第一篇:函数与极限测试题答案(定稿)
函数与极限测试题答案
(卷面共有26题,100分,各大题标有题量和总分)
一、选择(9小题,共26分)
1.D
2.B
3.B
4.C
5.A
6.D
7.B
8.A
9.B
二、填空(6小题,共13分)
1.1 e
2.yln(x2)
)3.(3,4.x1及x
15.aln
36.5 3
三、计算(10小题,共55分)
f(x)limf(x)成立。1.解:(1)要f(x)在x0处有极限,即要limx0x0
f(x)lim(xsin因为limx0x0
x01b)b……(1分)xlimf(x)limx0sinx1………(2分)x
x0x0f(x)limf(x)成立,即b1时,函数在x0处有极限存在,所以,当b1时,有lim
又因为函数在某点有极限与在该点处是否有定义无关,所以此时a可以取任意值。…(4分)
(2)依函数连续的定义知,函数在某点处连续的充要条件是
试卷答案 第 1 页(共 3 页)
xx0limf(x)limf(x)f(x0)xx0
于是有b1f(0)a,即ab1时函数在x0处连续。………(6分)
.解:x1……(2分)
x…(4分)
x1x16分)x13.要使f(x)在x=1处连续,必须满足条件
x4axb(x4axb)ab10 limf(1)2,于是limx1(x1)(x2)x
1x41a(x1)4a即b=-1-a,因此limf(x)=lim2 x1x1(x1)(x2)
3从而有a=2,b=-3
4.解:
x01 xxsin3x
1111 x03x0x0326
sinx3tanx3sinx3tanx……(3分)lim5.解:lim2x01cosxx01cosx
2x
4sinx3tanxlim3limx0x0112………(6分)1cosx2
limx02x4
3x23xln36.解:原式limx3cos(3x)
27(ln31)
试卷答案 第 2 页(共 3 页)
x23x2(x1)(x2)x17.解:2,当x2时……(4分)x4x12(x2)(x6)x6
x23x2x11lim2lim……(6分)x2x4x12x2x68
ex1x8.解:原式=lim(1分)x1x(ex1)
ex1=limx(3分)x1e1xex
ex
=limx(5分)x12exex
=1(6分)2
esinxexsinx1esinxxsinxlimlimesinx1 9.解:原式=limx0x0x0xsinxxsinx
10.解:f(00)1,f(00)b,f(0)a 当ab1时f(x)处处连续
四、证明(1小题,共6分)
1.证明:设f(x)3x2(1分)
则f(x)在区间[0,1]上连续,(2分)
因为f(0)20f(1)10(4分)由介值定理知存在01使得f()0
即32(6分)
x试卷答案 第 3 页(共 3 页)
第二篇:函数与极限测试题答疑
第一章函数与极限测试题答疑
一、选择题(7×4分)
x,1. 设f(x)2x,x0,g(x)5x4,则f[g(0)]-------------------(D)x0
A 16B 4C 4D 16 注:中学基本问题,应拿分!
2. 函数yf(x)的增量yf(xx)f(x)--(C)
A 一定大于0B一定小于0C不一定大于0D一定不大于0 注:中学基本问题,应拿分!
3. lim(13x)2x---------(C)x0
3A e6B e3C e2D e6 注:重要极限基本问题,应拿分!
4. 当x0,2tanx是关于sin2x的---------------(C)
A高阶无穷小B低阶无穷小C等价无穷小D同阶但非等价无穷小 注:无穷小比较基本问题,应拿分!
5. x4是f(x)sin(x4)
x162的----------------------(B)
A跳跃间断点B可去间断点C第二类间断点D连续点 注:间断点类型基本判定问题,应拿分!
x4应选何答案?
xsinx
x26. 曲线y2的水平渐近线方程为-----(B)
A x2B y2C x2D y2 注:水平渐近线方程基本问题,应拿分!
7.函数yf(x)在x0处有定义是yf(x)在x0处有极限的-----------------(D)
A 充分但非必要条件B 必要但非充分条件
C 充分且必要条件D 既不充分也不必要条件
注:函数yf(x)在x0处有定义与有极限的基本关系问题,应拿分!
二、填空题(3×4分)
1.lim
(2n1)(3n1)
(6n1)
n
1108
.注:的基本计算问题,分子分母比较最大项,应拿分!
ln(12x),x0x2.若函数y连续,则a2.3xa,x0
注:函数连续的基本问题,应拿分!3.已知:lim
xbx51x
x
1a,则a4,b6.注:极限的逆问题,有一定难度!
由lim(xbx5)0,得b6,进而有a
4x1
三、计算题(4×7分)
arctanxe
1x
1.lim
x
2
21
11x
11x
注:极限定式的基本问题,应拿分!2.lim(x
x2x1
x)2=ex
2lim
x
ln(1
11x
ln(1))
0
ex21xe2
lim
x11
注:极限1的基本问题,应拿分!3.lim(x
x
xx)lim
xxlim
11
1x1
xx
注:极限的基本问题,尽管例题未讲,但处理方法讲过,化为比式,应拿分!4.lim
tanx
x
sinx
x0
lim
x0
tanxsinx
x12
xlim
x0
x
=
lim
tanxsinx
x00
x0
lim
tanx(1cosx)
x
x0
=1
4x
注:极限的综合问题,有一定难度!
1tanx
x
1错误解法:原式lim
x
尽管得数正确,但分子两个局部等价无法保证整个分子也等价!
x0
x0
limsinx
四、(9分)设y
e1e
1x
x,(1)求函数的间断点并判断其类型;
(2)求该函数图象的水平渐近线及铅直渐近线。
解:(1)x0是非定义点,一定是间断点,又limf(x),所以x0为第二类间断点
x0
(2)因limf(x),则x0为铅直渐近线
x0
又 limf(x)1,limf(x)1所以 y1,y1为其水平渐近线
x
x
注:极限应用的综合问题,但难度不大!
2五、(8分)当x0时,x1与1cos
ax互为等价无穷小,求a值。
解:因为
x1~
3x,1cos
~
ax
2,则
1lim
x0
22,所以a lim32
x0ax3a3x
注:极限的逆问题,但难度不大!错误解法:因为
x1~
x,1cos
~
ax2
又11cos,故想一想,该方法为何错?
x
ax2,所以a
六、(8分)把长为a的线段AB分为n等分,以每个小段为底做底角为等腰的两腰组成一折线,试求当n无限增大时所得折线长的极限。解:lim2n.n
2n的等腰,这些
a2n
sec
2
a n
注:极限的基本建模问题,应拿分!请解决下列问题:
1、半径为r的圆内接正n边形,试求当n无限增大时,其边长与面积的极限。
2、根据药物动力学理论,一次静脉注射剂量为D0的药物后,经过时间t,体内血药浓度为V
(1)试求n次注射后体内血药浓度Cnt与第n次注射后的时间t的关系。Ct
D0
e
kt,其中k0为消除速率常数,V为表观分布容积。若每隔时间r注射一次,(2)随着n的无限增大,血药浓度是否会无限上升呢?
七、(7分)(二题可以选作一题)(1)求lim(n
1n
1n
2n)n
(2)求证:方程x2sinx在(,)内至少有一实根
(1
而lim
n
1,lim
n
1
故由夹逼定理知原式1
注:和式极限的基本问题,利用和式分项中的最大项、最小项进行放缩,由夹逼定理完成,本题属提高题型中的简单题!
试用夹逼定理证明lim
n3
3n
n
0
(2)证明:令 f(x)x2sinx,其为在[
则f(x)在[
,]上连续,又f(,]上有定义的初等函数,)
20,f()00
故由零点存在定理知,在(即方程f(x)0在(
,)内至少存在一点,使得f()0,)内至少有一个根,证毕。
注:连续的基本性质问题,尽管未介绍,但其属于中学问题,理解上较容易,但在证明表述上有一定难度!
试证明方程xasinxb(a0,b0)至少有一个正根,并且它不超过ab。
第三篇:函数极限
习题
1.按定义证明下列极限:
(1)limx6x5=6;(2)lim(x2-6x+10)=2;x2x
x251;(4)lim(3)lim2xx1x2
(5)limcos x = cos x0 xx04x2=0;
2.根据定义2叙述limf(x)≠ A.xx0
3.设limf(x)= A.,证明limf(x0+h)= A.xx0h0
4.证明:若limf(x)= A,则lim| f(x)| = |A|.当且仅当A为何值时反之也成立? xx0xx0
5.证明定理3.1
6.讨论下列函数在x0→0 时的极限或左、右极限:(1)f(x)=x
x;(2)f(x)= [x]
2x;x0.(3)f(x)=0;x0.1x2,x0.
7.设 limf(x)= A,证明limf(xxx01)= A x
8.证明:对黎曼函数R(x)有limR(x)= 0 , x0∈[0,1](当x0=0或1时,考虑单侧极限).xx0
习题
1. 求下列极限:
x21(1)lim2(sinx-cosx-x);(2)lim;x02x2x1x22
x21x113x;
lim(3)lim;(4)
x12x2x1x0x22x3
xn1(5)limm(n,m 为正整数);(6)lim
x1xx41
(7)lim
x0
2x3x2
70;
a2xa3x68x5.(a>0);(8)lim
xx5x190
2. 利用敛性求极限:(1)lim
x
xcosxxsinx
;(2)lim2
x0xx4
xx0
3. 设 limf(x)=A, limg(x)=B.证明:
xx0
(1)lim[f(x)±g(x)]=A±B;
xx0
(2)lim[f(x)g(x)]=AB;
xx0
(3)lim
xx0
f(x)A
=(当B≠0时)g(x)B
4. 设
a0xma1xm1am1xam
f(x)=,a0≠0,b0≠0,m≤n,nn1
b0xb1xbn1xbn
试求 limf(x)
x
5. 设f(x)>0, limf(x)=A.证明
xx0
xx0
lim
f(x)=A,其中n≥2为正整数.6.证明limax=1(0 x0 7.设limf(x)=A, limg(x)=B.xx0 xx0 (1)若在某∪(x0)内有f(x)< g(x),问是否必有A < B ? 为什么? (2)证明:若A>B,则在某∪(x0)内有f(x)> g(x).8.求下列极限(其中n皆为正整数):(1)lim x0 x x11 lim;(2);nnx0x1xx1x xx2xnn (3)lim;(4)lim x0x0x1 x1 x (5)lim x x(提示:参照例1) x x0 x0 x0 9.(1)证明:若limf(x3)存在,则limf(x)= lim f(x3)(2)若limf(x2)存在,试问是否成立limf(x)=limf(x2)? x0 x0 x0 习题 1.叙述函数极限limf(x)的归结原则,并应用它证明limcos x不存在.n n 2.设f 为定义在[a,+)上的增(减)函数.证明: lim= f(x)存在的充要条件是f在n [a,+)上有上(下)界.3.(1)叙述极限limf(x)的柯西准则; n (2)根据柯西准则叙述limf(x)不存在的充要条件,并应用它证明limsin x不存在.n n 4.设f在∪0(x0)内有定义.证明:若对任何数列{xn}∪0(x0)且limxn=x0,极限limf(xn)都 n n 存在,则所有这极限都相等.提示: 参见定理3.11充分性的证明.5设f为∪0(x0)上的递减函数.证明:f(x0-0)和f(x0+0)都存在,且f(x0-0)=supf(x),f(x0+0)= 0xu x0 0xun(x0) inff(x) 6.设 D(x)为狄利克雷函数,x0∈R证明limD(x)不存在.xx0 7.证明:若f为周期函数,且limf(x)=0,则f(x)=0 x 8.证明定理3.9 习题 1.求下列极限 sin2xsinx3 (1)lim;(2)lim x0x0sinx2x (3)lim x cosxx tanxsinxarctanx lim(5)lim;(6);3x0x0xx sin2xsin2a1 (7)limxsin;(8)lim; xxaxxa ;(4)lim x0 tanx ;x cosx2 (9)lim;(10)lim x0x01cosxx11 sin4x 2.求下列极限 12x (1)lim(1);(2)lim1axx(a为给定实数); nx0x x (3)lim1tanx x0 cotx ;(4)lim 1x ; x01x (5)lim(x 3x22x1);(6)lim(1)x(,为给定实数) n3x1x 3.证明:limlimcosxcoxcos4.利用归结原则计算下列极限:(1)limnsin n x0n x2 xxcos1 2n22 n ;(2) 习题 1. 证明下列各式 (1)2x-x2=O(x)(x→0);(2)x sinxO(x)(x→0); + (3)x1o(1)(x→0); (4)(1+x)n= 1+ nx+o(x)(x→0)(n 为正整数)(5)2x3 + x2=O(x3)(x→∞); (6)o(g(x))±o(g(x))=o(g(x))(x→x0) (7)o(g1(x))·0(g2(x))=o(g1(x)g2(x))(x→x0)2. 应用定理3.12求下列极限: x21x(1)lim(2)lim x01cosxxxcosx x3. 证明定理3.13 4. 求下列函数所表示曲线的渐近线: 13x34 (1)y =;(2)y = arctan x;(3)y = 2 xx2x 5. 试确定a的值,使下列函数与xa当x→0时为同阶无穷小量: (1)sin2x-2sinx;(2) -(1-x);1x (3)tanxsinx;(4) x24x3 6. 试确定a的值,使下列函数与xa当x→∞时为同阶无穷大量: (1) x2x5;(2)x+x2(2+sinx); (3)(1+x)(1+x2)…(1+xn).7. 证明:若S为无上界数集,则存在一递增数列{xn}s,使得xn→+∞(n→∞) 8. 证明:若f为x→r时的无穷大量,而函数g在某U0(r)上满足g(x)≥K>0,则fg为x→r 时的无穷大量。 9. 设 f(x)~g(x)(x→x0),证明: f(x)-g(x)= o(f(x))或 f(x)-g(x)= o(g(x)) 总 练习题 1. 求下列极限: 1 (x[x])lim([x]1)(1)lim;(2) x3 x1 (3)lim(x axbxaxbx) xxa (4)lim x (5)lim xxa x (6)lim xxxx x0 (7)lim nm,m,n 为正整数 nx11xm1x 2. 分别求出满足下述条件的常数a与b: x21 (1)limaxb0 xx1 x(3)limx (2)lim xxx2 x1axb0 x1axb0 x2 3. 试分别举出符合下列要求的函数f: (1)limf(x)f(2);(2)limf(x)不存在。 4. 试给出函数f的例子,使f(x)>0恒成立,而在某一点x0处有limf(x)0。这同极限的xx0 局部保号性有矛盾吗? 5. 设limf(x)A,limg(u)B,在何种条件下能由此推出 xa gA limg(f(x))B? xa 6. 设f(x)=x cos x。试作数列 (1){xn} 使得 xn→∞(n→∞), f(xn)→0(n→∞);(2){yn} 使得 yn→∞(n→∞), f(yn)→0(n→∞);(3){zn} 使得 zn→∞(n→∞), f(zn)→0(n→∞).7. 证明:若数列{an}满足下列条件之一,则{an}是无穷大数列: (1)limanr1 n (2)lim an1 s1(an≠0,n=1,2,…) nan n2 n2 8. 利用上题(1)的结论求极限: (1)lim1 n 11(2)lim1 nnn 9. 设liman,证明 n (1)lim (a1a2an) nn n (2)若an > 0(n=1,2,…),则lima1a2an 10.利用上题结果求极限: (1)limn!(2)lim n In(n!) nn 11.设f为U-0(x0)内的递增函数。证明:若存在数列{xn}U-0(x0)且xn→x0(n→∞),使得 limf(xn)A,则有 n f(x0-0)= supf(x)A 0xU(x0) 12.设函数f在(0,+∞)上满足方程f(2x)=f(x),且limf(x)A。证明:f(x)A,x∈(0,+∞) x 13.设函数f在(0,+∞)此上满足方程f(x2)= f(x),且 f(x)=limf(x)f(1)lim x0 x 证明:f(x)f(1),x∈(0,+∞) 14.设函数f定义在(a,+∞)上,f在每一个有限区间内(a,b)有界,并满足 x lim(f(x1)f(1))A证明 x lim f(x) A x 《数学分析》教案 第三章 函数极限 xbl 第三章 函数极限 教学目的: 1.使学生牢固地建立起函数极限的一般概念,掌握函数极限的基本性质; 2.理解并运用海涅定理与柯西准则判定某些函数极限的存在性; 3.掌握两个重要极限 和,并能熟练运用; 4.理解无穷小(大)量及其阶的概念,会利用它们求某些函数的极限。教学重(难)点: 本章的重点是函数极限的概念、性质及其计算;难点是海涅定理与柯西准则的应用。 教学时数:16学时 § 1 函数极限概念(3学时) 教学目的:使学生建立起函数极限的准确概念;会用函数极限的定义证明函数极限等有关命题。 教学要求:使学生逐步建立起函数极限的定义的清晰概念。会应用函数极限的定义证明函数的有关命题,并能运用语言正确表述函数不以某实数为极限等相应陈述。 教学重点:函数极限的概念。 教学难点:函数极限的定义及其应用。 一、复习:数列极限的概念、性质等 二、讲授新课: (一)时函数的极限: 《数学分析》教案 第三章 函数极限 xbl 例4 验证 例5 验证 例6 验证 证 由 = 为使 需有 需有 为使 于是, 倘限制 , 就有 例7 验证 例8 验证(类似有 (三)单侧极限: 1.定义:单侧极限的定义及记法.几何意义: 介绍半邻域 《数学分析》教案 第三章 函数极限 xbl 我们引进了六种极限:.以下以极限,为例讨论性质.均给出证明或简证.二、讲授新课: (一)函数极限的性质: 以下性质均以定理形式给出.1.唯一性: 2.局部有界性: 3.局部保号性: 4.单调性(不等式性质): Th 4 若使,证 设 和都有 = (现证对 都存在, 且存在点 的空心邻域),有 註: 若在Th 4的条件中, 改“ 就有 5.6.以 迫敛性: ”为“ 举例说明.”, 未必 四则运算性质:(只证“+”和“ ”) (二)利用极限性质求极限: 已证明过以下几个极限: 《数学分析》教案 第三章 函数极限 xbl 例8 例9 例10 已知 求和 补充题:已知 求和()§ 3 函数极限存在的条件(4学时) 教学目的:理解并运用海涅定理与柯西准则判定某些函数极限的存在性。教学要求:掌握海涅定理与柯西准则,领会其实质以及证明的基本思路。教学重点:海涅定理及柯西准则。教学难点:海涅定理及柯西准则 运用。 教学方法:讲授为主,辅以练习加深理解,掌握运用。本节介绍函数极限存在的两个充要条件.仍以极限 为例.一.Heine归并原则——函数极限与数列极限的关系: Th 1 设函数在,对任何在点 且的某空心邻域 内有定义.则极限都存在且相等.(证) 存Heine归并原则反映了离散性与连续性变量之间的关系,是证明极限不存在的有力工具.对单侧极限,还可加强为 单调趋于 .参阅[1]P70.例1 证明函数极限的双逼原理.7 《数学分析》教案 第三章 函数极限 xbl 教学难点:两个重要极限的证明及运用。 教学方法:讲授定理的证明,举例说明应用,练习。一. (证)(同理有) 例1 例2.例3 例4 例5 证明极限 不存在.二.证 对 有 例6 特别当 等.例7 例8 《数学分析》教案 第三章 函数极限 xbl 三. 等价无穷小: Th 2(等价关系的传递性).等价无穷小在极限计算中的应用: Th 3(等价无穷小替换法则) 几组常用等价无穷小:(见[2]) 例3 时, 无穷小 与 是否等价? 例4 四.无穷大量: 1.定义: 2.性质: 性质1 同号无穷大的和是无穷大.性质2 无穷大与无穷大的积是无穷大.性质3 与无界量的关系.无穷大的阶、等价关系以及应用, 可仿无穷小讨论, 有平行的结果.3.无穷小与无穷大的关系: 无穷大的倒数是无穷小,非零无穷小的倒数是无穷大 习题 课(2学时) 一、理论概述: 《数学分析》教案 第三章 函数极限 xbl 例7.求 .注意 时, 且 .先求 由Heine归并原则 即求得所求极限 .例8 求是否存在.和.并说明极限 解; 可见极限 不存在.--32 数学之美2006年7月第1期 函数极限的综合分析与理解 经济学院 财政学 任银涛 0511666 数学不仅仅是工具,更是一种能力。一些数学的方法被其它学科广泛地运用。例如,经济学中的边际分析、弹性分析等方法。函数极限是高等数学中的一个重要问题。极限可以与很多的数学问题相联系。例如,导数从根本上是求极限;函数连续首先要求函数在某一点的左极限等于右极限。有鉴于函数极限的重要性,结合自己的学习心得,笔者写下了此文。其目的在于归纳和总结解决函数极限问题的实用方法和技巧,以期对函数极限问题的学习有所帮助。局限于笔者的认知水平,缺点和不足在所难免,欢迎批评指正。 一、函数极限的定义和基本性质 函数极限可以分成x→x0,x→∞两类,而运用ε-δ定义更多的见诸于已知 极限值的证明题中。掌握这类证明对初学者深刻理解运用极限定义大有裨益。以xx0的极限为例,fx在点x0以A极限的定义是:0,0,使当0xx0时,有f(x)A(A为常数).问题的关键在于找到符合定义要求的,在这一过程中会用到一些不等式技巧,例如放缩法等。1999年的研究生考试试题中,更是直接考察了考生对定义的掌握情况。详见附例1。 函数极限性质的合理运用。常用的函数极限的性质有函数极限的唯一性、局部有界性、保序性以及函数极限的运算法则和复合函数的极限等等。如函数极限的唯一性(若lim存在,则在该点的极限是唯一的)可以体现在用海涅定理证明xx0 ''即如果fxnA,fxn,fx在x0处的极限不存在。B(n,xn和xnx0) 则fx在x0处的极限不存在。 运用函数极限的性质可以方便地求出一些简单函数的极限值。例如对于有理分式fxPxPx,Qx均为多项式,Qx0)。设Px的次数为n,Qx的Qx次数为m,当x时,若nm,则fx0;若nm,则fxPx与Qx的最高次项系数之比;若nm,则fx。当xx0时,f(x)P(x0)(Q(x0)0)。Q(x0) 二、运用函数极限的判别定理 最常用的判别定理包括单调有界定理和夹挤定理,在运用它们去求函数的极限时尤需注意以下关键之点。一是先要用单调有界定理证明收敛,然后再求极限值,参见附例2。二是应用夹挤定理的关键是找到极限值相同的函数gx与 hx,并且要满足gxfxhx,从而证明或求得函数fx的极限值。 三、应用等价无穷小代换求极限 掌握常用的等价无穷小很重要。等价无穷小代换可以将复杂的极限式变的简单明了,让求解过程变得简明迅速。 x0时,sinx与x,tanx与x,arcsinx与x,arctanx与x,1cosx与x2,xa,ax1与xlna,1a与ax(a0)等等可ln1x与x,loga1x与lna 以相互替换。特别需要注意的是,等价无穷小代换只能用于分子、分母中的乘积 sinxx 因子,而对于加减法运算则不能运用。例如lim,不能直接把sinx替换 x0x 3sinxx 1成x,得出极限值为0,实际上lim。 x0x36 四、运用洛必达法则求函数极限 设函数fx,gx在点a的某空心邻域可导,且g'(x)0。当xa时,fxf'x,fx和gx的极限同时为0或时才适用'A(A为常数或) gxgx洛必达法则。洛必达法则实际上把求函数极限问题转化为学生较为拿手的求导数 0、00、1、0等类型则需要问题。这使得求解思路简单程序化。而对于、0 对式子进行转化,或通分或取倒数或取对数等转化为型,再使用洛必达法 0 则求极限。例如fx gx的极限转化为求egxlnfx的极限等等。然而,对于数列,则必须转化为函数再运用洛必达法则。这是因为如果把数列看作是自变量为n的函数时,它的定义域是一系列孤立的点,不存在导数。这是使用洛必达法则时必须要注意的一点。参见附例3。 五、泰勒公式的运用 对于使用洛必达法则不易求出结果的复杂函数式,可以考虑使用泰勒公式。这样将函数式化为最高次项为相同或相近的式子,这时就变成了求多项式的极限值(接着求值见上文所述方法),使计算一目了然。因此掌握和记忆常用基本初 等函数的麦克劳林展开式是十分必要的。如ex,sinx,cosx,ln1x等等。至于展开式展开多少,则要与题干中的自变量x最高次项保持一致。如 cosxelimx0x4x4)。 x 2利用泰勒公式展开cosx,e x22,展开到x4即可(原式x最高次项为 六、利用微分中值定理来求极限 f(x)在a,b上连续,在a,b上可导,则至少存在一点a,b,使 f'() f(b)f(a)'f(b)f(a),f()即可看成特殊的极限,用来求解。一般需 baba 要函数式可以看成同一函数的区间端点的差,这样可以使用微分中值定理。参见附例4。 另外,一些重要的结论往往在求极限时可以直接加以引用,例如 lim(1x)e,lim x0 1x sinx 1, 1,1等等。 x0nnx 求极限的方法和技巧更多的在于实践中的摸索和探讨,上述方法只是笔者在高等数学学习和练习的一些心得,求极限的方法还有很多。局限于笔者的认知水平,缺点和不足在所难免,敬请批评指正。 南开大学张阳和张效成老师的课堂教学给了笔者很大的启发,在此向两位老师表示感谢。 附:例1:对任意给定的0,1,总存在正整数N,使得当nN时,恒有。xna2,是数列xn收敛于a的() A 充分非必要条件 B必要非充分条件C充分必要条件D既非充分又非必要条件 解析:这道题是1999年全国考研试卷(二)的数学选择题,这道题直接考察了对极限定义的掌握和理解。 例2:若x1a,y1b(ba0),xn1xnyn,yn1明数列xn,yn有相同的极限。(见习题册1 Page.18) 解析:由已知条件易知,by1y2……yn1xn1……x1a,数列 xn1yn 1,试证 2文中习题册是指南开大学薛运华,赵志勇主编的《高等数学习题课讲义(上册)》,为学生用数学练习册。 xyn limyn1linxn,yn单调有界,可以推出xn,yn收敛。nn n 。设 limynA,limxnB,则A n AB,AB。2 例3:求lim(ntan)n的值。(见课本2 Page.153) nn 1 解析:这是数列。设fxxtan,则对limfx可以运用洛必达法则,xx且原式=limfx。 x x2 aa arctan),a0 nnn1 arctan解析:如例题3,设fxa,则在x,x1上fx连续,在x,x1内 x 例4:求limn2(arctan 可导。于是,x,x1,f'()arctan aaaarctan2(使用微分中x1xa2 a)a。22 a 值定理可得)。x,则,原式=lim2( 参考书目 [1] 张效成主编,《经济类数学分析(上册)》,天津大学出版社,2005年7月 [2] 薛运华,赵志勇主编,《高等数学习题课讲义(上册)》,南开大学 [3] 张友贵等,《掌握高等数学(理工类、经济类)》,大连理工出版社,2004年11月 [4]《硕士研究生入学考试试题》,1984—2005 ※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○ 文中课本是指笔者使用的天津大学出版社05年7月版的《经济类数学分析(上册)》张效成主编第四篇:函数极限
第五篇:函数极限