高等数学考研题型分析：连加活连乘的求极限[5篇模版]

第一篇：高等数学考研题型分析：连加活连乘的求极限

凯程考研，为学员服务，为学生引路！

高等数学考研题型分析：连加活连乘的求极限

考研数学中高数一直是考生的难点，下面凯程教育为大家解析2014考研高数题型：连加活连乘的求极限，希望对大家有所帮助。

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高等数学考研题型分析：变积分限函数求极限

考研数学中高数一直是考生的难点，下面凯程教育为大家解析2014考研高数题型：变积分

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限函数求极限，希望对大家有所帮助。

考研数学初期备考规划

2-3月份可以说是一年之中开始考研备考复习最关键的一个点，在这期间考生开始确认自己的目标，在院校和专业间做好抉择从而开始真正备考复习。打算的比较早的考生复习战已经打响了，对于刚刚开始进行复习的考生可能对于考研的了解和规划都还很模糊，这里凯程教育老师就以多年进行考研辅导的经验为大家总结一些考研数学在考试初始阶段需要明白的常识和复习技巧，希望能对考研考试起到帮助。

最开始的复习不得不提基础，数学是理科中的龙头科目，基础不打好，往后的备考复习都会受影响。考生在复习前要明白基础与提高的辩证关系，根据自身情况合理安排复习进度，处理好打基础和提高能力两者的关系。现阶段的复习应该以基础为主，打得好地基才能盖的好楼房，基础与提高是交插和分段进行的，现阶段应该以基础为主，基础扎实了，再行提高，对后面的复习才能做到事半功倍的效果。

在最初的复习中，重视基础是对的，但是很多考生对基础的重视理解有些偏，大多数人都是将基础知识灌进脑子的方式背下来，但是在基础阶段的复习中我们想要长久的将知识记在脑子里，就不能使用临时抱佛脚的方法。考生在备考时还要多做例题，而不仅仅是练习题。因为是初期的复习，在做题的同时认真地将遇到的解答中好的或者陌生的解题思路以及自己的 3页共3页

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思考记录下来，久而久之基础知识就会和解题一起印在脑子里，这样的基础复习才能在后期产生效用而不是无用功。

对于基础好的考生也不能在初期复习就好高骛远，抛弃书本直接进行难的练习。但数学基础不分功底好坏，从始至终都不能落下的要素就是基础的练习和记忆。踏踏实实的学习起来，而不要受周围人影响，影响力自己的判断力，投入到题海战术中。等你基础阶段很好的时候你的能力就慢慢的提升了，所谓量变而引起质变。最后的复习才能在这个基础上慢慢的进行提高，而且不会因为临时抱佛脚而在考试时丢三落四。

一个完善的计划可以将考生的复习一直带上正轨，善于最长期学习计划的考生能很轻易的将一年的时间安排的合理，凯程教育数学老师提醒考生，在最初的复习中就做好全年的计划，根据自己的情况，定期做适当的调整。

凯程教育：

凯程考研成立于2005年，国内首家全日制集训机构考研，一直从事高端全日制辅导，由李海洋教授、张鑫教授、卢营教授、王洋教授、杨武金教授、张释然教授、索玉柱教授、方浩教授等一批高级考研教研队伍组成，为学员全程高质量授课、答疑、测试、督导、报考指导、方法指导、联系导师、复试等全方位的考研服务。凯程考研的宗旨：让学习成为一种习惯；

凯程考研的价值观口号：凯旋归来，前程万里； 信念：让每个学员都有好最好的归宿；

使命：完善全新的教育模式，做中国最专业的考研辅导机构； 激情：永不言弃，乐观向上；

敬业：以专业的态度做非凡的事业；

服务：以学员的前途为已任，为学员提供高效、专业的服务，团队合作，为学员服务，为学员引路。

如何选择考研辅导班：

在考研准备的过程中，会遇到不少困难，尤其对于跨专业考生的专业课来说，通过报辅导班来弥补自己复习的不足，可以大大提高复习效率，节省复习时间，大家可以通过以下几个方面来考察辅导班，或许能帮你找到适合你的辅导班。

师资力量：师资力量是考察辅导班的首要因素，考生可以针对辅导名师的辅导年限、辅导经验、历年辅导效果、学员评价等因素进行综合评价，询问往届学长然后选择。判断师资力量关键在于综合实力，因为任何一门课程，都不是由

一、两个教师包到底的，是一批教师配合的结果。还要深入了解教师的学术背景、资料著述成就、辅导成就等。凯程考研名师云集，李海洋、张鑫教授、方浩教授、卢营教授、孙浩教授等一大批名师在凯程授课。而有的机构只是很普通的老师授课，对知识点把握和命题方向，欠缺火候。

对该专业有辅导历史：必须对该专业深刻理解，才能深入辅导学员考取该校。在考研辅导班中，从来见过如此辉煌的成绩：凯程教育拿下2015五道口金融学院状元，考取五道口15

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人，清华经管金融硕士10人，人大金融硕士15个，中财和贸大金融硕士合计20人，北师大教育学7人，会计硕士保录班考取30人，翻译硕士接近20人，中传状元王园璐、郑家威都是来自凯程，法学方面，凯程在人大、北大、贸大、政法、武汉大学、公安大学等院校斩获多个法学和法硕状元，更多专业成绩请查看凯程网站。在凯程官方网站的光荣榜，成功学员经验谈视频特别多，都是凯程战绩的最好证明。对于如此高的成绩，凯程集训营班主任邢老师说，凯程如此优异的成绩，是与我们凯程严格的管理，全方位的辅导是分不开的，很多学生本科都不是名校，某些学生来自二本三本甚至不知名的院校，还有很多是工作了多年才回来考的，大多数是跨专业考研，他们的难度大，竞争激烈，没有严格的训练和同学们的刻苦学习，是很难达到优异的成绩。最好的办法是直接和凯程老师详细沟通一下就清楚了。

建校历史：机构成立的历史也是一个参考因素，历史越久，积累的人脉资源更多。例如，凯程教育已经成立10年（2005年），一直以来专注于考研，成功率一直遥遥领先，同学们有兴趣可以联系一下他们在线老师或者电话。

有没有实体学校校区：有些机构比较小，就是一个在写字楼里上课，自习，这种环境是不太好的，一个优秀的机构必须是在教学环境，大学校园这样环境。凯程有自己的学习校区，有吃住学一体化教学环境，独立卫浴、空调、暖气齐全，这也是一个考研机构实力的体现。此外，最好还要看一下他们的营业执照。

第二篇：高等数学求极限的14种方法

高等数学求极限的14种方法

一、极限的定义

1.极限的保号性很重要：设

xx0

（1）若A0，则有0，使得当0|xx0|时，f(x)0；

（2）若有0,使得当0|xx0|时，f(x)0,则A0。

2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为x时函数的极限和xx0的极限。

要特别注意判定极限是否存在在： limf(x)A，收敛于a的充要条件是它的所有子数列均收敛于a。常用的是其推论，即“一个数列收敛于a的充（1）数列xn

要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a”

（2）

(3)x

xx0limf(x)Af(x)Axxx0limf(x)xA limA limlimxx0lim

(4)单调有界准则

（5）两边夹挤准（夹逼定理/夹逼原理）

(6)柯西收敛准则（不需要掌握）。极限limxx0f(x)存在的充分必要条件。是：

0,0,使得当x1、x2Uo(x0)时，恒有|f(x1)f(x2)|

二．解决极限的方法如下：

1.等价无穷小代换。只能在乘除时候使用。例题略。2.洛必达（L’hospital）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）

它的使用有严格的使用前提。首先必须是X趋近，而不是N趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f（x）、g（x）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：

（1）“0”“”时候直接用 0

(2)“0”“”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通

项之后，就能变成(i)中的形式了。即f(x)g(x)f(x)或f(x)g(x)g(x)；g(x)f(x)f(x)g(x)11g(x)f(x)f(x)g(x)11

(3)“0”“1”“”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即

这样就能把幂上的函数移下来了，变成“0”型未定式。

00f(x)g(x)eg(x)lnf(x)，1

3.泰勒公式(含有ex的时候，含有正余弦的加减的时候）

x2xnex

e1xxn1 ；

2!n!(n1)!

x

x3x5x2m1cosx2m3m

sinxx(1)(1)m1x

3!5!(2m1)!(2m3)!

2mx2x4cosx2m2mxcos=1 (1)(1)m1x2!4!(2m)!(2m2)!n

x2x3xn1n1xn

(1)(1)ln（1+x）=x-23n(n1)(1x)n1

(1+x)u=1ux

u(u1)2

xCunxnCun1(1x)un1xn1 2!

以上公式对题目简化有很好帮助 4.两多项式相除:设an,bm均不为零，P（x）=anxan1x

n

n1

a1xa0,Q(x)bmxmbm1xm1b1xb0

an

b,(mn)nP(x)P(x0)

P(x)(1)（2）若Q(x0)0，则 limQ(x)0,(nm)Q(x)Q(x)0xx0

,(nm)x



lim

5.无穷小与有界函数的处理办法。例题略。

面对复杂函数时候，尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了。

6.夹逼定理：主要是应用于数列极限，常应用放缩和扩大不等式的技巧。以下面几个题目为例：

（1）设

abc0，x

n

anbncn，求limxn

n

解：由于axna,以及

limaa,lim(a

n

n)a，由夹逼定理可知limxna

n



（2）求lim121212

(n1)(2n)nn

解：由012

n111111

222，以及22

n(n1)(2n)nnn

lim0lim

n

n

0可知，原式=0 n

1

(3)求lim2

nn1

n

n

n

1n22







 2

nn1

12



解：由1111

1nn

n1



1nn



1nn



1nn



nnn,以及

1n

7.数列极限中等比等差数列公式应用（等比数列的公比q绝对值要小于1）。例如：

n

n

lim1lim

nnn

lim

n

1

1得，原式=1

求

lim12x3x

n

nxn1(|x|1)。提示：先利用错位相减得方法对括号内的式子求和。



8.数列极限中各项的拆分相加（可以使用待定系数法来拆分化简数列）。例如：

=lim1223n(n1)lim1223



n

111111

n

lim11 n1)nn1)

9.利用xx与xn1极限相同求极限。例如：

（1）已知a12,an121，且已知an存在，求该极限值。limann解:设

1，即A22A10，解得结果并舍去负值得A=1+2 =A，（显然A）则0aA2limn

n

A

（2）利用单调有界的性质。利用这种方法时一定要先证明单调性和有界性。例如设x12,x222,,xnxn1,求limxn

n

解：（i）显然x1x22（ii）假设xk1xk2,则2xk12xk22，即xkxk12。所以，xn是单调递增数列，且有上界，收敛。设limA，（显然A0)则A

n

2A，即A2A20。

解方程并舍去负值得A=2.即limxn2

n

10.两个重要极限的应用。（1）

lim

x0

sinx

1 常用语含三角函数的“0” 型未定式 x0

(2)lim1xxe，在“1”型未定式中常用



x0

11.还有个非常方便的方法就是当趋近于无穷大时候不同函数趋近于无穷的速度是不一样的，n快于n！,n！快于指数型函数b(b为常数)，指数函数快于幂函数,幂函数快于对数函数。当x趋近无穷的时候，它们比值的极限就可一眼看出。

12.换元法。这是一种技巧，对一道题目而言，不一定就只需要换元，但是换元会夹杂其中。例如：求极限

n

n

arccosx



lim

x0

。解：设tarccosx,则x0时，t0,且xcos(t)sint。

22sin2x2x

sin2x

arccosx

2x





lim

x0

arccosx

2x





lim

t0

原式=

lim

x0

t1



2sint2

1111

13．利用定积分求数列极限。例如：求极限limn，所以。由于

nin2nnnn11n

21111111ln2 limlim1nn1xn2nnnnn111

nn

14.利用导数的定义求“0”型未定式极限。一般都是x0时候，分子上是“f(ax)f(a)”的形式，看见了这

'

种形式要注意记得利用导数的定义。（当题目中告诉你f（a）m告诉函数在具体某一点的导数值时，基本上

就是暗示一定要用导数定义）

n

fa1

例:设

f(a)0,f'

(a)存在，求lim

nn

fa



n

f(a)

f(a1

n)f(a)



f

f(af(a)

na1nfa

f(a1)f(a)n)f(a)

解：原式=

lim

n

1f(a)lim1f(a)

n







f(a1)f(a)

11f(a)f'(a)=

lime

n

e

f(a)

n

第三篇：高等数学微积分求极限的方法整理

一，求极限的方法横向总结：

1带根式的分式或简单根式加减法求极限：1）根式相加减或只有分子带根式：用平方差公式，凑平方（有分式又同时出现未知数的不同次幂：将未知数全部化到分子或分母的位置上）

2）分子分母都带根式：将分母分子同时乘以不同的对应分式凑成完全平方式（常用到

2分子分母都是有界变量与无穷大量加和求极限：分子与分母同时除以该无穷大量凑出无穷小量与有界变量的乘积结果还是无穷小量。

3等差数列与等比数列和求极限：用求和公式。

4分母是乘积分子是相同常数的n项的和求极限：列项求和

5分子分母都是未知数的不同次幂求极限：看未知数的幂数，分子大为无穷大，分子小为无穷小或须先通分。

6运用重要极限求极限（基本）。

7乘除法中用等价无穷小量求极限。

8函数在一点处连续时，函数的极限等于极限的函数。

9常数比0型求极限：先求倒数的极限。

10根号套根号型：约分，注意别约错了。

11三角函数的加减求极限：用三角函数公式，将sin化cos

二，求极限的方法纵向总结：

1未知数趋近于一个常数求极限：分子分母凑出（x-常数）的形式，然后约分（因为x不等于该常数所以可以约分）最后将该常数带入其他式子。

2未知数趋近于0或无穷：1）将x放在相同的位置

2）用无穷小量与有界变量的乘积

3）2个重要极限

4）分式解法（上述）

第四篇：高等数学B上册 求极限方法总结

锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。

出自----荀子----《劝学》

求极限的几种常用方法

1．约去零因子求极限

例1：求极限limx1x41x1

【说明】x1表明x与1无限接近，但x1，所以x1这一零因子可以约去。

x1x1x212【解】lim=limx1x1=4 x1x1x1

2．分子分母同除求极限

例2：求极限limxx3x2 33x1

型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。 

1132xx1 【解】limlimx3x31x1333x【说明】

【注】（1）一般分子分母同除x的最高次方；

0m>n

anxnan1xn1...a0m

anm=n bn

3．分子(母)有理化求极限

例3：求极限limxx32

2x21 【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。【解】limxx3x21limxx23x21x23x21x23x21

lim

2x3x1

x

0

例4：求极限lim

x0

tanxsinx

x3

【解】lim

x0

tanxsinxtanxsinx

= limx0x3x3tanxsinx

=lim

x0

1tanxsinx1tanxsinx1

=limlim33x0x0x2x4tanxsinx

【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子是解题的关键

4.应用两个重要极限求极限

两个重要的极限（1）lim

sinx

1

x0x

x

n

11

（2）lim1lim1lim1xxe

xxx0

xn

在这一类型题中，一般也不能直接运用公式，需要恒等变形进行化简后才可

以利用公式。

x1

例5：求极限lim

xx1

【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑+

x，最后凑指数部分。x

x11xx2122x11【解】lime2 =lim1lim1xx1xx1x1xx1

2

补：求下列函数的极限(1)limlimcoscos



n0n





x2

xxxcos......cos 22232n

n2

(2)（2）lim12 mm

m

5.利用无穷小量的性质求极限

无穷小量的性质：无穷小量与有界量的乘积还是无穷小量。如果limfx0，gx在x0

某区间x,xx,x有界，则limfxgx0。这种方法可以处理一个函数不存

x0

在但有界，和另一个函数的极限是零的极限的乘积的问题。

0 xx

【解】因为sinx1lim

6.用等价无穷小量代换求极限

【说明】

(1)常见等价无穷小有：

当x0时,x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln1x~e1，x

1cosx~

12b

x，1ax1~abx 2

(2)等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式。(3)此方法在各种求极限的方法中应作为首选。

xln1x x01cosx

xln1xxx

【解】limlim2

x01cosxx02

x2

sinxx

例8：求极限lim

x0tan3x

例7：lim

12x

sinxxsinxxcosx11 【解】lim=limlimlimx0tan3xx0x0x03x2x33x26



7.利用函数的连续性求极限

这种方法适合求复合函数的极限。如果ugx在点x0处连续gx0u0，而

fu在点x0处连续，那么复合函数yfgx在点x0处连续。limfgx=fgx0=

xx0



flimgx也就说，极限号lim与f可以互换顺序。

xx0

xx01例9：求limln1

x

x1

【解】令ylnu,u1

x

1

因为lnu在点u0lim1e处连续

x

x1

所以limln1

x

x

x

xx

x

1x

=lnlim1

xx

=lne

=1

8．用洛必达法则求极限

洛必达法则只能对

0

或型才可直接使用，其他待定型必须先化成这两种类型之一，0

f'xfx等于A时，那么lim存g'xgx然后再应用洛必达法则。洛必达法则只说明当也存在lim

在且等于A。如果lim

f'xfx不存在时，并不能断定lim也不存在，这是不能用洛必达

g'xgxfx。

gx法则的，而须用其他方法讨论lim

lncos2xln1sin2x

例10：求极限lim

x0x2lncos2xln1sin2x

【解】lim 2x0x





2sin2xsin2x

2

=limx02x

=lim=3

sin2x21

 2x02xcos2x1sinx

9.用对数恒等式求limfxgx极限

例11：求极限lim1ln1x

x0

2x

【解】lim1ln1x=lime

x0

x0



2x2

ln1ln1xx

e

x0

lim

2ln1ln1x

x

=e

x0

lim

2ln1xx

e2

【注】对于1型未定义式，也可以用公式limfx因为

limfx

gx

gx

1e



limfx1gx

elimgxln1fx1elimfx1gx

10.利用两个准则求极限

（1）夹逼准则：若一正数N。当n>N时，有xnynzn且limxnlimzna，则有

x

x

limyna.x

利用夹逼准则求极限关键在于从xn的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列yn和zn，使得ynxnzn。例12：xn

1n1



1n2

......1nn

求xn的极限。

【解】因为xn单调递减，所以存在最大项和最小项xn

1nn1n1



1nn1n1

......

1nn1n1



nnnnn1

xn

......

nnn

n

xn

nn1n

又因为lim

x

nn

lim

x

n1

1

所以limxn1

x

（2）单调有界准则：单调有界数列必有极限，而且极限唯一。

利用单调有界准则求极限，关键先要证明数列的存在，然后根据数列的 通项递推公式求极限。

例，证明下列极限存在，并求其极限。y1

a,y2aa,y3aaa,......,ynaaa...a

证明：从这个数列看yn显然是增加的。用归纳法可证。又因为y2

ay1,y3ay2,......,ynayn1

所以得ynayn1.因为前面证明yn是单调增加的。两端除以yn得yn

a1 yn

因为yny1

a,则

aa

a，从而1a1 ynyn

ayna1

即yn是有界的。根据定理yn有极限且极限唯一。

令limynl则limylimyn1a

nnn

则lla，因为yn>0.解方程得l

14a1

所以limynl

n

14a1

本文对极限的求法作了一下小结归纳了几种求极限的基本方法。对一般的极限用上面的方法可以求出来，复杂一点的可能要综合几种方法才能求出，关键是“运用之妙，存孚一心”。

第五篇：2018考研高等数学基本定理：函数与极限部分

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2018考研高等数学基本定理：函数与极

限部分

在暑期完成

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数列{xn}、{yn}、{zn}满足下列条件：yn≤xn≤zn且limyn=a，limzn=a，那么limxn=a，对于函数该准则也成立。

单调有界数列必有极限。

6、函数的连续性设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，如果函数f(x)当x→x0时的极限存在，且等于它在点x0处的函数值f(x0)，即lim(x→x0)f(x)=f(x0)，那么就称函数f(x)在点x0处连续。

不连续情形：

1、在点x=x0没有定义;

2、虽在x=x0有定义但lim(x→x0)f(x)不存在;

3、虽在x=x0有定义且lim(x→x0)f(x)存在，但lim(x→x0)f(x)≠f(x0)时则称函数在x0处不连续或间断。

如果x0是函数f(x)的间断点，但左极限及右极限都存在，则称x0为函数f(x)的