第一篇:高等数学教案ch 8 多元函数微分法及其应用
§8 4 多元复合函数的求导法则
设zf(u v) 而u(t) v(t) 如何求dz?
dt
设zf(u v) 而u(x y) v(x y) 如何求z和z?
xy
1 复合函数的中间变量均为一元函数的情形
定理1 如果函数u(t)及v(t)都在点t可导 函数zf(u v)在对应点(u v)具有连续偏导数 则复合函数zf[(t) (t)]在点t可导 且有
dzzduzdv
dtudtvdt
简要证明1 因为zf(u v)具有连续的偏导数 所以它是可微的 即有
dzzduzdv
uv又因为u(t)及v(t)都可导 因而可微 即有
dududt dvdvdt
dtdt代入上式得
dzzdudtzdvdt(zduzdv)dt
udtvdtudtvdt从而
dzzduzdv
dtudtvdt
简要证明2 当t取得增量t时 u、v及z相应地也取得增量u、v及z 由zf(u v)、u(t)及v(t)的可微性 有
zzuzvo()z[duto(t)]z[dvto(t)]o()
uvudtvdt
(zduzdv)t(zz)o(t)o()
udtvdtuvo(t)o()
zzduzdv(zz)
tudtvdtuvtt令t0 上式两边取极限 即得
注limdzzduzdv
dtudtvdtlimt0o()to()t0(u)2(v)2t0(du2dv)()20dtdt
推广 设zf(u v w) u(t) v(t) w(t) 则zf[(t) (t) (t)]对t 的导数为
dzzduzdvzdw
dtudtvdtwdt上述dz称为全导数
dt
2 复合函数的中间变量均为多元函数的情形
定理2 如果函数u(x y) v(x y)都在点(x y)具有对x及y的偏导数 函数zf(u v)在对应点(u v)具有连续偏导数 则复合函数zf [(x y) (x y)]在点(x y)的两个偏导数存在 且有
zzuzv zzuzv
xuxvxyuyvy
推广 设zf(u v w) u(x y) v(x y) w(x y) 则
zzuzvzw
zzuzvzw
xuxvxwxyuyvywy
讨论
(1)设zf(u v) u(x y) v(y) 则z?
xzzuzdv
提示 zzu
z? yxuxyuyvdy
(2)设zf(u x y) 且u(x y) 则z?
xz? y
fufzfuf
提示 z
xuxxyuyy这里z与xf是不同的 z是把复合函数zf[(x y) x y]中的y看作不变而对x的xx偏导数
ffz是把f(u x y)中的u及y看作不变而 对x的偏导数 与也朋类似
yyx的区别
3.复合函数的中间变量既有一元函数 又有多元函数的情形
定理3 如果函数u(x y)在点(x y)具有对x及对y的偏导数 函数v(y)在点y可导 函数zf(u v)在对应点(u v)具有连续偏导数 则复合函数zf[(x y) (y)]在点(x y)的两个偏导数存在 且有
zzuzdv
zzu
xuxyuyvdy
例1 设zeusin v uxy vxy 求z和
xzy
解 zzuzv
xuxvx
eusin vyeucos v1
ex y[y sin(xy)cos(xy)]
zzuzv
yuyvy
eusin vxeucos v1
exy[x sin(xy)cos(xy)]
例2 设uf(x,y,z)exff
解 uz
xxzx22y2z2 而zx2siny 求u和
xuy
2xexy2z22zex2y2z22xsiny 2x(12x2siny)ex2y2x4si2ny
uffz yyzy2yexy2z22zex2y2z2x2cosy
2(yx4sinycosy)ex2y2x4si2ny
dt
例3 设zuvsin t 而uet vcos t 求全导数dz
解 dzzduzdvz
dtudtvdtt
vetu(sin t)cos t
etcos te tsin tcos t
et(cos tsin t)cos t
例4 设wf(xyz xyz) f具有二阶连续偏导数
解 令uxyz vxyz 则wf(u v)
引入记号 f1xuxf(u,v)uvx求wx2w及xz
f12f(u,v)uv等
f22 同理有f2f11ff
wuvf1yzf2
ff2w(f1yzf2)1yf2yz2xzzzz
xyf12yf2yzf21xy2zf22
f11y(xz)f12yf2xy2zf22
f1
1注 f1f1uf1vf2f2uf2vxyf12 xyf22f11f21zuzvzzuzvz
例5 设uf(x y)的所有二阶偏导数连续 把下列表达式转换成极坐标系中的形式
(1)(u2u)()2 xy22u(2)u
22xy解 由直角坐标与极坐标间的关系式得
uf(x y)f(cosθ sinθ)F( θ)
其中xcosθ ysinθ x2y2 arctan应用复合函数求导法则 得
uuuuuysinuxuycosxxx2uucosuuuuyuxsinyyy2yx
两式平方后相加 得
(u)2(u)2(u)212(u)2
xy再求二阶偏导数 得
2uuu()()
2 xxxxxuusinuusinsin(cos)cos(cos)
22u2usincos2usin2u2sincosusin2
2cos2 222同理可得
22u2u2usincos2ucos2u2sincosucos 2
22sin2y222两式相加 得
22u2u112u1u2u
u[()] 2222222xy
全微分形式不变性
设zf(u v)具有连续偏导数 则有全微分
dzzduzdv
uv如果zf(u v)具有连续偏导数 而u(x y) v(x y)也具有连续偏导数 则
zz
dzdxdy
xyzuzvzuzv)dx()dy
(uxyvxuyyvyzuuzvv
(dxdy)(dxdy)
uxvx
zduzdv
uv由此可见 无论z 是自变量u、v的函数或中间变量u、v的函数 它的全微分形式是一样的 这个性质叫做全微分形式不变性
例6 设ze usin v ux y vxy 利用全微分形式不变性求全微分
解 dzzduzdv e usin vdu e ucos v dv uv
e usin v(y dxx dy) e ucos v(dxdy)
(ye usin v e ucos v)dx(xe usin v e ucos v)dy
e xy [y sin(xy)cos(xy)]dx e xy [x sin(xy)cos(xy)]dy
§8 5
隐函数的求导法则 一、一个方程的情形
隐函数存在定理1
设函数F(x y)在点P(x0 y0)的某一邻域内具有连续偏导数 F(x0 y0)0 Fy(x0 y0)0 则方程F(x y)0在点(x0 y0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数yf(x) 它满足条件y0f(x0) 并有
dydxFxFy
求导公式证明 将yf(x)代入F(x y)0 得恒等式 F(x f(x))0
等式两边对x求导得 FFdy0
xydx由于F y连续 且Fy(x0 y0)0 所以存在(x0 y0)的一个邻域 在这个邻域同Fy 0 于是得 dydxFxFy
例1 验证方程x2y210在点(0 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x0时y1的隐函数yf(x) 并求这函数的一阶与二阶导数在x0的值
解 设F(x y)x2y21 则Fx2x Fy2y F(0 1)0 Fy(0 1)20 因此由定理1可知 方程x2y210在点(0 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x0时y1的隐函数yf(x)
dydxFxFyxy dydxx00
d2ydx2yxyy2yx(y2x)yy2x2y3d2y13;
dx2y1
x0
隐函数存在定理还可以推广到多元函数 一个二元方程F(x y)0可以确定一个一元隐函数 一个三元方程F(x y z)0可以确定一个二元隐函数
隐函数存在定理2
设函数F(x y z)在点P(x0 y0 z0)的某一邻域内具有连续的偏导数 且F(x0 y0 z0)0 Fz(x0 y0 z0)0 则方程F(x y z)0在点(x0 y0 z0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数zf(x y) 它满足条件z0f(x0 y0) 并有
FF
zx zy
xFzyFz
公式的证明 将zf(x y)代入F(x y z)0 得F(x y f(x y))0
将上式两端分别对x和y求导 得
FxFzz0 FyFzz0 xy因为F z连续且F z(x0 y0 z0)0 所以存在点(x0 y0 z0)的一个邻域 使F z0 于是得
FF
zx zy
xFzyFz
例2.设xyz4z0 22
2解
设F(x y z) x2y2z24z 则Fx2x Fy2z4
Fz2xx
xxFz2z42z22z求2x
zx2(2x)xzx(2x)x()22x2z(2x)x
(2z)2(2z)2(2z)
3二、方程组的情形
在一定条件下 由个方程组F(x y u v)0 G(x y u v)0可以确定一对二元函数uu(x y) vv(x y) 例如方程xuyv0和yuxv1可以确定两个二元函数uyx2y2 vxx2y2
yx2y2xx 事实上
xuyv0 vuyuxu1uyy vyxx
2yxy2x2y
2如何根据原方程组求u v的偏导数?
隐函数存在定理设F(x y u v)、G(x y u v)在点P(x0 y0 u0 v0)的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数 又F(x0 y0 u0 v0)0 G(x0 y0 u0 v0)0 且偏导数所组成的函数行列
F(F,G)u式:
JG(u,v)uFv Gv在点P(x0 y0 u0 v0)不等于零 则方程组F(x y u v)0 G(x y u v)0在点P(x0 y0 u0 v0)的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数uu(x y) vv(x y) 它们满足条件u0u(x0 y0) v0v(x0 y0) 并有
(F,G)
u1xJ(x,v)FxFvGxGvFuFvGuGvFyFvGyGv(F,G)
v1xJ(u,x)FuFxGuGxFuFvGuGvFuFyGuGy
u1(F,G)yJ(y,v)FuFvGuGv
v1(F,G)yJ(u,y)FuFvGuGv
隐函数的偏导数: 设方程组F(x y u v)0 G(x y u v)0确定一对具有连续偏导数的 二元函数uu(x y) vv(x y) 则
FFuFv0,uvxxx 偏导数u v由方程组确定 uvxxGv0.GxGuxxFFuFv0,uvyyyuv 偏导数 由方程组确定
uvyyGv0.GyGuyyv 例3 设xuyv0 yuxv1 求u v u和
xxyy 解 两个方程两边分别对x 求偏导 得关于u和v的方程组
xxuxuyv0xx uvvx0yxx
yvvyuxv当x2y2 0时 解之得uxu
2222xxyxxy
两个方程两边分别对x 求偏导 得关于u和v的方程组
yyxuvyv0yy uvx0uyyyyuxuyvv当x2y2 0时 解之得uxv
2222yxyyxy
另解 将两个方程的两边微分得
udxxduvdyydv0xduydvvdyudx
即xdv0udyyduvdxyduxdvudyvdx
解之得 duxuyvx2y2dxxvyux2y2dy
dvyuxvx2y2dxxuyvx2y2dy
xuyvxvyu于是
u22 u22
xxyyxyyuxvxuyv
v22 v22 xxyyxy
例 设函数xx(u v) yy(u v)在点(u v)的某一领域内连续且有连续偏导数
又
(x,y)(u,v)0
xx(u,v)
(1)证明方程组
yy(u,v)在点(x y u v)的某一领域内唯一确定一组单值连续且有连续偏导数的反函数uu(x y) vv(x y)
(2)求反函数uu(x y) vv(x y)对x y的偏导数
解(1)将方程组改写成下面的形式
F(x,y,u,v)xx(u,v)0
G(x,y,u,v)yy(u,v)0则按假设
J(F,G)(u,v)(x,y)(u,v)0.由隐函数存在定理3 即得所要证的结论
(2)将方程组(7)所确定的反函数uu(x y)vv(x y)代入(7) 即得
xx[u(x,y),v(x,y)]
yy[u(x,y),v(x,y)]将上述恒等式两边分别对x求偏导数得
由于J0 故可解得
yy
u1 v1
xJvxJu1xuxvuxvxyuyv0uxvx
同理 可得
u1xyJv
v1xyJu §8 6
多元函数微分学的几何应用
一
空间曲线的切线与法平面
设空间曲线的参数方程为
x(t) y(t) z(t)这里假定(t) (t) (t)都在[ ]上可导
在曲线上取对应于tt0的一点M0(x0 y0 z0)及对应于tt0t的邻近一点M(x0+x y0+y z0+z) 作曲线的割线MM0 其方程为
xx0xyy0yzz0z 当点M沿着趋于点M0时割线MM0的极限位置就是曲线在点M0处的切线 考虑
xx0yy0zz0 xyzttt当MM0 即t0时 得曲线在点M0处的切线方程为
xx0yy0zz0 (t0)(t0)(t0)
曲线的切向量 切线的方向向量称为曲线的切向量 向量
T((t0) (t0) (t0))就是曲线在点M0处的一个切向量
法平面 通过点M0而与切线垂直的平面称为曲线在点M0 处的法平面 其法平面方程为
(t0)(xx0)(t0)(yy0)(t0)(zz0)0
例1 求曲线xt yt2 zt3在点(1 1 1)处的切线及法平面方程
解
因为xt1 yt2t zt3t2 而点(1 1 1)所对应的参数t1 所以
T (1 2 3)
于是 切线方程为
y1z1
x1
123法平面方程为
(x1)2(y1)3(z1)0 即x2y3z6
讨论
1 若曲线的方程为
y(x) z(x)
问其切线和法平面方程是什么形式
提示 曲线方程可看作参数方程 xx y(x) z(x) 切向量为T(1 (x) (x))
2 若曲线的方程为
F(x y z)0 G(x y z)0
问其切线和法平面方程又是什么形式
提示 两方程确定了两个隐函数
y(x) z(x) 曲线的参数方程为
xx y(x) z(x) dydzFxFyFz0dydxdx由方程组可解得dydxdzGxGyGz0dxdx和dz
dx切向量为T(1, dydz,) dxdxdydz2x2y2z0dxdx得dydz10dxdx
例2 求曲线x2y2z26 xyz0在点(1 2 1)处的切线及法平面方程
解 为求切向量 将所给方程的两边对x求导数
解方程组得dydxzxdzxy yzdxyzdydx0在点(1 2 1)处
dz1
dx从而T (1 0 1)
所求切线方程为
y2z1
x1
101法平面方程为
(x1)0(y2)(z1)0 即xz0
二 曲面的切平面与法线
设曲面的方程为
F(x y z)0
M0(x0 y0 z0)是曲面上的一点
并设函数F(x y z)的偏导数在该点连续且不同时为零 在曲面上 通过点M0任意引一条曲线 假定曲线的参数方程式为
x(t) y(t) z(t)
tt0对应于点M0(x0 y0 z0) 且(t0) (t0) (t0)不全为零 曲线在点的切向量为
T ((t0) (t0) (t0))
考虑曲面方程F(x y z)0两端在tt0的全导数
Fx(x0 y0 z0)(t0)Fy(x0 y0 z0)(t0)Fz(x0 y0 z0)(t0)0
引入向量
n(Fx(x0 y0 z0) Fy(x0 y0 z0) Fz(x0 y0 z0))
易见T与n是垂直的 因为曲线是曲面上通过点M0的任意一条曲线 它们在点M0的切线都与同一向量n垂直 所以曲面上通过点M0的一切曲线在点M0的切线都在同一个平面上 这个平面称为曲面在点M0的切平面 这切平面的方程式是
Fx(x0 y0 z0)(xx0)Fy(x0 y0 z0)(yy0)Fz(x0 y0 z0)(zz0)0
曲面的法线 通过点M0(x0 y0 z0)而垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线 法线方程为
xx0Fx(x0, y0, z0)yy0Fy(x0, y0, z0)zz0Fz(x0, y0, z0)
曲面的法向量 垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量 向量
n(Fx(x0 y0 z0) Fy(x0 y0 z0) Fz(x0 y0 z0))就是曲面在点M0处的一个法向量
例3 求球面x2y2z214在点(1 2 3)处的切平面及法线方程式
解
F(x y z) x2y2z214
Fx2x Fy2y Fz2z
Fx(1 2 3)2 Fy(1 2 3)4 Fz(1 2 3)6
法向量为n(2 4 6) 或n(1 2 3)
所求切平面方程为
2(x1)4(y2)6(z3)0 即x2y3z140
法线方程为x11y22z33
讨论 若曲面方程为zf(x y) 问曲面的切平面及法线方程式是什么形式
提示
此时F(x y z)f(x y)z
n(fx(x0 y0) fy(x0 y0) 1)
例4 求旋转抛物面zx2y21在点(2 1 4)处的切平面及法线方程
解
f(x y)x2y21
n(fx fy 1)(2x 2y 1)
n|(2 1 4)(4 2 1)
所以在点(2 1 4)处的切平面方程为
4(x2)2(y1)(z4)0 即4x2yz60
y1z4法线方程为 x2
421 §8 7
方向导数与梯度
一、方向导数
现在我们来讨论函数zf(x y)在一点P沿某一方向的变化率问题
设l是xOy平面上以P0(x0 y0)为始点的一条射线 el(cos cos )是与l同方向的单位向量 射线l的参数方程为
xx0t cos yy0t cos (t0)
设函数zf(x y)在点P0(x0 y0)的某一邻域U(P0)内有定义 P(x0t cos y0t cos )为l上另一点 且PU(P0) 如果函数增量f(x0t cos y0t cos )f(x0 y0)与P到P0的距离|PP0|t的比值
f(x0tcos, y0tcos)f(x0,y0)t
当P沿着l趋于P0(即tt0)时的极限存在
则称此极限为函数f(x y)在点P0沿方向l的方向导数 记作flfl(x0,y0) 即
lim(x0,y0)f(x0tcos, y0tcos)f(x0,y0)tt0
从方向导数的定义可知 方向导数
fl(x0,y0)就是函数f(x y)在点P0(x0 y0)处沿方向l的变化率
方向导数的计算
定理
如果函数zf(x y)在点P0(x0 y0)可微分 那么函数在该点沿任一方向l 的方向导数都存在 且有
fl(x0,y0)fx(x0,y0)cosfy(x0,y0)cos
其中cos cos 是方向l 的方向余弦
简要证明 设xt cos yt cos 则
f(x0tcos y0tcos)f(x0 y0)f x(x0 y0)tcosf y(x0 y0)tcoso(t)
所以
limf(x0tcos, y0tcos)f(x0,y0)t0tfx(x0,y0)cosfy(x0,y0)sin
这就证明了方向导数的存在 且其值为
fl(x0,y0)fx(x0,y0)cosfy(x0,y0)cos提示 f(x0x,y0y)f(x0,y0)fx(x0,y0)xfy(x0,y0)yo((x)2(y)2)
xt cos yt cos (x)2(y)2t
讨论 函数zf(x y)在点P 沿x轴正向和负向
沿y轴正向和负向的方向导数如何? 提示
沿x轴正向时 cos cos0
flfx
沿x轴负向时 cos1 cos0
ff lx
例1 求函数zxe2y在点P(1 0)沿从点P(1 0)到点Q(2 1)的方向的方向导数
解 这里方向l即向量PQ(1, 1)的方向 与l同向的单位向量为
el(12, 12)
e2y1
zy2xe2y2 因为函数可微分 且z所以所求方向导数为
zl(1,0)x(1,0)(1,0)(1,0)(1,0)1122(12)2
2对于三元函数f(x y z)来说 它在空间一点P0(x0 y0 z0)沿el(cos cos cos )的方向导数为
fllim(x0,y0,z0)f(x0tcos, y0tcos,z0tcos)f(x0,y0,z0)tt0
如果函数f(x y z)在点(x0 y0 z0)可微分 则函数在该点沿着方向el(cos cos cos 的方向导数为
fl(x0,y0,z0)fx(x0 y0 z0)cosfy(x0 y0 z0)cosfz(x0 y0 z0)cos
例2求f(x y z)xyyzzx在点(1 1 2)沿方向l的方向导数 其中l的方向角分
别为60 45 60
解 与l同向的单位向量为
el(cos60 cos 45 cos60(1, 2, 1)
222因为函数可微分且
fx(1 1 2)(yz)|(1 1 2)3
fy(1 1 2)(xz)|(1 1 2)3
fz(1 1 2)(yx)|(1 1 2)2 所以
fl1211332(532)2222(1,1,2)
二 梯度
设函数zf(x y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数 则对于每一点P0(x0 y0)D 都可确定一个向量
fx(x0 y0)ify(x0 y0)j
这向量称为函数f(x y)在点P0(x0 y0)的梯度 记作grad f(x0 y0) 即
grad f(x0 y0) fx(x0 y0)ify(x0 y0)j
梯度与方向导数
如果函数f(x y)在点P0(x0 y0)可微分 el(cos cos )是与方向l同方向的单位向量 则
fl(x0,y0)fx(x0,y0)cosfy(x0,y0)cos
grad f(x0 y0)el
| grad f(x0 y0)|cos(grad f(x0 y0)^ el)
这一关系式表明了函数在一点的梯度与函数在这点的方向导数间的关系 特别 当向量el与grad f(x0 y0)的夹角0 即沿梯度方向时 方向导数
fl取得
(x0,y0)最大值 这个最大值就是梯度的模|grad f(x0 y0)| 这就是说 函数在一点的梯度是个向量 它的方向是函数在这点的方向导数取得最大值的方向 它的模就等于方向导数的最大值
讨论 fl的最大值
结论 函数在某点的梯度是这样一个向量 它的方向与取得最大方向导数的 方向一致 而它的模为方向导数的最大值
我们知道 一般说来二元函数zf(x y)在几何上表示一个曲面 这曲面被平面zc(c是常数)所截得的曲线L的方程为
zf(x,y)
zc这条曲线L在xOy面上的投影是一条平面曲线L* 它在xOy平面上的方程为
f(x y)c
对于曲线L*上的一切点 已给函数的函数值都是c 所以我们称平面曲线L*为函数zf(x y)的等值线
若f x f y不同时为零 则等值线f(x y)c上任一点P0(x0 y0)处的一个单位法向量为
n1fx2(x0,y0)fy2(x0,y0)(fx(x0,y0),fy(x0,y0))
这表明梯度grad f(x0 y0)的方向与等值线上这点的一个法线方向相同 而沿这个方向的方向导数f就等于|grad f(x0 y0)| 于是 nfn
n
gradf(x0,y0)
这一关系式表明了函数在一点的梯度与过这点的等值线、方向导数间的关系 这说是说 函数在一点的梯度方向与等值线在这点的一个法线方向相同 它的指向为从数值较低的等值线指向数值较高的等值线 梯度的模就等于函数在这个法线方向的方向导数
梯度概念可以推广到三元函数的情形 设函数f(x y z)在空间区域G内具有一阶连续偏导数 则对于每一点P0(x0 y0 z0)G 都可定出一个向量
fx(x0 y0 z0)ify(x0 y0 z0)jfz(x0 y0 z0)k
这向量称为函数f(x y z)在点P0(x0 y0 z0)的梯度 记为grad f(x0 y0 z0) 即
grad f(x0 y0 z0)fx(x0 y0 z0)ify(x0 y0 z0)jfz(x0 y0 z0)k
结论 三元函数的梯度也是这样一个向量 它的方向与取得最大方向导数的方向一致 而它的模为方向导数的最大值
如果引进曲面
f(x y z)c
为函数的等量面的概念 则可得函数f(x y z)在点P0(x0 y0 z0)的梯度的方向与过点P0的等量面 f(x y z)c在这点的法线的一个方向相同 且从数值较低的等量面指向数值较高的等量面 而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数
例3 求grad 1x2y2
解 这里f(x,y)
因为 1x2y2ff2y2x
222222xy(xy)(xy)2y2xij
(x2y2)2(x2y2)21所以
grad 2xy2
例4 设f(x y z)x2y2z2 求grad f(1 1 2)
解 grad f(fx fy fz)(2x 2y 2z)
于是
grad f(1 1 2)(2 2 4)
数量场与向量场 如果对于空间区域G内的任一点M 都有一个确定的数量f(M) 则称在这空间区域G内确定了一个数量场(例如温度场、密度场等) 一个数量场可用一个数量函数f(M)来确定 如果与点M相对应的是一个向量F(M) 则称在这空间区域G内确定了一个向量场(例如力场、速度场等) 一个向量场可用一个向量函数F(M)来确定 而
F(M)P(M)iQ(M)jR(M)k
其中P(M) Q(M) R(M)是点M的数量函数
利用场的概念 我们可以说向量函数grad f(M)确定了一个向量场——梯度场 它是由数量场f(M)产生的 通常称函数f(M)为这个向量场的势 而这个向量场又称为势场 必须注意 任意一个向量场不一定是势场 因为它不一定是某个数量函数的梯度场
例5 试求数量场m所产生的梯度场 其中常数m>0
rrx2y2z2为原点O与点M(x y z)间的距离
rmx 解 (m)m 23xrrxr同理
mym()3yrr (m)mz 3zrrymmxz2(ijk) 从而
gradrrrrryxz记erijk 它是与OM同方向的单位向量 则gradmmer
rrrrr2
上式右端在力学上可解释为 位于原点O 而质量为m 质点对位于点M而质量为l的质点的引力 这引力的大小与两质点的质量的乘积成正比、而与它们的距平方成反比 这引力的方向由点M指向原点 因此数量场m的势场即梯度场
rgradm称为引力场 而函数m称为引力势
r
r §88
多元函数的极值及其求法
一、多元函数的极值及最大值、最小值
定义
设函数zf(x y)在点(x0 y0)的某个邻域内有定义 如果对于该邻域内任何异于(x0 y0)的点(x y) 都有
f(x y)
则称函数在点(x0 y0)有极大值(或极小值)f(x0 y0)
极大值、极小值统称为极值 使函数取得极值的点称为极值点
例1 函数z3x24y2在点(0 0)处有极小值
当(x y)(0 0)时 z0 而当(x y)(0 0)时 z0 因此z0是函数的极小值
例2 函数zx2y2在点(0 0)处有极大值
当(x y)(0 0)时 z0 而当(x y)(0 0)时 z0 因此z0是函数的极大值
例3 函数zxy在点(0 0)处既不取得极大值也不取得极小值
因为在点(0 0)处的函数值为零 而在点(0 0)的任一邻域内 总有使函数值为正的点 也有使函数值为负的点
以上关于二元函数的极值概念 可推广到n元函数
设n元函数uf(P)在点P0的某一邻域内有定义 如果对于该邻域内任何异于P0的点P 都有
f(P)
则称函数f(P)在点P0有极大值(或极小值)f(P0)
定理1(必要条件)设函数zf(x y)在点(x0 y0)具有偏导数 且在点(x0 y0)处有极值 则有
fx(x0 y0)0 fy(x0 y0)0
证明 不妨设zf(x y)在点(x0 y0)处有极大值 依极大值的定义 对于点(x0 y0)的某邻域内异于(x0 y0)的点(x y) 都有不等式
f(x y) 特殊地 在该邻域内取yy0而xx0的点 也应有不等式 f(x y0) 这表明一元函数f(x y0)在xx0处取得极大值 因而必有 fx(x0 y0)0 类似地可证 fy(x0 y0)0 从几何上看 这时如果曲面zf(x y)在点(x0 y0 z0)处有切平面 则切平面 zz0fx(x0 y0)(xx0) fy(x0 y0)(yy0)成为平行于xOy坐标面的平面zz0 类似地可推得 如果三元函数uf(x y z)在点(x0 y0 z0)具有偏导数 则它在点 (x0 y0 z0)具有极值的必要条件为 fx(x0 y0 z0)0 fy(x0 y0 z0)0 fz(x0 y0 z0)0 仿照一元函数 凡是能使fx(x y)0 fy(x y)0同时成立的点(x0 y0)称为函数zf(x y)的驻点 从定理1可知 具有偏导数的函数的极值点必定是驻点 但函数的驻点不一定是极值点 例如 函数zxy在点(0 0)处的两个偏导数都是零 函数在(0 0)既不取得极大值也不取得极小值 定理2(充分条件) 设函数zf(x y)在点(x0 y0)的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数 又fx(x0 y0)0 fy(x0 y0)0 令 fxx(x0 y0)A fxy(x0 y0)B fyy(x0 y0)C 则f(x y)在(x0 y0)处是否取得极值的条件如下 (1)ACB2>0时具有极值 且当A<0时有极大值 当A>0时有极小值 (2)ACB2<0时没有极值 (3)ACB20时可能有极值 也可能没有极值 在函数f(x y)的驻点处如果 fxx fyyfxy2>0 则函数具有极值 且当fxx<0时有极大值 当fxx>0时有极小值 极值的求法 f(3 2)31 应注意的问题 不是驻点也可能是极值点 例如 函数zx2y2在点(0 0)处有极大值 但(0 0)不是函数的驻点 因此 在考虑函数的极值问题时 除了考虑函数的驻点外 如果有偏导数不存在的点 那么对这些点也应当考虑 最大值和最小值问题 如果f(x y)在有界闭区域D上连续 则f(x y)在D上必定能取得最大值和最小值 这种使函数取得最大值或最小值的点既可能在D的内部 也可能在D的边界上 我们假定 函数在D上连续、在D内可微分且只有有限个驻点 这时如果函数在D的内部取得最大值(最小值) 那么这个最大值(最小值)也是函数的极大值(极小值) 因此 求最大值和最小值的一般方法是 将函数f(x y)在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较 其中最大的就是最大值 最小的就是最小值 在通常遇到的实际问题中 如果根据问题的性质 知道函数f(x y)的最大值(最小值)一定在D的内部取得 而函数在D内只有一个驻点 那么可以肯定该驻点处的函数值就是函数f(x y)在D上的最大值(最小值) 例5 某厂要用铁板做成一个体积为8m3的有盖长方体水箱 问当长、宽、高各取多少时 才能使用料最省 解 设水箱的长为xm 宽为ym 则其高应为A2(xyy8xym 此水箱所用材料的面积为 8888x)2(xy)(x0, y0) xyxyxyy令Ax2(y82)0 Ay2(x82)0 得x2 y2 x 根据题意可知 水箱所用材料面积的最小值一定存在 并在开区域D{(x y)|x>0 y>0}内取得 因为函数A在D内只有一个驻点 所以 此驻点一定是A的最小值点 即当水箱的长为2m、宽为2m、高为82m时 水箱所用的材料最省 22 因此A在D内的唯一驻点(2 2)处取得最小值 即长为2m、宽为2m、高为82m时 所用材料最省 2从这个例子还可看出 在体积一定的长方体中 以立方体的表面积为最小 例6 有一宽为24cm的长方形铁板 把它两边折起来做成一断面为等腰梯形的水槽 问怎样折法才能使断面的面积最大? 解 设折起来的边长为xcm 倾角为 那末梯形断面的下底长为242x 上底长为242xcos 高为xsin 所以断面面积 A1(242x2xcos242x)xsin 2即A24xsin2x2sinx2sin cos(0 可见断面面积A是x和的二元函数 这就是目标函数 面求使这函数取得最大值的点(x ) 令Ax24sin4xsin2xsin cos0 A24xcos2x2 cosx2(cos2sin2)0 由于sin 0 x0 上述方程组可化为 2224cos2xcosx(cossin)0解这方程组 得60 x8cm 根据题意可知断面面积的最大值一定存在 并且在D{(x y)|0 二、条件极值 拉格朗日乘数法 对自变量有附加条件的极值称为条件极值 例如 求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积问题 设长方体的三棱的长为x y z 则体积Vxyz 又因假定表面积为a2 所以自变量x y z还必须满足附加条件2(xyyzxz)a2 这个问题就是求函数Vxyz在条件2(xyyzxz)a2下的最大值问题 这是一个条件极值问题 对于有些实际问题 可以把条件极值问题化为无条件极值问题 例如上述问题 由条件2(xyyzxz)a2 解得z Vxya22xy() 2(xy)a22xy2(xy)122xxcos0 于是得 只需求V的无条件极值问题 在很多情形下 将条件极值化为无条件极值并不容易 需要另一种求条件极值的专用方法 这就是拉格朗日乘数法 现在我们来寻求函数zf(x y)在条件(x y)0下取得极值的必要条件 如果函数zf(x y)在(x0 y0)取得所求的极值 那么有 (x0 y0)0 假定在(x0 y0)的某一邻域内f(x y)与(x y)均有连续的一阶偏导数 而y(x0 y0)0 由隐函数存在定理 由方程(x y)0确定一个连续且具有连续导数的函数y(x) 将其代入目标函数zf(x y) 得一元函数 zf [x (x)] 于是xx0是一元函数zf [x (x)]的极值点 由取得极值的必要条件 有 dzdxxx0fx(x0,y0)fy(x0,y0)dydxxx00 即 fx(x0,y0)fy(x0,y0)x(x0,y0)0 y(x0,y0)从而函数zf(x y)在条件(x y)0下在(x0 y0)取得极值的必要条件是 fx(x0,y0)fy(x0,y0)x(x0,y0)0与(x0 y0)0同时成立 y(x0,y0) 设fy(x0,y0)y(x0,y0) 上述必要条件变为 fx(x0,y0)x(x0,y0)0fy(x0,y0)y(x0,y0)0(x,y)000 拉格朗日乘数法 要找函数zf(x y)在条件(x y)0下的可能极值点 可以先构成辅助函数 F(x y)f(x y)(x y) 其中为某一常数 然后解方程组 Fx(x,y)fx(x,y)x(x,y)0Fy(x,y)fy(x,y)y(x,y)0 (x,y)0 由这方程组解出x y及 则其中(x y)就是所要求的可能的极值点 这种方法可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形 至于如何确定所求的点是否是极值点 在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定 例7 求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积 解 设长方体的三棱的长为x y z 则问题就是在条件 2(xyyzxz)a2 下求函数Vxyz的最大值 构成辅助函数 F(x y z)xyz(2xy 2yz 2xz a2) 解方程组 Fx(x,y,z)yz2(yz)0Fy(x,y,z)xz2(xz)0 Fz(x,y,z)xy2(yx)022xy2yz2xza得xyz6a 6这是唯一可能的极值点 因为由问题本身可知最大值一定存在 所以最大值就在这个可能的值点处取得 此时V6a3 第八章多元函数的微分法及其应用 § 1多元函数概念 一、设.二、求下列函数的定义域: 1、2、三、求下列极限: 1、(0) 2、() 四、证明极限不存在.证明:当沿着x轴趋于(0,0)时,极限为零,当沿着 趋于(0,0)时,极限为 ,二者不相等,所以极限不存在五、证明函数在整个xoy面上连续。 证明:当 时。当 时,所以函数在(0,0)也连续。所以函数 在整个xoy面上连续。 六、设 且当y=0时,求f(x)及z的表达式.解:f(x)=,z § 2偏导数 1、设z=,验证 证明:,2、求空间曲线 在点()处切线与y轴正向夹角() 3、设 ,求(1) 4、设 , 求,解:,5、设,证明 : 6、判断下面的函数在(0,0)处是否连续?是否可导(偏导)?说明理由 连续;不存在,7、设函数 f(x,y)在点(a,b)处的偏导数存在,求 (2fx(a,b)) § 3全微分 1、单选题 (1)二元函数f(x,y)在点(x,y)处连续是它在该点处偏导数存在的__________ (A)必要条件而非充分条件(B)充分条件而非必要条件 (C)充分必要条件(D)既非充分又非必要条件 (2)对于二元函数f(x,y),下列有关偏导数与全微分关系中正确的是___ (A)偏导数不连续,则全微分必不存在(B)偏导数连续,则全微分必存在(C)全微分存在,则偏导数必连续(D)全微分存在,而偏导数不一定存在2、求下列函数的全微分: 1) 2)解: 3)解: 3、设,求 解: = 4、设求: 5、讨论函数 在(0,0)点处的连续性、偏导数、可微性 解:所以 在(0,0)点处连续。,所以可微。 §4多元复合函数的求导法则 1、设,求 解: = 2、设,求 3、设,可微,证明 4、设,其中 具有二阶连续偏导数,求,解:,=,5、设,其中 具有二阶连续偏导数、具有二阶连续导数,求 解:,6、设,,求 解:。 7、设,且变换可把方程=0化为,其中 具有二阶连续偏导数,求常数 的值 证明: 得:a= 38、设函数f(x,y)具有连续的一阶偏导数,f(1,1)=1, ,又,求和(1),(a+ab+ab2+b3) § 5隐函数的求导公式 1、设,求 解:令,2、设 由方程 确定,其中 可微,证明 3、设 由方程 所确定,其中 可微,求 4、设,求,(,) 5、设 由方程 所确定,可微,求 解:令,则 6、设 由方程 所确定,求() 7、设z=z(x,y)由方程所确定,求 ,,§ 6微分法在几何中的应用 1、求螺旋线在对应于 处的切线及法平面方程 解:切线方程为 法平面方程 2、求曲线在(3,4,5)处的切线及法平面方程 解:切线方程为,法平面方程: 3、求曲面 在(1,-1,2)处的切平面及法线方程 解:切平面方程为 及法线方程 4、设 可微,证明由方程 所确定的曲面在任一点处的切平面与一定向量平行 证明:令,则,所以在()处的切平面与定向量()平行。 5、证明曲面)上任意一点处的切平面在三个坐标轴上的截距的平方和为 证明:令,则 在任一点 处的切平面方程为 在在三个坐标轴上的截距分别为 在三个坐标轴上的截距的平方和为 证明曲面 上任意一点 处的切平面都通过原点 7、设F(x,y,z)具有连续偏导数,且对任意实数t, 总有 k为自然数,试证:曲面F(x,y,z)=0上任意一点的切平面都相交于一定点 证明 :两边对t 求导,并令t= 1设是曲面上任意一点,则过这点的切平面为: + + =0 此平面过原点(0,0,0) § 7方向导数与梯度 1、设函数,1)求该函数在点(1,3)处的梯度。 2)在点(1,3)处沿着方向 的方向导数,并求方向导数达到最大和最小的方向 解:梯度为, 方向导数达到最大值的方向为,方向导数达到 最小值的方向为。 2、求函数 在(1,2,-1)处沿方向角为 的方向导数,并求在该点处方向导数达到最大值的方向及最大方向导数的值。 解::方向导数为,该点处方向导数达到最大值的方向即为梯度的方向,此时最大值为 3、求函数 在(1,1,-1)处沿曲线 在(1,1,1)处的切线正方向(对应于t增大的方向)的方向导数。 解::,该函数在点(1,1,-1)处的方 向导数为,4、求函数 在(1,1,-1)处的梯度。 解::,§ 8多元函数的极值及求法 1、求函数 的极值。 答案:(,)极小值点 2.求函数 的极值 答案:极小值 3.函数 在点(1,1)处取得极值,求常数a(-5) 4、求函数 在条件 下的条件极值 解:,极小值为 5、欲造一个无盖的长方体容器,已知底部造价为3元/平方,侧面造价均为1元/平方,现想用36元造一个容积最大的容器,求它的尺寸。 (长和宽2米,高3米) 6、在球面()上求一点,使函数达到极大值,并求此时的极大值。利用此极大值证明有 证明:令 令,解得驻点。所以函数 在 处达到极大值。极大值为。即,令 得。 7、求椭球面 被平面x+y+z=0截得的椭圆的长半轴与短半轴的长度 解:,长半轴,短半轴 第八章自测题 一、选择题:(每题2分,共14分) 1、设有二元函数则[] A、存在; B、不存在; C、存在,且 在(0,0)处不连续; D、存在,且 在(0,0)处连续。 2、函数 在 各一阶偏导数存在且连续是 在 连续的[] A、必要条件;B、充分条件; C、充要条件;D、既非必要也非充分条件。 3、函数在(0,0)点处[] A、极限值为1;B、极限值为-1; C、连续;D、无极限。 4、在 处,存在是函数在该点可微分的[] (A)必要条件;(B)充分条件; (C)充要条件;(D)既非必要亦非充分条件。 5、点 是函数 的[] (A)极小值点;(B)驻点但非极值点; (C)极大值点;(D)最大值点。 6、曲面 在点P(2,1,0)处的切平面方程是[] (A);(B); (C);(D) 7、已知函数 均有一阶连续偏导数,那么 [] (A);(B); (C);(D) 二、填空题:(每题3分,共18分) 1、(0) 2、设,则() 3、设 则(0) 4、设,则在点 处的全微分.5、曲线 在点 处的切线方程为(6、曲线 在点(1,1,1)处的切线方程为() 三、计算题(每题6分) 1、设,求 的一阶偏导数。 2、设,求此函数在点 处的全微分。并求该函数在该点处沿着从P 到 方向的方向导数(,) 3、设 具有各二阶连续偏导数,求 解: 4、设求 和。 不存在,故 不存在,同理,也不存在。 当 时,有 5、设 由方程 所确定,求() 6、设,具有连续的二阶偏导数,可导,求 7、设 确定函数,求。 8、设,式中 二阶可导,求 解:记,则,) 类似地,有 四、(10分)试分解正数 为三个正数之和,而使它们的倒数和为最小。设三个正数为,则,记,令 则由 解出。 五、证明题:(10分) 试证:曲面 上任一点处的切平面都平行于一条直线,式中 连续可导。证明:曲面在任一点 处的切平面的法向量为 定直线L的方向向量若为,则,即 则曲面上任一点的切平面平行于以(1,1,1)为方向的定直线。 第十一章 多元函数微分法及其应用 教学目标: 1、理解邻域、内点、聚点、边界点和区域的概念,二元函数的概念,掌握多元函数极限和连续性的概念; 2、理解偏导数的概念和几何意义,掌握偏导数的计算方法,理解函数偏导数存在与连续的关系; 3、理解全微分的概念,可微分的充分条件和必要条件,可微和连续的关系; 4、了解二元函数的泰勒公式; 5、掌握多元复合函数的求导法则; 6、掌握隐函数的求导法则; 7、掌握空间曲线的切线和法平面,空间曲线的法线和切平面的求法; 8、会求二元函数的无条件极值及利用拉格朗日乘数法求条件极值。 教学重点: 1、偏导数的计算方法; 2、多元复合函数的求导法则; 3、隐函数的求导法则; 4、掌握空间曲线的切线和法平面,空间曲面的法线和切平面的求法; 5、会求二元函数的无条件极值及利用拉格朗日乘数法求条件极值。 教学难点: 1、函数偏导数存在与连续的关系; 2、二元函数的泰勒公式; 3、二元函数的无条件极值及利用拉格朗日乘数法求条件极值。 教学方法 讲授法与多媒体相结合。 教学内容 §1 多元函数的基本功能 一、平面点集 1、平面点集 平面解析几何使二元实数组x,y与平面上的点P一一对应,于是二元有序实数组x,y的全体:R2RRx,yx,yR就表示坐标平面。 坐标平面上具有某种性质P的点的集合,称为平面点集,记为E x,yx,y具有性质P。例如,xoy平面上以原点为中心、r为半径的圆内所有点的 多元函数微分法及其应用 第九章 多元函数微分法及其应用 【教学目标与要求】 1、理解多元函数的概念和二元函数的几何意义。 2、了解二元函数的极限与连续性的概念,以及有界闭区域上的连续函数的性质。 3、理解多元函数偏导数和全微分的概念,会求全微分,了解全微分存在的必要条件和充分条件,了解全微分形式的不变性。 4、理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。 5、掌握多元复合函数偏导数的求法。 6、会求隐函数(包括由方程组确定的隐函数)的偏导数。 7、了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念,会求它们的方程。 8、了解二元函数的二阶泰勒公式。 9、理解多元函数极值和条件极值的概念,掌握多元函数极值存在的必要条件,了解二元函数极值存在的充分条件,会求二元函数的极值,会用拉格郎日乘数法求条件极值,会求简多元函数的最大值和最小值,并会解决一些简单的应用问题。 【教学重点】 1、二元函数的极限与连续性; 2、函数的偏导数和全微分; 3、方向导数与梯度的概念及其计算; 4、多元复合函数偏导数; 5、隐函数的偏导数;多元函数极值和条件极值的求法; 6、曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线; 【教学难点】 1、二元函数的极限与连续性的概念; 2、全微分形式的不变性; 3、复合函数偏导数的求法; 4、二元函数的二阶泰勒公式; 5、隐函数(包括由方程组确定的隐函数)的偏导数; 6、拉格郎日乘数法,多元函数的最大值和最小值。 【教学课时分配】(18学时)第1 次课 §1 第2 次课 §2 第3 次课 §3 第4 次课 §4 第5次课 §5 第6次课 §6 第7次课 §7 第8次课 §8 第9次课 习题课 【参考书】 [1]同济大学数学系.《高等数学(下)》,第五版.高等教育出版社.[2] 同济大学数学系.《高等数学学习辅导与习题选解》,第六版.高等教育出版社. [3] 同济大学数学系.《高等数学习题全解指南(下)》,第六版.高等教育出版社 多元函数微分法及其应用 §9 1 多元函数的基本概念 一、平面点集n维空间 1.区域 由平面解析几何知道 当在平面上引入了一个直角坐标系后平面上的点P与有序二元实数组(x y)之间就建立了一一对应 于是 我们常把有序实数组(x y)与平面上的点P视作是等同的 这种建立了坐标系的平面称为坐标平面 二元的序实数组(x y)的全体 即R2RR{(x y)|x yR}就表示坐标平面 坐标平面上具有某种性质P的点的集合 称为平面点集 记作 E{(x y)|(x y)具有性质P} 例如平面上以原点为中心、r为半径的圆内所有点的集合是 C{(x y)| x2y2r2} 如果我们以点P表示(x y) 以|OP|表示点P到原点O的距离 那么集合C可表成 C{P| |OP|r} 邻域 设P0(x0 y0)是xOy平面上的一个点 是某一正数 与点P0(x0 y0)距离小于的点P(x y)的全体 称为点P0的邻域 记为U(P0 即 2U(P0,){(x, y)|(xx0)(yy0) } 0,){P| |PP0|}或U(P邻域的几何意义 U(P0 )表示xOy平面上以点P0(x0 y0)为中心、 >0为半径的圆的内部的点P(x y)的全体 点P0的去心邻域 记作U(P0, ) 即 U(P0, ){P| 0|P0P|} 注 如果不需要强调邻域的半径 则用U(P0)表示点P0的某个邻域 点P0的去心邻域记作U(P0) 点与点集之间的关系 任意一点PR2与任意一个点集ER2之间必有以下三种关系中的一种 (1)内点 如果存在点P的某一邻域U(P) 使得U(P)E 则称P为E的内点 (2)外点 如果存在点P的某个邻域U(P) 使得U(P)E 则称P为E的外点 (3)边界点 如果点P的任一邻域内既有属于E的点 也有不属于E的点 则称P点为E的边点 E的边界点的全体 称为E的边界 记作E E的内点必属于E E的外点必定不属于E 而E的边界点可能属于E 也可能不属于E 聚点 如果对于任意给定的0 点P的去心邻域U(P,)内总有E中的点 则称P是E的聚点 多元函数微分法及其应用 由聚点的定义可知 点集E的聚点P本身 可以属于E 也可能不属于E 例如 设平面点集 E{(x y)|1x2y22} 满足1x2y22的一切点(x y)都是E的内点 满足x2y21的一切点(x y)都是E的边界点 它们都不属于E 满足x2y22的一切点(x y)也是E的边界点 它们都属于E 点集E以及它的界边E上的一切点都是E的聚点 开集 如果点集E 的点都是内点 则称E为开集 闭集 如果点集的余集E c为开集 则称E为闭集 开集的例子 E{(x y)|1 闭集的例子 E{(x y)|1x2y22} 集合{(x y)|1x2y22}既非开集 也非闭集 连通性 如果点集E内任何两点 都可用折线连结起来 且该折线上的点都属于E 则称E为连通集 区域(或开区域) 连通的开集称为区域或开区域 例如E{(x y)|1x2y22} 闭区域 开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域 例如E {(x y)|1x2y22} 有界集 对于平面点集E 如果存在某一正数r 使得 EU(O r) 其中O是坐标原点 则称E为有界点集 无界集 一个集合如果不是有界集 就称这集合为无界集 例如 集合{(x y)|1x2y22}是有界闭区域 集合{(x y)| xy1}是无界开区域 集合{(x y)| xy1}是无界闭区域 2 n维空间 设n为取定的一个自然数 我们用Rn表示n元有序数组(x1 x2 xn)的全体所构成的集合 即 RnRRR{(x1 x2 xn)| xiR i1 2 n} Rn中的元素(x1 x2 xn)有时也用单个字母x来表示 即x(x1 x2 xn) 当所有的xi(i1 2 n)都为零时 称这样的元素为Rn中的零元 记为0或O 在解析几何中 通过直角坐标 R2(或R3)中的元素分别与平面(或空间)中的点或向量建立一一对应 因而Rn中的元素x(x1 x2 xn)也称为Rn中的一个点或一个n维向量 xi称为点x的第i个坐标或n维向量x的第i个分量 特别地 Rn中的零元0称为Rn中的坐标原点或n维零向量 二 多元函数概念 例1 圆柱体的体积V 和它的底半径r、高h之间具有关系 V r2h这里 当r、h在集合{(r h)| r>0 h>0}内取定一对值(r h)时 V对应的值就随之确定 例2 一定量的理想气体的压强p、体积V和绝对温度T之间具有关系 pRTV其中R为常数 这里 当V、T在集合{(V T)| V>0 T>0}内取定一对值(V T)时 p的对应值就随之 多元函数微分法及其应用 确定 定义 1设D是R2的一个非空子集 称映射f DR为定义在D上的二元函数 通常记为 zf(x y)(x y)D(或zf(P) PD)其中点集D称为该函数的定义域 x y称为自变量 z称为因变量 上述定义中 与自变量x、y的一对值(x y)相对应的因变量z的值 也称为f在点(x y)处的函数值 记作f(x y) 即zf(x y) 值域 f(D){z| zf(x y)(x y)D} 函数的其它符号 zz(x y) zg(x y)等 类似地可定义三元函数uf(x y z)(x y z)D以及三元以上的函数 一般地 把定义1中的平面点集D换成n维空间Rn内的点集D 映射f DR就称为定义在D上的n元函数 通常记为 uf(x1 x2 xn)(x1 x2 xn)D 或简记为 uf(x) x(x1 x2 xn)D 也可记为 uf(P) P(x1 x2 xn)D 关于函数定义域的约定 在一般地讨论用算式表达的多元函数uf(x)时 就以使这个算式有意义的变元x的值所组成的点集为这个多元函数的自然定义域 因而 对这类函数 它的定义域不再特别标出 例如 函数zln(xy)的定义域为{(x y)|xy>0}(无界开区域) 函数zarcsin(x2y2)的定义域为{(x y)|x2y21}(有界闭区域) 二元函数的图形 点集{(x y z)|zf(x y)(x y)D}称为二元函数zf(x y)的图形 二元函数的图形是一张曲面 三 多元函数的极限 与一元函数的极限概念类似 如果在P(x y)P0(x0 y0)的过程中 对应的函数值f(x y)无限接近于一个确定的常数A 则称A是函数f(x y)当(x y)(x0 y0)时的极限 定义2 :设二元函数f(P)f(x y)的定义域为D P0(x0 y0)是D的聚点 如果存在常数A 对于任意给定的正数总存在正数 使得当P(x,y)DU(P0,)时 都有 |f(P)A||f(x y)A| 成立 则称常数A为函数f(x y)当(x y)(x0 y0)时的极限 记为 (x,y)(x0,y0)limf(x,y)A 或f(x y)A((x y)(x0 y0)) PP0也记作 limf(P)A或f(P)A(PP0) 上述定义的极限也称为二重极限 例4.设f(x,y)(x2y2)sin 证 因为 1 求证limf(x,y)0 (x,y)(0,0)x2y多元函数微分法及其应用 |f(x,y)0||(x2y2)sin可见 >0 取10| |x2y2||sin1| x2y2 x2y2x2y222 则当0(x0)(y0) 即P(x,y)DU(O,)时 总有 |f(x y)0| 因此 必须注意(x,y)(0,0)limf(x,y)0 (1)二重极限存在 是指P以任何方式趋于P0时 函数都无限接近于A (2)如果当P以两种不同方式趋于P0时 函数趋于不同的值 则函数的极限不存在 讨论 xy x2y20 函数f(x,y)x2y2在点(0 0)有无极限? 220 xy0 提示 当点P(x y)沿x轴趋于点(0 0)时 (x,y)(0,0)limf(x,y)limf(x, 0)lim00 x0x0当点P(x y)沿y轴趋于点(0 0)时 (x,y)(0,0)limf(x,y)limf(0, y)lim00 y0y0当点P(x y)沿直线ykx有 2xykxk limlim (x,y)(0,0)x2y2x0x2k2x21k2 ykx因此 函数f(x y)在(0 0)处无极限 极限概念的推广 多元函数的极限 多元函数的极限运算法则 与一元函数的情况类似 例5 求sin(xy) x(x,y)(0,2)lim 解 sin(xy)sin(xy)sin(xy)limylimlimy122 xxy(x,y)(0,2)(x,y)(0,2)xy(x,y)(0,2)(x,y)(0,2)lim 四 多元函数的连续性 定义3 设二元函数f(P)f(x y)的定义域为D P0(x0 y0)为D的聚点 且P0D 如果 多元函数微分法及其应用 (x,y)(x0,y0)limf(x,y)f(x0,y0) 则称函数f(x y)在点P0(x0 y0)连续 如果函数f(x y)在D的每一点都连续 那么就称函数f(x y)在D上连续 或者称f(x y)是D上的连续函数 二元函数的连续性概念可相应地推广到n元函数f(P)上去 例6设f(x,y)sin x 证明f(x y)是R2上的连续函数 证 设P0(x0 y0) R2 0 由于sin x在x0处连续 故0 当|xx0|时 有 |sin xsin x0| 以上述作P0的邻域U(P0 ) 则当P(x y)U(P0 )时 显然 |f(x y)f(x0 y0)||sin xsin x0| 即f(x y)sin x在点P0(x0 y0)连续 由P0的任意性知 sin x作为x y的二元函数在R2上连续 类似的讨论可知 一元基本初等函数看成二元函数或二元以上的多元函数时 它们在各自的定义域内都是连续的 定义4设函数f(x y)的定义域为D P0(x0 y0)是D的聚点 如果函数f(x y)在点P0(x0 y0)不连续 则称P0(x0 y0)为函数f(x y)的间断点 例如 xy x2y20 函数f(x,y)x2y2 x2y200 其定义域DR2 O(0 0)是D的聚点 f(x y)当(x y)(0 0)时的极限不存在 所以点O(0 0)是该函数的一个间断点 又如 函数zsin1 其定义域为D{(x y)|x2y21} 圆周C{(x y)|x2y21}上的点2xy12都是D的聚点 而f(x y)在C上没有定义 当然f(x y)在C上各点都不连续 所以圆周C上各点都是该函数的间断点 注 间断点可能是孤立点也可能是曲线上的点 可以证明 多元连续函数的和、差、积仍为连续函数 连续函数的商在分母不为零处仍连续 多元连续函数的复合函数也是连续函数 多元初等函数 与一元初等函数类似 多元初等函数是指可用一个式子所表示的多元函数 这个式子是由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算而得到的 xx2y2x2y2z2e 例如 sin(xy) 都是多元初等函数 1y 2一切多元初等函数在其定义区域内是连续的 所谓定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域 多元函数微分法及其应用 例7 求 xy (x,y)(1,2)xylim 一般地 求limf(P)时 如果f(P)是初等函数 且P0是f(P)的定义域的内点 则f(P)在点P0PP0处连续 于是 limf(P)f(P0) PP0 例8 求(x,y)(0, 0)limxy11 xy 五、多元连续函数的性质 性质1(有界性与最大值最小值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数 必定在D上有界 且能取得它的最大值和最小值 性质1就是说 若f(P)在有界闭区域D上连续 则必定存在常数M0 使得对一切PD 有|f(P)|M 且存在P1、P 2D 使得 f(P1)max{f(P)|PD} f(P2)min{f(P)|PD} 性质2(介值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值 小结 1.区域的概念; 2.多元函数的定义; 3.多元函数的极限及其求解; 4.多元函数的连续性。 教学方式及教学过程中应注意的问题 在教学过程中要注意区域的定义和多元函数的定义,多元函数的极限和连续性的理解是本节的重点,要结合实例,反复讲解。 师生活动设计 课后习题:7,8,9 讲课提纲、板书设计 作业 P63: 5(2)(4)(6),6(2)(3)(5)(6) §9 2 偏导数 一、偏导数的定义及其计算法 对于二元函数zf(x y) 如果只有自变量x 变化 而自变量y固定 这时它就是x的一元函数 多元函数微分法及其应用 这函数对x的导数 就称为二元函数zf(x y)对于x的偏导数 定义 设函数zf(x y)在点(x0 y0)的某一邻域内有定义 当y固定在y0而x在x0处有增量x时 相应地函数有增量 f(x0x y0)f(x0 y0) 如果极限 x0limf(x0x,y0)f(x0,y0) x存在 则称此极限为函数zf(x y)在点(x0 y0)处对x的偏导数 记作 fzxx0 xx zxyy0xyy00x例如 xx0yy0 或fx(x0,y0) fx(x0,y0)limx0f(x0x,y0)f(x0,y0) x类似地 函数zf(x y)在点(x0 y0)处对y 的偏导数定义为 y0limf(x0,y0y)f(x0,y0) y记作 fz x0yxyyy0xx0 yy0zyxx0yy0 或fy(x0 y0) 偏导函数 如果函数zf(x y)在区域D内每一点(x y)处对x的偏导数都存在 那么这个偏导数就是x、y的函数 它就称为函数zf(x y)对自变量x的偏导函数 记作 z f z 或f(x,y) xxxxf(xx,y)f(x,y)偏导函数的定义式 fx(x,y)lim xx0 类似地 可定义函数zf(x y)对y的偏导函数 记为 zf zy 或fy(x,y) yyy0偏导函数的定义式 fy(x,y)limf(x,yy)f(x,y) y 讨论 下列求偏导数的方法是否正确? fx(x0,y0)fx(x,y)xx0 fy(x0,y0)fy(x,y)xx0 yy0yy0 多元函数微分法及其应用 fx(x0,y0)[df(x,y)]df(x,y)]f(x,y)[ y000yy0 0xx0dydx 偏导数的概念还可推广到二元以上的函数例如三元函数uf(x y z)在点(x y z)处对x的偏导数定义为 fx(x,y,z)limx0f(xx,y,z)f(x,y,z) x其中(x y z)是函数uf(x y z)的定义域的内点 它们的求法也仍旧是一元函数的微分法问题 例1 求zx23xyy2在点(1 2)处的偏导数 例2 求zx2sin 2y的偏导数 例3 设zxy(x0,x1) 求证 xz1z2z yxlnxy 例4 求rx2y2z2的偏导数 例5 已知理想气体的状态方程为pV=RT(R为常数) 求证 pVT1 VTpRT pRT VV2VRTVR V pTppVTV T pRR 证 因为p所以pVTRVRT1 RTVTppVV2pR 例5 说明的问题 偏导数的记号是一个整体记号 不能看作分子分母之商 二元函数zf(x y)在点(x0 y0)的偏导数的几何意义 fx(x0 y0)[f(x y0)]x是截线zf(x y0)在点M0处切线Tx对x轴的斜率 fy(x0 y0)[f(x0 y)]y是截线zf(x0 y)在点M0处切线Ty对y轴的斜率 偏导数与连续性 对于多元函数来说 即使各偏导数在某点都存在 也不能保证函数在该点连续 例如 xy x2y20 f(x,y)x2y2 x2y200 在点(0 0)有 fx(0 0)0 fy(0 0)0 但函数在点(0 0)并不连续 多元函数微分法及其应用 提示 f(x, 0)0 f(0, y)0 fx(0, 0)d[f(x, 0)]0 f(0, 0)d[f(0, y)]0 ydydxf(x,y)limf(x, 0)lim00 x0x0 当点P(x y)沿x轴趋于点(0 0)时 有 (x,y)(0,0)lim 当点P(x y)沿直线ykx趋于点(0 0)时 有 2xykxk limlim (x,y)(0,0)x2y2x0x2k2x21k2 ykx因此(x,y)(0,0)limf(x,y)不存在 故函数f(x y)在(0 0)处不连续 类似地 可定义函数zf(x y)对y的偏导函数 记为 zf zy 或fy(x,y) yyy0偏导函数的定义式 fy(x,y)lim 二 高阶偏导数 f(x,yy)f(x,y) y 设函数zf(x y)在区域D内具有偏导数 zf(x,y) zf(x,y) yyxx那么在D内fx(x y)、fy(x y)都是x y 的函数 如果这两个函数的偏导数也存在 则称它们是函数zf(x y)的二偏导数 按照对变量求导次序的为同有下列四个二阶偏导数 如果函数zf(x y)在区域D内的偏导数fx(x y)、fy(x y)也具有偏导数 则它们的偏导数称为函数zf(x y)的二阶偏导数 按照对变量求导次序的 不同有下列四个二阶偏导数 (z)2zf(x,y)(z)2zf(x,y) xxx2xxyxxyxy22zzz()fyx(x,y)()zfyy(x,y) xyyxyyy2 多元函数微分法及其应用 22zzz()fxy(x,y)()zfyx(x,y)称为混合偏导数 其中yxxyxyyx22(z)2z(z)2zzzzz () ()xxx2yxxyxyyxyyy2 同样可得三阶、四阶、以及n 阶偏导数 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数 222z3zzz 例6 设zxy3xyxy1 求2、3、和 yxxyxx323由例6观察到的问题 2z2z yxxy22zz在区域D内连续 那么在该区 定理 如果函数zf(x y)的两个二阶混合偏导数及 yxxy域内这两个二阶混合偏导数必相等 类似地可定义二元以上函数的高阶偏导数 例7 验证函数zlnx2y2满足方程 2z2z0 x2y2 证 因为zlnx2y2ln(x2y2) 所以 12zx zy xx2y2yx2y22(x2y2)x2xy2x2z 222 2222x(xy)(xy)2(x2y2)y2yx2y2z 222 y2(x2y2)2(xy)22x2y2y2x2zz因此 2222220 22xy(xy)(xy)222uuu1 例8.证明函数u满足方程2220 rxyz 多元函数微分法及其应用 其中rx2y2z2 u1r1xx xr2xr2rr32u13xr13x 234x35xrrrr 证 23y22u13z2u1同理 35 2zr3r5y2rr22223y2uuu13x113z2因此222(35)(35)(35) xyzrrrrrr3(x2y2z2)333r20 3 535rrrrr3x(r3)r3x3r2r2u(x)xx 提示 x2xr3r6r6 小结 1.偏导数的概念及有关结论:定义,记号,几何意义,偏导数的存在与连续性; 2.偏导数的计算方法:求导的先后顺序。 教学方式及教学过程中应注意的问题 在教学过程中要注意偏导数的定义以及偏导数的求法,特别是求导先后顺序问题是本节的重点,要结合实例,反复讲解。 师生活动设计 1.设zf(u),方程u(u)xyp(t)dt确定u是x,y的函数,其中f(u),(u)可微,zzp(x)。xyp(t),(u)连续,且(u)1,求p(y)2.课后习题:5,6 讲课提纲、板书设计 作业 P69: 1(4)(6)(8),4,6(3),8 多元函数微分法及其应用 §9 3全微分及其应用 一、全微分的定义 根据一元函数微分学中增量与微分的关系有 偏增量与偏微分 f(xx y)f(x y)fx(x y)x f(xx y)f(x y)为函数对x的偏增量 f x(x y)x为函数对x的偏微分 f(x yy)f(x y)fy(x y)y f(x yy)f(x y)为函数)对y的偏增量 f y(x y)y为函数对y的偏微分 全增量 z f(xx yy)f(x y) 计算全增量比较复杂 我们希望用x、y的线性函数来近似代替之 定义 如果函数zf(x y)在点(x y)的全增量 z f(xx yy)f(x y)可表示为 zAxByo()((x)2(y)2) 其中A、B不依赖于x、y 而仅与x、y 有关 则称函数zf(x y)在点(x y)可微分 而称AxBy为函数zf(x y)在点(x y)的全微分 记作dz 即 dzAxBy 如果函数在区域D内各点处都可微分 那么称这函数在D内可微分 可微与连续 可微必连续 但偏导数存在不一定连续 这是因为 如果zf(x y)在点(x y)可微则 z f(xx yy)f(x y)AxByo() 多元函数微分法及其应用 于是 limz0 0从而 (x,y)(0,0)limf(xx,yy)lim[f(x,y)z]f(x,y) 0因此函数zf(x y)在点(x y)处连续 定理1(必要条件) 如果函数zf(x y)在点(x y)可微分 则函数在该点的偏导数y)在点(x y)的全微分为 dzz、z必定存在 且函数zf(x xyzxzy xy 证 设函数zf(x y)在点P(x y)可微分 于是 对于点P的某个邻域内的任意一点P (xx yy) 有zAxByo() 特别当y0时有 f(xx y)f(x y)Axo(|x|) 上式两边各除以x 再令x0而取极限 就得 f(xx,y)f(x,y)A xx0z存在 且zA同理可证偏导数z存在 且zB 所以 从而偏导数 yyxxzzy dzxxy lim 简要证明设函数zf(x y)在点(x y)可微分 于是有zAxByo() 特别当y0时有 f(xx y)f(x y)Axo(|x|) 上式两边各除以x 再令x0而取极限 就得 f(xx,y)f(x,y)o(|x|)lim[A]A xxx0x0z存在 且zA同理z存在 且zB 所以dzzxzy 从而 yxyyxxz、z存在是可微分的必要条件 但不是充分条件 偏导数xy lim 例如xy x2y20 函数f(x,y)x2y2在点(00)处虽然有f x(0 0)0及f y(0 0)0但函数在0 x2y20(00)不可微分即z[fx(0 0)xfy(0 0)y]不是较高阶的无穷小 这是因为当(x y)沿直线yx趋于(0 0)时 多元函数微分法及其应用 z[fx(0, 0)xfy(0, 0)y]xy2xx210 22(x)(y)(x)(x)2 定理2(充分条件) 如果函数zf(x y)的偏导数z、z在点(x y)连续 则函数在该点可微分 xy 定理1和定理2的结论可推广到三元及三元以上函数 按着习惯x、y分别记作dx、dy 并分别称为自变量的微分则函数zf(x y)的全微分可写作 dzzdxzdy xy 二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理 叠加原理也适用于二元以上的函数 例如函数uf(x y z)的全微分为 duudxudyudz xyz 例1 计算函数zx2y y2的全微分 例2 计算函数zexy在点(2 1)处的全微分 例3 计算函数uxsinyyze的全微分 2小结 1.全微分的定义; 2.可微、可导、连续性之间的关系。 教学方式及教学过程中应注意的问题 在教学过程中要注意全微分的定义,可微、可导、连续性之间的关系是本节的重点,要结合实例,反复讲解。 师生活动设计 1.函数zf(x,y)在(x0,y0)可微的充分条件是() (A)f(x,y)在(x0,y0)连续; (B)fx(x,y),fy(x,y)在(x0,在y0()x0,y0)的某领域内存在;(C)zfx(x,y)xfy(x,y)y 当(x)2(y)20时是无穷小量; 时是无穷小量(D)zfx(x,y)xfy(x,y)y(x)(y)22 当(x)2(y)20 多元函数微分法及其应用 2.课后习题:5 讲课提纲、板书设计 作业 P75: 1(1)(3),3 §9 4 多元复合函数的求导法则 dz? dtz和z? 设zf(u v) 而u(x y) v(x y) 如何求 xy 设zf(u v) 而u(t) v(t) 如何求 1 复合函数的中间变量均为一元函数的情形 定理1 如果函数u(t)及v(t)都在点t可导 函数zf(u v)在对应点(u v)具有连续偏导数 则复合函数zf[(t) (t)]在点t可导 且有 dzzduzdv dtudtvdt 简要证明1 因为zf(u v)具有连续的偏导数 所以它是可微的 即有 dzzduzdv uv又因为u(t)及v(t)都可导 因而可微 即有 du代入上式得 dudt dvdvdt dtdtzdudtzdvdt(zduzdv)dt udtvdtudtvdtdzzduzdv 从而 dtudtvdt dz 简要证明2 当t取得增量t时 u、v及z相应地也取得增量u、v及z 由zf(u v)、u(t)及v(t)的可微性 有 zuzvo()z[duto(t)]z[dvto(t)]o() uvudtvdtzduzdv)t(zz)o(t)o() (udtvdtuv z 多元函数微分法及其应用 zzduzdv(zz)o(t)o() tudtvdtuvtt令t0 上式两边取极限 即得 dzzduzdv dtudtvdto()o()(u)2(v)2注limlim0(du)2(dv)20 tdtdtt0tt0推广 设zf(u v w) u(t) v(t) w(t) 则zf[(t) (t) (t)]对t 的导数为 上述dzzduzdvzdw dtudtvdtwdtdz称为全导数 dt2 复合函数的中间变量均为多元函数的情形 定理2 如果函数u(x y) v(x y)都在点(x y)具有对x及y的偏导数 函数zf(u v)在对应点(u v)具有连续偏导数 则复合函数zf [(x y) (x y)]在点(x y)的两个偏导数存在 且有 zzuzv zzuzv xuxvxyuyvyzzuzvzw zzuzvzw xuxvxwxyuyvywy 推广 设zf(u v w) u(x y) v(x y) w(x y) 则 讨论 z?z? yxzzu zzuzdv 提示 xuxyuyvdyz?z? (2)设zf(u x y) 且u(x y) 则 yxzfuf zfuf 提示 xuxxyuyyz与f是不同的 z是把复合函数zf[(x y) x y]中的y看作不变而对x的偏导数 f这里xxxxzf是把f(u x y)中的u及y看作不变而 对x的偏导数 与也朋类似的区别 yy (1)设zf(u v) u(x y) v(y) 则 3.复合函数的中间变量既有一元函数 又有多元函数的情形 定理3 如果函数u(x y)在点(x y)具有对x及对y的偏导数 函数v(y)在点y可导 函数zf(u v)在对应点(u v)具有连续偏导数 则复合函数zf[(x y) (y)]在点(x y)的两个偏导数存在 多元函数微分法及其应用 且有 zzu zzuzdv xuxyuyvdyz和z 例1 设zeusin v uxy vxy 求 xy 2例2 设uf(x,y,z)exy2z2 而zx2siny 求 u和u xy 例3 设zuvsin t 而uet vcos t 求全导数 dz dt2ww 例4 设wf(xyz xyz) f具有二阶连续偏导数 求及 xxz 例5 设uf(x y)的所有二阶偏导数连续 把下列表达式转换成极坐标系中的形式 22uuuu22(1)()() (2)22 xyxy解 由直角坐标与极坐标间的关系式得 uf(x y)f(cosθ sinθ)F( θ) 其中xcosθ ysinθ x2y2 arctany x应用复合函数求导法则 得 uuuuxuyucosuysin xxx2uuuuyuxusinucos yyy2 两式平方后相加 得 (u)2(u)2(u)21(u)2 xy2再求二阶偏导数 得 2u(u)(u) x2xxxx(ucosusin)cos (ucosusin)sin 多元函数微分法及其应用 2ucos222usincos2usin2 2222u2sincosusin 2同理可得 22222uuusincosucos2 sin22y2222u2sincosucos 2两式相加 得 2222uuu11222u 2xy221u()u] 2[2全微分形式不变性 设zf(u v)具有连续偏导数 则有全微分 dzzduzdv uv如果zf(u v)具有连续偏导数 而u(x y) v(x y)也具有连续偏导数 则 zdxzdy xyzuzv)dx(zuzv)dy (uxvxuyvyz(udxudy)z(vdxvdy) uxyvxy dz zduzdv uv由此可见 无论z 是自变量u、v的函数或中间变量u、v的函数 它的全微分形式是一样的 这个性质叫做全微分形式不变性 例6 设ze usin v ux y vxy 利用全微分形式不变性求全微分 解 dzzduzdv e usin vdu e ucos v dv uv 多元函数微分法及其应用 e usin v(y dxx dy) e ucos v(dxdy) (ye usin v e ucos v)dx(xe usin v e ucos v)dy e xy [y sin(xy)cos(xy)]dx e xy [x sin(xy)cos(xy)]dy 小结 1.复合函数求导的链式法则“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”; 2.全微分形式不变性。 教学方式及教学过程中应注意的问题 在教学过程中要注意复合函数求导的链式法则“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”,全微分形式不变性,要结合实例,反复讲解。 师生活动设计 1.已知f(x,y)|yx21,f1(x,y)|yx22x,求f2(x,y)|yx2 2.设函数zf(x,y)在点(1,1)处可微,且f(1,1)1,ff|(1,1)2,|(1,1)3,xy(x)f(x,f(x,x)),求d3(x)|x1 dx讲课提纲、板书设计 作业 P82: 2,4,6,9,10 §9 5 隐函数的求导法则 一、一个方程的情形 隐函数存在定理1 设函数F(x y)在点P(x0 y0)的某一邻域内具有连续偏导数 F(x0 y0)0 Fy(x0 y0)0 则方程F(x y)0在点(x0 y0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数yf(x) 它满足条件y0f(x0) 并有 Fdyx dxFy 求导公式证明 将yf(x)代入F(x y)0 得恒等式F(x f(x))0 多元函数微分法及其应用 等式两边对x求导得 FFdy0 xydx由于F y连续 且Fy(x0 y0)0 所以存在(x0 y0)的一个邻域 在这个邻域同Fy 0 于是得 Fdyx dxFy 例1 验证方程x2y210在点(0 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x0时y1的隐函数yf(x) 并求这函数的一阶与二阶导数在x0的值 解 设F(x y)x2y21 则Fx2x Fy2y F(0 1)0 Fy(0 1)20 因此由定理1可知 方程x2y210在点(0 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x0时y1的隐函数yf(x) Fdydyxx 0 dxFyydxx0x)yx(d2yyxyyy2x213 2223dxyyyy d2y1 dx2x0 隐函数存在定理还可以推广到多元函数 一个二元方程F(x y)0可以确定一个一元隐函数 一个三元方程F(x y z)0可以确定一个二元隐函数 隐函数存在定理2 设函数F(x y z)在点P(x0 y0 z0)的某一邻域内具有连续的偏导数 且F(x0 y0 z0)0 Fz(x0 y0 z0)0 则方程F(x y z)0在点(x0 y0 z0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数zf(x y) 它满足条件z0f(x0 y0) 并有 FyFxzz xFzyFz 公式的证明 将zf(x y)代入F(x y z)0 得F(x y f(x y))0 将上式两端分别对x和y求导 得 FxFzz0 FFz0 yzyx因为F z连续且F z(x0 y0 z0)0 所以存在点(x0 y0 z0)的一个邻域 使F z0 于是得 多元函数微分法及其应用 FyFxzz xFzyFz2z 例2.设xyz4z0 求2 x22 2解 设F(x y z) x2y2z24z 则Fx2x Fy2z4 zFx2xx xFz2z42z z(2x)x(x)(2x)x222zx2z(2x)x x2(2z)2(2z)2(2z) 3二、方程组的情形 在一定条件下 由个方程组F(x y u v)0 G(x y u v)0可以确定一对二元函数uu(x y) vv(x y) 例如方程xuyv0和yuxv1可以确定两个二元函数uyx v x2y2x2y2 事实上 xuyv0 vyxuyuxxu1xyx vu2 yyyx2y2x2y2xy 2如何根据原方程组求u v的偏导数? 隐函数存在定理 3设F(x y u v)、G(x y u v)在点P(x0 y0 u0 v0)的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数 又F(x0 y0 u0 v0)0 G(x0 y0 u0 v0)0 且偏导数所组成的函数行列式 F(F,G)u J(u,v)GuFv Gv在点P(x0 y0 u0 v0)不等于零 则方程组F(x y u v)0 G(x y u v)0在点P(x0 y0 u0 v0)的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数uu(x y) vv(x y) 它们满足条件u0u(x0 y0) v0v(x0 y0) 并有 Fxu1(F,G)Gx xJ(x,v)FuGuFvFuGvv1(F,G)Gu FvxJ(u,x)FuGvGuFxGx FvGv 多元函数微分法及其应用 u1(F,G)v1(F,G) yJ(y,v)yJ(u,y)FuFvFuFvGuGvGuGvFyFvGyGvFuFyGuGy 隐函数的偏导数: 设方程组F(x y u v)0 G(x y u v)0确定一对具有连续偏导数的 二元函数uu(x y) vv(x y) 则 FFuFv0,xuxvxuv 偏导数 由方程组确定 uvxxGxGuGv0.xxFFuFv0,yuyvyvu 偏导数 由方程组确定 uvyyGyGuGv0.yyu v u和v 例3 设xuyv0 yuxv1 求xxyyu和v的方程组 解 两个方程两边分别对x 求偏导 得关于 xxuxuyv0xx uvyvx0xx当x2y2 0时 解之得uxuyv vyuxv xx2y2xx2y2u和v的方程组 yy 两个方程两边分别对x 求偏导 得关于 xuvyv0yy uvuyx0yy当x2y2 0时 解之得uxvyu vxuyv yx2y2yx2y例 设函数xx(u v) yy(u v)在点(u v)的某一领域内连续且有连续偏导数 又 多元函数微分法及其应用 (1)证明方程组 (x,y)0 (u,v)xx(u,v)yy(u,v)在点(x y u v)的某一领域内唯一确定一组单值连续且有连续偏导数的反函数uu(x y) vv(x y) (2)求反函数uu(x y) vv(x y)对x y的偏导数 解(1)将方程组改写成下面的形式 F(x,y,u,v)xx(u,v)0 G(x,y,u,v)yy(u,v)0(F,G)(x,y)0.(u,v)(u,v)则按假设 J由隐函数存在定理3 即得所要证的结论 (2)将方程组(7)所确定的反函数uu(x y)vv(x y)代入(7) 即得 xx[u(x,y),v(x,y)] yy[u(x,y),v(x,y)]将上述恒等式两边分别对x求偏导数得 1xuxv uxvx yy0uvuxvx由于J0 故可解得 同理 可得 u1yv1y xJvxJuu1xv1x yJvyJu小结 1.隐函数(组)存在定理; 2.隐函数(组)求导方法:方法(1)利用复合函数求导法则直接计算;(2)利用微分形式不变性;(3)代公式。 教学方式及教学过程中应注意的问题 多元函数微分法及其应用 在教学过程中要注意隐函数(组)存在定理和求导方法,要结合实例,反复讲解。 师生活动设计 1.设函数uf(x,y,z)有连续的一阶偏导数,又函数yy(x)及zz(x)分别由下列两式确定:exyxy2,exxz0dusintdt,求。 dxt2.设yy(x),zz(x)由方程zxf(xy)和F(x,y,z)0所确定的函数,求 dz。dx讲课提纲、板书设计 作业 P89: 3,4,6,7,10(2)(4) §9 6多元函数微分学的几何应用 一.一元向量值函数及其导数 x(t)空间曲线的参数方程为:y(t),t[,] z(t)此方程也可以写成向量形式。若记 rxiyjzk,f(t)(t)i(t)j(t)k,于是 rf(t),t[,],这就确定了一个从实数到向量的一个映射。 定义1:设数集DR,则映射f:DRn为一元向量值函数,记作 多元函数微分法及其应用 rf(t),tD 其中数集D称为函数的定义域,t称为自变量,r称为因变量。 在R中,f(t)可表示为: 3 f(t)f1(t)if2(t)jf3(t)k,tD 或者 f(t)(f1(t),f2(t),f3(t)),tD 下面研究向量值函数的极限,连续性,导数。1.向量值函数极限: 定义2:设向量值函数f(t)在点t0的某一去心领域内有定义,若存在一个常向量r0,对于任意给定的正数,总存在正数,使得当t满足0|tt0|时,对应的函数值f(t)都满足不等式 |f(t)r0| 则称常向量r0为向量值函数f(t)当tt0时的极限,记作 limf(t)r0 等价于limf(t)(limf1(t),limf2(t),limf3(t)) tt0tt0tt0tt0tt02.向量值函数连续: 设向量值函数f(t)在点t0的某一领域内有定义,若limf(t)f(t0),则称向量值函数f(t) tt0在点t0处连续。 等价于f1(t),f2(t),f3(t)都在点t0处连续。 向量值函数f(t),tD,若f(t)在D上每一点都连续,则称f(t)是D上的连续函数。3.向量值函数导数: 定义3:设向量值函数f(t)在点t0的某一领域内有定义,如果 f(t0t)f(t0)rlimlim存在,t0tt0t 多元函数微分法及其应用 dr|tt。则称此极限向量为向量值函数f(t)在点t0处的导数或导向量,记作f(t0)或 dt0向量值函数f(t),tD,若f(t)在D上每一点都可导,则称f(t)是D上的导函数。等价于:f1(t),f2(t),f3(t)都在点t处可导,即f(t)f1(t)if2(t)jf3(t)k。 4.导函数的性质。 5.导函数的几何意义:向量值函数f(t)在点t0处的导数表示在此处的一个切向量。 例1.设f(t)(cost)i(sint)jtk,求limf(t)。t42例2.空间曲线的向量方程为f(t)(t1,4t3,2t6t),tR,求曲线在与点 2t02相应的点处的单位且向量。 二.空间曲线的切线与法平面 设空间曲线的参数方程为 x(t) y(t),t[,] z(t)这里假定(t) (t) (t)都在[ ]上可导 记:f(t)((t),(t),(t)),t[,]。由向量值函数的导向量的几何意义知: 向量Tf(t0)((t0),(t0),(t0)),于是 曲线在点M0处的切线方程为 xx0yy0zz0 (t0)(t0)(t0) 法平面 通过点M0而与切线垂直的平面称为曲线在点M0 处的法平面 其法平面方程为 (t0)(xx0)(t0)(yy0)(t0)(zz0)0 例3 求曲线xt yt2 zt3在点(1 1 1)处的切线及法平面方程 解 因为xt1 yt2t zt3t2 而点(1 1 1)所对应的参数t1 所以 T (1 2 3) 于是 切线方程为 多元函数微分法及其应用 法平面方程为 x1y1z1 12(x1)2(y1)3(z1)0 即x2y3z6 讨论 1 若曲线的方程为 y(x) z(x) 问其切线和法平面方程是什么形式 提示 曲线方程可看作参数方程 xx y(x) z(x) 切向量为T(1 (x) (x)) 2 若曲线的方程为 F(x y z)0 G(x y z)0 问其切线和法平面方程又是什么形式 提示 两方程确定了两个隐函数 y(x) z(x) 曲线的参数方程为 xx y(x) z(x) dydz0FFFxyzdydzdxdx由方程组可解得和 dydxdxGxGyGzdz0dxdx切向量为T(1, dydz,) dxdx 例4 求曲线x2y2z26 xyz0在点(1 2 1)处的切线及法平面方程 解 为求切向量 将所给方程的两边对x求导数 得 dydz02x2y2zdxdx dy1dz0dxdx解方程组得 dydyzxdzxy0 dz1 在点(1 2 1)处 dxdxyzdxyzdx从而T (1 0 1) 所求切线方程为 法平面方程为 (x1)0(y2)(z1)0 即xz0 x1y2z1 10多元函数微分法及其应用 三 曲面的切平面与法线 设曲面的方程为 F(x y z)0 M0(x0 y0 z0)是曲面上的一点 并设函数F(x y z)的偏导数在该点连续且不同时为零 在曲面上 通过点M0任意引一条曲线 假定曲线的参数方程式为 x(t) y(t) z(t) tt0对应于点M0(x0 y0 z0) 且(t0) (t0) (t0)不全为零 曲线在点的切向量为 T ((t0) (t0) (t0)) 考虑曲面方程F(x y z)0两端在tt0的全导数 Fx(x0 y0 z0)(t0)Fy(x0 y0 z0)(t0)Fz(x0 y0 z0)(t0)0 引入向量 n(Fx(x0 y0 z0) Fy(x0 y0 z0) Fz(x0 y0 z0)) 易见T与n是垂直的 因为曲线是曲面上通过点M0的任意一条曲线 它们在点M0的切线都与同一向量n垂直 所以曲面上通过点M0的一切曲线在点M0的切线都在同一个平面上 这个平面称为曲面在点M0的切平面 这切平面的方程式是 Fx(x0 y0 z0)(xx0)Fy(x0 y0 z0)(yy0)Fz(x0 y0 z0)(zz0)0 曲面的法线 通过点M0(x0 y0 z0)而垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线 法线方程为 xx0yy0zz0 Fx(x0, y0, z0)Fy(x0, y0, z0)Fz(x0, y0, z0) 曲面的法向量 垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量 向量 n(Fx(x0 y0 z0) Fy(x0 y0 z0) Fz(x0 y0 z0))就是曲面在点M0处的一个法向量 例5 求球面x2y2z214在点(1 2 3)处的切平面及法线方程式 解 F(x y z) x2y2z214 Fx2x Fy2y Fz2z Fx(1 2 3)2 Fy(1 2 3)4 Fz(1 2 3)6 法向量为n(2 4 6) 或n(1 2 3) 所求切平面方程为 2(x1)4(y2)6(z3)0 即x2y3z140 多元函数微分法及其应用 法线方程为x1y2z3 123 讨论 若曲面方程为zf(x y) 问曲面的切平面及法线方程式是什么形式 提示 此时F(x y z)f(x y)z n(fx(x0 y0) fy(x0 y0) 1) 例6.求旋转抛物面zx2y21在点(2 1 4)处的切平面及法线方程 小结 1.一元向量值函数的定义以及极限,连续性,导数; 2.空间曲线的切线与法平面; 3.曲面的切平面与法线。 教学方式及教学过程中应注意的问题 在教学过程中要注意一元向量值函数的定义以及极限,连续性,导数,空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的定义及其求解方法,要结合实例,反复讲解。 师生活动设计 1.证明曲面F(xmy,zny)0的所有切平面恒与定直线平行,其中F(u,v)可微。 x2y2z23x02.求曲线在点(1,1,1)的切线与法平面。 2z3y5z40讲课提纲、板书设计 作业 P100: 3,4,5,8,9,10 §9 7 方向导数与梯度 一、方向导数 现在我们来讨论函数zf(x y)在一点P沿某一方向的变化率问题 设l是xOy平面上以P0(x0 y0)为始点的一条射线 el(cos cos )是与l同方向的单位向量 射线l的参数方程为 多元函数微分法及其应用 xx0t cos yy0t cos (t0) 设函数zf(x y)在点P0(x0 y0)的某一邻域U(P0)内有定义 P(x0t cos y0t cos )为l上另一点 且PU(P0) 如果函数增量f(x0t cos y0t cos )f(x0 y0)与P到P0的距离|PP0|t的比值 f(x0tcos, y0tcos)f(x0,y0) t当P沿着l趋于P0(即tt0)时的极限存在 则称此极限为函数f(x y)在点P0沿方向l的方向导数 记作fl(x0,y0) 即 fl(x0,y0)limt0f(x0tcos, y0tcos)f(x0,y0) t 从方向导数的定义可知 方向导数率 方向导数的计算 fl(x0,y0)就是函数f(x y)在点P0(x0 y0)处沿方向l的变化 定理 如果函数zf(x y)在点P0(x0 y0)可微分 那么函数在该点沿任一方向l 的方向导数都存在 且有 fl(x0,y0)fx(x0,y0)cosfy(x0,y0)cos 其中cos cos 是方向l 的方向余弦 简要证明 设xt cos yt cos 则 f(x0tcos y0tcos)f(x0 y0)f x(x0 y0)tcosf y(x0 y0)tcoso(t) 所以 limt0f(x0tcos, y0tcos)f(x0,y0)fx(x0,y0)cosfy(x0,y0)sin t这就证明了方向导数的存在 且其值为 fl(x0,y0)fx(x0,y0)cosfy(x0,y0)cos提示 f(x0x,y0y)f(x0,y0)fx(x0,y0)xfy(x0,y0)yo((x)2(y)2) xt cos yt cos (x)2(y)2t 讨论 函数zf(x y)在点P 沿x轴正向和负向 沿y轴正向和负向的方向导数如何? 多元函数微分法及其应用 提示 ff lxff 沿x轴负向时 cos1 cos0 lx 沿x轴正向时 cos cos0 例1 求函数zxe2y在点P(1 0)沿从点P(1 0)到点Q(2 1)的方向的方向导数 解 这里方向l即向量PQ(1, 1)的方向 与l同向的单位向量为 el(1, 1) 因为函数可微分 且所以所求方向导数为 zx(1,0)e2y1 z(1,0)y(1,0)2xe2y(1,0)2z112(1)2 l(1,0)22 2对于三元函数f(x y z)来说 它在空间一点P0(x0 y0 z0)沿el(cos cos cos )的方向导数为 fl(x0,y0,z0)limt0f(x0tcos, y0tcos,z0tcos)f(x0,y0,z0) t 如果函数f(x y z)在点(x0 y0 z0)可微分 则函数在该点沿着方向el(cos cos cos 的方向导数为 fl(x0,y0,z0)fx(x0 y0 z0)cosfy(x0 y0 z0)cosfz(x0 y0 z0)cos 例2求f(x y z)xyyzzx在点(1 1 2)沿方向l的方向导数 其中l的方向角分别为60 45 60 二 梯度 设函数zf(x y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数 则对于每一点P0(x0 y0)D 都可确定一个向量 fx(x0 y0)ify(x0 y0)j 这向量称为函数f(x y)在点P0(x0 y0)的梯度 记作grad f(x0 y0) 即 grad f(x0 y0) fx(x0 y0)ify(x0 y0)j 梯度与方向导数 多元函数微分法及其应用 如果函数f(x y)在点P0(x0 y0)可微分 el(cos cos )是与方向l同方向的单位向量 则 fl(x0,y0)fx(x0,y0)cosfy(x0,y0)cos grad f(x0 y0)el | grad f(x0 y0)|cos(grad f(x0 y0)^ el) 这一关系式表明了函数在一点的梯度与函数在这点的方向导数间的关系 特别 当向量el与grad f(x0 y0)的夹角0 即沿梯度方向时 方向导数 fl取得最大值 这个最大值就是梯度 (x0,y0)的模|grad f(x0 y0)| 这就是说 函数在一点的梯度是个向量 它的方向是函数在这点的方向导数取得最大值的方向 它的模就等于方向导数的最大值 讨论 f的最大值 l 结论 函数在某点的梯度是这样一个向量 它的方向与取得最大方向导数的方向一致 而它的模为方向导数的最大值 我们知道 一般说来二元函数zf(x y)在几何上表示一个曲面 这曲面被平面zc(c是常数)所截得的曲线L的方程为 zf(x,y) zc这条曲线L在xOy面上的投影是一条平面曲线L* 它在xOy平面上的方程为 f(x y)c 对于曲线L*上的一切点 已给函数的函数值都是c 所以我们称平面曲线L*为函数zf(x y)的等值线 若f x f y不同时为零 则等值线f(x y)c上任一点P0(x0 y0)处的一个单位法向量为 n1(fx(x0,y0),fy(x0,y0)) 22fx(x0,y0)fy(x0,y0)这表明梯度grad f(x0 y0)的方向与等值线上这点的一个法线方向相同 而沿这个方向的方向导数f就等于|grad f(x0 y0)| 于是 nf gradf(x0,y0)n n 这一关系式表明了函数在一点的梯度与过这点的等值线、方向导数间的关系 这说是说 函数在一点的梯度方向与等值线在这点的一个法线方向相同 它的指向为从数值较低的等值线指 多元函数微分法及其应用 向数值较高的等值线 梯度的模就等于函数在这个法线方向的方向导数 梯度概念可以推广到三元函数的情形 设函数f(x y z)在空间区域G内具有一阶连续偏导数 则对于每一点P0(x0 y0 z0)G 都可定出一个向量 fx(x0 y0 z0)ify(x0 y0 z0)jfz(x0 y0 z0)k 这向量称为函数f(x y z)在点P0(x0 y0 z0)的梯度 记为grad f(x0 y0 z0) 即 grad f(x0 y0 z0)fx(x0 y0 z0)ify(x0 y0 z0)jfz(x0 y0 z0)k 结论 三元函数的梯度也是这样一个向量 它的方向与取得最大方向导数的方向一致 而它的模为方向导数的最大值 如果引进曲面 f(x y z)c 为函数的等量面的概念 则可得函数f(x y z)在点P0(x0 y0 z0)的梯度的方向与过点P0的等量面 f(x y z)c在这点的法线的一个方向相同 且从数值较低的等量面指向数值较高的等量面 而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数 例3 求grad 1 x2y2 例4 设f(x y z)x2y2z2 求grad f(1 1 2) 数量场与向量场 如果对于空间区域G内的任一点M 都有一个确定的数量f(M) 则称在这空间区域G内确定了一个数量场(例如温度场、密度场等) 一个数量场可用一个数量函数f(M)来确定 如果与点M相对应的是一个向量F(M) 则称在这空间区域G内确定了一个向量场(例如力 场、速度场等) 一个向量场可用一个向量函数F(M)来确定 而 F(M)P(M)iQ(M)jR(M)k 其中P(M) Q(M) R(M)是点M的数量函数 利用场的概念 我们可以说向量函数grad f(M)确定了一个向量场——梯度场 它是由数量场f(M)产生的 通常称函数f(M)为这个向量场的势 而这个向量场又称为势场 必须注意 任意一个向量场不一定是势场 因为它不一定是某个数量函数的梯度场 例5 试求数量场间的距离 m所产生的梯度场 其中常数m>0 rx2y2z2为原点O与点M(x y z)r小结 1.方向导数的定义,几何意义以及求法; 2.梯度的定义及物理意义。 教学方式及教学过程中应注意的问题 多元函数微分法及其应用 在教学过程中要注意方向导数和梯度的定义,几何意义以及求法,要结合实例,反复讲解。 师生活动设计 1.函数uln(x2y2z2)在点M(1,2,2)处的梯度gradu|M 2.函数uln(x(96考研)y2z2)在点A(1,0,1)处沿点A指向B(3,2,2)方向的方向导数是多少?讲课提纲、板书设计 作业 P108: 1,4,6,7,8 §9 8 多元函数的极值及其求法 一、多元函数的极值及最大值、最小值 定义 设函数zf(x y)在点(x0 y0)的某个邻域内有定义 如果对于该邻域内任何异于(x0 y0)的点(x y) 都有 f(x y) 则称函数在点(x0 y0)有极大值(或极小值)f(x0 y0) 极大值、极小值统称为极值 使函数取得极值的点称为极值点 例1 函数z3x24y2在点(0 0)处有极小值 当(x y)(0 0)时 z0 而当(x y)(0 0)时 z0 因此z0是函数的极小值 例2 函数zx2y2在点(0 0)处有极大值 当(x y)(0 0)时 z0 而当(x y)(0 0)时 z0 因此z0是函数的极大值 例3 函数zxy在点(0 0)处既不取得极大值也不取得极小值 因为在点(0 0)处的函数值为零 而在点(0 0)的任一邻域内 总有使函数值为正的点 也有使函数值为负的点 以上关于二元函数的极值概念 可推广到n元函数 设n元函数uf(P)在点P0的某一邻域内有定义 如果对于该邻域内任何异于P0的点P 都有 f(P) 则称函数f(P)在点P0有极大值(或极小值)f(P0) 定理1(必要条件)设函数zf(x y)在点(x0 y0)具有偏导数 且在点(x0 y0)处有极值 则有 fx(x0 y0)0 fy(x0 y0)0 证明 不妨设zf(x y)在点(x0 y0)处有极大值 依极大值的定义 对于点(x0 y0)的某邻域内异 多元函数微分法及其应用 于(x0 y0)的点(x y) 都有不等式 f(x y) 特殊地 在该邻域内取yy0而xx0的点 也应有不等式 f(x y0) 这表明一元函数f(x y0)在xx0处取得极大值 因而必有 fx(x0 y0)0 类似地可证 fy(x0 y0)0 从几何上看 这时如果曲面zf(x y)在点(x0 y0 z0)处有切平面 则切平面 zz0fx(x0 y0)(xx0) fy(x0 y0)(yy0)成为平行于xOy坐标面的平面zz0 类似地可推得 如果三元函数uf(x y z)在点(x0 y0 z0)具有偏导数 则它在点(x0 y0 z0)具有极值的必要条件为 fx(x0 y0 z0)0 fy(x0 y0 z0)0 fz(x0 y0 z0)0 仿照一元函数 凡是能使fx(x y)0 fy(x y)0同时成立的点(x0 y0)称为函数zf(x y)的驻点 从定理1可知 具有偏导数的函数的极值点必定是驻点 但函数的驻点不一定是极值点 例如 函数zxy在点(0 0)处的两个偏导数都是零 函数在(0 0)既不取得极大值也不取得极小值 定理2(充分条件) 设函数zf(x y)在点(x0 y0)的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数 又fx(x0 y0)0 fy(x0 y0)0 令 fxx(x0 y0)A fxy(x0 y0)B fyy(x0 y0)C 则f(x y)在(x0 y0)处是否取得极值的条件如下 (1)ACB2>0时具有极值 且当A<0时有极大值 当A>0时有极小值 (2)ACB2<0时没有极值 (3)ACB20时可能有极值 也可能没有极值 在函数f(x y)的驻点处如果 fxx fyyfxy2>0 则函数具有极值 且当fxx<0时有极大值 当fxx>0时有极小值 极值的求法 第一步 解方程组 fx(x y)0 fy(x y)0 多元函数微分法及其应用 求得一切实数解 即可得一切驻点 第二步 对于每一个驻点(x0 y0) 求出二阶偏导数的值A、B和C 第三步 定出ACB2的符号 按定理2的结论判定f(x0 y0)是否是极值、是极大值 还是极小值 例4 求函数f(x y)x3y33x23y29x 的极值 fx(x,y)3x26x90 解 解方程组 2f(x,y)3y6y0y求得x1 3 y0 2 于是得驻点为(1 0)、(1 2)、(3 0)、(3 2) 再求出二阶偏导数 fxx(x y)6x6 fxy(x y)0 fyy(x y)6y6 在点(1 0)处 ACB2126>0 又A>0 所以函数在(1 0)处有极小值f(1 0)5 在点(1 2)处 ACB212(6)<0 所以f(1 2)不是极值 在点(3 0)处 ACB2126<0 所以f(3 0)不是极值 在点(3 2)处 ACB212(6)>0 又A<0 所以函数的(3 2)处有极大值f(3 2)31 应注意的问题 不是驻点也可能是极值点 例如 函数zx2y2在点(0 0)处有极大值 但(0 0)不是函数的驻点 因此 在考虑函数的极值问题时 除了考虑函数的驻点外 如果有偏导数不存在的点 那么对这些点也应当考虑 最大值和最小值问题 如果f(x y)在有界闭区域D上连续 则f(x y)在D上必定能取得最大值和最小值 这种使函数取得最大值或最小值的点既可能在D的内部 也可能在D的边界上 我们假定 函数在D上连续、在D内可微分且只有有限个驻点 这时如果函数在D的内部取得最大值(最小值) 那么这个最大值(最小值)也是函数的极大值(极小值) 因此 求最大值和最小值的一般方法是 将函数f(x y)在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较 其中最大的就是最大值 最小的就是最小值 在通常遇到的实际问题中 如果根据问题的性质 知道函数f(x y)的最大值(最小值)一定在D的内部取得 而函数在D内只有一个驻点 那么可以肯定该驻点处的函数值就是函数f(x y)在D上的最大值(最小值) 例5 某厂要用铁板做成一个体积为8m3的有盖长方体水箱 问当长、宽、高各取多少时 才能使用料最省 解 设水箱的长为xm 宽为ym 则其高应为 8m 此水箱所用材料的面积为 xy 多元函数微分法及其应用 A2(xyy8x8)2(xy88)(x0, y0) xyxyxy88令Ax2(y2)0 Ay2(x2)0 得x2 y2 yx 根据题意可知 水箱所用材料面积的最小值一定存在 并在开区域D{(x y)|x>0 y>0}内取得 因为函数A在D内只有一个驻点 所以 此驻点一定是A的最小值点 即当水箱的长为2m、82m时 水箱所用的材料最省 因此A在D内的唯一驻点(2 2)处取得最小2282m时 所用材料最省值 即长为2m、宽为2m、高为22宽为2m、高为 例6 有一宽为24cm的长方形铁板 把它两边折起来做成一断面为等腰梯形的水槽 问怎样折法才能使断面的面积最大? 解 设折起来的边长为xcm 倾角为 那末梯形断面的下底长为242x 上底长为242xcos 高为xsin 所以断面面积 A(242x2xcos242x)xsin 即A24xsin2x2sinx2sin cos(0 可见断面面积A是x和的二元函数 这就是目标函数 面求使这函数取得最大值的点(x ) 令Ax24sin4xsin2xsin cos0 A24xcos2x2 cosx2(cos2sin2)0 由于sin 0 x0 上述方程组可化为 12122xxcos0 2224cos2xcosx(cossin)0解这方程组 得60 x8cm 根据题意可知断面面积的最大值一定存在 并且在D{(x y)|0 二、条件极值 拉格朗日乘数法 对自变量有附加条件的极值称为条件极值 例如 求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积问题 设长方体的三棱的长为x y z 则体积Vxyz 又因假定表面积为a2 所以自变量x y z还必须满足附加条件2(xyyzxz)a2 这个问题就是求函数Vxyz在条件2(xyyzxz)a2下的最大值问题 这是一个条件极值问题 对于有些实际问题 可以把条件极值问题化为无条件极值问题 多元函数微分法及其应用 例如上述问题 由条件2(xyyzxz)a2 a22xyxya22xy解得z 于是得V() 2(xy)2(xy)只需求V的无条件极值问题 在很多情形下 将条件极值化为无条件极值并不容易 需要另一种求条件极值的专用方法 这就是拉格朗日乘数法 现在我们来寻求函数zf(x y)在条件(x y)0下取得极值的必要条件 如果函数zf(x y)在(x0 y0)取得所求的极值 那么有 (x0 y0)0 假定在(x0 y0)的某一邻域内f(x y)与(x y)均有连续的一阶偏导数 而y(x0 y0)0 由隐函数存在定理 由方程(x y)0确定一个连续且具有连续导数的函数y(x) 将其代入目标函数zf(x y) 得一元函数 zf [x (x)] 于是xx0是一元函数zf [x (x)]的极值点 由取得极值的必要条件 有 dzdxxx0fx(x0,y0)fy(x0,y0)dydxxx00 即 fx(x0,y0)fy(x0,y0)x(x0,y0)0 y(x0,y0)从而函数zf(x y)在条件(x y)0下在(x0 y0)取得极值的必要条件是 fx(x0,y0)fy(x0,y0)x(x0,y0)0与(x0 y0)0同时成立 y(x0,y0) 设fy(x0,y0) 上述必要条件变为 y(x0,y0)fx(x0,y0)x(x0,y0)0 fy(x0,y0)y(x0,y0)0 (x0,y0)0 拉格朗日乘数法 要找函数zf(x y)在条件(x y)0下的可能极值点 可以先构成辅助函数 F(x y)f(x y)(x y) 其中为某一常数 然后解方程组 Fx(x,y)fx(x,y)x(x,y)0 Fy(x,y)fy(x,y)y(x,y)0 (x,y)0 多元函数微分法及其应用 由这方程组解出x y及 则其中(x y)就是所要求的可能的极值点 这种方法可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形 至于如何确定所求的点是否是极值点 在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定 例7 求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积 解 设长方体的三棱的长为x y z 则问题就是在条件 2(xyyzxz)a2 下求函数Vxyz的最大值 构成辅助函数 F(x y z)xyz(2xy 2yz 2xz a2) 解方程组 Fx(x,y,z)yz2(yz)0Fy(x,y,z)xz2(xz)0F(x,y,z)xy2(yx)0 z22xy2yz2xza得xyz6a 66a3 36这是唯一可能的极值点 因为由问题本身可知最大值一定存在 所以最大值就在这个可能的值点处取得 此时V小结 1.函数的极值问题:第一步,在定义域内找到所有的驻点,第二步,判断驻点是否为极值点; 2.函数的条件极值问题; 3.函数的最值问题。 教学方式及教学过程中应注意的问题 在教学过程中要注意函数的条件极值及最值问题:第一步,在定义域内找到所有的驻点,第二步,判断驻点是否为极值点,进而确定最值,要结合实例,反复讲解。 师生活动设计 x2y21(x0,y0)圆周上求一点C,使1.已知平面上两定点A(1,3),B(4,2),试在椭圆94得ABC面积S最大。 2.求平面上以a,b,c,d为边的面积最大的四边形。 讲课提纲、板书设计 作业 P118: 3,4,8,9,10 多元函数微分法及其应用 习题课 一、基本概念 1.多元函数的定义、极限、连续(1)定义域及对应规律 (2)判断极限不存在及求极限的方法(3)函数的连续性及其性质 2.几个基本概念的关系 连续可微偏导数存在偏导数连续可微 方向导数存在 二、多元函数微分法 1.分析复合结构显示结构 隐式结构自变量个数 = 变量总个数 – 方程总个数 自变量与因变量由所求对象判定 2.正确使用求导法则 “分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导” 注意正确使用求导符号 3.利用一阶微分形式不变性 三、多元函数微分法的应用 1.在几何中的应用 求曲线在切线及法平面(关键: 抓住切向量)求曲面的切平面及法线(关键: 抓住法向量)2.极值与最值问题 (1)极值的必要条件与充分条件 多元函数微分法及其应用 (2)求条件极值的方法 (消元法, 拉格朗日乘数法)(3)求解最值问题 3.在微分方程变形等中的应用 四、例题 xy1.讨论二重极限 limx0xyy0 22xy ,x2y202322.证明: f(x,y)(xy)20,x2y20 在点(0,0)处连续且偏导数存在 , 但不可微.3.设zxf(xy),F(x,y,z)0,其中f与F分别 具有一阶导数或偏导数,求 2dz dxu2u4.设uf(x,y,z)有二阶连续偏导数,且zxsint,tln(xy),求 ,xxy5.求旋转抛物面zx2y2与平面xy2z2之间的最短距离.6.在曲面zxy上求一点 , 使该点处的法线垂直于平面x3yz9,并写出该法线方程.作业:P73: 5,6,10,15,17 高等数学教案 定积分的应用 教学目的 第六章 定积分的应用 1、理解元素法的基本思想; 2、掌握用定积分表达和计算一些几何量(平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积)。 3、掌握用定积分表达和计算一些物理量(变力做功、引力、压力和函数的平均值等)。教学重点: 1、计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积。 2、计算变力所做的功、引力、压力和函数的平均值等。教学难点: 1、截面面积为已知的立体体积。 2、引力。 §6 1 定积分的元素法 回忆曲边梯形的面积 设yf(x)0(x[a b]) 如果说积分 Aaf(x)dx b是以[a b]为底的曲边梯形的面积 则积分上限函数 A(x)af(t)dt x就是以[a x]为底的曲边梯形的面积 而微分dA(x)f(x)dx 表示点x处以dx为宽的小曲边梯形面积的近似值Af(x)dxf(x)dx称为曲边梯形的面积元素 以[a b]为底的曲边梯形的面积A就是以面积元素f(x)dx为被积表达式 以 [a b]为积分区间的定积分 Aaf(x)dx b 一般情况下 为求某一量U 先将此量分布在某一区间[a b]上 分布在[a x]上的量用函数U(x)表示 再求这一量的元素dU(x) 设dU(x)u(x)dx 然后以u(x)dx为被积表达式 以[a b]为积分区间求定积分即得 Uaf(x)dx b 用这一方法求一量的值的方法称为微元法(或元素法) 三峡大学高等数学课程建设组 高等数学教案 定积分的应用 §6 2 定积分在几何上的应用 一、平面图形的面积 1.直角坐标情形 设平面图形由上下两条曲线yf上(x)与yf下(x)及左右两条直线xa与xb所围成 则面积元素为[f上(x) f下(x)]dx 于是平面图形的面积为 Sa[f上(x)f下(x)]dx 类似地由左右两条曲线x左(y)与x右(y)及上下两条直线yd与yc所围成设平面图形的面积为 Sc[右(y)左(y)]dy 例1 计算抛物线y2x、yx2所围成的图形的面积 解(1)画图 (2)确定在x轴上的投影区间: [0 1](3)确定上下曲线f上(x)x, f下(x)x2 (4)计算积分 db1 S(xx)dx[2x21x3]10033321 3例2 计算抛物线y22x与直线yx4所围成的图形的面积 解(1)画图 (2)确定在y轴上的投影区间: [2 4](3)确定左右曲线左(y)1y2, 右(y)y4 2(4)计算积分418 S2(y41y2)dy[1y24y1y3]426222y 例3 求椭圆x221所围成的图形的面积 ab 解 设整个椭圆的面积是椭圆在第一象限部分的四倍 椭圆在第一象限部分在x 轴上的投影区间为[0 a] 因为面积元素为ydx 所以 2S40ydx a椭圆的参数方程为: xa cos t yb sin t 于是 S40ydx4bsintd(acost) 2a0三峡大学高等数学课程建设组 高等数学教案 定积分的应用 4absintdt2ab02(1cos2t)dt2abab 2202 2.极坐标情形 曲边扇形及曲边扇形的面积元素 由曲线()及射线 围成的图形称为曲边扇形 曲边扇形的面积元素为 dS1[()]2d 2曲边扇形的面积为 S1[()]2d 2 例4.计算阿基米德螺线a(a >0)上相应于从0变到2 的一段弧与极轴所围成的图形的面积 224a23 解: S01(a)2d1a2[13]02332 例5.计算心形线a(1cos)(a>0)所围成的图形的面积 解: S201[a(1cos]2da20(12cos1cos2)d 22232 a2[32sin1sin2]0a 242 二、体 积 1.旋转体的体积 旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体 这直线叫做旋转轴 常见的旋转体 圆柱、圆锥、圆台、球体 旋转体都可以看作是由连续曲线yf(x)、直线xa、ab 及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体 设过区间[a b]内点x 且垂直于x轴的平面左侧的旋转体的体积为V(x) 当平面左右平移dx后 体积的增量近似为V[f(x)]2dx 于是体积元素为 dV [f(x)]2dx 旋转体的体积为 Va[f(x)]2dx 例 1连接坐标原点O及点P(h r)的直线、直线xh 及x 轴围成一个直角三角形 将它绕x轴旋转构成一个底半径为r、高为h的圆锥体 计算这圆锥体的体积 解: 直角三角形斜边的直线方程为yrx h 所求圆锥体的体积为 三峡大学高等数学课程建设组 b高等数学教案 定积分的应用 22hrr1hr2 V0(x)dx2[1x3]0h3h32y2x 例2 计算由椭圆221所成的图形绕x轴旋转而成的旋转体(旋转椭球体)的体积 ab 解: 这个旋转椭球体也可以看作是由半个椭圆 h yba2x2 a及x轴围成的图形绕x轴旋转而成的立体 体积元素为dV y 2dx 于是所求旋转椭球体的体积为 22a2 Vb2(a2x2)dxb2[a2x1x3]aaab a33aa 例3 计算由摆线xa(tsin t) ya(1cos t)的一拱 直线y0所围成的图形分别绕x轴、y轴旋转而成的旋转体的体积 解 所给图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积为 Vx0y2dx0a2(1cost)2a(1cost)dt a30(13cost3cos2tcos3t)dt 5 2a 3 所给图形绕y轴旋转而成的旋转体的体积是两个旋转体体积的差 设曲线左半边为x=x1(y)、右半边为x=x2(y) 则 22(y)dy0x1(y)dy Vy0x22a2a22a2 2a2(tsint)2asintdt0a2(tsint)2asintdt a30(tsint)2sintdt6 3a 3 2.平行截面面积为已知的立体的体积 设立体在x轴的投影区间为[a b] 过点x 且垂直于x轴的平面与立体相截 截面面积为A(x) 则体积元素为A(x)dx 立体的体积为 VaA(x)dx 例4 一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心 并与底面交成角 计算这平面截圆柱所得立体的体积 解 取这平面与圆柱体的底面的交线为x轴 底面上过圆中心、且垂直于x轴的直线为y轴 那么底圆的方程为x 2 y 2R 2 立体中过点x且垂直于x轴的截面是一个直角三角形 两个直角边分别为R2x2及R2x2tan 因而截面积为 三峡大学高等数学课程建设组 b2高等数学教案 定积分的应用 A(x)1(R2x2)tan 于是所求的立体体积为 2RR2R3tan VR1(R2x2)tandx1tan[R2x1x3]R223 3例5 求以半径为R的圆为底、平行且等于底圆直径的线段为顶、高为h的正劈锥体的体积 解: 取底圆所在的平面为x O y平面 圆心为原点 并使x轴与正劈锥的顶平行 底圆的方程为x 2 y 2R 2 过x轴上的点x(R A(x)hyhR2x2 于是所求正劈锥体的体积为 VRhR2x2dx2R2h2co2sd1R2h 02R 三、平面曲线的弧长 设A B 是曲线弧上的两个端点 在弧AB上任取分点AM0 M1 M2 Mi1 Mi Mn1 MnB 并依次连接相邻的分点得一内接折线 当分点的数目无限增加且每个小段Mi1Mi都缩向一点时 如果此折线的长|Mi1Mi|的极限存在 则称此极限为曲线弧AB的弧长 并称此曲线i1n弧AB是可求长的 定理 光滑曲线弧是可求长的 1.直角坐标情形 设曲线弧由直角坐标方程 yf(x)(axb)给出 其中f(x)在区间[a b]上具有一阶连续导数 现在来计算这曲线弧的长度 取横坐标x为积分变量 它的变化区间为[a b] 曲线yf(x)上相应于[a b]上任一小区间[x xdx]的一段弧的长度 可以用该曲线在点(x f(x))处的切线上相应的一小段的长度来近似代替 而切线上这相应的小段的长度为 (dx)2(dy)21y2dx 从而得弧长元素(即弧微分) ds1y2dx 以1y2dx为被积表达式 在闭区间[a b]上作定积分 便得所求的弧长为 sa1y2dx 三峡大学高等数学课程建设组 b高等数学教案 定积分的应用 在曲率一节中 我们已经知道弧微分的表达式为ds1y2dx这也就是弧长元素因此 例1 计算曲线y2x2上相应于x从a到b的一段弧的长度 3解 yx2 从而弧长元素 13ds1y2dx1xdx 因此 所求弧长为 sab2221xdx[2(1x)2]ba[(1b)(1a)] 3333 3例2 计算悬链线ycchx上介于xb与xb之间一段弧的长度 c 解 yshx 从而弧长元素为 cds1sh2xdxchxdx cc因此 所求弧长为 bbb sbchxdx20chxdx2c[shxdx]b02cshcccc 2.参数方程情形 设曲线弧由参数方程x(t)、y(t)(t)给出 其中(t)、(t)在[ ]上具有连续导数 dy(t)因为 dx(t)d t 所以弧长元素为 dx(t)2(t)ds12(t)dt2(t)2(t)dt (t)所求弧长为 s2(t)2(t)dt 例3 计算摆线xa(sin) ya(1cos)的一拱(0 2)的长度 解 弧长元素为 dsa2(1cos)2a2sin2da2(1cos)d2asind 2所求弧长为 2s02asind2a[2cos]08a 222三峡大学高等数学课程建设组 高等数学教案 定积分的应用 3.极坐标情形 设曲线弧由极坐标方程 ()( )给出 其中r()在[ ]上具有连续导数 由直角坐标与极坐标的关系可得 x()cos y()sin( ) 于是得弧长元素为 dsx2()y2()d2()2()d 从而所求弧长为 s2()2()d 例4 求阿基米德螺线a(a>0)相应于 从0到2 一段的弧长 解 弧长元素为 dsa22a2da12d 于是所求弧长为 2s0a12da[2142ln(2142)] 作业:P284:2(2)(4),3,4,5(1),10,12,15(2),18,22,23,29,30 三峡大学高等数学课程建设组 高等数学教案 定积分的应用 §6 3 功 水压力和引力 一、变力沿直线所作的功 例 1把一个带q电量的点电荷放在r轴上坐标原点O处 它产生一个电场 这个电场对周围的电荷有作用力 由物理学知道 如果有一个单位正电荷放在这个电场中距离原点O为r的地方 那么电场对它的作用力的大小为 Fkq(k是常数) r2当这个单位正电荷在电场中从ra处沿r轴移动到rb(a 解: 在r轴上 当单位正电荷从r移动到r+dr时 电场力对它所作的功近似为k即功元素为dWk于是所求的功为 qdr r2qdr r2bkq2Wa11drkq[1]bakq() rabr 例2 在底面积为S的圆柱形容器中盛有一定量的气体 在等温条件下 由于气体的膨胀 把容器中的一个活塞(面积为S)从点a处推移到点b处 计算在移动过程中 气体压力所作的功 解 取坐标系如图 活塞的位置可以用坐标x来表示 由物理学知道 一定量的气体在等温条件下 压强p与体积V的乘积是常数k 即 pVk 或pk V 在点x处 因为VxS 所以作在活塞上的力为 FpSkSk xSx当活塞从x移动到xdx时 变力所作的功近似为kdx x即功元素为dWkdx x于是所求的功为 bbWakdxk[lnx]bakln xa 例3 一圆柱形的贮水桶高为5m 底圆半径为3m 桶内盛满了水 试问要把桶内的水全部吸出需作多少功? 解 作x轴如图 取深度x 为积分变量 它的变化区间为[0 5] 相应于[0 5]上任小区间[x xdx]的一薄层水的高度为dx 水的比重为98kN/m3 因此如x的单位为m 这薄层水的重力为9832dx 这薄层水吸出桶外需作的功近似地为 三峡大学高等数学课程建设组 高等数学教案 定积分的应用 dW882xdx 此即功元素 于是所求的功为 225(kj) xW088.2xdx88.2[]5088.222 5二、水压力 从物理学知道 在水深为h处的压强为ph 这里 是水的比重 如果有一面积为A 的平板水平地放置在水深为h处 那么平板一侧所受的水压力为 PpA 如果这个平板铅直放置在水中 那么 由于水深不同的点处压强p不相等 所以平板所受水的压力就不能用上述方法计算 例4 一个横放着的圆柱形水桶 桶内盛有半桶水 设桶的底半径为R 水的比重为 计算桶的一个端面上所受的压力 解 桶的一个端面是圆片 与水接触的是下半圆 取坐标系如图 在水深x处于圆片上取一窄条 其宽为dx 得压力元素为 dP2xR2x2dx 所求压力为 P02 xRxdx(R03R2rR3 [2(R2x2)2]033R22R2122x)d(R2x2) 三、引力 从物理学知道 质量分别为m 1、m 2 相距为r的两质点间的引力的大小为 FGm1m2 r2其中G为引力系数 引力的方向沿着两质点连线方向 如果要计算一根细棒对一个质点的引力 那么 由于细棒上各点与该质点的距离是变化的 且各点对该质点的引力的方向也是变化的 就不能用上述公式来计算 例5 设有一长度为l、线密度为的均匀细直棒 在其中垂线上距棒a单位处有一质量为m的质点M 试计算该棒对质点M的引力 解 取坐标系如图 使棒位于y轴上 质点M位于x轴上 棒的中点为原点O 由对称性知 引力在垂直方向上的分量为零 所以只需求引力在水平方向的分量 取y为积分变量 它的变化区间为[l, l] 在[l, l]上y点取长为dy 的一小段 其质量为dy 与M相距ra2y2 于2222是在水平方向上 引力元素为 dFxGmdyamdya Ga2y2a2y2(a2y2)3/2三峡大学高等数学课程建设组 高等数学教案 定积分的应用 引力在水平方向的分量为 Fx2lG2l2Gmlamdy1 223/222a(ay)4al 作业:P292:3(2),6 三峡大学高等数学课程建设组第二篇:第八章多元函数的微分法及其应用
第三篇:第十一章 多元函数微分法及其应用
第四篇:第九章多元函数微分法及其应用教案
第五篇:第六章 定积分的应用(三峡大学高等数学教案)[范文模版]