第七章 微分方程(三峡大学高等数学教案)

第一篇：第七章 微分方程(三峡大学高等数学教案)

高等数学教案

微分方程

第七章

微分方程

教学目的：

1．了解微分方程及其解、阶、通解，初始条件和特等概念。2．熟练掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法。

3．会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程。4． 会用降阶法解下列微分方程：y(n)f(x)，yf(x,y)和yf(y,y)

5． 理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。

6．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。

7.求自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解。

8.会解欧拉方程，会解包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组。9．会解微分方程组（或方程组）解决一些简单的应用问题。教学重点：

1、可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法

(n)

2、可降阶的高阶微分方程yf(x)，yf(x,y)和yf(y,y)

3、二阶常系数齐次线性微分方程；

4、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程；

教学难点：

1、齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程；

2、线性微分方程解的性质及解的结构定理；

3、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。

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§7 1 微分方程的基本概念

函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映 利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究 因此如何寻找出所需要的函数关系 在实践中具有重要意义 在许多问题中 往往不能直接找出所需要的函数关系 但是根据问题所提供的情况 有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式 这样的关系就是所谓微分方程 微分方程建立以后 对它进行研究 找出未知函数来 这就是解微分方程

例1 一曲线通过点(1 2) 且在该曲线上任一点M(x y)处的切线的斜率为2x 求这曲线的方程

解 设所求曲线的方程为yy(x) 根据导数的几何意义 可知未知函数yy(x)应满足关系式(称为微分方程)

dy2x

(1)

dx此外 未知函数yy(x)还应满足下列条件

x1时 y2 简记为y|x12

(2)把(1)式两端积分 得(称为微分方程的通解)

y2xdx 即yx2C

(3)其中C是任意常数

把条件“x1时 y2”代入(3)式 得

212C

由此定出C1 把C1代入(3)式 得所求曲线方程(称为微分方程满足条件y|x12的解)

yx21

例2 列车在平直线路上以20m/s(相当于72km/h)的速度行驶 当制动时列车获得加速度04m/s2 问开始制动后多少时间列车才能停住 以及列车在这段时间里行驶了多少路程?

解 设列车在开始制动后t秒时行驶了s米 根据题意 反映制动阶段列车运动规律的函数ss(t)应满足关系式 d2s0.

(4)dt2此外 未知函数ss(t)还应满足下列条件

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t0时 s0 vds20 简记为s|=0 s|=20

(5)

t0t0dt

把(4)式两端积分一次 得

vds0.4tC

(6)1dt再积分一次 得

s02t2 C1t C2

(7)这里C1 C2都是任意常数

把条件v|t020代入(6)得

20C1

把条件s|t00代入(7)得0C2

把C1 C2的值代入(6)及(7)式得

v04t 20

(8)

s02t220t

(9)在(8)式中令v0 得到列车从开始制动到完全停住所需的时间

t2050(s)

0.4再把t50代入(9) 得到列车在制动阶段行驶的路程

s025022050500(m)

几个概念

微分方程 表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程 叫微分方程

常微分方程 未知函数是一元函数的微分方程 叫常微分方程

偏微分方程 未知函数是多元函数的微分方程 叫偏微分方程

微分方程的阶 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数 叫微分方程的阶

x3 yx2 y4xy3x2 

y(4)4y10y12y5ysin2x

y(n)10

一般n阶微分方程

F(x y y

    y(n))0

y(n)f(x y y

    y(n1))

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微分方程的解 满足微分方程的函数(把函数代入微分方程能使该方程成为恒等式)叫做该微分方程的解 确切地说 设函数y(x)在区间I上有n阶连续导数 如果在区间I上

F[x (x) (x)    (n)(x)]0

那么函数y(x)就叫做微分方程F(x y y    y(n))0在区间I上的解

通解 如果微分方程的解中含有任意常数 且任意常数的个数与微分方程的阶数相同 这样的解叫做微分方程的通解

初始条件 用于确定通解中任意常数的条件 称为初始条件 如

xx0 时 yy0  y y0 

一般写成



yxx0y0 yxx0y0

特解 确定了通解中的任意常数以后 就得到微分方程的特解 即不含任意常数的解

初值问题 求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题

如求微分方程yf(x

y)满足初始条件yxx0y0的解的问题 记为

yf(x,y)

 yxx0y0

积分曲线 微分方程的解的图形是一条曲线 叫做微分方程的积分曲线

d2xk2x0

例3 验证 函数 xC1cos ktC2 sin kt是微分方程

的解

dt

2解 求所给函数的导数

dxkCsinktkCcoskt 12dtd2xk2Ccosktk2Csinktk2(CcosktCsinkt)



1212dt2d2x将2及x的表达式代入所给方程 得 dt

k2(C1cos ktC2sin kt) k2(C1cos ktC2sin kt)0

d2xk2x0

这表明函数xC1cosktC2sinkt 满足方程2 因此所给函数是所给方程的解

dt三峡大学高等数学课程建设组

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例4 已知函数xC1cosktC2sinkt(k0)是微分方程

x| t0 A x| t0 0 的特解

解

由条件x| t0 A及xC1 cos ktC2 sin kt 得

C1A

再由条件x| t0 0 及x(t)kC1sin ktkC2cos kt 得

C20

把C1、C2的值代入xC1cos ktC2sin kt中 得

xAcos kt

作业：P298：4

d2xk2x0的通解 求满足初始条件 2dt

§7 2 可分离变量的微分方程

观察与分析

1 求微分方程y2x的通解 为此把方程两边积分 得 yx2C

一般地 方程yf(x)的通解为yf(x)dxC(此处积分后不再加任意常数)

2 求微分方程y2xy2 的通解

因为y是未知的 所以积分2xy2dx无法进行 方程两边直

接积分不能求出通解

为求通解可将方程变为

 1dy2xdx 两边积分 得

y21x2C1  或y2yxC三峡大学高等数学课程建设组 高等数学教案

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可以验证函数y1是原方程的通解

x2C

一般地 如果一阶微分方程y(x, y)能写成 g(y)dyf(x)dx

形式 则两边积分可得一个不含未知函数的导数的方程

G(y)F(x)C

由方程G(y)F(x)C所确定的隐函数就是原方程的通解

对称形式的一阶微分方程

一阶微分方程有时也写成如下对称形式

P(x y)dxQ(x y)dy0 在这种方程中 变量x与y 是对称的

若把x看作自变量、y看作未知函数 则当Q(x,y)0时 有

dyP(x,y)

dxQ(x,y)dxQ(x,y)

dyP(x,y)若把y看作自变量、x看作未知函数 则当P(x,y)0时 有

可分离变量的微分方程

如果一个一阶微分方程能写成

g(y)dyf(x)dx(或写成y(x)(y))的形式 就是说 能把微分方程写成一端只含y的函数和dy 另一端只含x的函数和dx 那么原方程就称为可分离变量的微分方程

讨论 下列方程中哪些是可分离变量的微分方程？(1)y2xy

是 y1dy2xdx (2)3x25xy0

是 dy(3x25x)dx(3)(x2y2)dxxydy=0

不是

(4)y1xy2xy2 是 y(1x)(1y2)(5)y10xy

是 10ydy10xdx(6)yxy

不是 yx三峡大学高等数学课程建设组

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可分离变量的微分方程的解法

第一步

分离变量 将方程写成g(y)dy f(x)dx的形式

第二步

两端积分g(y)dyf(x)dx 设积分后得G(y)F(x)C

第三步

求出由G(y)F(x)C所确定的隐函数y(x)或x(y)G(y)F(x)C  y(x)或x(y)都是方程的通解 其中G(y)F(x)C称为隐式(通)解

例1 求微分方程dy2xy的通解

dx

解

此方程为可分离变量方程 分离变量后得

1dy2xdx

y1dy2xdx

y两边积分得

即

ln|y|x2C1

从而

yex2C1eC1ex 2因为eC1仍是任意常数 把它记作C 便得所给方程的通解

yCex

例2 铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比 已知t0时铀的含量为M0 求在衰变过程中铀含量M(t)随时间t变化的规律

解 铀的衰变速度就是M(t)对时间t的导数2dM

dtdMM

dtdM0

dt

由于铀的衰变速度与其含量成正比 故得微分方程其中(>0)是常数 前的曲面号表示当t增加时M单调减少 即由题意 初始条件为 M|t0M0

将方程分离变量得

dMdt

M三峡大学高等数学课程建设组

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两边积分 得dM()dt

M即

lnMtlnC 也即MCet

由初始条件 得M0Ce0C

所以铀含量M(t)随时间t变化的规律MM0et 

例3 设降落伞从跳伞塔下落后 所受空气阻力与速度成正比 并设降落伞离开跳伞塔时速度为零 求降落伞下落速度与时间的函数关系

解

设降落伞下落速度为v(t) 降落伞所受外力为Fmgkv(k为比例系数) 根据牛顿第二运动定律Fma 得函数v(t)应满足的方程为

mdvmgkv

dt初始条件为

v|t00

方程分离变量 得

dvdt

mgkvm两边积分 得mgkvm

tC

m1dvdt

ln(mgkv)1kkC1ktmgCem(Ce即

v)

kkmg将初始条件v|t00代入通解得C

kktmg(1em)

于是降落伞下落速度与时间的函数关系为vkdy1xy2xy2的通解

例4 求微分方程dx

解 方程可化为

dy(1x)(1y2)

dx分离变量得

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1dy(1x)dx

1y21dy(1x)dx 即1x2xC

arctany1y22两边积分得

于是原方程的通解为ytan(x2xC)

作业：P304：1（1）（2）（3）（7）（9）（10），2（2）（4），3

§7 3 齐次方程

齐次方程

如果一阶微分方程12dyf(x,y)中的函数f(x, y)可写成 dxyy的函数 即f(x,y)() 则称这方程为齐次方程

xx

下列方程哪些是齐次方程？

dyyy2x2dyyy

(1)xyyyx0是齐次方程()21

dxxdxxx22dy1y

2(2)1xy1y不是齐次方程

dx1x222dyx2y2dyxy

(3)(xy)dxxydy0是齐次方程 dxxydxyx22

(4)(2xy4)dx(xy1)dy0不是齐次方程

(5)(2xshdy2xy4

dxxy1yyy3ych)dx3xchdy0是齐次方程

xxx三峡大学高等数学课程建设组

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yy2xsh3ychdyxxdy2thyy 

ydxdx3xx3xchx

齐次方程的解法

在齐次方程

ux分离变量 得

ydyy()中 令u 即yux 有 dxxxdu(u)

dxdudx (u)uxdudx(u)ux 两端积分 得

求出积分后 再用y代替u 便得所给齐次方程的通解

xdydyxy

dxdx

例1 解方程y2x2

解

原方程可写成

y2()dyyx



2ydxxyx1x2因此原方程是齐次方程 令

yux 于是原方程变为

ux即

xyu 则 xdyuxdu

dxdxduu2

dxu1duu

dxu1分离变量 得

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(1)du1udx

x两边积分 得uln|u|Cln|x|

或写成ln|xu|uC

以y代上式中的u 便得所给方程的通解 x

ln|y|yC

x

例2 有旋转曲面形状的凹镜 假设由旋转轴上一点O发出的一切光线经此凹镜反射后都与旋转轴平行 求这旋转曲面的方程

解 设此凹镜是由xOy面上曲线L yy(x)(y>0)绕x轴旋转而成 光源在原点 在L上任取一点M(x, y) 作L的切线交x轴于A 点O发出的光线经点M反射后是一条平行于x轴射线 由光学及几何原理可以证明OAOM

因为

OAAPOPPMcotOP而

OMx2y2

于是得微分方程

yx

yyxx2y2 y整理得dxx(x)21 这是齐次方程

dyyydxx(x)21

dyyy

问题归结为解齐次方程

令即

yxvdvvv21 即xyv 得vy

dyydvv21 dy分离变量 得dvdy

v21yyy, (v)2v21, CC两边积分 得 ln(vv21)lnylnC, vv21三峡大学高等数学课程建设组

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y22yv1

C2C以yvx代入上式 得y22C(xC)

2这是以x轴为轴、焦点在原点的抛物线 它绕x轴旋转所得旋转曲面的方程为

y2z22C(xC) 2这就是所求的旋转曲面方程

例3 设一条河的两岸为平行直线 水流速度为a 有一鸭子从岸边点A游向正对岸点O 设鸭子的游速为b(b>a) 且鸭子游动方向始终朝着点O 已知OAh 求鸭子游过的迹线的方程

解 取O为坐标原点 河岸朝顺水方向为x轴 y 轴指向对岸 设在时刻t鸭子位于点P(x, y) 则鸭子运动速度

v(vx, vy)(dx, dy) 故有dxvx

dyvydtdtx, y) v(abx, by)

x2y2x2y2x2y2x2y2另一方面 vab(a, 0)b(因此dxvxa(x)21x 即dxa(x)21x

dybyydyvybyydxa(x)21x

dybyy

问题归结为解齐次方程

令

yxu 即xyu 得 yduau21 dyb分离变量 得duady

u21by两边积分 得 arshu(lnylnC) bax1[(Cy)1b(Cy)1b]

将u代入上式并整理 得xy2C三峡大学高等数学课程建设组

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以x|yh0代入上式 得C1 故鸭子游过的轨迹方程为 haay1by1bh()] 0yh

x[()2hhb将ux代入arshu(lnylnC)后的整理过程

yaarshxb(lnylnC)

yaxshln(Cy)ax1[(Cy)a(Cy)a] yy2bby1b1b1aax[(Cy)(Cy)]x[(Cy)a(Cy)a]

2C2bbb作业：P309：1（1）（3）（5），2

§7.4 线性微分方程

一、线性方程

线性方程

方程dyP(x)yQ(x)叫做一阶线性微分方程 dxdydyP(x)y0叫做对应于非齐次线性方程P(x)yQ(x)的齐次线性方程

dxdxdydyy1y0是齐次线性方程 dxdxx2如果Q(x)0  则方程称为齐次线性方程 否则方程称为非齐次线性方程

方程

下列方程各是什么类型方程？

(1)(x2)

(2)3x25x5y0y3x25x  是非齐次线性方程

(3)yy cos xesin x  是非齐次线性方程

(4)dy10xy 不是线性方程 dx三峡大学高等数学课程建设组

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3dy3(y1)2dydxxx00或

(5)(y1) 不是线性方程

dxdydx(y1)2x

32齐次线性方程的解法

齐次线性方程

dyP(x)y0是变量可分离方程 分离变量后得 dxdyP(x)dx

y两边积分 得

ln|y|P(x)dxC1

P(x)dx(CeC1)

或

yCe这就是齐次线性方程的通解（积分中不再加任意常数）

例

1求方程(x2)dyy的通解

dx

解

这是齐次线性方程 分离变量得

dydx

yx2两边积分得

ln|y|ln|x2|lnC

方程的通解为

yC(x2)

非齐次线性方程的解法

将齐次线性方程通解中的常数换成x的未知函数u(x) 把

P(x)dx

yu(x)e

设想成非齐次线性方程的通解 代入非齐次线性方程求得

P(x)dxP(x)dxP(x)dxu(x)eP(x)P(x)u(x)eQ(x)

u(x)e化简得

u(x)Q(x)eP(x)dx

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u(x)Q(x)eP(x)dxdxC

于是非齐次线性方程的通解为

P(x)dxP(x)dx

ye[Q(x)edxC] P(x)dxP(x)dxP(x)dx或

yCeeQ(x)edx 非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性方程通解与非齐次线性方程的一个特解之和

5dy2y(x1)2的通解

例2 求方程dxx1

解

这是一个非齐次线性方程

先求对应的齐次线性方程分离变量得

dy2y0的通解

dxx1dy2dx

yx1两边积分得

ln y2ln(x1)ln C

齐次线性方程的通解为

yC(x1)2

用常数变易法 把C换成u 即令yu(x1)2 代入所给非齐次线性方程 得

52u(x1)2(x1)2

u(x1)2u(x1)x12

1u(x1)2

两边积分 得 u(x1)2C

3再把上式代入yu(x1)2中 即得所求方程的通解为 32

y(x1)[(x1)2C]

323

例3 有一个电路如图所示 其中电源电动势为EEmsint(Em、都是常数) 电阻R和电感L都是常量 求电流i(t)

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解

由电学知道 当电流变化时 L上有感应电动势L

EL即

di 由回路电压定律得出 dtdiiR0

dtdiRiE

dtLLdiRiEmsin t

dtLL

把EEmsin t代入上式 得

初始条件为

i|t00

diRiEmsin t为非齐次线性方程 其中

dtLLER t

P(t) Q(t)msinLL

方程由通解公式 得

i(t)eP(t)dtdtdtEP(t)dt[Q(t)edtC]eL(msin teLdtC)

LRRRttEmReL(sinteLdtC)

LRtEm(Rsin t Lcos t)CeL

222RL其中C为任意常数

将初始条件i|t00代入通解 得C因此 所求函数i(t)为

t LEmREmLe(Rsin t Lcos t)

i(t)2R2L2R22L2 LEm

R22L

2二、伯努利方程

伯努利方程 方程

dyP(x)yQ(x)yn(n0 1)dx叫做伯努利方程

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下列方程是什么类型方程？

(1)

(2)dy1y1(12x)y4 是伯努利方程 dx33dydyyxy5 yxy5 是伯努利方程 dxdxxy

1(3)y yyxy1 是伯努利方程 yxx

(4)dy2xy4x 是线性方程 不是伯努利方程 dxdyP(x)y1nQ(x)dx

伯努利方程的解法 以yn除方程的两边 得

yn令z y1n  得线性方程

dz(1n)P(x)z(1n)Q(x)

dxdyya(lnx)y2的通解

例4 求方程dxx

解 以y2除方程的两端 得

y2dy11yalnx

dxxd(y1)11yalnx

即

dxx令zy1 则上述方程成为

dz1zalnx

dxxa2这是一个线性方程 它的通解为

zx[C(lnx)2]

以y1代z  得所求方程的通解为

yx[C(lnx)2]1

经过变量代换 某些方程可以化为变量可分离的方程 或化为已知其求解方法的方程

例

5解方程 a2dy1

dxxy三峡大学高等数学课程建设组 高等数学教案

微分方程

解

若把所给方程变形为

dxxy

dy即为一阶线性方程 则按一阶线性方程的解法可求得通解 但这里用变量代换来解所给方程

令xyu 则原方程化为

du11 即duu1

dxudxu分离变量 得

ududx

u1两端积分得

uln|u1|xln|C|

以uxy代入上式 得

yln|xy1|ln|C| 或xCeyy1

作业：P315：1（1）（3）（5）（7）（9），2（1）（3）（5），7（1）（2）

§7 5可降阶的高阶微分方程

一、y(n)f(x)型的微分方程

解法 积分n 次

y(n1)f(x)dxC1 

y(n2)[f(x)dxC1]dxC2 

  

例1 求微分方程ye2xcos x 的通解

解 对所给方程接连积分三次 得

ye2xsinxC1

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12高等数学教案

微分方程

ye2xcosxC1xC2

ye2xsinxC1x2C2xC3

这就是所给方程的通解

或

ye2xsinx2C1

ye2xcosx2C1xC2

ye2xsinxC1x2C2xC3

这就是所给方程的通解

例2 质量为m的质点受力F的作用沿Ox轴作直线运动 设力F仅是时间t的函数FF(t) 在开始时刻t0时F(0)F0 随着时间t的增大 此力F均匀地减小 直到tT时 F(T)0 如果开始时质点位于原点 且初速度为零 求这质点的运动规律

解 设xx(t)表示在时刻t时质点的位置 根据牛顿第二定律 质点运动的微分方程为

2dx

m2F(t)

dt141812121418由题设 力F(t)随t增大而均匀地减小 且t0时 F(0)F0 所以F(t)F0kt 又当tT时 F(T)0 从而

F(t)F0(1)

于是质点运动的微分方程又写为 tTd2xF0(1t)



Tdt2mdx|0 其初始条件为x|t00

dtt0

把微分方程两边积分 得

dxF0(tt2)C

1

dtm2T再积分一次 得

F012t x(t)C1tC2

m26T由初始条件x|t00 得C1C20

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dx|0

dtt0高等数学教案

微分方程

于是所求质点的运动规律为

x

二、y f(x y)型的微分方程

解法 设yp则方程化为

pf(x p)

设pf(x p)的通解为p(xC1) 则

F012t3(t) 0tT

m26Tdy(x,C1)

dx原方程的通解为

y(x,C1)dxC2

例3 求微分方程

(1x2)y2xy 满足初始条件

y|x01 y|x03 的特解

解 所给方程是yf(x y)型的 设yp 代入方程并分离变量后 有

dp2xdx

p1x2两边积分 得

ln|p|ln(1x2)C

即

pyC1(1x2)(C1eC)

由条件y|x03 得C13

所以

y3(1x2)

两边再积分 得 yx33xC2

又由条件y|x01 得C21

于是所求的特解为

yx33x1

例4 设有一均匀、柔软的绳索 两端固定 绳索仅受重力的作用而下垂 试问该绳索在平衡状态时是怎样的曲线?

三、yf(y y)型的微分方程

解法 设yp有

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高等数学教案

微分方程

y原方程化为 dpdpdydpp

dxdydxdydpf(y,p)

dydpf(y,p)的通解为yp(y C1) 则原方程的通解为 设方程pdy

p

dy(y,C1)xC2

dp

dy

例5 求微分yyy20的通解

解 设yp 则yp代入方程 得

ypdp2p0

dy

在y0、p0时 约去p并分离变量 得

dpdy

py两边积分得

ln|p|ln|y|lnc

即

pCy或yCy(Cc)

再分离变量并两边积分 便得原方程的通解为

ln|y|Cxlnc1

或

yC1eCx(C1c1)

作业：P323：1（1）（3）（5）（7）（9），2（1）（3）（5）

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高等数学教案

微分方程

§7 6 高阶线性微分方程 一、二阶线性微分方程举例

例1 设有一个弹簧 上端固定 下端挂一个质量为m 的物体 取x 轴铅直向下 并取物体的平衡位置为坐标原点

给物体一个初始速度v00后 物体在平衡位置附近作上下振动 在振动过程中 物体的位置x是t的函数 xx(t)

设弹簧的弹性系数为c 则恢复力fcx

又设物体在运动过程中受到的阻力的大小与速度成正比 比例系数为 则

Rdx

dt

由牛顿第二定律得

md2xcxdx

2dtdt

移项 并记2nc k2

mmd2x2ndxk2x0则上式化为



dtdt2这就是在有阻尼的情况下 物体自由振动的微分方程

如果振动物体还受到铅直扰力

FHsin pt 的作用 则有

d2x2ndxk2xhsinpt



dtdt2H其中h 这就是强迫振动的微分方程

m

例2 设有一个由电阻R、自感L、电容C和电源E串联组成的电路 其中R、L、及C为常数 电源电动势是时间t的函数 EEmsint 这里Em及也是常数

设电路中的电流为i(t) 电容器极板上的电量为q(t) 两极板间的电压为uc 自感电动势为EL  由电学知道

iqdqdi uc ELL

Cdtdt三峡大学高等数学课程建设组

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微分方程

根据回路电压定律 得

ELdiqRi0

dtCd2ucducRCucEmsint

即

LC2dtdt或写成

d2ucducEm22usint

0c2dtLCdtR 1 这就是串联电路的振荡方程 其中02LLC

如果电容器经充电后撤去外电源(E0) 则上述成为

d2ucduc220uc0

2dtdt

二阶线性微分方程 二阶线性微分方程的一般形式为

yP(x)yQ(x)yf(x)

若方程右端f(x)0时 方程称为齐次的 否则称为非齐次的

二、线性微分方程的解的结构

先讨论二阶齐次线性方程

d2ydyQ(x)y0

yP(x)yQ(x)y0 即2P(x)dxdx

定理

1如果函数y1(x)与y2(x)是方程

yP(x)yQ(x)y0的两个解 那么

yC1y1(x)C2y2(x)也是方程的解 其中C1、C2是任意常数

齐次线性方程的这个性质表明它的解符合叠加原理

证明 [C1y1C2y2]C1 y1C2 y2

[C1y1C2y2]C1 y1C2 y2

因为y1与y2是方程yP(x)yQ(x)y0 所以有

y1P(x)y1Q(x)y10及y2P(x)y2Q(x)y20

从而

[C1y1C2y2]P(x)[ C1y1C2y2]Q(x)[ C1y1C2y2]

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微分方程

C1[y1P(x)y1Q(x)y1]C2[y2P(x)y2Q(x)y2]000

这就证明了yC1y1(x)C2y2(x)也是方程yP(x)yQ(x)y0的解

函数的线性相关与线性无关

设y1(x) y2(x)     yn(x)为定义在区间I上的n个函数 如果存在n个不全为零的常数k1 k2     kn 使得当xI 时有恒等式

k1y1(x)k2y2(x)

    knyn(x)0 成立 那么称这n个函数在区间I上线性相关 否则称为线性无关

判别两个函数线性相关性的方法

对于两个函数 它们线性相关与否 只要看它们的比是否为常数 如果比为常数 那么它们就线性相关 否则就线性无关

例如 1 cos2x  sin2x 在整个数轴上是线性相关的 函数1 x x2在任何区间(a, b)内是线性无关的

定理2 如果如果函数y1(x)与y2(x)是方程

yP(x)yQ(x)y0 的两个线性无关的解 那么

yC1y1(x)C2y2(x)(C1、C2是任意常数)是方程的通解

例3 验证y1cos x与y2sin x是方程yy0的线性无关解 并写出其通解

解 因为

y1y1cos xcos x0

y2y2sin xsin x0

所以y1cos x与y2sin x都是方程的解

因为对于任意两个常数k1、k2 要使

k1cos xk2sin x0

只有k1k20 所以cos x与sin x在(, )内是线性无关的

因此y1cos x与y2sin x是方程yy0的线性无关解

方程的通解为yC1cos xC2sin x

例4 验证y1x与y2ex是方程(x1)yxyy0的线性无关解 并写出其通解

解 因为

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微分方程

(x1)y1xy1y10xx0

(x1)y2xy2y2(x1)exxexex0

所以y1x与y2ex都是方程的解

因为比值e x/x 不恒为常数 所以y1x与y2ex在(, )内是线性无关的

因此y1x 与y2ex是方程(x1)yxyy0的线性无关解

方程的通解为yC1xC2e x

推论 如果y1(x) y2(x)    yn(x)是方程

y(n)a1(x)y(n1)    an1(x)y an(x)y0 的n个线性无关的解 那么 此方程的通解为

yC1y1(x)C2y2(x)     Cnyn(x)

其中C1 C2    Cn为任意常数

二阶非齐次线性方程解的结构

我们把方程

yP(x)yQ(x)y0 叫做与非齐次方程

yP(x)yQ(x)yf(x)对应的齐次方程

定理3 设y*(x)是二阶非齐次线性方程

yP(x)yQ(x)yf(x)的一个特解 Y(x)是对应的齐次方程的通解 那么

yY(x)y*(x)是二阶非齐次线性微分方程的通解

证明提示 [Y(x)y*(x)]P(x)[ Y(x)y*(x)]Q(x)[ Y(x)y*(x)]

 [Y P(x)Y Q(x)Y ][ y* P(x)y* Q(x)y*]

0 f(x) f(x)

例如 YC1cos xC2sin x 是齐次方程yy0的通解 y*x22是yyx2 的一个特解 因此

yC1cos xC2sin xx22 是方程yyx2的通解

定理4 设非齐次线性微分方程 yP(x)yQ(x)yf(x)的右端f(x)几个函数之和 如

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微分方程

yP(x)yQ(x)yf1(x) f2(x)

而y1*(x)与y2*(x)分别是方程

yP(x)yQ(x)yf1(x)与yP(x)yQ(x)yf2(x)的特解 那么y1*(x)y2*(x)就是原方程的特解

证明提示

[y1y2*]P(x)[ y1*y2*]Q(x)[ y1*y2*]

[ y1*P(x)y1*Q(x)y1*][ y2*P(x)y2*Q(x)y2*]

f1(x)f2(x)

作业：P331：1（1）（3）（5）（7），4（1）（3）（5）

§7 7 二阶常系数齐次线性微分方程

二阶常系数齐次线性微分方程 方程 ypyqy0 称为二阶常系数齐次线性微分方程 其中p、q均为常数

如果y1、y2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解 那么yC1y1C2y2就是它的通解

我们看看

能否适当选取r 使yerx

满足二阶常系数齐次线性微分方程 为此将yerx代入方程

ypyqy0 得

(r 2prq)erx 0

由此可见 只要r满足代数方程r2prq0 函数yerx就是微分方程的解

特征方程 方程r2prq0叫做微分方程ypyqy0的特征方程 特征方程的两个根r1、r2可用公式

pp24q

r 1,22求出

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微分方程

特征方程的根与通解的关系

(1)特征方程有两个不相等的实根r1、r2时 函数y1er1x、y2er2x是方程的两个线性无关的解

这是因为

函数y1er1x、y2er2x是方程的解 又因此方程的通解为

yC1er1xC2er2x

(2)特征方程有两个相等的实根r1r2时 函数y1er1x、y2xer1x是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解

这是因为 y1er1x是方程的解 又

r1xr1x2r1x

(xer1x)p(xer1x)q(xer1x)(2r1xr1xr1)ep(1)eqxe r1x

2er1x(2r1p)xe(r1pr1q)0

y1er1x(r1r2)x不是常数

ey2er2xy2xer1xx不是常数

所以y2xe也是方程的解 且y1er1xr1x

因此方程的通解为

yC1er1xC2xer1x

(3)特征方程有一对共轭复根r1, 2i时 函数ye(i)x、ye(i)x是微分方程的两个线性无关的复数形式的解 函数yexcosx、yexsinx是微分方程的两个线性无关的实数形式的解

函数y1e(i)x和y2e(i)x都是方程的解 而由欧拉公式 得

y1e(i)xex(cosxisinx)

y2e(i)xex(cosxisinx)

1y1y22excosx excosx(y1y2)

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微分方程

1y1y22iexsinx exsinx(y1y2)

2i故excosx、y2exsinx也是方程解

可以验证 y1excosx、y2exsinx是方程的线性无关解

因此方程的通解为

yex(C1cosxC2sinx)

求二阶常系数齐次线性微分方程ypyqy0的通解的步骤为

第一步

写出微分方程的特征方程

r2prq0 第二步

求出特征方程的两个根r1、r2

第三步

根据特征方程的两个根的不同情况 写出微分方程的通解

例1 求微分方程y2y3y0的通解

解 所给微分方程的特征方程为

r22r30 即(r1)(r3)0

其根r11 r23是两个不相等的实根 因此所求通解为

yC1exC2e3x

例2 求方程y2yy0满足初始条件y|x0

4、y| x02的特解

解 所给方程的特征方程为

r22r10 即(r1)20

其根r1r21是两个相等的实根 因此所给微分方程的通解为

y(C1C2x)ex

将条件y|x04代入通解 得C14 从而

y(4C2x)ex

将上式对x求导 得

y(C24C2x)ex

再把条件y|x02代入上式 得C22 于是所求特解为

x(42x)ex

例 3 求微分方程y2y5y 0的通解

解 所给方程的特征方程为

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微分方程

r22r50

特征方程的根为r112i r212i 是一对共轭复根

因此所求通解为

yex(C1cos2xC2sin2x)

n 阶常系数齐次线性微分方程 方程

y(n)p1y(n1)p2 y(n2)     pn1ypny0

称为n 阶常系数齐次线性微分方程 其中 p1

p2      pn1 pn都是常数

二阶常系数齐次线性微分方程所用的方法以及方程的通解形式 可推广到n 阶常系数齐次线性微分方程上去

引入微分算子D 及微分算子的n次多项式

L(D)=Dn p1Dn1p2 Dn2      pn1Dpn 则n阶常系数齐次线性微分方程可记作

(Dn p1Dn1p2 Dn2      pn1Dpn)y0或L(D)y0 注 D叫做微分算子D0yy Dyy D2yy D3yy   Dnyy(n)

分析 令yerx 则

L(D)yL(D)erx(rn p1rn1p2 rn2      pn1rpn)erxL(r)erx

因此如果r是多项式L(r)的根 则yerx是微分方程L(D)y0的解

n 阶常系数齐次线性微分方程的特征方程

L(r)rn p1rn1p2 rn2      pn1rpn0 称为微分方程L(D)y0的特征方程

特征方程的根与通解中项的对应

单实根r 对应于一项 Cerx 

一对单复根r1 2 i 对应于两项 ex(C1cosxC2sinx)

k重实根r对应于k项 erx(C1C2x    Ck xk1)

一对k 重复根r1 2 i 对应于2k项

ex[(C1C2x    Ck xk1)cosx(D1D2x    Dk xk1)sinx]

例4 求方程y(4)2y5y0 的通解

解

这里的特征方程为

r42r35r20 即r2(r22r5)0

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微分方程

它的根是r1r20和r3 412i

因此所给微分方程的通解为

yC1C2xex(C3cos2xC4sin2x)

例5 求方程y(4) 4y0的通解 其中0

解

这里的特征方程为

r4 40

它的根为r1,22(1i) r3,42(1i)

因此所给微分方程的通解为

ye2x(C1cos2xC2sin2x)e 2x(C3cos2xC4sin2x)

作业：P340：1（1）（3）（2）（4）（5）（6）（8），2（2）（4）（6）

§7 8 二阶常系数非齐次线性微分方程

二阶常系数非齐次线性微分方程 方程

ypyqyf(x)称为二阶常系数非齐次线性微分方程 其中p、q是常数

二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程 的通解yY(x)与非齐次方程本身的一个特解yy*(x)之和

yY(x) y*(x)

当f(x)为两种特殊形式时 方程的特解的求法

一、f(x)Pm(x)ex 型

当f(x)Pm(x)ex时 可以猜想 方程的特解也应具有这种形式 因此 设特解形式为y*Q(x)ex 将其代入方程 得等式

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微分方程

Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)Pm(x)

(1)如果不是特征方程r2prq0 的根 则2pq0 要使上式成立 Q(x)应设为m 次多项式

Qm(x)b0xmb1xm1    bm1xbm 

通过比较等式两边同次项系数 可确定b0 b1     bm 并得所求特解

y*Qm(x)ex

(2)如果是特征方程 r2prq0 的单根 则2pq0 但2p0 要使等式

Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)Pm(x)

成立 Q(x)应设为m1 次多项式

Q(x)xQm(x)

Qm(x)b0xm b1xm1   

bm1xbm 

通过比较等式两边同次项系数 可确定b0 b1   

 bm 并得所求特解

y*xQm(x)ex

(3)如果是特征方程 r2prq0的二重根 则2pq0 2p0 要使等式

Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)Pm(x)

成立 Q(x)应设为m2次多项式

Q(x)x2Qm(x)

Qm(x)b0xmb1xm1    bm1xbm 

通过比较等式两边同次项系数 可确定b0 b1     bm  并得所求特解

y*x2Qm(x)ex

综上所述 我们有如下结论 如果f(x)Pm(x)ex 则二阶常系数非齐次线性微分方程ypyqy f(x)有形如

y*xk Qm(x)ex 的特解 其中Qm(x)是与Pm(x)同次的多项式 而k 按不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取为0、1或2

例1 求微分方程y2y3y3x1的一个特解

解 这是二阶常系数非齐次线性微分方程 且函数f(x)是Pm(x)ex型(其中Pm(x)3x1 0)

与所给方程对应的齐次方程为

y2y3y0

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微分方程

它的特征方程为

r22r30

由于这里0不是特征方程的根 所以应设特解为

y*b0xb1

把它代入所给方程 得

3b0x2b03b13x1

比较两端x同次幂的系数 得

3b03 3b03 2b03b11 2b3b101由此求得b01 b1 于是求得所给方程的一个特解为

y*x

例2 求微分方程y5y6yxe2x的通解

解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程 且f(x)是Pm(x)ex型(其中Pm(x)x 2)

与所给方程对应的齐次方程为

y5y6y0

它的特征方程为

r25r 60

特征方程有两个实根r12 r23 于是所给方程对应的齐次方程的通解为

YC1e2xC2e3x 

由于2是特征方程的单根 所以应设方程的特解为

y*x(b0xb1)e2x

把它代入所给方程 得

2b0x2b0b1x

比较两端x同次幂的系数 得

13132b01 2b01 2b0b10 2bb001三峡大学高等数学课程建设组

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微分方程

由此求得b01 b1 于是求得所给方程的一个特解为 121 y*x(x1)e2x

从而所给方程的通解为

yC1e2xC2e3x(x22x)e2x

提示

y*x(b0xb1)e2x(b0x2b1x)e2x

[(b0x2b1x)e2x][(2b0xb1)(b0x2b1x)2]e2x

[(b0x2b1x)e2x][2b02(2b0xb1)2(b0x2b1x)22]e2x

y*5y*6y*[(b0x2b1x)e2x]5[(b0x2b1x)e2x]6[(b0x2b1x)e2x] [2b02(2b0xb1)2(b0x2b1x)22]e2x5[(2b0xb1)(b0x2b1x)2]e2x6(b0x2b1x)e2x [2b04(2b0xb1)5(2b0xb1)]e2x[2b0x2b0b1]e2x

方程ypyqyex[Pl(x)cosxPn(x)sinx]的特解形式

应用欧拉公式可得

ex[Pl(x)cosxPn(x)sinx]

ex[Pl(x)12ei xei xP(x)ei xei x] n22i

[Pe(i)x[Pe(i)x

l(x)iPn(x)]l(x)iPn(x)]

P(x)e(i)xP(x)e(i)x

其中P(x)(PlPni) P(x)(PlPni) 而mmax{l n}

设方程ypyqyP(x)e(i)x的特解为y1*xkQm(x)e(i)x

则y1*xkQm(x)e(i)必是方程ypyqyP(x)e(i)的特解

其中k按i不是特征方程的根或是特征方程的根依次取0或1

于是方程ypyqyex[Pl(x)cosxPn(x)sinx]的特解为

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12121212高等数学教案

微分方程

y*xkQm(x)e(i)xxkQm(x)e(i)x

xkex[Qm(x)(cosxisinx)Qm(x)(cosxisinx)

xk ex[R(1)m(x)cosxR(2)m(x)sinx]

综上所述 我们有如下结论

如果f(x)ex [Pl(x)cosxPn(x)sinx] 则二阶常系数非齐次线性微分方程

ypyqyf(x)的特解可设为

y*xk ex[R(1)m(x)cosxR(2)m(x)sinx]

其中R(1)m(x)、R(2)m(x)是m次多项式 mmax{l n} 而k 按i(或i)不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1

例3 求微分方程yyxcos2x的一个特解

解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程

且f(x)属于ex[Pl(x)cosxPn(x)sinx]型(其中0 2 Pl(x)x Pn(x)0）

与所给方程对应的齐次方程为

yy0

它的特征方程为

r210

由于这里i2i 不是特征方程的根 所以应设特解为

y*(axb)cos2x(cxd)sin2x

把它代入所给方程 得

(3ax3b4c)cos2x(3cx3d4a)sin2xxcos2x

比较两端同类项的系数 得 a b0 c0 d于是求得一个特解为 y*xcos2xsin2x

提示

y*(axb)cos2x(cxd)sin2x

y*acos2x2(axb)sin2xcsin2x2(cxd)cos2x

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134

91349高等数学教案

微分方程

(2cxa2d)cos2x(2ax2bc)sin2x

y*2ccos2x2(2cxa2d)sin2x2asin2x2(2ax2bc)cos2x

(4ax4b4c)cos2x(4cx4a4d)sin2x

y* y*(3ax3b4c)cos2x(3cx4a3d)sin2x

3a13b4c014由 得a b0 c0 d 3c0394a3d0作业：P347：1（1）（2）（5）（9）2（2）（3）（4）

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第二篇：第六章 定积分的应用(三峡大学高等数学教案)[范文模版]

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定积分的应用

教学目的 第六章

定积分的应用

1、理解元素法的基本思想；

2、掌握用定积分表达和计算一些几何量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积）。

3、掌握用定积分表达和计算一些物理量（变力做功、引力、压力和函数的平均值等）。教学重点：

1、计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积。

2、计算变力所做的功、引力、压力和函数的平均值等。教学难点：

1、截面面积为已知的立体体积。

2、引力。

§6 1 定积分的元素法

回忆曲边梯形的面积

设yf(x)0(x[a b]) 如果说积分

Aaf(x)dx

b是以[a b]为底的曲边梯形的面积 则积分上限函数

A(x)af(t)dt

x就是以[a x]为底的曲边梯形的面积 而微分dA(x)f(x)dx 表示点x处以dx为宽的小曲边梯形面积的近似值Af(x)dxf(x)dx称为曲边梯形的面积元素

以[a b]为底的曲边梯形的面积A就是以面积元素f(x)dx为被积表达式 以 [a b]为积分区间的定积分

Aaf(x)dx 

b

一般情况下 为求某一量U 先将此量分布在某一区间[a b]上 分布在[a x]上的量用函数U(x)表示 再求这一量的元素dU(x) 设dU(x)u(x)dx 然后以u(x)dx为被积表达式 以[a b]为积分区间求定积分即得

Uaf(x)dx

b

用这一方法求一量的值的方法称为微元法(或元素法)

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定积分的应用

§6 2 定积分在几何上的应用

一、平面图形的面积

1．直角坐标情形

设平面图形由上下两条曲线yf上(x)与yf下(x)及左右两条直线xa与xb所围成 则面积元素为[f上(x) f下(x)]dx 于是平面图形的面积为

Sa[f上(x)f下(x)]dx 

类似地由左右两条曲线x左(y)与x右(y)及上下两条直线yd与yc所围成设平面图形的面积为

Sc[右(y)左(y)]dy

例1 计算抛物线y2x、yx2所围成的图形的面积

解(1)画图

(2)确定在x轴上的投影区间: [0 1](3)确定上下曲线f上(x)x, f下(x)x2

(4)计算积分 db1

S(xx)dx[2x21x3]10033321

3例2 计算抛物线y22x与直线yx4所围成的图形的面积

解(1)画图

(2)确定在y轴上的投影区间: [2 4](3)确定左右曲线左(y)1y2, 右(y)y4

2(4)计算积分418

S2(y41y2)dy[1y24y1y3]426222y 例3 求椭圆x221所围成的图形的面积

ab 解 设整个椭圆的面积是椭圆在第一象限部分的四倍 椭圆在第一象限部分在x 轴上的投影区间为[0 a] 因为面积元素为ydx

所以 2S40ydx a椭圆的参数方程为: xa cos t  yb sin t 

于是

S40ydx4bsintd(acost)

2a0三峡大学高等数学课程建设组

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定积分的应用

4absintdt2ab02(1cos2t)dt2abab

2202

2．极坐标情形

曲边扇形及曲边扇形的面积元素

由曲线()及射线   围成的图形称为曲边扇形 曲边扇形的面积元素为 dS1[()]2d 2曲边扇形的面积为

S1[()]2d 2

例4.计算阿基米德螺线a(a >0)上相应于从0变到2 的一段弧与极轴所围成的图形的面积

224a23

解: S01(a)2d1a2[13]02332

例5.计算心形线a(1cos)(a>0)所围成的图形的面积

 解: S201[a(1cos]2da20(12cos1cos2)d

22232

a2[32sin1sin2]0a

242

二、体 积

1．旋转体的体积

旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体 这直线叫做旋转轴

常见的旋转体 圆柱、圆锥、圆台、球体

旋转体都可以看作是由连续曲线yf(x)、直线xa、ab 及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体

设过区间[a b]内点x 且垂直于x轴的平面左侧的旋转体的体积为V(x) 当平面左右平移dx后 体积的增量近似为V[f(x)]2dx 

于是体积元素为

dV  [f(x)]2dx 

旋转体的体积为

Va[f(x)]2dx

例

1连接坐标原点O及点P(h r)的直线、直线xh 及x 轴围成一个直角三角形 将它绕x轴旋转构成一个底半径为r、高为h的圆锥体 计算这圆锥体的体积

解: 直角三角形斜边的直线方程为yrx

h

所求圆锥体的体积为

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定积分的应用

22hrr1hr2

V0(x)dx2[1x3]0h3h32y2x 例2 计算由椭圆221所成的图形绕x轴旋转而成的旋转体(旋转椭球体)的体积

ab

解: 这个旋转椭球体也可以看作是由半个椭圆 h

yba2x2

a及x轴围成的图形绕x轴旋转而成的立体 体积元素为dV  y 2dx 

于是所求旋转椭球体的体积为

22a2 Vb2(a2x2)dxb2[a2x1x3]aaab

a33aa

例3 计算由摆线xa(tsin t) ya(1cos t)的一拱 直线y0所围成的图形分别绕x轴、y轴旋转而成的旋转体的体积

解

所给图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积为

Vx0y2dx0a2(1cost)2a(1cost)dt

a30(13cost3cos2tcos3t)dt

5 2a 3

所给图形绕y轴旋转而成的旋转体的体积是两个旋转体体积的差 设曲线左半边为x=x1(y)、右半边为x=x2(y) 则

22(y)dy0x1(y)dy

Vy0x22a2a22a2

2a2(tsint)2asintdt0a2(tsint)2asintdt

a30(tsint)2sintdt6 3a 3 

2．平行截面面积为已知的立体的体积

设立体在x轴的投影区间为[a b] 过点x 且垂直于x轴的平面与立体相截 截面面积为A(x) 则体积元素为A(x)dx  立体的体积为

VaA(x)dx

例4 一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心 并与底面交成角 计算这平面截圆柱所得立体的体积

解 取这平面与圆柱体的底面的交线为x轴 底面上过圆中心、且垂直于x轴的直线为y轴 那么底圆的方程为x 2 y 2R 2 立体中过点x且垂直于x轴的截面是一个直角三角形 两个直角边分别为R2x2及R2x2tan 因而截面积为

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b2高等数学教案

定积分的应用

A(x)1(R2x2)tan 于是所求的立体体积为

2RR2R3tan

VR1(R2x2)tandx1tan[R2x1x3]R223

3例5 求以半径为R的圆为底、平行且等于底圆直径的线段为顶、高为h的正劈锥体的体积

解: 取底圆所在的平面为x O y平面 圆心为原点 并使x轴与正劈锥的顶平行 底圆的方程为x 2 y 2R 2 过x轴上的点x(R

A(x)hyhR2x2

于是所求正劈锥体的体积为

VRhR2x2dx2R2h2co2sd1R2h

02R

三、平面曲线的弧长

设A B 是曲线弧上的两个端点 在弧AB上任取分点AM0 M1 M2     Mi1 Mi    Mn1 MnB  并依次连接相邻的分点得一内接折线 当分点的数目无限增加且每个小段Mi1Mi都缩向一点时 如果此折线的长|Mi1Mi|的极限存在 则称此极限为曲线弧AB的弧长 并称此曲线i1n弧AB是可求长的

定理

光滑曲线弧是可求长的

1．直角坐标情形

设曲线弧由直角坐标方程

yf(x)(axb)给出 其中f(x)在区间[a b]上具有一阶连续导数 现在来计算这曲线弧的长度

取横坐标x为积分变量 它的变化区间为[a b] 曲线yf(x)上相应于[a b]上任一小区间[x xdx]的一段弧的长度 可以用该曲线在点(x f(x))处的切线上相应的一小段的长度来近似代替 而切线上这相应的小段的长度为

(dx)2(dy)21y2dx

从而得弧长元素(即弧微分)

ds1y2dx

以1y2dx为被积表达式 在闭区间[a b]上作定积分 便得所求的弧长为

sa1y2dx

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定积分的应用

在曲率一节中 我们已经知道弧微分的表达式为ds1y2dx这也就是弧长元素因此

例1 计算曲线y2x2上相应于x从a到b的一段弧的长度

3解 yx2 从而弧长元素 13ds1y2dx1xdx

因此 所求弧长为

sab2221xdx[2(1x)2]ba[(1b)(1a)]

3333

3例2 计算悬链线ycchx上介于xb与xb之间一段弧的长度

c

解 yshx 从而弧长元素为

cds1sh2xdxchxdx

cc因此 所求弧长为

bbb

sbchxdx20chxdx2c[shxdx]b02cshcccc

2．参数方程情形

设曲线弧由参数方程x(t)、y(t)(t)给出 其中(t)、(t)在[ ]上具有连续导数

dy(t)因为 dx(t)d t  所以弧长元素为 dx(t)2(t)ds12(t)dt2(t)2(t)dt

(t)所求弧长为

s2(t)2(t)dt



例3 计算摆线xa(sin) ya(1cos)的一拱(0  2)的长度

解 弧长元素为

dsa2(1cos)2a2sin2da2(1cos)d2asind

2所求弧长为

2s02asind2a[2cos]08a

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定积分的应用

3．极坐标情形

设曲线弧由极坐标方程

()(    )给出 其中r()在[ ]上具有连续导数 由直角坐标与极坐标的关系可得

x()cos

y()sin(   ) 于是得弧长元素为

dsx2()y2()d2()2()d

从而所求弧长为

s2()2()d

例4

求阿基米德螺线a(a>0)相应于 从0到2 一段的弧长

解

弧长元素为

dsa22a2da12d

于是所求弧长为

2s0a12da[2142ln(2142)]

作业：P284：2（2）（4），3，4，5（1），10，12，15（2），18，22，23，29，30

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§6 3 功

水压力和引力

一、变力沿直线所作的功

例

1把一个带q电量的点电荷放在r轴上坐标原点O处 它产生一个电场 这个电场对周围的电荷有作用力 由物理学知道 如果有一个单位正电荷放在这个电场中距离原点O为r的地方 那么电场对它的作用力的大小为

Fkq(k是常数)

r2当这个单位正电荷在电场中从ra处沿r轴移动到rb(a

解: 在r轴上 当单位正电荷从r移动到r+dr时

电场力对它所作的功近似为k即功元素为dWk于是所求的功为 qdr

r2qdr

r2bkq2Wa11drkq[1]bakq()

rabr

例2

在底面积为S的圆柱形容器中盛有一定量的气体 在等温条件下 由于气体的膨胀

把容器中的一个活塞(面积为S)从点a处推移到点b处 计算在移动过程中 气体压力所作的功

解 取坐标系如图 活塞的位置可以用坐标x来表示 由物理学知道 一定量的气体在等温条件下 压强p与体积V的乘积是常数k  即

pVk 或pk

V

在点x处 因为VxS 所以作在活塞上的力为

FpSkSk

xSx当活塞从x移动到xdx时 变力所作的功近似为kdx x即功元素为dWkdx

x于是所求的功为

bbWakdxk[lnx]bakln

xa

例3 一圆柱形的贮水桶高为5m 底圆半径为3m 桶内盛满了水 试问要把桶内的水全部吸出需作多少功？

解 作x轴如图 取深度x 为积分变量 它的变化区间为[0 5] 相应于[0 5]上任小区间[x xdx]的一薄层水的高度为dx 水的比重为98kN/m3 因此如x的单位为m 这薄层水的重力为9832dx 这薄层水吸出桶外需作的功近似地为

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dW882xdx

此即功元素 于是所求的功为

225(kj)

xW088.2xdx88.2[]5088.222

5二、水压力

从物理学知道 在水深为h处的压强为ph  这里  是水的比重 如果有一面积为A 的平板水平地放置在水深为h处 那么平板一侧所受的水压力为

PpA

如果这个平板铅直放置在水中 那么 由于水深不同的点处压强p不相等 所以平板所受水的压力就不能用上述方法计算

例4 一个横放着的圆柱形水桶 桶内盛有半桶水 设桶的底半径为R 水的比重为  

计算桶的一个端面上所受的压力

解 桶的一个端面是圆片 与水接触的是下半圆 取坐标系如图

在水深x处于圆片上取一窄条 其宽为dx  得压力元素为

dP2xR2x2dx

所求压力为

P02  xRxdx(R03R2rR3

[2(R2x2)2]033R22R2122x)d(R2x2)

三、引力

从物理学知道 质量分别为m

1、m 2 相距为r的两质点间的引力的大小为

FGm1m2

r2其中G为引力系数 引力的方向沿着两质点连线方向

如果要计算一根细棒对一个质点的引力 那么 由于细棒上各点与该质点的距离是变化的 且各点对该质点的引力的方向也是变化的 就不能用上述公式来计算

例5 设有一长度为l、线密度为的均匀细直棒 在其中垂线上距棒a单位处有一质量为m的质点M 试计算该棒对质点M的引力

解 取坐标系如图 使棒位于y轴上 质点M位于x轴上 棒的中点为原点O 由对称性知 引力在垂直方向上的分量为零 所以只需求引力在水平方向的分量 取y为积分变量 它的变化区间为[l, l] 在[l, l]上y点取长为dy 的一小段 其质量为dy 与M相距ra2y2 于2222是在水平方向上 引力元素为

dFxGmdyamdya

Ga2y2a2y2(a2y2)3/2三峡大学高等数学课程建设组

高等数学教案

定积分的应用

引力在水平方向的分量为

Fx2lG2l2Gmlamdy1

223/222a(ay)4al

作业：P292：3（2），6

三峡大学高等数学课程建设组

第三篇：高等数学教案

-----[xn1 , xn]，AA1A2An，xixixi1(i1 , 2 ,  , n).②在每个小区间[xi1 , xi]上任取一点i，Aif(i)xi，Af(i)xi.i1n③max{x1 , x2 ,  , xn}.Alimf(i)xi.0i

1-----高等数学教案-----

n2.变速直线运动的路程: 设速度vv(t)是时间间隔[T1 , T2]上t的连续函数，路程记为s.①把区间[T1 , T2]分成n个小区间:，…，[t0 , t1] [tn1 , tn]，[t1 , t2]，ss1s2sn，tititi1(i1 , 2 ,  , n).②在每个小区间[ti1 , ti]上任取一点i，siv(i)ti，-----高等数学教案-----sv(i)ti.i1n③max{t1 , t2 ,  , tn}.slimv(i)ti.0i1n3.定积分定义: 设yf(x)在[a , b]上有界.①把区间[a , b]分成n个小区间:，[x1 , x2]，…，[x0 , x1]

[xn1 , xn]，-----高等数学教案-----xixixi1(i1 , 2 ,  , n).②在每个小区间[xi1 , xi]上任取一点i，f(i)xi.i1n③max{x1 , x2 ,  , xn}.如果

limf(i)xi

0i1n存在，且此极限不依赖于对区间[a , b]的分法和在[xi1 , xi]上

-----高等数学教案-----

则称此极限为f(x)i点的取法，在[a , b]上的定积分，记为

f(i)xi.af(x)dxlim0bi1n注意：定积分 af(x)dx只与被积函数f(x)﹑积分区间[a , b]有关，而与积分变量用什么字母表示无关，即

b af(x)dx af(t)dt af(u)du b b b.4.(必要条件).如果f(x , y)在D上可积，则f(x , y)在D上

-----高等数学教案-----有界.5.(充分条件): ①如果f(x)在[a , b]上连续，则f(x)在[a , b]上可积.②如果f(x)在[a , b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a , b]上可积.6.定积分的几何意义：

①如果f(x)在[a , b]上连续，且f(x)0，则

b af(x)dxs

(S是曲边梯

-----高等数学教案-----形的面积).②.如果f(x)在[a , b]上连续，且f(x)0，则 b af(x)dxs

(S是曲边梯形的面积).③如果f(x)在[a , b]上连续，且f(x)的值有正有负，则 b af(x)dx等于x轴上方的曲边梯形面积减去x轴下方的曲边梯形面积.7.规定:

-----高等数学教案-----

①当ab时， af(x)dx0.ab

②当时，ba af(x)dxbf(x)dx.7.定积分的性质：

①f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx.b b② akf(x)dxk af(x)dx.③ b c b af(x)dx af(x)dx cf(x)dx.④如果在[a , b]上f(x)1，则

b b a1dx adxba.b b b b a a a

-----高等数学教案-----⑤如果在[a , b]上f(x)0，则

b af(x)dx0.如果在[a , b]上f(x)g(x)，则

b b af(x)dx ag(x)dx， af(x)dx af(x)dx.b b⑥设mf(x)M，则

bm(ba) af(x)dxM(b.⑦(积分中值定理)如果f(x)

-----高等数学教案-----在[a , b]上连续，则在[a , b]上至少存在一点，使得

b af(x)dxf()(ba).证:由于f(x)在[a , b]上连续，所以存在最大值M和最小值m，使得

mf(x)M，bm(ba) af(x)dxM(ba)，f(x)dx amM，ba

-----高等数学教案-----

b故在[a , b]上至少存在一点，使得

b af(x)dxf()ba即

b af(x)dxf()(ba).b1称为在f(x)dxf(x) aba[a , b]上的平均值.P23511.证: 对任意实数，有 12 0[f(x)]dx0，1 1222 0f(x)dx 0f(x)dx0

-----高等数学教案-----，所以

124 0f(x)dx4 0f(x)dx0，即

 0f(x)dx 0f(x)dx.练习1.设f(x)在[a , b]上连续，且f(x)0，证明: 12 121 af(x)dx af(x)dx(ba)b b.§5.2微积分基本公式

1.积分上限的函数(变上限

-----高等数学教案-----积分): f(x)在[a , b]上连续，称

x(x) af(t)dt x[a , b] 为积分上限的函数.2.如果f(x)在[a , b]上连续，x则(x) af(t)dt可导，且

xd(x)f(t)dtf(x) adx.x例1.求F(x) 0tsintdt的导数.解: F(x)xsinx.-----高等数学教案-----

sintdtsinx 0例2.lim lim2x0x02xx1.2 x例3.tedtlim xxxe2x x2 0t2elimx2tedtx x2 0t2xlimx(12

xlimx1

2-----高等数学教案-----



3. (x)f(t)dt

f[(x)](x)f[(x)](x)(x)1.2.xbd

例4. xaf(t)dt dxf[(xb)]f[(xa)].例

15.( xedt)ee2x xx12xe.lnx2tlnxx22

-----高等数学教案-----例6.设f(x)在[a , b]上连续，且单调增加，证明:

x1 F(x)f(t)dt axa在(a , b]内单调增加.证: 当x(a , b)时，f(x)(xa) af(t)dtF(x) 2(xa)f(x)(xa)f()(xa)2(xa)x

f(x)f()(xa)

-----高等数学教案-----

(ax).由于f(x)在[a , b]上单调增加，而ax，所以

f(x)f()F(x)0，(xa)故F(x)在(a , b]内单调增加.4.微积分基本公式(牛顿—莱布尼茨公式): 如果f(x)在[a , b]上连续，且F(x)是f(x)的一个原函数，则

b af(x)dxF(b)F(a)F(.-----高等数学教案-----

为F(x)、x(x) af(t)dt都是f(x)的原函数，所以(x)F(x)C.由于

(a)F(a)C，a(a) af(t)dt0，得

CF(a)，(x)F(x)F(a)，(b)F(b)F(a)，b即

(b) af(x)dx

F(b)F(a)

F(x).ba

-----高等数学教案-----证: 因

1

1例7. 2dxlnx2

xln1ln2 ln2.1

例 2 1 28. 01xdx 0(1x)dx 1(x1)dx

221xx(x)0(x)22

1.例9.设

x , x[0 , 1), f(x)x , x[1 , 2] ，-----高等数学教案-----2求(x) 0f(t)dt在[0 , 2]上的表达式.x解(x) x2 0tdt , x[0 , 1) 12dt x 0t 1tdt , x[1 ,x3 , 31312(x21), x3 , 31-----高等数学教案 6 ,-----

:

2] x[0 ,x[1 , 2x[0 , x[1 , 2

例10.求

x f(x)0tdt 在( , )上的表达式.0tdt , x0解: f(x)x

tdt , x002x , x02 2x , x0.2x§5.3 定积分的换元法和分部积分法

-----高等数学教案-----1.定积分的换元法:

b af(x)dx x(t)f[(t)]（其中f(x)连续，(t)有连续的导数，a()，b()，.例1. 0 4x2dx 2x11t232 32t12 x  1 tdt 2t 321 1(t3)dt 2331t(3t)1

3-----高等数学教案-----例 例

223.2. 1dx 34 1x1 x(t22t) 1(2t2)12 t2 1121 (1t)dt 2(tlnt)112

12ln2.3.2 111x 2 x2dx xsint  cost 24

-----高等数学教案-----

sin2tcostdt

2 例

2  cottdt

4 2(csc2 t1)dt

4(cottt)2

414. 5 02sinxcosxdx

 5 02cosxdcosx

(166cosx)20

16.-----高等数学教案-----

4.例5. 0x(2x)dx

12421 0(2x)d(2x)2

25111

[(2x)]0

2531

.102.设f(x)在[a , a]上连续且为偶函数，则

a a af(x)dx2 0f(x)dx.证: a 0 a af(x)dx af(x)dx 0f(x)dx.12

4-----高等数学教案----- af(x)dx xt  af(t)( 0 0

 af(t)dt  0f(t)dt  0f(x)dx.a a 0所

以

a a a af(x)dx 0f(x)dx 0f(x)dx

2 0f(x)dx.a3.设f(x)在[a , a]上连续且

a为奇函数，则

 af(x)dx0.xsinxdx.例6.求 242x3x1 2

-----高等数学教案-----

32xsinx解: 由于f(x)42x3x132是 2奇3函2数，所以

xsinxdx0. 242x3x1例7.求 1sinx(arctanx).dx 121x解: 原式1sinx 1(arctanx). 1dxdx22 11x1xsinx由于f(x)2是奇函数，1x

-----高等数学教案-----以(arctanx)是偶函数，所g(x)21x(arctanx)原式02 0 dx21x 122 0(arctanx)d(arctanx)122

312[(arctanx)]0

332()3496例8.设f(x)在[0 , a]上连续，-----高等数学教案-----.3证明:  0f(x)dx 0f(ax)dx.a a证 0f(x)dx 0 xat  af(at)(dt)a:

 af(at)dt  0f(at)dt  0f(ax)dx.a 0 a

例9.若f(x)在[0 , 1]上连续，证明: f(sinx)dx

-----高等数学教案-----2 0f(cosx)dx.2 0 证: f(sinx)dx

 xt 2 2 0f(cost)(d 2 0

f(cost)dt

2 0f(cosx)dx.2 0

例10.若f(x)在[0 , 1]上连续，证明:  0xf(sinx)dx .f(sinx)dx 02 

-----高等数学教案-----证:  0xf(sinx)dx

0 xt  (t)f(sint)

 0(t)f(sint)dt  0f(sint)dt 0tf(sint)dt

 0f(sinx)dx 0xf(sinx)dx.    解 0 得

.f(sinx)dx 02例11.若f(x)为连续函数，xf(sinx)dx

-----高等数学教案-----且ef(xt)dtxe，求f(x)的表达式.xt证:  0ef(xt)dt xt 0x txu  xe 0xuf(u)(du)

eef(u)du x xue 0ef(u)du.ux 0 x所以eef(u)duxe，得

xu 0ef(u)dux.将上式两边对x求导数，得

x ef(x)1，x x 0ux

-----高等数学教案-----即

f(x)e.4.定积分的分部积分法:

x

 auvdx(uv) auvdx.bba b

例12. 1lnxdx(xlnx) 1dx

55ln5x1 55155ln54.例13. 0xedx(xe) 0edx

x1ee0 1xx10 1x1.例14.若f(x)是以T为周期的连续函数，证明:

-----高等数学教案----- af(x)dx 0f(x)dx 其中a为常数.aT T证:  a 0 aTf(x)dx

T aT af(x)dx 0f(x)dx T aT Tf(x)dx

af(x)dx

xuT  0f(uT)du  0f(u)du  0f(x)dx  af(x)dx.0 a a所以

 a aT 0f(x)dx

T 0 af(x)dx 0f(x)dx af(x)dx

-----高等数学教案----- 0f(x)dx.T例15.设f(x)在( , )上连续，证明: 1lim[f(xh)f(x)]dxf(b)f(a)

bh0h a证: 设f(x)的一个原函数为F(x)，则

b1lima [f(xh)f(x)]dx h0h[F(xh)F(x)]lim h0hF(bh)F(b)limh0hF(ah)F(a)limh0h

-----高等数学教案-----

baF(b)F(a)f(b)f(a).§5.4 反常积分 1.无穷限的反常积分: ①设f(x)在[a , )上连续，存在，f(x)dxta，如果tlim a则称反常义积分 af(x)dx收敛，且

t

 af(x)dxtlim.f(x)dx a t否则称反常积分 af(x)dx发散.

-----高等数学教案-----②设f(x)在( , b]上连续，tb，如果limtf(x)dx存在，tb则称反常义积分f(x)dx收敛，且

b

f(x)dxtlim.f(x)dxtb b否则称反常积分f(x)dx发散.③设f(x)在( , )上连 0 续，如果 f(x)dx与 0f(x)dx都收敛，则称反常积分  f(x)dx收敛，且

b

-----高等数学教案----- f(x)dx  f(x)dx 0f(x)dx.0 否则称反常积分 f(x)dx发散.2.引入记号:

F()limF(x)，xF()limF(x).x若在[a , )上F(x)f(x)，则当F()存在时， af(x)dxF()F(a)

[F(x)].a

-----高等数学教案-----若在( , b]上F(x)f(x)，则当F()存在时，bf(x)dxF(b)F()

[F(x)].b若在上( , )F(x)f(x)，则当F()与F()都存在时，f(x)dxF()F()

[F(x)].例1.判断反常积分

x 0xedx

2-----高等数学教案-----是否收敛，若收敛求其值.x1解: 原式(e)0 2x11

xlim(e) 221 .2

例2.判断反常积分

1 cosxdx

22的敛散性.解: 原式(sinx)

1sin(1)limsinx.xsinx不存在，由于xlim所以反

-----高等数学教案-----常积分 cosxdx发散.例3.讨论反常积分 1 1 1xdx.解: 1 1xdx (lnx)1 , (111x)1

-----高等数学教案-----

1 1的敛散性 ,  , 1 , 1 11 , 1 1 1xdx，当1时发散.例4.判断反常积分

 1 1x2dx.解:  1 1x2dx

-----高等数学教案-----

1所以反常积分时收敛，当 的敛散性 (arctanx)0(arctanx)0



22. 1 

例5.判断反常积分

1dx

2xx 的敛散性.1dx解:  1 2xx 11 1()dx x1x[lnxln(1x)]1

-----高等数学教案-----

x[ln]1 1xx1limlnln x1x2ln2.3.如果f(x)在点a的任一邻域内都无界，那么称点a为f(x)的瑕点.4.无界函数的反常积分(瑕积分): ①设f(x)在(a , b]上连续，点a为f(x)的瑕点，ta.如果limtf(x)dx存在，则称反常积ta

-----高等数学教案-----b分 af(x)dx收敛，且 b

 af(x)dxlimtf(x)dx.b bt a否则称反常积分 af(x)dx发散.②设f(x)在[a , b)上连续，点b为f(x)的瑕点，tb.如果

blimaf(x)dx存在，则称反常积tbt分 af(x)dx收敛，且 b

 af(x)dxlimaf(x)dx.btt b否则称反常积分 af(x)dx发散.③设f(x)在[a , b]上除点c(acb)外连续，点c为f(x)的 b

-----高等数学教案-----瑕点.如果两个反常积分

b c af(x)dx、 cf(x)dx都收敛，则

b称反常积分 af(x)dx收敛，且 b c b af(x)dx af(x)dx cf(x)dx.b否则称反常积分 af(x)dx发散.5.引入记号: ①设F(x)为f(x)在(a , b]上的一个原函数，a为f(x)的瑕点，则

b af(x)dxF(b)limF(x)

xa[F(x)].ba

-----高等数学教案-----②设F(x)为f(x)在[a , b)上的一个原函数，b为f(x)的瑕点，则

b af(x)dxlimF(x)F(a)

xb[F(x)].ba

例6.判断反常积分 0lnxdx的敛散性.1解: 0lnxdx(xlnx)0dx 11010lim(xlnx)x

x 0101.-----高等数学教案-----

1例7.讨论反常积分 0dxx 1的敛散性.解:  11 0xdx

(lnx)10 , 1(1111 x)0 , 1

0limx 0lnx , 1lim 0(11x11x)

-----高等数学教案-----

1 1 , 1 , 11 , 1  , 1 11所以反常积分 0dx，当1x时收敛，当1时发散.11

例8.判断反常积分 12dxx的敛散性.1解:  12dx x 01 11 12dx 02dx

xx 1

-----高等数学教案-----

第四篇：高等数学教案12

-----

3.余项rnssnun1un2.aqaaqaqaqn2n1: 例1.判断等比级数(几何级数)n0

(a0)的敛散性.aaq解:①q1时，sn，1qna，收敛，和为limsnaqn1qn0a.1q

-----高等数学教案-----

naaq②q1时，sn，1qlimsn，aq发散； nnn0nsn，③q1时，snna，limnn0aq发散.n④q1时，0 , n为偶数limsn不存在，sn，na , n为奇数n0aq发散.nn1例2判断级数ln是否收nn1

-----高等数学教案-----敛，若收敛求其和.解: sn(ln2ln1)(ln3ln2)

[ln(n1)lnn] ln(n1).P②.3225sn，所以原级数发散.由于limnsn11111(1)()23235111()22n12n111(1).22n1

-----高等数学教案-----

1sn，所以原级数收敛 由于limn24.收敛级数的性质: ①如果un收敛和为s，则kunn1n1也收敛，其和为ks；若un发散，n1则kun(k0)也发散.n1②如果un、vn均收敛，其和n1n1n1，分别为s、则(unvn)也收敛，其和为s.-----高等数学教案-----

③在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性.④如果un收敛，则对这级数n1的项任意加括号后所成的级数(u1un)(un1un)

(un1un) 112k1k也收敛，且其和不变.如果一个级数发散，则加括号后所成的级数可能收敛，也可能发散.如果一个正项级数发散，则加

-----高等数学教案-----括号后所成的级数一定发散.⑤级数收敛的必要条件: 若n1un0.un收敛，则limn例3证明调和级数 1111 23n是发散的.证: 假设调和级数收敛，部分

sns.和为sn，和为s，则limnim(s2nsn)ss0.一方面，ln另一方面，-----高等数学教案-----

111s2nsn n1n22n111 2n2n2n1，2(s2nsn)0，矛盾，故调所以limn和级数发散.1P②.由于调和级数发散，n1n1所以也发散.n13n14P225⑤.由于级数n是公比为

n124225

-----高等数学教案-----11q的几何级数，而q1，所2211以n收敛；由于级数n是公比n12n1311为q的几何级数，而q1，331所以n收敛.n1311由于n与n都收敛，所以n12n1311(nn)收敛.n123§12.2 常数项级数的审敛法

-----高等数学教案-----1.正项级数: un(un0).n12.正项级数un的部分和数列

n1sn单调增加.3.正项级数un收敛部分和

n1数列sn有界.4.比较审敛法: 设un、vn都

n1n1是正项级数，且unvn.①若vn收敛，则un收敛；

n1n1

②若un发散，则vn发散.n1n-----高等数学教案-----5.比较审敛法的推论: 设un、n1n1vn都是正项级数.n1

①若vn收敛，且存在自然数N，使当nN时有unkvn(k0)成立，则un收敛.n1

②若un发散，且存在自然数n1N，使当nN时有unkvn(k0)成立，则vn发散.n-----高等数学教案-----例1.判断p级数

1111ppp 23n的敛散性.解: ①当p1时，由于1np而1发散，所以n1n1n1np发散.②当p1时，对于级数

11112p3pnp 加括号后:

-----高等数学教案-----

1n，1111111(pp)(pppp)234567

它的各项均不大于级数

1111111(pp)(pppp224444

111p1p1 24的对应项，而后一个级数是收敛的几何级数，所以级数

-----高等数学教案-----1111111(pp)(pppp)2345671收敛，故正项级数p收敛.n1n1例2.判断级数lnn的敛散性.n121111解: 由于lnnlogn，而nn1n221发散，所以lnn发散.n121例3.判断级数lnn的敛散性.n13111解:由于lnnln3，而ln3n13n1nn1n1pln31，是p级数，所以ln3n1n1收敛，从而lnn收敛.n13-----高等数学教案-----例4.若正项级数an与bn均

n1n1收敛，则下列级数也收敛.①anbn；②(anbn)；③

2n1n1an.n1n证: ①由于an与bn均收敛，n1n1所以(anbn)收敛，而n1anbn2anbn，故anbn收敛.n1②由于

-----高等数学教案-----(anbn)an2anbnbn，而an、2n1n1bn与anbn均收敛，所以n12(anbn)收敛.n11③由于an与2均收敛，所n1n1n11an以(an2)收敛，而an22，n1nnnan故收敛.n1n例5.若an与bn均收敛，且n1n1ancnbn，求证:cn收敛.n-----高等数学教案-----

证:由于an与bn均收敛，所n1n1以(bnan)收敛.n1由于ancnbn，所以

n1bnancnan0，而(bnan)收敛，故(cnan)收敛，而an收敛，从n1n1而cn收敛.n16.比较审敛法的极限形式: 设n1un、vn均是正项级数，n1

-----高等数学教案-----

un0，且vn收敛，则①若limnn1vnun收敛.n1unl(0l)，则vn

②若limnn1vn与un同时收敛和同时发散.n1un，且vn发散，③若limnn1vn则un发散.n11例6.判断级数n的敛散

n1nn

-----高等数学教案-----性.1n1nn解:由于llim，而1n1n1nn1发散，所以n发散.n1nn1n1例7.判断级数ln的敛

n1n2n散性.1lnn1nn1解:由于llim2，而n12n11n1收敛.2收敛，所以lnn1n2nn2n

-----高等数学教案-----例8.判断级数(21)的敛散

nn1性.解: 由于

nn212ln2llimlimln2nn11n，1n而发散，所以(21)发散.n1n1n7.比值审敛法(达朗贝尔判别法): 设un为正项级数，且n1

-----高等数学教案-----un1lim.nun

①若1，则un收敛；

n1

②若1或，则un发

n1散；

③若1，则un可能收敛也

n1可能发散.1例9.判断级数的敛散

n1(n1)!性.-----高等数学教案-----

1n!01解: 由于lim，n1(n1)!1所以收敛.n1(n1)!n!例10.判断级数n的敛散性.n110: 由于(n1)!n1n110limlim，所nn10n!n10n!以n发散.n110

-----高等数学教案-----解8.根值审敛法(柯西判别法): 设un为正项级数，且n1nu.limnn

①若1，则un收敛；

n1

②若1或，则un发

n1散；

③若1，则un可能收敛也

n1可能发散.2n1n例11.判断级数()的n13n1

-----高等数学教案-----敛散性.解: 由于

2n1nn(lim)n3n12n()3n1limnnn3n1，2n1n所以()收敛.n13n110.交错级数: u1u2u3u4，或

u1u2u3u4，其中u1，u2…都是正数.-----高等数学教案-----11.莱不尼兹定理: 如果交错级数(1)un满足条件: n1n1

①unun1；

imun0，②ln则(1)un收敛，其和su1，其余n1n1项的绝对值rnun1.例12.判断级数(1)n1n11的敛

n散性.解: 由于

-----高等数学教案-----11①，即unun1； nn110，即limu0

②lim，nnnnn11所以(1)收敛.n1n12.绝对收敛: 如果un收敛，n1则称un绝对收敛.n1例如，级数(1)n1n11绝对收

2n敛.13.条件收敛: 如果un收敛，n-----高等数学教案-----

而un发散，则称un条件收敛.n1n1例如，级数(1)n1n11条件收敛.nn114.如果任意项级数un的绝对值收敛，则un收敛.n11

证: 令Vn(unun)，21Wn(unun)，则unVn0，2unWn0.由于un收敛，所以Vn、Wnn1n1n-----高等数学教案-----均收敛，故(VnWn)un也收

n1n1敛.15.设un是任意项级数，n1un1nu，如果lim或limnnunn1，un发散，则un发散.n1n1n例13.判别级数(1)是n1n1否收敛，若收敛是条件收敛，还

n1是绝对收敛.-----高等数学教案-----解: 由于lim(1)n以(1)n1n1n1n0，所

n1n发散.n11n例14.判别级数nsin是否

5n12收敛，若收敛是条件收敛，还是绝对收敛.1n11n，解: 由于nsin而n

522n121(是公比为q1的几何级数)21n收敛，所以nsin收敛，故

5n1-----高等数学教案-----1nnsin绝对收敛.5n121例15.判别级数(1)ln(1)nn1是否收敛，若收敛是条件收敛，n还是绝对收敛.11解: 由于ln(1)ln(1)，而

n1n1limln(1)0，所以交错级数nn1n(1)ln(1)收敛.n1n由于

-----高等数学教案-----

1(1)ln(1)1 nlimlimnln(1)nn1nnn1nlimln(1)nn1，11n而 发散，所以(1)ln(1)发n1nn1n1n散，故(1)ln(1)条件收敛.n1n§12.3 幂级数

1.区间I上的函数项级数: u1(x)u2(x)un(x).-----高等数学教案-----对于xx0I，常数项级数

u1(x0)u2(x0)un(x0)

n1收敛，则称x0为un(x)的收敛点.收敛点的全体称为收敛域，发散点的全体称为发散域.2.(xx0)的幂级数: n0an(xx0)na0a1(xx0)a2(xx0)

2nan(xx0)

-----高等数学教案-----3.x的幂级数:

n0anx2nna0a1xa2xanx.4.阿贝尔定理: 如果anx当

nn0则当xx0xx0(x00)时收敛，时anx绝对收敛.反之，如果nn0n0anx当xx0时发散，则当nxx0时anx发散.nn0

5.阿贝尔定理的推论: 如果

-----高等数学教案-----n0anx不是仅在x0一点收敛，n也不是在整个数轴上收敛，则存在R0，使得

①当xR时，幂级数绝对收敛；

②当xR时，幂级数发散；

③当xR与xR时，幂级数可能收敛也可能发散.)为

称R为收敛半径，称(R , R)、收敛区间，收敛域是(R , R[R , R)、(R , R]或[R , R]这四

-----高等数学教案-----个区间之一(由xR处的收敛性决定).规定幂级数仅在x0处收敛时R0，幂级数对一切x都收敛时R.6.对于幂级数anx，如果

nn0an1lim，则 nan

-----高等数学教案-----

1 , 0且R , 0 ,0 , .

(1)x例1.求的收敛域.n1nn(1)n11解: 由于lim，所n1n(1)n1以R1.n1n

-----高等数学教案-----

(1)x1当x1时，()nnn1n1发散.(1)n1xn(1)n1当x1时，nnn1n1(1)n1xn条件收敛.因此，的收

nn1敛域为(1 , 1].n1例2.求2(3x)的收敛域.n01nnnn13解: 2(3x) 2x.n01nn01nn1n

-----高等数学教案-----

321(n1)lim3nn321nn1，1R.31当时，x3(1)nn1(3x) 绝对收敛.22n01nn01n1当时，x3n112(3x) 2收敛.n01nn01nn1因此，的收敛域为(3x)2n01n

-----高等数学教案-----11[ , ].33(1)n例3.求2(x3)的收敛n1nn域.解: 令x3t，则

(1)(1)nn2(x3) 2t.n1nn1n(1)nn对于，2tn1nn1(1)2(n1)lim1R1，.nn(1)2n

-----高等数学教案-----

nn(1)n1当t1时，2t2收n1nn1nn敛.(1)n(1)2t2绝当t1时，n1nn1nn(1)n对收敛.因此，2t的收敛

n1nn(1)n区间为[1 , 1]，故2(x3)n1n的收敛域为[2 , 4].2n11例4.求nx 的收敛域.n03nn

-----高等数学教案-----

1x2(n1)1n1213x解: lim.n1x2n13n321令x1，得3x3，收3敛半径为R3.发散.散.2n11当x3时，nx 3n03n02n11当x3时，nx 3发n03n02n11因此，nx 的收敛域为n03(3 , 3).

-----高等数学教案-----7.幂级数的运算: s(x)anxn0nn0n和(x)bnx的收敛半径分别为R和R，则

n0anxnnn0bnxnn0(anbn)xs(x)(x)的收敛半径为RminR , R.8.幂级数的性质:

①anx的和函数s(x)在其收nn0敛域I上连续.-----高等数学教案-----

②anx的和函数s(x)在其收nn0敛域I上可积，并有逐项积分公式

0s(x)dx0anxdxn0xxn0anxdx nn0xann1x(xIn0n1，ann1nx与anx的收敛半径相n0n0n1同.

-----高等数学教案-----③anx的和函数s(x)在其收nn0敛区间(R , R)内可导，并有逐项求导公式

nns(x)anx(anx)

n0n0 nanx(xR)，n1n1n1nanxn1与anx的收敛半径相

nn0同.n1例5.求x的和函数.n1n

-----高等数学教案-----

1n1R1.1解: lim，n1nn1n1当x1时，x(1)收nn1n1n敛.n11当x1时，x发散.因

n1nn1nn1此，x的收敛域为[1 , 1).n1nn1令s(x)x(1x1)，则 n1nnn11s(x)x(x)n1nn1n

-----高等数学教案-----x n1n11(1x1).1xs(x) x 0s(x)dxs(0)

x10dx0 1ln(1xx)(1x1).例6.求1xn1在其收敛n1n1 , 1)上的和函数.解1xn1x1xnx[ln(1x)] n1nn1n

-----高等数学教案-----

: 域[ xln(1x)x[1 , 1).例7.求(n1)x在其收敛域

nn1(1 , 1)上的和函数.解: 令s(x)(n1)x，则

nn10s(x)dx0(n1)xdx

nn1xxx

n1n1x 1x(1x1).-----高等数学教案-----

2s(x)[ 0s(x)dx]

xx() 1x22xx2(1x)(1x1).2例8.求nx在其收敛域(1 , 1)nn1上的和函数.解: nxnxxx

nnnnn1n1n1nn1n(n1)xx

n1n1

-----高等数学教案-----

2xxx 2(1x)1xx

.(1 , 1)2(1x)2例9.求(n2)x在其收敛区

nn1间(1 , 1)上的和函数.解n1:

nn12(n2)x(n1)xx nnn12xx2(1x)x 1x

-----高等数学教案-----

3x2x2(1x)2

(1 , 1).§12.4 函数展开成幂级数

1.设f(x)在x0的某一邻域U(x0)内具有各阶导数，幂级数

(x0)f2f(x0)f(x0)(xx0)(xx0)

2!f(x0)n(xx0)

n!称为f(x)的泰勒级数.(n)

如果泰勒级数收敛于f(x)，则

-----高等数学教案-----

第五篇：大学 高等数学 竞赛训练 微分方程

大学生数学竞赛训练五—微分方程

一、（15分）设函数在上可导，且，对任给的满足等式

1）求导数；

2）证明：当时，成立不等式：。

解：1）设，则有

当时有

两边关于求导得

解微分方程得

由条件可得，因此

2）当时，所以此时有；

又因为，当时，所以此时有，因此当时，有

二、（15分）设微分方程的两个解满足求此微分方程的通解。

解：1）如果为常数，则有

因为，所以，由此可得，此时方程变为

令，则有

2）如果不是常数，则有，代入原方程可得

（1）

（2）

由（1）、（2）可得

令，则有，解得，因为它们是线性无关的，所求通解为

三、（15分）有一个攀岩爱好者要攀登一个表面为的山岩，在攀岩时他总是沿着最陡峭的路线攀登，他的出发点在山下的一点处，求他攀登的路线方程。

解：设所求曲线在面上的投影为，则其切向量与函数的梯度平行，因此有

此为一阶齐次方程，解得，由可得，再由题意得到

所求曲线方程为。

四、（15分）求方程的通解。

解：设，则有，原方程化为

解得

五、(15分)设，求在上的连续函数使得其在上满足方程

及初值条件。

解：解方程得

当时，当时，由的连续性可得，又因为可得，所求函数为。

六、（15分）已知二元函数有二阶连续的偏导数，并且满足

证明：。

证明：因为二元函数有二阶连续的偏导数，所以

由此可得。

七、