11 度量空间的定义与极限

第一篇：11 度量空间的定义与极限

第一章度量空间

第一章度量空间

若在实数集

R中点列xn的极限是x时，我们使用|xnx|来表示xn和x的接近程度，事实上，|xnx|可表示为数轴上xn和x这两

R中点列xn收敛于x也就是指xn和x之间的距离随着n而趋于0，即limd(xn,x)0． 于是人们就想，n

点间的距离，那么实数集在一般的点集，那么在点集X中也可借这一“距离”来定义极限，而究竟什么是“距离”呢？或者说“距离”的本质是什么？ X中如果也有“距离”

远和近你 一会看我 一会看云我觉得 你看我时很远 你看云时很近

诗人顾城的一首诗《远和近》对距离的感受又如何呢？

这首诗诗似乎是纯理性的，十分冷静，但细细品味，其中暗暗催动着一股热流：呼唤一种相互理解、相互信任、和谐融洽的人际关系．现实距离和心理距离并不总是一致的．现实距离很远，但心理距离却可能很近，“海内存知己，天涯若比邻”，即是此意．也可能现实距离很近，而心理距离却很远，所谓“咫尺天涯”大概就是指此而言了．那么如何给出距离这一概念？

1.1度量空间的定义与极限

1.1.1 度量空间的定义与举例

定义 1.1.1 设（1）（2）（3）则称d为

X为一非空集合．若存在二元映射d:XXR，使得x,y,zX，均满足以下三个条件：

d(x,y)0,且d(x,y)0当且仅当xy(非负性 Positivity)； d(x,y)d(y,x)(对称性 Symmetry)；

d(x,z)d(x,y)d(y,z)(三角不等式 Triangle inequality)，X上的一个距离函数，称(X,d)为距离空间或度量空间(Metric Spaces)，d(x,y)称为x和y两点间的距离．□

X．

注1：在不产生误解时，(X,d)可简记为下面我们来看一些具体的例子 例 1.1.1 欧氏空间设

Rn．

Rn{(x1,x2，xn)|xiR,i1,2，n}，定义

d(x,y)其中

x(x1,x2，xn), y(y1,y2，yn)Rn，可以验证(Rn,d)是一个度量空间．

在证明之前，引入两个重要的不等式．

引理1.1.1(许瓦兹(Schwarz)不等式)任给

2n个实数a1,a2，an,b1,b2，bn，有

ab(a

iii

1i1

nn

22i)(b)

i1

n

2(1.1)i

证明任取实数

，则由

1.1度量空间的定义与极限

0(aibi)

i1

n

b

i1

n

2i

2aibiai2

i1

i1

nn

知右端二次三项式的判别式不大于零，即

n

n

2aibi4bi2

i1i1

于是可得(1.1)式成立．□

进一步有Hölder不等式

1p

a

i1

1qq

n

2i

0

ab

i1

n

ii

(ai)(bi)

i1

i1

n

p

n

其中

p,q1且

1，称这样的两个实数p,q为一对共轭数． pq

引理1.1.2闵可夫斯基(Minkowski)不等式的和形式 任给

2n个实数a1,a2,n,an及b1,b2,12

n,bn，有

n

222(aibi)aibii1i1k1

证明由(1.1)式得

(1.2)

(ab)a

i

i

i1

i1n

i

nn

2i

2aibibi2

i1

i1

n

n

nn



a2ai2i1i1n

2bibi2

i1i1

nn2222aibii1i1

这就证明了(1.2)式．□

进一步可有Minkowski不等式的一般形式，其中k

n

1

k1

k

n

k1k

n

k1k

(aibi)(ai)(bi)

i1

i1

i1

例 1.1.1 欧氏空间

Rn． 设Rn{(x1,x2，xn)|xiR,i1,2，n}，定义k1

d(x,y)

其中

(1.3)

x(x1,x2，xn), y(y1,y2，yn)Rn，可以验证(Rn,d)是一个距离函数．

证明非负性(1)和对称性(2)显然成立，下面仅验证(3)也成立．对于任意的n

n

z(z1,z2，zn)Rn，由闵可夫斯基不等式(1.2)有

22

xzxyyziiiiiii1i1



即d(x,z)

22

xyyziiiii1i1

是一个距离函数．□

n

n

12，d(x,y)d(y,z)．从而得证d

n

注2：称(R所定义的．

注3：在,d)为n维欧氏空间，d

称为欧氏距离或标准欧氏距离．今后若不作特殊申明，凡提到度量空间

Rn，均指由(1.3)式的欧氏距离

Rn中我们还可以定义其他的距离：

d1(x,y)max|xkyk|；

n

第一章度量空间

d2(x,y)|xkyk|．

k1

可以验证距离

注4：在d1、d2均满足条件(1)、(2)和(3)．R2中比较上述三种距离d、d1和d2，可看看他们各表示什么？

由此知道，在一个集合上，定义距离的方法可以不止一种．但务必注意的是，由于定义的距离不同，所以即使基本集相同，也应视他们为不同的度量空间．

下面的例子说明任何一个集合上均可定义距离，使其成为度量(距离)空间． 例1.1.2离散度量空间 设

X为非空集合，x,yX，定义距离

0当xy时

d0(x,y)(1.4)

1当xy时

容易验证

d0满足距离的三个条件，并称之为离散距离，(X,d0)为离散度量空间．

例 1.1.3 连续函数空间C[a,b]

C[a,b]{f:[a,b]R|f连续}，f,gC[a,b]，定义

d(f,g)max|f(t)g(t)|，t[a,b]

证明显然d满足非负性(1)和对称性(2)，下面验证(3)也成立．

f(t),g(t),h(t)C[a,b]及t[a,b]均有

|f(t)h(t)||f(t)g(t)||g(t)h(t)|

max|f(t)g(t)|max|g(t)h(t）|

t[a,b]

t[a,b]

故d(f

d(f,g)d(g,h)，,h)max|f(t)h(t)|d(f,g)d(g,h)．称(C[a,b],d)为连续函数空间，简记为C[a,b]．□

t[a,b]

注5：在C[a,b]中我们还可以定义如下的距离：

d1(f,g)f(x)g(x)dx．

a

b

可以验证

d1均满足条件(1)、(2)和(3)，所以(C[a,b],d1)也为一度量空间．



例 1.1.4 有界数列空间l

l{x(x1,x2，xn,)(xi)|sup{|xi|}}，对于x(xi)，y(yi)l

i

1，定义

d(x,y)sup|xiyi|，i1

可以验证例1.1.5d是一个距离函数，并称(l

,d)为有界数列空间，简记为l

．

p次幂可和的数列空间lp

l{x(x1,x2，xn,)(xi)| |xi|p,1p}

p

i1

x(xi),y(yi)lp，定义



dp(x,y)|xiyi|p

i1

(1.5)式是有意义的，因为由闵可夫斯基不等式及l间，简记为l例1.1.6

p



p

(1.5)

p

p的定义知其右端有界．可以证明dp是一个距离函数．称(l,dp)为p次幂可和的数列空

．

p次幂可积函数空间Lp[a,b](p1)

Lp[a,b]{f(t)||f(t)|p在[a,b]上L可积}

1.1度量空间的定义与极限

即：

Lp[a,b]f(t)|

[a,b]

|f(t)|pdt

在Lp[a,b]中，我们把几乎处处相等的函数视为同一函数． 对于f,gLp[a,b]，定义距离

d(f,g)(

那么(L

p

[a,b]

|f(t)g(t)|dt)

p

1p

[a,b],d)为度量空间． 并称(Lp[a,b],d)为p次幂可积函数空间，简记为Lp[a,b]．

Lp[a,b]具有下列重要性质：

f,gLp[a,b]，

是一常数，则

分析 集合(1)对线性运算是封闭的．即若

fLp[a,b],fgLp[a,b]．

(2)设

Lp[a,b]L[a,b](p1)．

fLp[a,b]，令AE(|f|1)，BE(|f|1),E[a,b]，则

b



p

a

|f|dm|f|dm|f|dm

A

B

|f|pdm(ba)

Ab

故

|f|dm(ba)

a

fL(a,b)．

引理1.1.3闵可夫斯基(Minkowski)不等式(积分形式): 设

f(x)、g(x)是可测集E上的可测函数且k

1k



b

E

f(x)g(x)dx

p

1p



1k

E

f(x)dx

k



1k

E

g(x)dx

k



1k

(1.6)

证明因为



d(f,g)|f(t)g(t)|dt

a

p





E

f(x)dx

p



1p

E

g(x)dx

p



，f(x),g(x),z(x)Lp[a,b]有

所以(1.6)式有意义． 显然非负性(1)和对称性(2)成立，下面验证三角不等式(3)也成立． 对于任意的

d(f,g)|f(t)g(t)|dt

a

b

p

p

p

bp|f(t)z(x)z(x)g(t)|dta

p





E

f(x)z(x)dx

p



1p

E

z(x)g(x)dx

p



d(f,z)d(z,g)□

上述例子涉及到常用的六个度量空间： 次幂可和的数列空间l

p

n维欧氏空间(Rn,d)；离散度量空间(X,d0)；连续函数空间C[a,b]；有界数列空间l；p；

p次幂可积函数空间(Lp[a,b],d)．

1.1.2 度量空间中的极限

极限理论是数学分析的基础, 数学分析主要研究微分和积分, 而极限又是微积分学大厦的基石，在数学分析中, 利用极限的思想方法给出连续函数、导数、定积分、级数的敛散性、多元函数的偏导数, 广义积分的敛散性、重积分和曲线积分与曲面积分等概念，可见极限思想贯穿于整个数学分析课程，它也是高等数学必不可少的一种重要思想．同样地，在度量空间中也可定义极限，而且分析中的数列极限可看成下列度量空间中点列极限的特例．

定义1.1.2 设(X,d)是度量空间，xX,{xn}是

n

第一章度量空间

X中点列，若limd(xn,x)0，则称点列{xn}收敛于x，称x为点列{xn}的极限． 记作

d

limxnx，或xnx(n)或xnx(n)．

n

{xn}收敛于x用“N”语言描述是: 0,NN

其发散．□，当

nN时，恒有d(xn,x)成立． 若点列{xn}不收敛，则称

例1.1.7设

X是实数集，数列xn(n1,2,)．若在X上定义欧氏距离

n

d(x,y)|xy|(x,yX),显然，数列{xn}在度量空间(X,d)中收敛于0．若在X上定义离散距离

0,xy,d0(x,y)(x,yX),1,xy

则数列{xn}在度量空间(X,d0)中是发散的．

因为对任意给定的x0X，只要

11

x0，就有d0,x1，所以无论n多么大，有 nn

1

limd0,x010, n

n

可见数列{xn}不收敛于

x0．虽然(X,du)与(X,d0)有共同的基本集X，但由于定义的距离的不同，它们是两个不同的度量空间，可见同一

点列{xn}在一个度量空间中收敛，在另一度量空间中却发散．□

定义1.1.3设(X,d)为度量空间，若

AX，若将距离限制在AA上，显然A也是一个度量空间，称作X的子空间．

d(x,A)infd(x,y)(1.7)

yA

xX,AX，则点

x到A的距离定义为：

集合A的直径定义为：

diaAsupd(x,y)(1.8)

x,yA

若diaA有限，则称A为有界集；若diaA，则称A为无界集．□

那么d(x0,A)和diaA分别是多少？显然(1)当A是单点集时，有d(x0,A)1x0A，AR，在离散度量空间(R,d0)中点及diaA

0；(2)当A不是单点集时，有d(x0,A)1及diaA1．

定理1.1.1 极限的性质 设(X,d)是度量空间，（1）若点列{xn}收敛，则其极限唯一；（2）若点列

{xn}是X

中的一个点列．

xnx0(n)，则{xn}的任何子列xnkx0(k)；

（3）若收敛点列{xn}看作是证明（1）设

X的子集，则它是有界的．

xnx(n)且xny(n)，由定义知：0,N，当n时，有

d(xn,x),d(xn,y)，22

故当



n时，我们有

d(x,y)d(xn,x)d(xn,y)

2



2



．

1.1度量空间的定义与极限

由

的任意性知，d(x,y)0，从而xy．

（2）设

xnx(n)，{xnk}是{xn}的子列．,xn，{xn}： x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,{xnk}：xn1，xn2，xn3，xnk,，当,由定义，0,N

n时，有d(xn,x)，由于

k

时，nkk，故

d(xnk,x)，即

xnkx(k)．

（3）设

xnx0(n)，由定义知：对

01，N，当

n

时，d(xn,x0)01，于是

．取

Mmaxd{1x(0x,)d,2x(0x,),d,x0(x，,则),1n}N1

．即{xn}作为点集有界．□

d(xn,x0)M

n,mN，d(xn,xm)d(xn,x0)d(xm,x0)2M

例 1.1.8设

|f(t)g(t)|)中的点列，那么 fn(x)是连续函数空间C[a,b](d(f,g)max

t[a,b]

fn(x)f(x)(函数列一致收敛)当且仅当fn(x)f(x)(度量空间中的点列收敛)．

证明

fn(x)f(x)(n)等价于0,N，当n时，有d(fn(x),f(x))

f(x))，等价于d(fn,．

其中d(fn(x),f)max|fn(x)f(x)|．进一步等价于

x[a,b]

x[a,b]，有|fn(x)f(x)|

于是

．

fn(x)f(x)(n)

等价于

0,N，当

n

时，x[a,b]，有|fn(x)f(x)|，即

fn(x)f(x)．□

例1.1.9 设d(x,y)是

X上的一个距离，则d1(x,y)

d(x,y)

也是X上的距离．

1d(x,y)

d(x,y)是X

上的距离，所以

证明显然非负性和对称性成立，下面仅证三角不等式． 由于

x,y,zX，有

d(x,y)d(x,z)

d(z,．y)又知函数f(t)

t1

(f'(t)0)为单调递增函数，于是

1t(1t)

d1(x,y)

d(x,y)d(x,z)d(z,y)

(f(t)单调递增)

1d(x,y)1d(x,z)d(z,y)

d(x,z)d(z,y)



1d(x,z)d(z,y)1d(x,z)d(z,y)

因此d1(x,d(x,z)d(z,y)

d1(x,z)d1(z,y)

1d(x,z)1d(z,y)

y)是X

上的距离． □

第二篇：极限操作定义

极限操作定义：在对手技能释放的瞬间 用自己的技能或者道具化解对手技能。

妙E秒羊秒吹秒C的极限操作的可能性分析：以张飞为例子，若阴影地飞出来的张飞的T妙吹妙羊的可能性几乎为零。飞飞到你面前完成T的时间只需要0.1秒钟(鸟房张飞的飞at除外)当张飞飞到你面前，你才开始反应然后左手手按到风或者羊的技能键，右手操作鼠标点到张飞身上，完成整个过程需要受过反应训练的人也至少需要0.25妙的时间。那么极限秒吹秒羊妙E是不可能的。那么游戏中经常出现的这个极限操作的假象是怎么做到的呢？ 关键原因就是距离。张飞的飞 和各种限制技能都是有距离的限制，当CR 或者41保持与张飞 飞T的极限距离外，不停按技能又不停的S那么 这个时期张飞飞过来刚好在自己使用技能的距离内，那么妙限制飞的假象出现了。但是这绝不是极限操作，而是有意识的反复操作达到的效果。郭嘉的极限C张飞的情况就有两种，一种是郭嘉释放C技能的时候 张飞自己刚好飞到C的方向上，T还没放出来就被C住，这种情况发生在上路郭嘉妙关的时候特别常见，这个纯属运气，与极限操作扯不上半点关系。还有一种情况与上所诉妙E妙吹情况类似，但是这个距离就比妙E妙吹时候需要的距离精确的多，当飞在郭嘉点人C的极限距离外起飞，那么绝对被秒C，一旦张飞进入这个极限距离内那么张飞没有飞起来之前被C或者张飞飞起来躲掉了郭嘉C.第二种情况极其少见，因为成功率取决于飞的位置和郭嘉的想法，大多数郭嘉不会为了妙C张飞而去冒险释放这个团战终极技能，张飞飞到郭嘉面前再C这个是极限操作但是需要的时间如果地板C需要0.15妙 点人C也需要0.25妙，理论上也是不可以的。

那么哪些操作的的确确是极限操作了？玄武躲技能，飞躲飞T，妙T这绝对是极限操作，玄武躲技能这个操作一般选手都有这个意识而且成功率不说百分百，也有百分之八十。因为这些个躲限制技能的技能是没有距离限制(飞躲飞T除外)，只能在对方释放技能前使用自身技能或者道具才能出现极限“妙X”的画面。这些操作可行性分析：玄武躲技能，左手放在技能键上，当出现非瞬发限制技能(极需要释放时间的技能点飞T41 E 郭嘉C)这些技能的释放时间大于或者等于0.1妙，而一般人开启玄武的反应时间小于0.1S，所以我们经常看见玄武躲技能的操作，因为常见，很多人认为玄武躲技能不算极限操作，但是却是理论上的极限操作。但是玄武是无法躲瞬发限制技能，这个问题我在以前的问题中讨论过的，瞬发限制技能 入风吹 羊变 和CR的E 只要这些技能释放出去，对手就必须受的。而飞鞋躲飞T这个和玄武躲技能的道理一样，但比玄武躲飞T多一些预判断时间，所以玄武躲技能可以在没有视野的情况完成。但是飞躲阴影飞T却很难，因为自己起飞躲飞T的反应时间大于0.1S..妙T更难，完全是自己判断+运气 这个不多复述了。

总结：妙羊妙吹妙E不是极限操作 更多的是需要操作者的意识，玄武躲技能，飞鞋躲飞T妙T是真三玩家的操作素质和水平的体现。不要刻意追求极限操作，加强自己的意识，注意队友的配合 这才是真三的王道。

第三篇：极限状态法定义

1、极限状态设计法

limit state design method

当以整个结构或结构的一部分超过某一特定状态就不能满足设计规定的某一功能要求，则此特定状态称为该功能的极限状态，按此状态进行设计的方法称极限状态设计法。它是针对破坏强度设计法的缺点而改进的工程结构设计法。分为半概率极限状态设计法和概率极限状态设计法。

半概率极限状态设计法 将工程结构的极限状态分为承载能力极限状态、变形极限状态和裂缝极限状态三类（也可将后两者归并为一类），并以荷载系数、材料强度系数和工作条件系数代替单一的安全系数。对荷载或荷载效应和材料强度的标准值分别以数理统计方法取值，但不考虑荷载效应和材料抗力的联合概率分布和结构的失效概率。

概率极限状态设计法 将工程结构的极限状态分为承载能力极限状态和正常使用极限状态两大类。按照各种结构的特点和使用要求，给出极限状态方程和具体的限值，作为结构设计的依据。用结构的失效概率或可靠指标度量结构可靠度，在结构极限状态方程和结构可靠度之间以概率理论建立关系。这种设计方法即为基于概率的极限状态设计法，简称为概率极限状态设计法。其设计式是用荷载或荷载效应、材料性能和几何参数的标准值附以各种分项系数，再加上结构重要性系数来表达。对承载能力极限状态采用荷载效应的基本组合和偶然组合进行设计，对正常使用极限状态按荷载的短期效应组合和长期效应组合进行设计。

2、许应力设计法

allowable stress design method

以结构构件的计算应力σ不大于有关规范所给定的材料容许应力[σ]的原则来进行设计的方法。一般的设计表达式为

σ≤[σ]

结构构件的计算应力σ按荷载标准值以线性弹性理论计算；容许应力[σ]由规定的材料弹性极限（或极限强度、流限）除以大于1的单一安全系数而得。

容许应力设计法以线性弹性理论为基础，以构件危险截面的某一点或某一局部的计算应力小于或等于材料的容许应力为准则。在应力分布不均匀的情况下，如受弯构件、受扭构件或静不定结构，用这种设计方法比较保守。

容许应力设计应用简便，是工程结构中的一种传统设计方法，目前在公路、铁路工程设计中仍在应用。它的主要缺点是由于单一安全系数是一个笼统的经验系数，因之给定的容许应力不能保证各种结构具有比较一致的安全水平，也未考虑荷载增大的不同比率或具有异号荷载效应情况对结构安全的影响。

我国公路使用极限状态设计法，铁路仍使用容许应力设计法，但公路中使用的分项系数并不是完全利用概率理论计算可靠度得来的，而是在容许应力基础上，通过经验得来的，所以有披着极限外衣的容许应力之嫌。

第四篇：极限定义的总结

极限定义的总结

极限主要包括两个方面，即自变量的变化趋势和函数的变化趋势。我们就这两个变化趋势来总结极限的定义：

自变量变化趋势limf(x)函数的变化趋势

自变量的变化趋势主要有六种：

x,x,x,xx0,xx0,xx0

函数的变化趋势主要有四种：

f(x)A,f(x),f(x),f(x) 自变量的描述格式如下：

X0,当|x|X时；（x）

X0,当xX时；（x）

X0,当x-X时；（x）

0,当0|x-x0|时；（xx0）

0,0, 当0x-x0时；（xx0）当0|x-x0|时；（xx0）

函数的描述格式如下：

0, ,

0, ,

0, , 恒时：|f(x)A|（f(x)A）恒时：|f(x)|M（f(x)）恒时：f(x)M（f(x)）

恒时：f(x)M（f(x)）0, ,

那么函数极限的定义可以是这C61C4124种中的任意一种。当然还有一种最特殊的函数极限，即数列的极限。它是一种自

变量的变化不连续的特殊情形。

第五篇：数列极限的定义

第十六教时

教材：数列极限的定义

目的：要求学生首先从实例（感性）去认识数列极限的含义，体验什么叫无限地“趋

近”，然后初步学会用N语言来说明数列的极限，从而使学生在学习数学中的“有限”到“无限”来一个飞跃。过程：

一、实例：1当n无限增大时，圆的内接正n边形周长无限趋近于圆周长

2在双曲线xy1中，当x时曲线与x轴的距离无限趋近于0

二、提出课题：数列的极限考察下面的极限

1 数列1：

110,111

102,103,,10

n,①“项”随n的增大而减少②但都大于0

③当n无限增大时，相应的项1

n可以“无限趋近于”常数0

2 数列2：123n

2,3,4,,n1,

①“项”随n的增大而增大②但都小于1

③当n无限增大时，相应的项n

n1可以“无限趋近于”常数1

3 数列3：1,11(1)n

2,3,,n,①“项”的正负交错地排列，并且随n的增大其绝对值减小

②当n无限增大时，相应的项(1)n

n

可以“无限趋近于”常数

引导观察并小结，最后抽象出定义：

一般地，当项数n无限增大时，无穷数列an的项an无限地趋近于某

个数a（即ana无限地接近于0），那么就说数列an以a为极限，或者说a是数列an的极限。（由于要“无限趋近于”，所以只有无穷数列才有极限）

数列1的极限为0，数列2的极限为1，数列3的极限为0

三、例一（课本上例一）略

注意：首先考察数列是递增、递减还是摆动数列；再看这个数列当n无限

增大时是否可以“无限趋近于”某一个数。

练习：（共四个小题，见课本）

四、有些数列为必存在极限，例如：an(1)n

或ann都没有极限。例二下列数列中哪些有极限？哪些没有？如果有，极限是几？

1．a1(1)n1(1)n

n22．an2

3．anan(aR)

n

4．a1)n135

n(n5．an5 3

解：1．an：0,1,0,1,0,1,„„不存在极限

2．a2,0,22

n：3,0,5,0,极限为0

3．an：a,a2,a3,不存在极限

4．a,33

n：32,14,极限为0

5．an

5525n：先考察，， 无限趋近于0 3：

392781∴ 数列an的极限为5

五、关于“极限”的感性认识，只有无穷数列才有极限

六、作业：习题1

补充：写出下列数列的极限：1 0.9,0.99,0.999,„„2 a1

n

2n

3 



(1)n113456111n4 2,3,4,5,5 an1242n