1.2极限的定义（xiexiebang推荐）

第一篇：1.2极限的定义（xiexiebang推荐）

石家庄财经职业学院

经济数学

一、函数的极限

1.自变量趋于无穷的情形

自变量趋于无穷可分为趋于正无穷和负无穷，先讨论当x时，函数的极限。

定义1 设函数yf(x)在(a,)(a为某个实数)内有定义，如果当自变量x无限增大时，相应的函数值f(x)无限接近于某一个固定的常数A，则称A为x（读作“x趋于正无穷”）时函数f(x)的极限，记作limf(x)A或 f(x)A(x)

x

例题求lim

xx

由图像可知，当x趋于正无穷时，1

1趋于零，故lim＝0

xxx

定义2 设函数yf(x)在(-,a)(a为某个实数)内有定义，如果当自变量x无限增大且

x0时，相应的函数值f(x)无限接近于某一个固定的常数A，则称A为x（读作“x趋

于负无穷”）时函数f(x)的极限，记作limf(x)A或f(x)A(x)

x

例题求lim

xx

由图像可知，当x趋于负无穷时，定义3 设函数yf(x)在11趋于零，故lim＝0

xxx

xb(b为某个正实数)时有定义，如果当自变量x的绝对值

无限增大时，相应的函数值无限接近于某一个固定的常数A，则称A为x（读作“x趋于无穷”）时函数f(x)的极限

记作limf(x)A或f(x)A(x)

x

由上述两个例题可知，lim

0，同理可证，lim20 xxxx

定理1当x时，函数f(x)的极限存在的充分必要条件是当x时和x时函数f(x)的极限都存在而且相等。即

limf(x)A的充分必要条件是limf(x)limf(x)A．

x

x

x

2.自变量趋于有限值x0的情形

x21

引例对于函数f(x)x

x21

当x1时, f(x)x1

x21

于常数2，此时我们称当x趋近于1时，函数f(x)的极限为

2x1

ˆ0,)内无限接近定义4设函数yf(x)在点x0的去心邻域内有定义，如果当自变量x在N(x

于x0时，相应的函数值f(x)无限接近于某一个固定的常数A，则称A为当xx0（读作“x趋近于x0”）时函数f(x)的极限，记作limf(x)A或f(x)A(xx0)

xx0

注意：1.f(x)在xx0时的极限是否存在,与f(x)在x0点处有无定义以及在点x0处的函数值无关．

2.在定义5中, x是以任意方式趋近于x0的,但在有些问题中，往往只需要考虑点x从x0的一侧趋近于x0时，函数f(x)的变化趋向．

例题 求limx

x

3由函数图像可知,无论x从哪一侧趋近于3时,函数值总是无限接近于9,故limx9

x3

定义5 设函数yf(x)在点x0的左半邻域(x0,x0)内有定义，如果当自变量x在此半邻域内从x0左侧无限接近于x0时，相应的函数值f(x)无限接近于某个固定的常数A，则称A为当

)x趋近于x0时函数f(x)的左极限,记作limf(x)A或f(x)A(xx0



xx0

定义6 设函数yf(x)的右半邻域(x0,x0)内有定义，如果当自变量x在此半邻域内从

x0右侧无限接近于x0时，相应的函数值f(x)无限接近于某个固定的常数A，则称A为当x趋近



f(x)A或f(x)A(xx0)于x0时函数f(x)的右极限,记作lim

xx0

函数的左右极限有如下关系:

定理2 limf(x)A的充分必要条件是limf(x)limf(x)A．

xx0

xx0

xx0

例题 设函数f(x)在.xx,求f(x)在x0处的左、右极限,并讨论f(x)在x0处是否有极限存

解: 因为当x0时, f(x)1,因此limf(x)1,x0

f(x)1 又当x0时, f(x)1,因此lim

x0

由定理2可知，limf(x)不存在。

x0

练习：判断函数f(x)

二、无穷小量 1.无穷小量的定义

1cosxx0

在x0处是否有极限。

sinxx0

定义1 以零为极限的变量称为无穷小量，简称无穷小，常用,,表示。例如 lim

10，所以函数当x时是无穷小． xxx

x0

2又如 limx0，所以函数x当 x0时是无穷小。

注意：应该注意无穷小量是在某一过程中，以零为极限的变量，而不是绝对值很小的数。因此应

明确指出其变化过程。例如 函数f(x)

1

是x时的无穷小，但当x1时不是无穷小。当x时，sinx的x2

极限不为零，所以当x2.极限与无穷小之间的关系



时，函数sinx不是无穷小，而当x0时sinx是无穷小量。

定理1 limf(x)A的充要条件是f(x)A，其中是无穷小，即

limf(x)Alim0,f(x)A.3.无穷小量的运算性质

性质1有限个无穷小的代数和是无穷小。

注意：①.此处是指有限个无穷小的代数和是无穷小,但无穷多个无穷小的代数和不一定是无穷

小.例如:lim（n

12nn(n1)111

)limlim()2222nnnnn2n22n2

②.代数和是指和与差两种运算.性质2无穷小与有界函数的积是无穷小.例1 求limxsin

x0

x

是有界函数,故根据性质2可知,此极限值为0.x

分析: 当x0是, x是无穷小, sin解: 因为limx0,sin

x0

1,故由性质2可得limxsin0

x0xx

练习求lim

cosx xx

3，均是无穷小.xxx

推论1 常数与无穷小的积是无穷小.例: 当x是,推论2 有限个无穷小的积仍是无穷小.三、无穷大量1.无穷大量的定义

定义2 在自变量x的某个变化过程中，若相应的函数值的绝对值f(x)无限增大,则称f(x)为该自变量变化过程中的无穷大量，简称无穷大．记作limf(x)

若函数值f(x)(或f(x))无限增大,则称f(x)为该变化过程中的正(或负)无穷大,记作

limf(x)或(limfx().)

注意：无穷大量不是很大的数,而是一个变量,是极限不存在的一种情形，我们借用极限的记号

xx0

limf(x)，表示“当xx0时, f(x)是无穷大量” ．

2.无穷大与无穷小的关系

定理2在自变量的某个变化过程中，无穷大量的倒数是无穷小量，非零无穷小量的倒数是无穷大量．

x21例2 求lim2

x1x1

x21x21

解: 由于lim2 0,由定理2可知lim2

x1x1x1x1

注意:以后遇到类似题目,可直接写结果.例3 考察函数f(x)解: 因为lim

x1,自变量如何变化时是无穷大量?如何变化时是无穷小量? x1

x1

0,故当x1时,此函数为无穷小量.x1x1x1x1

因为lim0,故lim,所以当x1时,此函数为无穷大量.x1x1x1x1

第二篇：极限操作定义

极限操作定义：在对手技能释放的瞬间 用自己的技能或者道具化解对手技能。

妙E秒羊秒吹秒C的极限操作的可能性分析：以张飞为例子，若阴影地飞出来的张飞的T妙吹妙羊的可能性几乎为零。飞飞到你面前完成T的时间只需要0.1秒钟(鸟房张飞的飞at除外)当张飞飞到你面前，你才开始反应然后左手手按到风或者羊的技能键，右手操作鼠标点到张飞身上，完成整个过程需要受过反应训练的人也至少需要0.25妙的时间。那么极限秒吹秒羊妙E是不可能的。那么游戏中经常出现的这个极限操作的假象是怎么做到的呢？ 关键原因就是距离。张飞的飞 和各种限制技能都是有距离的限制，当CR 或者41保持与张飞 飞T的极限距离外，不停按技能又不停的S那么 这个时期张飞飞过来刚好在自己使用技能的距离内，那么妙限制飞的假象出现了。但是这绝不是极限操作，而是有意识的反复操作达到的效果。郭嘉的极限C张飞的情况就有两种，一种是郭嘉释放C技能的时候 张飞自己刚好飞到C的方向上，T还没放出来就被C住，这种情况发生在上路郭嘉妙关的时候特别常见，这个纯属运气，与极限操作扯不上半点关系。还有一种情况与上所诉妙E妙吹情况类似，但是这个距离就比妙E妙吹时候需要的距离精确的多，当飞在郭嘉点人C的极限距离外起飞，那么绝对被秒C，一旦张飞进入这个极限距离内那么张飞没有飞起来之前被C或者张飞飞起来躲掉了郭嘉C.第二种情况极其少见，因为成功率取决于飞的位置和郭嘉的想法，大多数郭嘉不会为了妙C张飞而去冒险释放这个团战终极技能，张飞飞到郭嘉面前再C这个是极限操作但是需要的时间如果地板C需要0.15妙 点人C也需要0.25妙，理论上也是不可以的。

那么哪些操作的的确确是极限操作了？玄武躲技能，飞躲飞T，妙T这绝对是极限操作，玄武躲技能这个操作一般选手都有这个意识而且成功率不说百分百，也有百分之八十。因为这些个躲限制技能的技能是没有距离限制(飞躲飞T除外)，只能在对方释放技能前使用自身技能或者道具才能出现极限“妙X”的画面。这些操作可行性分析：玄武躲技能，左手放在技能键上，当出现非瞬发限制技能(极需要释放时间的技能点飞T41 E 郭嘉C)这些技能的释放时间大于或者等于0.1妙，而一般人开启玄武的反应时间小于0.1S，所以我们经常看见玄武躲技能的操作，因为常见，很多人认为玄武躲技能不算极限操作，但是却是理论上的极限操作。但是玄武是无法躲瞬发限制技能，这个问题我在以前的问题中讨论过的，瞬发限制技能 入风吹 羊变 和CR的E 只要这些技能释放出去，对手就必须受的。而飞鞋躲飞T这个和玄武躲技能的道理一样，但比玄武躲飞T多一些预判断时间，所以玄武躲技能可以在没有视野的情况完成。但是飞躲阴影飞T却很难，因为自己起飞躲飞T的反应时间大于0.1S..妙T更难，完全是自己判断+运气 这个不多复述了。

总结：妙羊妙吹妙E不是极限操作 更多的是需要操作者的意识，玄武躲技能，飞鞋躲飞T妙T是真三玩家的操作素质和水平的体现。不要刻意追求极限操作，加强自己的意识，注意队友的配合 这才是真三的王道。

第三篇：极限状态法定义

1、极限状态设计法

limit state design method

当以整个结构或结构的一部分超过某一特定状态就不能满足设计规定的某一功能要求，则此特定状态称为该功能的极限状态，按此状态进行设计的方法称极限状态设计法。它是针对破坏强度设计法的缺点而改进的工程结构设计法。分为半概率极限状态设计法和概率极限状态设计法。

半概率极限状态设计法 将工程结构的极限状态分为承载能力极限状态、变形极限状态和裂缝极限状态三类（也可将后两者归并为一类），并以荷载系数、材料强度系数和工作条件系数代替单一的安全系数。对荷载或荷载效应和材料强度的标准值分别以数理统计方法取值，但不考虑荷载效应和材料抗力的联合概率分布和结构的失效概率。

概率极限状态设计法 将工程结构的极限状态分为承载能力极限状态和正常使用极限状态两大类。按照各种结构的特点和使用要求，给出极限状态方程和具体的限值，作为结构设计的依据。用结构的失效概率或可靠指标度量结构可靠度，在结构极限状态方程和结构可靠度之间以概率理论建立关系。这种设计方法即为基于概率的极限状态设计法，简称为概率极限状态设计法。其设计式是用荷载或荷载效应、材料性能和几何参数的标准值附以各种分项系数，再加上结构重要性系数来表达。对承载能力极限状态采用荷载效应的基本组合和偶然组合进行设计，对正常使用极限状态按荷载的短期效应组合和长期效应组合进行设计。

2、许应力设计法

allowable stress design method

以结构构件的计算应力σ不大于有关规范所给定的材料容许应力[σ]的原则来进行设计的方法。一般的设计表达式为

σ≤[σ]

结构构件的计算应力σ按荷载标准值以线性弹性理论计算；容许应力[σ]由规定的材料弹性极限（或极限强度、流限）除以大于1的单一安全系数而得。

容许应力设计法以线性弹性理论为基础，以构件危险截面的某一点或某一局部的计算应力小于或等于材料的容许应力为准则。在应力分布不均匀的情况下，如受弯构件、受扭构件或静不定结构，用这种设计方法比较保守。

容许应力设计应用简便，是工程结构中的一种传统设计方法，目前在公路、铁路工程设计中仍在应用。它的主要缺点是由于单一安全系数是一个笼统的经验系数，因之给定的容许应力不能保证各种结构具有比较一致的安全水平，也未考虑荷载增大的不同比率或具有异号荷载效应情况对结构安全的影响。

我国公路使用极限状态设计法，铁路仍使用容许应力设计法，但公路中使用的分项系数并不是完全利用概率理论计算可靠度得来的，而是在容许应力基础上，通过经验得来的，所以有披着极限外衣的容许应力之嫌。

第四篇：极限定义的总结

极限定义的总结

极限主要包括两个方面，即自变量的变化趋势和函数的变化趋势。我们就这两个变化趋势来总结极限的定义：

自变量变化趋势limf(x)函数的变化趋势

自变量的变化趋势主要有六种：

x,x,x,xx0,xx0,xx0

函数的变化趋势主要有四种：

f(x)A,f(x),f(x),f(x) 自变量的描述格式如下：

X0,当|x|X时；（x）

X0,当xX时；（x）

X0,当x-X时；（x）

0,当0|x-x0|时；（xx0）

0,0, 当0x-x0时；（xx0）当0|x-x0|时；（xx0）

函数的描述格式如下：

0, ,

0, ,

0, , 恒时：|f(x)A|（f(x)A）恒时：|f(x)|M（f(x)）恒时：f(x)M（f(x)）

恒时：f(x)M（f(x)）0, ,

那么函数极限的定义可以是这C61C4124种中的任意一种。当然还有一种最特殊的函数极限，即数列的极限。它是一种自

变量的变化不连续的特殊情形。

第五篇：数列极限的定义

第十六教时

教材：数列极限的定义

目的：要求学生首先从实例（感性）去认识数列极限的含义，体验什么叫无限地“趋

近”，然后初步学会用N语言来说明数列的极限，从而使学生在学习数学中的“有限”到“无限”来一个飞跃。过程：

一、实例：1当n无限增大时，圆的内接正n边形周长无限趋近于圆周长

2在双曲线xy1中，当x时曲线与x轴的距离无限趋近于0

二、提出课题：数列的极限考察下面的极限

1 数列1：

110,111

102,103,,10

n,①“项”随n的增大而减少②但都大于0

③当n无限增大时，相应的项1

n可以“无限趋近于”常数0

2 数列2：123n

2,3,4,,n1,

①“项”随n的增大而增大②但都小于1

③当n无限增大时，相应的项n

n1可以“无限趋近于”常数1

3 数列3：1,11(1)n

2,3,,n,①“项”的正负交错地排列，并且随n的增大其绝对值减小

②当n无限增大时，相应的项(1)n

n

可以“无限趋近于”常数

引导观察并小结，最后抽象出定义：

一般地，当项数n无限增大时，无穷数列an的项an无限地趋近于某

个数a（即ana无限地接近于0），那么就说数列an以a为极限，或者说a是数列an的极限。（由于要“无限趋近于”，所以只有无穷数列才有极限）

数列1的极限为0，数列2的极限为1，数列3的极限为0

三、例一（课本上例一）略

注意：首先考察数列是递增、递减还是摆动数列；再看这个数列当n无限

增大时是否可以“无限趋近于”某一个数。

练习：（共四个小题，见课本）

四、有些数列为必存在极限，例如：an(1)n

或ann都没有极限。例二下列数列中哪些有极限？哪些没有？如果有，极限是几？

1．a1(1)n1(1)n

n22．an2

3．anan(aR)

n

4．a1)n135

n(n5．an5 3

解：1．an：0,1,0,1,0,1,„„不存在极限

2．a2,0,22

n：3,0,5,0,极限为0

3．an：a,a2,a3,不存在极限

4．a,33

n：32,14,极限为0

5．an

5525n：先考察，， 无限趋近于0 3：

392781∴ 数列an的极限为5

五、关于“极限”的感性认识，只有无穷数列才有极限

六、作业：习题1

补充：写出下列数列的极限：1 0.9,0.99,0.999,„„2 a1

n

2n

3 



(1)n113456111n4 2,3,4,5,5 an1242n