函数极限题型与解题方法

第一篇：函数极限题型与解题方法

函数极限题型与解题方法2011/11/3

毕原野 整理

一．极限的证明

1.趋近于无穷 P19 例8（1）

2.趋近于正无穷 P19 例8（2）

3.趋近于负无穷 P19 例8（3）（4）

4.趋近于某一定值 P21 例9（1）（2）（3）

极限的证明说白了就是找两个值，对于趋近于无穷的极限来说是ε和X，而对于趋近于某一定值的极限来说就是ε和δ。因此，证明过程中，无论哪种先得出ε，然后把x用ε表示出来（如果是趋近于某一定值的就是把|x-a|用ε表示出来），这样，就明确了X（δ），之后直接套格式就好了。

关键就在于表示过程，这需要一定的计算和技巧，比如放缩、变形等。由于ε的无限小，可以为其设定任何范围，以简化计算，但是要使原试有意义。

二．求极限

1.趋近于无穷（包括正负无穷）

（1）上下同除高次项 P22 例11（3）

（2）有理化 P25 例3（5）

（3）换元 P25 例13（2）

（4）应用 无穷小×有界=无穷小 P25 例13（3）（4）

2.趋近于某一定值

（1）应用法则直接带入 P22 例11（1）（2）

（2）有理化 P22 例11（4）

（3）等价无穷小定理 P28 例14（1）（2）（3）

（4）变形后应用重要极限

换元 P24 例12（1）（3）

倍角公式 P24 例12（2）

其他变形 P24 例12（4）

通分 P34 23.（9）（10）

3.分段函数

应用1.、2.的方法得出左右极限即可。

书写过程注意格式，写明左右极限。P21 例10 P35 29.函数的极限求法可以类比数列的求法，只是要注意其方向和保证原式的有意义。

三．证明极限存在与否

首先确定是否能求出左右极限。不能，则无极限；能，则进一步看是否相等。不等，则无极限；等，则有极限。P35 30.（2）（3）

四．求参数

应用定理lim f（x）/g（x）=c（c≠0），分子分母中任意一个为0，则另一个也为0。P35 35.通分整理，提出相消的项，令参数与同次项系数互为相反数即可。P35 34.为此稿做过贡献的同学在此依次注明信息吧！~

第二篇：函数极限理论的归纳与解题方法的总结

目录

引

言 ········································································································· 1

一、基本概念与基本理论 ············································································ 2(一)函数极限 ··························································································· 2(二)重要极限 ··························································································· 9(三)函数的上极限与下极限 ·································································· 10(四)Stolz定理的推广定理 ···································································· 11

二、习题类型与其解题方法归纳 ······························································ 11(一)根据定义证明函数正常极限与非正常极限的方法。················· 12(二)根据定义与极限性质证题的方法 ·················································· 14(三)求函数极限方法 ············································································· 15(四)判断函数极限存在与不存在的方法 ·············································· 20 参考文献： ································································································· 24

函数极限理论的归纳与解题方法的总结

薛昌涛

(渤海大学数学系 辽宁 锦州 121000 中国)摘要：宇宙中的任何事物都是不断运动变化、相互联系、相互制约的。“函数”的产生正是为了满足刻划这种关系的需要，函数极限理论可谓函数理论重中之重。极限定义24个，性质60个，习题更是千变万化，看上去似乎很繁杂，但经过深入浅出的分析就会很明了。本文旨在化繁为简、总结规律，启示方法。关键词：函数、极限、方法

The Conclusion of Theory of Function Limit and Methods

Summary（Department of math bohai university liaoning jinzhou 121000）

Xue Changtao Abstract: Everything in the universe is always moving, varying, intergrating or restricting each other.Function emerged for the need of describing this relation.The thory of function limit plays a key role in function theory.There are Twenty – four definitions to limit, sixty qualties, and the exercises are ever changing.It seems complex very much, but it will be clear after delicate analysis.This text aim at changing complex to simple, suming up the regulars, enlightening the methods.Key words: Function Limit

Method

引

言

“函数”一词是微积分的创始人之一莱布尼兹(Leibniz)最先使用的，并且把x的函数记为f(x),(x)等，但是，直到19世纪初，人们还是把函数理解为“变量和常数组成的解析表达式”。直到1834年，狄里克莱(Dirichlet)指出，函数y与变量x的关系不但不必用统一的法则在全区间上给出，而且不必用解析式给出。至此，函数才被赋予了单值对应的意义。在整个宇宙中，我们找不出不在运动变化的事物，但各个事物的变化，又绝非彼此孤立隔绝，而是相互联的，相互制约的。“函数”无论在理论研究还是现实的科学探索，都发挥着举足轻重的作用，而极限问题可谓函数问题之重点，所以搞清函数极限的相关问题是尤为重要的。

一、基本概念与基本理论

（一）函数极限

1．函数正常极限与非正常极限定义共4624个，它们的形式是：

xx0xx0xx0xxxlimA(A为有限数)可见函数正常极数定义共6个，非正常极数定义共18个，比数列正常极限定义1个、非正常极限定义3个(两者总共4个)多了20个定义，而此24个定义是整部数学分析的基础。对它们的理解与记忆按下述程序进行：先理解与记忆4个基本定义，再推及其它而总观24个定义。

(1)四个基本定义

定义1(M定义)设f是定义在[a,)上的函数，A是一个确定的数，若0，M0，当xM时，有f(x)A，则称函数f当x时以A为极限，记作limf(x)A，或f(x)A(x)，或

xf()A。

此时也称A为f在正无穷远处的极限。

注1 此M定义，是数列极限limxna之N定义的推广，只

n需将N定义中之n换为x，N换为M即可，这是由于，数列是以自然数集为定义域的函数，故n,N均为自然数集的成员，而函数f(x)的定义 域为实数集，因而改为R中之x，m来描述。

注2 定义1是在正无穷远点处函数的极限，现将正无穷远点改为有限点x0处，其函数极限即为下述定义2，即只要将正无穷远邻域的描述xM改为x0的空心邻域的描述0xx0即可，因变量刻划相同。

定义2(双侧极限定义)设函数f在点x0的某个空心邻域U0(x0,)内有定义，A是一个确定的数。若0,0,()，当0xx0时，有f(x)A，则称f当x趋于x0时以A为极限，记作limf(x)A，或f(x)A(xx0)。

xx0问题1 在limf(x)A的定义中，为什么限定xx00(即xx0)？xx0如果把此条件去掉，写作“当xx0时，有f(x)A”是否可以？［3］

答：不可以，极限limf(x)A的意义是：当自变量x趋于x0时，对

xx0应的函数值f(x)无限接近常数A。f(x)在x0的情况，包括f(x)在x0是否有定义，有定义时，f(x0)等于什么都不影响xx0时，f(x)的变化趋势，故应把xx0这一点排除在外。如果把此条件去掉，把limf(x)A的定义

xx0写作“0，0，当xx0时，有f(x)A”，则当xx0时，也有f(x)A，由的任意性，要使此不等式成立，必定有f(x)A，这个条件显然与xx0时，f(x)的变化趋势是不相干的。

定义3(单侧极限定义)设函数f在x0,x0［或x0,x0］内有定义，A是一个确定的数，若0,0()，使当0xx0(或0x0x)时，有f(x)A，则称f在x趋于x0(x0)时以A为右(左)极限，记作limf(x)A，或f(x00)A(limf(x)A或

xx0xx0 3 f(x00)A)。

注3 定义3中右极限(左极限)，则xx0xx0；f定义在x0的右侧，对于左极限，f定义在x0的左侧，则xx0x0x，于是定义2是关键，只要考虑到“单侧”这一特点。

定义4(无穷大量G定义)函数f定义在x0的某个空心临域U0(x0,)内，若G0，使当0xx0时，有f(x)G，0()，则称f当x趋于x0时有非正常极限，或称f当x趋于x0时为无穷大量(或发散到无穷大)，记作limf(x)或f(x)(xx0)。

xx0(2)由自变量变化趋势刻划六种与因变量变化趋势刻划四种搭配成正常极限与非正常极限共24个定义的方法。

自变量变化趋势及其刻划六种 ：

xx0xx0xx0xxx0xx00xx0(0)0x0x xMxM(M0)xM因变量变化趋势及其刻划四种：

f(x)Af(x)f(x)f(x)f(x)A(0)f(x)G f(x)G(G0)f(x)G将自变量与因变量的变化趋势刻划互相搭配，而构成24种，每一种均按前述四个基本定义的标准叙述法叙述，即得24个定义。

2、正常极限性质(共48个或60个)按华东师大教材，每一种类型极限有8个性质来计算，六种类型极限总共有48个性质。再加上重要的“绝对值性”与“单调有界定理”，则共计60个性质。

前面是按照极限类型而言；若按照性质类型而言，对照数列极限性质，函数极限性质总共8种(或10种)：存在性、唯一性、局部保号性、局部有界性等等，每一种，按六类极限形式又有六类形式，总计仍是48个或60个性质。无论是48个还是60个性质，看似很多，实际上只要扣住前述自变量变化趋势刻划六种，再将数列极限相应性质移过来，这些性质均不难掌握了。

教材中是就极限类型limf(x)A而给出8个性质，这里，再就极限

xx0xlimf(x)A而给出。

极限limf(x)A的性质：

x(1)存在性——三个存在定理

I两边夹定理 设xa,，均有y(x)f(x)z(x)，且xlimz(x)limy(x)A，则limf(x)A

xxII柯西准则

设函数f在[a,)内有定义，则limf(x)存在x0,M0，当x,xM时，有f(x)f(x)。

III单调有界函数定理

设函数f在[a,)内单调且有界，则limf(x)x存在。

注4 单调有界函数定理在有限点x0处为：若函数f(x)在包含x0的某一区间单调有界，则f(x)在x0的左、右极限必存在。

这里是左、右极限存在，但在x0的极限不一定存在，这是与数列单 调有界必收敛定理之区别。

(2)唯一性

若limf(x)存在，则它只有一个极限。

x(3)局部有界性

若limf(x)存在，则M0，在M,内，f有界。

x(4)局部保号性 若limf(x)A0(0)，则对任何

x当xM时，有f(x)A0［或f(x)A0］。AA0(AA0),M0，(5)不等式性

若limf(x),limg(x)均存在，且M0，当xM时，xx有f(x)g(x)，则limf(x)limg(x)。

xx(6)四则运算法则

若limf(x),limg(x)均存在，则fg,fg,xxf［仅g除法还要求limg(x)0］在x时极限也存在，且有

xxxlim(f(x)g(x))limf(x)limg(x),xxlimf(x)g(x)limf(x)limg(x),xx

f(x)f(x)xlimlimxg(x)limg(x)x(7)归结原则

设函数f在[a,)上有定义，则limf(x)A对任何

xxn[a,),xn，都有limf(xn)A，其中A为有限数。

n推论 设f在[a,)上有定义，则limf(x)存在对任何xn[a,)，xxn，limf(xn)均存在。

n注5 归结原则与数列情形之“数列极限与其子列极限关系定理”类似，均是在揭示整体与部分的关系这一意义上而言的。

(8)绝对值性

若limf(x)A，则limf(x)A，且

xxxlimf(x)0limf(x)0

x

3、无穷小量与无穷大量

6(1)无穷小量

若limf(x)0，则称当xx0时f为无穷小量。

xx0无穷小量的四则运算性质：

(i)两个无穷小量之和、差、积仍为无穷小量。(ii)无穷小量与有界变量之积为无穷小量。

(iii)两个无穷小量之商的极限为下述四种情形之一：有限实数a0,0,,不存在，此即无穷小量的阶的比较。

无穷小的阶的比较，是考察它们收敛于零的速度的快慢。设xx0时，f,g均为无穷小量，则

a0,称f与g为同阶无穷小（当xx0时)f(x)0,称f为比g的高阶无穷小（当xx0时)limxx0g(x),称f为比g的低阶无穷小（当xx0时)不存在其中，当a1时，又称f与g为等价无穷小(当xx0时)，记作f(x)~g(x)(xx0)。

若limxx0f(x)l0，l为有限数，n0，则称 f为关于基本无穷小gng(x)的n阶无穷小，n通常为正有理数。

注6 在应用极限运算的四则运算法则时，初学者会写出“0,1”等式子。这是不对的。出现这类“错误”的主要原因是将符号“”误认为一个常数，对它施行了数的运算法则。事实上，“”不是一个常数，而是表示绝对值无限增大的变量，记号“”表示两个绝对值无限增大的变量之差，仍是一个变量。同样地，记号“示两个绝对值无限增大的变量之商，仍是一个变量。

”表问题2 下面的极限运算对吗？［3］

limx2sinx011limx2limsin0

x0xx0x1x答：结果正确，表达错误，这是因为limsin不存在，不能利用积的x0极限运算法则，则可以这样表达：因为limx20，sinx011，所以x1limx2sin0。x0x问题3 如果数列an收敛，数列bn发散，那么数列anbn是否一定收敛？如果数列an和bn都发散，那么数列anbn的收敛性又怎样？［3］

答：在两种题设情形下，数列anbn的收敛性都不能肯定，现分析如下：

情形

1、数列an收敛，数列bn发散。

若liman0，则数列anbn必定发散，这是因为若数anbn收敛，且nliman0，则由等式bnxanbn及商的极限运算法则立即可知数列bn收an敛，与假设矛盾。

若liman0，则数列anbn可能收敛，也可能发散。例如，x(1)an,bnn(nN),anbn1(nN)，于是数列anbn收敛。

(2)an,bn(1)nn(nN),anbn(1)n(nN)，于是数列anbn发散。

情形2 数列an和bn都发散。1n1n若数列an和bn中至少有一个是无穷大，则数列anbn必定发散。这是因为若数列anbn收敛，而数列an为无穷大，从等式bn得limbnlimanbnlimnnanbn便推an10，与假设矛盾。nan若数列an和bn都不是无穷大，则数列anbn可能收敛，例如，(3)anbn(1)n(nN),anbn1(nN)，于是数列anbn收敛。

(4)an(1)n,bn1(1)n,(nN),anbn(1)n1(nN)，于是数列anbn发散。

4、几个关系

(1)函数极限与数列极限的关系——归结原则(2)单侧极限与极限的关系

xx0limf(x)Alimf(x)与limf(x)均存在相等，均为A。

xx0xx0(3)无穷大量与无穷小量的关系(倒数)(二)重要极限

1sinx1lim1,lim1e,lim1xxe。x0xx0xxx前者为型的未定式的极限，后两式为1型的未定式的极限。问题4 讨论函数极限时，在什么情况下要考虑左、右极限？［3］ 答：一般说来，讨论函数f(x)在x0点的极限，都应先看一看单侧极限的情形。如果当xx0时，f(x)在x0两侧的变化趋势一致，那么就不必分开研究；如果f(x)在x0两侧的变化趋势可能有差别就应分别讨论记左、右极限。例如，求分段函数在分段点处的极限时，必须研究左、右00 9 极限；有些三角函数在特殊点的左、右极限不一样。例如，tanx在x2的左右极限不一样；有些反三角函数、指数函数也有类似情形，例如，1arctan,ex在x0处的左、右极限都不一样。

x1(三)函数的上极限与下极限

1、概念

设函数f在x0的某个空心临域U0(x0,)内有定义，则定义xx0limf(x)limsupf(x)M，limf(x)liminff(x)m

0xU0(x0,)xx00xU0(x0,)其中M,m为有限数或或，特别当f在U0(x0,)内有界时，［1］ M,m均为有限数。

2、性质(1)上极限性质

设limf(x)M,M为有限数，则(I)0,0,当0xx0时，xx0有f(x)M；(II)0，在x0的每一个空心临域内，必有x，使得f(x)M

(2)下极限性质

设limf(x)m,m为有限数，则(I)0,0，使当0xx0时，xx0有f(x)m；(II)0，在x0的每一空心临域内，必有x，使得f(x)m。

3、函数上(下)极限与函数值数列上(下)极限的关系。

xn为此邻域内的任意定理

设函数f在x0的某空心临域内有定义，点列，xnx0(n)，则对应于一切这种点列xn，limf(xn)所成数

n集必有最大值(包括或)，limf(xn)所成数集必有最小值

n 10(包括或)，f在x0的上(下)极限即为这最大(小)值。

4、上(下)极限与极限的关系。

xx0limf(x)llimf(x)limf(x)l，l为有限数或或。

xx0xx0(四)Stolz定理的推广定理

定理

设(i)函数f，g定义于[a,)，且均在[a,)的任意子区间有界。

(ii)对一切x[a,),g(xT)g(x)，其中T为一正常数，(iii)limg(x)，x(iv)limxf(xT)f(x)f(x)l(有限数或或)，则liml。［5］

xg(xT)g(x)g(x)可见，(ii)、(iii)两条是stolz第二定理之“bn”的推广，(iv)是“limanan1l”之推广。

nbbnn1而此stolz定理的推广定理与罗比达法则不同点是：后者为lim型及xf(x)存在，而在这里，f只要定义于[a,)，且在[a,)上的任意子g(x)f(xT)f(x)l即可。

g(xT)g(x)区间上有界，g(x)(x)，及limx

二、习题类型与其解题方法归纳

关于函数极限的习题类型大致有：

(一)根据定义证明函数正常极限与非正常极限。(二)根据极限定义与极限性质证题。(三)求函数极限。

(四)判断函数极限存在与不存在。此外，还有诸如无穷小(无穷大)的阶的比较等，本文将不涉及。关于上述四种类型习题的解题方法在下文给出。(一)根据定义证明函数正常极限与非正常极限的方法。

这里是指根据24个定义证明函数的正常极限与非正常极限的方法，属根据定义证题术——扣住定义而证，解题思路均是：0(或G0)，找0(或M0)，使当满足自变量的变化趋势刻划时，有因变量变化趋势之刻划，解题关键是找或M，找法如下。

1、当f以具体形式给出时，扣住 因变量变化趋势之刻划f(x)Gf(x)Gf(x)f(x)f(x)A,f(x)G，分析并对f(x)A,f(x)进行恒等变形或加强不等式，使之变成f(x)Ay(x)，f(x)z(x)f(x)zx，其中y为正无穷小量，z为正无穷大量，令y(x)，f(x)zx0xx0,xM或z(x)G；再扣住 自变量变化趋势之刻划。0xx0,xM对不

0x0x,xMxx0()等式g(x)或不等式z(x)G，关于xx0解之，解得xx0()，取

x0x()xx(G)()或关于x，解之，解得x(G)，取M(G)。

xx(G)2．抽象论证找或找M法

f(x)当f是以抽象形式给出时，与1类似，对f(x)A,f(x)进行恒等变

f(x)

f(x)z(x)形或加强不等式，使之变成f(x)Ay(x)，f(x)z(x)，其中y为已知

f(x)z(x)正无穷小量，z为已知正无穷大量，利用此y或z确定抽象的或M。确定或M的具体方法与技巧是：(I)根据已知极限或无穷大量确定或M。(II)根据已知极限的性质或无穷大量确定或M。(III)三角不等式及其它。

可见，与数列的此部分方法完全类似，只是比之更复杂些，下面举一些例子。

例

1、设f在任一有限区间上Riemann可积，且limf(x)A，证明

x1xlimf(t)dtA，(上海交大1987)。xx0x分析

要证：0,M0，当xM时，有If(t)dtA，x01x1x1x1x而If(t)dtAdt(f(t)A)dtf(t)Adt；由f(x)A不x0x0x0x0难联想到已知limf(t)A，于是10,M00当tM0时，有tf(t)A1，而，由于I10(x)，则20,M1M0，当xM1时，1x有I12；又由于I11dt1，再考虑要证I，则取12及

2x0取MM1。

证明：0，因limf(t)A，则M00，当tM0时，有

tf(t)A2。

M0因f 任一有限区间上Riemann可积，则

0f(t)Adt为定数，于是1limxx M00f(t)Adt0，因而MM0，当xM时有 1I1xI1M00xf(t)Adt2,x11xM0f(t)AdtdtxM0xM022x2

由此有：当xM时，1x1x1xf(t)dtAf(t)dtAdtx0x0x01x1x(f(t)A)dtf(t)Adt x0x0I1I2221x即limf(t)dtA xx0——抽象法证找M法(利用已知极限分段处理)。(二)根据定义与极限性质证题的方法

这里是指根据24个定义和48个性质等证题，其方法为：遇到正常极限与非正常极限符号，就用,G等语言表达出来；深入分析题目，联想相关性质；再将之有机结合起来而找到证题方法。

例2 设f在0,内满足f(x)f(x2)，且有x0limf(x)limf(x)f(1)。

x证明：f(x)f(1),0x。

分析

证明恒等问题，首选反证法，如何找矛盾？扣住已恬f(x)f(x2)，不难得到：当x1是，x2(n)，当0x1时，x20(n)而找矛盾。nn证明

反正法

假设f(x)f(1)，则至少存在一点x00,，使f(x0)f(1)，则 f(x0)f(1)或f(x0)f(1)，且显然x01，下面只证f(x0)f(1)的情形，f(x)f(1)的情形同理可证。

(I)当x01时，因limf(x)f(1)，则对f(1)f(x0)0,10，x0当0x时，有f(x0)f(1)f(x)f(1)

(1)，因

ln2nx0(n)，则对0，Nlog2lnx0，当nN时，有0x0；2n022，于是由(1)知不妨取n0N1及取xx0，则显然0xx0n0n0f(x0)f(x)f(x2n00)f(x0)矛盾。

x(II)当x01时，因limf(x)f(1)，则对f(1)f(x0),M10，当xM时，有f(x0)f(x)f(1)

(2)因xlnMM0，Nlog2lnx02n0(n)，则对

，当2n0nN时，有xx0M，不妨取n0N1及取xx盾。2n002n02M，于是由(2)知f(x0)f(x)f(x0)f(x0)，矛，则xx0n0综上即得证f(x)f(1),0x。(三)求函数极限方法

1、根据定义证明函数以A为极限，即已求得了函数的极限。

2、用函数极限的四则运算法则、不等式性、绝对值性及无穷大量的四则运算等性质，根据已知极限求极。

3、根据公式与不等式求极限。

4、用两边夹定理求极限。

5、用stolz定理的推广定理求极限。

6、用罗比达法则求极限。

7、用罗比达法则与微积分学基本定理、含参量积分求极限，用牛顿——莱布尼兹公式求极限。

8、用函数的连续性求极限。

9、用泰勒公式、导数定义等求极限。

10、用函数的上、下极限求极限。

11、用左极限与右极限求极限。

12、用归结原则求极限。

13、用函数项级数理论，如函数项级数收敛的必要条件或函数项级数的和函数求极限。

14、其它，诸如反证法、变量代换等等。

下面在罗比达法则和泰勒公式的选用上，微积分学基本定理与罗比达法则的运用上，两边夹定理，stolz定理的推广定理的运用上重点举几例。

f(x0h4)f(x0)例3 设f在x0可导，求Ilim。2h01coshf(x0h4)f(x0)h4解 Ilim 42h0h1cosh4h3f(x0)limh0sinh22h

2f(x0)——用导数定义、罗比达法则、已知极限、极限四则运算法则求极限。

例4 求Ilimxaaanx1x2xn,(ai0,i1,2,n)。1x 16 分析 本题为0型未定式，用罗比达法则试解之。不难发现，用罗比达法则两次之后，所得函数表达式已变得更为复杂，因而用罗比达法则解决不了，需改用它法。考虑到a1,,an为有限个正数，因而必有最大值与最小值，于是联想到用与不等式有关的两边夹定理。

解 令kmaxa1,a2,,an，则

k1nnxkxaaan1x1xxlim1xx1x2xnnknk，1xx1x由于limnnxn01。

因而limkn1xxk，1xxa1xan由两边夹定理知：Ilimxnkmaxa1,,an 例5 设f在A,B上连续，AabB。

b证明：Ilimh0abf(xh)f(x)dxf(b)f(a)

hf(xh)f(x)dxf(b)f(a)，只要求出极限值为

h分析 要证limh0af(b)f(a)，即已证得，于是归结到求极限问题。显然积分号下不能取极

bb限；而已知f连续，则显然f(x)dx与f(xh)dx均可由其原函数在两端

aa点a,b处的函数值所给出，于是极限问题不难解决。

解 因为f在a,b上连续，则f在a,b上有原函数F,F(x)f(x)，由牛顿——莱布尼兹公式知：

bIlimh0af(xh)f(x)dx

hb1blimf(xh)dxf(x)dxh0haa1bF(xh)|baF(x)|ah0hlim[F(bh)F(ah)F(b)F(a)]limh0

F(bh)F(b)F(ah)F(a)limh0h0hhF(b)F(a)f(b)f(a)lim——用原函数存在定理、牛顿——莱布尼兹公式、导数定义等求极限。

1例6 求Ilimex1(中国科技大学)xx2x1分析 令f(x)ex1，分析f(x)之结构，xx2易知当x时，ex0,1,f(x)为0型未定式；

1当x时，ex,10,f(x)为0型未定式，按通常方

x110x法，将其化为型或型去解决，于是有f(x)x0ex2x21xx2，其为

型。(当0x11，x时)或型(当x时)分子之导数为12xln10xx1x比1复杂得多，且求导不易，因而此法不可取；另想别法，只得将11按幂指函数法处理如下。xx21xx2 18 f(x)e1x2ln1xx，只求出limx2ln1x即可，易见

x1x0Lx2ln1x为型未定式，需化为型或型，于是可用罗比达

0x法则解之，当然将ln1展成泰勒公式，也可解之。

解法一 由罗比达法则知

11limx2ln1xlimxxln11xxxx1xln11xlimxx1 11ln1x1xlimx(1)x2x1121xx1(1x)2limx22x31x则Ie1limx2ln1xxxe

12——用幂指数函数处理法与罗比达法则求极限。

y21解法二 令y，由泰勒公式知ln(1y)y(y2)，2x则111112ln(1y)0(y)(y0)，22y2y2y1limx2ln1xxx因而Iee

12——用幂指数函数处理法与泰勒公式求极限。例6解题方法小结：

1°某些问题，看似用罗比达法则解之，但较麻烦；用泰勒公式解之，甚是方便。

2°幂指数函数处理法：形如f(x)g(x)的函数称为幂指数函数，其中f(x)0。遇见这类问题，一般是将其恒等变形如下形式来处理：f(x)g(x)eg(x)lnf(x)，这就是幂指数函数处理法。本例的每种解法中，均用到此法。

(四)判断函数极限存在与不存在的方法

1、判断函数极限存在的方法

(1)求出函数极限，即已断定函数极限存在，因而(三)中各法适用。(2)用函数极限柯西准则。(3)用单调有界函数定理。(4)用归结原则的推论。

(5)证明函数的上极限与下极限相等。(6)反证法、变量代换及它法。

2、判定函数极限不存在的方法

(1)由极限定义而来——极限定义的否命题

对任何实数A，limf(x)A；即对任何实数A，存在某一00，对

xx0任何0，xU0(x0,)，使得f(x)A0，则limf(x)不存在。

xx0(2)由柯西准则而来——柯西准则的否命题。

xx0limf(x)不存在存在某一00，对任何0，x,xU0(x0,)，使得f(x)f(x)0。

(3)左、右极限关系定理的否命题

左极限与右极限均存在且不等；或左极限与右极限中至少有一个不 20 存在，则极限不存在。

(4)归结原则的否命题

,xna,xna,xna(n)，xna(n)，存在两个点列xn,xn)；或存在一个点列xn,xna,xna(n)，但但limf(xn)limf(xnnnnlimf(xn)不存在，则limf(x)不存在。

xa(5)上极限与下极限关系的充要定理的否命题。上极限与下极限不等，则极限不存在。

(6)运算：若limf(x)存在，limg(x)不存在，则lim[f(x)g(x)]不存在。

xx0xx0xx0(7)反证法，变理代换法及其它。

111例8 1)设f于[1,)连续可微，且f(x)2ln(1) xf(x)1x求证：limf(x)存在。(吉林大学)xx0分析

要证limf(x)存在，则f的表达式在题设中没有给出，但题设x中给出了f表达式。

由此表达式，立知f(x)0，则f为递增的，因而联想到单调有界定理去试之，这样只要探究出f的上有界性即可。为此，必须将f与已知的f联系上，由于已知f连续，则由牛顿——莱布尼兹公式知xxf(x)f(t)dtf(1)，于是只要证出f(t)dt有上界即可，这就需要对11f(t)加强不等式。

11x11ln1，1xx1x1x证明

因x1，则 21

111于是f(x)2ln10，f(x)1xx则f在[1,)上单调增加，又因

f(x)111111ln1xxx1xx1xx1x11xx1xx1xx11113x2x2x2f连续，由牛顿——莱布尼兹公式知

xx

f(x)f(1)f(t)dt1112t32dt111 x则f(x)1f(1),x[1,)。

因而f在[1,)上单调且有上界，由单调有界定理知limf(x)存在。

x例9 证明limsin不存在。

x01x解法一 点到xn12n2,xn1,n1,2,3,，且xn0，n)，由归结原是知limsin0(n)，但limf(xn)10limf(xnxnnnx01不存x在。

——用归结原则的否命题证明函数极限不存在。

解法二

分析 用柯西准则的否命题试解之。此时，要证存在某一00，对任何0,x,x,0x,0x，但f(x)f(x“)0。需要找0,x,x由于f(x)sin为三角函数，不妨取特殊的函数值，例如，1xf(x)1,f(x)0则f(x)f(x)111，取0。由于f(x)1,f(x)0，22解得x12n2,x11，则,n1,2,3，为简便起见，取x2nn10xx，令x”，解得n11，则x,x均以找到。，取n0 2211，因而 解法二 0，对任何0，取n0220x12n0211，，及0x2n02n0但f(x)f(x)sin1limsin不存在。x0x111sin10，由柯西准则的否命题知xx2证明函数极限存在或不存在的方法总结：

何种情况下选用何种方法？一般规1证明函数极限存在的方法很多，律是：当函数以抽象形式给出时，多用柯西准则，有时也用归结原则推论。当函数以具体形式给出时，多用单调有界定理或两边夹定理，有时也用柯西准则及其它方法，特别当函数为具体的分段函数时，用左、右有极限解之。当题设中函数关系是以不等式给出时，则用极限不等式性、两边夹定理、上极限与下极限相等诸法中之一试解之。

2证明函数极限不存在的方法也很多，当函数以抽象形式给出时，多用柯西准则的否命题；当函数以具体形式给出时，多用归结原则的否命题，上极限与下极限不等或者运算法则，固然也用柯西准则；特别当函数为具体的分段函数时，宜用左、右极限试解之。参考文献：

［1］黄玉民，李成章，数学分析。北京：科学出版社，1999。

54—76 ［2］数学分析，华东师范大学。北京：高等教育出版社，1987。

53—88 ［3］高等数学附册学习辅导与习题选解。同济大学应用数学系编，北京：高等教育出版社，2003.1。

10—23 ［4］数学分析习题集题解，吉米多维奇、费定晖编，济南：山东科学技术出版社，1999.9。

27—50 ［5］刘广云，数学分析选讲，哈尔滨：黑龙江教育出版社，2000。

119—128

第三篇：第一章函数与极限

《函数与极限》重难点

电信1003班  函数

1.定义域与定义区间的关系。

2.映射的种类及存在条件。

3.求函数定义域的基本原则（7条）。

4.几种特殊的函数类型(绝对值函数、符号函数、取整函数)。

5.基本初等函数、初等函数、简单函数的对比。分段函数不一定

是初等函数哦。

6.复合函数的分解及原则。

7.双曲函数、反双曲函数的函数式、图像、及性质。

 函数的极限

1.两种极限的定义、比较以及符号语言。

2.极限的性质：唯一性、有界性、局部保号性，函数极限与数列

极限的关系以及对它们的证明。

3.函数极限的证明方法及语言的表述，左右极限的求法及意义。

4.无穷小及无穷大的定义，两个定理及证明。

5.无穷小的比较：高阶、低阶、同阶、K阶无穷小，常见等价无

穷小及应用。

6.极限的运算法则:6个定理4个推论。

7.函数的连续性与间断点。连续的定义及符号语言，连续的条件，单侧连续的求法，证明判断某点连续的方法，间断点的定义、种类及判断分类原则。

8.闭区间上函数的性质：有界性、最值定理、零点定理、介值定

理及推论。

9.有关复合函数的性质及运算。

10.函数的三种渐近线及求法。（P76）

11.函数符号和极限符号的对换。

 数列的极限

1.定义及理解（8个字）

2.性质：唯一性、有界性、保号性。

3.数列发散与收敛的判断及证明。

4.数列极限与函数极限的关系，以及数列极限的证明（几个定

理）。

 极限存在准则及两个重要极限

1.夹逼准则（适当的放缩）。

2.单调有界准则：判断极限存在与否。

3.两个重要极限的证明、特征、变形及应用。

 课后习题推荐

P22-13P31-4,5P38-7,8P42-6,7P49-4,5P56-4P60-4P65-4,5,6P70-4.6,5P74-1,2,3,4,5,6P75-9.5,9.6P76-14

李金胜2010-11-6

第四篇：函数极限

《数学分析》教案

第三章 函数极限

xbl

第三章 函数极限

教学目的：

1.使学生牢固地建立起函数极限的一般概念，掌握函数极限的基本性质； 2.理解并运用海涅定理与柯西准则判定某些函数极限的存在性； 3.掌握两个重要极限

和，并能熟练运用；

4.理解无穷小（大）量及其阶的概念，会利用它们求某些函数的极限。教学重（难）点：

本章的重点是函数极限的概念、性质及其计算；难点是海涅定理与柯西准则的应用。

教学时数：16学时

§ 1 函数极限概念（3学时）

教学目的：使学生建立起函数极限的准确概念；会用函数极限的定义证明函数极限等有关命题。

教学要求：使学生逐步建立起函数极限的定义的清晰概念。会应用函数极限的定义证明函数的有关命题，并能运用语言正确表述函数不以某实数为极限等相应陈述。

教学重点：函数极限的概念。

教学难点：函数极限的定义及其应用。

一、复习：数列极限的概念、性质等

二、讲授新课：

（一）时函数的极限：

《数学分析》教案

第三章 函数极限

xbl

例4 验证

例5 验证

例6 验证

证 由 =

为使

需有

需有

为使

于是, 倘限制 , 就有

例7 验证

例8 验证(类似有

（三）单侧极限:

1．定义：单侧极限的定义及记法.几何意义: 介绍半邻域

《数学分析》教案

第三章 函数极限

xbl

我们引进了六种极限:.以下以极限，为例讨论性质.均给出证明或简证.二、讲授新课：

（一）函数极限的性质: 以下性质均以定理形式给出.1.唯一性:

2.局部有界性:

3.局部保号性:

4.单调性(不等式性质):

Th 4 若使，证 设

和都有 =

(现证对 都存在, 且存在点 的空心邻域)，有

註: 若在Th 4的条件中, 改“ 就有

5.6.以

迫敛性:

”为“ 举例说明.”, 未必

四则运算性质:(只证“+”和“ ”)

（二）利用极限性质求极限： 已证明过以下几个极限：

《数学分析》教案

第三章 函数极限

xbl

例8

例9

例10 已知

求和

补充题:已知

求和（）§ 3 函数极限存在的条件（4学时）

教学目的：理解并运用海涅定理与柯西准则判定某些函数极限的存在性。教学要求：掌握海涅定理与柯西准则，领会其实质以及证明的基本思路。教学重点：海涅定理及柯西准则。教学难点：海涅定理及柯西准则 运用。

教学方法：讲授为主，辅以练习加深理解，掌握运用。本节介绍函数极限存在的两个充要条件.仍以极限

为例.一.Heine归并原则——函数极限与数列极限的关系：

Th 1 设函数在,对任何在点

且的某空心邻域

内有定义.则极限都存在且相等.(证)

存Heine归并原则反映了离散性与连续性变量之间的关系,是证明极限不存在的有力工具.对单侧极限,还可加强为

单调趋于

.参阅[1]P70.例1 证明函数极限的双逼原理.7 《数学分析》教案

第三章 函数极限

xbl

教学难点：两个重要极限的证明及运用。

教学方法：讲授定理的证明，举例说明应用，练习。一．

（证）（同理有）

例1

例2.例3

例4

例5 证明极限 不存在.二.证 对

有

例6

特别当 等.例7

例8

《数学分析》教案

第三章 函数极限

xbl

三． 等价无穷小：

Th 2(等价关系的传递性).等价无穷小在极限计算中的应用: Th 3(等价无穷小替换法则)

几组常用等价无穷小:（见[2]）

例3 时, 无穷小

与

是否等价? 例4

四.无穷大量:

1.定义:

2.性质:

性质1 同号无穷大的和是无穷大.性质2 无穷大与无穷大的积是无穷大.性质3 与无界量的关系.无穷大的阶、等价关系以及应用, 可仿无穷小讨论, 有平行的结果.3.无穷小与无穷大的关系:

无穷大的倒数是无穷小,非零无穷小的倒数是无穷大

习题 课（2学时）

一、理论概述：

《数学分析》教案

第三章 函数极限

xbl

例7.求

.注意 时, 且

.先求

由Heine归并原则

即求得所求极限

.例8 求是否存在.和.并说明极限

解;

可见极限 不存在.--32

第五篇：函数极限

习题

1.按定义证明下列极限:

(1)limx6x5=6;(2)lim(x2-6x+10)=2;x2x

x251;(4)lim(3)lim2xx1x2

(5)limcos x = cos x0 xx04x2=0;

2.根据定义2叙述limf(x)≠ A.xx0

3.设limf(x)= A.,证明limf(x0+h)= A.xx0h0

4.证明:若limf(x)= A,则lim| f(x)| = |A|.当且仅当A为何值时反之也成立? xx0xx0

5.证明定理3.1

6.讨论下列函数在x0→0 时的极限或左、右极限:(1)f(x)=x

x;(2)f(x)= [x]

2x;x0.(3)f(x)=0;x0.1x2,x0.

7.设 limf(x)= A,证明limf(xxx01)= A x

8.证明:对黎曼函数R(x)有limR(x)= 0 , x0∈[0,1](当x0=0或1时,考虑单侧极限).xx0

习题

1． 求下列极限：

x21（1）lim2（sinx－cosx－x）;(2)lim;x02x2x1x22

x21x113x;

lim(3)lim;(4)

x12x2x1x0x22x3

xn1(5)limm(n,m 为正整数)；（6）lim

x1xx41

（7）lim

x0

2x3x2

70；

a2xa3x68x5.（a>0）;(8)lim

xx5x190

2． 利用敛性求极限：(1)lim

x

xcosxxsinx

;(2)lim2

x0xx4

xx0

3． 设 limf(x)=A, limg(x)=B.证明：

xx0

（1）lim[f(x)±g(x)]=A±B;

xx0

（2）lim[f(x)g(x)]=AB;

xx0

（3）lim

xx0

f(x)A

=(当B≠0时)g(x)B

4． 设

a0xma1xm1am1xam

f(x)=,a0≠0,b0≠0,m≤n,nn1

b0xb1xbn1xbn

试求 limf(x)

x

5． 设f(x)>0, limf(x)=A.证明

xx0

xx0

lim

f(x)=A，其中n≥2为正整数.6.证明limax=1(0

x0

7.设limf(x)=A, limg(x)=B.xx0

xx0

(1)若在某∪(x0)内有f(x)< g(x)，问是否必有A < B ? 为什么？

（2）证明：若A>B,则在某∪(x0)内有f(x)> g(x).8.求下列极限（其中n皆为正整数）：(1)lim 

x0

x

x11

lim;(2);nnx0x1xx1x

xx2xnn

(3)lim;(4)lim

x0x0x1

x1

x

(5)lim

x

x(提示：参照例1)

x

x0

x0

x0

9．（1）证明：若limf(x3)存在，则limf(x)= lim f(x3)（2）若limf(x2)存在，试问是否成立limf(x)=limf(x2)?

x0

x0

x0

习题

1.叙述函数极限limf(x)的归结原则,并应用它证明limcos x不存在.n

n

2.设f 为定义在[a,+)上的增(减)函数.证明: lim= f(x)存在的充要条件是f在n

[a,+)上有上(下)界.3.(1)叙述极限limf(x)的柯西准则;

n

(2)根据柯西准则叙述limf(x)不存在的充要条件,并应用它证明limsin x不存在.n

n

4.设f在∪0(x0)内有定义.证明:若对任何数列{xn}∪0(x0)且limxn=x0,极限limf(xn)都

n

n

存在,则所有这极限都相等.提示: 参见定理3.11充分性的证明.5设f为∪0(x0)上的递减函数.证明:f(x0－0)和f(x0+0)都存在,且f(x0－0)=supf(x),f(x0+0)=

0xu

x0

0xun(x0)

inff(x)

6.设 D(x)为狄利克雷函数,x0∈R证明limD(x)不存在.xx0

7.证明:若f为周期函数,且limf(x)=0,则f(x)=0

x

8.证明定理3.9

习题

1.求下列极限

sin2xsinx3

(1)lim;(2)lim

x0x0sinx2x

(3)lim

x

cosxx



tanxsinxarctanx

lim(5)lim;(6);3x0x0xx

sin2xsin2a1

(7)limxsin;(8)lim;

xxaxxa

;(4)lim

x0

tanx

;x

cosx2

(9)lim;(10)lim

x0x01cosxx11

sin4x

2.求下列极限

12x

(1)lim(1);(2)lim1axx(a为给定实数);

nx0x

x

(3)lim1tanx

x0

cotx

;(4)lim

1x

;

x01x

(5)lim（x

3x22x1);(6)lim(1)x(,为给定实数)

n3x1x

3.证明:limlimcosxcoxcos4.利用归结原则计算下列极限:(1)limnsin

n



x0n





x2

xxcos1 2n22



n

;(2)

习题

1． 证明下列各式

(1)2x－x2=O(x)(x→0);(2)x sinxO(x)(x→0);

+

(3)x1o(1)(x→0);

(4)(1+x)n= 1+ nx+o(x)(x→0)(n 为正整数)(5)2x3 + x2=O(x3)(x→∞);

(6)o(g(x))±o(g(x))=o(g(x))(x→x0)

(7)o(g1(x))·0(g2(x))=o(g1(x)g2(x))(x→x0)2． 应用定理3.12求下列极限：

x21x(1)lim(2)lim x01cosxxxcosx

x3． 证明定理3.13

4． 求下列函数所表示曲线的渐近线：

13x34

(1)y =;(2)y = arctan x;(3)y = 2

xx2x

5． 试确定a的值，使下列函数与xa当x→0时为同阶无穷小量：

(1)sin2x－2sinx;(2)

－(1－x);1x

(3)tanxsinx;(4)

x24x3

6． 试确定a的值，使下列函数与xa当x→∞时为同阶无穷大量：

(1)

x2x5;(2)x+x2(2+sinx);

(3)(1+x)(1+x2)…(1+xn).7． 证明：若S为无上界数集，则存在一递增数列{xn}s，使得xn→+∞(n→∞)

8． 证明：若f为x→r时的无穷大量，而函数g在某U0(r)上满足g(x)≥K>0，则fg为x→r

时的无穷大量。

9． 设 f(x)~g(x)(x→x0)，证明：

f(x)－g(x)= o(f(x))或 f(x)－g(x)= o(g(x))

总 练习题

1． 求下列极限：

1

(x[x])lim([x]1)(1)lim;(2)

x3

x1

(3)lim（x

axbxaxbx)

xxa

(4)lim

x

(5)lim

xxa

x

(6)lim

xxxx

x0

(7)lim

nm,m,n 为正整数 nx11xm1x

2． 分别求出满足下述条件的常数a与b：

x21

(1)limaxb0 xx1

x(3)limx

(2)lim

xxx2

x1axb0

x1axb0

x2

3． 试分别举出符合下列要求的函数f：

(1)limf(x)f(2)；(2)limf(x)不存在。

4． 试给出函数f的例子，使f(x)>0恒成立，而在某一点x0处有limf(x)0。这同极限的xx0

局部保号性有矛盾吗？

5． 设limf(x)A，limg(u)B，在何种条件下能由此推出

xa

gA

limg(f(x))B?

xa

6． 设f(x)=x cos x。试作数列

(1){xn} 使得 xn→∞(n→∞), f(xn)→0(n→∞);(2){yn} 使得 yn→∞(n→∞), f(yn)→0(n→∞);(3){zn} 使得 zn→∞(n→∞), f(zn)→0(n→∞).7． 证明：若数列{an}满足下列条件之一，则{an}是无穷大数列：

(1)limanr1

n

(2)lim

an1

s1(an≠0,n=1,2,…)

nan

n2

n2

8． 利用上题（1）的结论求极限：

(1)lim1

n

11(2)lim1

nnn

9． 设liman，证明

n

(1)lim

(a1a2an) nn

n

(2)若an > 0(n=1,2,…),则lima1a2an 10.利用上题结果求极限：

(1)limn!(2)lim

n

In(n!)

nn

11.设f为U-0(x0)内的递增函数。证明：若存在数列{xn}U-0(x0)且xn→x0(n→∞)，使得

limf(xn)A，则有

n

f(x0－0)=

supf(x)A

0xU(x0)

12.设函数f在(0,+∞)上满足方程f(2x)=f(x)，且limf(x)A。证明：f(x)A，x∈(0,+∞)

x

13.设函数f在(0,+∞)此上满足方程f(x2)= f(x)，且

f(x)=limf(x)f(1)lim

x0

x

证明：f(x)f(1)，x∈(0,+∞)

14.设函数f定义在(a,+∞)上，f在每一个有限区间内(a,b)有界，并满足

x

lim(f(x1)f(1))A证明

x

lim

f(x)

A x