08-12年高等数学下考点分类
一、偏导数的几何应用
1.[12]求曲面在点处的切平面和法线方程
解:
令，则
从而切点的法向量为
从而切平面为
法线方程为
2.[08]设是曲线在点处的切向量，求函数在该点沿的方向导数
解：方程组两端对求导，得
把代入得，解得，于是在点处的切向量为，单位切向量为
所求方向导数为
3.[08]给定曲面为常数，其中有连续偏导数，证明曲面的切平面通过一个定点。
证：令，则
从而曲面在点处的切平面为，其中为动点。
显然时成立，故切平面均过。
二、多元函数的极限、连续、可微
1.[12]证明函数在点不连续，但存在有一阶偏导数。
证明：因为
与有关，故二重极限不存在，因而由连续定义函数在点不连续。
又，或，或
于是函数在点存在有一阶偏导数。
2.[11]设函数。试证在点处是可微的解
用定义求出
3.[10]证明：在点(0,0)处连续，与存在，但在(0,0)处不可微。
解：（1）
4.[09]
5.[08]
函数在点处可微是它在该点偏导数与连续的必要
条件（填必要、充分或充要），又是它在该点有方向导数的充分
条件（填必要、充分或充要）
三、复合函数求导
1.[12]设，则
0
2.[12]设,则
3.[12]设,求
解
令，则，于是用公式得
4.[11]设,则
5.[11]设可微，且，则
6.[11]设，其中可微，证明
证明
由于
7.，将变换为下的表达式。
解：
8.[09]
9.[09]
设，其中函数具有二阶连续偏导数，求。
解：
10.[09]
求由方程组所确定的及的导数及。
解：
11.[08]
设有连续偏导数，则
12.[08]
设，求
解：两边取微分，得
从而，四、多元函数的极值
1.[12]在曲面上找一点，使它到点的距离最短，并求最短距离。
解
设点为，则
等价于求在约束之下的最小值。令
且由
解得驻点，最短距离为
2.[11]若函数在点处取得极值，则常数
3.[11]设长方形的长、宽、高分别为，且满足，求体积最小的长方体。
解
令，2
由，求出唯一驻点6
由问题的实际意义可知，当体积最小长方体的长、宽、高均为37
4.5.[09]
求函数在圆域的最大值和最小值。
解：方法一：当时，找驻点，得唯一驻点
当时，是条件极值，考虑函数，解方程组
可得
所求最大值为，最小值为。
方法二：设，则且，这变成一个简单的线性规划问题。最大值为4，最小值为。
方法三：圆域可写成最大值为4，最小值为。
[08]
设，则它有极小值
五、梯度、方向导数
1.[12]函数在点处沿指向点方向的方向导数
2.3.[09]
求二元函数在点处沿方向的方向导数及梯度，并指出在该点沿哪个方向减少得最快？沿哪个方向值不变？
4.六、二重积分
1.[12]
设是所围成的区域,则
2.[12]计算二重积分，其中
3.[12]设函数在内有连续的导数，且满足。求
解
用极坐标
两边求导得，标准化为
于是
由得，故
4.[11]计算二重积分，其中D是顶点为的三角形闭区域。
解:
5.[09]
交换二次积分的积分次序：。
6.[09]
求锥面被柱面割下部分曲面面积。
解：
7.[09]（化工类做）
计算二重积分，其中为圆域。
8.[08]
交换二次积分的积分次序
9.[08]
求球面含在圆柱面内部的那部分面积
解：上半球面的部分为七、三重积分
1.[12]设为两球的公共部分，计算三重积分
解
由
当时用垂直于轴的平面截区域得到截面为圆域，当时用垂直于轴的平面截区域得到截面为圆域，于是分段先二后一积分，得
2.[10]计算三重积分，其中是由所围成的闭球体．
解：
4’
4’
3.[09]
计算。
解：此三重积分积分区域在面上的投影为，即圆域的上半部分，设此部分为，则
原式
4.[08]
计算三重积分，其中.是由单位球面围成的闭区域.解：由对称性
从而
八、曲线积分
1.[12]设是抛物线介于点与点之间的那一段弧段，则曲线积分
2.计算曲线积分，其中为摆线从点到点的弧。
解
由于
补两条直线是逆向的闭曲线，故
原式
或由曲线积分与路径无关，直接得
原式得
或取，由曲线积分与路径无关，直接得，原式
或者由是全微分表达式，凑微分，因
及
得
原式
3.[11]假设L为圆的右半部分，则
4.[11]计算,其中是椭圆的正向一周解:
由格林公式
5.[11]计算曲线积分，其中表示第四象限内以为起点，为终点的光滑曲线
解
所求解问题与路径无关，选折线
6.7.8.[10]计算
9..[10]计算
10.[09]
11.[09]
计算曲线积分，其中表示包含点在内的简单闭曲线，沿逆时针方向。
解：在的内部作圆并取逆时针方向，的参数方程为
由格林公式有
12.[08]
计算曲线积分，其中表示第四象限内以为起点为终点的光滑曲线。
解：由于，从而只要路径不经过直线，该曲线积分就与路径无关
取路径，九、曲面积分
1.[12]
计算曲面积分，式中是上半球面的上侧
解
补一个平面，取下侧，则原式
另法（看看:
归一化，多次换元够烦的）
即，上半球面指向上侧法线为，从而,原式=
2.[12]
求曲面包含在圆柱面内那部分（记为）的面积。
解
记为在部分的面积，或者
3.计算,其中是平面被圆柱面截出的有限部分
解
由题意或
从而
4.计算曲面积分,其中为柱面介于与之间的在第一卦限部分的前侧.解
补平面区域取上侧，取下侧，取左侧，取后侧。与原来曲面形成封闭曲面的外侧,围成由高斯公式
故
原式
5.[10]
计算
6.[10]
计算曲面积分其中为上半球面的上侧。
7.[09]
向量场的散度为。
8.[09]
计算曲面积分，其中是半球面的上则。
解：设为，并取下则，是围成的区域，由高斯公式得原式
9.[08]
向量场的散度为.向量场的旋度为.10.[08]
设曲面为柱面介于平面与部分的外侧，则曲面积分
0，11.[08]计算曲面积分，其中是圆锥面位于平面之间下方部分的下侧
解：取上侧，则原式
十、微分方程
1.[12]求定解问题的解
解
标准化，由标准方程的解的公式，得
由初值条件，有，于是特解为
2.[12]求微分方程的通解
解
对应的齐次方程为，解得特征根
非齐次项，与标准形式比较，从而得是单根，从而，可设特解为，从而，代入原来的微分方程，得
即
于是根据解的结构定理得，所求通解为
3.[11]求微分方程的通解
解
方程即
4.[11]求微分方程的通解
解
对应的齐次方程的特征方程为
对照非齐次项的标准形式不是特征根，故
特解的待定形式为，代入非齐次方程，得
从而原方程的通解为
5.求解微分方程初值问题
解
是一个特解2
故通解为4
由，又
从而特解为6
6.[10]设都是方程的解，则该方程的通解为
7.[10]求微分方程的通解。
8.[10]求微分方程的通解。
9.[10]求微分方程
10.[10]
求微分方程的通解。
11.[09]
求如下初值问题的解
解：此为可降阶微分方程第三种类型。
设，则，原方程化为
变量分离两边积分得
由可得
解可得，由可得
所求解为：。
12.[09]
求方程的通解。
解：先求的通解，解特征方程得特征根，所以的通解为
因为是单特征根，所以原方程有特解形式，代入原方程得
原方程通解为
13.[08]
求微分方程的通解
解：，14.[08]
计算满足下述方程的可导函数，解：原方程两端求导得
即，这是标准的一阶线性微分方程
原方程令得，代入通解得，从而
15.[08]求解初值问题
解：方程对应的齐次方程为，它的特征方程为，特征根为，从而对应通解为
容易看出的一个特解为，因此原方程的通解为
从而，由初值条件可得。
因此
十一、级数
1.[12]判别无穷级数的收敛性。
解
由于，故
而是收敛的的级数的常数倍，从而收敛。由正项级数的比较判别法可知无穷级数收敛。
2.[12]求幂级数的收敛区间，并讨论该区间端点处的收敛性。
解
比较标准幂级数，得，从而收敛半径为，收敛区间为
当时幂级数化为正项级数，由于，从而与调和级数一样发散；当时幂级数化为交错级数，不绝对收敛，但，前一部分条件收敛，而后一部分减去的级数为正项级数，由于而收敛，从而由收敛级数的性质，当时幂级数收敛。
3.[12]将函数展开成的幂级数，并指出其收敛区间。
解
利用，从而
4.[11]求幂级数的收敛域.解
当时，由于，级数发散，3
当时，由于，由交错级数的莱布尼茨判别法知该级数收敛，5
故幂级数收敛域为6
5.[11]将函数展开成麦克劳林级数，并确定其成立的区间.解
由于，3
从而7
6.[11]设函数是以为周期的函数，将其展开成余弦级数，并确定其成立的范围。.解:，1
所以
7.[10]求幂级数的收敛域。
8.[10]将函数展开成迈克劳林级数，并确定其成立区
9.[10]
设函数是以为周期的周期函数，它在尚的表达式为，将其展开成傅里叶级数，并确定其成立范围。
10.[09]
证明阿贝尔定理：如果幂级数收敛，则适合不等式的一切幂级数都绝对收敛；如果幂级数发散，则适合不等式的一切使幂级数发散。
11.[09]
将函数展成余弦级数。
12.[09]
求幂级数的收敛半径和收敛域。
13.[08]
设且，试根据的值判定级数的敛散性。
14.[08]
设是周期为的周期函数，它在上的表达式为，试将展开成傅里叶级数。
15.[08]
设，证明满足微分方程，并求。
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