高等数学教案ch 8.2 偏导数

第一篇：高等数学教案ch 8.2 偏导数

§82

偏导数

一、偏导数的定义及其计算法

对于二元函数zf(x y) 如果只有自变量x 变化 而自变量y固定 这时它就是x的一元函数 这函数对x的导数 就称为二元函数zf(x y)对于x的偏导数

定义

设函数zf(x y)在点(x0 y0)的某一邻域内有定义 当y固定在y0而x在x0处有增量x时 相应地函数有增量

f(x0x y0)f(x0 y0)

如果极限

limx0f(x0x,y0)f(x0,y0)x

存在 则称此极限为函数zf(x y)在点(x0 y0)处对x的偏导数 记作

zxxx0yy0

fxxx0yy0 zxxx0yy0 或fx(x0,y0)

例如：

fx(x0,y0)limf(x0x,y0)f(x0,y0)xx0

类似地 函数zf(x y)在点(x0 y0)处对y 的偏导数定义为

limy0f(x0,y0y)f(x0,y0)y

记作 zyxx0yy0 fyxx0yy0 zyxx0yy0 或fy(x0 y0)

偏导函数

如果函数zf(x y)在区域D内每一点(x y)处对x的偏导数都存在 那么这个偏导数就是x、y的函数 它就称为函数zf(x y)对自变量x的偏导函数 记作

zx

fx zx 或fx(x,y)

偏导函数的定义式 fx(x,y)limx0f(xx,y)f(x,y)

x

类似地 可定义函数zf(x y)对y的偏导函数 记为

zy fy zy  或fy(x,y)

偏导函数的定义式 fy(x,y)lim求fxy0f(x,yy)f(x,y)y

fy时 只要把y暂时看作常量而对x求导数 求时 只要把x暂时看作常量而对y求导数

讨论 下列求偏导数的方法是否正确？

fx(x0,y0)fx(x,y)xx0 fy(x0,y0)fy(x,y)xx0 yy0yy0

fx(x0,y0)[df(x,y0)]xx fy(x0,y0)[df(x0,y)]yy

dx0dy0

偏导数的概念还可推广到二元以上的函数例如三元函数uf(x y z)在点(x y z)处对x的偏导数定义为

fx(x,y,z)limx0f(xx,y,z)f(x,y,z)

x其中(x y z)是函数uf(x y z)的定义域的内点 它们的求法也仍旧是一元函数的微分法问题

例1 求zx23xyy2在点(1 2)处的偏导数

zz3x2y

解 z2x3y

xyxx121328 y2zyx1y231227

例2 求zx2sin 2y的偏导数

z2x2cos2y

解 z2xsin2y

xy 例3 设zxy(x0,x1) 求证

zxylnx

证 zyxy1

xz1z2zyxlnxy

xy

xz1zxyxyxlnxyyy11xylnxxyxy2zlnx

例4 求rx2y2z2的偏导数

解 rxxxyz222xr ryyxyz222yr

例5 已知理想气体的状态方程为pV=RT(R为常数) 

求证 pVT1

VTppRT 证 因为pRT 2 VVV

VRT VR

pTp

T所以pV TV

pRRpVTRTRVRT21

VTppRpVV

例5 说明的问题 偏导数的记号是一个整体记号 不能看作分子分母之商

二元函数zf(x y)在点(x0 y0)的偏导数的几何意义 

fx(x0 y0)[f(x y0)]x是截线zf(x y0)在点M0处切线Tx对x轴的斜率

fy(x0 y0)[f(x0 y)]y是截线zf(x0 y)在点M0处切线Ty对y轴的斜率

偏导数与连续性 对于多元函数来说 即使各偏导数在某点都存在 也不能保证函数在该点连续 例如

xy22 x y0 f(x,y)xy2

2 200 x  y在点(0 0)有 fx(0 0)0 fy(0 0)0 但函数在点(0 0)并不连续

提示

f(x, 0)0 f(0, y)0

d

fx(0, 0)d[f(x, 0)]0 fy(0, 0)[f(0, y)]0

dxdy

当点P(x y)沿x轴趋于点(0 0)时 有

lim(x,y)(0,0)f(x,y)limf(x, 0)lim00

x0x0

当点P(x y)沿直线ykx趋于点(0 0)时 有

lim(x,y)(0,0)ykxkx2klim22222x0xkxxy1k2xy 

因此 lim(x,y)(0,0)f(x,y)不存在 故函数f(x y)在(0 0)处不连续

类似地 可定义函数zf(x y)对y的偏导函数 记为

f

z  zy  或fy(x,y)

yy偏导函数的定义式 fy(x,y)lim

二

高阶偏导数

y0f(x,yy)f(x,y)y

设函数zf(x y)在区域D内具有偏导数

zfx(x,y) x

zfy(x,y) y

那么在D内fx(x y)、fy(x y)都是x y 的函数 如果这两个函数的偏导数也存在 则称它们是函数zf(x y)的二偏导数 按照对变量求导次序的为同有下列四个二阶偏导数

如果函数zf(x y)在区域D内的偏导数fx(x y)、fy(x y)也具有偏导数

则它们的偏导数称为函数zf(x y)的二阶偏导数 按照对变量求导次序的 不同有下列四个二阶偏导数

z2zz2z()fxy(x,y)()2fxx(x,y)

yxxyxxx

z2zz2z()fyx(x,y)

()2fyy(x,y)

xyyxyyy

z2zz2zfxy(x,y)()fyx(x,y)称为混合偏导数 其中()yxxyxyyxz2z()2xxx2z2zz2z()()   (z)z

2yxxyxyyxyyy 同样可得三阶、四阶、以及n 阶偏导数  二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数

例6 设zxy3xyxy1 32

32z求2x3z、3x2z2z、和

yxxy

解 z3x2y23y3y z2x3y9xy2x

xy23z2

z 6xy6y2

32xx2z2z22

6xy9y1 6x2y9y21 xyyx

2z2z由例6观察到的问题

yxxy2z2z

定理 如果函数zf(x y)的两个二阶混合偏导数及在区域D内连续

yxxy那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等

类似地可定义二元以上函数的高阶偏导数

22z 例7 验证函数zlnx2y2满足方程z0

22xy 证 因为zlnx2y21ln(x2y2) 所以

zxxx2y2 zyyxy22

22y2x22z(xy)x2x2x2(x2y2)2(xy2)2

22x2y22z(xy)y2y2y2(x2y2)2(xy2)2

x2y2y2x22z2z因此 222222220

xy(xy)(xy)

例8．证明函数u1r2u2u2u满足方程2220

xyz 其中rx2y2z2

证 u12r12xx3

xrxrrr

同理

2u13xr13x23435x2rrxrr

2u13y523yrr2213z2 u5

23zrr22u2u2u13x213y13z2因此222(35)(35)(35)xyzrrrrrr22233(xyz)33r23350rr5rr



2x提示 u()23xxrr3x3r(r)r3x3r2xx

66rr

第二篇：高等数学偏导数第三节题库

【090301】【计算题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】求函数zarctan【试题答案及评分标准】

xy的全微分。1xyzarctanxyarctanxarctany

1xyz1,x1x2dzz1 y1y2

（8分）

11dxdy

221x1y

（10分）

或dz1xy1xy

2(1xy)(dxdy)(xy)(ydxxdy)2(1xy)

（8分）（10分）

11dxdy

221x1y【090302】【计算题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】求函数zln(xye)的全微分。【试题答案及评分标准】

22xyz2xyexy,xx2y2exydzz2yxexy yx2y2exy

（8分）

1(2xyexy)dx(2yxexy)dy 22xyxye（10分）

【090303】【计算题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】求函数ux【试题答案及评分标准】

yz的全微分。

lnuyzlnx

zu1uyzyzxy1

xx

（2分）（5分）zuzyz1xylnx y uzyzyxlnxlny

z

z

z（8分）

duyzxy z1dxzyz1xylnxdyyzxylnxlnydz

（10分）

【090304】【计算题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】设uarccosx，求du。

x2y2【试题答案及评分标准】

ux2y21x2yxyx2y2(x2y2)3/2x2y2ux2y2yxyxsgnyy(x2y2)3/2x2y2

dusgnyx2y2(ydxxdy)

【090305】【计算题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】设uarcsinxu。

x2y2，求d【试题答案及评分标准】

2ux2yy1x2yxx2y2(x2y2)3/2x2y2 ux2y2yxyxsgnyy(x2y2)3/2x2y2

dusgnyx2y2(ydxxdy)

【090306】【计算题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】求函数uxyyzzx的全微分。【试题答案及评分标准】

uxyxy1yzzxxyyzzxlnzxyyzzx(yxlnz)

uxyyzzxlnxxyzyzyz1zxxyyzzx(ylnx)

4分）8分）10分）4分）8分）10分）3分）6分）（（

（

（（

（

（（uxxyyzzxlnyxyyzxzx1xyyzzx(lny)

zz（9分）

yzx duxyyzzx(lnz)dx(lnx)dy(lny)dz（10分）

yzx【090307】【计算题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】设uarccos【试题答案及评分标准】

yz，求du。xux1yz1x1yz1x22yzyz 222x2xxyzxzz

222xxxyz

（3分）

uy

（6分）

xyu

222zxxyz

（9分）

duyzxzxydydz

dx222xxxyzx1（10分）

【090308】【填空题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】设f(x,y)【试题答案及评分标准】

x2y2，则df= ———。

（10分）

xdxydyxy22【090309】【填空题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】设zxyxe，则dz= ———。

【试题答案及评分标准】(3xy2x)dx(2xye)dy

10分 【090310】【填空题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】设z(1x)，则dz= ———。【试题答案及评分标准】y(1x)y1y223y322ydx(1x)yln(1x)dy 10分

【090311】【填空题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】

x【试题内容】设u(x,y,z)，则du(1,2,3)= ———。

yz【试题答案及评分标准】

331dxdyln2dz（10分）8168【090312】【填空题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】设f(x,y,z)ln(xyz)，则df(1,2,0)= ———。【试题答案及评分标准】dx11dydz（10分）22x2y2)，则du= ———。【090313】【填空题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】设u(x,y)ln(x【试题答案及评分标准】

1xy22(dxyxxy22dy)10分

【090314】【填空题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】设zxyexy，则dz= ———。

xy【试题答案及评分标准】ey(1x)dxx(1y)dy

（10分）

【090315】【填空题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】设u(x,y)xy，则du= ———。xy2(ydxxdy)（10分）

(xy)2【试题答案及评分标准】【090316】【填空题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】设ucosh(xy)cos(xy)，则du= ———。【试题答案及评分标准】sinh(xy)sin(xy)(ydxxdy)【090317】【填空题】【较易0.3】全微分】【全微分的定义】 【试题内容】设uln(xy)tanh(xy)，则du= ———。

（10分）

【试题答案及评分标准】1111dxdy（10分）22xcosh(xy)ycosh(xy)【090318】【填空题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】设zexycosexy，则dz= ———。

xyxy【试题答案及评分标准】e(1sine)(ydxxdy)

（10分）

【090319】【讨论题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】

x2y【试题内容】研究函数z(x,y)x4y20是否存在？

【试题答案及评分标准】

x4y20x4y20在点（0，0）处的全微分

zx(0,0)limx0f(x,0)f(0,0)0

x

（3分）zy(0,0)limy0f(0,y)f(0,0)0

yzzxzdx(0,0)y(x)2y(0,0)dy42(x)(y)(x)2(y)2

（5分）

(x)2ylimx0(x)4(y)2y0取xy，上式=limx0(x)(x)34(x)22x10 2

故函数z(x,y)在点（0，0）处不可微。

函数在（0，0）点全微分不存在。

（10分）【090320】【讨论题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】讨论：函数f(x,y)x2y2在点（0，0）处是否可微？

xf(x,0)f(0,0)lim【试题答案及评分标准】lim不存在

x0x0xx（5分）

fx(0,0)不存在，故函数f(x,y)x2y2在点（0，0）处不可微。

（10分）

【090321】【讨论题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】

【试题内容】设f(x,y)xsinxy，试研究（0，0）处的全微分是否存在？

【试题答案及评分标准】因lim

x0

xx

不存在，即fx(0,0)不存在

10分

8分

故f(x,y)在（0，0）全微分不存在。

【090322】【讨论题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】【偏导数】

122xysin,22【试题内容】讨论函数f(x,y)xy0处的连续性，可导性和可微性。

【试题答案及评分标准】

x2y20x2y20在点（0，0）limf(x,y)limx2y2sinx0y0x0y010f(0,0)

x2y2

（3分）f(x,y)在点（0，0）连续

x0limxf(0x,0)f(0,0)1 limsin2x0xxx()

（7分）极限不存在，f(x,y)在（0，0）处不可导

从而在（0，0）处不可微。

（10分）

【090323】【讨论题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】【偏导数】

xy,2【试题内容】函数f(x,y)xy20否存在？在点（0，0）是否可微？为什么？

【试题答案及评分标准】

x2y20x2y20在点（0，0）的两个偏导数是fx(0,0)limx0f(x,0)f(0,0)00lim0 x0xx（5分）fy(0,0)0，故f在（0，0）的两个偏导数存在。

因limf(x,y)yxx01f(0,0)，故f在（0，0）点不连续，从而不可2微。

（10分）【090324】【讨论题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】【偏导数】 【试题内容】已知(x)可微，求A(x)使d{sin[x(x)]}A(x)dx。【试题答案及评分标准】记ux(x),tsinusin(x(x))

（3分）（5分）（8分）d[sin(x(x))](t)dt (t)cosudu

(t)cos[x(x)][(x)x(x)]dx

所以 A(x)(t)[(x)x(x)]cos[x(x)]

（10分）

【090325】【证明题】【较难0.7】【全微分】【全微分的定义】【偏导数】

xy【试题内容】试证：f(x,y)x2y20在，但是不可微。

【试题答案及评分标准】lim同理，fy(0,0)0

x0(x,y)(0,0)(x,y)(0,0)在点（0，0）处偏导数存

f(x,0)f(0,0)0fx(0,0)

x

（4分）

记zfx(0,0)xfy(0,0)yz 则

limzxylimlim不存在（8分）x0x0(x)2(y)2220(x)(y)y0y0f(x,y)在（0，0）处不可微。

（10分）

【090326】【证明题】【较难0.7】【全微分】【全微分的定义】【偏导数】

122(xy)sin【试题内容】试证：函数f(x,y)x2y20处可微。

【试题答案及评分标准】

x2y20x2y20在点（0，0）fx(0,0)limx0f(x,0)f(0,0)1limxsin0（2分）2x0x(x)fy(0,0)limy0f(0,y)f(0,0)1limysin0（4分）y0y(y)2ffx(0,0)xfy(0,0)y(x)(y)22(x)2(y)2sin1(x)2(y)2(x)2(y)2(x)2(y)20

x0y0

（8分）

f(x,y)在点（0，0）处可微。

（10分）

【090327】【证明题】【较难0.7】【全微分】【全微分的定义】【偏导数】

x3y3【试题内容】试证：f(x,y)x2y20在，但不可微。

【试题答案及评分标准】

(x,y)(0,0)(x,y)(0,0)在原点（0，0）处偏导数存f(x,0)f(0,0)(x)3limlim1fx(0,0)3x0x0x(x)同理，fy(0,0)1

分）

（4f(x,y)在（0，0）偏导数存在。

limx0y0ffx(0,0)xfy(0,0)y2(x)(y)21/2limxy(xy)x0y0(x)2(y)23/2（6分）

(x)3k(1k)k(1k)lim，故二重极限不存在 23/2x0(x)3(1k2)3/2(1k)ykx（8分）

f(x,y)在（0，0）处不可微。

（10分）

【090328】【证明题】【较难0.7】【全微分】【全微分的定义】【偏导数】

122xysin【试题内容】试证：f(x,y)x2y20x2y20x2y20的偏导数fx(x,y)及fy(x,y)在点（0，0）的邻域内存在，但它们在（0，0）处均不连续。【试题答案及评分标准】

x0limf(x,0)f(0,0)1lim(x)sin0fx(0,0)2x0x(x)当(x,y)(0,0)时，（3分）

fx(x,y)2xsin12x1cos 222222xyxyxy（5分）

又

121lim2xsincos不存在(x,y)(0,0)x2xx2y0故fx(x,y)在（0，0）处不连续

（8分）（10分）同理可证：fy(x,y)在（0，0）处不连续

【090329】【证明题】【较难0.7】【全微分】【全微分的定义】【偏导数】 【试题内容】证明：zxy在（0，0）处连续，偏导数存在，但不可微。

【试题答案及评分标准】由0xyx2y2，得 2limf(x,y)limxy0f(0,0),f(x,y)在（0，0）处连续。

x0x0y0y0

x0

（3分）

limf(x,0)f(0,0)0fx(0,0)

x（5分）同理，fy(0,0)0,f(x,y)在（0，0）处偏导数存在

limx0y0zfx(0,0)xfy(0,0)y(x)(y)

22lim

xy(x)(y)

22x0y0，不存在

（8分）

f(x,y)在（0，0）处不可微。

（10分）

【090330】【证明题】【较难0.7】【全微分】【全微分的定义】【偏导数】

yxsin(4arctan)【试题内容】证明：f(x,y)x0但不可微。

x0x0在点（0，0）处偏导数存在，f(x,0)f(0,0)0fx(0,0)x0x【试题答案及评分标准】

f(0,y)f(0,0)lim0fy(0,0)y0ylimf(x,y)在（0，0）处偏导数存在。

（4分）

（6分）ffx(0,0)xfy(0,0)yxsin(4arctany)

xxsin(4arctanx0y0limy)xlimxsin(4arctank)

x02(x)2(y)2x1kykx，故二重极限不存在

（8分）sin(4arctank)1k2f(x,y)在（0，0）处不可微。

（10分）

【090331】【证明题】【较难0.7】【全微分】【全微分的定义】【多元函数的连续性】 【试题内容】证明：若zf(x,y)在点P0(x0,y0)处可微分，则它在该点处必连续。【试题答案及评分标准】由zf(x,y)在点P0(x0,y0)可微，则有

zzzxyo()xy

（5分）

其中 (x)2(y)2

x0y0当x0,y0时，0，从而limz0

（8分）

即zf(x,y)在点P0(x0,y0)处连续。

（10分）

【090332】【填空题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】【隐函数的求导公式】 【试题内容】设函数zz(x,y)由方程xyz3xyz1所确定，则全微分dz= ———。

【试题答案及评分标准】

3331(yzx2)dx(xzy2)dy

10分 2zxy【090333】【填空题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】【隐函数的求导公式】 【试题内容】由方程xyz处的全微分dz= ———。

【试题答案及评分标准】dx2dy

10分

x2y2z22所确定的函数zz(x,y)在点（1，0，－1）

第三篇：求偏导数的方法小结

求偏导数的方法小结

（应化2，闻庚辰，学号：130911225）

一，一般函数：

计算多元函数的偏导数时，由于变元多，往往计算量较大． 在求某一点的偏导数时，一般的计算方法是，先求出偏 导函数，再代人这一点的值而得到这一点的偏导数． 我们发 现，把部分变元的值先代人函数中，减少变元的数量，再计 算偏导数，可以减少运算量。

求函数f(x,y)在点（a,b）处的偏导数f’x(a,b)及f’y(a,b)的方法是： 1)先求出偏导数的函数式，然后将（a,b）代入计算即可.2)先求出g(x)=f(x,b)和h(y)=f(a,y),再求出g’(b),h’(a)便得到f’x(a,b)和f’y(a,b).3)若函数f(x,y)是分段函数则一般采用定义来做.复合具体函数的导数求解:

∂z∂zx=∂u 基本法则：∂∂u∂z∂x+∂v∂u∂y∂v∂x

∂v∂y ∂z∂y∂zu=∂∂zv+∂

其本质与一元函数的求导法则是一样的，只不过是将暂时不求的变量看成常量而已。

例1 ：z=f(x,y)=(x+y)xy,求f’x（1，1），f’y（1，0）；

法一：设u=x+y,v=xy,则z=uv函数的复合关系为：z是u,v的函数，u,v分别是x,y的函数.∂z∂zx=∂u 则：∂∂u∂z∂x+∂v∂v∂x

=xy(x+y)xy-1+y(x+y)xyln(x+y)=y(x+y)[xy

x(xy)+ln(x+y)] f(x,y)= y(x+y)[’xxy

x(xy)+ln(x+y)] 所以：f’x(1,1)=1+2ln2 由于f(x,y)的表达式中的 x,y依次轮换，即x换y成，同时将换y成x，表达式不变，这叫做函数f(x,y)对自变量x,y交换具有轮换对称性。具有轮换对称性的函数，只要在f’x的表达式中将x,y调换即得到f’y。即：f’y（x,y）= y(x+y)[xyx(xy)+ln(x+y)] 所以f’y（1，0）=0 法二：由于和一元函数的求导的实质是一样的。我们可以不引入中间变量，对某一自变量求导时，只要把其他自变量看成常数即可。如： Lnz=xyln(x+y)上式两边求导得： z∂zx∂x=y[ln(x+y)+(xy)] ∂zxx=z y[ln(x+y)+(xy)] 从而：∂所以：f’x(1,1)=1+2ln2 有函数的对称轮换性得：f’y（1，0）=0 例三：我们也可以利用全微分的不变性来解题。

∂z∂zyx+∂ 设z=eusin(v),而u=xy,v=x+y。求∂在（1，1）处的值。dz=d(eusin(v))= eusin(v)du+eucos(v)dv du=d(xy)=ydx+xdy dv=d(x+y)=dx+dy 代入后合并同类项得：

dz=(eusin(v)y+eucos(v))dx+(eusin(v)x+ eucos(v))dy将点（1，1）代入得：

∂z∂zyx+∂ ∂=2e(sin2+cos2).二，隐函数的求偏导。求隐函数的偏导时，我们一般有两种方法选择：

1)公式法

2)对函数两边直接求导。（但必须明确谁是谁的函数）。然后按复合函数求导法则来求。

例一：方程组{xyzox2y2z2a2（注：x2为x的平方）

法一：题中有3个自变量，明确了x=x(z),y=x(z),既z是自变量。我们可以利用公式求但比较繁。我们可以采用下面的方法： 法二：对方程组两边对求z导得：

{ dxdy10dzdzdyzxdx2y2z0dzdz

求得此解得： dxdzyzdyzx=xy，dz=xy

第四篇：高等数学教案

-----[xn1 , xn]，AA1A2An，xixixi1(i1 , 2 ,  , n).②在每个小区间[xi1 , xi]上任取一点i，Aif(i)xi，Af(i)xi.i1n③max{x1 , x2 ,  , xn}.Alimf(i)xi.0i

1-----高等数学教案-----

n2.变速直线运动的路程: 设速度vv(t)是时间间隔[T1 , T2]上t的连续函数，路程记为s.①把区间[T1 , T2]分成n个小区间:，…，[t0 , t1] [tn1 , tn]，[t1 , t2]，ss1s2sn，tititi1(i1 , 2 ,  , n).②在每个小区间[ti1 , ti]上任取一点i，siv(i)ti，-----高等数学教案-----sv(i)ti.i1n③max{t1 , t2 ,  , tn}.slimv(i)ti.0i1n3.定积分定义: 设yf(x)在[a , b]上有界.①把区间[a , b]分成n个小区间:，[x1 , x2]，…，[x0 , x1]

[xn1 , xn]，-----高等数学教案-----xixixi1(i1 , 2 ,  , n).②在每个小区间[xi1 , xi]上任取一点i，f(i)xi.i1n③max{x1 , x2 ,  , xn}.如果

limf(i)xi

0i1n存在，且此极限不依赖于对区间[a , b]的分法和在[xi1 , xi]上

-----高等数学教案-----

则称此极限为f(x)i点的取法，在[a , b]上的定积分，记为

f(i)xi.af(x)dxlim0bi1n注意：定积分 af(x)dx只与被积函数f(x)﹑积分区间[a , b]有关，而与积分变量用什么字母表示无关，即

b af(x)dx af(t)dt af(u)du b b b.4.(必要条件).如果f(x , y)在D上可积，则f(x , y)在D上

-----高等数学教案-----有界.5.(充分条件): ①如果f(x)在[a , b]上连续，则f(x)在[a , b]上可积.②如果f(x)在[a , b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a , b]上可积.6.定积分的几何意义：

①如果f(x)在[a , b]上连续，且f(x)0，则

b af(x)dxs

(S是曲边梯

-----高等数学教案-----形的面积).②.如果f(x)在[a , b]上连续，且f(x)0，则 b af(x)dxs

(S是曲边梯形的面积).③如果f(x)在[a , b]上连续，且f(x)的值有正有负，则 b af(x)dx等于x轴上方的曲边梯形面积减去x轴下方的曲边梯形面积.7.规定:

-----高等数学教案-----

①当ab时， af(x)dx0.ab

②当时，ba af(x)dxbf(x)dx.7.定积分的性质：

①f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx.b b② akf(x)dxk af(x)dx.③ b c b af(x)dx af(x)dx cf(x)dx.④如果在[a , b]上f(x)1，则

b b a1dx adxba.b b b b a a a

-----高等数学教案-----⑤如果在[a , b]上f(x)0，则

b af(x)dx0.如果在[a , b]上f(x)g(x)，则

b b af(x)dx ag(x)dx， af(x)dx af(x)dx.b b⑥设mf(x)M，则

bm(ba) af(x)dxM(b.⑦(积分中值定理)如果f(x)

-----高等数学教案-----在[a , b]上连续，则在[a , b]上至少存在一点，使得

b af(x)dxf()(ba).证:由于f(x)在[a , b]上连续，所以存在最大值M和最小值m，使得

mf(x)M，bm(ba) af(x)dxM(ba)，f(x)dx amM，ba

-----高等数学教案-----

b故在[a , b]上至少存在一点，使得

b af(x)dxf()ba即

b af(x)dxf()(ba).b1称为在f(x)dxf(x) aba[a , b]上的平均值.P23511.证: 对任意实数，有 12 0[f(x)]dx0，1 1222 0f(x)dx 0f(x)dx0

-----高等数学教案-----，所以

124 0f(x)dx4 0f(x)dx0，即

 0f(x)dx 0f(x)dx.练习1.设f(x)在[a , b]上连续，且f(x)0，证明: 12 121 af(x)dx af(x)dx(ba)b b.§5.2微积分基本公式

1.积分上限的函数(变上限

-----高等数学教案-----积分): f(x)在[a , b]上连续，称

x(x) af(t)dt x[a , b] 为积分上限的函数.2.如果f(x)在[a , b]上连续，x则(x) af(t)dt可导，且

xd(x)f(t)dtf(x) adx.x例1.求F(x) 0tsintdt的导数.解: F(x)xsinx.-----高等数学教案-----

sintdtsinx 0例2.lim lim2x0x02xx1.2 x例3.tedtlim xxxe2x x2 0t2elimx2tedtx x2 0t2xlimx(12

xlimx1

2-----高等数学教案-----



3. (x)f(t)dt

f[(x)](x)f[(x)](x)(x)1.2.xbd

例4. xaf(t)dt dxf[(xb)]f[(xa)].例

15.( xedt)ee2x xx12xe.lnx2tlnxx22

-----高等数学教案-----例6.设f(x)在[a , b]上连续，且单调增加，证明:

x1 F(x)f(t)dt axa在(a , b]内单调增加.证: 当x(a , b)时，f(x)(xa) af(t)dtF(x) 2(xa)f(x)(xa)f()(xa)2(xa)x

f(x)f()(xa)

-----高等数学教案-----

(ax).由于f(x)在[a , b]上单调增加，而ax，所以

f(x)f()F(x)0，(xa)故F(x)在(a , b]内单调增加.4.微积分基本公式(牛顿—莱布尼茨公式): 如果f(x)在[a , b]上连续，且F(x)是f(x)的一个原函数，则

b af(x)dxF(b)F(a)F(.-----高等数学教案-----

为F(x)、x(x) af(t)dt都是f(x)的原函数，所以(x)F(x)C.由于

(a)F(a)C，a(a) af(t)dt0，得

CF(a)，(x)F(x)F(a)，(b)F(b)F(a)，b即

(b) af(x)dx

F(b)F(a)

F(x).ba

-----高等数学教案-----证: 因

1

1例7. 2dxlnx2

xln1ln2 ln2.1

例 2 1 28. 01xdx 0(1x)dx 1(x1)dx

221xx(x)0(x)22

1.例9.设

x , x[0 , 1), f(x)x , x[1 , 2] ，-----高等数学教案-----2求(x) 0f(t)dt在[0 , 2]上的表达式.x解(x) x2 0tdt , x[0 , 1) 12dt x 0t 1tdt , x[1 ,x3 , 31312(x21), x3 , 31-----高等数学教案 6 ,-----

:

2] x[0 ,x[1 , 2x[0 , x[1 , 2

例10.求

x f(x)0tdt 在( , )上的表达式.0tdt , x0解: f(x)x

tdt , x002x , x02 2x , x0.2x§5.3 定积分的换元法和分部积分法

-----高等数学教案-----1.定积分的换元法:

b af(x)dx x(t)f[(t)]（其中f(x)连续，(t)有连续的导数，a()，b()，.例1. 0 4x2dx 2x11t232 32t12 x  1 tdt 2t 321 1(t3)dt 2331t(3t)1

3-----高等数学教案-----例 例

223.2. 1dx 34 1x1 x(t22t) 1(2t2)12 t2 1121 (1t)dt 2(tlnt)112

12ln2.3.2 111x 2 x2dx xsint  cost 24

-----高等数学教案-----

sin2tcostdt

2 例

2  cottdt

4 2(csc2 t1)dt

4(cottt)2

414. 5 02sinxcosxdx

 5 02cosxdcosx

(166cosx)20

16.-----高等数学教案-----

4.例5. 0x(2x)dx

12421 0(2x)d(2x)2

25111

[(2x)]0

2531

.102.设f(x)在[a , a]上连续且为偶函数，则

a a af(x)dx2 0f(x)dx.证: a 0 a af(x)dx af(x)dx 0f(x)dx.12

4-----高等数学教案----- af(x)dx xt  af(t)( 0 0

 af(t)dt  0f(t)dt  0f(x)dx.a a 0所

以

a a a af(x)dx 0f(x)dx 0f(x)dx

2 0f(x)dx.a3.设f(x)在[a , a]上连续且

a为奇函数，则

 af(x)dx0.xsinxdx.例6.求 242x3x1 2

-----高等数学教案-----

32xsinx解: 由于f(x)42x3x132是 2奇3函2数，所以

xsinxdx0. 242x3x1例7.求 1sinx(arctanx).dx 121x解: 原式1sinx 1(arctanx). 1dxdx22 11x1xsinx由于f(x)2是奇函数，1x

-----高等数学教案-----以(arctanx)是偶函数，所g(x)21x(arctanx)原式02 0 dx21x 122 0(arctanx)d(arctanx)122

312[(arctanx)]0

332()3496例8.设f(x)在[0 , a]上连续，-----高等数学教案-----.3证明:  0f(x)dx 0f(ax)dx.a a证 0f(x)dx 0 xat  af(at)(dt)a:

 af(at)dt  0f(at)dt  0f(ax)dx.a 0 a

例9.若f(x)在[0 , 1]上连续，证明: f(sinx)dx

-----高等数学教案-----2 0f(cosx)dx.2 0 证: f(sinx)dx

 xt 2 2 0f(cost)(d 2 0

f(cost)dt

2 0f(cosx)dx.2 0

例10.若f(x)在[0 , 1]上连续，证明:  0xf(sinx)dx .f(sinx)dx 02 

-----高等数学教案-----证:  0xf(sinx)dx

0 xt  (t)f(sint)

 0(t)f(sint)dt  0f(sint)dt 0tf(sint)dt

 0f(sinx)dx 0xf(sinx)dx.    解 0 得

.f(sinx)dx 02例11.若f(x)为连续函数，xf(sinx)dx

-----高等数学教案-----且ef(xt)dtxe，求f(x)的表达式.xt证:  0ef(xt)dt xt 0x txu  xe 0xuf(u)(du)

eef(u)du x xue 0ef(u)du.ux 0 x所以eef(u)duxe，得

xu 0ef(u)dux.将上式两边对x求导数，得

x ef(x)1，x x 0ux

-----高等数学教案-----即

f(x)e.4.定积分的分部积分法:

x

 auvdx(uv) auvdx.bba b

例12. 1lnxdx(xlnx) 1dx

55ln5x1 55155ln54.例13. 0xedx(xe) 0edx

x1ee0 1xx10 1x1.例14.若f(x)是以T为周期的连续函数，证明:

-----高等数学教案----- af(x)dx 0f(x)dx 其中a为常数.aT T证:  a 0 aTf(x)dx

T aT af(x)dx 0f(x)dx T aT Tf(x)dx

af(x)dx

xuT  0f(uT)du  0f(u)du  0f(x)dx  af(x)dx.0 a a所以

 a aT 0f(x)dx

T 0 af(x)dx 0f(x)dx af(x)dx

-----高等数学教案----- 0f(x)dx.T例15.设f(x)在( , )上连续，证明: 1lim[f(xh)f(x)]dxf(b)f(a)

bh0h a证: 设f(x)的一个原函数为F(x)，则

b1lima [f(xh)f(x)]dx h0h[F(xh)F(x)]lim h0hF(bh)F(b)limh0hF(ah)F(a)limh0h

-----高等数学教案-----

baF(b)F(a)f(b)f(a).§5.4 反常积分 1.无穷限的反常积分: ①设f(x)在[a , )上连续，存在，f(x)dxta，如果tlim a则称反常义积分 af(x)dx收敛，且

t

 af(x)dxtlim.f(x)dx a t否则称反常积分 af(x)dx发散.

-----高等数学教案-----②设f(x)在( , b]上连续，tb，如果limtf(x)dx存在，tb则称反常义积分f(x)dx收敛，且

b

f(x)dxtlim.f(x)dxtb b否则称反常积分f(x)dx发散.③设f(x)在( , )上连 0 续，如果 f(x)dx与 0f(x)dx都收敛，则称反常积分  f(x)dx收敛，且

b

-----高等数学教案----- f(x)dx  f(x)dx 0f(x)dx.0 否则称反常积分 f(x)dx发散.2.引入记号:

F()limF(x)，xF()limF(x).x若在[a , )上F(x)f(x)，则当F()存在时， af(x)dxF()F(a)

[F(x)].a

-----高等数学教案-----若在( , b]上F(x)f(x)，则当F()存在时，bf(x)dxF(b)F()

[F(x)].b若在上( , )F(x)f(x)，则当F()与F()都存在时，f(x)dxF()F()

[F(x)].例1.判断反常积分

x 0xedx

2-----高等数学教案-----是否收敛，若收敛求其值.x1解: 原式(e)0 2x11

xlim(e) 221 .2

例2.判断反常积分

1 cosxdx

22的敛散性.解: 原式(sinx)

1sin(1)limsinx.xsinx不存在，由于xlim所以反

-----高等数学教案-----常积分 cosxdx发散.例3.讨论反常积分 1 1 1xdx.解: 1 1xdx (lnx)1 , (111x)1

-----高等数学教案-----

1 1的敛散性 ,  , 1 , 1 11 , 1 1 1xdx，当1时发散.例4.判断反常积分

 1 1x2dx.解:  1 1x2dx

-----高等数学教案-----

1所以反常积分时收敛，当 的敛散性 (arctanx)0(arctanx)0



22. 1 

例5.判断反常积分

1dx

2xx 的敛散性.1dx解:  1 2xx 11 1()dx x1x[lnxln(1x)]1

-----高等数学教案-----

x[ln]1 1xx1limlnln x1x2ln2.3.如果f(x)在点a的任一邻域内都无界，那么称点a为f(x)的瑕点.4.无界函数的反常积分(瑕积分): ①设f(x)在(a , b]上连续，点a为f(x)的瑕点，ta.如果limtf(x)dx存在，则称反常积ta

-----高等数学教案-----b分 af(x)dx收敛，且 b

 af(x)dxlimtf(x)dx.b bt a否则称反常积分 af(x)dx发散.②设f(x)在[a , b)上连续，点b为f(x)的瑕点，tb.如果

blimaf(x)dx存在，则称反常积tbt分 af(x)dx收敛，且 b

 af(x)dxlimaf(x)dx.btt b否则称反常积分 af(x)dx发散.③设f(x)在[a , b]上除点c(acb)外连续，点c为f(x)的 b

-----高等数学教案-----瑕点.如果两个反常积分

b c af(x)dx、 cf(x)dx都收敛，则

b称反常积分 af(x)dx收敛，且 b c b af(x)dx af(x)dx cf(x)dx.b否则称反常积分 af(x)dx发散.5.引入记号: ①设F(x)为f(x)在(a , b]上的一个原函数，a为f(x)的瑕点，则

b af(x)dxF(b)limF(x)

xa[F(x)].ba

-----高等数学教案-----②设F(x)为f(x)在[a , b)上的一个原函数，b为f(x)的瑕点，则

b af(x)dxlimF(x)F(a)

xb[F(x)].ba

例6.判断反常积分 0lnxdx的敛散性.1解: 0lnxdx(xlnx)0dx 11010lim(xlnx)x

x 0101.-----高等数学教案-----

1例7.讨论反常积分 0dxx 1的敛散性.解:  11 0xdx

(lnx)10 , 1(1111 x)0 , 1

0limx 0lnx , 1lim 0(11x11x)

-----高等数学教案-----

1 1 , 1 , 11 , 1  , 1 11所以反常积分 0dx，当1x时收敛，当1时发散.11

例8.判断反常积分 12dxx的敛散性.1解:  12dx x 01 11 12dx 02dx

xx 1

-----高等数学教案-----

第五篇：高等数学教案12

-----

3.余项rnssnun1un2.aqaaqaqaqn2n1: 例1.判断等比级数(几何级数)n0

(a0)的敛散性.aaq解:①q1时，sn，1qna，收敛，和为limsnaqn1qn0a.1q

-----高等数学教案-----

naaq②q1时，sn，1qlimsn，aq发散； nnn0nsn，③q1时，snna，limnn0aq发散.n④q1时，0 , n为偶数limsn不存在，sn，na , n为奇数n0aq发散.nn1例2判断级数ln是否收nn1

-----高等数学教案-----敛，若收敛求其和.解: sn(ln2ln1)(ln3ln2)

[ln(n1)lnn] ln(n1).P②.3225sn，所以原级数发散.由于limnsn11111(1)()23235111()22n12n111(1).22n1

-----高等数学教案-----

1sn，所以原级数收敛 由于limn24.收敛级数的性质: ①如果un收敛和为s，则kunn1n1也收敛，其和为ks；若un发散，n1则kun(k0)也发散.n1②如果un、vn均收敛，其和n1n1n1，分别为s、则(unvn)也收敛，其和为s.-----高等数学教案-----

③在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性.④如果un收敛，则对这级数n1的项任意加括号后所成的级数(u1un)(un1un)

(un1un) 112k1k也收敛，且其和不变.如果一个级数发散，则加括号后所成的级数可能收敛，也可能发散.如果一个正项级数发散，则加

-----高等数学教案-----括号后所成的级数一定发散.⑤级数收敛的必要条件: 若n1un0.un收敛，则limn例3证明调和级数 1111 23n是发散的.证: 假设调和级数收敛，部分

sns.和为sn，和为s，则limnim(s2nsn)ss0.一方面，ln另一方面，-----高等数学教案-----

111s2nsn n1n22n111 2n2n2n1，2(s2nsn)0，矛盾，故调所以limn和级数发散.1P②.由于调和级数发散，n1n1所以也发散.n13n14P225⑤.由于级数n是公比为

n124225

-----高等数学教案-----11q的几何级数，而q1，所2211以n收敛；由于级数n是公比n12n1311为q的几何级数，而q1，331所以n收敛.n1311由于n与n都收敛，所以n12n1311(nn)收敛.n123§12.2 常数项级数的审敛法

-----高等数学教案-----1.正项级数: un(un0).n12.正项级数un的部分和数列

n1sn单调增加.3.正项级数un收敛部分和

n1数列sn有界.4.比较审敛法: 设un、vn都

n1n1是正项级数，且unvn.①若vn收敛，则un收敛；

n1n1

②若un发散，则vn发散.n1n-----高等数学教案-----5.比较审敛法的推论: 设un、n1n1vn都是正项级数.n1

①若vn收敛，且存在自然数N，使当nN时有unkvn(k0)成立，则un收敛.n1

②若un发散，且存在自然数n1N，使当nN时有unkvn(k0)成立，则vn发散.n-----高等数学教案-----例1.判断p级数

1111ppp 23n的敛散性.解: ①当p1时，由于1np而1发散，所以n1n1n1np发散.②当p1时，对于级数

11112p3pnp 加括号后:

-----高等数学教案-----

1n，1111111(pp)(pppp)234567

它的各项均不大于级数

1111111(pp)(pppp224444

111p1p1 24的对应项，而后一个级数是收敛的几何级数，所以级数

-----高等数学教案-----1111111(pp)(pppp)2345671收敛，故正项级数p收敛.n1n1例2.判断级数lnn的敛散性.n121111解: 由于lnnlogn，而nn1n221发散，所以lnn发散.n121例3.判断级数lnn的敛散性.n13111解:由于lnnln3，而ln3n13n1nn1n1pln31，是p级数，所以ln3n1n1收敛，从而lnn收敛.n13-----高等数学教案-----例4.若正项级数an与bn均

n1n1收敛，则下列级数也收敛.①anbn；②(anbn)；③

2n1n1an.n1n证: ①由于an与bn均收敛，n1n1所以(anbn)收敛，而n1anbn2anbn，故anbn收敛.n1②由于

-----高等数学教案-----(anbn)an2anbnbn，而an、2n1n1bn与anbn均收敛，所以n12(anbn)收敛.n11③由于an与2均收敛，所n1n1n11an以(an2)收敛，而an22，n1nnnan故收敛.n1n例5.若an与bn均收敛，且n1n1ancnbn，求证:cn收敛.n-----高等数学教案-----

证:由于an与bn均收敛，所n1n1以(bnan)收敛.n1由于ancnbn，所以

n1bnancnan0，而(bnan)收敛，故(cnan)收敛，而an收敛，从n1n1而cn收敛.n16.比较审敛法的极限形式: 设n1un、vn均是正项级数，n1

-----高等数学教案-----

un0，且vn收敛，则①若limnn1vnun收敛.n1unl(0l)，则vn

②若limnn1vn与un同时收敛和同时发散.n1un，且vn发散，③若limnn1vn则un发散.n11例6.判断级数n的敛散

n1nn

-----高等数学教案-----性.1n1nn解:由于llim，而1n1n1nn1发散，所以n发散.n1nn1n1例7.判断级数ln的敛

n1n2n散性.1lnn1nn1解:由于llim2，而n12n11n1收敛.2收敛，所以lnn1n2nn2n

-----高等数学教案-----例8.判断级数(21)的敛散

nn1性.解: 由于

nn212ln2llimlimln2nn11n，1n而发散，所以(21)发散.n1n1n7.比值审敛法(达朗贝尔判别法): 设un为正项级数，且n1

-----高等数学教案-----un1lim.nun

①若1，则un收敛；

n1

②若1或，则un发

n1散；

③若1，则un可能收敛也

n1可能发散.1例9.判断级数的敛散

n1(n1)!性.-----高等数学教案-----

1n!01解: 由于lim，n1(n1)!1所以收敛.n1(n1)!n!例10.判断级数n的敛散性.n110: 由于(n1)!n1n110limlim，所nn10n!n10n!以n发散.n110

-----高等数学教案-----解8.根值审敛法(柯西判别法): 设un为正项级数，且n1nu.limnn

①若1，则un收敛；

n1

②若1或，则un发

n1散；

③若1，则un可能收敛也

n1可能发散.2n1n例11.判断级数()的n13n1

-----高等数学教案-----敛散性.解: 由于

2n1nn(lim)n3n12n()3n1limnnn3n1，2n1n所以()收敛.n13n110.交错级数: u1u2u3u4，或

u1u2u3u4，其中u1，u2…都是正数.-----高等数学教案-----11.莱不尼兹定理: 如果交错级数(1)un满足条件: n1n1

①unun1；

imun0，②ln则(1)un收敛，其和su1，其余n1n1项的绝对值rnun1.例12.判断级数(1)n1n11的敛

n散性.解: 由于

-----高等数学教案-----11①，即unun1； nn110，即limu0

②lim，nnnnn11所以(1)收敛.n1n12.绝对收敛: 如果un收敛，n1则称un绝对收敛.n1例如，级数(1)n1n11绝对收

2n敛.13.条件收敛: 如果un收敛，n-----高等数学教案-----

而un发散，则称un条件收敛.n1n1例如，级数(1)n1n11条件收敛.nn114.如果任意项级数un的绝对值收敛，则un收敛.n11

证: 令Vn(unun)，21Wn(unun)，则unVn0，2unWn0.由于un收敛，所以Vn、Wnn1n1n-----高等数学教案-----均收敛，故(VnWn)un也收

n1n1敛.15.设un是任意项级数，n1un1nu，如果lim或limnnunn1，un发散，则un发散.n1n1n例13.判别级数(1)是n1n1否收敛，若收敛是条件收敛，还

n1是绝对收敛.-----高等数学教案-----解: 由于lim(1)n以(1)n1n1n1n0，所

n1n发散.n11n例14.判别级数nsin是否

5n12收敛，若收敛是条件收敛，还是绝对收敛.1n11n，解: 由于nsin而n

522n121(是公比为q1的几何级数)21n收敛，所以nsin收敛，故

5n1-----高等数学教案-----1nnsin绝对收敛.5n121例15.判别级数(1)ln(1)nn1是否收敛，若收敛是条件收敛，n还是绝对收敛.11解: 由于ln(1)ln(1)，而

n1n1limln(1)0，所以交错级数nn1n(1)ln(1)收敛.n1n由于

-----高等数学教案-----

1(1)ln(1)1 nlimlimnln(1)nn1nnn1nlimln(1)nn1，11n而 发散，所以(1)ln(1)发n1nn1n1n散，故(1)ln(1)条件收敛.n1n§12.3 幂级数

1.区间I上的函数项级数: u1(x)u2(x)un(x).-----高等数学教案-----对于xx0I，常数项级数

u1(x0)u2(x0)un(x0)

n1收敛，则称x0为un(x)的收敛点.收敛点的全体称为收敛域，发散点的全体称为发散域.2.(xx0)的幂级数: n0an(xx0)na0a1(xx0)a2(xx0)

2nan(xx0)

-----高等数学教案-----3.x的幂级数:

n0anx2nna0a1xa2xanx.4.阿贝尔定理: 如果anx当

nn0则当xx0xx0(x00)时收敛，时anx绝对收敛.反之，如果nn0n0anx当xx0时发散，则当nxx0时anx发散.nn0

5.阿贝尔定理的推论: 如果

-----高等数学教案-----n0anx不是仅在x0一点收敛，n也不是在整个数轴上收敛，则存在R0，使得

①当xR时，幂级数绝对收敛；

②当xR时，幂级数发散；

③当xR与xR时，幂级数可能收敛也可能发散.)为

称R为收敛半径，称(R , R)、收敛区间，收敛域是(R , R[R , R)、(R , R]或[R , R]这四

-----高等数学教案-----个区间之一(由xR处的收敛性决定).规定幂级数仅在x0处收敛时R0，幂级数对一切x都收敛时R.6.对于幂级数anx，如果

nn0an1lim，则 nan

-----高等数学教案-----

1 , 0且R , 0 ,0 , .

(1)x例1.求的收敛域.n1nn(1)n11解: 由于lim，所n1n(1)n1以R1.n1n

-----高等数学教案-----

(1)x1当x1时，()nnn1n1发散.(1)n1xn(1)n1当x1时，nnn1n1(1)n1xn条件收敛.因此，的收

nn1敛域为(1 , 1].n1例2.求2(3x)的收敛域.n01nnnn13解: 2(3x) 2x.n01nn01nn1n

-----高等数学教案-----

321(n1)lim3nn321nn1，1R.31当时，x3(1)nn1(3x) 绝对收敛.22n01nn01n1当时，x3n112(3x) 2收敛.n01nn01nn1因此，的收敛域为(3x)2n01n

-----高等数学教案-----11[ , ].33(1)n例3.求2(x3)的收敛n1nn域.解: 令x3t，则

(1)(1)nn2(x3) 2t.n1nn1n(1)nn对于，2tn1nn1(1)2(n1)lim1R1，.nn(1)2n

-----高等数学教案-----

nn(1)n1当t1时，2t2收n1nn1nn敛.(1)n(1)2t2绝当t1时，n1nn1nn(1)n对收敛.因此，2t的收敛

n1nn(1)n区间为[1 , 1]，故2(x3)n1n的收敛域为[2 , 4].2n11例4.求nx 的收敛域.n03nn

-----高等数学教案-----

1x2(n1)1n1213x解: lim.n1x2n13n321令x1，得3x3，收3敛半径为R3.发散.散.2n11当x3时，nx 3n03n02n11当x3时，nx 3发n03n02n11因此，nx 的收敛域为n03(3 , 3).

-----高等数学教案-----7.幂级数的运算: s(x)anxn0nn0n和(x)bnx的收敛半径分别为R和R，则

n0anxnnn0bnxnn0(anbn)xs(x)(x)的收敛半径为RminR , R.8.幂级数的性质:

①anx的和函数s(x)在其收nn0敛域I上连续.-----高等数学教案-----

②anx的和函数s(x)在其收nn0敛域I上可积，并有逐项积分公式

0s(x)dx0anxdxn0xxn0anxdx nn0xann1x(xIn0n1，ann1nx与anx的收敛半径相n0n0n1同.

-----高等数学教案-----③anx的和函数s(x)在其收nn0敛区间(R , R)内可导，并有逐项求导公式

nns(x)anx(anx)

n0n0 nanx(xR)，n1n1n1nanxn1与anx的收敛半径相

nn0同.n1例5.求x的和函数.n1n

-----高等数学教案-----

1n1R1.1解: lim，n1nn1n1当x1时，x(1)收nn1n1n敛.n11当x1时，x发散.因

n1nn1nn1此，x的收敛域为[1 , 1).n1nn1令s(x)x(1x1)，则 n1nnn11s(x)x(x)n1nn1n

-----高等数学教案-----x n1n11(1x1).1xs(x) x 0s(x)dxs(0)

x10dx0 1ln(1xx)(1x1).例6.求1xn1在其收敛n1n1 , 1)上的和函数.解1xn1x1xnx[ln(1x)] n1nn1n

-----高等数学教案-----

: 域[ xln(1x)x[1 , 1).例7.求(n1)x在其收敛域

nn1(1 , 1)上的和函数.解: 令s(x)(n1)x，则

nn10s(x)dx0(n1)xdx

nn1xxx

n1n1x 1x(1x1).-----高等数学教案-----

2s(x)[ 0s(x)dx]

xx() 1x22xx2(1x)(1x1).2例8.求nx在其收敛域(1 , 1)nn1上的和函数.解: nxnxxx

nnnnn1n1n1nn1n(n1)xx

n1n1

-----高等数学教案-----

2xxx 2(1x)1xx

.(1 , 1)2(1x)2例9.求(n2)x在其收敛区

nn1间(1 , 1)上的和函数.解n1:

nn12(n2)x(n1)xx nnn12xx2(1x)x 1x

-----高等数学教案-----

3x2x2(1x)2

(1 , 1).§12.4 函数展开成幂级数

1.设f(x)在x0的某一邻域U(x0)内具有各阶导数，幂级数

(x0)f2f(x0)f(x0)(xx0)(xx0)

2!f(x0)n(xx0)

n!称为f(x)的泰勒级数.(n)

如果泰勒级数收敛于f(x)，则

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