求极限毕设

第一篇：求极限毕设

求极限的若干方法

数学与应用数学专业学生

李飞

指导教师

辛彩婷

摘要：本文首先介绍了数列极限的相关概念及其性质定理,如数列极限的定义、性质，Stolz定理等；其次是函数极限的相关概念及其性质定理，包括函数极限的定义、性质，洛必达法则，泰勒公式等；最后归纳和总结了求两类极限的若干方法，主要是利用两个重要极限、洛比达法则、泰勒公式、定积分等求极限的方法，并结合具体的例子，指出了在解题过程中常遇见的一些问题，以供学习者查阅借鉴。关键词：数列 函数 极限 导数

Some methods of the calculation of the limits Student majoring in mathematics and applied mathematics

Li Fei

Tutor

Xin Cai-ting Abstract:This paper first introduces the related concepts and theorems of the sequence limit, such as definitions and properties of the sequence limit, the Stolz theorem;second is the related concepts and theorems of the function limit, including the definition and the property of the functional limit, L’Hospital rule, Taylor formula;finally summarizes some methods of two kinds of limits, mostly using two important limits, L’Hospital rule, Taylor formula, definite integral,and so on, combining with the specific example, and pointing out some problems that we often met in the process of solving problems for learners to refer to the reference.Key word: Series；Function；Limit；Derivative

引言 极限概念是高等数学中最重要、最基本的概念之一，它是研究变量数学的有力工具,也是研究高等数学的重要理论基础，许多重要的概念如连续、导数、定积分、无穷级数的和及广义积分等都是用极限来定义的.极限问题是高等数学中的难点之一，围绕极限的中心问题有两个：一是证明极限存在，二是求极限的值.这两个问题有密切关系：若求出了极限的值，自然极限存在性也被证明.反之，证明了极限存在，也就为计算极限铺平了道路.掌握好求极限对学好高等数学是十分重要的，求极限的方法很多，但是每种方法都有其局限性，都不是万能的.对某个具体的求极限的问题，我们应该追求最简便的方法.在求极限的过程中，必然以相关的概念、定理及公式为依据，并借助一些重要的方法和技巧.本文作者归纳总结出了如下常见的求极限的方法.数列极限的概念

关于如何求极限，必须先了解极限的概念.这里，我们先介绍数列极限，然后介绍函数极限.两类极限有着相似的性质定理与类似的求极限的方法，彼此有着深刻的内在联系.下面给出数列极限的概念.1.1数列极限的定义

定义1.1.1 设{xn}是一给定数列，a是一个实常数.如果对于任意给定的0，可以找到正整数N，使得当nN时，成立xna，则称数列{xn}收敛于a（或称a是数列{xn}的极限），记为limxna，有时也记为xna（n）.n如果不存在实数a，使{xn}收敛于a，则称数列{xn}发散.1.2数列极限的性质 1.2.1极限的惟一性

定理1.2.1 收敛数列的极限必唯一.1.2.2数列的有界性

定理1.2.2 收敛数列必有界.1.2.3数列的保序性

{yn}均收敛，定理1.2.3 设数列{xn}，若limxna，limynb，且ab，nn[1][1][1]则存在正整数N，当nN时，成立xnyn.1.2.4极限的夹逼性

定理1.2.4 若三个数列{xn}，{yn}，{zn}从某项开始成立xnynzn，nN0，且limxnlimzna，则limyna.nnn[1]1.3 Stolz定理

定理1.3.1（且lim[1]型Stolz公式）设{yn}是严格单调增加的正无穷大量，nxnxn1xa（a可以为有限量，与），则limna.nyynyn1n 定理1.3.2（无穷小量，且lim 注意：0[1]型Stolz公式）设limxn0，{yn}是严格单调减少的正

n0xnxn1xa（a可以为有限量，与），则limna.nyynyn1nn型Stolz公式，其实只要求分母yn是严格单调增加的正无穷大量，0至于分子xn是否是无穷大量，无关要紧.而型Stolz公式，则要求分母yn与分

0子xn都是无穷小量.1.4收敛准则

定理1.4.1 单调有界数列必定收敛.定理1.4.2（Bolzano-Weierstrass定理）有界数列必有收敛子列.[1][1]2函数极限的概念

我们在第一部分讨论了数列的极限，现在来讨论另一类极限，即函数的极限.下面我们给出函数极限的严格定义.2.1函数极限的定义

定义2.1.1 设函数yf(x)在点x0的某个空心领域中有定义，即存在0，使UO(x0,)Df.如果存在实数A，对于任意给定的0，可以找到0，使得当0xx0时，成立f(x)A，则称A是函数f(x)在点x0的极限，记为limf(x)A，或f(x)A（xx0）.xx0如果不存在具有上述性质的实数A，则称函数f(x)在点x0的极限不存在.2.2函数的连续性

定义2.2.1 设函数f(x)在点x0的某个邻域中有定义，并且成立xx0limf(x)f(x0)，则称函数f(x)在点x0连续，或称x0是函数f(x)的连续点.定理2.2.1 一切初等函数在其定义域上连续.2.3函数极限的性质 2.3.1极限的惟一性

[1] 定理2.3.1设A与B都是函数f(x)在点x0的极限，则AB.[1]2.3.2局部保序性

[1] 定理2.3.2 若limf(x)A，limg(x)B，且AB，则存在0，当

xx0xx00xx0时，成立f(x)g(x).2.3.3夹逼性

定理2.3.3[1] 若存在r0，使得当0xx0r时，成立xx0xx0xx0g(x)f(x)h(x)，limg(x)limh(x)A，则limf(x)A.2.4函数极限与数列极限的关系 定理2.4.1（Heine定理）[1] limf(x)A的充分必要条件是：对于任意满

xx0足条件limxnx0，且xnx0（n1,2,3,）的数列{xn}，相应的函数值数列{f(xn)}n成立limf(xn)A.n 这一性质被经常用于证明某个函数极限不存在.定理2.4.2[1]

limf(x)存在的充分必要条件是：对于任意满足条件

xx0nlimxnx0，且xnx0（n1,2,3,）的数列{xn}，相应的函数值数列{f(xn)}收敛.2.5单侧极限与极限的关系

[2] 定理2.5.1 函数f(x)在x0极限存在的充分必要条件是f(x)在x0的左极限与右极限存在并且相等：limf(x)Alimf(x)limf(x)A.xx0xx0xx02.6 L’Hospital（洛必达）法则

02.6.1 型不定式极限

0 定理2.6.1 若函数f(x)和函数g(x)满足： ①limf(x)limg(x)0，xx0xx0[2]②在点x0的某空心邻域u0(x0)内两者都可导，且g'(x)0，③limf'(x)A（A可为实数，也可为或），g'(x)f(x)f'(x)limA.g(x)xx0g'(x)xx0则limxx02.6.2 型不定式极限 [2] 定理2.6.2 若函数f(x)和函数g(x)满足： ①limf(x)limg(x)，xx0xx0②在点x0的某空心邻域u0(x0)内两者都可导，且g'(x)0，③limxx0f'(x)A，（A可为实数，也可为或），g'(x)则limxx0f(x)f'(x)limA.xxg(x)g'(x)02.6.3 其它类型不定式极限

不定式极限还有0，1，00，0，等类型.这些类型经过简单的恒

0型和型的不定式极限.02.7 Taylor(泰勒)公式 等变换，都可以化为 定理2.7.1（带Peano余项的Taylor公式）设f(x)在x0处有n阶导数，则存在x0的一个领域，对于该领域中的任一点，成立

f''(x0)f(n)(x0)2f(x)f(x0)f'(x0)(xx0)(xx0)(xx0)nrn(x)，2!n!余项rn(x)满足rn(x)o((xx0)n).3 求数列极限与函数极限的方法及应用

3.1 求数列极限的方法及应用

3.1.1利用定义求数列极限

根据数列极限的定义来证明某一数列极限，其关键是对任意给定的0寻找自然数N，通过解不等式xna而得出的N.但在大多数情况下，这个不等式并不容易解.实际上，数列极限的定义并不要求取到最小的或最佳的自然数N，只需要其存在性即可，所以在证明中常常对xna适度的做一些放大处理，这是一种常用的技巧.1111(1)n例1 设xn，求limxn.nnn1n22n11111(1)n，解：由0nn1n22nn11则对于0，取N，当nN时，成立xn，则limxn0.nn3.1.2 n项和数列极限问题

n项和数列极限问题有两种处理方法：

(1)用定积分的定义把极限转化为定积分来计算；(2)利用两边夹法则求极限.例2 求极限lim(n111).n1n22n分析：把此极限式化为某个积分和的极限式，并转化为计算定积分，为此作如下变形：

Jlimn1.ini11n1在区间0,1上的一个积分和.（这1xn1不难看出，其中的和式是函数f(x)里所取的是等分分割，xiJ11ii1ii1.2.n., i），所以 ,（nnnndxln(1x)|1ln2.001x1当然，也可把J看作f(x) 在1,2上的定积分，同样有

x2dx3dxJ 1x2x1ln2.111111dxln2.解：原式＝limnn12n01x111nnn111例3 极限lim2nn22n2nn1.112n 分析：(1)该题与例2类似，但是不能凑成limfffnnnnn的形式，根据各项的特点可以考虑用两边夹法则求解；(2)两边夹法则需要将原式适当的放大和缩小，要求放大和缩小后的表达式极限相等.解: 因为 nnn21n121n221nn2nn12，又

limnnlim1，22nnnn1＝１.n111所以 lim2nn22n2nn13.1.3利用定积分求极限

利用定积分可求如下两种形式的极限：

11（1）limfnnn2fnn型 fn定理13 设

fx在0,1上可积，则有：11limfnnn例题见例3.2fnn1ffxdx.n012n（2）limnfff型

nnnn定理2 若fx在0,1上可积，则： [4]1limnfnnn2fnnfexpnlnfxdx.10例4.求limnn!.n解：原式limnn12n，令fxx，则有 nnnnlimn1n!12n1limnexp0lnxdxe.nnnnn3.1.4求和公式法（适合于等差数列、等比数列等类型）

关于无限项之和的极限，可以根据等差数列、等比数列以及其它数列的前n项求和公式，先求n项的和，然后再求出n趋于无穷时的极限.常用的求和公式见附录1.例5 求lim123n1.2nnn11n12nn12解：原式limlim.22nn2n2n3.1.5利用Stolz定理求数列极限

有些 “ 无穷多项”极限问题，当不能利用恒等变换转化为有限多项时，若借助Stolz定理，就可迎刃而解了.123252(2n1)2例6 求lim.nn3123252(2n1)2(2n1)24n24n14解：limlim3lim2.nnn(n1)3n3n3n1n333.1.6利用单调有界定理求数列极限 应用该定理求极限时，通常要先证明这个数列是单调有界的，从而确定极限的存在性，在讨论过程中有界性的确定往往是个难点，可借助单调递增数列的极限是它的最小上界、单调递减数列的极限是它的最大下界的性质确定数列的界.最后找出数列xn1与xn的递推公式，设数列的极限是A，在xn1与xn的递推公式两边取极限，得到关于A的方程，从而求出A.234n1例7求lim.n3572n1解：易得0an1，则{an}有界，234令an357anan1nn1k1n1，得递推公式 anan1，2n1k12k12n1n1naan1an1n10，则{an}单减.2n12n1n由单调有界数列必收敛，则liman存在，令limana，n1n1an1两边取极限，得aa，有a0，即liman0.n22n13.1.7利用压缩性条件证明极限存在再求极限 由an应用该条件求极限时，通常要先证明这个极限的存在性，然后找出数列xn1与xn的递推公式，设数列的极限是A，在xn1与xn的递推公式两边取极限，得到关于A的方程，从而求出A.例8 设x12，xn11，求limxn.n2xn解：由1x12，归纳法易得1xn2，xn1xn11xnxn1，2xn2xn1(2xn)(2xn1)由011，满足压缩性条件，则{xn}收敛，则limxn存在，n(2xn)(2xn1)11两边取极限，得a，有a1，即2xn2a令limxna，由xn1nnlimxn1.3.1.8利用海涅定理求数列极限

海涅定理的意义在于通过对函数极限与数列极限的相互转化来处理问题，从而，我们可以应用海涅定理将某些不易求的数列极限的问题转化为求易求的函数极限的问题.1例9 极限limnsin.nn 分析：这是1形式的数列极限，由于数列极限不能使用洛必达法则，若直接求有一定难度，但是若转化成函数极限，可通过3.2.7提供的方法结合洛必达法则求解.1解：考虑辅助极限limxsinxxx2n2limex1x2xsin1xlimey011siny12yye，161故由海涅定理的必要性得：limnsinnnn2e.163.2 求函数极限的方法及应用 3.2.1分子(母)有理化求极限

0 如果函数的极限出现、、-等未定式，一般采用约简分式，有理化

0分子或分母等方法消去未定式.例10 求 limx13x12.x1分析：本题因为分子、分母都含有“0”因子，给求极限带来麻烦，因此想办法消去“0”因子，采用分子有理化.(3x1)2223x33limlim解：原式.x1(x1)(3x12)x1(x1)(3x12)4注：本题也可以用洛比达法则.3.2.2利用函数的连续性(适用于求函数在连续点处的极限)(1)初等函数

如果yfx是初等函数，且点x0是 fx定义区间内的点，则函数yfx在点x0处连续，于是有limfxfx0.通常称这种求极限的方法为代入法.xx0exsinxx例11 求lim2.x3xlnx 分析：这是由几个基本初等函数构成的初等函数，是连续函数，因此直接带值.e3sin33解：原极限lim2.x33ln3（2）复合函数

若函数fx是复合函数，且lim0xa,fu在ua处连续，xx则lim0fxflim0xfa.xxxx1cosx例12.求lime2arcsinx的极限.x01cosx2 分析：函数e2arcsixn可看成是由fueu，u21cosx复合而成，且

2arcsinx2lim1cosx11u，在处连续，因此 ufuex02arcsinx244解：由于lim1cosx11u及函数在处连续，ufuex02arcsinx2441cosx2arcsinx2故 limex0=elim2x02arcsinx1cosx=e.说明：用此方法求极限有时常常会遇到，函数fx在x点没有意义,即函数fx在x点不连续,这时要视具体情况对fx进行适当的恒等变形，转化为连续

0函数,再利用函数的连续性求出极限,该方法常用于“”型的极限.在进行变形

0时常用到因式分解、分子或分母“有理化”的运算以及三角函数的有关公式,其目的就是消去分母中的零因子.3.2.3利用左右极限与极限关系

该方法适用于求分段函数在分段点处的极限或某函数在其间断点处的极限，以及用定义求极限等情形.函数在某点处的极限存在的充要条件是：当且仅当函数在某点处的左、右极限都存在且相等，则函数在该点处的极限值即为所求的左右极限的值.12ex,x0xx,0x1，求limf(x)及limf(x).例13 设f(x)x0x1xx2,x1x解：limf(x)lim(12e)1，limf(x)lim(x0x0x0x0xx)lim(x1)1x0x，由 limf(x)limf(x)，limf(x)1.x0x0x0又limf(x)limx1x1xx2limfxlimx1，limx10x1x1x1x由f10f10，limfx不存在.x13.2.4利用等价无穷小量代换求函数极限

o[2]定理 设函数f(x),g(x),h(x)在U(x0)内有定义，且有

f(x)~g(x)(xx0)，（1）若limf(x)g(x)A,则limg(x)h(x)A；

xx0xx0（2）若limxx0h(x)h(x)B,则limB.xx0g(x)f(x)'''' 由定理知：若~,~且lim'存在，则有limlim'.其中：

0,'0.所以，当lim‘’的计算较为困难时，就设法寻求与、等价的对应无穷小''、进行代换，变求lim为求lim'，而lim'的计算较为容易，所给极限

lim的计算就迎刃而解.显然，利用等价无穷小的代换求极限的一个前提是：对一些常用的等价无穷小量要熟悉.例如：当x0时，有sinxx，tanx~x，arctanx~x，121cosx~x，ax1~xlna（a0），ex1~x，(1bx)a1~abx，2xxn1x1~，loga(1x)~(l1x)~x.（a0），nnlna例14 求limx(1cosx).x0(1ex)sinx21xx21解：原式lim22.x0xx2tanxsinx例15 求lim的极限.3x0sinxsinx(1cosx)，而sinx~x,x0； 解：由 tanxsinxcosxx21cosx~,x0；sinx3x3~x3,x0，2x2x1tanxsinx21.lim故有 lim= x0x0cosxsinx3x32注：在利用等价无穷小代换求极限时，应该注意：只有对所求极限中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来代换，而对极限式中的相加或相减的部分则不能随意代换.例如，在上式中，若因为有tanx~x，x0，sinx~x，x0，从而推出

limtanxsinxxxlim0，33x0x0sinxsinx则就会得出错误的结论.3.2.5利用夹逼定理求函数极限

利用夹逼定理可将某函数适当缩小和放大，使得缩小和放大后得到的新函数的极 限分别存在且相等，从而得到原函数的极限．即原函数的极限就等于缩小或放大后的函数的极限.1111例16 求limx（为取整函数，表示不大于的最大整数）.x0xxxx分析：此极限难点：在取整函数不易求极限，所以想着去掉取整函数，故而采用适当的放大及缩小，用夹逼准则求原式极限.111解：由 1（x0），xxx11故，当x0时，有1xx1，则lim(1x)limxlim1，有x0x0x0xx1limx1； x0x11当x0时，有1xx1，则lim(1x)limxlim1，有x0x0x0xx1limx1； x0x1所以，limx1.x0x3.2.6利用洛必达法则求函数极限

00 对于或型的极限,可通过洛必达法则来求.若所求极限呈现或型，00则可直接利用洛必达法则进行求解，若所求的函数极限呈现 0，1，00，0，则可将其恒等变形化成型等形式，sinx1cosx)例17 求lim(.x0x10或型，再利用洛必达法则进行求解.0分析：本题为1型，所以要用洛必达法则求极限，恒等变形转化为

0或型.0作为1型，一般采用取对数，或者利用f(x)elnf(x)这种形式恒等变形再转化.解：取对数后，sinxsinxln(ln)'xcosxsinx(xcosxsinx)'xx, limlimlimlim23x01cosxx0x0x012xsinx(x)'(x)'2sinx1cosxxsinx1)e3.lim，则lim(2x0x0x3x311有 注：如果采用取对数再求极限这种方法，一定要注意还原.这种方法易错点，1误把当作本题的最后极限.3lnx例18 求lima(a0,x0).xx解： 由limlnx,limxa，故此例属于型；

xx1lnx1由洛必达法则有：limalimxlim0(a0,x0).xxxaxa1xaxa例19 求limxlnx.x00或型，但0是这一种类型需要注意，如果函数本身含有对数函数或者反三角函数，则需要将对数函数或反三角函数保留在分子位置，否则再用洛必达法则时会越来越繁琐且

lnx不易求出结果.因此，作恒等变形xlnx，将它转化为型的不定式极限.1x1lnxxlim(x)0.解： limxlnxlimlimx0x01x01x0xx2总而言之，在运用洛必达法则时，应注意：

0（1）检查所求极限是否属于不定式，只有是“”型或“”型的不定式

0分析：这是一个0型的不定式极限，可将其恒等变形化成时才可直接运用洛必达法则，其他型不定式(如0，1，00，0，等)应先化为“0”型或“”型不定式，再运用洛必达法则.0fxf'x（2）当lim'不存在时，不能断定lim不存在，即洛必达法则的条

gxgx件是充分但非必要条件.此时，只能说明此极限不能应用洛必达法则求解，如xsinxlim.xxsinx（3）在求不定式极限的过程中，有时一次洛必达法则不能解决问题需要多次使用洛必达法则，但是在使用时要检查是否满足条件.（4）在每次使用洛必达法则后，都应对所得极限式子进行整理化简，然后再考虑是否继续使用洛必达法则.有时用其他方法计算极限很方便时，就不必用洛必达法则了.x（5）如果fx或gx中含e或arctanx、arccotx，且求当x时的极限时，应分别讨论当x及x时，fxfx的极限，并判断lim是否存

xgxgx在.（6）洛必达法则是求不定式极限的一个有效方法，但不是万能的，要根据所求极限的具体特点选用恰当的方法.3.2.7利用Taylor(泰勒)公式求函数极限

利用泰勒公式求极限,一般用麦克劳林公式形式,并采用皮亚诺型余项.当函数为分式时,一般要求分子分母展成同一阶的麦克劳林公式,再通过比较求出极限.一些常用的泰勒公式见附录2.x211x2例20 求lim2.x22x0(cosxe)sinx11(1)1222112解：1x1xx4o(x4)1x2x4o(x4)，22!28x2x4114cosx1o(x4)1x2xo(x4)2!4!224ex1x22，14xo(x4)，2!x2111(1x2x4o(x4))228原式lim

x0212141x[1xxo(x4)(1x2x4o(x4))]2242!311x2(x2x4)224 注：用此法必须熟记基本的初等函数的展开式，它将原来函数求极限的问题转化为多项式或有理式的极限问题.3.2.8利用两个重要极限

0sinx1利用(A)lim1(B)lim(1)xe.第一个重要的极限是型，第二个x0x0xxx0lim14x81.12重要极限是1型，在1型中满足“外大内小”，“内外互倒”.在利用重要极限求函数极限时，关键在于把要求的函数极限化成重要极限的标准型或它们的变型.我们经常使用的是它们的变形：

(A')limsin(x)1(x)1,((x)0)；(B')lim(1)e,((x)).(x)(x)sinx1例21 求lim.x1x122x1sinx1sinx1 解：原式=limlimx12.x1x1x1x1x212注：limsinx1的扩展形式：

x0x 令gx0，当xx0或x时，则有

lim因而，limsingxsingx1.1或limxxx0gxgxsinx01.xx1x例22 求lim(12x)的极限.x01122x2xlim(12x)(12x)解：原式=e.x0利用这两个重要极限来求函数的极限时要仔细观察所给的函数形式只有形式符合或经过变化符合这两个重要极限的形式时才能够运用此方法来求极限.一般常用的方法是换元法和配指数法.3.2.9利用微分中值定理求函数极限

[2] 因为由微分中值定理可得到在某一点的具体的导数值.而根据函数在某点的导数的定义：fx0lim'fxfx0xx0xx0,可知某点的导数是极限的形式表示的.所以类似此类函数的极限而且符合中值定理的话，可利用此种方法.exesinx例23 求lim.x0xsinx分析：观察可知，这是一个中值定理的结论

fbfa型的函数，我们很容易想到拉格朗日bafbfa,a,b ba从而，我们可以利用拉格朗日中值定理进行求解.' f解:令f(x)ex，对它应用微分中值定理得，exesinxf(x)f(sinx)(xsinx)f'(sinx(xsinx))(01)，exesinxf'(sinx(xsinx))(01).即xsinxf'(x)ex连续，limf'(sinx(xsinx))f'(0)1，x0exesinx1.从而有 limx0xsinx3.2.10多种方法的综合运用

前面介绍了求解极限的基本方法,然而每一道题目并非只有一种方法.因此我们在解题中要注意各种方法的综合运用的技巧,使得计算大为简化.1cosx2例24 求lim2.x0xsinx21cosx22xsinx2lim[解法一]: lim2

x0xsinx2x02xx2cosx22xsinx2sinx22sinx21x lim2 lim2x0xcosx2sinx2x0sinx2cosx22x注:此法采用洛必达法则配合使用两个重要极限法.x2x2x22sinsinsin1cosx211222limlimlim [解法二]: x0x2sinx2x0x2sinx2x0x2sinx2x2222x222注:此解法利用“三角和差化积法”配合使用两个重要极限法.x2x22142sin2()x21cosx12lim22 [解法三]:lim2 limlimx0xsinx2x0x2sinx2x0x2(x2)x0x422 注:此解法利用“三角和差化积法”配合使用无穷小代换法.(x2)21cosx2x212 [解法四]:lim2 limlimx0xsinx2x0x2sinx2x02sinx22 注:此解法利用了无穷小代换法配合使用两个重要极限的方法.显然最简单，因此在做题的时候一定要注意选择恰当的方法.此题还有其他十多种解法，本文就不再详述.总之在求函数极限的问题时，一定要视问题本身而灵活选用各种方法.3.2.11多元函数极限的计算

计算多元函数的极限常用的方法是：1）利用不等式，使用两边夹法则；2）变量替换化为已知极限，或化为一元函数极限；3）利用极坐标；4）利用初等函数的连续性，利用极限的四则运算性质；5）利用初等变形，特别指数形式常可先求其对数的极限；6）若事先能看出极限值，可用-方法进行证明.1cosx2y2xy22lim例25.求下列极限：1）x,ylim；2）；3）0,0x2y2exy22xxyylimxy2x0y0222xy；

22解：1）因为1cosxy~12xy22x,y0,0，21222xy1cosxyx2y22limlim0； 222222所以x,ylim0,0x2y2exyx,y0,0x2y2exyx,y0,02exy222）因为0xyxy22xxy22yxy22xx2yy211，xy又limxyxy11lim0.，所以由两边夹法则有：022xxyxyy

3x0y0）2先求取对数之后的极限：limlnxy222xyx2y22222lim2xylnxy，x0xy2y0x2y2x2y2因为 022x2y20，22xyxy2limx2y2lnx2y2令x2y2tlimtlnt0，x0y0t0故原极限e01.注：取对数后求极限注意还原.总结

以上方法是总结出的高等数学里求极限的重要方法.在做求极限的题目时,仅仅掌握以上方法而不能够透彻清晰地明白以上各方法所需的条件也是不够的,必须认真分析、仔细甄选,选择出适当的方法,这样不仅准确率更高,而且还会省去许多不必要的麻烦,起到事半功倍的效果.这就要求学习者吃透其精髓,明白其道理,体会出做题的窍门,要达到这样的境界必须要勤于思考,善于总结,归纳出每种方法适用的题型,在做题时才会熟能生巧,得心应手.

第二篇：求极限总结

首先 对 极限的总结 如下

极限的保号性很重要 就是说在一定区间内 函数的正负与极限一致极限分为 一般极限，还有个数列极限，（区别在于数列极限时发散的，是一般极限的一种）

2解决极限的方法如下：（我能列出来的全部列出来了！！！你还能有补充么？？？）等价无穷小的转化，（只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用 但是前提是必须证明拆分后极限依然存在）e的X次方-1 或者（1+x）的a次方-1等价于Ax 等等。全部熟记

（x趋近无穷的时候还原成无穷小）

2落笔他 法则（大题目有时候会有暗示 要你使用这个方法）

首先他的使用有严格的使用前提！！！

必须是 X趋近而不是N趋近！！！！（所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件

（还有一点 数列极限的n当然是趋近于正无穷的 不可能是负无穷！）

必须是 函数的导数要存在！！！！（假如告诉你g（x）, 没告诉你是否可导，直接用无疑于找死！）

必须是 0比0 无穷大比无穷大！！！！！

当然还要注意分母不能为0

落笔他 法则分为3中情况0比0 无穷比无穷 时候 直接用0乘以无穷 无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以 无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后 这样就能变成1中的形式了0的0次方 1的无穷次方 无穷的0次方

对于（指数幂数）方程 方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候 LNX趋近于0）3泰勒公式(含有e的x次方的时候，尤其是含有正余旋 的加减的时候要 特变注意！！）E的x展开 sina 展开 cos 展开 ln1+x展开

对题目简化有很好帮助

4面对无穷大比上无穷大形式的解决办法

取大头原则 最大项除分子分母！！！！！！

看上去复杂处理很简单！！！！！

5无穷小于有界函数的处理办法

面对复杂函数时候，尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。

面对非常复杂的函数 可能只需要知道它的范围结果就出来了！！

6夹逼定理（主要对付的是数列极限！）

这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。

7等比等差数列公式应用（对付数列极限）（q绝对值符号要小于1）

8各项的拆分相加（来消掉中间的大多数）（对付的还是数列极限）

可以使用待定系数法来拆分化简函数

9求左右求极限的方式（对付数列极限）例如知道Xn与Xn+1的关系，已知Xn的极限存在的情况下，xn的极限与xn+1的极限时一样的，应为极限去掉有限项目极限值不变化 10 2 个重要极限的应用。这两个很重要！！！对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x

比值。地2个就如果x趋近无穷大 无穷小都有对有对应的形式

（地2个实际上是 用于 函数是1的无穷的形式）（当底数是1 的时候要特别注意可能是用地2 个重要极限）还有个方法，非常方便的方法

就是当趋近于无穷大时候

不同函数趋近于无穷的速度是不一样的！！！！！！！！

x的x次方 快于 x！快于 指数函数 快于 幂数函数 快于 对数函数（画图也能看出速率的快慢）！！！

当x趋近无穷的时候 他们的比值的极限一眼就能看出来了换元法 是一种技巧，不会对模一道题目而言就只需要换元，但是换元会夹杂其中13假如要算的话 四则运算法则也算一种方法，当然也是夹杂其中的14还有对付数列极限的一种方法，就是当你面对题目实在是没有办法 走投无路的时候可以考虑 转化为定积分。一般是从0到1的形式。

15单调有界的性质

对付递推数列时候使用 证明单调性！！！

16直接使用求导数的定义来求极限，（一般都是x趋近于0时候，在分子上f（x加减麽个值）加减f（x）的形式，看见了有特别注意）

（当题目中告诉你F(0)=0时候 f（0）导数=0的时候 就是暗示你一定要用导数定义！！）

(0)

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1楼2014-03-19 20:22举报 |来自Android客户端

张806788364

举人5

函数的性质也体现在积分 微分中

例如他的奇偶性质 他的周期性。还有复合函数的性质

1奇偶性，奇函数关于原点对称 偶函数关于轴对称 偶函数左右2边的图形一样（奇函数相加为0）

2周期性也可用在导数中 在定积分中也有应用 定积分中的函数是周期函数 积分的周期和他的一致复合函数之间是 自变量与应变量互换 的 关系

4还有个单调性。(再求0点的时候可能用到这个性质！）

（可以导的函数的单调性和他的导数正负相关）

:o 再就是总结一下间断点的问题（应为一般函数都是连续的 所以 间断点 是对于间断函数而言的）

间断点分为第一类 和第二类剪断点第一类是左右极限都存在的（左右极限存在但是不等 跳跃的的间断点 或者 左右极限存在相等但是不等于函数在这点的值 可取的间断点

地二类 间断点是 震荡间断点 或者是 无穷极端点

（这也说明极限即是 不存在也有可能是有界的）

:o 下面总结一下

求极限的一般题型求分段函数的极限

当函数含有绝对值符号时，就很有可能是有分情况讨论的了！！！！

当X趋近无穷时候 存在e的x次方的时候，就要分情况讨论 应为 E的x次方的函数正负无穷的结果是不一样的！！！！极限中含有变上下限的积分 如何解决类？？？？

说白了 就是说 函数中现在含有积分符号，这么个符号在极限中太麻烦了 你要想办法把它搞掉！！！！！！！！

解决办法 ：

1求导，边上下限积分求导，当然就能得到结果了 这不是很容易么？

但是！！！有2个问题要注意！！

问题1 积分函数能否求导？ 题目没说积分可以导的话，直接求导的话是错误的！！问题2 被积分函数中 既含有T又含有x的情况下如何解决？？？？？？

解决1的方法： 就是方法2 微分中值定理！！！！！

微分中值定理是函数与积分的联系！更重要的是他能去掉积分符号！！！

解决2的方法 ： 当x与t的函数是相互乘的关系的话，把x看做常数提出来，再求导数！！！

第三篇：如何写毕设论文

毕业设计（论文）写作内涵

完整的毕业论文应包括：题目，中文摘要，中文关键词，英文题目，英文摘要，英文关键词，目录，引言，正文，结论，参考文献，后记，英文翻译（原文、译文）。下面主要针对论文各部分的取材及写作方法逐一介绍。

1、题目

论文题目应具有先进性和鲜明性，既不能太宽，也不能太小，一般应体现两点：研究切入点 + 核心工作，必要时候可加副标题以说明论文的侧重点，同时题目字数一般不超过20个汉字。

例如：

P2P网络文件高速下载技术的研究与实现 对等网络拓扑可视化技术研究与实现 对等网络多关键字检索技术研究与实现

2、中文摘要

论文摘要文字必须十分简炼，内容亦需充分概括，篇幅大小一般限制其字数不超过论文字数的5%。例如，对于6000字的一篇论文，其摘要一般不超出300字。

论文摘要应包含以下内容：

①从事这一研究的目的和重要性；

②研究的主要内容，指明完成了哪些工作；

③获得的基本结论和研究成果，突出论文的新见解； ④结论、结果的实际意义。

论文摘要不要列举例证，不讲研究过程，不用图表，不给化学结构式，也不要作自我评价。建议摘要可以先留出位置，在全文写完后再写。

3、中文关键词

关键词不少于4 个，以5—6个为宜，其排列顺序遵循以下规则：

第1 个关键词：列出该文主要工作或内容所属二级学科名称。学科体系采用国家技术监督局分布的《学科分类与代码》（国标GB/T 13745-92）；

第2 个关键词：列出该文研究得到的成果名称或文内若干个成果的总类别名称；

第3 个关键词：列出该文在得到上述成果或结论时采用的科学研究方法的具体名称。综述和评述性学术论文等写“综述”或“评论”等。对科学研究方法的研究论文，此处写所应用的方法名称；

第4 个关键词：列出前三个关键词中没有出现的，但被该文作为主要研究对象的物质的名称，或在题目中出现的作者认为重要的名词。

如有需要，第五、六个关键词等列出作者认为有利于检索和文献利用的其它关键词。

4、英文摘要

英文摘要的写作应注意以下几点：

1）英文摘要题名以短语为主要形式，尤以名词短语(noun phrase)最常见，即题名基本上由1个或几个名词加上其前置和(或)后置定语构成。

2）英文摘要题名的字数不应过长，国外科技期刊一般对题名字数有所限制。例如，美国医学会规定题名不超过2行，每行不超过42个印刷符号和空格；美国国立癌症研究所杂志J Nat Cancer Inst要求题名不超过14个词；英国数学会要求题名不超过12个词。这些规定可供我们参考。总的原则是，题名应确切、简练、醒目，在能准确反映论文特定内容的前提下，题名词数越少越好。

3）中英文题名在内容上应一致，但不一定词语要一一对应。在许多情况下，个别非实质性的词可以省略或变动。此外，近些年的趋势是，凡可用可不用的冠词均可不用。

4）英文摘要尽量用简短、词义清楚并为人熟知的词。例如： The operation method is narrated based on the conscientious analysis of the dust collection system.其中的narrated和conscientious使用不得体，可改为The operation method is introduced based on the analysis of the dust collection system.在表示分析研究（讨论）了时，用… are analyzed, 不用… are analyzed and studied(discussed).5）英美拼写保持全文风格一致。比如，Color和colour，program和 programme。

6）能用名词做定语不要用动名词，能用形容词的而不用名词。比如，用Measurement accuracy 而不用measuring accuracy；用Experimental results而不用experiment results。

7）可直接用名词或名词短语做定语的，尽量少用of。比如，用measurement accuracy而不用accuracy of measurement；用camera curtain shutter 而不用curtain shutter of camera；用equipment structure而不用structure of equipment。8）可用动词的尽可能避免使用动词的名词形式。比如，用thickness of plastic sheets was measure，而不用measurement of thickness of plastic sheet was made。

9）摘要内容中不能省略冠词，正确地使用冠词，不误用、滥用或随便省略。正：“Pressure is a function of the temperature”

误：“The pressure is a function of the temperature”;

5、英文关键词

对照中文关键词逐一翻译，注意保持原来的顺序。

6、目录

具体见格式要求。

7、引言

引言内容应该包含题目的研究背景，国内外在该领域或该研究方向的研究状况、发展趋势以及述评，研究的意义或应用价值，本论文的主要内容简述等。

8、正文

根据课题方向和导师意见展开成若干章节加以叙述，整个论文要自成一体，各章节间要相互呼应，层次清晰。其它具体见格式要求

9、结论

对正文的内容进行总结，提出后续研究的相关建议。

10、参考文献

参考文献必须是学生本人真正阅读过的，以近期发表与论文工作直接相关的文献。参考文献必须在文中引用处体现出来，并按顺序编号。一般文科约15篇，理科约10篇左右，其中英文文献至少应有1—2篇。文献应按文中引用出现的顺序列全，附于文末。

注录格式如下：

[期刊]作者.论文题名[J].刊名，年，卷（期）：起止页码.[专著]作者.书名[M].出版地：出版者，出版年.引用参考起止页码

[论文集]作者.引文题[A].主编，论文集名[C].出版地：出版年.引文起止页码。

[报纸]作者.篇名.报名.出版日期（版次）[科技报告]作者.报告题名，报告号[R].出版单位，年代.[学位论文]作者.论文题名[D].机构地址：所属学校名，年.[专利]作者.专利名称：专利国别，专利号[P].年.[网页]作者.题名[EB/OL].发表年月日或引用年月日.网址

11、后记

叙述论文的写作经过和收获、体会和感受，并向指导教师及其他相关人员致谢。

12、翻译原文

具体由导师安排，尽可能地与论文研究内容相关，并注明出处。

13、译文

在准确表达原文内容的基础上，力图使译文符合中文的语法和句法规则，文字表达流畅无误，符合中文读者的阅读习惯。

空管学院 2206.2.28

第四篇：毕设规范

河北经贸大学本科生毕业论文写作规范

1、论文结构要求

学位论文应采用汉语撰写；一般由六部分组成，依次为：封面、摘要、目录、正文、附录、参考文献。各部分具体要求如下：

（1）封面（采用河北经贸大学统一印制的封面）

论文题目：应是整个论文总体内容的体现，要引人注目，力求简短，严格控制在25字以内。当论文的内容比较丰富时，可以用副标题对正题加以补充。

（2）摘要

摘要是论文内容的简要陈述，是一篇具有独立性和完整性的短文。摘要应包括本论文的基本研究内容、研究方法、创造方法、创造性成果及其理论与实际意义。摘要中不宜使用公式、图表、不标注引用文献编号。避免将摘要写成目录式的内容介绍。

为便于国际交流，毕业论文（设计）应有英文摘要。英文摘要内容应与中文摘要对应，力求语法准确，语句通顺，文字流畅。

关键词：关键词是供检索用的主题词条，应采用能覆盖论文主要内容的通用词条。关键词一般列3—5个，按词条的外延层次从大到小排列。

（3）目录

按三级标题编写，要求层次清晰，且要与正文标题一致，主要包括正文主要层次标题、附录、参考文献等，且标明页数。

（4）正文

论文正文包括绪论、论文主体及结论部分。（5）附录

附录内容一般包括正文内不便列出的冗长公式推导、辅助性数学工具、符号说明（含缩写）、计算程序及说明等。

（6）参考文献

毕业论文的参考文献必须是学生本人真正阅读过的，数目一般应不少于15项（至少有1项外文文献），应有近两年的参考文献，以近期发表的杂志类文献为主，图书类文献不能过多，且要与论文工作直接相关。可以包括连续出版物、专（译）著、论文集、学位论文、专利、技术标准等参考文献。其排列顺序为：连续出版物、专（译）著、论文集、学位论文、专利、技术标准，同类参考文献按其在论文中的参考顺序排列。引用网上文献时，应注明该文献的准确网页地址，网上参考文献不包含在上述规定的文献数量之内。

2、正文字数

毕业论文一般为0.6—1.2万字，学院可根据学科专业特点提出具体要求。

3、论文书写要求（1）摘要

摘要的字数（以汉字计）一般为500字左右，以能将规定内容阐述清楚为原则。摘要页不需写出论文题目，题头“摘要”应居中，加黑2号宋体，然后隔行打印摘要的正文部分，为小4号宋体。英文摘要在中文摘要后另起一页书写。

关键词（小4号黑体）空一格（词）；（词）；„；（词）（小4号宋体）关键词如需转行应同第一个关键词对齐（空4格）。（2）目录

题头“目录”应居中，加黑2号宋体，然后隔行打印目录的内容。目录中各一级题序及标题用小4号黑体，其余用小4号宋体。

（3）论文书写

毕业论文一律要求在计算机输入、以Word格式编排打印。要求正文中文用宋体，标题中文用黑体，英文及阿拉伯数字为Times New Roman。

毕业论文开本为B5。页边距设置：上下分别为2.5cm，左侧为2.5 cm，右侧为2cm。正文每页32行，每行35个字符，页码在版芯下边线之下隔行居中放置；摘要、目录部分的页码用罗马数字单独编排，正文以后的页码用阿拉伯

数字编排。

（4）标题字号和层次代码

正文中应有论文题目，用4号黑体字并居中。

一、二级标题上下均空一行。标题字号：

一级标题 4号黑体 二级标题 4号黑体 三级标题 小4号黑体 正 文 小4号宋体 层次代码：

一、××××（空两格）

（一）××××（空两格）

1、××××（空两格）（1）××××（空两格）

理工类等专业可以采用1、1.1、1.1.1、1.1.1.1形式。（5）页眉及页码

毕业论文除封面及扉页外，各页均应加页眉，页眉文字居中，为“河北经贸大学毕业论文”。页眉的文字用5号宋体。（6）注释

注释是对论文正文中某一特定内容的进一步解释、补充说明或引文，要求排印在该页地脚。注释用数字加圆圈标注（如①②„）。序号按页分别编号，不采用通篇文章统一编号方式。

（7）参考文献

参考文献是作者写作论文时所参考的文献书目，要求另起一页集中列于文末。参考文献序号用方括号标注。几种主要参考文献著录表的格式为：

[1]连续出版物：作者，文题，刊名，年，卷号（期号）：起止页码。[2]专（译）著：作者，书名（译者），出版地：出版者，出版年，起止页码。[3]论文集：作者，文题，编者，文集名，出版地：出版者，出版年，起止页码。[4]学位论文：作者，文题，博士（或硕士学位论文），授予单位，授予年。[5]专利：申请者，专利名，国名，专利文献种类，专利号，授权日期。

[6]技术标准：发布单位，技术标准代号，技术标准名称，出版地：出版者，出版日期。（8）外文字母的正、斜体用法

变量符号用斜体，计量单位等符号均用正体。（9）数字

除习惯用中文数字表示的以外，一般均采用阿拉伯数字（参照附录）。（10）公式

公式原则上应居中书写。若公式前有文字（如“解”、“假定”等），文字空两格写，公式仍居中写。公式末不加标点。

公式较长时最好在等号“=”处转行，如难实现，则可在＋、－、＊、／等运算符号后断开，而在下一行开头不应重复这一记号。

（11）插表

表格不加左、右边线，上、下边线为粗实线（1.5磅）余为细实线（0.5磅）。每个表格均应有表题（由表序和表名组成）。表序与表名之间空一格，表名中不允许使用标点符号，表名后不加标点。表题置于表上，居中排写，要求用5号宋体。表题与表格、表格与表格后段落间均设6磅。表头设计应简单明了，尽量不用斜线。全表如用同一单位，则将单位符号移至表头右上角。

表中数据应准确无误，书写清楚。数字空缺的格内加横线“——”（占2个数字宽度）。表内文字及表的说明文字均用小5号宋体。

（12）插图

插图与文字紧密配合，文图相符，内容正确。选图要力求精炼。

每个图均应有图题（由图号图名组成）。图题置于图下，用中文居中书写，要求用5号字。图题与图之间的竖向距离同插表。有图注或其它说明时应置于图题之下。图名在图号之后空一格排写。引用图应注明出处，在图题右上角加引用文献号。图内文字均用小5号宋体。

有数字标注的坐标图，必须注明坐标单位。（13）附录

对需要收录于毕业论文中且又不适合书写于正文中的附加数据、资料、详细公式推导等有特色的内容，可做为附录排写，序号采用“附录1”、“附录2”等。

（14）开题报告

开题报告用B5纸打印，格式参照正文，页码单独编排，附在《河北经贸大学本科毕业论文（设计）开题报告申请书》（见附件）之后。

4、论文装订

（1）论文要求左侧装订（封面除外），装订顺序依次为：扉页、摘要、目录、正文、开题报告申请书、开题报告、教师指导意见记录、河北经贸大学本科毕业论文指导教师评分表、河北经贸大学本科毕业论文答辩小组评分表。英文摘要装订到中文摘要后面，中英文摘要单独编排页码；目录单独编排页码；开题报告装订到正文后面，页码单独编排（详见样例）。

（2）装订后用学校统一印发的封面粘贴并切割整齐。

附录 有关数字用法的规定

除习惯用中文数字表示的以外，一般数字均用阿拉伯数字。

1、世纪、年代、年、月、日和时刻一律用阿拉伯数字，如20世纪，80年代，4时3刻等。年号要用四位数，如1989年，不能用89年。

2、数与计算（含负整数、分数、小数、百分比、约数等）一律用阿拉伯数字，如3/4，4.5%，10个月，500多种等。

3、一个数值的书写形式要照顾到上下文。不是出现在一组表示科学计量和具有统计意义数字中的一位数字可以用汉字，如一个人，六条意见。星期几一律用汉字，如星期六。邻近两个数字并列连用，表示概数，应该用汉字数字，数字间不用顿号隔开，如三五天，七八十种，四十五六岁，一千七八百元等。

4、数字作为词素构成定型的词、词组、惯用语、缩略语等应当使用汉字。如二倍体，三叶虫，第三世界，“七五”规划，相隔十万八千里等。5、5位以上的数字，尾数零多的，可以写为以万、亿为单位的数。一般情况下不得以

十、百、千、十万、百万、千万、十亿、百亿、千亿作为单位，如345 000 000公里可写为3.45亿公里或34 500万公里，但不能写为3亿4 500万公里或3亿4千5百万公里。

6、数字的书写不必每格一个数码，一般每两数码占一格，数字间分节不用分位号“，”，凡4位以上的数都从个位起每3位数空半个数码（1/4汉字）。“3 000 000”，不写成“3，000，000”，小数点后的数从小数点起向右按每三位一组分节。用阿拉伯数字书写的多位数不能从数字中间转行。

第五篇：毕设流程

毕业设计（论文）管理系统

用户手册(学生)

2016年 12月

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Nanjing Change Technology Co.,Ltd.目录

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Nanjing Change Technology Co.,Ltd.1.4论文，毕业答辩流程 论文，毕业答辩阶段：

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Nanjing Change Technology Co.,Ltd.学生填写课题名称，选择课题类型、课题来源、课题归属等选项。填写课题简介和要求

然后选择课题的指导教师。选择暂存，确认无误后提交课题。

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Nanjing Change Technology Co.,Ltd.4.2 学生选题

老师申报了盲选课题，院长发布后，学生即可点击【学生选题】，可以选择三个志愿，选择后，等待相应的老师确认。

4.3 查看任务书

指导教师下达任务书并由专业负责人审核后，学生可以点击此处查看任务书内容。4.4 上传翻译译文

指导教师下达翻译原文后，学生可以下载翻译原文，然后提交翻译译文。

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Nanjing Change Technology Co.,Ltd.4.5 上传开题报告

指导教师下达任务书并由专业负责人审核后，学生即可提交开题报告，提交后由老师审核。

点击上传开题报告，填写开题报告，可以上传附件。点击提交后，如果需要修改可进入修改，需要再次确认后，才算最终提交。页面如下：

4.6 上传论文定稿

学生提交开题报告并审核通过后，即可提交论文定稿，有附件可上传附件。提交后，由指导教师审核打分。（注：如果需要修改，可以在特殊情况处理—论文定稿修改提交处修改，修改后作为终稿。

4.7 查看答辩信息

学生经专业负责人分配答辩组后，在查看答辩信息处可以查看答辩组，答辩地点，答辩时间等信息。

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Nanjing Change Technology Co.,Ltd.4.8 表格材料打印

学生提交的各项材料由老师审核过后，即可在此处打印。比如开题报告、各项成绩表等。

5．特殊情况处理 5.1 开题报告修改申请

该功能用于学生开题报告被老师审核通过，但是仍想补充，可以在特殊情况处理处进行修改提交，提交后由老师在特殊情况进行审核。

5.2 论文定稿修改提交

学生提交定稿后如要修改，可以在特殊情况进行修改提交，提交后无需老师审核。注：如果教学秘书发布了成绩，那该功能将关闭。

6．交流互动（学生在线给其他角色进行留言和查看指导教师提交的指导日志以及指导教师的联系方式）

收件箱，即学生查收本系统所有人发来的邮件信息；发件箱，即学生查看在本系统中发出的所有邮件信；指导日志，即学生查看指导教师提交的指导日志信息。

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Nanjing Change Technology Co.,Ltd.19，学生进行答辩，答辩录入员录入学生答辩成绩； 20，教学秘书发布总评成绩 ；

＊教师申报指定学生课题流程：

1，教师申报指定学生课题； 2，专业负责人审核教师申报的课题；

3，教学院长或教学秘书审核发布选题即发布双选结果（通过或者重选：如果选择重选表示不同意选题，则该学生重新选择课题）； 4，指导老师下发任务书； 5, 专业负责人审核任务书； 6，指导老师下达翻译原文（可选）；

7，学生上传翻译译文，指导教师审核（可选）； 8，学生上传开题报告，指导教师审核； 9，学生填写中期检查指导教师审核（可选）； 10，学生提交论文定稿；

11，指导老师审核论文定稿并且审核评分； 12，专业负责人分配评阅教师

13，评阅教师进行论文评阅给出评阅分数；

14，专业负责人添加答辩组并且选择相应的学生进入答辩组，并且在账号管理中设置答辩录入员账号； 15，学生进行答辩，答辩录入员录入学生答辩成绩； 16，教学秘书发布总评成绩 ；

＊学生申报课题流程：

1，学生申报课题

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Nanjing Change Technology Co.,Ltd.2，指导老师审核学生申报课题

3，专业负责人审核学生申报课题（如果审核退回直接退给学生，学生再提交，专业负责人再审核）4，教学院长或教学秘书审核发布选题即发布双选结果

（通过或者重选：如果选择重选表示不同意选题，则该学生重新选择课题）5，指导老师下发任务书； 6, 专业负责人审核任务书； 7，指导老师下达翻译原文（可选）；

8，学生上传翻译译文，指导教师审核（可选）； 9，学生上传开题报告，指导教师审核； 10，学生填写中期检查指导教师审核（可选）； 11，学生提交论文定稿；

12，指导老师审核论文定稿并且审核评分；

13，专业负责人分配评阅教师（注：教学院长或教学秘书发布选题结果后即可分配评阅教师）； 14，评阅教师进行论文评阅给出评阅分数；

15，专业负责人添加答辩组并且选择相应的学生进入答辩组，并且在账号管理中设置答辩录入员账号； 16，学生进行答辩，答辩录入员录入学生答辩成绩； 17，教学秘书发布总评成绩 ；

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