第二讲 极限的定义与基本性质

第一篇：第二讲 极限的定义与基本性质

第二讲 极限的定义与基本性质

一、数列极限及其性质

1．数列极限的定义：

xn收敛于a0，NN，s.t.xna,nN。

值得注意的是：1）N依赖于，但不唯一，而事先给定；

2）不等式xna中的可以用K来代替，其中K0不依赖于N,；

3）N可以通过xna得到，需要解不等式或作适当的放大。

例1 证明：a0，an

n!

n0。

分析：直接求解不等式

时 an!用放大法。记m[a]，则当nm0是不现实的。

n!12m(

从而 1)nm(1n)m(nm，1)

am(m1)，n!m1

注意到a[a]1m1，因此0

即可。

证明：0，不妨设1。记m[a]，取Nannm(m1)从而只要解1，m1m1aanmln(m1)ln，则当

ln(m1)lna

nN时有

am0(m1)，n!m1

因此由极限定义得annan

n!0。

□

2．用定义证明极限存在的方法

1）放大法：如前。

2）分步法与拟合法

例2 设xna，证明x1xn

na。

分析：若把xn中每项看成a，则

x1xn

n的值恰为a，因此

n

x1xn

n

a

1n

n

(x

i

1i

a)

n

i1

xia。

其余要借助假设xna来证明。给定0，N，当nN时xna，因此不能控制的项为x1a,x2a,,xNa。但好在这种项只有N项，从而可以调整n来控制它们。

证明：0，由xna，N1，当nN1时xna/2，从而

x1xn

nnN1

n

a1

N1

1n

n

(x

i1

i

a)

n

n

i1N1i1

xia

/2

n

i1

xia/2

n

xia。

又收敛数列有界，不妨设xnM,n，则

N1

n

i1

xia

N1n

Ma。

N1

12N1

(M|a|)，则当nN2时令N2n



i1

xia

。

最后，令Nmax{N1,N2}，则当nN时有

x1xn

n

a。因此由极

限定义知

x1xn

n

a。

□ 我们看到，这里我们先利用了极限的定义，然后再利用极限的性质（有界性）来完成证

明。

例3 证明：若pk0(k1,2,)且lim

pn

p1p2pn

n

0，limxna。

n

证明lim

p1xnp2xn1pnx1

p1p2pn

n

a。

分析：把xn中每项看成a，则极限号后面的式子的值恰为a，因此

p1xnp2xn1pnx1

p1p2pn

pk

a

p1xnap2xn1apnx1a

p1p2pn。

然后我们在试图用分步的方法来估计。记qk注意到qk

(k)

(n)



p1p2pn，k1,2,,n，0，因此若nk，则当k时n，从而

(n)k

0q因而qk再由qk

(n)



pk

p1p2pn

n

qk

(k)

0，0，k。0，由limxna，N1，当nN1时xna。

(n)

0，k，N2，当nkN2时0qk

p1xnp2xn1pnx1

p1p2pnq

(n)

k

N

2(n)

。于是

n

a

q

k1

(n)k

xnk1a

n

nN1





k1

xnk1a



knN11

q

(n)k

xnk1a



kN21

qk

(n)

xnk1a

我们看到，只有中间的项得不到控制。为此我们设法使得中间项不存在，即要求

N2nN11。为此，只需要nN1N21即可。因此我们取NN1N21。

Ex1: 请完成上面的证明。

注意在上面的例题中，我们都利用xn的极限来拟合数列的项从而简化问题。这种方法称为“拟合法”，它经常与分步法同时应用。这个方法在很多类型的题目中都会用到，今后在出现相关例子时我们再作说明。

我们看到，如果在例3中取pk1，则得到例2。一个更一般的题目如下： 例4 设xna,ynb(n)，则lim

n

k

n

xn

k1

ynk1ablim

n

k

n

xn

k1

yk。

Ex2：证明例4。

n

例5 设x0时f(x)x。xn

n



i1

2i1fa，a0，证明xna。2naa。于是

证明：用x拟合f(x)，则xn

n



i1

2i1n

xna



i1n

2i12i1aa 22f

nn2i12i1

faa。22

nn





i1

由假设，0，0，当0x时有f(x)xx。取N则当nN时，对1in有0从而

n

2a

，

2i1n

a

2n

a，xna



i1

2i12i1faa 22

nn

n





i1

(2i1)an

a。

因此由极限的定义有xna。

□

例6 设ana，证明lim

aaCaCana。1n2nn02

n

提示：利用1

n

n

C

k0

k

n

以及lim

n

Cn2

n

k

0(k1,2,,n)。

二、极限的基本性质与应用

1．极限的性质

1）收敛数列（函数）的（局部）有界性

2）保号、保序性

2．极限的四则运算：条件—在极限存在且四则运算有意义。

例7若xna0，证明存在自然数N，当nN时证明：取

a2

a2

xn

a。

0，由xna，存在自然数N，当nN时有

a2

a2xn

32a。

xna

□

第二篇：极限操作定义

极限操作定义：在对手技能释放的瞬间 用自己的技能或者道具化解对手技能。

妙E秒羊秒吹秒C的极限操作的可能性分析：以张飞为例子，若阴影地飞出来的张飞的T妙吹妙羊的可能性几乎为零。飞飞到你面前完成T的时间只需要0.1秒钟(鸟房张飞的飞at除外)当张飞飞到你面前，你才开始反应然后左手手按到风或者羊的技能键，右手操作鼠标点到张飞身上，完成整个过程需要受过反应训练的人也至少需要0.25妙的时间。那么极限秒吹秒羊妙E是不可能的。那么游戏中经常出现的这个极限操作的假象是怎么做到的呢？ 关键原因就是距离。张飞的飞 和各种限制技能都是有距离的限制，当CR 或者41保持与张飞 飞T的极限距离外，不停按技能又不停的S那么 这个时期张飞飞过来刚好在自己使用技能的距离内，那么妙限制飞的假象出现了。但是这绝不是极限操作，而是有意识的反复操作达到的效果。郭嘉的极限C张飞的情况就有两种，一种是郭嘉释放C技能的时候 张飞自己刚好飞到C的方向上，T还没放出来就被C住，这种情况发生在上路郭嘉妙关的时候特别常见，这个纯属运气，与极限操作扯不上半点关系。还有一种情况与上所诉妙E妙吹情况类似，但是这个距离就比妙E妙吹时候需要的距离精确的多，当飞在郭嘉点人C的极限距离外起飞，那么绝对被秒C，一旦张飞进入这个极限距离内那么张飞没有飞起来之前被C或者张飞飞起来躲掉了郭嘉C.第二种情况极其少见，因为成功率取决于飞的位置和郭嘉的想法，大多数郭嘉不会为了妙C张飞而去冒险释放这个团战终极技能，张飞飞到郭嘉面前再C这个是极限操作但是需要的时间如果地板C需要0.15妙 点人C也需要0.25妙，理论上也是不可以的。

那么哪些操作的的确确是极限操作了？玄武躲技能，飞躲飞T，妙T这绝对是极限操作，玄武躲技能这个操作一般选手都有这个意识而且成功率不说百分百，也有百分之八十。因为这些个躲限制技能的技能是没有距离限制(飞躲飞T除外)，只能在对方释放技能前使用自身技能或者道具才能出现极限“妙X”的画面。这些操作可行性分析：玄武躲技能，左手放在技能键上，当出现非瞬发限制技能(极需要释放时间的技能点飞T41 E 郭嘉C)这些技能的释放时间大于或者等于0.1妙，而一般人开启玄武的反应时间小于0.1S，所以我们经常看见玄武躲技能的操作，因为常见，很多人认为玄武躲技能不算极限操作，但是却是理论上的极限操作。但是玄武是无法躲瞬发限制技能，这个问题我在以前的问题中讨论过的，瞬发限制技能 入风吹 羊变 和CR的E 只要这些技能释放出去，对手就必须受的。而飞鞋躲飞T这个和玄武躲技能的道理一样，但比玄武躲飞T多一些预判断时间，所以玄武躲技能可以在没有视野的情况完成。但是飞躲阴影飞T却很难，因为自己起飞躲飞T的反应时间大于0.1S..妙T更难，完全是自己判断+运气 这个不多复述了。

总结：妙羊妙吹妙E不是极限操作 更多的是需要操作者的意识，玄武躲技能，飞鞋躲飞T妙T是真三玩家的操作素质和水平的体现。不要刻意追求极限操作，加强自己的意识，注意队友的配合 这才是真三的王道。

第三篇：第4讲函数极限及性质2009

《数学分析I》第4讲教案

第4讲函数极限概念及其性质

讲授内容

一、x趋于时函数的极限

例如，对于函数f(x)

1x，当x无限增大时，函数值无限地接近于0；而对于函数g(x)=arctanx，则



2当x趋于+时函数值无限地接近于．

定义1设f为定义在[a,)上的函数，A为定数．若对任给的>0，存在正数M(a)，使得当x>M时有 |f(x)A|<

则称函数f当x趋于+时以A为极限，记作limf(x)A.x

定义1的几何意义如图3—1所示，对任给的>0，在坐标平面上平行

于x轴的两条直线)yA与yA，围成以直线yA为中心线、宽为2的带形区域；定义中的“当x>M时有|f(x)A|”表示：在直线xM的右方，曲线y=f(x)全部落在这个带形区域之内．如果正

数给得小一点，即当带形区域更窄一点，那么直线xM一般要往右平移；但无论带形区域如何窄，总存在这样的正数M，使得曲线yf(x)在直线xM的右边部分全部落在这更窄的带形区域内.limf(x)A或 f(x)A(x)；

x

limf(x)A或f(x)A(x).x

这两种函数极限的精确定义与定义1相仿，只须把定义1中的“xM”分别改为“xM或”xM"．不难证明：若f为定义在U()上的函数，则limf(x)Alimf(x)limf(x)A

x

x

x

例1 证明lim

1x

x

0

证：任给0，取

，则当：x时有



1x

0

1x



1

，所以lim

1x

x

0。

例2证明：（1）limarctanx

x,(2)limarctanx

x



.注：当x时arctanx不存在极限．

二、x趋于x0时函数的极限

定义2(函数极限的定义)设函数f在点x0的某个空心邻域U(x0;)内有定义，为定数．若

'

对任给的0存在正数()，使得当0xx0时有 f(x)，则称函数f当x趋于x0。

'

时以为极限，记作limf(x)或f(x)(xx0)

xx0

举例说明如何应用定义来验证这种类型的函数极限．特别讲清以下各例中的值是怎样确定的．

例3设f(x)

x4x

2，证明limf(x)4.x2

证：由于当x2时，f(x)4

x4x2

4x24x2，故对给定的0，只要取，则当0x2时有f(x)4，这就证明了limf(x)

4x2

例4证明：limsinxsinx0;limcosxcosx0

xx0

xx0

证：先建立一个不等式：当0x



时有sinxxtanx(1)

事实上，在如图32的单位圆内，当0x

时，显然有

SOCDS扇形OADSOAB即又当x



sinx

x

tanx，由此立得(1)式．

时有sinx1x，故对一切x0都有sinxx，当x0时，由sin(x)x得sinxx综上，我们得到不等式sinxx,xR，其中等号仅当x0时

xx0

xx0

成立．而sinxsinx02cos

sin

xx0．

对任给的0,只要取，则当0xx0时，就有sinxsinx0．

所以limsinxsinx0.可用类似方法证明limcosxcosx0

xx0

xx0

例证明lim

x12xx

1x1



3．x132x1

证：当x1时有

x12xx1





x12x1





若限制x于0x11（此时x0）则2x11，于是，对任给的0只要取min{3,1}，则当

x12xx1

0x1时，便有



x13

．

例6证明

xx0

limx



x0(x01)

证：由于x1,x01 因此xx



x0x1x

x



xx0xx0

x



2xx0x

于是，对任给的0（不妨设01）取 

x02

，则当0xx0时，就有1xx0．

关于函数极限的定义的几点说明：

（1）定义2中的正数，相当于数列极限定义中的，它依赖于，但也不是由所惟一确定．一



般来说，愈小，也相应地要小一些，而且把取得更小些也无妨．如在例3中可取或等等．

（2）定义中只要求函数f在x0的某一空心邻域内有定义，而一般不考虑f在点x0处的函数值是否有定义，或者取什么值．这是因为，对于函数极限我们所研究的是当x趋于x0过程中函数值的变化趋势．如在例3中，函数f在点x2是没有定义的，但当x2时f的函数值趋于一个定数．

（3）定义2中的不等式0xx0等价于xU

x0;,，而不等式

fx等价于

fxU;．

下面我们讨论单侧极限．

x2,x0

例如，函数 fx(I)

x,x0

当x0而趋于0时，应按fxx2来考察函数值的变化趋势；当x0而趋于0时，则应按fxx.定义3设函数f在Ux0;

'

或Ux

0

;

'

内有定义，为定数．若对任给的

0，存在正数



'

，使得当x

xx0,



x0xx0时有fx

则称数为函数f当x趋于x0(或x0)时的右(左)极限，记作



limfxlimfx或fxxx0fxxx0

xx0





xx0









右极限与左极限统称为单侧极限．f在点x0的右极限与左极限又分别记为fx00limfx与fx00limfx

xx0





xx0

按定义3容易验证函数(I)在x0处的左、右极限分别为f00limfxlimx0，f00lim

x0



x0



fxlimx



0

x0

x0

同样还可验证符号函数sgnx在x0处的左、右极限分别为limsgnxlim11,limsgnxlim1

1x0



x0



x0



x0



定理3.1limfxlimfxlimfx

xx0

xx0



xx0



三、函数极限的性质

定理3.2(唯一性)若极限limfx存在，则此极限是唯一的．

xx0

证：设,都是f当xx0时的极限，则对任给的0，分别存在正数1与2，使得： 当0xx01时有fx，(1)当0xx02时有fx，(2)取min1,2，则当0xx0时，(1)式与(2)式同时成立，故有(fx)fxfxfx2由的任意性得，这就证明了极限是唯一的.定理3.3（局部有限性）若limfx存在，则f在x0的某空心邻域U

xx0

x0内有界．

证：设limfx．取1，则存在0使得对一切xU

xx0

x0;有

x0;内有界．

fx1fx1，这就证明了f在U

定理3.4(局部保号性)若limfx0(或0)，则对任何正数r（或r)，存在xx0

U

x0，使得对一切xU0x0有 fx

r0（或fxr0）

证：设0，对任何r(0,)，取r，则存在0，使得对一切xUfxr，这就证得结论．对于0的情形可类似地证明．

x0;

注：在以后应用局部保号性时，常取r

A2

．

定理3.5(保不等式性)设limfx与都limgx都存在，且在某邻域U

xx0

xx0

x

;

'

内有fxgx则

xx0

limfxlimgx

xx0

证：设limfx=，limgx=，则对任给的0，分别存在正数1与2使得当0xx01

xx0

xx0

时有fx，当0xx02 时有gx，令min,1,2，则当0xx0时，有fxgx，'

从而2．由的任意性推出，即limfxlimgx成立．

xx0

xx0

第四篇：第2讲数列极限及其性质2009

《数学分析I》第2讲教案

第2讲数列极限概念及其性质

讲授内容

一、数列极限概念

数列 a1,a2,,an,,或简单地记为{an}，其中an，称为该数列的通项．

关于数列极限，先举二个我国古代有关数列的例子．（1）割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽.n

22园内接正n边形的面积An

Rsin

2n

sin

(n3,4,），当n时，AnR

2nn

R

2

（2）古代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其含义是：一根长为一尺的木棒，每天截下一半，这样的过程可以无限制地进行下去．第一天截下

12，第二天截下

n

2，„„，第n天截下

n，„„这样就得到一个数列

22,2,,1,．或n.n22

不难看出，数列{}的通项

n

随着n的无限增大而无限地接近于0．一般地说，对于数列{an}，若当n无

限增大时an能无限地接近某一个常数a，则称此数列为收敛数列，常数a称为它的极限．不具有这种特性的数列就不是收敛数列．下面我们给出收敛数列及其极限的精确定义．

定义1设{an}为数列，a为定数．若对任给的正数，总存在正整数N，使得当，n>N时有|ana|则称数列{an收敛于a，定数a称为数列{an}的极限，并记作limana，或ana(n).读作“当n

n

趋于无穷大时，an的极限等于a或an趋于a”．

若数列{an}没有极限，则称{an}为发散数列．下面举例说明如何根据N定义来验证数列极限．

二、根据N定义来验证数列极限

例2证明lim

1n



n

0，这里为正数

,故对任给的>0，只要取N=

1



1，则当nN时，便有 

证：由于 |

1n



0|

1n



1n





1N



即|

1n



0|.这就证明了lim

1n



n

0.例3证明lim

3n

n

n33n

3.分析由于|

n

33|

9n3



9n

(n3).因此，对任给的>o，只要

9n

，便有

|

3n

n3

3|,即当n

时，(2)式成立．故应取Nmax{3, 

999

证任给0,取Nmax{3,据分析，当nN时有|23|,式成立.于是本题得证.n3

n

例4证明limq=0，这里|q|<1．

n

3n

证若q=0，则结果是显然的．现设0<|q|<1．记h

1|q|

1，则h>0．我们有

|q0||q|

11nh

nn

1(1h)

n,并由(1h)1+nh得到|q|

|q0|，这就证明了limq

n

n

nn



1nh

.对任给的0,只要取N

h,则当nN时，得

n

0.注：本例还可利用对数函数ylgx的严格增性来证明，简述如下：对任给的>0(不妨设<1)，为使

n

n

只要nlg|q|lg即n|q0||q|，lglg|q|

（这里0|q|1).于是，只要取N

lglg|q|

即可。

例5证明lim

n

n

a1，其中a>0．

证：(ⅰ)当a1时，结论显然成立.(ⅱ)当a1时，记an1，则0.由 a(1)n1n1n(an1)得

an1

a1n.（1）

任给0，由(1)式可见，当n

a1



N时，就有an1，即|an1|.所以lim

n

a1.(ⅲ)当0a1时，,１

n

－１，则0.由

a

1

1n

(1)1n1n1得 aa1

1a

n



a

1n.a

a

1

1

n.1

（2）

任给0，由（2式可见，当n１

a1



N时，就有1an，即|an1|.所以lim

n

n

a1.关于数列极限的—N定义，应着重注意下面几点：

1．的任意性：尽管有其任意性，但一经给出，就暂时地被确定下来，以便依靠它来求出N，又既



2时任意小的正数，那么,3或等等同样也是任意小的正数，因此定义1中不等式|ana|中的可用

,3或等来代替．

2．N的相应性：一般说，N随的变小而变大，由此常把N写作N()，来强调N是依赖于的；但这并不意味着N是由所唯一确定的.3．从几何意义上看，“当n>N时有|aa|”意味着：所有下标大于N的项aｎ都落在邻域U(a;)内；而在U(a;)之外，数列{an}中的项至多只有N个(有限个)．

定义2若liman0，则称{an}为无穷小数列．由无穷小数列的定义，不难证明如下命题：

n

n

定理2.1数列{an}收敛于a的充要条件是：{ana}为无穷小数列．

三、收敛数列的性质

定理2.2(唯一性)若数列{an}收敛，则它只有一个极限．

定理2.3(有界性)若数列{an}收敛，则{an}为有界数列，即存在正数M，使得对一切正整数有|an|M.证：设limana取1，存在正数N，对一切n>N有

n

|ana|1即a1ana1.记Mmax{|a1|,|a2|,|aN|,|a1|,|a1|},则对一切正整数n都有anM．注：有界性只是数列收敛的必要条件，而非充分条件．例如数列1定理2.4(保号性)若limana0

n



n

有界，但它并不收敛．

(a,0

(或<0)，则对任何a(0,a)(或a，存在正数N，使

得当nN时有ana(或ana)．

证：设a0．取aa(>0)，则存在正数N，使得当nN时有aana，即

anaa，这就证得结果．对于a0的情形，也可类似地证明．

注：在应用保号性时，经常取a

a2

.即有an

a2，或an

a2

定理2.5(保不等式性)设an与bn均为收敛数列．若存在正数N0，使得当nN0时，有anbn，则limanlimbn.n

n

请学生思考：如果把定理2.5中的条件anbn换成严格不等式anbn，那么能否把结论换成limanlimbn?，并给出理由.n

n

例1设an0n1,2,．证明：若limana,则lim

n

n

an

a.证：由定理2.5可得a0.若a0，则由liman0，任给0，存在正数N，使得当nN时有an，从而an即

n

an0,故有lim

n

an0.anaan

a

ana

a

若a0，则有

an

a

.任给0，由limana，存在正数N，使得当

n

nN时有ana

a,从而

an

a．故得证．

第五篇：数列极限的定义

Xupeisen110高中数学

教材：数列极限的定义（N）

目的：要求学生掌握数列极限的N定义，并能用它来说明（证明）数列的极限。过程：

一、复习：数列极限的感性概念

二、数列极限的N定义



1n

3．小结：对于预先给定的任意小正数，都存在一个正整数N，使得只要nN 就

有an0<

4．抽象出定义：设an是一个无穷数列，a是一个常数，如果对于预先给定的任

意小的正数，总存在正整数N，使得只要正整数nN，就有ana<，那么就说数列an以a为极限（或a是数列an的极限）

Xupeisen110高中数学

记为：limana 读法：“”趋向于“n” n无限增大时

n

注意：①关于：不是常量，是任意给定的小正数

②由于的任意性，才体现了极限的本质

③关于N：N是相对的，是相对于确定的，我们只要证明其存在④ana：形象地说是“距离”，an可以比a大趋近于a，也可以比a小趋近于

例四1．lim

n

证明

证明2：设是任意给定的小正数

要使3n13 只要

2n1

12n1





n

54



取N51当nN时，3n13恒成立

422n12