浅谈用定积分的定义解决极限问题

第一篇：浅谈用定积分的定义解决极限问题

数学之美2007年11月总第3期

浅谈用定积分的定义解决极限问题

王涛

（周恩来政府管理学院 政治学与行政学 0612723）

摘要：数学是一门锻炼人的逻辑思维能力的科目。我们在学习数学的过程中经常遇到的是计算题和证明题，掌握一定的方法和技巧对于我们快速地解出题目是非常有帮助的。有些方法和技巧其实是对定义、概念深入理解所得到的。本文主要探讨用定积分的定义来解决求极限的问题。

关键词：定积分的定义；定积分；极限；曲边梯形的面积

在高等数学的学习中，微积分的学习占有很大的比重，地位也是很重要的。微积分分为微分学和积分学，而微分运算与积分运算之间是互为逆运算的关系。我们通常把微分运算看作正向运算，而把积分运算看作是微分的逆运算，在以往的实际学习上我们也可以看出这点：加减法，乘除法，平方开方，指数对数，三角函数反三角函数等等。而在高等数学的学习中我们首先接触的是微分，然后是积分；从掌握程度上，我们对于正向运算的掌握程度可能要好于逆向运算，不管是学习的速度还是做题的准确性，正向运算可能都要好于逆向运算。然而正逆运算是互通的，熟练掌握这两种运算对于增加解题方法，做到融会贯通都是很有帮助的。下面就来介绍用积分学中定积分的定义来解决微分学中极限的问题。

我们一般在求解极限问题时，经常用到的方法是：极限的定义、性质，几种重要极限、洛必达法则、泰勒公式等。但这些方法都局限于微分学中，没有超越微分学的范围，而我们知道微分与积分是互为逆运算的，那么运用积分学的方法来解决极限问题是否可行？答案是肯定的。用定积分的定义就是解决极限问题的又一方法。

要用定积分的定义来求解极限问题，我们首先要弄清定积分的定义。

定积分的定义：设函数y=f(x)定义在区间a,b上有界，在a,b上任意插入分点：a=x0＜x1＜＜xn1＜xn=b,令xi=xixi1，又任取i[xi1,xi], i=1,2,…n.作和式Inf(i)xi，令xm如果当xi0时，和式In的极限存在，且此极限与a,baxxi，i11inn的分法及i的取法无关，则称函数f(x)在a,b上是可积的，并称该极限值为f(x)在a,b上的定积分，记作

即baf(x)dx，nb

af(x)dxf(i)xi.x0i

180

其中函数f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，x称为积分变量，a称为积分下限，b称为积分上限，a,b称为积分区间。1

b

这个定义看上去很复杂，但只要抓住af(x)dxf(i)xi即可。我们在x0i1

n

后面所要介绍的用定积分的定义解决极限问题也是围绕着这个公式展开的。从这个式子我们也可以看出极限与定积分之间的关系是很紧密的。有了定积分的定义，我们用具体例题来看怎样用定积分解决极限问题。

23n

sinsinsinsin2nnnn 例1.求

lim

111nn1

nnn

23n

解： 注意到：

23n

sinsinsinsin123nnnnn [sinsinsinsin]

n1nnnn111n1

nnn23n

123n1nk[sinsinsinsin]=（*）sin

nnnnnnk1n

由定积分定义，对上面不等式的右端取极限，得到

1nk1

=sinxdx=2 limsin0nnnk1

而不等式的左端取极限，有

n1nk=2 1nk=

sinsinlimlim

nk1nnnn1nn1k1

由夹逼定理知

23n

sinsinsinsinnnnnlim

111nn1

nnn

23n





=

2

这道题就是典型的用到定积分的定义来求极限的值。当我们对（*）左右两边的式子取

n1nkb

极限时，我们发现 limsin可以表为形如af(x)dxf(i)xi的形式.因

nnnk1x0i1

为f(x)sinx为[0, 1]上可积函数，所以对于[0, 1]任意划分及i的任意取法极限

刘桂茹，孙永华编著：《高等学校经济数学系列教材 微积分》，南开大学出版社，2004年12月版，第200

页。2

2005年天津市大学数学竞赛（人文学科及医学等类），第八题。

limf(i)xi都存在且相等, 此时令xi=

n

||x||0i1

1i，即把[0, 1]n等分, i为分点，由nn

定积分的定义我们得到

21nk1

==, sinxdxsinlim

n0nnk1

然后再取右边的极限,由夹逼定理我们得到最后的结果



.这道题解题的关键就是用到定积分的定义,把求极限问题与定积分的定义联系起来，很容易的解出题目。

让我们再来看一个例子.例2.求lim

n

n1)(n2)（nn)。

n

解：∵lim

n

(n1)(n2)（nn)

n

=lim

n

(n1)(n2)（nn)

n

=lim(1n)(1

n

2n)（1)nn

于是，我们设y(1n)(1

2n)（1)nn

1ni

ln(1)取对数lny

ni1n

于是有limlny=lim

n

1ni

ln(1).（**）

nnni1

我们采用同例1同样的方法。此时令xi=

1i，i1.所以（**）可等于 nn

11ni

limln(1)=0ln(1x)dx=2ln21.nnni1

因此limlny2ln21，n

n

limye

2ln21

=e

ln

e

4.e

所以最后的结果是lim

这道题与例1

n

(n1)(n2)（nn)4=.en

b

有相似之处，整理式子，发现（**）形如a

f(x)dxf(i)xi

x0i1

n

由定积分的定义把求（**）转化为求定积分的值，得到结果。

由上面两个例子我们可以发现几个问题：

1.用定积分的定义来求极限的问题，给出的题目往往是有无穷多个式子连乘或连加构成，而且式子看上去很复杂但很有规律，经过一定的变换可以得到如下形式

ba

n

f(x)dxf(i)xi

x0i1

运用此式可以把极限问题转化为求定积分值的问题。

2.解题时不仅要用到定积分的定义，还需要与其他方法结合使用。第一题中用到了夹逼定理，第二题则用到了取对数的方法。这样就增加了解题的难度题目。在出用定积分解极限问题时，一般不会直接让你看出用定积分定义来做此题，而是需要运用其他的方法把式子经过一定的变换之后再用定积分来做，定积分的定义是解题的关键。此类题的目的就是要用定积分的定义来解极限问题，但之前要把式子整理到形如定积分的定义式之后才能用定积分来做。达到了一道题考察多种概念、方法的目的。

以上就是我们所讨论的用定积分的定义来解某一类的极限问题。它所反映的思想就是要把相通的、有关系的事物联系起来，扩展思路，最终达到解决问题的目的。学习数学的目的就是为了锻炼人的逻辑思维能力。在实际生活中，我们也要解放思想，开阔思路，善于逆向思维，发掘更多解决问题的方法，这样对于我们整个国家、社会的发展也是非常有帮助的。参考文献

[1] 刘桂茹，孙永华.高等学校经济数学系列教材 微积分.天津：南开大学出版社，2004年12月版

[2] 陈吉象 戴瑛 郑弃冰 吴忠华.文科数学基础.北京：高等教育出版社，2003年8月版 [3] 2005年天津市大学数学竞赛（人文学科及医学等类）

第二篇：利用定积分的定义求极限

利用定积分的定义求极限 方法：如果f(x)dx存在，则lim

ab

ban

n

n



k1

f(a

ban

k)



ba

f(x)dx

例15求极限

n

（1）lim

n



k1n

nn4k

nn4k

解：lim

n



k1

lim

1n

n

n



k1

114()

n

k





114x

dx

actan2x

|0

actan2

n

（2）lim

n



k1n

nx2kn

解：lim

n



k1nx2kn

lim

n

k

[x2()]nk1n

n



(x2t)dtx1

（3）lim

1n

n

n(n1)(n2)(2n1)

n1

解：因为

1n

k0

ln(1n)

n

k

n(n1)(n2)(2n1)e

由于lim

1n

n

n



k1

ln(1

kn)



ln(1x)dx2ln21ln

4e

故lim

1n

n

n

n(n1)(n2)(2n1)e

ln

4e



4e

第三篇：用极限定义证明极限

例

1、用数列极限定义证明：limn20 nn27

n2时n2(1)2n(2)2nn22(3)24(4)|20|222 nn7n7n7nnn1nn

2上面的系列式子要想成立，需要第一个等号和不等号（1）、（2）、（3）均成立方可。第一个等号成立的条件是n>2；不等号（1）成立的条件是2

n4，即n>2；不等号（4）成立的条件是n[]，故取N=max{7, 2

44[]}。这样当n>N时，有n>7，n[]。因为n>7,所以等号第一个等号、不等式（1）、（2）、（3）能成立；因为n[]，所以不等号（3）成立的条件是1

|不等式（4）能成立，因此当n>N时，上述系列不等式均成立，亦即当n>N时，在这个例题中，大量使用了把一个数字放大为n或n20|。n27n的方法，因此，对于具体的数，．．．．．．．

2可把它放大为（k为大于零的常数）的形式 ．．．．．．kn．．．．．．．．．．．．．．．

n40 nn2n

1n4n4n4时nn2n2(1)|20|22 nn1nn1nn1n2n

22不等号（1）成立的条件是n[],故取N=max{4, []},则当n>N时，上面的不等式都成例

2、用数列极限定义证明：lim

立。

注：对于一个由若干项组成的代数式，可放大或缩小为这个代数式的一部分。如： ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

n2n1n

2n2n1n

nnn22

n(n1)2n

1(1)n

例

3、已知an，证明数列an的极限是零。2(n1)

(1)n1(1)1(2)

证明：0(设01)，欲使|an0|||成立 22(n1)(n1)n1

11解得：n1，由于上述式子中的等式和不等号（1）对于任意的正整n1

1数n都是成立的，因此取N[1]，则当n>N时，不等号（2）成立，进而上述系列等式由不等式

和不等式均成立，所以当n>N时，|an0|。

在上面的证明中，设定01，而数列极限定义中的是任意的，为什么要这样设定？这样设定是否符合数列极限的定义？

在数列极限定义中，N是一个正整数，此题如若不设定01，则N[1]就有1



可能不是正整数，例如若＝2，则此时N＝－1，故为了符合数列极限的定义，先设定01，这样就能保证N是正整数了。

那么对于大于1的，是否能找到对应的N？能找到。按照上面已经证明的结论，当＝0.5时，有对应的N1，当n>N1时，|an0|＜0.5成立。因此，当n＞N1时，对于任意的大于1的，下列式子成立：

|an0|＜0.5＜1＜，亦即对于所有大于1的，我们都能找到与它相对应的N=N1。因此，在数列极限证明中，可限小。只要对于较小的能找到对应的N，则对于较大的．．．

就自然能找到对应的N。

第四篇：极限操作定义

极限操作定义：在对手技能释放的瞬间 用自己的技能或者道具化解对手技能。

妙E秒羊秒吹秒C的极限操作的可能性分析：以张飞为例子，若阴影地飞出来的张飞的T妙吹妙羊的可能性几乎为零。飞飞到你面前完成T的时间只需要0.1秒钟(鸟房张飞的飞at除外)当张飞飞到你面前，你才开始反应然后左手手按到风或者羊的技能键，右手操作鼠标点到张飞身上，完成整个过程需要受过反应训练的人也至少需要0.25妙的时间。那么极限秒吹秒羊妙E是不可能的。那么游戏中经常出现的这个极限操作的假象是怎么做到的呢？ 关键原因就是距离。张飞的飞 和各种限制技能都是有距离的限制，当CR 或者41保持与张飞 飞T的极限距离外，不停按技能又不停的S那么 这个时期张飞飞过来刚好在自己使用技能的距离内，那么妙限制飞的假象出现了。但是这绝不是极限操作，而是有意识的反复操作达到的效果。郭嘉的极限C张飞的情况就有两种，一种是郭嘉释放C技能的时候 张飞自己刚好飞到C的方向上，T还没放出来就被C住，这种情况发生在上路郭嘉妙关的时候特别常见，这个纯属运气，与极限操作扯不上半点关系。还有一种情况与上所诉妙E妙吹情况类似，但是这个距离就比妙E妙吹时候需要的距离精确的多，当飞在郭嘉点人C的极限距离外起飞，那么绝对被秒C，一旦张飞进入这个极限距离内那么张飞没有飞起来之前被C或者张飞飞起来躲掉了郭嘉C.第二种情况极其少见，因为成功率取决于飞的位置和郭嘉的想法，大多数郭嘉不会为了妙C张飞而去冒险释放这个团战终极技能，张飞飞到郭嘉面前再C这个是极限操作但是需要的时间如果地板C需要0.15妙 点人C也需要0.25妙，理论上也是不可以的。

那么哪些操作的的确确是极限操作了？玄武躲技能，飞躲飞T，妙T这绝对是极限操作，玄武躲技能这个操作一般选手都有这个意识而且成功率不说百分百，也有百分之八十。因为这些个躲限制技能的技能是没有距离限制(飞躲飞T除外)，只能在对方释放技能前使用自身技能或者道具才能出现极限“妙X”的画面。这些操作可行性分析：玄武躲技能，左手放在技能键上，当出现非瞬发限制技能(极需要释放时间的技能点飞T41 E 郭嘉C)这些技能的释放时间大于或者等于0.1妙，而一般人开启玄武的反应时间小于0.1S，所以我们经常看见玄武躲技能的操作，因为常见，很多人认为玄武躲技能不算极限操作，但是却是理论上的极限操作。但是玄武是无法躲瞬发限制技能，这个问题我在以前的问题中讨论过的，瞬发限制技能 入风吹 羊变 和CR的E 只要这些技能释放出去，对手就必须受的。而飞鞋躲飞T这个和玄武躲技能的道理一样，但比玄武躲飞T多一些预判断时间，所以玄武躲技能可以在没有视野的情况完成。但是飞躲阴影飞T却很难，因为自己起飞躲飞T的反应时间大于0.1S..妙T更难，完全是自己判断+运气 这个不多复述了。

总结：妙羊妙吹妙E不是极限操作 更多的是需要操作者的意识，玄武躲技能，飞鞋躲飞T妙T是真三玩家的操作素质和水平的体现。不要刻意追求极限操作，加强自己的意识，注意队友的配合 这才是真三的王道。

第五篇：用定义证明函数极限方法总结

144163369.doc

用定义证明函数极限方法总结:

用定义来证明函数极限式limf(x)c，方法与用定义证明数列极限式类似，只是细节xa

不同。

方法1：从不等式f(x)c中直接解出(或找出其充分条件)xah()，从而得h()。

方法2：将f(x)c放大成xa，解xa，得xah()，从而得

h()。

部分放大法：当f(x)c不易放大时，限定0xa1，得f(x)cxa，解xa，得：xah()，取min1,h()。

用定义来证明函数极限式limf(x)c，方法： x

方法1：从不等式f(x)c中直接解出(或找出其充分条件)xh()，从而得Ah()。

方法2：将f(x)c放大成xa，解xa，得xh()，从而得

Ah()。

部分放大法：当f(x)c不易放大时，限定xA1，得f(x)cxa，解xa，得：xh()，取AmaxA1,h()。

平行地，可以写出证明其它四种形式的极限的方法。

例1 证明：lim(2x3)7。x2

证明：0，要使：

(2x3)72x2，只要 2x2，即0x2

取2，

2，即可。

x212。例2 证明：lim2x12xx13

x1x212x12分析：因为，放大时，只有限制22xx132x1332x1

0x1，即0x2，才容易放大。

证明：0，限制0x1，即0x2，要使；

x1x1x1x1x212x12

，只要

32x2x132x1332x132x13

即0x3，取min(1,3)，即可。

例3

证明：（a1）。

xa

证明：0，限制0xa

1a1a

1，要使：，所以x

22





，只要

1a,，即可。，取min，即0xa

22



x3,x1

例4 设f(x)，证明:limf(x)1。

x1

2,x1

证明：当x1时，f(x)1x1x1xx1

限制0x1，则xx112，xx17。0，要使：

f(x)1x1x2x17x1，只要7x，即x1



7，取



min，当0x1时，有：

7

f(x)，limf(x)1

x1

说明：这里限制自变量x的变化范围0x1，必须按自变量x的变化趋势来设计，xa时，只能限制x在a点的某邻域内，不能随便限制！

错解：设x1，则xx13，要使：

f(x)1x1x2x13x1，只要0x1

，取min1,，3

当0x1时，有：f(x)1。limf(x)1。

x1

例5 证明:lim

1。

x12x1

2x11

证明：考察，2x12x1112x1 1

2x12x1

限制0x1

111，则2x112x11。0，要使： 422

2x1

4x1，只要4x，即x1，42x12x1

1

44

1，2x1

取min,，当0x时，有：lim

x1

1。

2x1

1，则4

说明：在以上放大f(x)A（即缩小2x1）的过程中，先限制0x1得：2x1

11。其实任取一个小于的正数1，先限制0x11，则22

0x1或0x1，则不2x1x1112m（如果是限制0

例6 证明:lim

能达到以上目的）。

x

2。

x24x7

证明：考察

7x271x，仅在x的邻域内无界，所以，限制2

44x74x74x7

171

0x2（此邻域不包含x点），则4x74x2114x2。

842

0，要使：

7x27x2x

只要14x2，即x2，214x2，144x74x714x2

取min,x1，当时，有：2，0x2

4x7814

x

2。

x24x7

x0

lim

x

例7 用定义证明极限式：lima1，（a1）

证明：0（不妨1），要使：

ax11ax1loga1xloga1（由对数函数

。于是，取minloga1, loga10，f(x)logax是单调增函数）

xx

当0x0时，有：a1。故lima1。证毕

x0

例8 设f(x)0，limf(x)

A，证明：lim

xx0

xx0



n2为正整数。

证明：（用定义证明）因为，f(x)0，由极限保不等式性知，A0；当A0时，0，由limf(x)A，知：0，当0xx0时，有：f(x)A



xx0





f(x)A

n1





n2

n2



n1



f(x)A

n1





n1，故：lim

xx0



im(f)x0当A0时：0，由l

xx，知：

0，当0xx0时，有：

f(x)

 0lim

xx0

0。证毕