求极限总结

第一篇：求极限总结

首先 对 极限的总结 如下

极限的保号性很重要 就是说在一定区间内 函数的正负与极限一致极限分为 一般极限，还有个数列极限，（区别在于数列极限时发散的，是一般极限的一种）

2解决极限的方法如下：（我能列出来的全部列出来了！！！你还能有补充么？？？）等价无穷小的转化，（只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用 但是前提是必须证明拆分后极限依然存在）e的X次方-1 或者（1+x）的a次方-1等价于Ax 等等。全部熟记

（x趋近无穷的时候还原成无穷小）

2落笔他 法则（大题目有时候会有暗示 要你使用这个方法）

首先他的使用有严格的使用前提！！！

必须是 X趋近而不是N趋近！！！！（所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件

（还有一点 数列极限的n当然是趋近于正无穷的 不可能是负无穷！）

必须是 函数的导数要存在！！！！（假如告诉你g（x）, 没告诉你是否可导，直接用无疑于找死！）

必须是 0比0 无穷大比无穷大！！！！！

当然还要注意分母不能为0

落笔他 法则分为3中情况0比0 无穷比无穷 时候 直接用0乘以无穷 无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以 无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后 这样就能变成1中的形式了0的0次方 1的无穷次方 无穷的0次方

对于（指数幂数）方程 方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候 LNX趋近于0）3泰勒公式(含有e的x次方的时候，尤其是含有正余旋 的加减的时候要 特变注意！！）E的x展开 sina 展开 cos 展开 ln1+x展开

对题目简化有很好帮助

4面对无穷大比上无穷大形式的解决办法

取大头原则 最大项除分子分母！！！！！！

看上去复杂处理很简单！！！！！

5无穷小于有界函数的处理办法

面对复杂函数时候，尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。

面对非常复杂的函数 可能只需要知道它的范围结果就出来了！！

6夹逼定理（主要对付的是数列极限！）

这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。

7等比等差数列公式应用（对付数列极限）（q绝对值符号要小于1）

8各项的拆分相加（来消掉中间的大多数）（对付的还是数列极限）

可以使用待定系数法来拆分化简函数

9求左右求极限的方式（对付数列极限）例如知道Xn与Xn+1的关系，已知Xn的极限存在的情况下，xn的极限与xn+1的极限时一样的，应为极限去掉有限项目极限值不变化 10 2 个重要极限的应用。这两个很重要！！！对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x

比值。地2个就如果x趋近无穷大 无穷小都有对有对应的形式

（地2个实际上是 用于 函数是1的无穷的形式）（当底数是1 的时候要特别注意可能是用地2 个重要极限）还有个方法，非常方便的方法

就是当趋近于无穷大时候

不同函数趋近于无穷的速度是不一样的！！！！！！！！

x的x次方 快于 x！快于 指数函数 快于 幂数函数 快于 对数函数（画图也能看出速率的快慢）！！！

当x趋近无穷的时候 他们的比值的极限一眼就能看出来了换元法 是一种技巧，不会对模一道题目而言就只需要换元，但是换元会夹杂其中13假如要算的话 四则运算法则也算一种方法，当然也是夹杂其中的14还有对付数列极限的一种方法，就是当你面对题目实在是没有办法 走投无路的时候可以考虑 转化为定积分。一般是从0到1的形式。

15单调有界的性质

对付递推数列时候使用 证明单调性！！！

16直接使用求导数的定义来求极限，（一般都是x趋近于0时候，在分子上f（x加减麽个值）加减f（x）的形式，看见了有特别注意）

（当题目中告诉你F(0)=0时候 f（0）导数=0的时候 就是暗示你一定要用导数定义！！）

(0)

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1楼2014-03-19 20:22举报 |来自Android客户端

张806788364

举人5

函数的性质也体现在积分 微分中

例如他的奇偶性质 他的周期性。还有复合函数的性质

1奇偶性，奇函数关于原点对称 偶函数关于轴对称 偶函数左右2边的图形一样（奇函数相加为0）

2周期性也可用在导数中 在定积分中也有应用 定积分中的函数是周期函数 积分的周期和他的一致复合函数之间是 自变量与应变量互换 的 关系

4还有个单调性。(再求0点的时候可能用到这个性质！）

（可以导的函数的单调性和他的导数正负相关）

:o 再就是总结一下间断点的问题（应为一般函数都是连续的 所以 间断点 是对于间断函数而言的）

间断点分为第一类 和第二类剪断点第一类是左右极限都存在的（左右极限存在但是不等 跳跃的的间断点 或者 左右极限存在相等但是不等于函数在这点的值 可取的间断点

地二类 间断点是 震荡间断点 或者是 无穷极端点

（这也说明极限即是 不存在也有可能是有界的）

:o 下面总结一下

求极限的一般题型求分段函数的极限

当函数含有绝对值符号时，就很有可能是有分情况讨论的了！！！！

当X趋近无穷时候 存在e的x次方的时候，就要分情况讨论 应为 E的x次方的函数正负无穷的结果是不一样的！！！！极限中含有变上下限的积分 如何解决类？？？？

说白了 就是说 函数中现在含有积分符号，这么个符号在极限中太麻烦了 你要想办法把它搞掉！！！！！！！！

解决办法 ：

1求导，边上下限积分求导，当然就能得到结果了 这不是很容易么？

但是！！！有2个问题要注意！！

问题1 积分函数能否求导？ 题目没说积分可以导的话，直接求导的话是错误的！！问题2 被积分函数中 既含有T又含有x的情况下如何解决？？？？？？

解决1的方法： 就是方法2 微分中值定理！！！！！

微分中值定理是函数与积分的联系！更重要的是他能去掉积分符号！！！

解决2的方法 ： 当x与t的函数是相互乘的关系的话，把x看做常数提出来，再求导数！！！

第二篇：总结16种方法求极限

首先对极限的总结如下

极限的保号性很重要就是说在一定区间内函数的正负与极限一致

1极限分为一般极限，还有个数列极限，（区别在于数列极限时发散的，是一般极限的一种）

2解决极限的方法如下：（我能列出来的全部列出来了！！！你还能有补充么？？？）等价无穷小的转化，（只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用但是前提是必须证明拆分后极限依然存在）e的X次方-1或者（1+x）的a次方-1等价于Ax等等。全部熟记

（x趋近无穷的时候还原成无穷小）

2落笔他 法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）

首先他的使用有严格的使用前提！！！

必须是X趋近而不是N趋近！！！！（所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件

（还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷！）

必须是 函数的导数要存在！！！！（假如告诉你g（x）,没告诉你是否可导，直接用无疑于找死！）

必须是0比0无穷大比无穷大！！！！！

当然还要注意分母不能为0

落笔他 法则分为3中情况0比0无穷比无穷时候直接用

20乘以无穷无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以 无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成1中的形式了

30的0次方1的无穷次方 无穷的0次方

对于（指数幂数）方程 方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0当他的幂移下来趋近于无穷的时候LNX趋近于0）

3泰勒公式(含有e的x次方的时候，尤其是含有正余旋的加减的时候要 特变注意！！）

E的x展开sina展开cos展开ln1+x展开

对题目简化有很好帮助

4面对无穷大比上无穷大形式的解决办法

取大头原则最大项除分子分母！！！！！！

看上去复杂处理很简单！！！！！

5无穷小于有界函数的处理办法

面对复杂函数时候，尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。

面对非常复杂的函数 可能只需要知道它的范围结果就出来了！！

6夹逼定理（主要对付的是数列极限！）

这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。

7等比等差数列公式应用（对付数列极限）（q绝对值符号要小于1）

8各项的拆分相加（来消掉中间的大多数）（对付的还是数列极限）

可以使用待定系数法来拆分化简函数

9求左右求极限的方式（对付数列极限）例如知道Xn与Xn+1的关系，已知Xn的极限存在的情况下，xn的极限与xn+1的极限时一样的，应为极限去掉有限项目极限值不变化2 个重要极限的应用。这两个很重要！！！对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x比值。地2个就如果x趋近无穷大 无穷小都有对有对应的形式

（地2个实际上是 用于函数是1的无穷的形式）（当底数是1 的时候要特别注意可能是用地2 个重要极限）11 还有个方法，非常方便的方法

就是当趋近于无穷大时候

不同函数趋近于无穷的速度是不一样的！！！！！！！！

x的x次方 快于x！快于指数函数快于幂数函数快于对数函数（画图也能看出速率的快慢）！！！当x趋近无穷的时候他们的比值的极限一眼就能看出来了换元法是一种技巧，不会对模一道题目而言就只需要换元，但是换元会夹杂其中

13假如要算的话四则运算法则也算一种方法，当然也是夹杂其中的14还有对付数列极限的一种方法，就是当你面对题目实在是没有办法走投无路的时候可以考虑 转化为定积分。一般是从0到1的形式。15单调有界的性质

对付递推数列时候使用证明单调性！！！

16直接使用求导数的定义来求极限，（一般都是x趋近于0时候，在分子上f（x加减麽个值）加减f（x）的形式，看见了有特别注意）

（当题目中告诉你F(0)=0时候f（0）导数=0的时候就是暗示你一定要用导数定义！！）

函数是表皮

函数的性质也体现在积分 微分中

例如他的奇偶性质他的周期性。还有复合函数的性质

1奇偶性，奇函数关于原点对称偶函数关于轴对称偶函数左右2边的图形一样

（奇函数相加为0）

2周期性也可用在导数中在定积分中也有应用定积分中的函数是周期函数积分的周期和他的一致

3复合函数之间是自变量与应变量互换的关系

4还有个单调性。(再求0点的时候可能用到这个性质！）

（可以导的函数的单调性和他的导数正负相关）

:o 再就是总结一下间断点的问题（应为一般函数都是连续的所以 间断点 是对于间断函数而言的）

间断点分为第一类和第二类剪断点

1第一类是左右极限都存在的（左右极限存在但是不等跳跃的的间断点或者 左右极限存在相等但是不等于函数在这点的值可取的间断点

地二类 间断点是震荡间断点或者是无穷极端点

（这也说明极限即是不存在也有可能是有界的）

:o 下面总结一下

求极限的一般题型

1求分段函数的极限

当函数含有绝对值符号时，就很有可能是有分情况讨论的了！！！！

当X趋近无穷时候存在e的x次方的时候，就要分情况讨论应为 E的x次方的函数正负无穷的结果是不一样的！！！！极限中含有变上下限的积分如何解决类？？？？

说白了就是说 函数中现在含有积分符号，这么个符号在极限中太麻烦了你要想办法把它搞掉！！！！！！！！解决办法 ：

1求导，边上下限积分求导，当然就能得到结果了这不是很容易么？

但是！！！有2个问题要注意！！

问题1积分函数能否求导？题目没说积分可以导的话，直接求导的话是错误的！！

问题2被积分函数中 既含有T又含有x的情况下如何解决？？？？？？

解决1的方法：就是方法2微分中值定理！！！！！

微分中值定理是函数与积分的联系！更重要的是他能去掉积分符号！！！

解决2的方法 ： 当x与t的函数是相互乘的关系的话，把x看做常数提出来，再求导数！！！

当x 与t是除的关系或者是加减的关系，就要 换元了！！！！！（换元的时候积分上下限也要变化！！）

3求的是数列极限的问题时候

夹逼 或者 分项求和 定积分都不可以的时候

就考虑x趋近的时候函数值，数列极限也满足这个极限的当所求的极限是递推数列的时候

首先 ： 判断数列极限存在极限的方法是用的单调有界的定理。判断单调性不能用导数定义！！应为是 离散的只能用前后项的 比较（前后项相除相减），数列极限是否有界可以使用 归纳法最后对xn 与xn+1两边同时求极限，就能出结果了！！！

4涉及到极限已经出来了让你求未知数和位置函数的问题

解决办法 ：主要还是运用等价无穷小或者是同阶无穷小。应为例如当x趋近0时候f（x）比x =3的函数，分子必须是无穷小否则极限为无穷

还有落笔他法则的应用，主要是应为当未知数有几个时候，使用落笔他 法则 可以消掉模些未知数，求其他的未知数极限数列涉及到的证明题，只知道是要构造新的函数但是不太会！！！！！！！！！！

:o最后 总结 一下间断点的题型

首先 遇见间断点的问题 连续性的问题复合函数的问题，在莫个点是否可导的问题。

主要解决办法是3个一个是画图，你能画出反例来当然不可以了

你实在画不出反例，就有可能是对的，尤其是那些考概念的题目，难度不小，对我而言证明很难的！我就画图！我要能画出来当然是对的，在这里就要很好的理解一阶导的性质2阶导的性质，函数图形的凹凸性，函数单调性函数的奇偶性在图形中的反应！！！！

（在这里尤其要注意分段函数！！！！！）（例如分段函数导数存在还相等但是却不连续这个性质就比较特殊！！应为一般的函数都是连续的）

方法2就是举出反例！（在这里也是尤其要注意分段函数！！！！！）

例如 一个函数是个离散函数还有个也是离散函数他们的复合函数是否一定是离散的类？？

答案是NO举个反例就可以了

方法3上面的都不行那就只好用定义了主要是写出公式，连续性的公式求在抹一点的导数的公式

:o最后了

总结一下 函数 在抹一点是否可导 的问题

1首先 函数连续不一定可导，分段函数x绝对值函数在（0，0）不可导，我的理解就是 ：不可导=在这点上图形不光滑。可导一定连续，应为他有个前提，在点的领域内有定义，假如没有这个前提，分段函数左右的导数也能相等

1主要考点 1

函数在抹一点可导，他的 绝对值函数在这点是否可导 ？

解决办法：记住 函数绝对值的导数等于f（x）除以（绝对值（f（x）））再 乘以F（x）的导数。

所以判断绝对值函数不可导点，首先判断函数等于0的点，找出这些点之后，这个导数并不是百分百不存在，原因很简单分母是无穷小，假如分子式无穷小的话，绝对值函数的导数依然存在啊，所以还要找出f（a）导数的值，不为0的时候，绝对值函数在这点的导数是无穷，所以绝对值函数在这些点上是不可导的啊

考点2

处处可导的函数与在抹一些点不可以导但是连续的函数相互乘的函数，这个函数的不可导点的判断

直接使用导数的定义就能证明，我的理解是f（x）连续的话但是不可导，左右导数存在但是不等，左右导数实际上就是X趋近a的2个极限，f（x）乘以G（x）的函数在x趋近a的时候

f（x）在这点上的这2个极限乘以 g（a），当g（a）等于0的时候，左右极限乘以0当然相等了，乘积的导数=f（a）导数乘以G(a)+ G(a)导数乘以F（a），应为f（a）导数乘以G(a)=0，前面推出来了，所以乘积函数

第三篇：求极限毕设

求极限的若干方法

数学与应用数学专业学生

李飞

指导教师

辛彩婷

摘要：本文首先介绍了数列极限的相关概念及其性质定理,如数列极限的定义、性质，Stolz定理等；其次是函数极限的相关概念及其性质定理，包括函数极限的定义、性质，洛必达法则，泰勒公式等；最后归纳和总结了求两类极限的若干方法，主要是利用两个重要极限、洛比达法则、泰勒公式、定积分等求极限的方法，并结合具体的例子，指出了在解题过程中常遇见的一些问题，以供学习者查阅借鉴。关键词：数列 函数 极限 导数

Some methods of the calculation of the limits Student majoring in mathematics and applied mathematics

Li Fei

Tutor

Xin Cai-ting Abstract:This paper first introduces the related concepts and theorems of the sequence limit, such as definitions and properties of the sequence limit, the Stolz theorem;second is the related concepts and theorems of the function limit, including the definition and the property of the functional limit, L’Hospital rule, Taylor formula;finally summarizes some methods of two kinds of limits, mostly using two important limits, L’Hospital rule, Taylor formula, definite integral,and so on, combining with the specific example, and pointing out some problems that we often met in the process of solving problems for learners to refer to the reference.Key word: Series；Function；Limit；Derivative

引言 极限概念是高等数学中最重要、最基本的概念之一，它是研究变量数学的有力工具,也是研究高等数学的重要理论基础，许多重要的概念如连续、导数、定积分、无穷级数的和及广义积分等都是用极限来定义的.极限问题是高等数学中的难点之一，围绕极限的中心问题有两个：一是证明极限存在，二是求极限的值.这两个问题有密切关系：若求出了极限的值，自然极限存在性也被证明.反之，证明了极限存在，也就为计算极限铺平了道路.掌握好求极限对学好高等数学是十分重要的，求极限的方法很多，但是每种方法都有其局限性，都不是万能的.对某个具体的求极限的问题，我们应该追求最简便的方法.在求极限的过程中，必然以相关的概念、定理及公式为依据，并借助一些重要的方法和技巧.本文作者归纳总结出了如下常见的求极限的方法.数列极限的概念

关于如何求极限，必须先了解极限的概念.这里，我们先介绍数列极限，然后介绍函数极限.两类极限有着相似的性质定理与类似的求极限的方法，彼此有着深刻的内在联系.下面给出数列极限的概念.1.1数列极限的定义

定义1.1.1 设{xn}是一给定数列，a是一个实常数.如果对于任意给定的0，可以找到正整数N，使得当nN时，成立xna，则称数列{xn}收敛于a（或称a是数列{xn}的极限），记为limxna，有时也记为xna（n）.n如果不存在实数a，使{xn}收敛于a，则称数列{xn}发散.1.2数列极限的性质 1.2.1极限的惟一性

定理1.2.1 收敛数列的极限必唯一.1.2.2数列的有界性

定理1.2.2 收敛数列必有界.1.2.3数列的保序性

{yn}均收敛，定理1.2.3 设数列{xn}，若limxna，limynb，且ab，nn[1][1][1]则存在正整数N，当nN时，成立xnyn.1.2.4极限的夹逼性

定理1.2.4 若三个数列{xn}，{yn}，{zn}从某项开始成立xnynzn，nN0，且limxnlimzna，则limyna.nnn[1]1.3 Stolz定理

定理1.3.1（且lim[1]型Stolz公式）设{yn}是严格单调增加的正无穷大量，nxnxn1xa（a可以为有限量，与），则limna.nyynyn1n 定理1.3.2（无穷小量，且lim 注意：0[1]型Stolz公式）设limxn0，{yn}是严格单调减少的正

n0xnxn1xa（a可以为有限量，与），则limna.nyynyn1nn型Stolz公式，其实只要求分母yn是严格单调增加的正无穷大量，0至于分子xn是否是无穷大量，无关要紧.而型Stolz公式，则要求分母yn与分

0子xn都是无穷小量.1.4收敛准则

定理1.4.1 单调有界数列必定收敛.定理1.4.2（Bolzano-Weierstrass定理）有界数列必有收敛子列.[1][1]2函数极限的概念

我们在第一部分讨论了数列的极限，现在来讨论另一类极限，即函数的极限.下面我们给出函数极限的严格定义.2.1函数极限的定义

定义2.1.1 设函数yf(x)在点x0的某个空心领域中有定义，即存在0，使UO(x0,)Df.如果存在实数A，对于任意给定的0，可以找到0，使得当0xx0时，成立f(x)A，则称A是函数f(x)在点x0的极限，记为limf(x)A，或f(x)A（xx0）.xx0如果不存在具有上述性质的实数A，则称函数f(x)在点x0的极限不存在.2.2函数的连续性

定义2.2.1 设函数f(x)在点x0的某个邻域中有定义，并且成立xx0limf(x)f(x0)，则称函数f(x)在点x0连续，或称x0是函数f(x)的连续点.定理2.2.1 一切初等函数在其定义域上连续.2.3函数极限的性质 2.3.1极限的惟一性

[1] 定理2.3.1设A与B都是函数f(x)在点x0的极限，则AB.[1]2.3.2局部保序性

[1] 定理2.3.2 若limf(x)A，limg(x)B，且AB，则存在0，当

xx0xx00xx0时，成立f(x)g(x).2.3.3夹逼性

定理2.3.3[1] 若存在r0，使得当0xx0r时，成立xx0xx0xx0g(x)f(x)h(x)，limg(x)limh(x)A，则limf(x)A.2.4函数极限与数列极限的关系 定理2.4.1（Heine定理）[1] limf(x)A的充分必要条件是：对于任意满

xx0足条件limxnx0，且xnx0（n1,2,3,）的数列{xn}，相应的函数值数列{f(xn)}n成立limf(xn)A.n 这一性质被经常用于证明某个函数极限不存在.定理2.4.2[1]

limf(x)存在的充分必要条件是：对于任意满足条件

xx0nlimxnx0，且xnx0（n1,2,3,）的数列{xn}，相应的函数值数列{f(xn)}收敛.2.5单侧极限与极限的关系

[2] 定理2.5.1 函数f(x)在x0极限存在的充分必要条件是f(x)在x0的左极限与右极限存在并且相等：limf(x)Alimf(x)limf(x)A.xx0xx0xx02.6 L’Hospital（洛必达）法则

02.6.1 型不定式极限

0 定理2.6.1 若函数f(x)和函数g(x)满足： ①limf(x)limg(x)0，xx0xx0[2]②在点x0的某空心邻域u0(x0)内两者都可导，且g'(x)0，③limf'(x)A（A可为实数，也可为或），g'(x)f(x)f'(x)limA.g(x)xx0g'(x)xx0则limxx02.6.2 型不定式极限 [2] 定理2.6.2 若函数f(x)和函数g(x)满足： ①limf(x)limg(x)，xx0xx0②在点x0的某空心邻域u0(x0)内两者都可导，且g'(x)0，③limxx0f'(x)A，（A可为实数，也可为或），g'(x)则limxx0f(x)f'(x)limA.xxg(x)g'(x)02.6.3 其它类型不定式极限

不定式极限还有0，1，00，0，等类型.这些类型经过简单的恒

0型和型的不定式极限.02.7 Taylor(泰勒)公式 等变换，都可以化为 定理2.7.1（带Peano余项的Taylor公式）设f(x)在x0处有n阶导数，则存在x0的一个领域，对于该领域中的任一点，成立

f''(x0)f(n)(x0)2f(x)f(x0)f'(x0)(xx0)(xx0)(xx0)nrn(x)，2!n!余项rn(x)满足rn(x)o((xx0)n).3 求数列极限与函数极限的方法及应用

3.1 求数列极限的方法及应用

3.1.1利用定义求数列极限

根据数列极限的定义来证明某一数列极限，其关键是对任意给定的0寻找自然数N，通过解不等式xna而得出的N.但在大多数情况下，这个不等式并不容易解.实际上，数列极限的定义并不要求取到最小的或最佳的自然数N，只需要其存在性即可，所以在证明中常常对xna适度的做一些放大处理，这是一种常用的技巧.1111(1)n例1 设xn，求limxn.nnn1n22n11111(1)n，解：由0nn1n22nn11则对于0，取N，当nN时，成立xn，则limxn0.nn3.1.2 n项和数列极限问题

n项和数列极限问题有两种处理方法：

(1)用定积分的定义把极限转化为定积分来计算；(2)利用两边夹法则求极限.例2 求极限lim(n111).n1n22n分析：把此极限式化为某个积分和的极限式，并转化为计算定积分，为此作如下变形：

Jlimn1.ini11n1在区间0,1上的一个积分和.（这1xn1不难看出，其中的和式是函数f(x)里所取的是等分分割，xiJ11ii1ii1.2.n., i），所以 ,（nnnndxln(1x)|1ln2.001x1当然，也可把J看作f(x) 在1,2上的定积分，同样有

x2dx3dxJ 1x2x1ln2.111111dxln2.解：原式＝limnn12n01x111nnn111例3 极限lim2nn22n2nn1.112n 分析：(1)该题与例2类似，但是不能凑成limfffnnnnn的形式，根据各项的特点可以考虑用两边夹法则求解；(2)两边夹法则需要将原式适当的放大和缩小，要求放大和缩小后的表达式极限相等.解: 因为 nnn21n121n221nn2nn12，又

limnnlim1，22nnnn1＝１.n111所以 lim2nn22n2nn13.1.3利用定积分求极限

利用定积分可求如下两种形式的极限：

11（1）limfnnn2fnn型 fn定理13 设

fx在0,1上可积，则有：11limfnnn例题见例3.2fnn1ffxdx.n012n（2）limnfff型

nnnn定理2 若fx在0,1上可积，则： [4]1limnfnnn2fnnfexpnlnfxdx.10例4.求limnn!.n解：原式limnn12n，令fxx，则有 nnnnlimn1n!12n1limnexp0lnxdxe.nnnnn3.1.4求和公式法（适合于等差数列、等比数列等类型）

关于无限项之和的极限，可以根据等差数列、等比数列以及其它数列的前n项求和公式，先求n项的和，然后再求出n趋于无穷时的极限.常用的求和公式见附录1.例5 求lim123n1.2nnn11n12nn12解：原式limlim.22nn2n2n3.1.5利用Stolz定理求数列极限

有些 “ 无穷多项”极限问题，当不能利用恒等变换转化为有限多项时，若借助Stolz定理，就可迎刃而解了.123252(2n1)2例6 求lim.nn3123252(2n1)2(2n1)24n24n14解：limlim3lim2.nnn(n1)3n3n3n1n333.1.6利用单调有界定理求数列极限 应用该定理求极限时，通常要先证明这个数列是单调有界的，从而确定极限的存在性，在讨论过程中有界性的确定往往是个难点，可借助单调递增数列的极限是它的最小上界、单调递减数列的极限是它的最大下界的性质确定数列的界.最后找出数列xn1与xn的递推公式，设数列的极限是A，在xn1与xn的递推公式两边取极限，得到关于A的方程，从而求出A.234n1例7求lim.n3572n1解：易得0an1，则{an}有界，234令an357anan1nn1k1n1，得递推公式 anan1，2n1k12k12n1n1naan1an1n10，则{an}单减.2n12n1n由单调有界数列必收敛，则liman存在，令limana，n1n1an1两边取极限，得aa，有a0，即liman0.n22n13.1.7利用压缩性条件证明极限存在再求极限 由an应用该条件求极限时，通常要先证明这个极限的存在性，然后找出数列xn1与xn的递推公式，设数列的极限是A，在xn1与xn的递推公式两边取极限，得到关于A的方程，从而求出A.例8 设x12，xn11，求limxn.n2xn解：由1x12，归纳法易得1xn2，xn1xn11xnxn1，2xn2xn1(2xn)(2xn1)由011，满足压缩性条件，则{xn}收敛，则limxn存在，n(2xn)(2xn1)11两边取极限，得a，有a1，即2xn2a令limxna，由xn1nnlimxn1.3.1.8利用海涅定理求数列极限

海涅定理的意义在于通过对函数极限与数列极限的相互转化来处理问题，从而，我们可以应用海涅定理将某些不易求的数列极限的问题转化为求易求的函数极限的问题.1例9 极限limnsin.nn 分析：这是1形式的数列极限，由于数列极限不能使用洛必达法则，若直接求有一定难度，但是若转化成函数极限，可通过3.2.7提供的方法结合洛必达法则求解.1解：考虑辅助极限limxsinxxx2n2limex1x2xsin1xlimey011siny12yye，161故由海涅定理的必要性得：limnsinnnn2e.163.2 求函数极限的方法及应用 3.2.1分子(母)有理化求极限

0 如果函数的极限出现、、-等未定式，一般采用约简分式，有理化

0分子或分母等方法消去未定式.例10 求 limx13x12.x1分析：本题因为分子、分母都含有“0”因子，给求极限带来麻烦，因此想办法消去“0”因子，采用分子有理化.(3x1)2223x33limlim解：原式.x1(x1)(3x12)x1(x1)(3x12)4注：本题也可以用洛比达法则.3.2.2利用函数的连续性(适用于求函数在连续点处的极限)(1)初等函数

如果yfx是初等函数，且点x0是 fx定义区间内的点，则函数yfx在点x0处连续，于是有limfxfx0.通常称这种求极限的方法为代入法.xx0exsinxx例11 求lim2.x3xlnx 分析：这是由几个基本初等函数构成的初等函数，是连续函数，因此直接带值.e3sin33解：原极限lim2.x33ln3（2）复合函数

若函数fx是复合函数，且lim0xa,fu在ua处连续，xx则lim0fxflim0xfa.xxxx1cosx例12.求lime2arcsinx的极限.x01cosx2 分析：函数e2arcsixn可看成是由fueu，u21cosx复合而成，且

2arcsinx2lim1cosx11u，在处连续，因此 ufuex02arcsinx244解：由于lim1cosx11u及函数在处连续，ufuex02arcsinx2441cosx2arcsinx2故 limex0=elim2x02arcsinx1cosx=e.说明：用此方法求极限有时常常会遇到，函数fx在x点没有意义,即函数fx在x点不连续,这时要视具体情况对fx进行适当的恒等变形，转化为连续

0函数,再利用函数的连续性求出极限,该方法常用于“”型的极限.在进行变形

0时常用到因式分解、分子或分母“有理化”的运算以及三角函数的有关公式,其目的就是消去分母中的零因子.3.2.3利用左右极限与极限关系

该方法适用于求分段函数在分段点处的极限或某函数在其间断点处的极限，以及用定义求极限等情形.函数在某点处的极限存在的充要条件是：当且仅当函数在某点处的左、右极限都存在且相等，则函数在该点处的极限值即为所求的左右极限的值.12ex,x0xx,0x1，求limf(x)及limf(x).例13 设f(x)x0x1xx2,x1x解：limf(x)lim(12e)1，limf(x)lim(x0x0x0x0xx)lim(x1)1x0x，由 limf(x)limf(x)，limf(x)1.x0x0x0又limf(x)limx1x1xx2limfxlimx1，limx10x1x1x1x由f10f10，limfx不存在.x13.2.4利用等价无穷小量代换求函数极限

o[2]定理 设函数f(x),g(x),h(x)在U(x0)内有定义，且有

f(x)~g(x)(xx0)，（1）若limf(x)g(x)A,则limg(x)h(x)A；

xx0xx0（2）若limxx0h(x)h(x)B,则limB.xx0g(x)f(x)'''' 由定理知：若~,~且lim'存在，则有limlim'.其中：

0,'0.所以，当lim‘’的计算较为困难时，就设法寻求与、等价的对应无穷小''、进行代换，变求lim为求lim'，而lim'的计算较为容易，所给极限

lim的计算就迎刃而解.显然，利用等价无穷小的代换求极限的一个前提是：对一些常用的等价无穷小量要熟悉.例如：当x0时，有sinxx，tanx~x，arctanx~x，121cosx~x，ax1~xlna（a0），ex1~x，(1bx)a1~abx，2xxn1x1~，loga(1x)~(l1x)~x.（a0），nnlna例14 求limx(1cosx).x0(1ex)sinx21xx21解：原式lim22.x0xx2tanxsinx例15 求lim的极限.3x0sinxsinx(1cosx)，而sinx~x,x0； 解：由 tanxsinxcosxx21cosx~,x0；sinx3x3~x3,x0，2x2x1tanxsinx21.lim故有 lim= x0x0cosxsinx3x32注：在利用等价无穷小代换求极限时，应该注意：只有对所求极限中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来代换，而对极限式中的相加或相减的部分则不能随意代换.例如，在上式中，若因为有tanx~x，x0，sinx~x，x0，从而推出

limtanxsinxxxlim0，33x0x0sinxsinx则就会得出错误的结论.3.2.5利用夹逼定理求函数极限

利用夹逼定理可将某函数适当缩小和放大，使得缩小和放大后得到的新函数的极 限分别存在且相等，从而得到原函数的极限．即原函数的极限就等于缩小或放大后的函数的极限.1111例16 求limx（为取整函数，表示不大于的最大整数）.x0xxxx分析：此极限难点：在取整函数不易求极限，所以想着去掉取整函数，故而采用适当的放大及缩小，用夹逼准则求原式极限.111解：由 1（x0），xxx11故，当x0时，有1xx1，则lim(1x)limxlim1，有x0x0x0xx1limx1； x0x11当x0时，有1xx1，则lim(1x)limxlim1，有x0x0x0xx1limx1； x0x1所以，limx1.x0x3.2.6利用洛必达法则求函数极限

00 对于或型的极限,可通过洛必达法则来求.若所求极限呈现或型，00则可直接利用洛必达法则进行求解，若所求的函数极限呈现 0，1，00，0，则可将其恒等变形化成型等形式，sinx1cosx)例17 求lim(.x0x10或型，再利用洛必达法则进行求解.0分析：本题为1型，所以要用洛必达法则求极限，恒等变形转化为

0或型.0作为1型，一般采用取对数，或者利用f(x)elnf(x)这种形式恒等变形再转化.解：取对数后，sinxsinxln(ln)'xcosxsinx(xcosxsinx)'xx, limlimlimlim23x01cosxx0x0x012xsinx(x)'(x)'2sinx1cosxxsinx1)e3.lim，则lim(2x0x0x3x311有 注：如果采用取对数再求极限这种方法，一定要注意还原.这种方法易错点，1误把当作本题的最后极限.3lnx例18 求lima(a0,x0).xx解： 由limlnx,limxa，故此例属于型；

xx1lnx1由洛必达法则有：limalimxlim0(a0,x0).xxxaxa1xaxa例19 求limxlnx.x00或型，但0是这一种类型需要注意，如果函数本身含有对数函数或者反三角函数，则需要将对数函数或反三角函数保留在分子位置，否则再用洛必达法则时会越来越繁琐且

lnx不易求出结果.因此，作恒等变形xlnx，将它转化为型的不定式极限.1x1lnxxlim(x)0.解： limxlnxlimlimx0x01x01x0xx2总而言之，在运用洛必达法则时，应注意：

0（1）检查所求极限是否属于不定式，只有是“”型或“”型的不定式

0分析：这是一个0型的不定式极限，可将其恒等变形化成时才可直接运用洛必达法则，其他型不定式(如0，1，00，0，等)应先化为“0”型或“”型不定式，再运用洛必达法则.0fxf'x（2）当lim'不存在时，不能断定lim不存在，即洛必达法则的条

gxgx件是充分但非必要条件.此时，只能说明此极限不能应用洛必达法则求解，如xsinxlim.xxsinx（3）在求不定式极限的过程中，有时一次洛必达法则不能解决问题需要多次使用洛必达法则，但是在使用时要检查是否满足条件.（4）在每次使用洛必达法则后，都应对所得极限式子进行整理化简，然后再考虑是否继续使用洛必达法则.有时用其他方法计算极限很方便时，就不必用洛必达法则了.x（5）如果fx或gx中含e或arctanx、arccotx，且求当x时的极限时，应分别讨论当x及x时，fxfx的极限，并判断lim是否存

xgxgx在.（6）洛必达法则是求不定式极限的一个有效方法，但不是万能的，要根据所求极限的具体特点选用恰当的方法.3.2.7利用Taylor(泰勒)公式求函数极限

利用泰勒公式求极限,一般用麦克劳林公式形式,并采用皮亚诺型余项.当函数为分式时,一般要求分子分母展成同一阶的麦克劳林公式,再通过比较求出极限.一些常用的泰勒公式见附录2.x211x2例20 求lim2.x22x0(cosxe)sinx11(1)1222112解：1x1xx4o(x4)1x2x4o(x4)，22!28x2x4114cosx1o(x4)1x2xo(x4)2!4!224ex1x22，14xo(x4)，2!x2111(1x2x4o(x4))228原式lim

x0212141x[1xxo(x4)(1x2x4o(x4))]2242!311x2(x2x4)224 注：用此法必须熟记基本的初等函数的展开式，它将原来函数求极限的问题转化为多项式或有理式的极限问题.3.2.8利用两个重要极限

0sinx1利用(A)lim1(B)lim(1)xe.第一个重要的极限是型，第二个x0x0xxx0lim14x81.12重要极限是1型，在1型中满足“外大内小”，“内外互倒”.在利用重要极限求函数极限时，关键在于把要求的函数极限化成重要极限的标准型或它们的变型.我们经常使用的是它们的变形：

(A')limsin(x)1(x)1,((x)0)；(B')lim(1)e,((x)).(x)(x)sinx1例21 求lim.x1x122x1sinx1sinx1 解：原式=limlimx12.x1x1x1x1x212注：limsinx1的扩展形式：

x0x 令gx0，当xx0或x时，则有

lim因而，limsingxsingx1.1或limxxx0gxgxsinx01.xx1x例22 求lim(12x)的极限.x01122x2xlim(12x)(12x)解：原式=e.x0利用这两个重要极限来求函数的极限时要仔细观察所给的函数形式只有形式符合或经过变化符合这两个重要极限的形式时才能够运用此方法来求极限.一般常用的方法是换元法和配指数法.3.2.9利用微分中值定理求函数极限

[2] 因为由微分中值定理可得到在某一点的具体的导数值.而根据函数在某点的导数的定义：fx0lim'fxfx0xx0xx0,可知某点的导数是极限的形式表示的.所以类似此类函数的极限而且符合中值定理的话，可利用此种方法.exesinx例23 求lim.x0xsinx分析：观察可知，这是一个中值定理的结论

fbfa型的函数，我们很容易想到拉格朗日bafbfa,a,b ba从而，我们可以利用拉格朗日中值定理进行求解.' f解:令f(x)ex，对它应用微分中值定理得，exesinxf(x)f(sinx)(xsinx)f'(sinx(xsinx))(01)，exesinxf'(sinx(xsinx))(01).即xsinxf'(x)ex连续，limf'(sinx(xsinx))f'(0)1，x0exesinx1.从而有 limx0xsinx3.2.10多种方法的综合运用

前面介绍了求解极限的基本方法,然而每一道题目并非只有一种方法.因此我们在解题中要注意各种方法的综合运用的技巧,使得计算大为简化.1cosx2例24 求lim2.x0xsinx21cosx22xsinx2lim[解法一]: lim2

x0xsinx2x02xx2cosx22xsinx2sinx22sinx21x lim2 lim2x0xcosx2sinx2x0sinx2cosx22x注:此法采用洛必达法则配合使用两个重要极限法.x2x2x22sinsinsin1cosx211222limlimlim [解法二]: x0x2sinx2x0x2sinx2x0x2sinx2x2222x222注:此解法利用“三角和差化积法”配合使用两个重要极限法.x2x22142sin2()x21cosx12lim22 [解法三]:lim2 limlimx0xsinx2x0x2sinx2x0x2(x2)x0x422 注:此解法利用“三角和差化积法”配合使用无穷小代换法.(x2)21cosx2x212 [解法四]:lim2 limlimx0xsinx2x0x2sinx2x02sinx22 注:此解法利用了无穷小代换法配合使用两个重要极限的方法.显然最简单，因此在做题的时候一定要注意选择恰当的方法.此题还有其他十多种解法，本文就不再详述.总之在求函数极限的问题时，一定要视问题本身而灵活选用各种方法.3.2.11多元函数极限的计算

计算多元函数的极限常用的方法是：1）利用不等式，使用两边夹法则；2）变量替换化为已知极限，或化为一元函数极限；3）利用极坐标；4）利用初等函数的连续性，利用极限的四则运算性质；5）利用初等变形，特别指数形式常可先求其对数的极限；6）若事先能看出极限值，可用-方法进行证明.1cosx2y2xy22lim例25.求下列极限：1）x,ylim；2）；3）0,0x2y2exy22xxyylimxy2x0y0222xy；

22解：1）因为1cosxy~12xy22x,y0,0，21222xy1cosxyx2y22limlim0； 222222所以x,ylim0,0x2y2exyx,y0,0x2y2exyx,y0,02exy222）因为0xyxy22xxy22yxy22xx2yy211，xy又limxyxy11lim0.，所以由两边夹法则有：022xxyxyy

3x0y0）2先求取对数之后的极限：limlnxy222xyx2y22222lim2xylnxy，x0xy2y0x2y2x2y2因为 022x2y20，22xyxy2limx2y2lnx2y2令x2y2tlimtlnt0，x0y0t0故原极限e01.注：取对数后求极限注意还原.总结

以上方法是总结出的高等数学里求极限的重要方法.在做求极限的题目时,仅仅掌握以上方法而不能够透彻清晰地明白以上各方法所需的条件也是不够的,必须认真分析、仔细甄选,选择出适当的方法,这样不仅准确率更高,而且还会省去许多不必要的麻烦,起到事半功倍的效果.这就要求学习者吃透其精髓,明白其道理,体会出做题的窍门,要达到这样的境界必须要勤于思考,善于总结,归纳出每种方法适用的题型,在做题时才会熟能生巧,得心应手.

第四篇：求极限方法

首先说下我的感觉，假如高等数学是棵树木得话，那么 极限就是他的根，函数就是他的皮。树没有跟，活不下去，没有皮，只能枯萎，可见这一章的重要性。

为什么第一章如此重要？各个章节本质上都是极限，是以函数的形式表现出来的，所以也具有函数的性质。函数的性质表现在各个方面

首先对极限的总结如下

极限的保号性很重要就是说在一定区间内函数的正负与极限一致

1极限分为一般极限，还有个数列极限，（区别在于数列极限时发散的，是一般极限的一种）

2解决极限的方法如下：（我能列出来的全部列出来了！！！你还能有补充么？？？）1 等价无穷小的转化，（只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用但是前提是必须证明拆分后极限依然存在）e的X次方-1或者（1+x）的a次方-1等价于Ax等等。全部熟记

（x趋近无穷的时候还原成无穷小）

2落笔他 法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）

首先他的使用有严格的使用前提！！！

必须是X趋近而不是N趋近！！！！（所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件

（还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷！）

必须是 函数的导数要存在！！！！（假如告诉你g（x）,没告诉你是否可导，直接用无疑于找死！）

必须是0比0无穷大比无穷大！！！！！

当然还要注意分母不能为0

落笔他 法则分为3中情况0比0无穷比无穷时候直接用

20乘以无穷无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以 无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成1中的形式了

30的0次方1的无穷次方 无穷的0次方

对于（指数幂数）方程 方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0当他的幂移下来趋近于无穷的时候LNX趋近于0）

3泰勒公式(含有e的x次方的时候，尤其是含有正余旋的加减的时候要 特变注意！！）

E的x展开sina展开cos展开ln1+x展开

对题目简化有很好帮助

4面对无穷大比上无穷大形式的解决办法

取大头原则最大项除分子分母！！！！！！

看上去复杂处理很简单！！！！！

5无穷小于有界函数的处理办法

面对复杂函数时候，尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。

面对非常复杂的函数 可能只需要知道它的范围结果就出来了！！

6夹逼定理（主要对付的是数列极限！）

这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。

7等比等差数列公式应用（对付数列极限）（q绝对值符号要小于1）

8各项的拆分相加（来消掉中间的大多数）（对付的还是数列极限）

可以使用待定系数法来拆分化简函数

9求左右求极限的方式（对付数列极限）例如知道Xn与Xn+1的关系，已知Xn的极限存在的情况下，xn的极限与xn+1的极限时一样的，应为极限去掉有限项目极限值不变化2 个重要极限的应用。这两个很重要！！！对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x比值。地2个就如果x趋近无穷大 无穷小都有对有对应的形式

（地2个实际上是 用于函数是1的无穷的形式）（当底数是1 的时候要特别注意可能是用地2 个重要极限）还有个方法，非常方便的方法

就是当趋近于无穷大时候

不同函数趋近于无穷的速度是不一样的！！！！！！！！

x的x次方 快于x！快于指数函数快于幂数函数快于对数函数（画图也能看出速率的快慢）！！！

当x趋近无穷的时候他们的比值的极限一眼就能看出来了换元法是一种技巧，不会对模一道题目而言就只需要换元，但是换元会夹杂其中

13假如要算的话四则运算法则也算一种方法，当然也是夹杂其中的14还有对付数列极限的一种方法，就是当你面对题目实在是没有办法走投无路的时候可以考虑 转化为定积分。一般是从0到1的形式。

15单调有界的性质

对付递推数列时候使用证明单调性！！！

16直接使用求导数的定义来求极限，（一般都是x趋近于0时候，在分子上f（x加减麽个值）加减f（x）的形式，看见了有特别注意）

（当题目中告诉你F(0)=0时候f（0）导数=0的时候就是暗示你一定要用导数定义！！）

一，求极限的方法横向总结：

1带根式的分式或简单根式加减法求极限：1）根式相加减或只有分子带根式：用平方差公式，凑平方（有分式又同时出现未知数的不同次幂：将未知数全部化到分子或分母的位置上）

2）分子分母都带根式：将分母分子同时乘以不同的对应分式凑成完全平方式（常用到

2分子分母都是有界变量与无穷大量加和求极限：分子与分母同时除以该无穷大量凑出无穷小量与有界变量的乘积结果还是无穷小量。

3等差数列与等比数列和求极限：用求和公式。

4分母是乘积分子是相同常数的n项的和求极限：列项求和

5分子分母都是未知数的不同次幂求极限：看未知数的幂数，分子大为无穷大，分子小为无穷小或须先通分。

6运用重要极限求极限（基本）。

7乘除法中用等价无穷小量求极限。

8函数在一点处连续时，函数的极限等于极限的函数。

9常数比0型求极限：先求倒数的极限。

10根号套根号型：约分，注意别约错了。

11三角函数的加减求极限：用三角函数公式，将sin化cos

二，求极限的方法纵向总结：

1未知数趋近于一个常数求极限：分子分母凑出（x-常数）的形式，然后约分（因为x不等于该常数所以可以约分）最后将该常数带入其他式子。

2未知数趋近于0或无穷：1）将x放在相同的位置

2）用无穷小量与有界变量的乘积

3）2个重要极限

4）分式解法（上述）

第五篇：求极限的方法及例题总结解读

1．定义：

说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：；x2lim(3x1)5

（2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。

利用导数的定义求极限

这种方法要求熟练的掌握导数的定义。

2．极限运算法则

定理1 已知limf(x)，limg(x)都存在，极限值分别为A，B，则下面极限都存在，且有（1）lim[f(x)g(x)]AB（2）limf(x)g(x)AB（3）limf(x)A,(此时需B0成立)g(x)B

说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。.利用极限的四则运算法求极限

这种方法主要应用于求一些简单函数的和、乘、积、商的极限。通常情况下，要使用这些法则，往往需要根据具体情况先对函数做某些恒等变形或化简。

8.用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限

limx1

例1 3x12x1

(3x1)2223x33limlimx1(x1)(3x12)x1(x1)(3x12)4解：原式=。

注：本题也可以用洛比达法则。

例2 limn(n2n1)n

nn[(n2)(n1)]分子分母同除以limnn2n1limn31211nn32解：原式=(1)n3nlimnn例3 n23

。上下同除以3n解：原式

1()n1lim31n2n()13。

3．两个重要极限

sinx1x0x（1）lim（2）x0lim(1x)e1xlim(11)xex；x

说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式，sin3x3lim1lim(12x)2xelim(1)3ex例如：x03x，x0，x；等等。

1x

利用两个重要极限求极限

1cosx2x03x例5 limxx2sin22lim21limx0x0x63x212()22解：原式=。2sin2注：本题也可以用洛比达法则。例6 lim(13sinx)x02x

16sinx3sinxx解：原式=x0 lim(13sinx)lim[(13sinx)x013sinx]6sinxxe6。例7 lim(nn2n)n1

n13nn133lim(1)nn1解：原式=33n1lim[(1)]e3nn1。

n13n

4．等价无穷小

定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。定理3 当x0时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有：

x～sinx～tanx～arcsin面的等价

x～arctanx～ln(1x)～ex1。

说明：当上面每个函数中的自变量x换成g(x)时（g(x)0），仍有上关系成立，例如：当x0时，e3x1～3x；ln(1x2)～x2。

f1(x)f(x)limg1(x)存在时，xx0g(x)也存在且定理4 如果函数f(x),g(x),f1(x),g1(x)都是xx0时的无穷小，且f(x)～f1(x)，g(x)～g1(x)，则当xx0limf1(x)f1(x)f(x)limlimlimxxxx0g(x)xx0g(x)0g(x)f(x)11等于，即=。

利用等价无穷小代换（定理4）求极限

limx0例9 xln(13x)arctan(x2)ln(13x)～3x，arctan(x2)～x2，解：x0时，limx3x3x2。 原式=x0exesinxlim例10 x0xsinx

esinx(exsinx1)esinx(xsinx)limlim1x0x0xsinxxsinx解：原式=。

注：下面的解法是错误的：

(ex1)(esinx1)xsinxlimlim1x0x0xsinxxsinx原式=。

正如下面例题解法错误一样：

limx0tanxsinxxxlim0x0x3x3。

1tan(x2sin)xlimsinx例11 x0

解：当x0时，x2sin111是无穷小，tan(x2sin)与x2sin等价xxx，x2sin所以，原式=x0

lim1xlimxsin10x0xx。（最后一步用到定理2）

五、利用无穷小的性质求极限

有限个无穷小的和是无穷小，有界函数与无穷小乘积是无穷小。用等价无穷小替换求极限常常行之有效。

例 1.x01/21

lim(1xsinx1sinsin(x1))lim2lnxex1 2.x0

5．洛比达法则

定理5 假设当自变量x趋近于某一定值（或无穷大）时，函数f(x)和g(x)满足：（1）f(x)和g(x)的极限都是0或都是无穷大；

（2）f(x)和g(x)都可导，且g(x)的导数不为0；

f(x)limg(x)存在（或是无穷大）（3）；

limf(x)f(x)limmilg(x)也一定存在，g(x)，且等于即

f(x)f(x)limg(x)=g(x)。则极限说明：定理5称为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满足，只要有一条不满足，洛比达法则就不能应用。特别要注意条件

0（1）是否满足，即验证所求极限是否为“0”型或“”型；条件（2）一般都满足，而条件（3）则在求导完毕后可以知道是否满足。另外，洛比达法则可以连续使用，但每次使用之前都需要注意条件。

利用洛比达法则求极限

说明：当所求极限中的函数比较复杂时，也可能用到前面的重要极限、等价无穷小代换等方法。同时，洛比达法则还可以连续使用。

1cosx2x03x例12（例4）limsinx1x06x6。解：原式=（最后一步用到了重要极限）limcosx例13 limx12x1 2sinx解：原式=x1例14 limx0lim212。

xsinxx3 lim1cosxsinx1lim2x0x06x6。3x解：原式==（连续用洛比达法则，最后用重要极限）

sinxxcosx2例15 x0xsinx lim解：

原式limsinxxcosxcosx(cosxxsinx)limx0x0x2x3x2xsinx1limx03x23先用等价无穷小，再用洛必达法则

11lim[]x0xln(1x)例18

11lim[]0解：错误解法：原式=x0xx。

正确解法： 原式limln(1x)xln(1x)xlimx0xln(1x)xxx011x1lim1xlim。x0x02x2x(1x)2

应该注意，洛比达法则并不是总可以用，如下例。例19 limxx2sinx3xcosx

12cosx0lim解：易见：该极限是“0”型，但用洛比达法则后得到：x3sinx，此极限

不存在，而原来极限却是存在的。正确做法如下：

2sinxxlimxcosx3x（分子、分母同时除以x）原式=1

1=3（利用定理1和定理2）

6．连续性

定理6 一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果x0是函数 f(x)的定义去间内的一点，则有xx0limf(x)f(x0)。利用函数的连续性（定理6）求极限

例4 limx2ex21x

12x解：因为x02是函数f(x)xe的一个连续点，所以原式=2e4e。

7．极限存在准则

定理7（准则1）单调有界数列必有极限。

四、利用单调有界准则求极限

首先常用数学归纳法讨论数列的单调性和有界性，再求解方程可求出极限。例1.设a0，x1a,x2aaax1,,xn1axn(n1,2,)212

求极限n

limxn。定理8（准则2）已知{xn},{yn},{zn}为三个数列，且满足：（1）ynxnzn,(n1,2,3,)（2）n则极限

10.夹逼定理 limynan，nlimzna

nlimxn一定存在，且极限值也是a，即

limxna。

利用极限存在准则求极限 例20 已知x12,xn12xn,(n1,2,)，求nlimxn

limxnx{x}解：易证：数列n单调递增，且有界（0

xn12xn两边求极限，10 得：

a2a，解得：a2或a1（不合题意，舍去）所以nlimxn2lim(1。

1n21n212例21 nn1n212nn 11n2nnn21)2解：易见：nnn22limnnn2因为n1limnn112，nn21

1n22lim(所以由准则2得：

n11nn2)1。

9.洛必达法则与等价无穷小替换结合法

对于一些函数求极限问题，洛必达法则和等价无穷小结合运用，往往能化简运算，收到奇效。

11.泰勒展开法

12.利用定积分的定义求极限法

积分本质上是和式的极限，所以一些和式的极限问题可以转化为求定积分的问题。

8.利用复合函数求极限

十、利用级数收敛的必要条件求极限

级数收敛的必要条件是：若级数些极限nlimf(n)un1n收敛，则nlimun0，故对某，可将函数

f(n)作为级数n1f(n)的一般项，只须证明此技术收敛，便有nlimf(n)0。

n!例nnn lim

十一、利用幂级数的和函数求极限

当数列本身就是某个级数的部分和数列时，求该数列的极限就成了求相应级数的和，此时常可以辅助性的构造一个函数项级数（通常为幂级数，有时为Fourier级数）。使得要求的极限恰好是该函数项级数的和函数在某点的值。

例求nlim(11332n1)333

7等比等差数列公式应用（对付数列极限）（q绝对值符号要小于1）

8各项的拆分相加（来消掉中间的大多数）（对付的还是数列极限）可以使用待定系数法来拆分化简函数

9求左右求极限的方式（对付数列极限）例如知道Xn与Xn+1的关系，已知Xn的极限存在的情况下，xn的极限与xn+1的极限时一样的，应为极限去掉有限项目极限值不变化还有个方法，非常方便的方法

就是当趋近于无穷大时候

不同函数趋近于无穷的速度是不一样的！！！！！！！！

x的x次方快于 x！快于 指数函数

快于

幂数函数

快于

对数函数（画图也能看出速率的快慢）！！！当x趋近无穷的时候 他们的比值的极限一眼就能看出来了 换元法 是一种技巧，不会对模一道题目而言就只需要换元，但是换元会夹杂其中

16直接使用求导数的定义来求极限，（一般都是x趋近于0时候，在分子上f（x加减麽个值）加减f（x）的形式，看见了有特别注意）

读书的好处

1、行万里路，读万卷书。

2、书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。

3、读书破万卷，下笔如有神。

4、我所学到的任何有价值的知识都是由自学中得来的。——达尔文

5、少壮不努力，老大徒悲伤。

6、黑发不知勤学早，白首方悔读书迟。——颜真卿

7、宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。

8、读书要三到：心到、眼到、口到

9、玉不琢、不成器，人不学、不知义。

10、一日无书，百事荒废。——陈寿

11、书是人类进步的阶梯。

12、一日不读口生，一日不写手生。

13、我扑在书上，就像饥饿的人扑在面包上。——高尔基

14、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游

15、读一本好书，就如同和一个高尚的人在交谈——歌德

16、读一切好书，就是和许多高尚的人谈话。——笛卡儿

17、学习永远不晚。——高尔基

18、少而好学，如日出之阳；壮而好学，如日中之光；志而好学，如炳烛之光。——刘向

19、学而不思则惘，思而不学则殆。——孔子

20、读书给人以快乐、给人以光彩、给人以才干。——培根