第一篇:高数极限求法总结
首先说下我的感觉,假如高等数学是棵树木得话,那么 极限就是他的根,函数就是他的皮。树没有跟,活不下去,没有皮,只能枯萎,可见这一章的重要性。
为什么第一章如此重要? 各个章节本质上都是极限,是以函数的形式表现出来的,所以也具有函数的性质。函数的性质表现在各个方面
首先 对 极限的总结 如下
极限的保号性很重要 就是说在一定区间内 函数的正负与极限一致 极限分为 一般极限,还有个数列极限,(区别在于数列极限时发散的,是一般极限的一种)
2解决极限的方法如下:(我能列出来的全部列出来了!!!你还能有补充么???)1 等价无穷小的转化,(只能在乘除时候使用,但是不是说一定在加减时候不能用 但是前提是必须证明拆分后极限依然存在)e的X次方-1 或者(1+x)的a次方-1等价于Ax 等等。全部熟记
(x趋近无穷的时候还原成无穷小)
2落笔他 法则(大题目有时候会有暗示 要你使用这个方法)
首先他的使用有严格的使用前提!!!
必须是 X趋近而不是N趋近!!!!(所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限,当然n趋近是x趋近的一种情况而已,是必要条件(还有一点 数列极限的n当然是趋近于正无穷的 不可能是负无穷!)
必须是 函数的导数要存在!!!!(假如告诉你g(x), 没告诉你是否可导,直接用无疑于找死!)
必须是 0比0 无穷大比无穷大!!!!!
当然还要注意分母不能为0 落笔他 法则分为3中情况 0比0 无穷比无穷 时候 直接用 0乘以无穷 无穷减去无穷(应为无穷大于无穷小成倒数的关系)所以 无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后 这样就能变成1中的形式了 3 0的0次方 1的无穷次方 无穷的0次方
对于(指数幂数)方程 方法主要是取指数还取对数的方法,这样就能把幂上的函数移下来了,就是写成0与无穷的形式了,(这就是为什么只有3种形式的原因,LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候 LNX趋近于0)
3泰勒公式(含有e的x次方的时候,尤其是含有正余旋 的加减的时候要 特变注意!!)
E的x展开 sina 展开 cos 展开 ln1+x展开 对题目简化有很好帮助
4面对无穷大比上无穷大形式的解决办法
取大头原则 最大项除分子分母!!!!!!看上去复杂处理很简单!!!!!
5无穷小于有界函数的处理办法
面对复杂函数时候,尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候,一定要注意这个方法。
面对非常复杂的函数 可能只需要知道它的范围结果就出来了!!
6夹逼定理(主要对付的是数列极限!)
这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式,放缩和扩大。
7等比等差数列公式应用(对付数列极限)(q绝对值符号要小于1)
8各项的拆分相加(来消掉中间的大多数)(对付的还是数列极限)可以使用待定系数法来拆分化简函数
9求左右求极限的方式(对付数列极限)例如知道Xn与Xn+1的关系,已知Xn的极限存在的情况下,xn的极限与xn+1的极限时一样的,应为极限去掉有限项目极限值不变化2 个重要极限的应用。这两个很重要!!!对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x比值。地2个就如果x趋近无穷大 无穷小都有对有对应的形式(地2个实际上是 用于 函数是1的无穷的形式)(当底数是1 的时候要特别注意可能是用地2 个重要极限)还有个方法,非常方便的方法
就是当趋近于无穷大时候
不同函数趋近于无穷的速度是不一样的!!!!!!!!
x的x次方 快于 x!快于 指数函数 快于 幂数函数 快于 对数函数(画图也能看出速率的快慢)!!!当x趋近无穷的时候 他们的比值的极限一眼就能看出来了 换元法 是一种技巧,不会对模一道题目而言就只需要换元,但是换元会夹杂其中
13假如要算的话 四则运算法则也算一种方法,当然也是夹杂其中的
14还有对付数列极限的一种方法,就是当你面对题目实在是没有办法 走投无路的时候可以考虑 转化为定积分。一般是从0到1的形式。
15单调有界的性质
对付递推数列时候使用 证明单调性!!!
16直接使用求导数的定义来求极限,(一般都是x趋近于0时候,在分子上f(x加减麽个值)加减f(x)的形式,看见了有特别注意)
(当题目中告诉你F(0)=0时候 f(0)导数=0的时候 就是暗示你一定要用导数定义!!)
(从网上发现,谢谢总结者)
第二篇:浅析极限的若干求法
科技信息 ○高校讲台○ SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION
2007 年第 23 期
浅析极限的若干求法
孟金涛
(郑州航空工业管理学院数理系河南 郑州 450015)
摘要: 极限理论是高等数学的基础, 本文给出了极限的若干求法, 并用具体实例加以说明。关键词: 极限;表达式;等价无穷小
极限理论是高等数学的基础, 极限问题是高等数学中困难问题之
a +a +⋯+a
xx
x n
一。中心问题有两个: 一是证明极限的存在性, 二是求极限的值。两个 问题密切相关: 若求出了极限的值, 自然极限的存在性也就证明了。反 之, 证明了存在性, 常常也就为求极限铺平了道路。
利用定义证明极限的存在, 有一先决条件, 即事先要知道极限的 猜测值。通常情况下我们都不知道表达式的极限值, 那么如何根据表
→0
a1
+lim
x→0
+⋯+lim x a21 x→0 x→
1解】【(1)将根式有理化, 于是有原式为
x
解】令 t=-x,则 x→∞时, t→∞。于是lim(1-)=lim(1+)= 【
x→∞ t→∞ x t e
x
-t
=1 lim x→0x
(enπ)=sin2 【π, 由于初等函数在有定义的地方都连续,=sin
π
=sin项趋向于零求极限。1+
(1)利用收敛级数的通项趋向于零求极限。(2)利用收敛级数的余 2 π2lim =1。
原极限=sinn→∞ 2 +
1n
12×13×⋯×(n+10)例 9】求下列极限lim 【x, 其中(1)xn= 11×
十一、利用导数定义求极限n→∞ n
2×5×8⋯×(3n-1)
f(x-3h)-f(x0)例 11】设 f(x)在 x0 处可导, 求lim 0 【(2)xn=⋯+ h→0 2 2
2n)n+1 *(2n)
原极限=lim= 0 =arctan1= π 20n→∞ n i=11+x 4 i)
九、利用收敛级数的性质求极限,-
nπ
n+n +n
*)-
*
xn+1解】【(+当 x→∞时), 所以正项级数 1)由于 +x
n 3n+2 3 n =
1收敛, 从而可得通项 xn→0(当 n→∞时)。
∞
∞
∞
解】由导数定义有【
f(x03h)-f(x0)
h→0
lim
h→0
=lim
h
·(1
=0
Mathematics of Computation,1995,64:1147-1170.[ 2] A.R.Conn and Ph.L.Toint.An algorithm using quadratic interpolation for unconstrained derivative free optimization[ A].In G.Di Pillo and F.Gianessi, editors,Nonlinear Optimization and Applications [ M] ,New York, Plenum Publishing, 1996,27-47.[ 3] A.R.Conn,K.ScheinbergandPh.L.Toint.Ontheconvergenceof derivative-free methods for unconstrained optimization[ A].In A.Iserles andM.Buhmann,editors,ApproximationTheoryandOptimization: Tributes to M.J.D.Powell [ C] , Cambridge,UK,Cambridge University Press, 1997,83-103.[ 4] J.J.More and D.C.Sorensen.Computing a trust region step [ J].SIAM J.Sci.Stat.Comput,1983,4(3):553-572.Kef
≤Kk
2Kef
max$△k,△ kKgk
△k
(上接第 480 页)实可行的财务风险防范措施。
从单个企业来讲, 收益不足是导致财务风险的主要因素, 经营收 入扣除经营成本费用税金等经营费用后是经营收益, 如果从经营收益 开始就已经亏损, 说明企业已近破产倒闭, 即使总收益为盈利, 可能是 由于非主营业务或营业外收入所形成利润增加, 如出售手中持有有价 证券、固定资产等;如果经营收益为盈利, 而总收益为亏损, 问题不太 严重的话,说明已经出现危机信号, 但是可以正常经营的, 这是因为企 业的资本结构不合理, 举债规模大,利息负担重所致。企业必须针对财
务指标的评价采取有效措施加以调整。
综上所述,利用财务指标的评价, 找出企业的薄弱环节, 制定出企 业的筹资活动、投资活动、资金回收、收益分配策略及措施, 防范规避 财务风险,才能使企业长久稳定健康发展。
[ 1] 温素彬, 薛恒新.基于科学发展观的企业三重绩效评价模型[J].会计
研究.[ 2] 王化成, 刘俊勇, 孙薇.企业业绩评价[M].北京: 中国人民大学出版
参考文社.献
488
第三篇:高数极限习题
第二章 导数与微分
典型例题分析
客观题
例 1 设f(x)在点x0可导,a,b为常数,则limf(x0ax)f(x0bx)xabx0()
f(x0)Aabf(x0)
B(ab)f(x0)
C(ab)f(x0)
D
答案 C
解
f(x0ax)f(x0bx)limx0x[f(x0ax)f(x0)][f(x0bx)f(x0)]lim x0x
f(x0bx)f(x0)f(x0ax)f(x0)blim
alim
x0x0bxax
(ab)f(x0)
例2(89303)设f(x)在xa的某个邻域内有定义,则f(x)在xa处可导的一个充分条件是()1f(a2h)f(ah)(A)limhfaf(a)存在(B)lim存在h0hhh(C)limf(ah)f(ah)2hh0存在(D)limf(a)f(ah)h存在h0答案 D
解题思路
(1)对于答案(A),不妨设
1hx,当h时,x0,则有
1f(ax)f(a)limhfaf(a)lim存在,这只表明f(x)在xa处hx0hx右导数存在,它并不是可导的充分条件,故(A)不对.(2)对于答案(B)与(C),因所给极限式子中不含点a处的函数值f(a),因此与导数概念不相符和.例如,若取
1,xaf(x)
0,xa则(B)与(C)两个极限均存在,其值为零,但limf(x)0f(a)1,从而f(x)在xaxa处不连续,因而不可导,这就说明(B)与(C)成立并不能保证f(a)存在,从而(B)与(C)也不对.(3)记xh,则x0与h0是等价的,于是 limf(a)f(ah)hh0limf(ah)f(a)hh0limf(ah)f(a)h
h0x所以条件D是f(a)存在的一个充分必要条件.例3(00103)设f(0)0,则f(x)在点x0可导的充要条件为()x0limf(ax)f(a)f(a)(A)lim1h1h2h0f(1cosh)存在(B)lim1h1hh0f(1e)存在
h(C)limh02f(hsinh)存在(D)limh0f(2h)f(h)存在
答案 B
解题思路
(1)当h0时, 1coshhh02limf(1cosh)h2h0lim2f(1cosh)f(0)h21.所以如果f(0)存在,则必有
limf(1cosh)f(0)1coshh0lim1coshh2h0若记u1cosh,当h0时,u0,所以
f(1cosh)f(0)f(u)f(0)limlimf(0)h0h01coshu于是
limf(1cosh)h2h012f(0)
1h2这就是说由f(0)存在能推出limh0f(1cosh)存在.h0,而不是u0,因此 但是由于当h0时,恒有u1cos1f(x)f(0)f(0)limlim2f(1cosh)存在只能推出存在,而不能推出f(0)h0hx0x存在.
(2)当h0时, 1eho(h),于是
hlimf(1e)hhh0limf(ho(h))f(0)hh0limf(ho(h))f(0)ho(h)
h0 由于当h0时, ho(h)既能取正值,又能取负值,所以极限limf(ho(h))f(0)ho(h)h0存在与limf(h)f(0)hh0f(0)存在是互相等价的.因而
极限lim1hh0hf(1e)存在与f(0)存在互相等价.(3)当h0时, 用洛比塔法则可以证明limlimf(hsinh)h2h0,所以 6hf(hsinh)f(0)hsinhlimlimh 3h0h0hsinhhh03hsinh1由于h0,于是由极限limf(hsinh)f(0)hsinhh0limhsinhh3h0h存在未必推出hsinh(4)f(x)在点x0可导一定有(D)存在,但(D)存在不一定f(x)在点x0可导.h0limf(hsinh)f(0)也存在,因而f(0)未必存在.例 4(98203)函数f(x)(xx2)|xx|有()个不可导点
(A)0(B)1(C)2(D)3
答案 C
解题思路 当函数中出现绝对值号时,不可导的点就有可能出现在函数的零点,因为函数零点是分段函数的分界点.因此需要分别考察函数在点x00,x11,x21考察导数的存在性.解 将f(x)写成分段函数:
23(x22(xf(x)2(x(x2x2)x(1x),x2)x(x1),x2)x(1x),x2)x(x1),2222x1,1x0,0x1,1x.(1)在x00附近,f(x)写成分段函数:
22x(xx2)(x1),x023 f(x)(xx2)|xx|22x(xx2)(1x),x0容易得到
f(x)f(0)22f(0)limlim(xx2)(x1)2
x0x0xf(x)f(0)22f(0)limlim(xx2)(1x)2
x0x0x由于f(0)f(0),所以f(0)不存在.(2)在x11附近,f(x)写成分段函数:
2x(1x)(xx2)(1x),x123f(x)(xx2)|xx|
2x(1x)(xx2)(x1),x1f(x)f(1)2f(1)limlimx(1x)(xx2)4
x1x1x1f(x)f(1)2f(1)limlimx(1x)(xx2)4
x1x1x1由于f(1)f(1),所以f(1)不存在.(3)在x21附近,f(x)写成分段函数:
2x(1x)(xx2)(x1),x123f(x)(xx2)|xx|
2x(1x)(xx2)(x1),x1f(1)limf(x)f(1)x1x0x1由于f(1)f(1)0,所以f(1)存在.x1f(1)limx1f(x)f(1)limx1x(x1)(x22x2)0
limx(x1)(xx2)0
综合上述分析,f(x)有两个不可导的点.例5(95103)设f(x)具有一阶连续导数,F(x)f(x)(1|sinx|),则f(0)0是F(x)在x0处可导的()
(A)必要但非充分条件
(B)充分但非必要条件
(C)充分且必要条件
(D)既非充分也非必要条件
答案 C
分析 从F(x)在x0的导数定义着手.将F(x)f(x)(1|sinx|)f(x)f(x)|sinx| 解
F(x)F(0)f(x)f(0)f(x)|sinx|f(0)|sin0|limlimF(0)lim
x0x0x0x0x0x0
f(0)f(0)
f(x)f(0)f(x)|sinx|f(0)|sin0|F(x)F(0)limlimF(0)lim
x0x0x0x0x0x0f(0)f(0)
于是推知F(0)F(0)的充分必要条件是f(0)0. 例6(92103)设函数f(x)3xx|x|,则使f32(n)(0)存在的最高阶数n().(A)0
(B)1(C)
2(D)3
答案 C
解题思路 应先去掉f(x)中的绝对值,将f(x)改写为分段函数
2x3 f(x)3xx|x|34x32x0x0x0x0
2x3 解 由f(x)3xx|x|34x32
6x2得f(x)212xx0x0
12x且f(x)24x又f(0)limx012 f(x)x024x0x0x0
f(x)f(0)x0limx02x03x00,f(0)limf(x)f(0)x0x0limx04x03x020
所以f(0)存在.f(0)limf(x)f(0)x0x0limx06x0x012x0 00 f(0)limf(x)f(0)x02limx0x0x0所以f(0)存在.f(0)limf(x)f(0)x0x0limx012x0x012
x0即f(0)f(0).因而使fx0f(0)limf(x)f(0)24
x0(n)(0)存在的最高阶数是2.x0lim24x0
例7 f(x)cos|x|x2|x|存在的最高阶导数的阶数等于()
A
0
B 1
C 2
D 3 答案 C 解题思路 注意cos|x|cosx,所以只需考察x|x|在点x0的情况.例8(96203)设0,f(x)在区间(,)内有定义,若当x(,)时,恒有f(x)x,则x0必是f(x)的()
(A)间断点,(B)连续而不可导的点,(C)可导的点,且2f'(0)0
(D)可导的点,且f'(0)0
答案
C
解 由题目条件易知f(0)0,因为
|所以由夹逼定理
f(x)f(0)x||f(x)xf(x)x||x2x|
2lim|x0f(x)f(0)x|lim|x0|lim|x0xx|0
于是f(0)0.1ex,x0, 则f(0)为()
例9(87103)设f(x)x0,x0.
1(A)0
(B)
(C)1
(D)1
2答案
(C)
解题思路
因f(x)为分段函数,故它在分段点处的导数应按导数的定义,又由于是未定式,可用洛必达法则求极限.200型解
1e f(0)limx2f(x)f(0)x0ulimx0x0xx00lim1exx2x02x
2当u0时,e 1与u是等价无穷小,所以当x0时,1e与x是等价无穷小.因而
2lim1exx2x021
12,则x0时,f(x)在x0处的微分dy与
例10(88103)设f(x)可导且f(x0)x比较是()的无穷小.(A)等价(B)同阶(C)低阶(D)高阶
答案 B
解题思路
根据yf(x)在xx0处的微分的定义:dyf(x0)x.x12 解 limlim,可知dy与x是同阶的无穷小.x0xx0x21xsin,x0
例11(87304)函数f(x)在x0处()xx00,dy
(A)连续,且可导
(B)连续,不可导
(C)不连续
(D)不仅可导,导数也连续
答案 B
解题思路
一般来说,研究分段函数在分段点处的连续性时,应当分别考察函数的左右极限;在具备连续性的条件下,为了研究分段函数在分界点处可导性,应当按照导数定义,或者分别考察左右导数来判定分段函数在分段点处的导数是否存在.因此,本题应分两步:(1)讨论连续性;(2)讨论可导性.解(1)讨论函数在点x0处的连续性
10f(0),可知函数f(x)在点x0处是连续的.由于limf(x)limxsinx0x0x
(2)讨论函数在点x0处的可导性
1xsin0f(x)f(0)1xlimlimsin
由于lim不存在,所以,函数f(x)在点
x0x0x0x0xxx0处不可导.x
例12 设f(x)p必须满足()p1sin01x,x0,x0 在点x0可导,但是f(x)导数在点x0不连续,则
A0p1
B1p2
C0p2
D1p答案 B
解题思路
(1)当p1时,下述极限不存在: x因此f(0)不存在.当p1时, x0limf(x)f(0)xsinlimx0p1xlimxp1sin1
x0xxx所以f(0)0.x0limf(x)f(0)xsinlimx0p1xlimxp1sin10
x0xx这就是说,只有当p1时, f(0)才存在,所以选项A,C可以被排除.(2)当p1时
0,x0 f(x)11p1p2sinxcos,x0pxxx当且仅当p20,即p2时,limf(x)0f(0),所以当且仅当1p2时,x0f(x)在点x0可导,但是f(x)在点x0不连续.例13(95403)设f(x)可导,且满足条件limf(1)f(1x)2x12x01,则曲线yf(x)在(1,f(1))处的切线斜率为()(A)2,(B)2,(C),(D)1
答案 B
解 记ux,则有
f(1)f(1x)1f(1u)f(1)1limlimf(1)x02x2u0u2
例1
4设yln(12x),则y
(A)(10)()
9!(12x)10
(B)9!(12x)10
(C)10!2910(12x)
(D)9!21010(12x)
答案 D
解题思路
求高阶导数的一般方法是: 先求出一阶、二阶、三阶导数;找出规律,即可写出高阶导数.2y, 12x21y(2)(1)(2)(1)(2)
22(12x)(12x)y(2)(1)(2)(2)2(12x)3
y(10)9!21010(12x).例17
(90103)设函数f(x)有任意阶导数,且f(x)f(x),则f(n)(x)(n1),(n2).n1(A)n!f(x)(B)nf(x)(C)f2n(x)(D)n!f2n(x)
答案 A
解题思路 这是一个求高阶导数的问题,涉及到求抽象函数的导数.解
由f(x)有任意阶导数且f(x)f(x),可知
2f(x)f(x)32f(x)f(x)2f(x)ff(x)2f(x)32f(x)f(x)3!f2(n)n12(x)2f(x),(x)
34依此由归纳法可知 f(x)n!f(x)
注意(1)当n1,n2时虽然(B)也正确,但当n2就不正确了,所以将(B)排除之;
222(2)在求导数f(x)时,可将函数f(x)看成是由yt与tf(x)复合而成的,(t)f(x)2tf(x)2f(x)f(x).(初学者可能会这样做:f(x)2f(x),后面丢掉一个因子f(x).则根据复合函数的求导法则,故f(x)222
例18(91303)若曲线yxaxb和2y1xy在点(1,1)处相切,其中
23a,b是常数,则()(A)a0,b
2(B)a1,b3
(C)a3,b
1(D)a1,b1
答案 D
解题思路
两曲线在某点相切就是指两曲线在此公共点处共一条切线,从而两曲线的斜率也应相等.解
曲线yxaxb在点(1,1)处的斜率是
2k1(xaxb)2x1(2xa)x132a
另一条曲线是由隐函数2y1xy确定,该曲线在点(1,1)处的斜率可以由隐函数求导数得到: 对于方程2y1xy两边求导得到2y3xyyy,解出y得到此曲线在点(1,1)处的斜率为
k2yx1y1323y3223xy1
x1y12令k1k2,立即得到a1.再将a1,x1,y1代入yxaxb中得出b1.例19设f(x),g(x)定义在(1,1),且都在x0处连续,若g(x)x0f(x)x,则()x02(A)limg(x)0且g'(0)0,(B)limg(x)0且g'(0)1
x0x0(C)limg(x)1且g'(0)0
(D)limg(x)0且g'(0)2
x0x0 答案 D
解题思路 分析函数f(x)的表达式,并运用f(x)在x0处连续这一关键条件.解 既然f(x)在x0处连续,于是必有limf(x)limx0g(x)xx02,于是必有limg(x)0.于是又有g(0)limx0g(x)g(0)xx0limg(x)xx02.1cosx 例 20(99103)设f(x)x2xg(x)x0x0 其中g(x)是有界函数,则f(x)在x0处()(A)极限不存在(B)极限存在,但不连续
(C)连续,但不可导(D)可导
答案 D
解题思路
若能首先判定f(x)在x0处可导,则(A)、(B)、(C)均可被排除.解
x f(0)lim21f(x)f(0)x0x0x2limx01cosx3limx023limx0x2x)
2x220
(x0时1cosx~ f(0)lim2f(x)f(0)x0xx0由于f(x)在x0点的左导数等于右导数,因而 f(x)在x0处可导.x0x0limxg(x)2limxg(x)0(g(x)是有界函数)
例21 设f(x)sinx,则(f(f(x)))()A.cos(sinx)cosx B.sin(sinx)cosx C.cos(cosx)sinx D.sin(cosx)sinx
答案 A
例 22 设f(x)是可导函数,则()A.若f(x)为奇函数,则f(x)为偶函数B.若f(x)为单调函数C.若f(x)为奇函数,则f(x)为奇函数D.若f(x)为非负函数 答案 A
解题思路 根据导数定义,利用函数的奇性.解 由于f(u)f(u),所以 ,则f(x)为单调函数 ,则f(x)为非负函数
f(x)limlimf(xx)f(x)xf[x(x)]f(x)x0limf(xx)f(x)x
x0x因此f(x)为偶函数.x0f(x)例23 设yesinsin22x,则dy()sin2 B.2eA.esinx C.2e 答案 D
解题思路 运用复合函数微分法
例 24 设f(0)存在,lim(1x0xxsin2xsincosx D.e2xsin2x
1cosf(x)sinx1)xe,则f(0)()A.0 B.1 C.答案 C
解 由 C.e
lim(1x01cosf(x)sinx1)xe
可以知道当x0时,有
lim(参阅第一章1.5的例2)
x011cosf(x)1 xsinxf2当x0时,sinx与x是等价无穷小,1cosf(x)与
(x)2是等价无穷小.于是
f(x)11cosf(x)1limlim1 2x0xx0sinx2x又因为f(0)存在,所以此式又推出 f(0)limf(x)xx022.1,x0arctan 例 25 设f(x) 在点x0可导,则()xaxb,x0A.a1,b2 B.a1,b0 C.a1,b2 D.a1,b2
答案D
解题思路 先考察函数在点x0左右极限,确定连续性,再考察左右导数.由可微性最终确定a,b.解
1,所以b.(1)limf(x)lim(axb)b,limf(x)limarctanx0x0x22x0x0于是f(0)2.(2)f(0)a,f(0)limx0f(x)f(0)arctanlimx01xx2
xarctan1xx2: 以下需要用洛比塔法则求极限limx0
arctanlimx01x2lim(arctan1xx2)limx01x2xx0于是由f(0)f(0)推出a1
11
例26.(93303)若f(x)f(x),且在(0,)内f(x)0,f(x)0,则f(x)在(,0)内必有
(A)f(x)0,f(x)0(B)f(x)0,f(x)0
(C)f(x)0,f(x)0(D)f(x)0,f(x)0 答案 C
解体思路 所给函数显然是奇函数,因此f(x)是偶函数,f(x)是奇函数.解 由f(x)0,x(0,)知f(x)0,x(,0);由f(x)0,x(0,)知f(x)0,x(,0).
第四篇:浅谈数列极限的求法
浅谈数列极限的求法
龙门中小李海东
摘要:本文主要介绍了数列极限的几种求法,并通过一个例题说明利用函数极限的求法,帮助寻找数列极限的方法,帮助学生理解和掌握求极限的方法。
关键词:数列极限方(求)法说明
引言:在初等代数,高等代数学习过程中发现或多或少都涉及到数列极限的有关内容,在数学分析中数列极限是极其重要的章节,数列极限是学习函数极限的基础和铺垫,数列极限的求法和函数极限求法在某种程度上是彼此相似的,所以可以对照学习,也可以用一种求极限的方法,求出另外一种极限,给解答习题带来一定的灵活性。方法也是比较灵活的。下面就数列极限的求法略作浅谈,且举例说明。
一 利用单调有界准则求极限
预备知识:若数列an收敛,则an为有界数列,即存在正数M,使得对一切正整数n,有 anM.此方法的解题程序为:
1、直接对通项进行分析或用数学归纳验证数列an单调有界;
2、设an的极限存在,记为limanA代入给定的表达式中,则该式变为A的代数方n
程,解之即得该数列的极限。
举例说明:
例:若序列an的项满足a1a(a0)且an11aan,(n1,2,),试证2an
an有极限并求此极限。
解由a1a
21a1a12a2a1aa1aa22aa2a111
用数学归纳法证明aka需注意
22a2aka1a1akaka.ak2ak2akak
又anan12a1aana0 n2an2an
an为单调减函数且有下界。
令其极限为A 由 an1
1a
an有: 2an
1a
an2an
liman1
n
即A
1a
A 2A
AaA
a(A0)
n
从而liman
a.二 利用数列极限的定义求数列的极限
大家知道,数列极限的定义是这样的:设an为数列,a为定数,若对任给的正数,总存在正整数N,使得当nN时,有ana,则称数列收敛于a,定数a称为数列
anan的极限,记作:limn
a,当数列不单调时,我们就用此定义来求极限,其步骤:
1、先根据数列极限的唯一性求出极限;
2、再去证明极限的存在性。举例说明:
例:设x12, xn12解1.令limxnt
n
(n1)求::limxn.nxn
则limxn1lim2
n
n
xn
即t2t12xn2
t2 t12(t12舍去)
1t
2.证明其极限的存在性对0xnt(2)(2)xn1t
xn1txn2t1xn1t ttxn1442
24n1
(当n足够大)
1xn1
x144n1
由极限的下定义可得:limxnt0
n
limxnt1
n
2.三 利用数列夹逼准则求数列极限
回顾一下:设收敛数列an数列{cn}满足:存在正数N0,当nN0,bn都以a为极限,时,有:ancnbn.则数列{cn}收敛,且limcna.n
此方法一般通过放大或缩小分母来找出两边数列的通项,从而达到求极限的目的。
举例说明:
11
例:求 lim12.n
nn
111n1
解由11212
nnnn
n1n11
1112 (n1)(n1)n1n1
n
n
n
n
nnn
1
显然 lim1e
n
n
nn1
111lim11并且 lim1e nn
n1n1n1
n
11
lim12e.n
nn
四 利用重要公式求极限或转化为函数的极限
此方法必须在牢记重要极限的形式和其值的基础上,对所求式子作适当变形,从而达到求其极限的目的,这种方法灵活,有相当的技巧性。
举例说明:
n
n1
n11
例:求 limsin.n
nnn
n1
n11
解limsin
n
nnn
=lim
n1
nn
n1
sin1
nsin1n1n
=lim1
n
1n
n1
=lim1=e11=e
n
111nn1
n
n
sin
例:求极限lim
sinx
xasina
xa
1xa
.解lim
sinx
xasina
xa
1xa
=lim1
sinxsina
sina
1sinacosa
xacosasina
xaxa2cossin=lim1xasina
xa2cosasin
=lim1xasina
sina
cosa(xa)
cosasina
sina
cosa(xa)xa2cosasin=lim1xasina
ctga
=e
ctga
sin
xaxa
~ 22
五 利用数列极限与函数的极限等值关系来求极限
此方法把数列极限化成函数形式的极限,而后回代,从而求出数列极限的一种方法。
举例说明:
abc
.例:若 a,b,c0,求limn3
解先考虑:
1
axbxcx
ln
3
n
xln
x
1
axbxcx
3
1
axbxcx
而limxln
x3
1xxxlnabcln3=lim
x1
x
2axlna2bxlnb2cxlnc=lim
x
12x
1x
1x
1x
1x1x1x
=lim
alnablnbclnc
abc
1x
1x
1x
x
=lnabc
c
limn3
n
1
axbxcx
=lim
n3
n
=lime
n
111axbxcxxln
=e
lnabc
3
=e
lnabc3
=abc
通过上面简单的对求数列极限的一般方法加以归纳,并举例说明,就可以在我们大脑中造成深刻的印象,更好地掌握函数和数列极限的求法。但数列极限的求法并不限于这几种方法,或许还有很多种,希望大家在学习过程中善于归纳总结求数列极限的方法,以便我们共勉。
参考文献:
[1]程其襄.数学分析第三版[M].高等教育出版社,1981(4)[2]谢惠民.数学分析习题课讲义[M].高等教育出版社,2003(7)
[3]周建莹 李正元.高等数学解题指南[M].北京大学出版社,2002.(10)[4]王汝发.高等数学解题方法[M].兰州大学出版社,1994.(3)
第五篇:浅谈函数极限的求法
浅谈函数极限的求法
摘要:函数极限是数学分析的基本内容之一,也是解决其它问题的基础。如何求出已知函数的极限是学习微积分必须掌握的基本技能。本文系统地介绍了利用定义、两个重要极限、无穷小量代换、洛必达法则、夹逼准则等求极限的方法,并结合具体的例子,指出了在解题中常遇见的一些问题。
关键词: 函数极限夹逼准则等价无穷小量洛必达法则泰勒展开式无穷小量
引言
极限研究的是函数的变化趋势,在自变量的某个变化过程中,对应的函数值无限解决某个确定的数,那这个数就是函数的极限了。极限是数学分析中一个非常重要的概念,是贯彻数学分析的一条主线,它将数学分析的各个知识点连在一起,所以,求极限的方法显得尤为重要的,我们知道,函数是数学分析研究的对象,而极限方法则是数学分析中研究函数的重要方法,因此怎样求极限就非常重要。
数学分析中所讨论的极限大体上分为两类:一类是数列的极限,一类是函数的极限。两类极限的本质上是相同的,在形式上数列界限是函数极限的特例。因此,本文只就函数极限进行讨论。函数极限运算是高等数学的一个重要的基本运算,一部分函数的极限可以通过直接或间接的运用“极限四则运算法则”来求解,而另一部分函数极限需要通过特殊方法解决。求函数极限的方法较多,但是每种方法都有其局限性,都不是万能的。对某个具体的求极限的问题,我们应该追求最简便的方法。在求极限的过程中,必然以相关的概念、定理以及公式为依据,并借助一些重要的方法和技巧。本文给出了十七种求极限的方法,每种方法都是以定理或简述开头,然后以例题来全面展示具体的求法。下面我们通过对一元函数和二元函数极限的求法来进行分类讨论
一元函数极限的求法
1.1利用函数定义求极限
利用函数极限的定义验证函数的极限。设函数f在点x0的某空心邻域,使得当U0(x0;)内有定义,A为定数。若对任给的0,存在正数()
0xx0时,有f(x)A成立,则称函数f当x趋于x0时以A为极限,记作limf(x)A或f(x)A(xx0)。xx0
x24例1设f(x),证明limf(x)4.x2x
2x244x24x2,证明: 由于当x2时,f(x)4x2
故对给定的0,只要取,则当0x2时,有f(x)4.这就证明了limf(x)4.x2
(1)定义中的正数,相当于数列极限N定义中的N,它依赖于,但也不是由所惟一确定。一般来说,愈小,也相应地要小一些,而且把取得更小一些也无妨,如在题1中可取
2或
3等等。
(2)定义中只要求函数f在点x0的某个空心领域内有定义,而一般不考虑f在点x0处的函数值是否有定义,或者取什么值。这是因为,对于函数极限我们所研究的是当x趋于x0过程中函数值的变化趋势。如在题1中函数f在点x2是没有定义的,但当x2时,f的函数值趋于一个定数。
1.2 利用单侧极限求函数极限
这种方法适用于求分段函数在分段点处的极限。首先必须考虑分段点处的左、右极限都存在且相等,则函数在分界点处的极限存在,否则极限不存在。如符号函数sgnx,由于它在x0处的左、右极限不相等,所以limsgnx不存在。x0
f(x)limf(x)A.定理1 limf(x)Alimxx0xx0xx0
2xx0例2 : f(x)0 x0,求f(x)在x0处的极限.1x2x0
f(x)lim2x1,解: limx0x0
f(x)lim1x1,limx0x0
2f(x)limf(x)1, limx0x0
limf(x)1.x0
1.3 利用函数极限的四则运算法则求极限
定理2 若极限limf(x)和limg(x)都存在,则函数f(x)g(x),f(x)g(x),xx0xx0
当xx0时也存在极限,且有
①limxx0
xx0f(x)g(x)limf(x)limg(x); xx0xx0xx0xx0②limf(x)g(x)=limf(x)limg(x);
limf(x)f(x)f(x)xx0③又若limg(x)0,则在xx0时也存在极限,且有lim.xx0xx0g(x)g(x)limg(x)
xx0
利用函数极限的四则运算法则求极限,条件是每项或每个因子极限都存在,一般所给的变量都不满足这个条件,如0,等情况,都不能直接用四则运算法0
则,必须要对变量进行变形,设法消去分子、分母中的零因子,在变形时,要熟练掌握因式分解、有理化运算等恒等变形。
(xtanx1).例3:求limx4
解: 由xtanxxsinx2及limsinxsinlimcosx,有 xxcosx42lim(xtanx1)=limxx4limsinxx4xlimcosxxlim1x41.1.6 利用函数的连续性求函数极限
参考文献:
[1] 华东师范大学数学系.数学分析(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2001.[2] 陈传璋,朱学炎等.数学分析(第二版)[M].北京:高等教育出版社,1998.[3] 张再云,陈湘栋等,极限计算的方法与技巧[J].湖南理工学院学报(自然科学版),2009,22(2):16-19.[4]欧阳光中.数学分析[M].上海:复旦大学出版社,2002.[5]钱吉林.数学分析解题精粹[M].武汉:崇文书局出版社,2001