§1-1 函数极限暂时的定义

第一篇：§1-1 函数极限暂时的定义

第1章函数的极限和连续函数

近代微积分是建立在近代极限理论的基础上，可是近代极限理论对于刚步入大学的一年级大学生来说，是很难接受的。为了减少初学者学习微积分的难点，我们有意避开了近代极限理论，而用“无限接近”的说法，暂时定义了函数的极限。关于极限概念的这种“无限接近”说法，最早出现在法国数学家达朗贝尔(DAlembert，J.L.，1717-1783)的著作中。它的优点是直观明白，而缺点是简单粗糙，甚至连有关函数极限的简单结论，也无法用它来证明。幸好，这一章中那些应当用近代极限理论证明的结论也都是如此明白，读者凭借直觉也会相信它们都是正确的。关于极限概念的精确化，以及极限基本性质和连续函数主要性质的证明，那是微积分产生和发展了一百多年以后才逐步完成的。我们将在本书第二篇中讲述它。

§1-1函数极限暂时的定义

1.函数在某点的极限一个变量y能够无限制地接近某一个常量(数)C，就说“C是变量y的极限”。那么，“变量y能够无限制地接近C”是什么意思呢？它的的意思是说，“预先给出任何正数，不管它多么小，变量y在无限变化过程中，总有那么一个时刻，在这个时刻以后，能够使绝对值yC小于或不超过那个正数，即yC”。对于作为变量的函数yf(x)来说，设函数yf(x)在点c的近旁有定义。当自变量x无限制地接近c且又不等于c时，若函数值f(x)能够无限制地接近一个常数C，简记成limf(x)C 或 f(x)C(xc)xc

则称“常数C为函数f(x)在点c的极限”(图1-1)。

类似地，设函数yf(x)在点c的左旁有定义。当自变量x从点c左边无限制地接近c且又不等于c时，若函数值f(x)能够无限制地接近常数A(图1-2)，简记成limf(x)A xc

则称“常数A为函数f(x)在点c的左极限”。同理，设函数yf(x)在点c的右旁有定义。当自变量x从点c右边无限制地接近c且又不等于c时，若函数值f(x)能够无限制地接近常数B(图1-2)，简记成xclimf(x)B

则称“常数B为函数f(x)在点c的右极限”。

§1-1函数极限暂时的定义

3函数的左极限和右极限统称为函数的单侧极限。从图1-1和图1-2上看出，若函数f(x)在点c的两边近旁都有定义，则

limf(x)C的充分必要条件是limf(x)limf(x)C

xc

xcxc

例1证明：lim

sinx



1x0x

π

证如图1-3中的单位圆，当0x时，则有

sinxxtanx(见下注)

由此得

cosx

从而有

sinx

1 x

图1-3

xxsinx1

011cosx2sin22x20(x0)

2x22



可见，当x0时，函数值

sinxsinx

1；而左极限为 无限制地接近1，即得右极限lim

x0xx

sinxsin(x)sinx

limlim1 x0x0xxx

x0

lim

(sinx是奇函数)(用x替换x)

因此有 lim

sinx

。1（因为左右极限相等）

x0x

和EBED是因为点到直线的距离垂线最短；CBCEEB是因为右端是左端弧【注】ABCB

CEEBCEEDCD，即sinxxtanx。长的过剩近似值。因此，ABCB

【问与答】

问：圆弧长度是怎么定义的？

答：首先说一下实数基本性质之一，即“实数连续性质”。在§0-2中，我们曾形象地把它说成“实数能够一个挨一个地填满整个数轴，而不会留下一个空隙”，而在近代数学中是把它说成“有上界的（非空）实数集合必有最小上界”，或者“有下界的（非空）实数集合必有最大下界”（出现在§5-3中）。因为圆弧所有可能外切折线长度组成的集合有下界,所以它有最大下界。我们就把这个最大下界定义为圆弧的长度。

2.函数的连续点和间断点特别，若函数f(x)在含点c的某个区间内有定义，且满足条件limf(x)f(c)，则称点c为函数f(x)的连续点图1-4)；并称函数f(x)在点c是连续xc的。y

图1-

5令xxc(称为自变量x的增量)，其中是大写希腊字母delta（读作“得儿塔”），而把yf(cx)f(c)（图1-5）称为函数yf(x)在点c(相应于x)的增量。因此，limf(x)f(c)limf(cx)f(c)limy0

xc

x0

x0

这就是说，函数yf(x)在点c连续，说明自变量变化很小时，函数值的变化也很小。它表示自然界中变量连续变化的特征(不是跳跃式变化)。“连续”一词当初就来源于此。请读者特别注意，limf(x)C与limf(x)f(c)的明显区别是：前者不考虑函数f(x)

xc

xc

在点c是否定义有函数值f(c)；后者中函数f(x)不仅在点c定义有函数值f(c)，而且必须满足条件limf(x)f(c)。在函数极限limf(x)C的定义中，规定xc(xc)是想让极

xc

xc

限概念的“外延”（逻辑学中的术语）更加宽广，而有limf(x)f(c)仅是一种特殊情形。

xc

若函数f(x)在点c不能满足条件limf(x)f(c)，则称点c间断点。函数

xc的间断点可能是下面的情形之一：

可除间断点称点c为函数f(x)的可除间断点，若有极限limf(x)，且或者函数f(x)

xc

在点c没有定义函数值[但在点c近旁定义有函数值f(x)]，例如函数

sinx

有可除间断点0(图1-6)

yx或者函数f(x)在点c定义有函数值f(c)但limf(x)f(c)，例如函数

xc

x2,x2f(x)

1,x2

x2(x2)

x

2图1-6

有可除间断点2(图1-7)，因为limf(x)limx24f(2)1。

2图1-7

第一类间断点称点c为函数f(x)的第一类间断点，若在点c同时有左极限和右极限,f(x)limf(x)，例如符号函数sgnx(图1-8)，因为 但是lim

xc

xc

x0

limsgnx1limsgnx1

x0

所以点0是符号函数sgnx的第一类间断点。

§1-1函数极限暂时的定义

【注】有的教科书中把可除间断点也称为第一类间断点。

第二类间断点函数的其他间断点(即既不是可除间断点，又不是第一类间断点)，都称为第二类间断点。例如，图1-9和图1-10中点0都是第二类间断点(前者为无穷间断点，后者为摆动间断点)。函数在第二类间断点c处，f(x)和右极限limf(x)左极限lim

xc

xc

中，至少有一个不存在。

图1-10

图1-9

研究函数的间断点及其分类，目的是研究当函数有间断点时，它对函数的某些性质(譬如函数的可积性等)会造成多大的影响。

3.函数在无穷远的极限设函数yf(x)对于绝对值足够大的x有定义。当自变量x按绝对值无限制地变大时，若函数值f(x)能够无限制地接近一个常数C(图1-11)，简记成limf(x)C 或 f(x)C(x)

x

则称常数C为函数f(x)在无穷远处的极限或当x时的极限。

例如，极限lim

x

sinxsinx

0(见图1-6)。请你把它与极限lim1区别开来。

xxx0x

类似地，设函数yf(x)对于足够大的x有定义。当自变量x无限制地变大时，若函数值f(x)能够无限制地接近一个常数A(图1-12)，简记成limf(x)A

x

则称常数A为函数f(x)当x时的极限。同理(图1-13)，我们可以定义记号

limf(x)B

x

并称常数B为函数f(x)当x时的极限。

x

极限limf(x)A和limf(x)B也称为单侧极限，并且也有结论：

x

有极限limf(x)C

x

 limf(x)limf(x)C

(充分必要)

xx

请读者注意，其中的“x”、“x”、“x”都是记号，依次读作“x趋．．．．．向无穷大”、“x趋向正无穷大”、“x趋向负无穷大”。再请读者注意，它们只有同函数的变化联系在一起时才有意义，而单独谈论它们是没有意义的！

例2函数

x

1

y1(x1或x0)x

1

属于幂指函数(图1-14)。当x或x时，函数y1的极限都是e，即

x1

lim1e(其中e是无理数，近似等于2.71828)。证明它属于高等微积分，你暂且记xx

住它就可以了。

x

图1-14

x

x

1

把数列极限看作函数极限的特殊情形时, 则也有lim1e。实际上，在近代极

nn11

限论中，先是证明数列极限lim1e，而后又证明了函数极限lim1e【证

xnxn

明在本书第二篇（§5-5）中】。

n

x

n

§1-1函数极限暂时的定义 7

1

根据极限lim1e，则有

xx

x

lim1x

x0

1

z1xx

1

lim1e zz

z

【问与答】

问：函数（或数列）在什么情形下才有极限？

答：这是近代极限论中的极限存在问题。讨论这个问题也会涉及到“实数连续性质”。在本书上册第二篇中，将会直接或间接地根据它，证明极限存在的一些判别法，其中之一就是下一节中讲的单调有界原理。

第二篇：函数极限的定义证明

习题13

1.根据函数极限的定义证明:

(1)lim(3x1)8;x3

(2)lim(5x2)12;x2

x244;(3)limx2x2

14x3

(4)lim2.x2x12

1证明(1)分析 |(3x1)8||3x9|3|x3|, 要使|(3x1)8| , 只须|x3|.3

1证明 因为 0, , 当0|x3|时, 有|(3x1)8| , 所以lim(3x1)8.x33

1(2)分析 |(5x2)12||5x10|5|x2|, 要使|(5x2)12| , 只须|x2|.5

1证明 因为 0, , 当0|x2|时, 有|(5x2)12| , 所以lim(5x2)12.x25

(3)分析

|x(2)|.x24x24x4x24(4)|x2||x(2)|, 要使(4), 只须x2x2x2

x24x24(4), 所以lim4.证明 因为 0, , 当0|x(2)|时, 有x2x2x2

(4)分析 14x31114x312, 只须|x()|.2|12x2|2|x()|, 要使2x12x1222

14x31114x3

2, 所以lim证明 因为 0, , 当0|x()|时, 有2.12x12x122x2.根据函数极限的定义证明:

(1)lim1x3

2x3

sinxx1;2(2)limxx0.证明(1)分析

|x|1

1x32x311x3x322x312|x|3, 要使1x32x311, 只须, 即322|x|2.证明 因为 0, X(2)分析

sinxx0

12, 当|x|X时, 有1x

1x32x311x31, 所以lim.x2x322

1x

, 即x

sinxx

|sinx|x

, 要使

sinx

证明 因为0, X

2, 当xX时, 有

xsinxx

0, 只须



.0, 所以lim

x

0.3.当x2时,yx24.问等于多少, 使当|x2|<时, |y4|<0.001？

解 由于x2, |x2|0, 不妨设|x2|1, 即1x3.要使|x24||x2||x2|5|x2|0.001, 只要

|x2|

0.001

0.0002, 取0.0002, 则当0|x2|时, 就有|x24|0.001.5

x21x

34.当x时, y

x21x23

1, 问X等于多少, 使当|x|>X时, |y1|<0.01?

解 要使1

4x23

0.01, 只|x|

3397, X.0.01

5.证明函数f(x)|x| 当x0时极限为零.x|x|

6.求f(x), (x)当x0时的左﹑右极限, 并说明它们在x0时的极限是否存在.xx

证明 因为

x

limf(x)limlim11,x0x0xx0x

limf(x)limlim11,x0x0xx0limf(x)limf(x),

x0

x0

所以极限limf(x)存在.x0

因为

lim(x)lim

x0

x0

|x|x

lim1,x0xx|x|xlim1,xx0x

lim(x)lim

x0

x0

lim(x)lim(x),

x0

x0

所以极限lim(x)不存在.x0

7.证明: 若x及x时, 函数f(x)的极限都存在且都等于A, 则limf(x)A.x

证明 因为limf(x)A, limf(x)A, 所以>0,x

x

X10, 使当xX1时, 有|f(x)A|;X20, 使当xX2时, 有|f(x)A|.取Xmax{X1, X2}, 则当|x|X时, 有|f(x)A| , 即limf(x)A.x

8.根据极限的定义证明: 函数f(x)当xx0 时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等.证明 先证明必要性.设f(x)A(xx0), 则>0, 0, 使当0<|xx0|< 时, 有

|f(x)A|<.因此当x0

|f(x)A|<.这说明f(x)当xx0时左右极限都存在并且都等于A.再证明充分性.设f(x00)f(x00)A, 则>0,1>0, 使当x010, 使当x0

| f(x)A|< ,即f(x)A(xx0).9.试给出x时函数极限的局部有界性的定理, 并加以证明.解 x时函数极限的局部有界性的定理 如果f(x)当x时的极限存在 则存在X0及M0 使当|x|X时 |f(x)|M

证明 设f(x)A(x) 则对于 1 X0 当|x|X时 有|f(x)A| 1 所以|f(x)||f(x)AA||f(x)A||A|1|A|

这就是说存在X0及M0 使当|x|X时 |f(x)|M 其中M1|A|

第三篇：利用函数极限定义证明11

习题2-2

1.利用函数极限定义证明:

(3).limxsinx01x0;

x|1，则当 0|x| 时, 有 证明: 对于任意给定的正数 0, 取 , 因为 |sin

x1x1xxsin|x|sin|x|，所以limxsinx00.2．利用无穷大量定义证明：

（1）lim1x

4x；

1x

4证明：对于任意给定的正数 G0, 取 M4G1, 则当 |x|M 时, 有 |

所以 lim1x

4.|G，x

5．证明：若limf(x)A，则lim|f(x)||A|.xx0xx0证明：对于任意给定的正数 0, 由于limf(x)A，存在0，使得当

xx0

0|xx0|时, 都有|f(x)A|，而

|f(x)A||f||A||fA|，即||f(x)||A||，所以lim|f(x)||A|.xx0

第四篇：关于二元函数极限定义的教学探讨

关于二元函数极限定义的教学探讨

【摘要】本文对二重极限的两种不同定义进行了比较，指出了二重极限与二次极限的异同，并通过具体的例子加深理解.【关键词】二重极限；二次极限；定义

二元函数的极限是在一元函数极限的基础上建立起来的，是一元函数极限概念的推广.因而二元函数的极限比一元函数极限更抽象，要求更高，从而更难理解.初学者很容易犯一些概念性的错误，因此加强对二元函数的极限概念的教学和理解显得尤为重要.1.二重极限的定义

现行教材中，对于二重极限有两种定义方法：

并且两种顺序的二次极限中的里层极限都存在，则两种顺序的二次极限都存在，且与二重极限的值相等.【参考文献】

[1]同济大学数学系.高等数学（第4版）[M].北京：高等教育出版社，1996.[2]同济大学数学系.高等数学（第6版）[M].北京：高等教育出版社，2007.[3]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京：高等教育出版社，2006.

第五篇：函数极限

习题

1.按定义证明下列极限:

(1)limx6x5=6;(2)lim(x2-6x+10)=2;x2x

x251;(4)lim(3)lim2xx1x2

(5)limcos x = cos x0 xx04x2=0;

2.根据定义2叙述limf(x)≠ A.xx0

3.设limf(x)= A.,证明limf(x0+h)= A.xx0h0

4.证明:若limf(x)= A,则lim| f(x)| = |A|.当且仅当A为何值时反之也成立? xx0xx0

5.证明定理3.1

6.讨论下列函数在x0→0 时的极限或左、右极限:(1)f(x)=x

x;(2)f(x)= [x]

2x;x0.(3)f(x)=0;x0.1x2,x0.

7.设 limf(x)= A,证明limf(xxx01)= A x

8.证明:对黎曼函数R(x)有limR(x)= 0 , x0∈[0,1](当x0=0或1时,考虑单侧极限).xx0

习题

1． 求下列极限：

x21（1）lim2（sinx－cosx－x）;(2)lim;x02x2x1x22

x21x113x;

lim(3)lim;(4)

x12x2x1x0x22x3

xn1(5)limm(n,m 为正整数)；（6）lim

x1xx41

（7）lim

x0

2x3x2

70；

a2xa3x68x5.（a>0）;(8)lim

xx5x190

2． 利用敛性求极限：(1)lim

x

xcosxxsinx

;(2)lim2

x0xx4

xx0

3． 设 limf(x)=A, limg(x)=B.证明：

xx0

（1）lim[f(x)±g(x)]=A±B;

xx0

（2）lim[f(x)g(x)]=AB;

xx0

（3）lim

xx0

f(x)A

=(当B≠0时)g(x)B

4． 设

a0xma1xm1am1xam

f(x)=,a0≠0,b0≠0,m≤n,nn1

b0xb1xbn1xbn

试求 limf(x)

x

5． 设f(x)>0, limf(x)=A.证明

xx0

xx0

lim

f(x)=A，其中n≥2为正整数.6.证明limax=1(0

x0

7.设limf(x)=A, limg(x)=B.xx0

xx0

(1)若在某∪(x0)内有f(x)< g(x)，问是否必有A < B ? 为什么？

（2）证明：若A>B,则在某∪(x0)内有f(x)> g(x).8.求下列极限（其中n皆为正整数）：(1)lim 

x0

x

x11

lim;(2);nnx0x1xx1x

xx2xnn

(3)lim;(4)lim

x0x0x1

x1

x

(5)lim

x

x(提示：参照例1)

x

x0

x0

x0

9．（1）证明：若limf(x3)存在，则limf(x)= lim f(x3)（2）若limf(x2)存在，试问是否成立limf(x)=limf(x2)?

x0

x0

x0

习题

1.叙述函数极限limf(x)的归结原则,并应用它证明limcos x不存在.n

n

2.设f 为定义在[a,+)上的增(减)函数.证明: lim= f(x)存在的充要条件是f在n

[a,+)上有上(下)界.3.(1)叙述极限limf(x)的柯西准则;

n

(2)根据柯西准则叙述limf(x)不存在的充要条件,并应用它证明limsin x不存在.n

n

4.设f在∪0(x0)内有定义.证明:若对任何数列{xn}∪0(x0)且limxn=x0,极限limf(xn)都

n

n

存在,则所有这极限都相等.提示: 参见定理3.11充分性的证明.5设f为∪0(x0)上的递减函数.证明:f(x0－0)和f(x0+0)都存在,且f(x0－0)=supf(x),f(x0+0)=

0xu

x0

0xun(x0)

inff(x)

6.设 D(x)为狄利克雷函数,x0∈R证明limD(x)不存在.xx0

7.证明:若f为周期函数,且limf(x)=0,则f(x)=0

x

8.证明定理3.9

习题

1.求下列极限

sin2xsinx3

(1)lim;(2)lim

x0x0sinx2x

(3)lim

x

cosxx



tanxsinxarctanx

lim(5)lim;(6);3x0x0xx

sin2xsin2a1

(7)limxsin;(8)lim;

xxaxxa

;(4)lim

x0

tanx

;x

cosx2

(9)lim;(10)lim

x0x01cosxx11

sin4x

2.求下列极限

12x

(1)lim(1);(2)lim1axx(a为给定实数);

nx0x

x

(3)lim1tanx

x0

cotx

;(4)lim

1x

;

x01x

(5)lim（x

3x22x1);(6)lim(1)x(,为给定实数)

n3x1x

3.证明:limlimcosxcoxcos4.利用归结原则计算下列极限:(1)limnsin

n



x0n





x2

xxcos1 2n22



n

;(2)

习题

1． 证明下列各式

(1)2x－x2=O(x)(x→0);(2)x sinxO(x)(x→0);

+

(3)x1o(1)(x→0);

(4)(1+x)n= 1+ nx+o(x)(x→0)(n 为正整数)(5)2x3 + x2=O(x3)(x→∞);

(6)o(g(x))±o(g(x))=o(g(x))(x→x0)

(7)o(g1(x))·0(g2(x))=o(g1(x)g2(x))(x→x0)2． 应用定理3.12求下列极限：

x21x(1)lim(2)lim x01cosxxxcosx

x3． 证明定理3.13

4． 求下列函数所表示曲线的渐近线：

13x34

(1)y =;(2)y = arctan x;(3)y = 2

xx2x

5． 试确定a的值，使下列函数与xa当x→0时为同阶无穷小量：

(1)sin2x－2sinx;(2)

－(1－x);1x

(3)tanxsinx;(4)

x24x3

6． 试确定a的值，使下列函数与xa当x→∞时为同阶无穷大量：

(1)

x2x5;(2)x+x2(2+sinx);

(3)(1+x)(1+x2)…(1+xn).7． 证明：若S为无上界数集，则存在一递增数列{xn}s，使得xn→+∞(n→∞)

8． 证明：若f为x→r时的无穷大量，而函数g在某U0(r)上满足g(x)≥K>0，则fg为x→r

时的无穷大量。

9． 设 f(x)~g(x)(x→x0)，证明：

f(x)－g(x)= o(f(x))或 f(x)－g(x)= o(g(x))

总 练习题

1． 求下列极限：

1

(x[x])lim([x]1)(1)lim;(2)

x3

x1

(3)lim（x

axbxaxbx)

xxa

(4)lim

x

(5)lim

xxa

x

(6)lim

xxxx

x0

(7)lim

nm,m,n 为正整数 nx11xm1x

2． 分别求出满足下述条件的常数a与b：

x21

(1)limaxb0 xx1

x(3)limx

(2)lim

xxx2

x1axb0

x1axb0

x2

3． 试分别举出符合下列要求的函数f：

(1)limf(x)f(2)；(2)limf(x)不存在。

4． 试给出函数f的例子，使f(x)>0恒成立，而在某一点x0处有limf(x)0。这同极限的xx0

局部保号性有矛盾吗？

5． 设limf(x)A，limg(u)B，在何种条件下能由此推出

xa

gA

limg(f(x))B?

xa

6． 设f(x)=x cos x。试作数列

(1){xn} 使得 xn→∞(n→∞), f(xn)→0(n→∞);(2){yn} 使得 yn→∞(n→∞), f(yn)→0(n→∞);(3){zn} 使得 zn→∞(n→∞), f(zn)→0(n→∞).7． 证明：若数列{an}满足下列条件之一，则{an}是无穷大数列：

(1)limanr1

n

(2)lim

an1

s1(an≠0,n=1,2,…)

nan

n2

n2

8． 利用上题（1）的结论求极限：

(1)lim1

n

11(2)lim1

nnn

9． 设liman，证明

n

(1)lim

(a1a2an) nn

n

(2)若an > 0(n=1,2,…),则lima1a2an 10.利用上题结果求极限：

(1)limn!(2)lim

n

In(n!)

nn

11.设f为U-0(x0)内的递增函数。证明：若存在数列{xn}U-0(x0)且xn→x0(n→∞)，使得

limf(xn)A，则有

n

f(x0－0)=

supf(x)A

0xU(x0)

12.设函数f在(0,+∞)上满足方程f(2x)=f(x)，且limf(x)A。证明：f(x)A，x∈(0,+∞)

x

13.设函数f在(0,+∞)此上满足方程f(x2)= f(x)，且

f(x)=limf(x)f(1)lim

x0

x

证明：f(x)f(1)，x∈(0,+∞)

14.设函数f定义在(a,+∞)上，f在每一个有限区间内(a,b)有界，并满足

x

lim(f(x1)f(1))A证明

x

lim

f(x)

A x