别为 limsin x 1 2 = 1 和 lim(1 +)x = e，对第一个而言是 x→0 x →∞ x xX 趋近0 时候的 sinx 与 x 比值。第2 个实际上如果 x 趋近无穷大和无穷小都有 对有对应的形式。当底数是 1 的时候要特别注意可能是用第2 个重要极限。3． 利用定理2求极限 x2sin 例8 limx01x解：原式=0（定理2的结果）。4． 利用等价无穷小代换（定理4）求极限

这种方法的理论基础主要包括：(1)有限个无穷小的和、差、积仍是无穷小.(2)有界函数与无穷小的乘积是无穷小.(3)非零无穷小与无穷大互为倒数.(4)等价无穷小代换(当求两个无穷小之比的极限时，分子与分母都可用等价无穷小代替).设~、~且lim[3]

lim；则：与是等价无穷小的充分必要条件为：0()．

常用等价无穷小：当变量x0时，sinx~x,tanx~x,arcsinx~x,arctanx~x,ex1~x,ln(1x)~x,1cosx~12x,21x1x~x,(1x)1~x．

例1 求limx01cosx．

xarctanx解 x0时,1cosx~12x,arctanx~x，212x1 故，原式lim22

x0x2例2 求lim(1x)1．

x0cosx1123123解 x0时,(1x)1~121x,1cosx~x2,因此: 3212x23． 原式limx0123x23例3 求 limx0131．

tanx1x1133解 x0时,1x1~x,tanx~x，故:原式=lim．

x0x33 例4 求limx0ex122xln(1x)．

解 x0时,ex1~x,ln(1x)~x,故: x21原式lim2．

x02x2例5 试确定常数a与n，使得当x0时，ax与ln(1x3)x3为等价无穷小．

n3x223x333ln(1x)x3x51x1 而左边lim解 lim，limn1n1x0x0x0axnnaxnax33111a． 故 n15即n6 limx06a6a25.利用洛比达法则求极限

利用这一法则的前提是：函数的导数要存在；为0比0型或者

型等未定式类型.洛必达法则分为3种情况：（1）0比0，无穷比无穷的时候直接用.（2）0乘以无穷，无穷减去无穷（无穷大与无穷小成倒数关系时）通常无穷大都写成无穷小的倒数形式,通项之后，就能变成（1）中形式了.（3）0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方，对于（指数,幂函数）形式的方法主要是取指数的方法，这样就能把幂函数指数位置的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了.洛必达法则中还有一个定理：当xa时，函数f(x)及F(x)都趋于0；在点a的某去心邻域内，f(x)﹑F(x)的导数都存在且F(x)的导数不等于0；limxaf(x)存在，那么F(x)limxaf(x)f(x)[1]lim.xaF(x)F(x)求极限有很多种方法如洛必达法则，夹逼定理求极限的秘诀是：强行代入，先定型后定法.[3]例12 limx01cosx（例4）3x2sinx1。（最后一步用到了重要极限）6x6解：原式=limx0 cosx例13 limx12 x12sinx解：原式=limx1例14 limx02。

12xsinx x31cosxsinx1lim。=（连续用洛比达法则，最后用2x06x63x解：原式=limx0重要极限）例15 limx0解： sinxxcosx

x2sinx原式limsinxxcosxcosx(cosxxsinx)limx0x0x2x3x2

xsinx1lim2x033x11lim[] 例18 x0xln(1x)11lim[解：错误解法：原式=x0]0。

xx正确解法：

原式limln(1x)xln(1x)xlimx0xln(1x)xxx01 1x1lim1xlim。x0x02x2x(1x)2应该注意，洛比达法则并不是总可以用，如下例。例19 limx x2sinx

3xcosx8

lim解：易见：该极限是“”型，但用洛比达法则后得到：x0012cosx，3sinx此极限

不存在，而原来极限却是存在的。正确做法如下：

2sinxx原式=lim（分子、分母同时除以x）xcosx3x1

=（利用定理1和定理2）

注：使用罗比达法则必须满足使用条件，要注意分母不能为零，导数存在。罗比达法则分为三种情况（1）0 比0 和无穷比无穷时候直接分子分母求导；（2）0 乘以无穷，无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都 写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成 1 的形式；（3）的 0 次方，0 1 的无穷次方，无穷的 0 次方，对于（指数幂数）方程，方法主要是取指数还取 对数的方法，这 样就能把幂上的函数移下来了，就是写成 0 与无穷的形式了，（这就是为什么只有 3 种形式的原因，）6.利用极限存在准则求极限 13xn 例20 已知x12,xn12xn,(n1,2,)，求limnxn解：易证：数列{xn}单调递增，且有界（0

a2a，解得：a2或a1（不合题意，舍去）

xn2。所以 limn(例21 limn1n1n21n2121nn1n222)

1nn2解： 易见：因为 limnnn2n12nn12

nnn21，limnnn121

11nn2(所以由准则2得：limn7.直接使用求导的定义求极限

1n12n22)1。

当题目中告诉你F(0)0时，F(x)的导数等于0的时候，就是暗示你一定要用导数定义：（1）设函数yfx在点x0的某个领域内有定义，当自变量x在x0处取得增量x（点xx0仍在该领域内）时，相应的函数取得增量yfxx0fx0；如果y与x之比x0时的极限存在，则称函数yfx在点x0处可导，并称这个极限为函数yfx在点x0处可导，并称这个极限为函数yfx在点x0处的导数，记作fx0，即

fx0limfxx0fx0ylim；

x0xx0x（2）在某点处可导的充分必要条件是左右导数都存在且相等.例36 fxx1xex，求f''.解 f =limxfxflimx1xex1xe.xx'例37 若函数fx有连续二阶导数且f0=0，f0=1，f''0=-2，fxx则 limx0x2.A:不存在 B：0 C：-1 D：-2 fxxf'x11f'xf'01''f01.limlim解 lim2x0x0x02x2x2x0所以，答案为D.10 例38 若f(x)x(x1)(x2).....(x2010)，求f(0).f(x)f(0)

x0xx(x1)(x2).....(x2010)lim

x0x解 f(0)lim limx(x1)(x2).....(x2010)

x0 2010!.8.求数列极限的时候可以将其转化为定积分[1]

例33 已知fx1x ,在区间0,1上求lim20fx（其中将0,1分为n个小

iii1n区间xi1,xi,xi1ixi，为xi中的最大值）.解 由已知得: lim0fixifxdx

i10n1 101x2dx

4.（注释：由已知可以清楚的知道，该极限的求解可以转化为定积分,求函数fx在区间0,1上的面积）.在有的极限的计算中，需要利用到如下的一些结论、概念和方法：

（1）定积分中值定理：如果函数fx在积分区间a,b上连续，则在a,b上至少有一个点，使下列公式成立：fxdxxba abab；

（2）设函数fx在区间a,上连续，取ta，如果极限 lim此极限为函数fx在无穷区间a,上的反常积分，记作

tafxdx存在，则称

t0f(x)dx，即af(x)dxlimf(x)dx；

tat设fx在区间a,b上连续且fx0，求以曲线yfx为曲线，底为a,b的曲边梯形的面积A，把这个面积A表示为定积分：A=fxdx 的步骤是：

ab首先，用任意一组的点把区间a,b分成长度为xi(i1,2,...n)的n个小区间，相应地把曲 线梯形分成n个窄曲边梯形，第i个窄曲边梯形的面积设为Ai，于是有A其次，计算Ai的近似值 Aif然后，求和，得A的近似值 AnA；

ii1nixixi1ixi；

niifx；

i1最后，求极限，得Alim0f(i)xif(x)dx.i1ax02xbxtftdt..例34 设函数fx连续，且f00，求极限 limxfxtdtx00解 limx00xtftdtxfxtdt0xx =limx0x0xftdttftdt0xxfudu0x，ftdt+xfxxfx由洛必达得：limfuduxfx，0x0x0x其中fxtdx,令uxt,得fudu,0x

再由积分中值定理得:limx0xf

在0到x之间xfxfxlimx0ff01ffxf0f02dx1x2..例35 计算反常积分: 解 dxarctanx().limarctanxlimarctanx ===1x2xx-229.用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限

利用如下的极限运算法则来求极限：(1)如果limfxA,limgxB，那么lim[f(x)g(x)]limf(x)limg(x)AB

limfxgxlimfxlimgxAB

若又有B0，则limf(x)limf(xg(x))limg(x)AB（2）如果limf(x)存在，而c为常数，则lim[cf(x)]climf(x)（3）如果limf(x)存在，而n为正整数，则lim[f(x)]n[limf(x)]n（4）如果(x)(x)，而lim(x)a,lim(x)b，则ab（5）设有数列xn和yn，如果limnxnynAB;

那么，limnxnynAB;limnxnynAB

当yn0n1,2,...且b0时，limxnAny nB 例1 lim3x12x1x1

解：原式=(3x1)222lim3x33x1(x1)(3x12)limx1(x1)(3x12)4。注：本题也可以用洛比达法则。

例2 limnn(n2n1)n[(n2)(n1)]分子分母同除以n解：原式=limnn2n1lim3n1232n11n例3 lim(1)n3nn2n3n(1)n1解：原式上下同除以3nlim3n1。(23)n1三，极限运算思维的培养

。极限运算考察的是一种基本能力，所以在做题或者看书的时候依赖的是基本概念和基本方法。掌握一定的技巧可以使学习事半功倍。而极限思维的培养则是对做题起到指导性的意义。如何培养，一方面要立足概念，另一方面则需要在具体的运算中体会，多做题多总结。

四.结束语

上面对求极限的常用方法进行了比较全面的总结，由此可以看出，求极限方法灵活多样，而且许多题目不只用到一种方法，因此，要想熟练掌握各种方法，必须多做练习，在练习中体会。另外，求极限还有其它一些方法，如用定积分求极限等，由于平时练习中不经常使用，这里不作一一介绍了。

[参 考 文 献] [1] 同济大学应用数学系 高等数学 1997

[2] 吉米多维奇.数学分析[M].济南:山东科技文献出版社1995.[3] 陈纪修,等.数学分析[M].北京:高等教育出版社,1999.[4] 同济大学应用数学组.高等数学[M].北京:高等教育出版社,1996.第3期张宏达:高

等数学中求极限的常用方法

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