函数与极限测试题答案(定稿)

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第一篇:函数与极限测试题答案(定稿)

函数与极限测试题答案

(卷面共有26题,100分,各大题标有题量和总分)

一、选择(9小题,共26分)

1.D

2.B

3.B

4.C

5.A

6.D

7.B

8.A

9.B

二、填空(6小题,共13分)

1.1 e

2.yln(x2)

)3.(3,4.x1及x

15.aln

36.5 3

三、计算(10小题,共55分)

f(x)limf(x)成立。1.解:(1)要f(x)在x0处有极限,即要limx0x0

f(x)lim(xsin因为limx0x0

x01b)b……(1分)xlimf(x)limx0sinx1………(2分)x

x0x0f(x)limf(x)成立,即b1时,函数在x0处有极限存在,所以,当b1时,有lim 

又因为函数在某点有极限与在该点处是否有定义无关,所以此时a可以取任意值。…(4分)

(2)依函数连续的定义知,函数在某点处连续的充要条件是

试卷答案 第 1 页(共 3 页)

xx0limf(x)limf(x)f(x0)xx0

于是有b1f(0)a,即ab1时函数在x0处连续。………(6分)

.解:x1……(2分)

x…(4分)

x1x16分)x13.要使f(x)在x=1处连续,必须满足条件

x4axb(x4axb)ab10 limf(1)2,于是limx1(x1)(x2)x

1x41a(x1)4a即b=-1-a,因此limf(x)=lim2 x1x1(x1)(x2)

3从而有a=2,b=-3

4.解:

x01 xxsin3x

1111 x03x0x0326

sinx3tanx3sinx3tanx……(3分)lim5.解:lim2x01cosxx01cosx

2x

4sinx3tanxlim3limx0x0112………(6分)1cosx2

limx02x4

3x23xln36.解:原式limx3cos(3x)

27(ln31)

试卷答案 第 2 页(共 3 页)

x23x2(x1)(x2)x17.解:2,当x2时……(4分)x4x12(x2)(x6)x6

x23x2x11lim2lim……(6分)x2x4x12x2x68

ex1x8.解:原式=lim(1分)x1x(ex1)

ex1=limx(3分)x1e1xex

ex

=limx(5分)x12exex

=1(6分)2

esinxexsinx1esinxxsinxlimlimesinx1 9.解:原式=limx0x0x0xsinxxsinx

10.解:f(00)1,f(00)b,f(0)a 当ab1时f(x)处处连续

四、证明(1小题,共6分)

1.证明:设f(x)3x2(1分)

则f(x)在区间[0,1]上连续,(2分)

因为f(0)20f(1)10(4分)由介值定理知存在01使得f()0

即32(6分)

x试卷答案 第 3 页(共 3 页)

第二篇:函数与极限测试题答疑

第一章函数与极限测试题答疑

一、选择题(7×4分)

x,1. 设f(x)2x,x0,g(x)5x4,则f[g(0)]-------------------(D)x0

A 16B 4C 4D 16 注:中学基本问题,应拿分!

2. 函数yf(x)的增量yf(xx)f(x)--(C)

A 一定大于0B一定小于0C不一定大于0D一定不大于0 注:中学基本问题,应拿分!

3. lim(13x)2x---------(C)x0

3A e6B e3C e2D e6 注:重要极限基本问题,应拿分!

4. 当x0,2tanx是关于sin2x的---------------(C)

A高阶无穷小B低阶无穷小C等价无穷小D同阶但非等价无穷小 注:无穷小比较基本问题,应拿分!

5. x4是f(x)sin(x4)

x162的----------------------(B)

A跳跃间断点B可去间断点C第二类间断点D连续点 注:间断点类型基本判定问题,应拿分!

x4应选何答案?

xsinx

x26. 曲线y2的水平渐近线方程为-----(B)

A x2B y2C x2D y2 注:水平渐近线方程基本问题,应拿分!

7.函数yf(x)在x0处有定义是yf(x)在x0处有极限的-----------------(D)

A 充分但非必要条件B 必要但非充分条件

C 充分且必要条件D 既不充分也不必要条件

注:函数yf(x)在x0处有定义与有极限的基本关系问题,应拿分!

二、填空题(3×4分)

1.lim

(2n1)(3n1)

(6n1)

n

1108

.注:的基本计算问题,分子分母比较最大项,应拿分!

ln(12x),x0x2.若函数y连续,则a2.3xa,x0

注:函数连续的基本问题,应拿分!3.已知:lim

xbx51x

x

1a,则a4,b6.注:极限的逆问题,有一定难度!

由lim(xbx5)0,得b6,进而有a

4x1

三、计算题(4×7分)

arctanxe

1x



1.lim

x

2

21

11x

11x

注:极限定式的基本问题,应拿分!2.lim(x

x2x1

x)2=ex

2lim

x

ln(1

11x

ln(1))

0

ex21xe2

lim

x11

注:极限1的基本问题,应拿分!3.lim(x

x

xx)lim

xxlim

11

1x1

xx

注:极限的基本问题,尽管例题未讲,但处理方法讲过,化为比式,应拿分!4.lim

tanx

x

sinx

x0

lim

x0

tanxsinx

x12

xlim

x0

x

=

lim

tanxsinx

x00

x0

lim

tanx(1cosx)

x

x0

=1

4x

注:极限的综合问题,有一定难度!

1tanx

x

1错误解法:原式lim

x

尽管得数正确,但分子两个局部等价无法保证整个分子也等价!

x0

x0

limsinx



四、(9分)设y

e1e

1x

x,(1)求函数的间断点并判断其类型;

(2)求该函数图象的水平渐近线及铅直渐近线。

解:(1)x0是非定义点,一定是间断点,又limf(x),所以x0为第二类间断点

x0

(2)因limf(x),则x0为铅直渐近线

x0

又 limf(x)1,limf(x)1所以 y1,y1为其水平渐近线

x

x

注:极限应用的综合问题,但难度不大!

2五、(8分)当x0时,x1与1cos

ax互为等价无穷小,求a值。

解:因为

x1~

3x,1cos

~

ax

2,则

1lim

x0

22,所以a lim32

x0ax3a3x

注:极限的逆问题,但难度不大!错误解法:因为

x1~

x,1cos

~

ax2

又11cos,故想一想,该方法为何错?

x

ax2,所以a

六、(8分)把长为a的线段AB分为n等分,以每个小段为底做底角为等腰的两腰组成一折线,试求当n无限增大时所得折线长的极限。解:lim2n.n

2n的等腰,这些



a2n

sec

2

a n

注:极限的基本建模问题,应拿分!请解决下列问题:

1、半径为r的圆内接正n边形,试求当n无限增大时,其边长与面积的极限。

2、根据药物动力学理论,一次静脉注射剂量为D0的药物后,经过时间t,体内血药浓度为V

(1)试求n次注射后体内血药浓度Cnt与第n次注射后的时间t的关系。Ct

D0

e

kt,其中k0为消除速率常数,V为表观分布容积。若每隔时间r注射一次,(2)随着n的无限增大,血药浓度是否会无限上升呢?

七、(7分)(二题可以选作一题)(1)求lim(n

1n



1n



2n)n

(2)求证:方程x2sinx在(,)内至少有一实根

(1



而lim

n

1,lim

n

1

故由夹逼定理知原式1

注:和式极限的基本问题,利用和式分项中的最大项、最小项进行放缩,由夹逼定理完成,本题属提高题型中的简单题!

试用夹逼定理证明lim

n3

3n

n

0

(2)证明:令 f(x)x2sinx,其为在[

则f(x)在[

,]上连续,又f(,]上有定义的初等函数,)

20,f()00

故由零点存在定理知,在(即方程f(x)0在(

,)内至少存在一点,使得f()0,)内至少有一个根,证毕。

注:连续的基本性质问题,尽管未介绍,但其属于中学问题,理解上较容易,但在证明表述上有一定难度!

试证明方程xasinxb(a0,b0)至少有一个正根,并且它不超过ab。

第三篇:函数极限

习题

1.按定义证明下列极限:

(1)limx6x5=6;(2)lim(x2-6x+10)=2;x2x

x251;(4)lim(3)lim2xx1x2

(5)limcos x = cos x0 xx04x2=0;

2.根据定义2叙述limf(x)≠ A.xx0

3.设limf(x)= A.,证明limf(x0+h)= A.xx0h0

4.证明:若limf(x)= A,则lim| f(x)| = |A|.当且仅当A为何值时反之也成立? xx0xx0

5.证明定理3.1

6.讨论下列函数在x0→0 时的极限或左、右极限:(1)f(x)=x

x;(2)f(x)= [x]

2x;x0.(3)f(x)=0;x0.1x2,x0.

7.设 limf(x)= A,证明limf(xxx01)= A x

8.证明:对黎曼函数R(x)有limR(x)= 0 , x0∈[0,1](当x0=0或1时,考虑单侧极限).xx0

习题

1. 求下列极限:

x21(1)lim2(sinx-cosx-x);(2)lim;x02x2x1x22

x21x113x;

lim(3)lim;(4)

x12x2x1x0x22x3

xn1(5)limm(n,m 为正整数);(6)lim

x1xx41

(7)lim

x0

2x3x2

70;

a2xa3x68x5.(a>0);(8)lim

xx5x190

2. 利用敛性求极限:(1)lim

x

xcosxxsinx

;(2)lim2

x0xx4

xx0

3. 设 limf(x)=A, limg(x)=B.证明:

xx0

(1)lim[f(x)±g(x)]=A±B;

xx0

(2)lim[f(x)g(x)]=AB;

xx0

(3)lim

xx0

f(x)A

=(当B≠0时)g(x)B

4. 设

a0xma1xm1am1xam

f(x)=,a0≠0,b0≠0,m≤n,nn1

b0xb1xbn1xbn

试求 limf(x)

x

5. 设f(x)>0, limf(x)=A.证明

xx0

xx0

lim

f(x)=A,其中n≥2为正整数.6.证明limax=1(0

x0

7.设limf(x)=A, limg(x)=B.xx0

xx0

(1)若在某∪(x0)内有f(x)< g(x),问是否必有A < B ? 为什么?

(2)证明:若A>B,则在某∪(x0)内有f(x)> g(x).8.求下列极限(其中n皆为正整数):(1)lim 

x0

x

x11

lim;(2);nnx0x1xx1x

xx2xnn

(3)lim;(4)lim

x0x0x1

x1

x

(5)lim

x

x(提示:参照例1)

x

x0

x0

x0

9.(1)证明:若limf(x3)存在,则limf(x)= lim f(x3)(2)若limf(x2)存在,试问是否成立limf(x)=limf(x2)?

x0

x0

x0

习题

1.叙述函数极限limf(x)的归结原则,并应用它证明limcos x不存在.n

n

2.设f 为定义在[a,+)上的增(减)函数.证明: lim= f(x)存在的充要条件是f在n

[a,+)上有上(下)界.3.(1)叙述极限limf(x)的柯西准则;

n

(2)根据柯西准则叙述limf(x)不存在的充要条件,并应用它证明limsin x不存在.n

n

4.设f在∪0(x0)内有定义.证明:若对任何数列{xn}∪0(x0)且limxn=x0,极限limf(xn)都

n

n

存在,则所有这极限都相等.提示: 参见定理3.11充分性的证明.5设f为∪0(x0)上的递减函数.证明:f(x0-0)和f(x0+0)都存在,且f(x0-0)=supf(x),f(x0+0)=

0xu

x0

0xun(x0)

inff(x)

6.设 D(x)为狄利克雷函数,x0∈R证明limD(x)不存在.xx0

7.证明:若f为周期函数,且limf(x)=0,则f(x)=0

x

8.证明定理3.9

习题

1.求下列极限

sin2xsinx3

(1)lim;(2)lim

x0x0sinx2x

(3)lim

x

cosxx

tanxsinxarctanx

lim(5)lim;(6);3x0x0xx

sin2xsin2a1

(7)limxsin;(8)lim;

xxaxxa

;(4)lim

x0

tanx

;x

cosx2

(9)lim;(10)lim

x0x01cosxx11

sin4x

2.求下列极限

12x

(1)lim(1);(2)lim1axx(a为给定实数);

nx0x

x

(3)lim1tanx

x0

cotx

;(4)lim

1x

;

x01x

(5)lim(x

3x22x1);(6)lim(1)x(,为给定实数)

n3x1x

3.证明:limlimcosxcoxcos4.利用归结原则计算下列极限:(1)limnsin

n

x0n



x2

xxcos1 2n22

n

;(2)

习题

1. 证明下列各式

(1)2x-x2=O(x)(x→0);(2)x sinxO(x)(x→0);

+

(3)x1o(1)(x→0);

(4)(1+x)n= 1+ nx+o(x)(x→0)(n 为正整数)(5)2x3 + x2=O(x3)(x→∞);

(6)o(g(x))±o(g(x))=o(g(x))(x→x0)

(7)o(g1(x))·0(g2(x))=o(g1(x)g2(x))(x→x0)2. 应用定理3.12求下列极限:

x21x(1)lim(2)lim x01cosxxxcosx

x3. 证明定理3.13

4. 求下列函数所表示曲线的渐近线:

13x34

(1)y =;(2)y = arctan x;(3)y = 2

xx2x

5. 试确定a的值,使下列函数与xa当x→0时为同阶无穷小量:

(1)sin2x-2sinx;(2)

-(1-x);1x

(3)tanxsinx;(4)

x24x3

6. 试确定a的值,使下列函数与xa当x→∞时为同阶无穷大量:

(1)

x2x5;(2)x+x2(2+sinx);

(3)(1+x)(1+x2)…(1+xn).7. 证明:若S为无上界数集,则存在一递增数列{xn}s,使得xn→+∞(n→∞)

8. 证明:若f为x→r时的无穷大量,而函数g在某U0(r)上满足g(x)≥K>0,则fg为x→r

时的无穷大量。

9. 设 f(x)~g(x)(x→x0),证明:

f(x)-g(x)= o(f(x))或 f(x)-g(x)= o(g(x))

总 练习题

1. 求下列极限:

1

(x[x])lim([x]1)(1)lim;(2)

x3

x1

(3)lim(x

axbxaxbx)

xxa

(4)lim

x

(5)lim

xxa

x

(6)lim

xxxx

x0

(7)lim

nm,m,n 为正整数 nx11xm1x

2. 分别求出满足下述条件的常数a与b:

x21

(1)limaxb0 xx1

x(3)limx

(2)lim

xxx2

x1axb0

x1axb0

x2

3. 试分别举出符合下列要求的函数f:

(1)limf(x)f(2);(2)limf(x)不存在。

4. 试给出函数f的例子,使f(x)>0恒成立,而在某一点x0处有limf(x)0。这同极限的xx0

局部保号性有矛盾吗?

5. 设limf(x)A,limg(u)B,在何种条件下能由此推出

xa

gA

limg(f(x))B?

xa

6. 设f(x)=x cos x。试作数列

(1){xn} 使得 xn→∞(n→∞), f(xn)→0(n→∞);(2){yn} 使得 yn→∞(n→∞), f(yn)→0(n→∞);(3){zn} 使得 zn→∞(n→∞), f(zn)→0(n→∞).7. 证明:若数列{an}满足下列条件之一,则{an}是无穷大数列:

(1)limanr1

n

(2)lim

an1

s1(an≠0,n=1,2,…)

nan

n2

n2

8. 利用上题(1)的结论求极限:

(1)lim1

n

11(2)lim1

nnn

9. 设liman,证明

n

(1)lim

(a1a2an) nn

n

(2)若an > 0(n=1,2,…),则lima1a2an 10.利用上题结果求极限:

(1)limn!(2)lim

n

In(n!)

nn

11.设f为U-0(x0)内的递增函数。证明:若存在数列{xn}U-0(x0)且xn→x0(n→∞),使得

limf(xn)A,则有

n

f(x0-0)=

supf(x)A

0xU(x0)

12.设函数f在(0,+∞)上满足方程f(2x)=f(x),且limf(x)A。证明:f(x)A,x∈(0,+∞)

x

13.设函数f在(0,+∞)此上满足方程f(x2)= f(x),且

f(x)=limf(x)f(1)lim

x0

x

证明:f(x)f(1),x∈(0,+∞)

14.设函数f定义在(a,+∞)上,f在每一个有限区间内(a,b)有界,并满足

x

lim(f(x1)f(1))A证明

x

lim

f(x)

A x

第四篇:函数极限

《数学分析》教案

第三章 函数极限

xbl

第三章 函数极限

教学目的:

1.使学生牢固地建立起函数极限的一般概念,掌握函数极限的基本性质; 2.理解并运用海涅定理与柯西准则判定某些函数极限的存在性; 3.掌握两个重要极限

和,并能熟练运用;

4.理解无穷小(大)量及其阶的概念,会利用它们求某些函数的极限。教学重(难)点:

本章的重点是函数极限的概念、性质及其计算;难点是海涅定理与柯西准则的应用。

教学时数:16学时

§ 1 函数极限概念(3学时)

教学目的:使学生建立起函数极限的准确概念;会用函数极限的定义证明函数极限等有关命题。

教学要求:使学生逐步建立起函数极限的定义的清晰概念。会应用函数极限的定义证明函数的有关命题,并能运用语言正确表述函数不以某实数为极限等相应陈述。

教学重点:函数极限的概念。

教学难点:函数极限的定义及其应用。

一、复习:数列极限的概念、性质等

二、讲授新课:

(一)时函数的极限:

《数学分析》教案

第三章 函数极限

xbl

例4 验证

例5 验证

例6 验证

证 由 =

为使

需有

需有

为使

于是, 倘限制 , 就有

例7 验证

例8 验证(类似有

(三)单侧极限:

1.定义:单侧极限的定义及记法.几何意义: 介绍半邻域

《数学分析》教案

第三章 函数极限

xbl

我们引进了六种极限:.以下以极限,为例讨论性质.均给出证明或简证.二、讲授新课:

(一)函数极限的性质: 以下性质均以定理形式给出.1.唯一性:

2.局部有界性:

3.局部保号性:

4.单调性(不等式性质):

Th 4 若使,证 设

和都有 =

(现证对 都存在, 且存在点 的空心邻域),有

註: 若在Th 4的条件中, 改“ 就有

5.6.以

迫敛性:

”为“ 举例说明.”, 未必

四则运算性质:(只证“+”和“ ”)

(二)利用极限性质求极限: 已证明过以下几个极限:

《数学分析》教案

第三章 函数极限

xbl

例8

例9

例10 已知

求和

补充题:已知

求和()§ 3 函数极限存在的条件(4学时)

教学目的:理解并运用海涅定理与柯西准则判定某些函数极限的存在性。教学要求:掌握海涅定理与柯西准则,领会其实质以及证明的基本思路。教学重点:海涅定理及柯西准则。教学难点:海涅定理及柯西准则 运用。

教学方法:讲授为主,辅以练习加深理解,掌握运用。本节介绍函数极限存在的两个充要条件.仍以极限

为例.一.Heine归并原则——函数极限与数列极限的关系:

Th 1 设函数在,对任何在点

且的某空心邻域

内有定义.则极限都存在且相等.(证)

存Heine归并原则反映了离散性与连续性变量之间的关系,是证明极限不存在的有力工具.对单侧极限,还可加强为

单调趋于

.参阅[1]P70.例1 证明函数极限的双逼原理.7 《数学分析》教案

第三章 函数极限

xbl

教学难点:两个重要极限的证明及运用。

教学方法:讲授定理的证明,举例说明应用,练习。一.

(证)(同理有)

例1

例2.例3

例4

例5 证明极限 不存在.二.证 对

例6

特别当 等.例7

例8

《数学分析》教案

第三章 函数极限

xbl

三. 等价无穷小:

Th 2(等价关系的传递性).等价无穷小在极限计算中的应用: Th 3(等价无穷小替换法则)

几组常用等价无穷小:(见[2])

例3 时, 无穷小

是否等价? 例4

四.无穷大量:

1.定义:

2.性质:

性质1 同号无穷大的和是无穷大.性质2 无穷大与无穷大的积是无穷大.性质3 与无界量的关系.无穷大的阶、等价关系以及应用, 可仿无穷小讨论, 有平行的结果.3.无穷小与无穷大的关系:

无穷大的倒数是无穷小,非零无穷小的倒数是无穷大

习题 课(2学时)

一、理论概述:

《数学分析》教案

第三章 函数极限

xbl

例7.求

.注意 时, 且

.先求

由Heine归并原则

即求得所求极限

.例8 求是否存在.和.并说明极限

解;

可见极限 不存在.--32

第五篇:函数极限

数学之美2006年7月第1期

函数极限的综合分析与理解

经济学院 财政学 任银涛 0511666

数学不仅仅是工具,更是一种能力。一些数学的方法被其它学科广泛地运用。例如,经济学中的边际分析、弹性分析等方法。函数极限是高等数学中的一个重要问题。极限可以与很多的数学问题相联系。例如,导数从根本上是求极限;函数连续首先要求函数在某一点的左极限等于右极限。有鉴于函数极限的重要性,结合自己的学习心得,笔者写下了此文。其目的在于归纳和总结解决函数极限问题的实用方法和技巧,以期对函数极限问题的学习有所帮助。局限于笔者的认知水平,缺点和不足在所难免,欢迎批评指正。

一、函数极限的定义和基本性质

函数极限可以分成x→x0,x→∞两类,而运用ε-δ定义更多的见诸于已知

极限值的证明题中。掌握这类证明对初学者深刻理解运用极限定义大有裨益。以xx0的极限为例,fx在点x0以A极限的定义是:0,0,使当0xx0时,有f(x)A(A为常数).问题的关键在于找到符合定义要求的,在这一过程中会用到一些不等式技巧,例如放缩法等。1999年的研究生考试试题中,更是直接考察了考生对定义的掌握情况。详见附例1。

函数极限性质的合理运用。常用的函数极限的性质有函数极限的唯一性、局部有界性、保序性以及函数极限的运算法则和复合函数的极限等等。如函数极限的唯一性(若lim存在,则在该点的极限是唯一的)可以体现在用海涅定理证明xx0

''即如果fxnA,fxn,fx在x0处的极限不存在。B(n,xn和xnx0)

则fx在x0处的极限不存在。

运用函数极限的性质可以方便地求出一些简单函数的极限值。例如对于有理分式fxPxPx,Qx均为多项式,Qx0)。设Px的次数为n,Qx的Qx次数为m,当x时,若nm,则fx0;若nm,则fxPx与Qx的最高次项系数之比;若nm,则fx。当xx0时,f(x)P(x0)(Q(x0)0)。Q(x0)

二、运用函数极限的判别定理

最常用的判别定理包括单调有界定理和夹挤定理,在运用它们去求函数的极限时尤需注意以下关键之点。一是先要用单调有界定理证明收敛,然后再求极限值,参见附例2。二是应用夹挤定理的关键是找到极限值相同的函数gx与

hx,并且要满足gxfxhx,从而证明或求得函数fx的极限值。

三、应用等价无穷小代换求极限

掌握常用的等价无穷小很重要。等价无穷小代换可以将复杂的极限式变的简单明了,让求解过程变得简明迅速。

x0时,sinx与x,tanx与x,arcsinx与x,arctanx与x,1cosx与x2,xa,ax1与xlna,1a与ax(a0)等等可ln1x与x,loga1x与lna

以相互替换。特别需要注意的是,等价无穷小代换只能用于分子、分母中的乘积

sinxx

因子,而对于加减法运算则不能运用。例如lim,不能直接把sinx替换

x0x

3sinxx

1成x,得出极限值为0,实际上lim。

x0x36

四、运用洛必达法则求函数极限

设函数fx,gx在点a的某空心邻域可导,且g'(x)0。当xa时,fxf'x,fx和gx的极限同时为0或时才适用'A(A为常数或)

gxgx洛必达法则。洛必达法则实际上把求函数极限问题转化为学生较为拿手的求导数

0、00、1、0等类型则需要问题。这使得求解思路简单程序化。而对于、0

对式子进行转化,或通分或取倒数或取对数等转化为型,再使用洛必达法

0

则求极限。例如fx

gx的极限转化为求egxlnfx的极限等等。然而,对于数列,则必须转化为函数再运用洛必达法则。这是因为如果把数列看作是自变量为n的函数时,它的定义域是一系列孤立的点,不存在导数。这是使用洛必达法则时必须要注意的一点。参见附例3。

五、泰勒公式的运用

对于使用洛必达法则不易求出结果的复杂函数式,可以考虑使用泰勒公式。这样将函数式化为最高次项为相同或相近的式子,这时就变成了求多项式的极限值(接着求值见上文所述方法),使计算一目了然。因此掌握和记忆常用基本初

等函数的麦克劳林展开式是十分必要的。如ex,sinx,cosx,ln1x等等。至于展开式展开多少,则要与题干中的自变量x最高次项保持一致。如

cosxelimx0x4x4)。

x

2利用泰勒公式展开cosx,e

x22,展开到x4即可(原式x最高次项为

六、利用微分中值定理来求极限

f(x)在a,b上连续,在a,b上可导,则至少存在一点a,b,使

f'()

f(b)f(a)'f(b)f(a),f()即可看成特殊的极限,用来求解。一般需

baba

要函数式可以看成同一函数的区间端点的差,这样可以使用微分中值定理。参见附例4。

另外,一些重要的结论往往在求极限时可以直接加以引用,例如

lim(1x)e,lim

x0

1x

sinx

1,

1,1等等。

x0nnx

求极限的方法和技巧更多的在于实践中的摸索和探讨,上述方法只是笔者在高等数学学习和练习的一些心得,求极限的方法还有很多。局限于笔者的认知水平,缺点和不足在所难免,敬请批评指正。

南开大学张阳和张效成老师的课堂教学给了笔者很大的启发,在此向两位老师表示感谢。

附:例1:对任意给定的0,1,总存在正整数N,使得当nN时,恒有。xna2,是数列xn收敛于a的()

A 充分非必要条件 B必要非充分条件C充分必要条件D既非充分又非必要条件

解析:这道题是1999年全国考研试卷(二)的数学选择题,这道题直接考察了对极限定义的掌握和理解。

例2:若x1a,y1b(ba0),xn1xnyn,yn1明数列xn,yn有相同的极限。(见习题册1 Page.18)

解析:由已知条件易知,by1y2……yn1xn1……x1a,数列

xn1yn

1,试证

2文中习题册是指南开大学薛运华,赵志勇主编的《高等数学习题课讲义(上册)》,为学生用数学练习册。

xyn

limyn1linxn,yn单调有界,可以推出xn,yn收敛。nn

n

。设

limynA,limxnB,则A

n

AB,AB。2

例3:求lim(ntan)n的值。(见课本2 Page.153)

nn

1

解析:这是数列。设fxxtan,则对limfx可以运用洛必达法则,xx且原式=limfx。

x

x2

aa

arctan),a0

nnn1

arctan解析:如例题3,设fxa,则在x,x1上fx连续,在x,x1内

x

例4:求limn2(arctan

可导。于是,x,x1,f'()arctan

aaaarctan2(使用微分中x1xa2

a)a。22

a

值定理可得)。x,则,原式=lim2(

参考书目

[1] 张效成主编,《经济类数学分析(上册)》,天津大学出版社,2005年7月 [2] 薛运华,赵志勇主编,《高等数学习题课讲义(上册)》,南开大学 [3] 张友贵等,《掌握高等数学(理工类、经济类)》,大连理工出版社,2004年11月

[4]《硕士研究生入学考试试题》,1984—2005

※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○

文中课本是指笔者使用的天津大学出版社05年7月版的《经济类数学分析(上册)》张效成主编

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