利用定积分的定义求极限

第一篇：利用定积分的定义求极限

利用定积分的定义求极限 方法：如果f(x)dx存在，则lim

ab

ban

n

n



k1

f(a

ban

k)



ba

f(x)dx

例15求极限

n

（1）lim

n



k1n

nn4k

nn4k

解：lim

n



k1

lim

1n

n

n



k1

114()

n

k





114x

dx

actan2x

|0

actan2

n

（2）lim

n



k1n

nx2kn

解：lim

n



k1nx2kn

lim

n

k

[x2()]nk1n

n



(x2t)dtx1

（3）lim

1n

n

n(n1)(n2)(2n1)

n1

解：因为

1n

k0

ln(1n)

n

k

n(n1)(n2)(2n1)e

由于lim

1n

n

n



k1

ln(1

kn)



ln(1x)dx2ln21ln

4e

故lim

1n

n

n

n(n1)(n2)(2n1)e

ln

4e



4e

第二篇：浅谈用定积分的定义解决极限问题

数学之美2007年11月总第3期

浅谈用定积分的定义解决极限问题

王涛

（周恩来政府管理学院 政治学与行政学 0612723）

摘要：数学是一门锻炼人的逻辑思维能力的科目。我们在学习数学的过程中经常遇到的是计算题和证明题，掌握一定的方法和技巧对于我们快速地解出题目是非常有帮助的。有些方法和技巧其实是对定义、概念深入理解所得到的。本文主要探讨用定积分的定义来解决求极限的问题。

关键词：定积分的定义；定积分；极限；曲边梯形的面积

在高等数学的学习中，微积分的学习占有很大的比重，地位也是很重要的。微积分分为微分学和积分学，而微分运算与积分运算之间是互为逆运算的关系。我们通常把微分运算看作正向运算，而把积分运算看作是微分的逆运算，在以往的实际学习上我们也可以看出这点：加减法，乘除法，平方开方，指数对数，三角函数反三角函数等等。而在高等数学的学习中我们首先接触的是微分，然后是积分；从掌握程度上，我们对于正向运算的掌握程度可能要好于逆向运算，不管是学习的速度还是做题的准确性，正向运算可能都要好于逆向运算。然而正逆运算是互通的，熟练掌握这两种运算对于增加解题方法，做到融会贯通都是很有帮助的。下面就来介绍用积分学中定积分的定义来解决微分学中极限的问题。

我们一般在求解极限问题时，经常用到的方法是：极限的定义、性质，几种重要极限、洛必达法则、泰勒公式等。但这些方法都局限于微分学中，没有超越微分学的范围，而我们知道微分与积分是互为逆运算的，那么运用积分学的方法来解决极限问题是否可行？答案是肯定的。用定积分的定义就是解决极限问题的又一方法。

要用定积分的定义来求解极限问题，我们首先要弄清定积分的定义。

定积分的定义：设函数y=f(x)定义在区间a,b上有界，在a,b上任意插入分点：a=x0＜x1＜＜xn1＜xn=b,令xi=xixi1，又任取i[xi1,xi], i=1,2,…n.作和式Inf(i)xi，令xm如果当xi0时，和式In的极限存在，且此极限与a,baxxi，i11inn的分法及i的取法无关，则称函数f(x)在a,b上是可积的，并称该极限值为f(x)在a,b上的定积分，记作

即baf(x)dx，nb

af(x)dxf(i)xi.x0i

180

其中函数f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，x称为积分变量，a称为积分下限，b称为积分上限，a,b称为积分区间。1

b

这个定义看上去很复杂，但只要抓住af(x)dxf(i)xi即可。我们在x0i1

n

后面所要介绍的用定积分的定义解决极限问题也是围绕着这个公式展开的。从这个式子我们也可以看出极限与定积分之间的关系是很紧密的。有了定积分的定义，我们用具体例题来看怎样用定积分解决极限问题。

23n

sinsinsinsin2nnnn 例1.求

lim

111nn1

nnn

23n

解： 注意到：

23n

sinsinsinsin123nnnnn [sinsinsinsin]

n1nnnn111n1

nnn23n

123n1nk[sinsinsinsin]=（*）sin

nnnnnnk1n

由定积分定义，对上面不等式的右端取极限，得到

1nk1

=sinxdx=2 limsin0nnnk1

而不等式的左端取极限，有

n1nk=2 1nk=

sinsinlimlim

nk1nnnn1nn1k1

由夹逼定理知

23n

sinsinsinsinnnnnlim

111nn1

nnn

23n





=

2

这道题就是典型的用到定积分的定义来求极限的值。当我们对（*）左右两边的式子取

n1nkb

极限时，我们发现 limsin可以表为形如af(x)dxf(i)xi的形式.因

nnnk1x0i1

为f(x)sinx为[0, 1]上可积函数，所以对于[0, 1]任意划分及i的任意取法极限

刘桂茹，孙永华编著：《高等学校经济数学系列教材 微积分》，南开大学出版社，2004年12月版，第200

页。2

2005年天津市大学数学竞赛（人文学科及医学等类），第八题。

limf(i)xi都存在且相等, 此时令xi=

n

||x||0i1

1i，即把[0, 1]n等分, i为分点，由nn

定积分的定义我们得到

21nk1

==, sinxdxsinlim

n0nnk1

然后再取右边的极限,由夹逼定理我们得到最后的结果



.这道题解题的关键就是用到定积分的定义,把求极限问题与定积分的定义联系起来，很容易的解出题目。

让我们再来看一个例子.例2.求lim

n

n1)(n2)（nn)。

n

解：∵lim

n

(n1)(n2)（nn)

n

=lim

n

(n1)(n2)（nn)

n

=lim(1n)(1

n

2n)（1)nn

于是，我们设y(1n)(1

2n)（1)nn

1ni

ln(1)取对数lny

ni1n

于是有limlny=lim

n

1ni

ln(1).（**）

nnni1

我们采用同例1同样的方法。此时令xi=

1i，i1.所以（**）可等于 nn

11ni

limln(1)=0ln(1x)dx=2ln21.nnni1

因此limlny2ln21，n

n

limye

2ln21

=e

ln

e

4.e

所以最后的结果是lim

这道题与例1

n

(n1)(n2)（nn)4=.en

b

有相似之处，整理式子，发现（**）形如a

f(x)dxf(i)xi

x0i1

n

由定积分的定义把求（**）转化为求定积分的值，得到结果。

由上面两个例子我们可以发现几个问题：

1.用定积分的定义来求极限的问题，给出的题目往往是有无穷多个式子连乘或连加构成，而且式子看上去很复杂但很有规律，经过一定的变换可以得到如下形式

ba

n

f(x)dxf(i)xi

x0i1

运用此式可以把极限问题转化为求定积分值的问题。

2.解题时不仅要用到定积分的定义，还需要与其他方法结合使用。第一题中用到了夹逼定理，第二题则用到了取对数的方法。这样就增加了解题的难度题目。在出用定积分解极限问题时，一般不会直接让你看出用定积分定义来做此题，而是需要运用其他的方法把式子经过一定的变换之后再用定积分来做，定积分的定义是解题的关键。此类题的目的就是要用定积分的定义来解极限问题，但之前要把式子整理到形如定积分的定义式之后才能用定积分来做。达到了一道题考察多种概念、方法的目的。

以上就是我们所讨论的用定积分的定义来解某一类的极限问题。它所反映的思想就是要把相通的、有关系的事物联系起来，扩展思路，最终达到解决问题的目的。学习数学的目的就是为了锻炼人的逻辑思维能力。在实际生活中，我们也要解放思想，开阔思路，善于逆向思维，发掘更多解决问题的方法，这样对于我们整个国家、社会的发展也是非常有帮助的。参考文献

[1] 刘桂茹，孙永华.高等学校经济数学系列教材 微积分.天津：南开大学出版社，2004年12月版

[2] 陈吉象 戴瑛 郑弃冰 吴忠华.文科数学基础.北京：高等教育出版社，2003年8月版 [3] 2005年天津市大学数学竞赛（人文学科及医学等类）

第三篇：利用函数极限定义证明11

习题2-2

1.利用函数极限定义证明:

(3).limxsinx01x0;

x|1，则当 0|x| 时, 有 证明: 对于任意给定的正数 0, 取 , 因为 |sin

x1x1xxsin|x|sin|x|，所以limxsinx00.2．利用无穷大量定义证明：

（1）lim1x

4x；

1x

4证明：对于任意给定的正数 G0, 取 M4G1, 则当 |x|M 时, 有 |

所以 lim1x

4.|G，x

5．证明：若limf(x)A，则lim|f(x)||A|.xx0xx0证明：对于任意给定的正数 0, 由于limf(x)A，存在0，使得当

xx0

0|xx0|时, 都有|f(x)A|，而

|f(x)A||f||A||fA|，即||f(x)||A||，所以lim|f(x)||A|.xx0

第四篇：极限操作定义

极限操作定义：在对手技能释放的瞬间 用自己的技能或者道具化解对手技能。

妙E秒羊秒吹秒C的极限操作的可能性分析：以张飞为例子，若阴影地飞出来的张飞的T妙吹妙羊的可能性几乎为零。飞飞到你面前完成T的时间只需要0.1秒钟(鸟房张飞的飞at除外)当张飞飞到你面前，你才开始反应然后左手手按到风或者羊的技能键，右手操作鼠标点到张飞身上，完成整个过程需要受过反应训练的人也至少需要0.25妙的时间。那么极限秒吹秒羊妙E是不可能的。那么游戏中经常出现的这个极限操作的假象是怎么做到的呢？ 关键原因就是距离。张飞的飞 和各种限制技能都是有距离的限制，当CR 或者41保持与张飞 飞T的极限距离外，不停按技能又不停的S那么 这个时期张飞飞过来刚好在自己使用技能的距离内，那么妙限制飞的假象出现了。但是这绝不是极限操作，而是有意识的反复操作达到的效果。郭嘉的极限C张飞的情况就有两种，一种是郭嘉释放C技能的时候 张飞自己刚好飞到C的方向上，T还没放出来就被C住，这种情况发生在上路郭嘉妙关的时候特别常见，这个纯属运气，与极限操作扯不上半点关系。还有一种情况与上所诉妙E妙吹情况类似，但是这个距离就比妙E妙吹时候需要的距离精确的多，当飞在郭嘉点人C的极限距离外起飞，那么绝对被秒C，一旦张飞进入这个极限距离内那么张飞没有飞起来之前被C或者张飞飞起来躲掉了郭嘉C.第二种情况极其少见，因为成功率取决于飞的位置和郭嘉的想法，大多数郭嘉不会为了妙C张飞而去冒险释放这个团战终极技能，张飞飞到郭嘉面前再C这个是极限操作但是需要的时间如果地板C需要0.15妙 点人C也需要0.25妙，理论上也是不可以的。

那么哪些操作的的确确是极限操作了？玄武躲技能，飞躲飞T，妙T这绝对是极限操作，玄武躲技能这个操作一般选手都有这个意识而且成功率不说百分百，也有百分之八十。因为这些个躲限制技能的技能是没有距离限制(飞躲飞T除外)，只能在对方释放技能前使用自身技能或者道具才能出现极限“妙X”的画面。这些操作可行性分析：玄武躲技能，左手放在技能键上，当出现非瞬发限制技能(极需要释放时间的技能点飞T41 E 郭嘉C)这些技能的释放时间大于或者等于0.1妙，而一般人开启玄武的反应时间小于0.1S，所以我们经常看见玄武躲技能的操作，因为常见，很多人认为玄武躲技能不算极限操作，但是却是理论上的极限操作。但是玄武是无法躲瞬发限制技能，这个问题我在以前的问题中讨论过的，瞬发限制技能 入风吹 羊变 和CR的E 只要这些技能释放出去，对手就必须受的。而飞鞋躲飞T这个和玄武躲技能的道理一样，但比玄武躲飞T多一些预判断时间，所以玄武躲技能可以在没有视野的情况完成。但是飞躲阴影飞T却很难，因为自己起飞躲飞T的反应时间大于0.1S..妙T更难，完全是自己判断+运气 这个不多复述了。

总结：妙羊妙吹妙E不是极限操作 更多的是需要操作者的意识，玄武躲技能，飞鞋躲飞T妙T是真三玩家的操作素质和水平的体现。不要刻意追求极限操作，加强自己的意识，注意队友的配合 这才是真三的王道。

第五篇：求极限总结

首先 对 极限的总结 如下

极限的保号性很重要 就是说在一定区间内 函数的正负与极限一致极限分为 一般极限，还有个数列极限，（区别在于数列极限时发散的，是一般极限的一种）

2解决极限的方法如下：（我能列出来的全部列出来了！！！你还能有补充么？？？）等价无穷小的转化，（只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用 但是前提是必须证明拆分后极限依然存在）e的X次方-1 或者（1+x）的a次方-1等价于Ax 等等。全部熟记

（x趋近无穷的时候还原成无穷小）

2落笔他 法则（大题目有时候会有暗示 要你使用这个方法）

首先他的使用有严格的使用前提！！！

必须是 X趋近而不是N趋近！！！！（所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件

（还有一点 数列极限的n当然是趋近于正无穷的 不可能是负无穷！）

必须是 函数的导数要存在！！！！（假如告诉你g（x）, 没告诉你是否可导，直接用无疑于找死！）

必须是 0比0 无穷大比无穷大！！！！！

当然还要注意分母不能为0

落笔他 法则分为3中情况0比0 无穷比无穷 时候 直接用0乘以无穷 无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以 无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后 这样就能变成1中的形式了0的0次方 1的无穷次方 无穷的0次方

对于（指数幂数）方程 方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候 LNX趋近于0）3泰勒公式(含有e的x次方的时候，尤其是含有正余旋 的加减的时候要 特变注意！！）E的x展开 sina 展开 cos 展开 ln1+x展开

对题目简化有很好帮助

4面对无穷大比上无穷大形式的解决办法

取大头原则 最大项除分子分母！！！！！！

看上去复杂处理很简单！！！！！

5无穷小于有界函数的处理办法

面对复杂函数时候，尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。

面对非常复杂的函数 可能只需要知道它的范围结果就出来了！！

6夹逼定理（主要对付的是数列极限！）

这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。

7等比等差数列公式应用（对付数列极限）（q绝对值符号要小于1）

8各项的拆分相加（来消掉中间的大多数）（对付的还是数列极限）

可以使用待定系数法来拆分化简函数

9求左右求极限的方式（对付数列极限）例如知道Xn与Xn+1的关系，已知Xn的极限存在的情况下，xn的极限与xn+1的极限时一样的，应为极限去掉有限项目极限值不变化 10 2 个重要极限的应用。这两个很重要！！！对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x

比值。地2个就如果x趋近无穷大 无穷小都有对有对应的形式

（地2个实际上是 用于 函数是1的无穷的形式）（当底数是1 的时候要特别注意可能是用地2 个重要极限）还有个方法，非常方便的方法

就是当趋近于无穷大时候

不同函数趋近于无穷的速度是不一样的！！！！！！！！

x的x次方 快于 x！快于 指数函数 快于 幂数函数 快于 对数函数（画图也能看出速率的快慢）！！！

当x趋近无穷的时候 他们的比值的极限一眼就能看出来了换元法 是一种技巧，不会对模一道题目而言就只需要换元，但是换元会夹杂其中13假如要算的话 四则运算法则也算一种方法，当然也是夹杂其中的14还有对付数列极限的一种方法，就是当你面对题目实在是没有办法 走投无路的时候可以考虑 转化为定积分。一般是从0到1的形式。

15单调有界的性质

对付递推数列时候使用 证明单调性！！！

16直接使用求导数的定义来求极限，（一般都是x趋近于0时候，在分子上f（x加减麽个值）加减f（x）的形式，看见了有特别注意）

（当题目中告诉你F(0)=0时候 f（0）导数=0的时候 就是暗示你一定要用导数定义！！）

(0)

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1楼2014-03-19 20:22举报 |来自Android客户端

张806788364

举人5

函数的性质也体现在积分 微分中

例如他的奇偶性质 他的周期性。还有复合函数的性质

1奇偶性，奇函数关于原点对称 偶函数关于轴对称 偶函数左右2边的图形一样（奇函数相加为0）

2周期性也可用在导数中 在定积分中也有应用 定积分中的函数是周期函数 积分的周期和他的一致复合函数之间是 自变量与应变量互换 的 关系

4还有个单调性。(再求0点的时候可能用到这个性质！）

（可以导的函数的单调性和他的导数正负相关）

:o 再就是总结一下间断点的问题（应为一般函数都是连续的 所以 间断点 是对于间断函数而言的）

间断点分为第一类 和第二类剪断点第一类是左右极限都存在的（左右极限存在但是不等 跳跃的的间断点 或者 左右极限存在相等但是不等于函数在这点的值 可取的间断点

地二类 间断点是 震荡间断点 或者是 无穷极端点

（这也说明极限即是 不存在也有可能是有界的）

:o 下面总结一下

求极限的一般题型求分段函数的极限

当函数含有绝对值符号时，就很有可能是有分情况讨论的了！！！！

当X趋近无穷时候 存在e的x次方的时候，就要分情况讨论 应为 E的x次方的函数正负无穷的结果是不一样的！！！！极限中含有变上下限的积分 如何解决类？？？？

说白了 就是说 函数中现在含有积分符号，这么个符号在极限中太麻烦了 你要想办法把它搞掉！！！！！！！！

解决办法 ：

1求导，边上下限积分求导，当然就能得到结果了 这不是很容易么？

但是！！！有2个问题要注意！！

问题1 积分函数能否求导？ 题目没说积分可以导的话，直接求导的话是错误的！！问题2 被积分函数中 既含有T又含有x的情况下如何解决？？？？？？

解决1的方法： 就是方法2 微分中值定理！！！！！

微分中值定理是函数与积分的联系！更重要的是他能去掉积分符号！！！

解决2的方法 ： 当x与t的函数是相互乘的关系的话，把x看做常数提出来，再求导数！！！