利用罗比塔求极限注意的问题（精选5篇）

第一篇：利用罗比塔求极限注意的问题

利用罗比塔（L’Hospital）法则求极限注意的问题

在求极限时，有时用利用罗比塔（L’Hospital）法则是比较简单方便的，下面先介绍一下罗比塔（L’Hospital）法则内容：

1、型：若(ⅰ)limf(x)0,limg(x)0;(ⅱ)f(x)与g(x)在x0的空心邻

xx0

xx0

域U(x0)内可导，且g(x)0;(ⅲ)lim

f(x)g(x)

f(x)g(x)

f(x)g(x)

xx0

A(A为实数)，则有

xx0

limlim

xx0

A(这里可以xx0或xx0或x)



2、

型：若(ⅰ)limf(x),limg(x);(ⅱ)f(x)与g(x)在x0的右某

xx0



xx0



邻域U(x0)内可导，且g(x)0;(ⅲ)lim

f(x)g(x)

f(x)g(x)

f(x)



xx0

g(x)

A(A为实数)，则有

xx0

limlim

xx0

A(这里可以xx0或x)



不能对任何的比式求极限时都按罗比塔（L’Hospital）法则求解，要满足其诸条件。比如：lim

xsinx

x

x

=lim(1

x

sinxx)

=1，它是

1cosx



型，但不能盲目的用罗比

塔（L’Hospital）法则：lim论。

xsinx

x

x

lim

会推出极限不存在的错误结

x

第二篇：求极限注意的问题

求极限时应注意的问题：

几个无理函数的极限：

几个“”型的极限：

几个含有三角函数的极限：

几个幂指函数的极限：

等价无穷小在极限中的应用：

极限存在准则在求极限中的应用：

极限中的变量替换：

某些极限在进行了变量替换之后较容易求出。

分段函数的极限

分段函数的连续性

分段函数的导数

分段函数的积分

1.根的存在性证明

－ － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － －

－ － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － －

－ － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － －

2.确定根的个数

－ － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － －

1.用单调性与最值证明不等式

2.用拉格朗日中值定理证明不等式

3.用柯西中值定理证明不等式

4.用泰勒公式证明不等式

第三篇：利用定积分的定义求极限

利用定积分的定义求极限 方法：如果f(x)dx存在，则lim

ab

ban

n

n



k1

f(a

ban

k)



ba

f(x)dx

例15求极限

n

（1）lim

n



k1n

nn4k

nn4k

解：lim

n



k1

lim

1n

n

n



k1

114()

n

k





114x

dx

actan2x

|0

actan2

n

（2）lim

n



k1n

nx2kn

解：lim

n



k1nx2kn

lim

n

k

[x2()]nk1n

n



(x2t)dtx1

（3）lim

1n

n

n(n1)(n2)(2n1)

n1

解：因为

1n

k0

ln(1n)

n

k

n(n1)(n2)(2n1)e

由于lim

1n

n

n



k1

ln(1

kn)



ln(1x)dx2ln21ln

4e

故lim

1n

n

n

n(n1)(n2)(2n1)e

ln

4e



4e

第四篇：利用小o技术求分式函数的极限

n试利用小o技术证明:limx1n111x

证：对任意自然数n，容易得到：

nn1n(1xn1)(n1)(1xn),1x(1x)(1x)

n(n1)xn1[(x1)1]n1n(x1)(x1)2o((x1)2)，或者

xn1[(x1)1]n1n(x1)o((x1))

于是有：

n(1xn1)(n1)(1xn)(n1)(xn1)n(xn11)

n(n1)(n1)[n(x1)(x1)2o((x1)2)](n1)nn[(n1)(x1)(x1)2o((x1)2)](n1)n(x1)2o((x1)2)(1xn)(1xn1)(xn1)(xn11)

[n(x1)o((x1))][(n1)(x1)o((x1))]n(n1)(x1)2o((x1)2)

(n1)n22(x1)o((x1))nn1因此limlimx11xx1n(n1)(x1)o((x1))

(n1)no((x1)2)(n1)n(x1)1limx1o((x1))n(n1)(x1)

第五篇：考研数学1.1利用等价无穷小代换求极限时应注意的问题

2、利用等价无穷小代换求极限时应注意的问题．

考研数学每年必考有关求极限的问题，利用等价无穷小代换求极限一般可以简化计算，但我们一定要明确，在求极限时，什么时候能用等价无穷小代换，什么时候不能用等价无穷小代换，这也是部分学员，尤其基础比较薄弱的学员开始复习的时候比较容易犯错的地方。

下面通过给出几个例子来进行讲述，注意错误的解法，谨防自己犯同样的错误。

例1：求极限lim 解：limtanxsinxx3

0x0tanxsinxx3x0limxxx3

x0利用等价无穷小代换．这样计算对吗？计算的错误在于在运算过程中利用了未加证明的命题．

若~',~',则~''.考察这个命题，limlimlim11，当lim1时,这个命题是真命题；当lim1时,命题是假命题．

对于例1，因为，sinx,tanx,''x，lim所以，证明的结论是错误的．

正确解答: tanxsinxx3x0limsinxtanxx01

limx0limtanx(1cosx)x3xlimx0x2x021.3x2

sin(xsin21例2：求limx0x2x 1)xsin2)xlimxsin10

x0x0x0xxx错误的原因在于在运算中错误的运用了等价无穷小代换： sin(xsin1错误解答: limxlim1122sinxsinxsin,x0

xx而根据无穷小的比较的定义，当x取所以不能用等价无穷小的代换．

正确解答：当x0时，1x1x1n(nZ)时，sin(xsin21x)和xsin21x均为0，sin(xsin2x，21x)xsinx21xx0(x0)sin(xsin2)xsin2x所以，由夹逼准则知原函数极限为0．

例3：求极限limxsinxx

解：本题切忌将sinx用x等价代换，导致结果为1．

sinxsin应该为：lim0.xx注意：

①乘除运算中可以使用等价无穷小因子替换，加减运算中由于用等价无穷小替换是有条件的，故统一不用．这时，一般可以用泰勒公式、洛必达法则等方法来求极限．

②注意等价无穷小的条件，即在哪一点可以用等价无穷小因子替换，如例2.3．

巩固相应知识点

① 无穷小量阶的定义,设lim(x)0,lim(x)0.(1)若lim(x)(x)0,则称(x)是比（x)高阶的无穷小量.(2)若lim(x)(x),则(x)是比（x)低阶的无穷小量.(3)若lim(x)(x)(x)(x)c(c0),则称(x)与（x)是同阶无穷小量.(4)若lim1,则称(x)与（x)是等价的无穷小量,记为(x)(x).(5)若lim(x)(x)kc(c0),k0,则称(x)是（x)的k阶无穷小量

② 常用的等价无穷小量

(命题重点,历年必考)当x0时, sinxarcsinx12tanx1coxs~x~x,2arctanx(1x)1~x是实常数ln(1x)xe1