大学 高等数学 竞赛训练 微分方程

大学生数学竞赛训练五—微分方程

一、（15分）设函数在上可导，且，对任给的满足等式

1）求导数；

2）证明：当时，成立不等式：。

解：1）设，则有

当时有

两边关于求导得

解微分方程得

由条件可得，因此

2）当时，所以此时有；

又因为，当时，所以此时有，因此当时，有

二、（15分）设微分方程的两个解满足求此微分方程的通解。

解：1）如果为常数，则有

因为，所以，由此可得，此时方程变为

令，则有

2）如果不是常数，则有，代入原方程可得

（1）

（2）

由（1）、（2）可得

令，则有，解得，因为它们是线性无关的，所求通解为

三、（15分）有一个攀岩爱好者要攀登一个表面为的山岩，在攀岩时他总是沿着最陡峭的路线攀登，他的出发点在山下的一点处，求他攀登的路线方程。

解：设所求曲线在面上的投影为，则其切向量与函数的梯度平行，因此有

此为一阶齐次方程，解得，由可得，再由题意得到

所求曲线方程为。

四、（15分）求方程的通解。

解：设，则有，原方程化为

解得

五、(15分)设，求在上的连续函数使得其在上满足方程

及初值条件。

解：解方程得

当时，当时，由的连续性可得，又因为可得，所求函数为。

六、（15分）已知二元函数有二阶连续的偏导数，并且满足

证明：。

证明：因为二元函数有二阶连续的偏导数，所以

由此可得。

七、