高数复习笔记之极限与函数

第一篇：高数复习笔记之极限与函数

1，隐含的分段函数与建立函数关系

2，如何判断微积分的有界性

3，极限定义做了解，性质：唯一性、保号性、四则运算，若一个极限存在另一个不存在则相加减的极限必不存在、乘除的极限可能存在也可能不存在；若两个极限都不存在那么加减乘除的极限可能存在也可能不存在。举反例：（参考书籍：数学分析中的反例）；相除时，分母为0分子不为0则极限为无穷大，若分子分母全为0，极限怎么算？

4，极限的复合运算：若此函数连续则函数符号跟极限符号可以调换位置。

极限存在准则：单调有界数列必有极限；夹逼定理

两类重要极限：书上找

5：无穷大量与无穷小量（即把任何函数的极限为A的问题转化为极限为零的问题）

无穷小量的比较（视频001 2第16分钟）：高阶l=0（两个趋近于0的速度前者比后者快）、同阶l不=0（两者趋近于0的速度一样快）、等价l=1（五个等价无穷小的特例：把指数、三角、对数函数转化为求解简单的幂函数）

无穷大量：即极限不存在的情况无界变量：在一个绝对值范围内要多大有多大的值 注意:无穷大量一定是无界变量，但无界变量不一定是无穷大量（视频25分讲述）6,四类未定式（洛必塔法则解决）

第二篇：高数复习方案(函数和极限)

计算机科学与技术09级学生工作委员会—学习部

函数与极限

1.集合：具有某种特性定性质的事物的总体成为集合组成集合的事物叫做元素设元素为a集合为M那么aM

交集，子集，属于，不属于 包含于，并集，空集

2.设X，y是两个变量，D是数集，按照一定的对应关系，总有唯一的y和x相对应，则说

y是x的函数，记做y=f（x），y是因变量，x是自变量。（简单一点说：x在一个对应法则的机器搅和搅和就出来一个y）

F（D）为值域xD是定义域

函数的三要素：定义域 值域 对应法则

注意： 强烈建议只要写函数就写定义域

eg：求下列函数的自然定义域

(1)yarcsin(2)ytan

(3)y（x3）（x+1）

3.函数的特性

（1）单调性：增函数和 减函数

如果对于arctan1 xI 上任意两点x1及x2，当

x1x2时，恒有f（x1）f（x2）成立，则称在I上f（x）是增函数，反之则是减函数注意：增减性在解间断点时候有重要性（下文解释）

eg：设f（x）为定义在（-a，a）内的奇函数，若f（x）在（o，a）上单点增加，证明f（x）在（-a，0）上也单点增加

（2）有界性： xD, M0,f(x)M,则称f（x）为有界函数

f(x)M, xD, M0,则函数在D上面有界

注意：上界大于等上界下界小于等于最小值千万不要搞错了

（3）奇偶性：奇函数特性

注意：奇偶性的定义与一定是对称的不对称就没有这个性质而言

（4）周期性：正弦余弦就是明显的特点f（x+T）=f（x）

注意：如果一个函数关于两个直线对称，那么两个直线之间的距离是函

数周期大小的一半。

4.反函数和复合函数：反函数的定义域和值域和原函数相反但是奇和

偶函数的反函数奇偶性质不变。复合函数的定于与要明确，增减为减增增 减减为增

5.数列的极限：如果给定的数列{}，当变量n趋近于无穷大时，数列

趋近于一个常数a，则称a是数列的极限当然如果a不存在，说明这个函数是发散的注意：课本P34 例题5 有证明函数极限，这个很重要

Eg

：证明：当x00时，limxx06.极限的性质：（1）唯一性，如果这个a存在，那么一定是唯一的假设不存在，那么不就和定义说函数是发散的吗

（2）有界性：若limf（x）a存在，则函数f（x）有界x

（3）保号性：若limxna（a0或a0），则N，当nN时，xn（00），n

反之，若xn（00），则limxn（00）n

7.n数列的存在准则：（1）夹逼准则（2）单调有界函数必有界 eg：证明limn（8.（1）（2）111.......)=1n2n22n2n我主要讲讲极限的一些重要求的方法： 1xsinx）eli（有兴趣可以证明）1 xx0xx7个重要的等价无穷小且都x0（1两个重要极限lim

（1x1（1）1

n1x（2）tanxx（3）arctanxx n

1-cosx（4）arcsinxx（5）

（3）

（4）12（1x）x x（6）ex1x（7）ln2两个准则：夹逼 还有单调有界

（5）

（6）

（7）

（8）

（9）有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小量的代数和仍是无穷小 有界函数与无穷小的乘积也是无穷小常数与无穷小的乘积仍是无穷小利用极限的四则运算和指数预算 利用泰勒公式 洛比达法则 利用导数极限求极限 函数的性质求因为数列是特殊的函数

注意：这里就有一些小方法了，有换元等价代换拆项求和三角的和差化积 数列求和的公式…

（10）间断点和连续性

间断点：除去不成立的点，一般都是间断点

连续性：区间上每一点都连续的函数，就是在该区间连续，一定是不间断的注意：可导的函数一定连续连续的函数不一定可导

闭区间上连续函数一定有界

第一类间断点：可去和跳跃间断点

eg：yx（x1）且x=1 y=0.5可去间断点

第二类间断点：无穷间断点和震荡间断点

y=tanxx=1为无穷间断点y=sinx=0为振荡间断点 2x

（11）渐近线：当变量无穷大时利用函数求极限一般都有a值（水平渐近线）

还有一些点怎么看这些点呢，一般都是间断点的地方有渐近（铅直渐近线）0这点很重要

还有一个斜渐近线说明图像到达一个点变化的斜率很小这样的话 一般是图像上面有部分是直线

eg求e的渐近线



xo1xcos)x课后练习求下列极限（1）limx（2）lim(sinx2x1x

3x)（3）lim(1x02sin(x)

（4）x0（5）x03x4x1)x（6）lim(x02

第三篇：高数课件-函数极限和连续

一、函数极限和连续自测题

1,是非题

（1）无界变量不一定是无穷大量

（）（2）若limf(x)a，则f(x)在x0处必有定义

（）

xx012x（3）极限lim2sinxlimx0

（）

xx33x2，选择题

（1）当x0时，无穷小量1x1x是x的（）A．等价无穷小

B.同阶但不等价

C.高阶无穷小

D.低价无穷小

x11x0（2）设函数f(x)，则x0是f(x)的（）x0x0A.可去间断点 B.无穷间断点

C 连续点

D 跳跃间断点

exx0（3）设函数f(x)，要使f(x)在x0处连续，则a

（）axx0A.2

B 1

C 0

D 1

3n25n1

（）（4）lim2n6n3n2A 151

B 

C 

D  2321xsinx0x(5)设f(x)，则在x0处f(x)

（）

1sinx1x0xA 有定义

B 有极限

C 连续

D左连续

3(6)x1是函数yx1的（）x1A 可去间断点

B 无穷间断点

C 连续

D跳跃间断点

3.求下列极限

（1）limxxsinxsin(2x)x23

（2）lim

（3）lim

x0x12xln(12x)x1e2x1（4）lim

（5）limn[ln(1n)lnn]

（6）lim(sinn1sinn)

nnx0x2x3x2(sinx3)tanx2lim()(7)lim

(8)

（9）limx(x1x)x2x1x01cosx2xcosxcosaarctanxexex0（10）lim

(11)lim

（12）lim

xaxxx0xxxax0x232x21sin(x1))（13）lim

（14）lim(2

xx1x1x24，求满足下列条件的a,b的值

1x2xab

（2）lim(3xax2x1)（1）limxx26x2tanaxx0axb2

(4)已知f(x)x（3）lim且limf(x)存在

x0x1x2x2x0x122（5）已知f(x)xaxb1x1在(,)内连续

2x1sin2xe2ax1x0(6)函数f(x)在x0点连续 xax05．求下列函数的间断点并判断其类型

x1x11cosxx21（1）y2

（2）y

（3）f(x)

sinxx3x23xx11x0x（4）f(x)ex1

（5）y

tanxln(1x)1x026.已知x1时，xax5x1是同阶无穷小，求a

7.证明方程x4x20在区间(1,2)内至少有一个根 8.当x0时，eln(1x)1与x是同阶无穷小，求n 9.设函数f(x)a,(a0,a1)，求limxxn41ln[f(1)f(2)f(n)]

nn2

第四篇：高数8多元函数的极限与连续

二元函数的极限

二元极限存在常用夹逼准则证明

例1 lim(3x2y)14

x2y1211xsinysin，xy0，例2 函数f(x,y)在原点（0,0）的极限是0.yx

xy0.0二元极限不存在常取路径

x2y例3

证明：函数f(x，y)4在原点（0，0)不存在极限.((x，y)（0，0））4xy与一元函数极限类似，二元函数极限也有局部有限性、极限保序性、四则运算、柯西收敛准则等.证明方法与一元函数极限证法相同，从略.上述二元函数极限limf(x，y)是两个自变量x与y分别独立以任意方式无限趋近于xx0yy0x0与y0.这是个二重极限.二元函数还有一种极限：

累次极限

定义

若当xa时（y看做常数），函数f(x，y)存在极限，设当yb时，(y)也存在极限，设

lim(y)limlimf(x，y)B，ybybxa则称B是函数f(x，y)在点P(a，b)的累次极限.同样，可定义另一个不同次序的累次极限，即

limlimf(x，y)C.xayb那么二重极限与累次极限之间有什么关系呢？一般来说，它们之间没有蕴含关系.例如： 1)两个累次极限都存在，且相等，但是二重极限可能不存在.如上述例3.2)二重极限存在，但是两个累次极限可能都不存在.如上述的例2.多重极限与累次极限之间的关系

定理

若函数f(x，y)在点P0(x0，y0）的二重极限与累次极限（首先y0，其次x0）都存在，则

limlimf(x，y).limf(x，y）xx0yy0xx0yy0

二元函数的连续性

定理

若二元函数f(P)与gP在点P0连续，则函数f(P)g(P)，f(P)g(P)，（g(P0)0）都在点P0连续

f(P)

g(P)

定理

若二元函数u(x，y)，v(x，y)在点P0(x0，y0)连续，并且二元函数f(u，v)在点(u0，v0)(x0，y0)，(x0，y0)连续，则复合函数f(x0，y0)，(x0，y0) 在点P0(x0，y0)连续.1.用极限定义证明下列极限：

1)lim(4x3y)19；

2）lim(xy)sinx2y12x0y011sin0； xyx2y2xy03）lim2.(提示：应用1.）22x0xy2xyy02.证明：若f(x，y)xy，(xy0)，则 xyy0x0

limlimf(x，y)1

与

limlimf(x，y)1.x0y0x4y43.设函数f(x，y)4，证明：当点(x，y)沿通过原点的任意直线(ymx)趋23(xy)于（0,0）时，函数f(x，y)存在极限，且极限相等.但是，此函数在原点不存在极限.（提示：在抛物线yx上讨论.)2x2y22D(x，y)yx4.若将函数f(x，y)2限制在区域，则函数f(x，y)在原点2xy（0，0）存在极限（关于D).5.求下列极限： 1）limxysinxy；

2）； limx1x2xyy2x0xy2y422x0y03）lim(xy)In(xy)；

（提示：设xrcos，yrsin）

4）limx0y0(14x2)(16y2)12x23y2.

第五篇：高数竞赛练习题答案(函数、极限、连续)

函数、极限、连续

1.f(x),g(x)C[a,b]，在(a,b)内二阶可导且存在相等的最大值，又f(a)g(a),f(b)g(b),证明：(1)(a,b),使f()g()

(2)(a,b),使f()g()证明：设f(x),g(x)分别在xc,xd处取得最大值M，不妨设cd(此时acdb)，作辅助函数F(x)f(x)g(x),往证(a,b),使F()0

令F(x)f(x)g(x),则F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)二阶可导，且F(a)F(b)0，① 当cd，由于 F(c)f(c)g(c)Mg(c)0F(d)f(d)g(d)f(d)M0由“闭.连.”零点定理，[c,d](a,b),使f()g()② 当cd，由于F(c)f(c)g(c)f(c)g(d)MM0即(a,b),使f()g()

对F(x)分别在[a,],[,b]上用罗尔定理，1(a,),2(,b)，使

在[1,2]上对F(x)在用罗尔定理，F(1)F(2)0，(1,2)(a,b)，使F()0，(a,b),使f()g().2.设数列{xn}满足0x1,xn1sinxn,n1,2,

xn存在，并求该极限(1)证明limn

xn1x1n(2)计算lim()nxn

分析：(1)确定{xn}为单调减少有下界即可

1xn，用洛必达法则.(2)利用(1)确定的limn

解：易得0xn1(n2,3,)，所以xn1sinxnxn,n(2,3,)，即{xn}为

xn存在，并记为limxna,则a[0,1]，单调减少有下界的数列，所以 lim nn

对等式xn1sinxnxn,两边令n取极限，得asina,a[0,1]，所以

a0,即limxn0.n

lim((2)n



xn1sinxn)lim()

nxnxn

2xn

2xn

令txn

lim（t0

sint)et0t

tlim

ln()t

t

2由于

lim

t0

t

ln(sin)ttsint

ln[1(sin1)]1-1t2sintt洛cost11tt2

limlimlimlimlim t0t0t0t0t03t2t2t2t33t26

xn1xn1

所以lim()e.nxn

3.已知f(x)在[0,1]连续，在(0,1)可导，且f(0)0,f(1)1，证明：(1)(0,1),使f()1，(2)存在两个不同点,(0,1),使f()f()1

证：(1)令F(x)f(x)x1，则F(x)在[0,1]上连续，且

F(0)10,F(1)10，由“闭.连.”零点定理，(0,1),使F()0,即f()1

(2)f(x)在[0,],[,1]上都满足拉格朗日中值定理，所以

(0,),(,1)，使

f()f(0)f()(0),f(1)f()f()(1)，即

f()f()

f()





1



1f()1(1)

111

f()f()

1







1

1

4.设方程xnnx10，其中n为正整数，证明此方程存在唯一的正



实根xn，并证明当1时，级数xn收敛.n1

证：令f(x)xnnx1,则f(x)在(0,)上连续，且

f(0)10,f()()n0

nn

所以由连续函数的零点定理，所给方程在(0,)内有根，又由f(x)n(xn11)0,即f(x)在(0,)内单调递增，所以所给方程(0,)内只有唯一的根，在(，)上无根，即所给方程存在唯一的正实根xn.

由上述知，对n1,2,，有0xn,有0xn



1n

1n1n

1n

1n1，n

此外，由1知，级数

收敛，所以由正项级数比较审敛法，知

n1n

x收敛.nn1



5.求lim(cosx)

x0

1ln(1x)

x0ln(1x)

解：lim(cosx)

x0

1ln(1x)

=e

lim

lncosx，其中limln(1x

x0

lncosx)

lim

x0

ln[1(cosx1)]ln(1x)

lim

x0

x22x



(cosx)所以，limx0

ln(1x)

e



6.f(x)在x0的某邻域内具有一阶连续导数，且f(0)0,f(0)0,若

af(h)bf(2h)f(0)在h0时是比h高阶的无穷小，试确定a,b的值.解1：（利用导数定义）

0lim

af(h)bf(2h)f(0)af(h)af(0)af(0)bf(2h)bf(0)bf(0)f(0)

lim

h0h0hhaf(h)af(0)bf(2h)bf(0)[(ab)1]f(0)[(ab)1]f(0)limlimlim(ab)f(0)limh0h0h0h0hhhh

ab1

由f(0)0,f(0)0,得,即a2,b1

a2b0

解2：按解1，只要假定f(x)在x0处可导即可，但在题中“f(x)在x0的某邻域内具有一阶连续导数”的假定下，有以下解法：由lim

h0

h0

af(h)bf(2h)f(0)

0得 limaf(h)bf(2h)f(0)=0

h0h

即0limaf(h)bf(2h)f(0)(ab1)f(0)，由f(0)0,得ab1（1）

af(h)bf(2h)f(0)洛

limaf(h)2bf(2h)(a2b)f(0)且f(0)0,又由0lim

h0h0h

所以 a2b0（2）

由（1）、（2）得a2,b1.2esinx

.7.求lim4x0x1e

解：

2eesinx2esinx

1 limlim44x0x0xx1ee12esinx2esinx

1 limlim44x0xx01ex1e

所以 原式 = 1

8.求lim

x0

143

xx2

.2

x

解1：（泰勒公式）因

xx2[1

1111

xx2o(x2)][1xx2o(x2)]22828(x0)

x2o(x2)~x2

所以

1x2

xx21limlimx0x0x2x24

解2：（洛必达法则）



xx2洛必达limlimx0x0x22x1xx1

limlim x0xx4x0x

12x1lim.4x0x(xx)4