高等数学求极限的14种方法

第一篇：高等数学求极限的14种方法

高等数学求极限的14种方法

一、极限的定义

1.极限的保号性很重要：设

xx0

（1）若A0，则有0，使得当0|xx0|时，f(x)0；

（2）若有0,使得当0|xx0|时，f(x)0,则A0。

2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为x时函数的极限和xx0的极限。

要特别注意判定极限是否存在在： limf(x)A，收敛于a的充要条件是它的所有子数列均收敛于a。常用的是其推论，即“一个数列收敛于a的充（1）数列xn

要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a”

（2）

(3)x

xx0limf(x)Af(x)Axxx0limf(x)xA limA limlimxx0lim

(4)单调有界准则

（5）两边夹挤准（夹逼定理/夹逼原理）

(6)柯西收敛准则（不需要掌握）。极限limxx0f(x)存在的充分必要条件。是：

0,0,使得当x1、x2Uo(x0)时，恒有|f(x1)f(x2)|

二．解决极限的方法如下：

1.等价无穷小代换。只能在乘除时候使用。例题略。2.洛必达（L’hospital）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）

它的使用有严格的使用前提。首先必须是X趋近，而不是N趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f（x）、g（x）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：

（1）“0”“”时候直接用 0

(2)“0”“”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通

项之后，就能变成(i)中的形式了。即f(x)g(x)f(x)或f(x)g(x)g(x)；g(x)f(x)f(x)g(x)11g(x)f(x)f(x)g(x)11

(3)“0”“1”“”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即

这样就能把幂上的函数移下来了，变成“0”型未定式。

00f(x)g(x)eg(x)lnf(x)，1

3.泰勒公式(含有ex的时候，含有正余弦的加减的时候）

x2xnex

e1xxn1 ；

2!n!(n1)!

x

x3x5x2m1cosx2m3m

sinxx(1)(1)m1x

3!5!(2m1)!(2m3)!

2mx2x4cosx2m2mxcos=1 (1)(1)m1x2!4!(2m)!(2m2)!n

x2x3xn1n1xn

(1)(1)ln（1+x）=x-23n(n1)(1x)n1

(1+x)u=1ux

u(u1)2

xCunxnCun1(1x)un1xn1 2!

以上公式对题目简化有很好帮助 4.两多项式相除:设an,bm均不为零，P（x）=anxan1x

n

n1

a1xa0,Q(x)bmxmbm1xm1b1xb0

an

b,(mn)nP(x)P(x0)

P(x)(1)（2）若Q(x0)0，则 limQ(x)0,(nm)Q(x)Q(x)0xx0

,(nm)x



lim

5.无穷小与有界函数的处理办法。例题略。

面对复杂函数时候，尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了。

6.夹逼定理：主要是应用于数列极限，常应用放缩和扩大不等式的技巧。以下面几个题目为例：

（1）设

abc0，x

n

anbncn，求limxn

n

解：由于axna,以及

limaa,lim(a

n

n)a，由夹逼定理可知limxna

n



（2）求lim121212

(n1)(2n)nn

解：由012

n111111

222，以及22

n(n1)(2n)nnn

lim0lim

n

n

0可知，原式=0 n

1

(3)求lim2

nn1

n

n

n

1n22







 2

nn1

12



解：由1111

1nn

n1



1nn



1nn



1nn



nnn,以及

1n

7.数列极限中等比等差数列公式应用（等比数列的公比q绝对值要小于1）。例如：

n

n

lim1lim

nnn

lim

n

1

1得，原式=1

求

lim12x3x

n

nxn1(|x|1)。提示：先利用错位相减得方法对括号内的式子求和。



8.数列极限中各项的拆分相加（可以使用待定系数法来拆分化简数列）。例如：

=lim1223n(n1)lim1223



n

111111

n

lim11 n1)nn1)

9.利用xx与xn1极限相同求极限。例如：

（1）已知a12,an121，且已知an存在，求该极限值。limann解:设

1，即A22A10，解得结果并舍去负值得A=1+2 =A，（显然A）则0aA2limn

n

A

（2）利用单调有界的性质。利用这种方法时一定要先证明单调性和有界性。例如设x12,x222,,xnxn1,求limxn

n

解：（i）显然x1x22（ii）假设xk1xk2,则2xk12xk22，即xkxk12。所以，xn是单调递增数列，且有上界，收敛。设limA，（显然A0)则A

n

2A，即A2A20。

解方程并舍去负值得A=2.即limxn2

n

10.两个重要极限的应用。（1）

lim

x0

sinx

1 常用语含三角函数的“0” 型未定式 x0

(2)lim1xxe，在“1”型未定式中常用



x0

11.还有个非常方便的方法就是当趋近于无穷大时候不同函数趋近于无穷的速度是不一样的，n快于n！,n！快于指数型函数b(b为常数)，指数函数快于幂函数,幂函数快于对数函数。当x趋近无穷的时候，它们比值的极限就可一眼看出。

12.换元法。这是一种技巧，对一道题目而言，不一定就只需要换元，但是换元会夹杂其中。例如：求极限

n

n

arccosx



lim

x0

。解：设tarccosx,则x0时，t0,且xcos(t)sint。

22sin2x2x

sin2x

arccosx

2x





lim

x0

arccosx

2x





lim

t0

原式=

lim

x0

t1



2sint2

1111

13．利用定积分求数列极限。例如：求极限limn，所以。由于

nin2nnnn11n

21111111ln2 limlim1nn1xn2nnnnn111

nn

14.利用导数的定义求“0”型未定式极限。一般都是x0时候，分子上是“f(ax)f(a)”的形式，看见了这

'

种形式要注意记得利用导数的定义。（当题目中告诉你f（a）m告诉函数在具体某一点的导数值时，基本上

就是暗示一定要用导数定义）

n

fa1

例:设

f(a)0,f'

(a)存在，求lim

nn

fa



n

f(a)

f(a1

n)f(a)



f

f(af(a)

na1nfa

f(a1)f(a)n)f(a)

解：原式=

lim

n

1f(a)lim1f(a)

n







f(a1)f(a)

11f(a)f'(a)=

lime

n

e

f(a)

n

第二篇：总结16种方法求极限

首先对极限的总结如下

极限的保号性很重要就是说在一定区间内函数的正负与极限一致

1极限分为一般极限，还有个数列极限，（区别在于数列极限时发散的，是一般极限的一种）

2解决极限的方法如下：（我能列出来的全部列出来了！！！你还能有补充么？？？）等价无穷小的转化，（只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用但是前提是必须证明拆分后极限依然存在）e的X次方-1或者（1+x）的a次方-1等价于Ax等等。全部熟记

（x趋近无穷的时候还原成无穷小）

2落笔他 法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）

首先他的使用有严格的使用前提！！！

必须是X趋近而不是N趋近！！！！（所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件

（还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷！）

必须是 函数的导数要存在！！！！（假如告诉你g（x）,没告诉你是否可导，直接用无疑于找死！）

必须是0比0无穷大比无穷大！！！！！

当然还要注意分母不能为0

落笔他 法则分为3中情况0比0无穷比无穷时候直接用

20乘以无穷无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以 无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成1中的形式了

30的0次方1的无穷次方 无穷的0次方

对于（指数幂数）方程 方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0当他的幂移下来趋近于无穷的时候LNX趋近于0）

3泰勒公式(含有e的x次方的时候，尤其是含有正余旋的加减的时候要 特变注意！！）

E的x展开sina展开cos展开ln1+x展开

对题目简化有很好帮助

4面对无穷大比上无穷大形式的解决办法

取大头原则最大项除分子分母！！！！！！

看上去复杂处理很简单！！！！！

5无穷小于有界函数的处理办法

面对复杂函数时候，尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。

面对非常复杂的函数 可能只需要知道它的范围结果就出来了！！

6夹逼定理（主要对付的是数列极限！）

这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。

7等比等差数列公式应用（对付数列极限）（q绝对值符号要小于1）

8各项的拆分相加（来消掉中间的大多数）（对付的还是数列极限）

可以使用待定系数法来拆分化简函数

9求左右求极限的方式（对付数列极限）例如知道Xn与Xn+1的关系，已知Xn的极限存在的情况下，xn的极限与xn+1的极限时一样的，应为极限去掉有限项目极限值不变化2 个重要极限的应用。这两个很重要！！！对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x比值。地2个就如果x趋近无穷大 无穷小都有对有对应的形式

（地2个实际上是 用于函数是1的无穷的形式）（当底数是1 的时候要特别注意可能是用地2 个重要极限）11 还有个方法，非常方便的方法

就是当趋近于无穷大时候

不同函数趋近于无穷的速度是不一样的！！！！！！！！

x的x次方 快于x！快于指数函数快于幂数函数快于对数函数（画图也能看出速率的快慢）！！！当x趋近无穷的时候他们的比值的极限一眼就能看出来了换元法是一种技巧，不会对模一道题目而言就只需要换元，但是换元会夹杂其中

13假如要算的话四则运算法则也算一种方法，当然也是夹杂其中的14还有对付数列极限的一种方法，就是当你面对题目实在是没有办法走投无路的时候可以考虑 转化为定积分。一般是从0到1的形式。15单调有界的性质

对付递推数列时候使用证明单调性！！！

16直接使用求导数的定义来求极限，（一般都是x趋近于0时候，在分子上f（x加减麽个值）加减f（x）的形式，看见了有特别注意）

（当题目中告诉你F(0)=0时候f（0）导数=0的时候就是暗示你一定要用导数定义！！）

函数是表皮

函数的性质也体现在积分 微分中

例如他的奇偶性质他的周期性。还有复合函数的性质

1奇偶性，奇函数关于原点对称偶函数关于轴对称偶函数左右2边的图形一样

（奇函数相加为0）

2周期性也可用在导数中在定积分中也有应用定积分中的函数是周期函数积分的周期和他的一致

3复合函数之间是自变量与应变量互换的关系

4还有个单调性。(再求0点的时候可能用到这个性质！）

（可以导的函数的单调性和他的导数正负相关）

:o 再就是总结一下间断点的问题（应为一般函数都是连续的所以 间断点 是对于间断函数而言的）

间断点分为第一类和第二类剪断点

1第一类是左右极限都存在的（左右极限存在但是不等跳跃的的间断点或者 左右极限存在相等但是不等于函数在这点的值可取的间断点

地二类 间断点是震荡间断点或者是无穷极端点

（这也说明极限即是不存在也有可能是有界的）

:o 下面总结一下

求极限的一般题型

1求分段函数的极限

当函数含有绝对值符号时，就很有可能是有分情况讨论的了！！！！

当X趋近无穷时候存在e的x次方的时候，就要分情况讨论应为 E的x次方的函数正负无穷的结果是不一样的！！！！极限中含有变上下限的积分如何解决类？？？？

说白了就是说 函数中现在含有积分符号，这么个符号在极限中太麻烦了你要想办法把它搞掉！！！！！！！！解决办法 ：

1求导，边上下限积分求导，当然就能得到结果了这不是很容易么？

但是！！！有2个问题要注意！！

问题1积分函数能否求导？题目没说积分可以导的话，直接求导的话是错误的！！

问题2被积分函数中 既含有T又含有x的情况下如何解决？？？？？？

解决1的方法：就是方法2微分中值定理！！！！！

微分中值定理是函数与积分的联系！更重要的是他能去掉积分符号！！！

解决2的方法 ： 当x与t的函数是相互乘的关系的话，把x看做常数提出来，再求导数！！！

当x 与t是除的关系或者是加减的关系，就要 换元了！！！！！（换元的时候积分上下限也要变化！！）

3求的是数列极限的问题时候

夹逼 或者 分项求和 定积分都不可以的时候

就考虑x趋近的时候函数值，数列极限也满足这个极限的当所求的极限是递推数列的时候

首先 ： 判断数列极限存在极限的方法是用的单调有界的定理。判断单调性不能用导数定义！！应为是 离散的只能用前后项的 比较（前后项相除相减），数列极限是否有界可以使用 归纳法最后对xn 与xn+1两边同时求极限，就能出结果了！！！

4涉及到极限已经出来了让你求未知数和位置函数的问题

解决办法 ：主要还是运用等价无穷小或者是同阶无穷小。应为例如当x趋近0时候f（x）比x =3的函数，分子必须是无穷小否则极限为无穷

还有落笔他法则的应用，主要是应为当未知数有几个时候，使用落笔他 法则 可以消掉模些未知数，求其他的未知数极限数列涉及到的证明题，只知道是要构造新的函数但是不太会！！！！！！！！！！

:o最后 总结 一下间断点的题型

首先 遇见间断点的问题 连续性的问题复合函数的问题，在莫个点是否可导的问题。

主要解决办法是3个一个是画图，你能画出反例来当然不可以了

你实在画不出反例，就有可能是对的，尤其是那些考概念的题目，难度不小，对我而言证明很难的！我就画图！我要能画出来当然是对的，在这里就要很好的理解一阶导的性质2阶导的性质，函数图形的凹凸性，函数单调性函数的奇偶性在图形中的反应！！！！

（在这里尤其要注意分段函数！！！！！）（例如分段函数导数存在还相等但是却不连续这个性质就比较特殊！！应为一般的函数都是连续的）

方法2就是举出反例！（在这里也是尤其要注意分段函数！！！！！）

例如 一个函数是个离散函数还有个也是离散函数他们的复合函数是否一定是离散的类？？

答案是NO举个反例就可以了

方法3上面的都不行那就只好用定义了主要是写出公式，连续性的公式求在抹一点的导数的公式

:o最后了

总结一下 函数 在抹一点是否可导 的问题

1首先 函数连续不一定可导，分段函数x绝对值函数在（0，0）不可导，我的理解就是 ：不可导=在这点上图形不光滑。可导一定连续，应为他有个前提，在点的领域内有定义，假如没有这个前提，分段函数左右的导数也能相等

1主要考点 1

函数在抹一点可导，他的 绝对值函数在这点是否可导 ？

解决办法：记住 函数绝对值的导数等于f（x）除以（绝对值（f（x）））再 乘以F（x）的导数。

所以判断绝对值函数不可导点，首先判断函数等于0的点，找出这些点之后，这个导数并不是百分百不存在，原因很简单分母是无穷小，假如分子式无穷小的话，绝对值函数的导数依然存在啊，所以还要找出f（a）导数的值，不为0的时候，绝对值函数在这点的导数是无穷，所以绝对值函数在这些点上是不可导的啊

考点2

处处可导的函数与在抹一些点不可以导但是连续的函数相互乘的函数，这个函数的不可导点的判断

直接使用导数的定义就能证明，我的理解是f（x）连续的话但是不可导，左右导数存在但是不等，左右导数实际上就是X趋近a的2个极限，f（x）乘以G（x）的函数在x趋近a的时候

f（x）在这点上的这2个极限乘以 g（a），当g（a）等于0的时候，左右极限乘以0当然相等了，乘积的导数=f（a）导数乘以G(a)+ G(a)导数乘以F（a），应为f（a）导数乘以G(a)=0，前面推出来了，所以乘积函数

第三篇：高等数学微积分求极限的方法整理

一，求极限的方法横向总结：

1带根式的分式或简单根式加减法求极限：1）根式相加减或只有分子带根式：用平方差公式，凑平方（有分式又同时出现未知数的不同次幂：将未知数全部化到分子或分母的位置上）

2）分子分母都带根式：将分母分子同时乘以不同的对应分式凑成完全平方式（常用到

2分子分母都是有界变量与无穷大量加和求极限：分子与分母同时除以该无穷大量凑出无穷小量与有界变量的乘积结果还是无穷小量。

3等差数列与等比数列和求极限：用求和公式。

4分母是乘积分子是相同常数的n项的和求极限：列项求和

5分子分母都是未知数的不同次幂求极限：看未知数的幂数，分子大为无穷大，分子小为无穷小或须先通分。

6运用重要极限求极限（基本）。

7乘除法中用等价无穷小量求极限。

8函数在一点处连续时，函数的极限等于极限的函数。

9常数比0型求极限：先求倒数的极限。

10根号套根号型：约分，注意别约错了。

11三角函数的加减求极限：用三角函数公式，将sin化cos

二，求极限的方法纵向总结：

1未知数趋近于一个常数求极限：分子分母凑出（x-常数）的形式，然后约分（因为x不等于该常数所以可以约分）最后将该常数带入其他式子。

2未知数趋近于0或无穷：1）将x放在相同的位置

2）用无穷小量与有界变量的乘积

3）2个重要极限

4）分式解法（上述）

第四篇：高等数学-极限

《高等数学》极限运算技巧

(2009-06-02 22:29:52)转载▼ 标签： 分类： 数学问题解答

杂谈 知识/探索

【摘 要】《高等数学》教学中对于极限部分的要求很高，这主要是因为其特殊的地位决定的。然而极限部分绝大部分的运算令很多从中学进入高校的学生感到困窘。本文立足教材的基本概念阐述，着重介绍极限运算过程中极具技巧的解决思路。希望以此文能对学习者有所帮助。【关键词】高等数学 极限 技巧

《高等数学》极限运算技巧

《高等数学》的极限与连续是前几章的内容，对于刚入高校的学生而言是入门部分的重要环节。是“初等数学”向“高等数学”的起步阶段。

一，极限的概念

从概念上来讲的话，我们首先要掌握逼近的思想，所谓极限就是当函数的变量具有某种变化趋势（这种变化趋势是具有唯一性），那么函数的应变量同时具有一种趋势，而且这种趋势是与自变量的变化具有对应性。通俗的来讲，函数值因为函数变量的变化而无限逼近某一定值，我们就将这一定值称为该函数在变量产生这种变化时的极限！

从数学式子上来讲，逼近是指函数的变化，表示为。这个问题不再赘述，大家可以参考教科书上的介绍。

二，极限的运算技巧

我在上课时，为了让学生好好参照我的结论，我夸过这样一个海口，我说，只要你认真的记住这些内容，高数部分所要求的极限内容基本可以全部解决。现在想来这不是什么海口，数学再难也是基本的内容，基本的方法，关键是技巧性。我记得blog中我做过一道极限题，当时有网友惊呼说太讨巧了！其实不是讨巧，是有规律可循的！今天我写的内容希望可以对大家的学习有帮助!我们看到一道数学题的时候，首先是审题，做极限题，首先是看它的基本形式，是属于什么形式采用什么方法。这基本上时可以直接套用的。1，连续函数的极限

这个我不细说，两句话，首先看是不是连续函数，是连续函数的直接带入自变量。2，不定型

我相信所有学习者都很清楚不定型的重要性，确实。那么下面详细说明一些注意点以及技巧。

第一，所有的含有无穷小的，首先要想到等价无穷小代换，因为这是最能简化运算的。等价代换的公式主要有六个：

需要注意的是等价物穷小代换是有适用条件的，即：在含有加减运算的式子中不能直接代换，在部分式子的乘除因子也不能直接代换，那么如果一般方法解决不了问题的话，必须要等价代换的时候，必须拆项运算，不过，需要说明，拆项的时候要小心，必须要保证拆开的每一项极限都存在。此外等价无穷小代换的使用，可以变通一些其他形式，比如：

等等。特别强调在运算的之前，检验形式，是无穷小的形式才能等价代换。

当然在一些无穷大的式子中也可以去转化代换，即无穷大的倒数是无穷小。这需要变通的看问题。

在无穷小的运算中，洛必答法则也是一种很重要的方法，但是洛必答法则适用条件比较单一，就是无穷小比无穷小。比较常见的采用洛必答法则的是无穷小乘无穷大的情况。(特别说明无穷小乘无穷大可以改写为无穷小比无穷小或者无穷大比无穷大的形式，这根据做题的需要来进行）。第二，在含有∞的极限式中，一般可分为下面几种情况：（1），“∞/∞ ”形式

如果是幂函数形式的（包含幂函数四则运算形式），可以找高次项，提出高次项，这样其他一切项就都是无穷小了，只有高次项是常数。比如：

，这道题中，可以看到提出最高次x（注意不是）其他项都是“0”，原来的x都是常数1了。当然如果分式形式中，只有分子中含有高次项，那么该极限式极限不存在（是无穷大），如果只有分母中含有高次项，那么该极限式极限为0，如果分子分母都含有高次项，我们可以直接去看高次项的系数，基本原理其实就是上面所说的提高次项。比如上面的例子，可以直接写1/2。

如果不是纯幂函数形式，无法用提高次项的方法（提高次项是优先使用的方法），使用洛必达也是一种很好的方法。需要强调的是洛必达是一种解决“∞/∞ ”或“0/0 ”的基本方法，它的严格限制形式只有这两种，所以比较好观察。但是多数时候我们优先采用其他的方法来解决，这主要是考虑运算量的问题。（2），“∞-∞ ”形式

“ ∞-∞”形式不能直接运算，需要转换形式，即转换成“∞/∞ ”或“0/0 ”的形式，基本解法同上。比如：

这道题是转换形式之后是“∞/∞ ”的形式，提高次项解。（3）“ ”形式

这也是需要转换的一种基本形式。因为无穷大与无穷小之间的倒数关系，所以这种转换时比较简单也是比较容易解决的。转换之后的形式也是“∞/∞ ”或“0/0 ”的形式。第三，“ ”

这种形式的解决思路主要有两种。

第一种是极限公式，这种形式也是比较直观的。比如： 这道题的基本接替思路是，检验形式是“式，最后直接套用公式。

第二种是取对数消指数。简单来说，“

”，然后选用公式，再凑出公式的形

”形式指数的存在是我们解题的主要困难。那么我们直接消掉指数就可以采用其他方法来解决了。比如上面那道题用取对数消指数的方法来解，是这样的：

可以看出尽管思路切入点不一样，但是这两种方法有异曲同工之妙。三，极限运算思维的培养

极限运算考察的是一种基本能力，所以在做题或者看书的时候依赖的是基本概念和基本方法。掌握一定的技巧可以使学习事半功倍。而极限思维的培养则是对做题起到指导性的意义。如何培养，一方面要立足概念，另一方面则需要在具体的运算中体会，多做题多总结。

（本文著作权归个人所有，如需转载请联系本人。）

第五篇：高等数学B上册 求极限方法总结

锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。

出自----荀子----《劝学》

求极限的几种常用方法

1．约去零因子求极限

例1：求极限limx1x41x1

【说明】x1表明x与1无限接近，但x1，所以x1这一零因子可以约去。

x1x1x212【解】lim=limx1x1=4 x1x1x1

2．分子分母同除求极限

例2：求极限limxx3x2 33x1

型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。 

1132xx1 【解】limlimx3x31x1333x【说明】

【注】（1）一般分子分母同除x的最高次方；

0m>n

anxnan1xn1...a0m

anm=n bn

3．分子(母)有理化求极限

例3：求极限limxx32

2x21 【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。【解】limxx3x21limxx23x21x23x21x23x21

lim

2x3x1

x

0

例4：求极限lim

x0

tanxsinx

x3

【解】lim

x0

tanxsinxtanxsinx

= limx0x3x3tanxsinx

=lim

x0

1tanxsinx1tanxsinx1

=limlim33x0x0x2x4tanxsinx

【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子是解题的关键

4.应用两个重要极限求极限

两个重要的极限（1）lim

sinx

1

x0x

x

n

11

（2）lim1lim1lim1xxe

xxx0

xn

在这一类型题中，一般也不能直接运用公式，需要恒等变形进行化简后才可

以利用公式。

x1

例5：求极限lim

xx1

【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑+

x，最后凑指数部分。x

x11xx2122x11【解】lime2 =lim1lim1xx1xx1x1xx1

2

补：求下列函数的极限(1)limlimcoscos



n0n





x2

xxxcos......cos 22232n

n2

(2)（2）lim12 mm

m

5.利用无穷小量的性质求极限

无穷小量的性质：无穷小量与有界量的乘积还是无穷小量。如果limfx0，gx在x0

某区间x,xx,x有界，则limfxgx0。这种方法可以处理一个函数不存

x0

在但有界，和另一个函数的极限是零的极限的乘积的问题。

0 xx

【解】因为sinx1lim

6.用等价无穷小量代换求极限

【说明】

(1)常见等价无穷小有：

当x0时,x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln1x~e1，x

1cosx~

12b

x，1ax1~abx 2

(2)等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式。(3)此方法在各种求极限的方法中应作为首选。

xln1x x01cosx

xln1xxx

【解】limlim2

x01cosxx02

x2

sinxx

例8：求极限lim

x0tan3x

例7：lim

12x

sinxxsinxxcosx11 【解】lim=limlimlimx0tan3xx0x0x03x2x33x26



7.利用函数的连续性求极限

这种方法适合求复合函数的极限。如果ugx在点x0处连续gx0u0，而

fu在点x0处连续，那么复合函数yfgx在点x0处连续。limfgx=fgx0=

xx0



flimgx也就说，极限号lim与f可以互换顺序。

xx0

xx01例9：求limln1

x

x1

【解】令ylnu,u1

x

1

因为lnu在点u0lim1e处连续

x

x1

所以limln1

x

x

x

xx

x

1x

=lnlim1

xx

=lne

=1

8．用洛必达法则求极限

洛必达法则只能对

0

或型才可直接使用，其他待定型必须先化成这两种类型之一，0

f'xfx等于A时，那么lim存g'xgx然后再应用洛必达法则。洛必达法则只说明当也存在lim

在且等于A。如果lim

f'xfx不存在时，并不能断定lim也不存在，这是不能用洛必达

g'xgxfx。

gx法则的，而须用其他方法讨论lim

lncos2xln1sin2x

例10：求极限lim

x0x2lncos2xln1sin2x

【解】lim 2x0x





2sin2xsin2x

2

=limx02x

=lim=3

sin2x21

 2x02xcos2x1sinx

9.用对数恒等式求limfxgx极限

例11：求极限lim1ln1x

x0

2x

【解】lim1ln1x=lime

x0

x0



2x2

ln1ln1xx

e

x0

lim

2ln1ln1x

x

=e

x0

lim

2ln1xx

e2

【注】对于1型未定义式，也可以用公式limfx因为

limfx

gx

gx

1e



limfx1gx

elimgxln1fx1elimfx1gx

10.利用两个准则求极限

（1）夹逼准则：若一正数N。当n>N时，有xnynzn且limxnlimzna，则有

x

x

limyna.x

利用夹逼准则求极限关键在于从xn的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列yn和zn，使得ynxnzn。例12：xn

1n1



1n2

......1nn

求xn的极限。

【解】因为xn单调递减，所以存在最大项和最小项xn

1nn1n1



1nn1n1

......

1nn1n1



nnnnn1

xn

......

nnn

n

xn

nn1n

又因为lim

x

nn

lim

x

n1

1

所以limxn1

x

（2）单调有界准则：单调有界数列必有极限，而且极限唯一。

利用单调有界准则求极限，关键先要证明数列的存在，然后根据数列的 通项递推公式求极限。

例，证明下列极限存在，并求其极限。y1

a,y2aa,y3aaa,......,ynaaa...a

证明：从这个数列看yn显然是增加的。用归纳法可证。又因为y2

ay1,y3ay2,......,ynayn1

所以得ynayn1.因为前面证明yn是单调增加的。两端除以yn得yn

a1 yn

因为yny1

a,则

aa

a，从而1a1 ynyn

ayna1

即yn是有界的。根据定理yn有极限且极限唯一。

令limynl则limylimyn1a

nnn

则lla，因为yn>0.解方程得l

14a1

所以limynl

n

14a1

本文对极限的求法作了一下小结归纳了几种求极限的基本方法。对一般的极限用上面的方法可以求出来，复杂一点的可能要综合几种方法才能求出，关键是“运用之妙，存孚一心”。