高数复习方案(函数和极限)

第一篇：高数复习方案(函数和极限)

计算机科学与技术09级学生工作委员会—学习部

函数与极限

1.集合：具有某种特性定性质的事物的总体成为集合组成集合的事物叫做元素设元素为a集合为M那么aM

交集，子集，属于，不属于 包含于，并集，空集

2.设X，y是两个变量，D是数集，按照一定的对应关系，总有唯一的y和x相对应，则说

y是x的函数，记做y=f（x），y是因变量，x是自变量。（简单一点说：x在一个对应法则的机器搅和搅和就出来一个y）

F（D）为值域xD是定义域

函数的三要素：定义域 值域 对应法则

注意： 强烈建议只要写函数就写定义域

eg：求下列函数的自然定义域

(1)yarcsin(2)ytan

(3)y（x3）（x+1）

3.函数的特性

（1）单调性：增函数和 减函数

如果对于arctan1 xI 上任意两点x1及x2，当

x1x2时，恒有f（x1）f（x2）成立，则称在I上f（x）是增函数，反之则是减函数注意：增减性在解间断点时候有重要性（下文解释）

eg：设f（x）为定义在（-a，a）内的奇函数，若f（x）在（o，a）上单点增加，证明f（x）在（-a，0）上也单点增加

（2）有界性： xD, M0,f(x)M,则称f（x）为有界函数

f(x)M, xD, M0,则函数在D上面有界

注意：上界大于等上界下界小于等于最小值千万不要搞错了

（3）奇偶性：奇函数特性

注意：奇偶性的定义与一定是对称的不对称就没有这个性质而言

（4）周期性：正弦余弦就是明显的特点f（x+T）=f（x）

注意：如果一个函数关于两个直线对称，那么两个直线之间的距离是函

数周期大小的一半。

4.反函数和复合函数：反函数的定义域和值域和原函数相反但是奇和

偶函数的反函数奇偶性质不变。复合函数的定于与要明确，增减为减增增 减减为增

5.数列的极限：如果给定的数列{}，当变量n趋近于无穷大时，数列

趋近于一个常数a，则称a是数列的极限当然如果a不存在，说明这个函数是发散的注意：课本P34 例题5 有证明函数极限，这个很重要

Eg

：证明：当x00时，limxx06.极限的性质：（1）唯一性，如果这个a存在，那么一定是唯一的假设不存在，那么不就和定义说函数是发散的吗

（2）有界性：若limf（x）a存在，则函数f（x）有界x

（3）保号性：若limxna（a0或a0），则N，当nN时，xn（00），n

反之，若xn（00），则limxn（00）n

7.n数列的存在准则：（1）夹逼准则（2）单调有界函数必有界 eg：证明limn（8.（1）（2）111.......)=1n2n22n2n我主要讲讲极限的一些重要求的方法： 1xsinx）eli（有兴趣可以证明）1 xx0xx7个重要的等价无穷小且都x0（1两个重要极限lim

（1x1（1）1

n1x（2）tanxx（3）arctanxx n

1-cosx（4）arcsinxx（5）

（3）

（4）12（1x）x x（6）ex1x（7）ln2两个准则：夹逼 还有单调有界

（5）

（6）

（7）

（8）

（9）有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小量的代数和仍是无穷小 有界函数与无穷小的乘积也是无穷小常数与无穷小的乘积仍是无穷小利用极限的四则运算和指数预算 利用泰勒公式 洛比达法则 利用导数极限求极限 函数的性质求因为数列是特殊的函数

注意：这里就有一些小方法了，有换元等价代换拆项求和三角的和差化积 数列求和的公式…

（10）间断点和连续性

间断点：除去不成立的点，一般都是间断点

连续性：区间上每一点都连续的函数，就是在该区间连续，一定是不间断的注意：可导的函数一定连续连续的函数不一定可导

闭区间上连续函数一定有界

第一类间断点：可去和跳跃间断点

eg：yx（x1）且x=1 y=0.5可去间断点

第二类间断点：无穷间断点和震荡间断点

y=tanxx=1为无穷间断点y=sinx=0为振荡间断点 2x

（11）渐近线：当变量无穷大时利用函数求极限一般都有a值（水平渐近线）

还有一些点怎么看这些点呢，一般都是间断点的地方有渐近（铅直渐近线）0这点很重要

还有一个斜渐近线说明图像到达一个点变化的斜率很小这样的话 一般是图像上面有部分是直线

eg求e的渐近线



xo1xcos)x课后练习求下列极限（1）limx（2）lim(sinx2x1x

3x)（3）lim(1x02sin(x)

（4）x0（5）x03x4x1)x（6）lim(x02

第二篇：高数复习笔记之极限与函数

1，隐含的分段函数与建立函数关系

2，如何判断微积分的有界性

3，极限定义做了解，性质：唯一性、保号性、四则运算，若一个极限存在另一个不存在则相加减的极限必不存在、乘除的极限可能存在也可能不存在；若两个极限都不存在那么加减乘除的极限可能存在也可能不存在。举反例：（参考书籍：数学分析中的反例）；相除时，分母为0分子不为0则极限为无穷大，若分子分母全为0，极限怎么算？

4，极限的复合运算：若此函数连续则函数符号跟极限符号可以调换位置。

极限存在准则：单调有界数列必有极限；夹逼定理

两类重要极限：书上找

5：无穷大量与无穷小量（即把任何函数的极限为A的问题转化为极限为零的问题）

无穷小量的比较（视频001 2第16分钟）：高阶l=0（两个趋近于0的速度前者比后者快）、同阶l不=0（两者趋近于0的速度一样快）、等价l=1（五个等价无穷小的特例：把指数、三角、对数函数转化为求解简单的幂函数）

无穷大量：即极限不存在的情况无界变量：在一个绝对值范围内要多大有多大的值 注意:无穷大量一定是无界变量，但无界变量不一定是无穷大量（视频25分讲述）6,四类未定式（洛必塔法则解决）

第三篇：高数课件-函数极限和连续

一、函数极限和连续自测题

1,是非题

（1）无界变量不一定是无穷大量

（）（2）若limf(x)a，则f(x)在x0处必有定义

（）

xx012x（3）极限lim2sinxlimx0

（）

xx33x2，选择题

（1）当x0时，无穷小量1x1x是x的（）A．等价无穷小

B.同阶但不等价

C.高阶无穷小

D.低价无穷小

x11x0（2）设函数f(x)，则x0是f(x)的（）x0x0A.可去间断点 B.无穷间断点

C 连续点

D 跳跃间断点

exx0（3）设函数f(x)，要使f(x)在x0处连续，则a

（）axx0A.2

B 1

C 0

D 1

3n25n1

（）（4）lim2n6n3n2A 151

B 

C 

D  2321xsinx0x(5)设f(x)，则在x0处f(x)

（）

1sinx1x0xA 有定义

B 有极限

C 连续

D左连续

3(6)x1是函数yx1的（）x1A 可去间断点

B 无穷间断点

C 连续

D跳跃间断点

3.求下列极限

（1）limxxsinxsin(2x)x23

（2）lim

（3）lim

x0x12xln(12x)x1e2x1（4）lim

（5）limn[ln(1n)lnn]

（6）lim(sinn1sinn)

nnx0x2x3x2(sinx3)tanx2lim()(7)lim

(8)

（9）limx(x1x)x2x1x01cosx2xcosxcosaarctanxexex0（10）lim

(11)lim

（12）lim

xaxxx0xxxax0x232x21sin(x1))（13）lim

（14）lim(2

xx1x1x24，求满足下列条件的a,b的值

1x2xab

（2）lim(3xax2x1)（1）limxx26x2tanaxx0axb2

(4)已知f(x)x（3）lim且limf(x)存在

x0x1x2x2x0x122（5）已知f(x)xaxb1x1在(,)内连续

2x1sin2xe2ax1x0(6)函数f(x)在x0点连续 xax05．求下列函数的间断点并判断其类型

x1x11cosxx21（1）y2

（2）y

（3）f(x)

sinxx3x23xx11x0x（4）f(x)ex1

（5）y

tanxln(1x)1x026.已知x1时，xax5x1是同阶无穷小，求a

7.证明方程x4x20在区间(1,2)内至少有一个根 8.当x0时，eln(1x)1与x是同阶无穷小，求n 9.设函数f(x)a,(a0,a1)，求limxxn41ln[f(1)f(2)f(n)]

nn2

第四篇：高数竞赛练习题答案(函数、极限、连续)

函数、极限、连续

1.f(x),g(x)C[a,b]，在(a,b)内二阶可导且存在相等的最大值，又f(a)g(a),f(b)g(b),证明：(1)(a,b),使f()g()

(2)(a,b),使f()g()证明：设f(x),g(x)分别在xc,xd处取得最大值M，不妨设cd(此时acdb)，作辅助函数F(x)f(x)g(x),往证(a,b),使F()0

令F(x)f(x)g(x),则F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)二阶可导，且F(a)F(b)0，① 当cd，由于 F(c)f(c)g(c)Mg(c)0F(d)f(d)g(d)f(d)M0由“闭.连.”零点定理，[c,d](a,b),使f()g()② 当cd，由于F(c)f(c)g(c)f(c)g(d)MM0即(a,b),使f()g()

对F(x)分别在[a,],[,b]上用罗尔定理，1(a,),2(,b)，使

在[1,2]上对F(x)在用罗尔定理，F(1)F(2)0，(1,2)(a,b)，使F()0，(a,b),使f()g().2.设数列{xn}满足0x1,xn1sinxn,n1,2,

xn存在，并求该极限(1)证明limn

xn1x1n(2)计算lim()nxn

分析：(1)确定{xn}为单调减少有下界即可

1xn，用洛必达法则.(2)利用(1)确定的limn

解：易得0xn1(n2,3,)，所以xn1sinxnxn,n(2,3,)，即{xn}为

xn存在，并记为limxna,则a[0,1]，单调减少有下界的数列，所以 lim nn

对等式xn1sinxnxn,两边令n取极限，得asina,a[0,1]，所以

a0,即limxn0.n

lim((2)n



xn1sinxn)lim()

nxnxn

2xn

2xn

令txn

lim（t0

sint)et0t

tlim

ln()t

t

2由于

lim

t0

t

ln(sin)ttsint

ln[1(sin1)]1-1t2sintt洛cost11tt2

limlimlimlimlim t0t0t0t0t03t2t2t2t33t26

xn1xn1

所以lim()e.nxn

3.已知f(x)在[0,1]连续，在(0,1)可导，且f(0)0,f(1)1，证明：(1)(0,1),使f()1，(2)存在两个不同点,(0,1),使f()f()1

证：(1)令F(x)f(x)x1，则F(x)在[0,1]上连续，且

F(0)10,F(1)10，由“闭.连.”零点定理，(0,1),使F()0,即f()1

(2)f(x)在[0,],[,1]上都满足拉格朗日中值定理，所以

(0,),(,1)，使

f()f(0)f()(0),f(1)f()f()(1)，即

f()f()

f()





1



1f()1(1)

111

f()f()

1







1

1

4.设方程xnnx10，其中n为正整数，证明此方程存在唯一的正



实根xn，并证明当1时，级数xn收敛.n1

证：令f(x)xnnx1,则f(x)在(0,)上连续，且

f(0)10,f()()n0

nn

所以由连续函数的零点定理，所给方程在(0,)内有根，又由f(x)n(xn11)0,即f(x)在(0,)内单调递增，所以所给方程(0,)内只有唯一的根，在(，)上无根，即所给方程存在唯一的正实根xn.

由上述知，对n1,2,，有0xn,有0xn



1n

1n1n

1n

1n1，n

此外，由1知，级数

收敛，所以由正项级数比较审敛法，知

n1n

x收敛.nn1



5.求lim(cosx)

x0

1ln(1x)

x0ln(1x)

解：lim(cosx)

x0

1ln(1x)

=e

lim

lncosx，其中limln(1x

x0

lncosx)

lim

x0

ln[1(cosx1)]ln(1x)

lim

x0

x22x



(cosx)所以，limx0

ln(1x)

e



6.f(x)在x0的某邻域内具有一阶连续导数，且f(0)0,f(0)0,若

af(h)bf(2h)f(0)在h0时是比h高阶的无穷小，试确定a,b的值.解1：（利用导数定义）

0lim

af(h)bf(2h)f(0)af(h)af(0)af(0)bf(2h)bf(0)bf(0)f(0)

lim

h0h0hhaf(h)af(0)bf(2h)bf(0)[(ab)1]f(0)[(ab)1]f(0)limlimlim(ab)f(0)limh0h0h0h0hhhh

ab1

由f(0)0,f(0)0,得,即a2,b1

a2b0

解2：按解1，只要假定f(x)在x0处可导即可，但在题中“f(x)在x0的某邻域内具有一阶连续导数”的假定下，有以下解法：由lim

h0

h0

af(h)bf(2h)f(0)

0得 limaf(h)bf(2h)f(0)=0

h0h

即0limaf(h)bf(2h)f(0)(ab1)f(0)，由f(0)0,得ab1（1）

af(h)bf(2h)f(0)洛

limaf(h)2bf(2h)(a2b)f(0)且f(0)0,又由0lim

h0h0h

所以 a2b0（2）

由（1）、（2）得a2,b1.2esinx

.7.求lim4x0x1e

解：

2eesinx2esinx

1 limlim44x0x0xx1ee12esinx2esinx

1 limlim44x0xx01ex1e

所以 原式 = 1

8.求lim

x0

143

xx2

.2

x

解1：（泰勒公式）因

xx2[1

1111

xx2o(x2)][1xx2o(x2)]22828(x0)

x2o(x2)~x2

所以

1x2

xx21limlimx0x0x2x24

解2：（洛必达法则）



xx2洛必达limlimx0x0x22x1xx1

limlim x0xx4x0x

12x1lim.4x0x(xx)4

第五篇：高数极限习题

第二章 导数与微分

典型例题分析

客观题

例 1 设f(x)在点x0可导,a,b为常数,则limf(x0ax)f(x0bx)xabx0()

f(x0)Aabf(x0)

B(ab)f(x0)

C(ab)f(x0)

D

答案 C

解

f(x0ax)f(x0bx)limx0x[f(x0ax)f(x0)][f(x0bx)f(x0)]lim x0x

f(x0bx)f(x0)f(x0ax)f(x0)blim

alim

x0x0bxax

(ab)f(x0)

例2（89303）设f(x)在xa的某个邻域内有定义,则f(x)在xa处可导的一个充分条件是（）1f(a2h)f(ah)(A)limhfaf(a)存在(B)lim存在h0hhh(C)limf(ah)f(ah)2hh0存在(D)limf(a)f(ah)h存在h0答案 D

解题思路

(1)对于答案(A)，不妨设

1hx，当h时，x0，则有

1f(ax)f(a)limhfaf(a)lim存在，这只表明f(x)在xa处hx0hx右导数存在,它并不是可导的充分条件,故(A)不对.(2)对于答案(B)与(C),因所给极限式子中不含点a处的函数值f(a)，因此与导数概念不相符和.例如，若取

1,xaf(x)

0,xa则(B)与(C)两个极限均存在，其值为零，但limf(x)0f(a)1，从而f(x)在xaxa处不连续，因而不可导，这就说明(B)与(C)成立并不能保证f(a)存在，从而(B)与(C)也不对.(3)记xh,则x0与h0是等价的,于是 limf(a)f(ah)hh0limf(ah)f(a)hh0limf(ah)f(a)h

h0x所以条件D是f(a)存在的一个充分必要条件.例3(00103)设f(0)0,则f(x)在点x0可导的充要条件为()x0limf(ax)f(a)f(a)(A)lim1h1h2h0f(1cosh)存在(B)lim1h1hh0f(1e)存在

h(C)limh02f(hsinh)存在(D)limh0f(2h)f(h)存在

答案 B

解题思路

(1)当h0时, 1coshhh02limf(1cosh)h2h0lim2f(1cosh)f(0)h21.所以如果f(0)存在,则必有

limf(1cosh)f(0)1coshh0lim1coshh2h0若记u1cosh,当h0时,u0,所以

f(1cosh)f(0)f(u)f(0)limlimf(0)h0h01coshu于是

limf(1cosh)h2h012f(0)

1h2这就是说由f(0)存在能推出limh0f(1cosh)存在.h0,而不是u0,因此 但是由于当h0时,恒有u1cos1f(x)f(0)f(0)limlim2f(1cosh)存在只能推出存在,而不能推出f(0)h0hx0x存在.

(2)当h0时, 1eho(h),于是

hlimf(1e)hhh0limf(ho(h))f(0)hh0limf(ho(h))f(0)ho(h)

h0 由于当h0时, ho(h)既能取正值,又能取负值,所以极限limf(ho(h))f(0)ho(h)h0存在与limf(h)f(0)hh0f(0)存在是互相等价的.因而

极限lim1hh0hf(1e)存在与f(0)存在互相等价.(3)当h0时, 用洛比塔法则可以证明limlimf(hsinh)h2h0,所以 6hf(hsinh)f(0)hsinhlimlimh 3h0h0hsinhhh03hsinh1由于h0,于是由极限limf(hsinh)f(0)hsinhh0limhsinhh3h0h存在未必推出hsinh(4)f(x)在点x0可导一定有(D)存在,但(D)存在不一定f(x)在点x0可导.h0limf(hsinh)f(0)也存在,因而f(0)未必存在.例 4(98203)函数f(x)(xx2)|xx|有()个不可导点

(A)0(B)1(C)2(D)3

答案 C

解题思路 当函数中出现绝对值号时,不可导的点就有可能出现在函数的零点,因为函数零点是分段函数的分界点.因此需要分别考察函数在点x00,x11,x21考察导数的存在性.解 将f(x)写成分段函数:

23(x22(xf(x)2(x(x2x2)x(1x),x2)x(x1),x2)x(1x),x2)x(x1),2222x1,1x0,0x1,1x.(1)在x00附近,f(x)写成分段函数:

22x(xx2)(x1),x023 f(x)(xx2)|xx|22x(xx2)(1x),x0容易得到

f(x)f(0)22f(0)limlim(xx2)(x1)2

x0x0xf(x)f(0)22f(0)limlim(xx2)(1x)2

x0x0x由于f(0)f(0),所以f(0)不存在.(2)在x11附近,f(x)写成分段函数:

2x(1x)(xx2)(1x),x123f(x)(xx2)|xx|

2x(1x)(xx2)(x1),x1f(x)f(1)2f(1)limlimx(1x)(xx2)4

x1x1x1f(x)f(1)2f(1)limlimx(1x)(xx2)4

x1x1x1由于f(1)f(1),所以f(1)不存在.(3)在x21附近,f(x)写成分段函数:

2x(1x)(xx2)(x1),x123f(x)(xx2)|xx|

2x(1x)(xx2)(x1),x1f(1)limf(x)f(1)x1x0x1由于f(1)f(1)0,所以f(1)存在.x1f(1)limx1f(x)f(1)limx1x(x1)(x22x2)0

limx(x1)(xx2)0

综合上述分析,f(x)有两个不可导的点.例5(95103)设f(x)具有一阶连续导数,F(x)f(x)(1|sinx|),则f(0)0是F(x)在x0处可导的()

(A)必要但非充分条件

(B)充分但非必要条件

(C)充分且必要条件

(D)既非充分也非必要条件

答案 C

分析 从F(x)在x0的导数定义着手.将F(x)f(x)(1|sinx|)f(x)f(x)|sinx| 解

F(x)F(0)f(x)f(0)f(x)|sinx|f(0)|sin0|limlimF(0)lim

x0x0x0x0x0x0

f(0)f(0)

f(x)f(0)f(x)|sinx|f(0)|sin0|F(x)F(0)limlimF(0)lim

x0x0x0x0x0x0f(0)f(0)

于是推知F(0)F(0)的充分必要条件是f(0)0. 例6(92103)设函数f(x)3xx|x|,则使f32(n)(0)存在的最高阶数n().(A)0

(B)1(C)

2(D)3

答案 C

解题思路 应先去掉f(x)中的绝对值,将f(x)改写为分段函数

2x3 f(x)3xx|x|34x32x0x0x0x0

2x3 解 由f(x)3xx|x|34x32

6x2得f(x)212xx0x0

12x且f(x)24x又f(0)limx012 f(x)x024x0x0x0

f(x)f(0)x0limx02x03x00,f(0)limf(x)f(0)x0x0limx04x03x020

所以f(0)存在.f(0)limf(x)f(0)x0x0limx06x0x012x0 00 f(0)limf(x)f(0)x02limx0x0x0所以f(0)存在.f(0)limf(x)f(0)x0x0limx012x0x012

x0即f(0)f(0).因而使fx0f(0)limf(x)f(0)24

x0(n)(0)存在的最高阶数是2.x0lim24x0

例7 f(x)cos|x|x2|x|存在的最高阶导数的阶数等于（）

A

0

B 1

C 2

D 3 答案 C 解题思路 注意cos|x|cosx,所以只需考察x|x|在点x0的情况.例8(96203)设0,f(x)在区间(,)内有定义，若当x(,)时，恒有f(x)x，则x0必是f(x)的（）

(A)间断点，(B)连续而不可导的点，(C)可导的点，且2f'(0)0

(D)可导的点，且f'(0)0

答案

C

解 由题目条件易知f(0)0,因为

|所以由夹逼定理

f(x)f(0)x||f(x)xf(x)x||x2x|

2lim|x0f(x)f(0)x|lim|x0|lim|x0xx|0

于是f(0)0.1ex,x0, 则f(0)为（）

例9(87103)设f(x)x0,x0.

1(A)0

(B)

(C)1

(D)1

2答案

(C)

解题思路

因f(x)为分段函数,故它在分段点处的导数应按导数的定义，又由于是未定式,可用洛必达法则求极限.200型解

1e f(0)limx2f(x)f(0)x0ulimx0x0xx00lim1exx2x02x

2当u0时,e 1与u是等价无穷小,所以当x0时,1e与x是等价无穷小.因而

2lim1exx2x021

12,则x0时,f(x)在x0处的微分dy与

例10(88103)设f(x)可导且f(x0)x比较是()的无穷小.(A)等价(B)同阶(C)低阶(D)高阶

答案 B

解题思路

根据yf(x)在xx0处的微分的定义:dyf(x0)x.x12 解 limlim,可知dy与x是同阶的无穷小.x0xx0x21xsin,x0

例11(87304)函数f(x)在x0处（）xx00,dy

(A)连续,且可导

(B)连续,不可导

(C)不连续

(D)不仅可导,导数也连续

答案 B

解题思路

一般来说,研究分段函数在分段点处的连续性时,应当分别考察函数的左右极限;在具备连续性的条件下,为了研究分段函数在分界点处可导性,应当按照导数定义,或者分别考察左右导数来判定分段函数在分段点处的导数是否存在.因此,本题应分两步:(1)讨论连续性;(2)讨论可导性.解(1)讨论函数在点x0处的连续性

10f(0),可知函数f(x)在点x0处是连续的.由于limf(x)limxsinx0x0x

(2)讨论函数在点x0处的可导性

1xsin0f(x)f(0)1xlimlimsin

由于lim不存在,所以,函数f(x)在点

x0x0x0x0xxx0处不可导.x

例12 设f(x)p必须满足（）p1sin01x,x0,x0 在点x0可导,但是f(x)导数在点x0不连续,则

A0p1

B1p2

C0p2

D1p答案 B

解题思路

(1)当p1时,下述极限不存在: x因此f(0)不存在.当p1时, x0limf(x)f(0)xsinlimx0p1xlimxp1sin1

x0xxx所以f(0)0.x0limf(x)f(0)xsinlimx0p1xlimxp1sin10

x0xx这就是说,只有当p1时, f(0)才存在,所以选项A,C可以被排除.(2)当p1时

0,x0 f(x)11p1p2sinxcos,x0pxxx当且仅当p20,即p2时,limf(x)0f(0),所以当且仅当1p2时，x0f(x)在点x0可导,但是f(x)在点x0不连续.例13(95403)设f(x)可导，且满足条件limf(1)f(1x)2x12x01,则曲线yf(x)在(1,f(1))处的切线斜率为（）(A)2,(B)2,(C),(D)1

答案 B

解 记ux,则有

f(1)f(1x)1f(1u)f(1)1limlimf(1)x02x2u0u2

例1

4设yln(12x),则y

(A)(10)()

9!(12x)10

(B)9!(12x)10

(C)10!2910(12x)

(D)9!21010(12x)

答案 D

解题思路

求高阶导数的一般方法是: 先求出一阶、二阶、三阶导数;找出规律,即可写出高阶导数.2y, 12x21y(2)(1)(2)(1)(2)

22(12x)(12x)y(2)(1)(2)(2)2(12x)3

y(10)9!21010(12x).例17

(90103)设函数f(x)有任意阶导数,且f(x)f(x),则f(n)(x)(n1),(n2).n1(A)n!f(x)(B)nf(x)(C)f2n(x)(D)n!f2n(x)

答案 A

解题思路 这是一个求高阶导数的问题,涉及到求抽象函数的导数.解

由f(x)有任意阶导数且f(x)f(x),可知

2f(x)f(x)32f(x)f(x)2f(x)ff(x)2f(x)32f(x)f(x)3!f2(n)n12(x)2f(x),(x)

34依此由归纳法可知 f(x)n!f(x)

注意(1)当n1,n2时虽然(B)也正确,但当n2就不正确了,所以将(B)排除之;

222(2)在求导数f(x)时,可将函数f(x)看成是由yt与tf(x)复合而成的,(t)f(x)2tf(x)2f(x)f(x).(初学者可能会这样做:f(x)2f(x),后面丢掉一个因子f(x).则根据复合函数的求导法则,故f(x)222

例18(91303)若曲线yxaxb和2y1xy在点(1,1)处相切，其中

23a,b是常数,则（）(A)a0,b

2(B)a1,b3

(C)a3,b

1(D)a1,b1

答案 D

解题思路

两曲线在某点相切就是指两曲线在此公共点处共一条切线,从而两曲线的斜率也应相等.解

曲线yxaxb在点(1,1)处的斜率是

2k1(xaxb)2x1(2xa)x132a

另一条曲线是由隐函数2y1xy确定,该曲线在点(1,1)处的斜率可以由隐函数求导数得到: 对于方程2y1xy两边求导得到2y3xyyy,解出y得到此曲线在点(1,1)处的斜率为

k2yx1y1323y3223xy1

x1y12令k1k2,立即得到a1.再将a1,x1,y1代入yxaxb中得出b1.例19设f(x),g(x)定义在(1,1)，且都在x0处连续，若g(x)x0f(x)x，则（）x02(A)limg(x)0且g'(0)0，(B)limg(x)0且g'(0)1

x0x0(C)limg(x)1且g'(0)0

(D)limg(x)0且g'(0)2

x0x0 答案 D

解题思路 分析函数f(x)的表达式,并运用f(x)在x0处连续这一关键条件.解 既然f(x)在x0处连续,于是必有limf(x)limx0g(x)xx02,于是必有limg(x)0.于是又有g(0)limx0g(x)g(0)xx0limg(x)xx02.1cosx 例 20(99103)设f(x)x2xg(x)x0x0 其中g(x)是有界函数,则f(x)在x0处()(A)极限不存在(B)极限存在,但不连续

(C)连续,但不可导(D)可导

答案 D

解题思路

若能首先判定f(x)在x0处可导,则(A)、(B)、(C)均可被排除.解

x f(0)lim21f(x)f(0)x0x0x2limx01cosx3limx023limx0x2x)

2x220

(x0时1cosx~ f(0)lim2f(x)f(0)x0xx0由于f(x)在x0点的左导数等于右导数,因而 f(x)在x0处可导.x0x0limxg(x)2limxg(x)0（g(x)是有界函数）

 例21 设f(x)sinx,则(f(f(x)))()A.cos(sinx)cosx B.sin(sinx)cosx C.cos(cosx)sinx D.sin(cosx)sinx

答案 A

例 22 设f(x)是可导函数,则()A.若f(x)为奇函数,则f(x)为偶函数B.若f(x)为单调函数C.若f(x)为奇函数,则f(x)为奇函数D.若f(x)为非负函数 答案 A

解题思路 根据导数定义,利用函数的奇性.解 由于f(u)f(u),所以 ,则f(x)为单调函数 ,则f(x)为非负函数

f(x)limlimf(xx)f(x)xf[x(x)]f(x)x0limf(xx)f(x)x

x0x因此f(x)为偶函数.x0f(x)例23 设yesinsin22x,则dy()sin2 B.2eA.esinx C.2e 答案 D

解题思路 运用复合函数微分法

例 24 设f(0)存在,lim(1x0xxsin2xsincosx D.e2xsin2x

1cosf(x)sinx1)xe,则f(0)()A.0 B.1 C.答案 C

解 由 C.e

lim(1x01cosf(x)sinx1)xe

可以知道当x0时,有

lim(参阅第一章1.5的例2)

x011cosf(x)1 xsinxf2当x0时,sinx与x是等价无穷小,1cosf(x)与

(x)2是等价无穷小.于是

f(x)11cosf(x)1limlim1 2x0xx0sinx2x又因为f(0)存在,所以此式又推出 f(0)limf(x)xx022.1,x0arctan 例 25 设f(x) 在点x0可导,则()xaxb,x0A.a1,b2 B.a1,b0 C.a1,b2 D.a1,b2

答案D

解题思路 先考察函数在点x0左右极限,确定连续性,再考察左右导数.由可微性最终确定a,b.解

1,所以b.(1)limf(x)lim(axb)b,limf(x)limarctanx0x0x22x0x0于是f(0)2.(2)f(0)a,f(0)limx0f(x)f(0)arctanlimx01xx2

xarctan1xx2: 以下需要用洛比塔法则求极限limx0

arctanlimx01x2lim(arctan1xx2)limx01x2xx0于是由f(0)f(0)推出a1

11

例26.(93303)若f(x)f(x),且在(0,)内f(x)0,f(x)0,则f(x)在(,0)内必有

(A)f(x)0,f(x)0(B)f(x)0,f(x)0

(C)f(x)0,f(x)0(D)f(x)0,f(x)0 答案 C

解体思路 所给函数显然是奇函数,因此f(x)是偶函数,f(x)是奇函数.解 由f(x)0,x(0,)知f(x)0,x(,0);由f(x)0,x(0,)知f(x)0,x(,0).