第4讲函数极限及性质2009

第一篇：第4讲函数极限及性质2009

《数学分析I》第4讲教案

第4讲函数极限概念及其性质

讲授内容

一、x趋于时函数的极限

例如，对于函数f(x)

1x，当x无限增大时，函数值无限地接近于0；而对于函数g(x)=arctanx，则



2当x趋于+时函数值无限地接近于．

定义1设f为定义在[a,)上的函数，A为定数．若对任给的>0，存在正数M(a)，使得当x>M时有 |f(x)A|<

则称函数f当x趋于+时以A为极限，记作limf(x)A.x

定义1的几何意义如图3—1所示，对任给的>0，在坐标平面上平行

于x轴的两条直线)yA与yA，围成以直线yA为中心线、宽为2的带形区域；定义中的“当x>M时有|f(x)A|”表示：在直线xM的右方，曲线y=f(x)全部落在这个带形区域之内．如果正

数给得小一点，即当带形区域更窄一点，那么直线xM一般要往右平移；但无论带形区域如何窄，总存在这样的正数M，使得曲线yf(x)在直线xM的右边部分全部落在这更窄的带形区域内.limf(x)A或 f(x)A(x)；

x

limf(x)A或f(x)A(x).x

这两种函数极限的精确定义与定义1相仿，只须把定义1中的“xM”分别改为“xM或”xM"．不难证明：若f为定义在U()上的函数，则limf(x)Alimf(x)limf(x)A

x

x

x

例1 证明lim

1x

x

0

证：任给0，取

，则当：x时有



1x

0

1x



1

，所以lim

1x

x

0。

例2证明：（1）limarctanx

x,(2)limarctanx

x



.注：当x时arctanx不存在极限．

二、x趋于x0时函数的极限

定义2(函数极限的定义)设函数f在点x0的某个空心邻域U(x0;)内有定义，为定数．若

'

对任给的0存在正数()，使得当0xx0时有 f(x)，则称函数f当x趋于x0。

'

时以为极限，记作limf(x)或f(x)(xx0)

xx0

举例说明如何应用定义来验证这种类型的函数极限．特别讲清以下各例中的值是怎样确定的．

例3设f(x)

x4x

2，证明limf(x)4.x2

证：由于当x2时，f(x)4

x4x2

4x24x2，故对给定的0，只要取，则当0x2时有f(x)4，这就证明了limf(x)

4x2

例4证明：limsinxsinx0;limcosxcosx0

xx0

xx0

证：先建立一个不等式：当0x



时有sinxxtanx(1)

事实上，在如图32的单位圆内，当0x

时，显然有

SOCDS扇形OADSOAB即又当x



sinx

x

tanx，由此立得(1)式．

时有sinx1x，故对一切x0都有sinxx，当x0时，由sin(x)x得sinxx综上，我们得到不等式sinxx,xR，其中等号仅当x0时

xx0

xx0

成立．而sinxsinx02cos

sin

xx0．

对任给的0,只要取，则当0xx0时，就有sinxsinx0．

所以limsinxsinx0.可用类似方法证明limcosxcosx0

xx0

xx0

例证明lim

x12xx

1x1



3．x132x1

证：当x1时有

x12xx1





x12x1





若限制x于0x11（此时x0）则2x11，于是，对任给的0只要取min{3,1}，则当

x12xx1

0x1时，便有



x13

．

例6证明

xx0

limx



x0(x01)

证：由于x1,x01 因此xx



x0x1x

x



xx0xx0

x



2xx0x

于是，对任给的0（不妨设01）取 

x02

，则当0xx0时，就有1xx0．

关于函数极限的定义的几点说明：

（1）定义2中的正数，相当于数列极限定义中的，它依赖于，但也不是由所惟一确定．一



般来说，愈小，也相应地要小一些，而且把取得更小些也无妨．如在例3中可取或等等．

（2）定义中只要求函数f在x0的某一空心邻域内有定义，而一般不考虑f在点x0处的函数值是否有定义，或者取什么值．这是因为，对于函数极限我们所研究的是当x趋于x0过程中函数值的变化趋势．如在例3中，函数f在点x2是没有定义的，但当x2时f的函数值趋于一个定数．

（3）定义2中的不等式0xx0等价于xU

x0;,，而不等式

fx等价于

fxU;．

下面我们讨论单侧极限．

x2,x0

例如，函数 fx(I)

x,x0

当x0而趋于0时，应按fxx2来考察函数值的变化趋势；当x0而趋于0时，则应按fxx.定义3设函数f在Ux0;

'

或Ux

0

;

'

内有定义，为定数．若对任给的

0，存在正数



'

，使得当x

xx0,



x0xx0时有fx

则称数为函数f当x趋于x0(或x0)时的右(左)极限，记作



limfxlimfx或fxxx0fxxx0

xx0





xx0









右极限与左极限统称为单侧极限．f在点x0的右极限与左极限又分别记为fx00limfx与fx00limfx

xx0





xx0

按定义3容易验证函数(I)在x0处的左、右极限分别为f00limfxlimx0，f00lim

x0



x0



fxlimx



0

x0

x0

同样还可验证符号函数sgnx在x0处的左、右极限分别为limsgnxlim11,limsgnxlim1

1x0



x0



x0



x0



定理3.1limfxlimfxlimfx

xx0

xx0



xx0



三、函数极限的性质

定理3.2(唯一性)若极限limfx存在，则此极限是唯一的．

xx0

证：设,都是f当xx0时的极限，则对任给的0，分别存在正数1与2，使得： 当0xx01时有fx，(1)当0xx02时有fx，(2)取min1,2，则当0xx0时，(1)式与(2)式同时成立，故有(fx)fxfxfx2由的任意性得，这就证明了极限是唯一的.定理3.3（局部有限性）若limfx存在，则f在x0的某空心邻域U

xx0

x0内有界．

证：设limfx．取1，则存在0使得对一切xU

xx0

x0;有

x0;内有界．

fx1fx1，这就证明了f在U

定理3.4(局部保号性)若limfx0(或0)，则对任何正数r（或r)，存在xx0

U

x0，使得对一切xU0x0有 fx

r0（或fxr0）

证：设0，对任何r(0,)，取r，则存在0，使得对一切xUfxr，这就证得结论．对于0的情形可类似地证明．

x0;

注：在以后应用局部保号性时，常取r

A2

．

定理3.5(保不等式性)设limfx与都limgx都存在，且在某邻域U

xx0

xx0

x

;

'

内有fxgx则

xx0

limfxlimgx

xx0

证：设limfx=，limgx=，则对任给的0，分别存在正数1与2使得当0xx01

xx0

xx0

时有fx，当0xx02 时有gx，令min,1,2，则当0xx0时，有fxgx，'

从而2．由的任意性推出，即limfxlimgx成立．

xx0

xx0

第二篇：函数极限的性质

§3.2 函数极限的性质

§2 函数极限的性质

Ⅰ.教学目的与要求

1.理解掌握函数极限的唯一性、局部有界性、局部保号性、保不等式性，迫敛性定理并会利用这些定理证明相关命题.2.掌握函数极限四则运算法则、迫敛性定理,会利用其求函数极限.Ⅱ.教学重点与难点:

重点: 函数极限的性质.难点: 函数极限的性质的证明及其应用.Ⅲ.讲授内容

在§1中我们引入了下述六种类型的函数极限：

1)limfx ；2)limfx；3)limfx

xxxfx；

6)limfx。4)limfx； 5)limxx0xx0xx0它们具有与数列极限相类似的一些性质，下面以第4)种类型的极限为代表来叙述并证明这些性质．至于其他类型极限的性质及其证明，只要相应地作些修改即可.定理3．2(唯一性)若极限limfx存在，则此极限是唯一的．

xx0

证

设,都是f当xx0时的极限，则对任给的0，分别存在正数

1与2，使得当0xx01时有

fx，(1)

当0xx02时有

fx，(2)

取min1,2，则当0xx0时，(1)式与(2)式同时成立，故有

(fx)fxfxfx2

由的任意性得，这就证明了极限是唯一的.定理3。3（局部有限性）若limfx存在，则f在x0的某空心邻域U0x0内有界．

xx0

证

设limfx．取1，则存在0使得对一切xU0x0;有

xx0

fx1fx1 这就证明了f在U0x0;内有界．

§3.2 函数极限的性质

定理3．4(局部保号性)若limfx0(或0)，则对任何正数r（或

xx0r)，存在U0x0，使得对一切xU0x0有

fxr0（或fxr0）

证

设0，对任何r(0,)，取r，则存在0，使得对一切

xU0x0;

fxr，这就证得结论．对于0的情形可类似地证明．

注

在以后应用局部保号性时，常取rA．

2xx0定理3．5(保不等式性)设limfx与都limgx都存在，且在某邻域U0x0;'内

xx0有fxgx则

limfxlimgx

（３）

xx0xx0

证

设

limfx=，limgx=，则对任给的0，分别存在正数1与2使xx0xx0得当0xx01时有

fx，当0xx02 时有

gx

令min',1,2，则当0xx0时，不等式fxgx与(4)、(5)两式同时成立，于是有

fxgx

从而2．由的任意性推出，即(3)式成立．

定理3．6(迫敛性)设limfx=limgx=Ａ，且在某U0x0;'内有

xx0xx0

fx则limhx．

xx0hxgx

证

按假设，对任给的0，分别存在正数1与2，使得当 0xx01时有，§3.2 函数极限的性质

fx

(7)

当0xx02时有

gx

(8)

令min,1,2，则当0xx0时，不等式(6)、(7)、(8)同时成立，故有

fxhxgx 由此得hx，所以limhx

xx0'

定理3．7（四则运算法则）若极限limfx与limgx都存在，则函数

xx0xx0fg,fg当xx0时极限也存在，且

1)limfxgxlimfxlimgx；

xx0xx0xx02）limfxgxxx0xx0limfx．limgx；

xx0 又若limgx0，则f|g当xx0时极限存在，且有

xx03）limxx0fxgxxx0limfxlimgx．

xx0

这个定理的证明类似于数列极限中的相应定理，留给学生作为练习．

利用函数极限的迫敛性与四则运算法则，我们可从一些简单的函数极限出发，计算较复杂的函数极限．

例 1求limxx0x解

当x0时有

1xx1，x1

11x1故由迫敛性得：

xlim

而limx=1

0x0x另一方面，当x0有1x1x，故又由迫敛性又可得：

lim x1 

x0

xx综上，我们求得lim x1

x0x

1111§3.2 函数极限的性质

例 2求limxtanx1x

4解由xtanxxsinx及§1例4所得的，cosxsixnsin

limx442limcoxs，2x4并按四则运算法则有

limsinxxtanx1=limx

limxx

44x4limcosx

x

1=limx41 44例 3求lim313．

x1x1x1解 当x10时有

x1x2x

2133x1x1x31x2x1故所求的极限等于

x2121 2x1x2x1111lim例4

证明lima1a1 xx0

证

任给0(不妨设1)，为使

x

a1

（9）

即1a1，利用对数函数loga

loga1xloga1 于是，令

x（当a1时）的严格增性，只要

minloga1,loga1，则当0x时，就有(9)式成立，从而证得结论．

Ⅳ 小结与提问:本节要求学生理解掌握函数极限的性质，并利用其讨论相关命题.指导学生对定理的应用作总结.Ⅴ 课外作业: P51 2、3、5、7、8、9.

第三篇：函数极限的性质

§3.2 函数极限的性质

§2函数极限的性质

Ⅰ.教学目的与要求

1.理解掌握函数极限的唯一性、局部有界性、局部保号性、保不等式性，迫敛性定理并会利用这些定理证明相关命题.2.掌握函数极限四则运算法则、迫敛性定理,会利用其求函数极限.Ⅱ.教学重点与难点:

重点: 函数极限的性质.难点: 函数极限的性质的证明及其应用.Ⅲ.讲授内容

在§1中我们引入了下述六种类型的函数极限：

1)limfx ；2)limfx；3)limfxxxx

fx；6)limfx。4)limfx； 5)limxx0xx0xx0

它们具有与数列极限相类似的一些性质，下面以第4)种类型的极限为代表来叙述并证明这些性质．至于其他类型极限的性质及其证明，只要相应地作些修改即可.定理3．2(唯一性)若极限limfx存在，则此极限是唯一的． xx0

证设,都是f当xx0时的极限，则对任给的0，分别存在正数

1与2，使得当0xx01时有

fx，(1)当0xx02时有

fx，(2)

取min1,2，则当0xx0时，(1)式与(2)式同时成立，故有

(fx)fxfxfx2

由的任意性得，这就证明了极限是唯一的.定理3。3（局部有限性）若limfx存在，则f在x0的某空心邻域U0x0内有界． xx0

证设limfx．取1，则存在0使得对一切xU0x0;有 xx0

fx1fx1

这就证明了f在U0x0;内有界．

定理3．4(局部保号性)若limfx0(或0)，则对任何正数r（或xx0

r)，存在U0x0，使得对一切xU0x0有

fxr0（或fxr0）

证设0，对任何r(0,)，取r，则存在0，使得对一切

xU0x0;

fxr，这就证得结论．对于0的情形可类似地证明．

注在以后应用局部保号性时，常取rA．2

xx0定理3．5(保不等式性)设limfx与都limgx都存在，且在某邻域U0x0;'内xx0

有fxgx则

limfxlimgx（３）xx0xx0

证设limfx=，limgx=，则对任给的0，分别存在正数1与2使xx0xx0

得当0xx01时有

fx，当0xx02 时有

gx

令min',1,2，则当0xx0时，不等式fxgx与(4)、(5)两式同时成立，于是有

fxgx

从而2．由的任意性推出，即(3)式成立．

定理3．6(迫敛性)设limfx=limgx=Ａ，且在某U0x0;'内有 xx0xx0

fx

则limhx． xx0hxgx

证按假设，对任给的0，分别存在正数1与2，使得当0xx01时有，2fx(7)当0xx02时有

gx(8)令min,1,2，则当0xx0时，不等式(6)、(7)、(8)同时成立，故有

fxhxgx

由此得hx，所以limhx xx0'

定理3．7（四则运算法则）若极限limfx与limgx都存在，则函数 xx0xx0

fg,fg当xx0时极限也存在，且

1)limfxgxlimfxlimgx； xx0xx0xx0

2）limfxgxxx0xx0limfx．limgx； xx0

又若limgx0，则f|g当xx0时极限存在，且有 xx0

3）limxx0fxgxxx0limfxlimgx． xx0

这个定理的证明类似于数列极限中的相应定理，留给学生作为练习．

利用函数极限的迫敛性与四则运算法则，我们可从一些简单的函数极限出发，计算较复杂的函数极限．

例 1求limxx0x

解当x0时有

1xx1，x1 1

1x1故由迫敛性得：xlim而limx=1 0x0x

另一方面，当x0有1x1x，故又由迫敛性又可得：lim x1 x0xx

综上，我们求得lim x1 x0x1111

例 2求limxtanx1

x

解由xtanxxsinx及§1例4所得的，cosx

sixnsilim

x442limcoxs，2x4

并按四则运算法则有

limsinx

xtanx1=limxlim

xx44x

4limcosxx1=limx41

4例 3求lim313． x1x1x1

解 当x10时有

x1x2x2133x1x1x31x2x1

故所求的极限等于

x2121 2x1x2x1111lim

例4证明lima1a1 x

x0

证任给0(不妨设1)，为使

xa1（9）

即1a1，利用对数函数loga

loga1xloga1

于是，令x（当a1时）的严格增性，只要 minloga1,loga1，则当0x时，就有(9)式成立，从而证得结论．

Ⅳ 小结与提问:本节要求学生理解掌握函数极限的性质，并利用其讨论相关命题.指导学生对定理的应用作总结.Ⅴ 课外作业: P51 2、3、5、7、8、9.

第四篇：第2讲数列极限及其性质2009

《数学分析I》第2讲教案

第2讲数列极限概念及其性质

讲授内容

一、数列极限概念

数列 a1,a2,,an,,或简单地记为{an}，其中an，称为该数列的通项．

关于数列极限，先举二个我国古代有关数列的例子．（1）割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽.n

22园内接正n边形的面积An

Rsin

2n

sin

(n3,4,），当n时，AnR

2nn

R

2

（2）古代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其含义是：一根长为一尺的木棒，每天截下一半，这样的过程可以无限制地进行下去．第一天截下

12，第二天截下

n

2，„„，第n天截下

n，„„这样就得到一个数列

22,2,,1,．或n.n22

不难看出，数列{}的通项

n

随着n的无限增大而无限地接近于0．一般地说，对于数列{an}，若当n无

限增大时an能无限地接近某一个常数a，则称此数列为收敛数列，常数a称为它的极限．不具有这种特性的数列就不是收敛数列．下面我们给出收敛数列及其极限的精确定义．

定义1设{an}为数列，a为定数．若对任给的正数，总存在正整数N，使得当，n>N时有|ana|则称数列{an收敛于a，定数a称为数列{an}的极限，并记作limana，或ana(n).读作“当n

n

趋于无穷大时，an的极限等于a或an趋于a”．

若数列{an}没有极限，则称{an}为发散数列．下面举例说明如何根据N定义来验证数列极限．

二、根据N定义来验证数列极限

例2证明lim

1n



n

0，这里为正数

,故对任给的>0，只要取N=

1



1，则当nN时，便有 

证：由于 |

1n



0|

1n



1n





1N



即|

1n



0|.这就证明了lim

1n



n

0.例3证明lim

3n

n

n33n

3.分析由于|

n

33|

9n3



9n

(n3).因此，对任给的>o，只要

9n

，便有

|

3n

n3

3|,即当n

时，(2)式成立．故应取Nmax{3, 

999

证任给0,取Nmax{3,据分析，当nN时有|23|,式成立.于是本题得证.n3

n

例4证明limq=0，这里|q|<1．

n

3n

证若q=0，则结果是显然的．现设0<|q|<1．记h

1|q|

1，则h>0．我们有

|q0||q|

11nh

nn

1(1h)

n,并由(1h)1+nh得到|q|

|q0|，这就证明了limq

n

n

nn



1nh

.对任给的0,只要取N

h,则当nN时，得

n

0.注：本例还可利用对数函数ylgx的严格增性来证明，简述如下：对任给的>0(不妨设<1)，为使

n

n

只要nlg|q|lg即n|q0||q|，lglg|q|

（这里0|q|1).于是，只要取N

lglg|q|

即可。

例5证明lim

n

n

a1，其中a>0．

证：(ⅰ)当a1时，结论显然成立.(ⅱ)当a1时，记an1，则0.由 a(1)n1n1n(an1)得

an1

a1n.（1）

任给0，由(1)式可见，当n

a1



N时，就有an1，即|an1|.所以lim

n

a1.(ⅲ)当0a1时，,１

n

－１，则0.由

a

1

1n

(1)1n1n1得 aa1

1a

n



a

1n.a

a

1

1

n.1

（2）

任给0，由（2式可见，当n１

a1



N时，就有1an，即|an1|.所以lim

n

n

a1.关于数列极限的—N定义，应着重注意下面几点：

1．的任意性：尽管有其任意性，但一经给出，就暂时地被确定下来，以便依靠它来求出N，又既



2时任意小的正数，那么,3或等等同样也是任意小的正数，因此定义1中不等式|ana|中的可用

,3或等来代替．

2．N的相应性：一般说，N随的变小而变大，由此常把N写作N()，来强调N是依赖于的；但这并不意味着N是由所唯一确定的.3．从几何意义上看，“当n>N时有|aa|”意味着：所有下标大于N的项aｎ都落在邻域U(a;)内；而在U(a;)之外，数列{an}中的项至多只有N个(有限个)．

定义2若liman0，则称{an}为无穷小数列．由无穷小数列的定义，不难证明如下命题：

n

n

定理2.1数列{an}收敛于a的充要条件是：{ana}为无穷小数列．

三、收敛数列的性质

定理2.2(唯一性)若数列{an}收敛，则它只有一个极限．

定理2.3(有界性)若数列{an}收敛，则{an}为有界数列，即存在正数M，使得对一切正整数有|an|M.证：设limana取1，存在正数N，对一切n>N有

n

|ana|1即a1ana1.记Mmax{|a1|,|a2|,|aN|,|a1|,|a1|},则对一切正整数n都有anM．注：有界性只是数列收敛的必要条件，而非充分条件．例如数列1定理2.4(保号性)若limana0

n



n

有界，但它并不收敛．

(a,0

(或<0)，则对任何a(0,a)(或a，存在正数N，使

得当nN时有ana(或ana)．

证：设a0．取aa(>0)，则存在正数N，使得当nN时有aana，即

anaa，这就证得结果．对于a0的情形，也可类似地证明．

注：在应用保号性时，经常取a

a2

.即有an

a2，或an

a2

定理2.5(保不等式性)设an与bn均为收敛数列．若存在正数N0，使得当nN0时，有anbn，则limanlimbn.n

n

请学生思考：如果把定理2.5中的条件anbn换成严格不等式anbn，那么能否把结论换成limanlimbn?，并给出理由.n

n

例1设an0n1,2,．证明：若limana,则lim

n

n

an

a.证：由定理2.5可得a0.若a0，则由liman0，任给0，存在正数N，使得当nN时有an，从而an即

n

an0,故有lim

n

an0.anaan

a

ana

a

若a0，则有

an

a

.任给0，由limana，存在正数N，使得当

n

nN时有ana

a,从而

an

a．故得证．

第五篇：2函数极限的性质解读

§2 函数极限的性质

在§1中我们引入了下述六种类型的函数极限：

1）；

2）；

3）；

4）；

5）；

6）。

它们具有与数列极限相类似的一些性质，下面以第4）种类型的极限为代表来叙述并证明这些性质。

至于其他类型极限的性质及其证明，只要相应的作些修改即可。

定理3.2（唯一性）若极限 证

设与、都是

当

存在，则此极限是唯一的。

时的极限，则对任给的，分别存在正数，使得当

时有

（1）

当 时有

（2）

取，则当时，（1）式与(2)式同时成立，故有

由的任意性得。这就证明了极限是唯一的。定理3.3（局部有界性）若极限 内有界。

存在，则在某空心邻域证

设。取，则存在，使得对一切。

有

这就证明了在内有界。

定理3.4（局部保号性）若（或），存在，使得对一切

有

（或），则对任何正数

（或证 设有，这就证得结论。对于，对任何，取，则存在）。，使得对一切的情形可类似地证明。

定理3.5（保不等式性）设 内有，则

与都存在，且在某邻域。

（3）

证 设，使得当，时，则对任给的，分别存在正数与

（4）

当

时有

（5）

令，则当

时，不等式

与（4）,（5）式同时成立，于是 有式成立。，从而

。由的任意性得，即（3）定理3.6（迫敛性）设==，且在某内有

（6）

则。

证 按假设，对任给的时

（7），分别存在正数

与，使得当当时有

（8）

令，则当

时，不等式（6）、（7）、（8）式同时成立，故有，由此得，所以。定理3.7（四则运算法则）若极限数，当

与

都存在，则函 时极限也存在，且

1）=

2）=

又若，则当时极限也存在，且有

3）

这个定理的证明类似于数列极限中的相应定理，留给读者作为练习。利用函数极限的迫敛性与四则运算法则，我们可从一些简单的函数极限出发计算较复杂的函数极限。

例1求。

解 由第一章§3习题13，当 时有，而，故由迫敛性得

。另一方面，当时有，故由迫敛性又可得。

综上，我们求得。

例2 求。

解

由

及§1例4所得的

并按四则运算法则有

=

例3 求

解 当 时有。故所求极限等于。

例4

证明

证

任给（不妨设），为使

（9）

即，利用对数函数

（当

时）的严格增性，只要

于是，令成立，从而证得结论。，则当时，就有（9）式