高等数学教案Word版第一章1

第一篇：高等数学教案Word版第一章1

第一章函数与极限(4课时)Ⅰ 授课题目（章节）

1.1 映射与函数

Ⅱ 教学目的与要求：

1.理解集合、区间、邻域等基本概念，掌握集合的运算及构造法

2.理解函数的概念；明确函数定义有两个要素；依赖关系、定义域；掌握函数表达式的运用

3.了解函数的基本性质；知道判定诸性质的思路 4.掌握将复合函数由外及里分解为简单函数的方法 Ⅲ 教学重点与难点

重点：理解集合、邻域的概念 难点：函数的性质 Ⅳ 讲授内容

一.集合

1． 集合概念

集合是指具有某种特定性质的事物的总体，组成这个集合的事物称为该集合的元素（简称：元）

注：本课程中所有说的集合必须具有明确的界定，即对任何一个对象都可以按标准判断其是否属于所说的“总体”

介绍子集、真子集、空集、集合的相等，等概念 2.集合的运算

集合的基本运算有以下几种：并、交、差、直积 介绍全集（基本集）与余集（补集）的概念 3.区间和邻域

设＞0，点X0的领域是指满足XX0的一切实数X的集合。X0称为改邻域的中心，成为该邻域的半径

二.映射

1.定义：设X，Y是两个非空集合，如果存在一个法则f，使得对X中每个元素x，按法则f，在Y中有唯一确定的元素y与之对应，则称f为从X到Y的映射，记作f:XY、其中y称为元素x（在映射f下）的像，并记作f(x),即yf（x），而元素x称为元素y（在映射f下）的一个原像

注：映射是指两个集合之间的一种对应关系。判断两集合之间的对应关系是否构成一个映射，关键是抓住两个要点：第一，对于第一个集合中的每一个元素，按照规则能否在另一个集合中找到一个与之对应的元素；第二，对于第一个集合中的每一个元素，第二个集合与之对应的元素是不是唯一的 2.逆映射

定义：设fX到Y的单射，则由定义，对每个yRf，有唯一的xX,适合f（x）y。于是，我们可定义一个从Rf到X的新映射g，即x，这x满足f（x）y。这个映g：RfX，对每个yRf，规定g（y）射g称为f的逆映射，记作f2． 复合映射：

定义：设有两个映射g:XY1,f:Y2Z，其中Y1Y2，则由映射g和f可以定出一个从X到Z的对应法则，它将每个xX映成fg（x）Z。显然，这个对应法则确定了一个从X到Z的映射，这个映射称为映射g和f构成的复合映射，记作fg,即fg：XZ，（fg）（x），xX fg（x）三.函数

1.函数的概念

定义：设数集DR，则称映射f：DR为定义在D上的函数，通常简记为 yf（x），xD，其中x称为自变量，y称为因变量，D称为定义域，记作Df，即DfD

函数定义中，对每个xD，按对应法则f，总有唯一确定的值y与之对应，这个值称为函数f在x出的函数值，记作f（x），即yf（x）。因变量y与自变量x之间的这种依赖关系，通常称为函数关系。函数值yf（x）的全体所构成的集合称为函数 f的值域，记作Rf或f（D)，即 Rff(D)yyf(x),xD

注：函数的概念中涉及五个因素：（1）自变量（2）定义域（3）应变量（4）对应规律（5）值域；在这五个因素中最重要的是定义域和因变量关于自变量的对应规律，这两者常称为函数的二要素

介绍单值函数与多值函数的概念

例.判断下列各对函数是否相同

（1）f(x)=lnx2 g(x)=2lnx(2)f(x)=1 g(x)=sin2x+cos2x(3)f(x)=|x| g(u)=u2

1,其定义域Df1Rf，值域Rf1X

解：（2）中的f（x）与g（x)相同，（3）中的f（x）与g（x)相同 例.求下列函数的定义域

（1）f(x)x134x1 2x5x6x(2)f(x)log2log4log7

(3)f(x)1x21 x解：（1）Dfxx2且x3

（2）Dfxx7

（3）Dfxx0且x2 2.函数的几种特性

（1）函数的有界性（2）函数的单调性(3)函数的奇偶性

定义：教材P12P13 例：判断f(x)lnx21x的奇偶性

1x1x2解：f(x)ln((x)21xln f(x)为奇函数（4）数的周期性

3．反函数于复合函数

f(x)

（5）反函数定义：设函数f:Df(D)是单射，则它存在逆映射f1:f(D)D，称此映射f1为函数f的反函数。

按此定义，对每个yf(D),有唯一的xD，使得f（x）=y，于

1是有f（y）x。这就是说，反函数f1的对应法则是完全由函数f的对应法则所确定的

与反函数问题有关的题型主要有两类：判断给定函数是否存在反函数或求给定函数的反函数

对严格单调函数有以下结论 严格单调函数必存在反函数（6）复合函数有关的问题大致可分为两类：一是判断若干个函数能否构成复合函数;二是将一个复合函数分解为若干个简单函数

复合函数的定义：设函数yf(u)的定义域为D1，函数ug（x）在D上有定义，且g（D）D1，则由下式确定的函数

构成的复合函数，它的，xD称为由函数ug（x）和函数yf（u）yfg（x）定义域为D，变量u称为中间变量。函数g与函数f构成的复合函数通常记为

 fg,即（fg）（x）fg（x）3.函数的运算

4.初等函数 定义：由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数 5.双曲函数与反双曲函数

Ⅴ小结与提问：

小结：本讲内容十分重要，特别是缺点函数的两个要素务必弄懂；分段函数也须引起重视；函数的几种特性直接通过论证来判断；函数的反函数的存在性需重视。复合函数是本讲重点之一，掌握它，对学好微分与积分有很大的作用；要善于分析一个初等函数的结构

提问：是否yf（u），ug（x）一定能复合成y为x的函数？ Ⅴ 课外作业

P21 6(4)(6)7(3)8.12.14（3）17

第二篇：高等数学教案

-----[xn1 , xn]，AA1A2An，xixixi1(i1 , 2 ,  , n).②在每个小区间[xi1 , xi]上任取一点i，Aif(i)xi，Af(i)xi.i1n③max{x1 , x2 ,  , xn}.Alimf(i)xi.0i

1-----高等数学教案-----

n2.变速直线运动的路程: 设速度vv(t)是时间间隔[T1 , T2]上t的连续函数，路程记为s.①把区间[T1 , T2]分成n个小区间:，…，[t0 , t1] [tn1 , tn]，[t1 , t2]，ss1s2sn，tititi1(i1 , 2 ,  , n).②在每个小区间[ti1 , ti]上任取一点i，siv(i)ti，-----高等数学教案-----sv(i)ti.i1n③max{t1 , t2 ,  , tn}.slimv(i)ti.0i1n3.定积分定义: 设yf(x)在[a , b]上有界.①把区间[a , b]分成n个小区间:，[x1 , x2]，…，[x0 , x1]

[xn1 , xn]，-----高等数学教案-----xixixi1(i1 , 2 ,  , n).②在每个小区间[xi1 , xi]上任取一点i，f(i)xi.i1n③max{x1 , x2 ,  , xn}.如果

limf(i)xi

0i1n存在，且此极限不依赖于对区间[a , b]的分法和在[xi1 , xi]上

-----高等数学教案-----

则称此极限为f(x)i点的取法，在[a , b]上的定积分，记为

f(i)xi.af(x)dxlim0bi1n注意：定积分 af(x)dx只与被积函数f(x)﹑积分区间[a , b]有关，而与积分变量用什么字母表示无关，即

b af(x)dx af(t)dt af(u)du b b b.4.(必要条件).如果f(x , y)在D上可积，则f(x , y)在D上

-----高等数学教案-----有界.5.(充分条件): ①如果f(x)在[a , b]上连续，则f(x)在[a , b]上可积.②如果f(x)在[a , b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a , b]上可积.6.定积分的几何意义：

①如果f(x)在[a , b]上连续，且f(x)0，则

b af(x)dxs

(S是曲边梯

-----高等数学教案-----形的面积).②.如果f(x)在[a , b]上连续，且f(x)0，则 b af(x)dxs

(S是曲边梯形的面积).③如果f(x)在[a , b]上连续，且f(x)的值有正有负，则 b af(x)dx等于x轴上方的曲边梯形面积减去x轴下方的曲边梯形面积.7.规定:

-----高等数学教案-----

①当ab时， af(x)dx0.ab

②当时，ba af(x)dxbf(x)dx.7.定积分的性质：

①f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx.b b② akf(x)dxk af(x)dx.③ b c b af(x)dx af(x)dx cf(x)dx.④如果在[a , b]上f(x)1，则

b b a1dx adxba.b b b b a a a

-----高等数学教案-----⑤如果在[a , b]上f(x)0，则

b af(x)dx0.如果在[a , b]上f(x)g(x)，则

b b af(x)dx ag(x)dx， af(x)dx af(x)dx.b b⑥设mf(x)M，则

bm(ba) af(x)dxM(b.⑦(积分中值定理)如果f(x)

-----高等数学教案-----在[a , b]上连续，则在[a , b]上至少存在一点，使得

b af(x)dxf()(ba).证:由于f(x)在[a , b]上连续，所以存在最大值M和最小值m，使得

mf(x)M，bm(ba) af(x)dxM(ba)，f(x)dx amM，ba

-----高等数学教案-----

b故在[a , b]上至少存在一点，使得

b af(x)dxf()ba即

b af(x)dxf()(ba).b1称为在f(x)dxf(x) aba[a , b]上的平均值.P23511.证: 对任意实数，有 12 0[f(x)]dx0，1 1222 0f(x)dx 0f(x)dx0

-----高等数学教案-----，所以

124 0f(x)dx4 0f(x)dx0，即

 0f(x)dx 0f(x)dx.练习1.设f(x)在[a , b]上连续，且f(x)0，证明: 12 121 af(x)dx af(x)dx(ba)b b.§5.2微积分基本公式

1.积分上限的函数(变上限

-----高等数学教案-----积分): f(x)在[a , b]上连续，称

x(x) af(t)dt x[a , b] 为积分上限的函数.2.如果f(x)在[a , b]上连续，x则(x) af(t)dt可导，且

xd(x)f(t)dtf(x) adx.x例1.求F(x) 0tsintdt的导数.解: F(x)xsinx.-----高等数学教案-----

sintdtsinx 0例2.lim lim2x0x02xx1.2 x例3.tedtlim xxxe2x x2 0t2elimx2tedtx x2 0t2xlimx(12

xlimx1

2-----高等数学教案-----



3. (x)f(t)dt

f[(x)](x)f[(x)](x)(x)1.2.xbd

例4. xaf(t)dt dxf[(xb)]f[(xa)].例

15.( xedt)ee2x xx12xe.lnx2tlnxx22

-----高等数学教案-----例6.设f(x)在[a , b]上连续，且单调增加，证明:

x1 F(x)f(t)dt axa在(a , b]内单调增加.证: 当x(a , b)时，f(x)(xa) af(t)dtF(x) 2(xa)f(x)(xa)f()(xa)2(xa)x

f(x)f()(xa)

-----高等数学教案-----

(ax).由于f(x)在[a , b]上单调增加，而ax，所以

f(x)f()F(x)0，(xa)故F(x)在(a , b]内单调增加.4.微积分基本公式(牛顿—莱布尼茨公式): 如果f(x)在[a , b]上连续，且F(x)是f(x)的一个原函数，则

b af(x)dxF(b)F(a)F(.-----高等数学教案-----

为F(x)、x(x) af(t)dt都是f(x)的原函数，所以(x)F(x)C.由于

(a)F(a)C，a(a) af(t)dt0，得

CF(a)，(x)F(x)F(a)，(b)F(b)F(a)，b即

(b) af(x)dx

F(b)F(a)

F(x).ba

-----高等数学教案-----证: 因

1

1例7. 2dxlnx2

xln1ln2 ln2.1

例 2 1 28. 01xdx 0(1x)dx 1(x1)dx

221xx(x)0(x)22

1.例9.设

x , x[0 , 1), f(x)x , x[1 , 2] ，-----高等数学教案-----2求(x) 0f(t)dt在[0 , 2]上的表达式.x解(x) x2 0tdt , x[0 , 1) 12dt x 0t 1tdt , x[1 ,x3 , 31312(x21), x3 , 31-----高等数学教案 6 ,-----

:

2] x[0 ,x[1 , 2x[0 , x[1 , 2

例10.求

x f(x)0tdt 在( , )上的表达式.0tdt , x0解: f(x)x

tdt , x002x , x02 2x , x0.2x§5.3 定积分的换元法和分部积分法

-----高等数学教案-----1.定积分的换元法:

b af(x)dx x(t)f[(t)]（其中f(x)连续，(t)有连续的导数，a()，b()，.例1. 0 4x2dx 2x11t232 32t12 x  1 tdt 2t 321 1(t3)dt 2331t(3t)1

3-----高等数学教案-----例 例

223.2. 1dx 34 1x1 x(t22t) 1(2t2)12 t2 1121 (1t)dt 2(tlnt)112

12ln2.3.2 111x 2 x2dx xsint  cost 24

-----高等数学教案-----

sin2tcostdt

2 例

2  cottdt

4 2(csc2 t1)dt

4(cottt)2

414. 5 02sinxcosxdx

 5 02cosxdcosx

(166cosx)20

16.-----高等数学教案-----

4.例5. 0x(2x)dx

12421 0(2x)d(2x)2

25111

[(2x)]0

2531

.102.设f(x)在[a , a]上连续且为偶函数，则

a a af(x)dx2 0f(x)dx.证: a 0 a af(x)dx af(x)dx 0f(x)dx.12

4-----高等数学教案----- af(x)dx xt  af(t)( 0 0

 af(t)dt  0f(t)dt  0f(x)dx.a a 0所

以

a a a af(x)dx 0f(x)dx 0f(x)dx

2 0f(x)dx.a3.设f(x)在[a , a]上连续且

a为奇函数，则

 af(x)dx0.xsinxdx.例6.求 242x3x1 2

-----高等数学教案-----

32xsinx解: 由于f(x)42x3x132是 2奇3函2数，所以

xsinxdx0. 242x3x1例7.求 1sinx(arctanx).dx 121x解: 原式1sinx 1(arctanx). 1dxdx22 11x1xsinx由于f(x)2是奇函数，1x

-----高等数学教案-----以(arctanx)是偶函数，所g(x)21x(arctanx)原式02 0 dx21x 122 0(arctanx)d(arctanx)122

312[(arctanx)]0

332()3496例8.设f(x)在[0 , a]上连续，-----高等数学教案-----.3证明:  0f(x)dx 0f(ax)dx.a a证 0f(x)dx 0 xat  af(at)(dt)a:

 af(at)dt  0f(at)dt  0f(ax)dx.a 0 a

例9.若f(x)在[0 , 1]上连续，证明: f(sinx)dx

-----高等数学教案-----2 0f(cosx)dx.2 0 证: f(sinx)dx

 xt 2 2 0f(cost)(d 2 0

f(cost)dt

2 0f(cosx)dx.2 0

例10.若f(x)在[0 , 1]上连续，证明:  0xf(sinx)dx .f(sinx)dx 02 

-----高等数学教案-----证:  0xf(sinx)dx

0 xt  (t)f(sint)

 0(t)f(sint)dt  0f(sint)dt 0tf(sint)dt

 0f(sinx)dx 0xf(sinx)dx.    解 0 得

.f(sinx)dx 02例11.若f(x)为连续函数，xf(sinx)dx

-----高等数学教案-----且ef(xt)dtxe，求f(x)的表达式.xt证:  0ef(xt)dt xt 0x txu  xe 0xuf(u)(du)

eef(u)du x xue 0ef(u)du.ux 0 x所以eef(u)duxe，得

xu 0ef(u)dux.将上式两边对x求导数，得

x ef(x)1，x x 0ux

-----高等数学教案-----即

f(x)e.4.定积分的分部积分法:

x

 auvdx(uv) auvdx.bba b

例12. 1lnxdx(xlnx) 1dx

55ln5x1 55155ln54.例13. 0xedx(xe) 0edx

x1ee0 1xx10 1x1.例14.若f(x)是以T为周期的连续函数，证明:

-----高等数学教案----- af(x)dx 0f(x)dx 其中a为常数.aT T证:  a 0 aTf(x)dx

T aT af(x)dx 0f(x)dx T aT Tf(x)dx

af(x)dx

xuT  0f(uT)du  0f(u)du  0f(x)dx  af(x)dx.0 a a所以

 a aT 0f(x)dx

T 0 af(x)dx 0f(x)dx af(x)dx

-----高等数学教案----- 0f(x)dx.T例15.设f(x)在( , )上连续，证明: 1lim[f(xh)f(x)]dxf(b)f(a)

bh0h a证: 设f(x)的一个原函数为F(x)，则

b1lima [f(xh)f(x)]dx h0h[F(xh)F(x)]lim h0hF(bh)F(b)limh0hF(ah)F(a)limh0h

-----高等数学教案-----

baF(b)F(a)f(b)f(a).§5.4 反常积分 1.无穷限的反常积分: ①设f(x)在[a , )上连续，存在，f(x)dxta，如果tlim a则称反常义积分 af(x)dx收敛，且

t

 af(x)dxtlim.f(x)dx a t否则称反常积分 af(x)dx发散.

-----高等数学教案-----②设f(x)在( , b]上连续，tb，如果limtf(x)dx存在，tb则称反常义积分f(x)dx收敛，且

b

f(x)dxtlim.f(x)dxtb b否则称反常积分f(x)dx发散.③设f(x)在( , )上连 0 续，如果 f(x)dx与 0f(x)dx都收敛，则称反常积分  f(x)dx收敛，且

b

-----高等数学教案----- f(x)dx  f(x)dx 0f(x)dx.0 否则称反常积分 f(x)dx发散.2.引入记号:

F()limF(x)，xF()limF(x).x若在[a , )上F(x)f(x)，则当F()存在时， af(x)dxF()F(a)

[F(x)].a

-----高等数学教案-----若在( , b]上F(x)f(x)，则当F()存在时，bf(x)dxF(b)F()

[F(x)].b若在上( , )F(x)f(x)，则当F()与F()都存在时，f(x)dxF()F()

[F(x)].例1.判断反常积分

x 0xedx

2-----高等数学教案-----是否收敛，若收敛求其值.x1解: 原式(e)0 2x11

xlim(e) 221 .2

例2.判断反常积分

1 cosxdx

22的敛散性.解: 原式(sinx)

1sin(1)limsinx.xsinx不存在，由于xlim所以反

-----高等数学教案-----常积分 cosxdx发散.例3.讨论反常积分 1 1 1xdx.解: 1 1xdx (lnx)1 , (111x)1

-----高等数学教案-----

1 1的敛散性 ,  , 1 , 1 11 , 1 1 1xdx，当1时发散.例4.判断反常积分

 1 1x2dx.解:  1 1x2dx

-----高等数学教案-----

1所以反常积分时收敛，当 的敛散性 (arctanx)0(arctanx)0



22. 1 

例5.判断反常积分

1dx

2xx 的敛散性.1dx解:  1 2xx 11 1()dx x1x[lnxln(1x)]1

-----高等数学教案-----

x[ln]1 1xx1limlnln x1x2ln2.3.如果f(x)在点a的任一邻域内都无界，那么称点a为f(x)的瑕点.4.无界函数的反常积分(瑕积分): ①设f(x)在(a , b]上连续，点a为f(x)的瑕点，ta.如果limtf(x)dx存在，则称反常积ta

-----高等数学教案-----b分 af(x)dx收敛，且 b

 af(x)dxlimtf(x)dx.b bt a否则称反常积分 af(x)dx发散.②设f(x)在[a , b)上连续，点b为f(x)的瑕点，tb.如果

blimaf(x)dx存在，则称反常积tbt分 af(x)dx收敛，且 b

 af(x)dxlimaf(x)dx.btt b否则称反常积分 af(x)dx发散.③设f(x)在[a , b]上除点c(acb)外连续，点c为f(x)的 b

-----高等数学教案-----瑕点.如果两个反常积分

b c af(x)dx、 cf(x)dx都收敛，则

b称反常积分 af(x)dx收敛，且 b c b af(x)dx af(x)dx cf(x)dx.b否则称反常积分 af(x)dx发散.5.引入记号: ①设F(x)为f(x)在(a , b]上的一个原函数，a为f(x)的瑕点，则

b af(x)dxF(b)limF(x)

xa[F(x)].ba

-----高等数学教案-----②设F(x)为f(x)在[a , b)上的一个原函数，b为f(x)的瑕点，则

b af(x)dxlimF(x)F(a)

xb[F(x)].ba

例6.判断反常积分 0lnxdx的敛散性.1解: 0lnxdx(xlnx)0dx 11010lim(xlnx)x

x 0101.-----高等数学教案-----

1例7.讨论反常积分 0dxx 1的敛散性.解:  11 0xdx

(lnx)10 , 1(1111 x)0 , 1

0limx 0lnx , 1lim 0(11x11x)

-----高等数学教案-----

1 1 , 1 , 11 , 1  , 1 11所以反常积分 0dx，当1x时收敛，当1时发散.11

例8.判断反常积分 12dxx的敛散性.1解:  12dx x 01 11 12dx 02dx

xx 1

-----高等数学教案-----

第三篇：高等数学教案12

-----

3.余项rnssnun1un2.aqaaqaqaqn2n1: 例1.判断等比级数(几何级数)n0

(a0)的敛散性.aaq解:①q1时，sn，1qna，收敛，和为limsnaqn1qn0a.1q

-----高等数学教案-----

naaq②q1时，sn，1qlimsn，aq发散； nnn0nsn，③q1时，snna，limnn0aq发散.n④q1时，0 , n为偶数limsn不存在，sn，na , n为奇数n0aq发散.nn1例2判断级数ln是否收nn1

-----高等数学教案-----敛，若收敛求其和.解: sn(ln2ln1)(ln3ln2)

[ln(n1)lnn] ln(n1).P②.3225sn，所以原级数发散.由于limnsn11111(1)()23235111()22n12n111(1).22n1

-----高等数学教案-----

1sn，所以原级数收敛 由于limn24.收敛级数的性质: ①如果un收敛和为s，则kunn1n1也收敛，其和为ks；若un发散，n1则kun(k0)也发散.n1②如果un、vn均收敛，其和n1n1n1，分别为s、则(unvn)也收敛，其和为s.-----高等数学教案-----

③在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性.④如果un收敛，则对这级数n1的项任意加括号后所成的级数(u1un)(un1un)

(un1un) 112k1k也收敛，且其和不变.如果一个级数发散，则加括号后所成的级数可能收敛，也可能发散.如果一个正项级数发散，则加

-----高等数学教案-----括号后所成的级数一定发散.⑤级数收敛的必要条件: 若n1un0.un收敛，则limn例3证明调和级数 1111 23n是发散的.证: 假设调和级数收敛，部分

sns.和为sn，和为s，则limnim(s2nsn)ss0.一方面，ln另一方面，-----高等数学教案-----

111s2nsn n1n22n111 2n2n2n1，2(s2nsn)0，矛盾，故调所以limn和级数发散.1P②.由于调和级数发散，n1n1所以也发散.n13n14P225⑤.由于级数n是公比为

n124225

-----高等数学教案-----11q的几何级数，而q1，所2211以n收敛；由于级数n是公比n12n1311为q的几何级数，而q1，331所以n收敛.n1311由于n与n都收敛，所以n12n1311(nn)收敛.n123§12.2 常数项级数的审敛法

-----高等数学教案-----1.正项级数: un(un0).n12.正项级数un的部分和数列

n1sn单调增加.3.正项级数un收敛部分和

n1数列sn有界.4.比较审敛法: 设un、vn都

n1n1是正项级数，且unvn.①若vn收敛，则un收敛；

n1n1

②若un发散，则vn发散.n1n-----高等数学教案-----5.比较审敛法的推论: 设un、n1n1vn都是正项级数.n1

①若vn收敛，且存在自然数N，使当nN时有unkvn(k0)成立，则un收敛.n1

②若un发散，且存在自然数n1N，使当nN时有unkvn(k0)成立，则vn发散.n-----高等数学教案-----例1.判断p级数

1111ppp 23n的敛散性.解: ①当p1时，由于1np而1发散，所以n1n1n1np发散.②当p1时，对于级数

11112p3pnp 加括号后:

-----高等数学教案-----

1n，1111111(pp)(pppp)234567

它的各项均不大于级数

1111111(pp)(pppp224444

111p1p1 24的对应项，而后一个级数是收敛的几何级数，所以级数

-----高等数学教案-----1111111(pp)(pppp)2345671收敛，故正项级数p收敛.n1n1例2.判断级数lnn的敛散性.n121111解: 由于lnnlogn，而nn1n221发散，所以lnn发散.n121例3.判断级数lnn的敛散性.n13111解:由于lnnln3，而ln3n13n1nn1n1pln31，是p级数，所以ln3n1n1收敛，从而lnn收敛.n13-----高等数学教案-----例4.若正项级数an与bn均

n1n1收敛，则下列级数也收敛.①anbn；②(anbn)；③

2n1n1an.n1n证: ①由于an与bn均收敛，n1n1所以(anbn)收敛，而n1anbn2anbn，故anbn收敛.n1②由于

-----高等数学教案-----(anbn)an2anbnbn，而an、2n1n1bn与anbn均收敛，所以n12(anbn)收敛.n11③由于an与2均收敛，所n1n1n11an以(an2)收敛，而an22，n1nnnan故收敛.n1n例5.若an与bn均收敛，且n1n1ancnbn，求证:cn收敛.n-----高等数学教案-----

证:由于an与bn均收敛，所n1n1以(bnan)收敛.n1由于ancnbn，所以

n1bnancnan0，而(bnan)收敛，故(cnan)收敛，而an收敛，从n1n1而cn收敛.n16.比较审敛法的极限形式: 设n1un、vn均是正项级数，n1

-----高等数学教案-----

un0，且vn收敛，则①若limnn1vnun收敛.n1unl(0l)，则vn

②若limnn1vn与un同时收敛和同时发散.n1un，且vn发散，③若limnn1vn则un发散.n11例6.判断级数n的敛散

n1nn

-----高等数学教案-----性.1n1nn解:由于llim，而1n1n1nn1发散，所以n发散.n1nn1n1例7.判断级数ln的敛

n1n2n散性.1lnn1nn1解:由于llim2，而n12n11n1收敛.2收敛，所以lnn1n2nn2n

-----高等数学教案-----例8.判断级数(21)的敛散

nn1性.解: 由于

nn212ln2llimlimln2nn11n，1n而发散，所以(21)发散.n1n1n7.比值审敛法(达朗贝尔判别法): 设un为正项级数，且n1

-----高等数学教案-----un1lim.nun

①若1，则un收敛；

n1

②若1或，则un发

n1散；

③若1，则un可能收敛也

n1可能发散.1例9.判断级数的敛散

n1(n1)!性.-----高等数学教案-----

1n!01解: 由于lim，n1(n1)!1所以收敛.n1(n1)!n!例10.判断级数n的敛散性.n110: 由于(n1)!n1n110limlim，所nn10n!n10n!以n发散.n110

-----高等数学教案-----解8.根值审敛法(柯西判别法): 设un为正项级数，且n1nu.limnn

①若1，则un收敛；

n1

②若1或，则un发

n1散；

③若1，则un可能收敛也

n1可能发散.2n1n例11.判断级数()的n13n1

-----高等数学教案-----敛散性.解: 由于

2n1nn(lim)n3n12n()3n1limnnn3n1，2n1n所以()收敛.n13n110.交错级数: u1u2u3u4，或

u1u2u3u4，其中u1，u2…都是正数.-----高等数学教案-----11.莱不尼兹定理: 如果交错级数(1)un满足条件: n1n1

①unun1；

imun0，②ln则(1)un收敛，其和su1，其余n1n1项的绝对值rnun1.例12.判断级数(1)n1n11的敛

n散性.解: 由于

-----高等数学教案-----11①，即unun1； nn110，即limu0

②lim，nnnnn11所以(1)收敛.n1n12.绝对收敛: 如果un收敛，n1则称un绝对收敛.n1例如，级数(1)n1n11绝对收

2n敛.13.条件收敛: 如果un收敛，n-----高等数学教案-----

而un发散，则称un条件收敛.n1n1例如，级数(1)n1n11条件收敛.nn114.如果任意项级数un的绝对值收敛，则un收敛.n11

证: 令Vn(unun)，21Wn(unun)，则unVn0，2unWn0.由于un收敛，所以Vn、Wnn1n1n-----高等数学教案-----均收敛，故(VnWn)un也收

n1n1敛.15.设un是任意项级数，n1un1nu，如果lim或limnnunn1，un发散，则un发散.n1n1n例13.判别级数(1)是n1n1否收敛，若收敛是条件收敛，还

n1是绝对收敛.-----高等数学教案-----解: 由于lim(1)n以(1)n1n1n1n0，所

n1n发散.n11n例14.判别级数nsin是否

5n12收敛，若收敛是条件收敛，还是绝对收敛.1n11n，解: 由于nsin而n

522n121(是公比为q1的几何级数)21n收敛，所以nsin收敛，故

5n1-----高等数学教案-----1nnsin绝对收敛.5n121例15.判别级数(1)ln(1)nn1是否收敛，若收敛是条件收敛，n还是绝对收敛.11解: 由于ln(1)ln(1)，而

n1n1limln(1)0，所以交错级数nn1n(1)ln(1)收敛.n1n由于

-----高等数学教案-----

1(1)ln(1)1 nlimlimnln(1)nn1nnn1nlimln(1)nn1，11n而 发散，所以(1)ln(1)发n1nn1n1n散，故(1)ln(1)条件收敛.n1n§12.3 幂级数

1.区间I上的函数项级数: u1(x)u2(x)un(x).-----高等数学教案-----对于xx0I，常数项级数

u1(x0)u2(x0)un(x0)

n1收敛，则称x0为un(x)的收敛点.收敛点的全体称为收敛域，发散点的全体称为发散域.2.(xx0)的幂级数: n0an(xx0)na0a1(xx0)a2(xx0)

2nan(xx0)

-----高等数学教案-----3.x的幂级数:

n0anx2nna0a1xa2xanx.4.阿贝尔定理: 如果anx当

nn0则当xx0xx0(x00)时收敛，时anx绝对收敛.反之，如果nn0n0anx当xx0时发散，则当nxx0时anx发散.nn0

5.阿贝尔定理的推论: 如果

-----高等数学教案-----n0anx不是仅在x0一点收敛，n也不是在整个数轴上收敛，则存在R0，使得

①当xR时，幂级数绝对收敛；

②当xR时，幂级数发散；

③当xR与xR时，幂级数可能收敛也可能发散.)为

称R为收敛半径，称(R , R)、收敛区间，收敛域是(R , R[R , R)、(R , R]或[R , R]这四

-----高等数学教案-----个区间之一(由xR处的收敛性决定).规定幂级数仅在x0处收敛时R0，幂级数对一切x都收敛时R.6.对于幂级数anx，如果

nn0an1lim，则 nan

-----高等数学教案-----

1 , 0且R , 0 ,0 , .

(1)x例1.求的收敛域.n1nn(1)n11解: 由于lim，所n1n(1)n1以R1.n1n

-----高等数学教案-----

(1)x1当x1时，()nnn1n1发散.(1)n1xn(1)n1当x1时，nnn1n1(1)n1xn条件收敛.因此，的收

nn1敛域为(1 , 1].n1例2.求2(3x)的收敛域.n01nnnn13解: 2(3x) 2x.n01nn01nn1n

-----高等数学教案-----

321(n1)lim3nn321nn1，1R.31当时，x3(1)nn1(3x) 绝对收敛.22n01nn01n1当时，x3n112(3x) 2收敛.n01nn01nn1因此，的收敛域为(3x)2n01n

-----高等数学教案-----11[ , ].33(1)n例3.求2(x3)的收敛n1nn域.解: 令x3t，则

(1)(1)nn2(x3) 2t.n1nn1n(1)nn对于，2tn1nn1(1)2(n1)lim1R1，.nn(1)2n

-----高等数学教案-----

nn(1)n1当t1时，2t2收n1nn1nn敛.(1)n(1)2t2绝当t1时，n1nn1nn(1)n对收敛.因此，2t的收敛

n1nn(1)n区间为[1 , 1]，故2(x3)n1n的收敛域为[2 , 4].2n11例4.求nx 的收敛域.n03nn

-----高等数学教案-----

1x2(n1)1n1213x解: lim.n1x2n13n321令x1，得3x3，收3敛半径为R3.发散.散.2n11当x3时，nx 3n03n02n11当x3时，nx 3发n03n02n11因此，nx 的收敛域为n03(3 , 3).

-----高等数学教案-----7.幂级数的运算: s(x)anxn0nn0n和(x)bnx的收敛半径分别为R和R，则

n0anxnnn0bnxnn0(anbn)xs(x)(x)的收敛半径为RminR , R.8.幂级数的性质:

①anx的和函数s(x)在其收nn0敛域I上连续.-----高等数学教案-----

②anx的和函数s(x)在其收nn0敛域I上可积，并有逐项积分公式

0s(x)dx0anxdxn0xxn0anxdx nn0xann1x(xIn0n1，ann1nx与anx的收敛半径相n0n0n1同.

-----高等数学教案-----③anx的和函数s(x)在其收nn0敛区间(R , R)内可导，并有逐项求导公式

nns(x)anx(anx)

n0n0 nanx(xR)，n1n1n1nanxn1与anx的收敛半径相

nn0同.n1例5.求x的和函数.n1n

-----高等数学教案-----

1n1R1.1解: lim，n1nn1n1当x1时，x(1)收nn1n1n敛.n11当x1时，x发散.因

n1nn1nn1此，x的收敛域为[1 , 1).n1nn1令s(x)x(1x1)，则 n1nnn11s(x)x(x)n1nn1n

-----高等数学教案-----x n1n11(1x1).1xs(x) x 0s(x)dxs(0)

x10dx0 1ln(1xx)(1x1).例6.求1xn1在其收敛n1n1 , 1)上的和函数.解1xn1x1xnx[ln(1x)] n1nn1n

-----高等数学教案-----

: 域[ xln(1x)x[1 , 1).例7.求(n1)x在其收敛域

nn1(1 , 1)上的和函数.解: 令s(x)(n1)x，则

nn10s(x)dx0(n1)xdx

nn1xxx

n1n1x 1x(1x1).-----高等数学教案-----

2s(x)[ 0s(x)dx]

xx() 1x22xx2(1x)(1x1).2例8.求nx在其收敛域(1 , 1)nn1上的和函数.解: nxnxxx

nnnnn1n1n1nn1n(n1)xx

n1n1

-----高等数学教案-----

2xxx 2(1x)1xx

.(1 , 1)2(1x)2例9.求(n2)x在其收敛区

nn1间(1 , 1)上的和函数.解n1:

nn12(n2)x(n1)xx nnn12xx2(1x)x 1x

-----高等数学教案-----

3x2x2(1x)2

(1 , 1).§12.4 函数展开成幂级数

1.设f(x)在x0的某一邻域U(x0)内具有各阶导数，幂级数

(x0)f2f(x0)f(x0)(xx0)(xx0)

2!f(x0)n(xx0)

n!称为f(x)的泰勒级数.(n)

如果泰勒级数收敛于f(x)，则

-----高等数学教案-----

第四篇：第十章____重积分(高等数学教案)

高等数学教案

重积分

重积分

【教学目标与要求】

1.理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，知道二重积分的中值定理。2.掌握二重积分的（直角坐标、极坐标）计算方法。

3.掌握计算三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算方法。

4.会用重积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、重心、转动惯量、引力等）。

【教学重点】

1.二重积分的计算（直角坐标、极坐标）；

2.三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算。3.二、三重积分的几何应用及物理应用。

【教学难点】

1.利用极坐标计算二重积分； 2.利用球坐标计算三重积分； 3.物理应用中的引力问题。

【教学课时分配】(10学时)第1 次课

§１

第2 次课

§2

第3 次课

§3 第4 次课

§4

第5次课

习题课

【参考书】

[1]同济大学数学系.《高等数学（下）》，第五版.高等教育出版社.[2] 同济大学数学系.《高等数学学习辅导与习题选解》，第六版.高等教育出版社. [3] 同济大学数学系.《高等数学习题全解指南（下）》，第六版.高等教育出版社

高等数学教案

重积分

§10 1 二重积分的概念与性质

【回顾】定积分

设函数yf(x)在区间[a b]上非负、连续 求直线xa、xb、y0 及曲线yf(x)所围成的曲边梯形的面积

(1)分割：用分点ax0x1x2   xn1xn b把区间[a b]分成n个小区间

[x0 x1] [x1 x2] [x2 x3]     [xn1 xn ] 记xixixi1(i1 2     n)

(2)代替：任取i[xi1 xi] 以[xi1 xi]为底的小曲边梯形的面积可近似为

f(i)xi(i1 2     n)

（3）作和：曲边梯形面积A的近似值为

Af()x iii1nn(4)取极限：记max{x1 x2   xn } 所以曲边梯形面积的精确值为

Alim0f()x

iii1则

baf(x)dxAlimf(i)xi0i1n§10 1 二重积分的概念与性质

一、引例

1 曲顶柱体的体积V 设有一立体 它的底面是xOy面上的闭区域D 其侧面为母线平行于z轴的柱面 其顶是曲面zf(x y)非负连续 称为曲顶柱体

若立体的顶是平行于xoy面的平面。

体积=底面积高

现在我们来讨论如何计算曲顶柱体的体积

（i）分割：用任意曲线网把D分成n个小区域 ：

 1  2      n 

分别以这些小闭区域的边界曲线为准线 作母线平行于z轴的柱面 这些柱面把原来的曲顶柱体分为n个细曲顶柱体 高等数学教案

重积分

（ii）代替：在每个 i中任取一点( i   i) 以f( i   i)为高而底为 i的平顶柱体的体积为

f( i   i)i

(i1 2     n)

（iii）近似和： 整个曲顶柱体体积V

Vf(i,i)i

i1n分割得越细, 则右端的近似值越接近于精确值V, 若分割得“无限细”, 则右端近似值会无限接近于精确值V.（iv）取极限： 记 max{i的直径},1in

其中i的直径是指i中相距最远的两点的距离。则

Vlimf(i,i)i 其中(i,i)i

0i1n2平面薄片的质量

当平面薄板的质量是均匀分布时，质量 = 面密度×面积.若平面薄板的质量不是均匀分布的.这时, 薄板的质量不能用上述公式算, 应如何算该薄板的质量M? 设有一平面薄片占有xOy面上的闭区域D 它在点(x y)处的面密度为(x,y) 这里(x,y)非负连续 现在要计算该薄片的质量M

（i）分割：用任意一组曲线网把D分成n个小区域：

 1  2      n 

（ii）代替：把各小块的质量近似地看作均匀薄片的质量

mi( i   i) i 

（iii）近似和： 各小块质量的和作为平面薄片的质量的近似值

M(i,i)i

i1n高等数学教案

重积分

将分割加细 取极限 得到平面薄片的质量（iv）取极限：

记 max{的直径},i1in

则

Mlim(i,i)i

0i1n两个问题的共性：(1)解决问题的步骤相同：

“分割, 代替,近似和,取极限”

(2)所求量的结构式相同

曲顶柱体体积:

Vlimf(i,i)i

0i1n平面薄片的质量:

Mlim(i,i)i

0i1n二、二重积分的定义及可积性

定义： 设f(x y)是有界闭区域D上的有界函数 将闭区域D任意分成n个小闭区域

 1  2      n 

其中 i表示第i个小区域 也表示它的面积 在每个 i上任取一点( i i) 作和

f(i,i)i

i1n如果当各小闭区域的直径中的最大值趋于零时 这和的极限总存在 则称此极限为函数f(x y)在闭区域D上的二重积分 记作

f(x,y)d 即

D

limf(i,i)i f(x,y)d0i1Dnf(x y)被积函数 f(x y)d被积表达式 d面积元素 x y积分变量 D积分区域 积分和

直角坐标系中的面积元素

如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分D 那么除了包含边界点的一些小闭区域外 其余的小闭区域都是矩形闭区域 设矩形闭区域i的边长为xi和yi 则ixiyi 因此在直角坐标系中 有时也把面积元素d 记作dxdy 而把二重积分记作 高等数学教案

重积分

f(x,y)dxdy

D其中dxdy叫做直角坐标系中的面积元素

二重积分的几何意义 如果f(x y)0 被积函数f(x y)可解释为曲顶柱体的在点(x y)处的竖坐标 所以二重积分的几何意义就是柱体的体积 如果f(x y)是负的 柱体就在xOy 面的下方 二重积分的绝对值仍等于柱体的体积 但二重积分的值是负的

说明：当函数f(x y)在闭区域D上连续时 则f(x y)在D上的二重积分必存在。于是我们总假定函数f(x y)在闭区域D上连续，所以f(x y)在D上的二重积分都是存在的。例1.利用二重积分定义计算：三.二重积分的性质

设D为有界闭区域，以下涉及的积分均存在。性质1 xydxdy，其中D{(x,y)|0x1,0y1}。

D[f(x,y)g(x,y)]df(x,y)dg(x,y)d

DDD性质2 设k为常数，则性质3 kf(x,y)dkf(x,y)d

DD1dd|D|，其中(|D|为D的面积)

DD性质4 设DD1D2，且D1,D2无公共内点，则

f(x,y)df(x,y)df(x,y)d

DD1D2性质5.若在D上 f(x y)g(x y) 则

f(x,y)dg(x,y)d

DD特殊：（1）若在D上f(x,y)0，则

f(x,y)d0

D

（2）|f(x,y)d||f(x,y)|d

DD

这是因为|f(x,y)|f(x,y)|f(x,y)|

性质6 设M、m分别是f(x y)在闭区域D上的最大值和最小值 |D|为D的面积 则

高等数学教案

重积分

m|D|f(x,y)dM|D|

D

性质7(二重积分的中值定理)设函数f(x y)在闭区域D上连续  为D的面积 则在D上至少存在一点(,)D，使

例2.比较下列积分的大小：f(x,y)df(,)

D(xy)d，(xy)d，DD23其中D{(x,y)|(x2)2(y1)22}

小结

1.二重积分的定义：

nf(,)f(x,y)dlimD0iii1i)，(ddxdy2.二重积分的性质（与定积分性质相似）

教学方式及教学过程中应注意的问题

在教学过程中要注意二重积分的定义，性质以及应用，并且要与定积分的定义、性质进行比较，要结合实例，反复讲解。

师生活动设计

1.比较下列积分值的大小关系：I12xy1|xy|dxdy，I22|x||y|1|xy|dxdy，I31111|xy|dxdy

22(sinxcosy)d2，其中D为0x1,0y1。D2.证明：1讲课提纲、板书设计

作业 P137: 4（1）（3），5（1）（4）

§10 2 二重积分的计算法 高等数学教案

重积分

一、利用直角坐标计算二重积分

X型区域

D 

1(x)y2(x) axb 

Y 型区域 D 

1(x)y2(x) cyd 

混合型区域

设f(x y)0

D{(x y)| 1(x)y2(x) axb}

此时二重积分柱体的体积

对于x0[a b]

曲顶柱体在xx0的截面面积为以区间[1(x0) 2(x0)]为底、以曲线zf(x0 y)为曲边的曲边梯形 所以这截面的面积为

A(x0)2(x0)10f(x,y)d在几何上表示以曲面zf(x y)为顶 以区域D为底的曲顶D(x)1f(x0,y)dy

根据平行截面面积为已知的立体体积的方法 得曲顶柱体体积为

V即

V可记为

aA(x)dxa[(x)b2(x)a1(x)bb2(x)f(x,y)dy]dx

f(x,y)d[Dbf(x,y)dy]dx

f(x,y)dadx(x)D12(x)f(x,y)dy

类似地 如果区域D为Y 型区域

D  1(x)y2(x) cyd 

则有

f(x,y)ddyDcd2(y)1(y)f(x,y)dx

例1 计算xyd 其中D是由直线y

1、x2及yx所围成的闭区域

D

解 画出区域D

方法一

可把D看成是X型区域 1x2 1yx  于是

422y2x1xx1293[]

[x]dx(xx)dxxyd[xydy]dx1112112428212x2D注 积分还可以写成xyddxxydyxdxydy

D11112x2x高等数学教案

重积分

解法2 也可把D看成是Y型区域 1y2 yx2  于是

422y3x22y29xyd1[yxydx]dy1[y2]ydy1(2y2)dy[y8]18 222D

例2 计算yD1x2y2d 其中D是由直线y

1、x1及yx所围成的闭区域

解

画出区域D 可把D看成是X型区域 1x1 xy1 于是

11[(1x2y2)2]1dx11(|x|31)dx y1xyddxy1xydyx1x3131221122D31(x31)dx

302

也可D看成是Y型区域：1y1 1x

y1x2y2dydyD1D1y11x2y2dx

例3 计算

2xyd 其中D是由直线yx2及抛物线yx所围成的闭区域



解 积分区域可以表示为DD1+D2

其中D, xyx D2: 1x4, 2yx 于是 1: 0x1

xyddxD021xxxydydx14xx2xydy

积分区域也可以表示为D 1y2 y2xy2 于是

xyd1dyyDy222x12[y(y2)2y5]dy

2xydx[y]y2dyy122126y443152y2

[y2y]15

24368讨论积分次序的选择

例

4求两个底圆半径都等于的直交圆柱面所围成的立体的体积

解

设这两个圆柱面的方程分别为

x2y2 2及x2z2 2 高等数学教案

重积分

利用立体关于坐标平面的对称性 只要算出它在第一卦限部分的体积V1 然后再乘以8就行了

第一卦限部分是以D{(x y)| 0yR2x2, 0x}为底 以zR2x2顶的曲顶柱体

于是

V8DRxd8dx022RR2x20R2x2dy8[R2x2y]0R0R2x2dx

16R3

22(Rx)dx03 二

利用极坐标计算二重积分

8R

有些二重积分 积分区域D 的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便 且被积函数用极坐标变量、 表达比较简单

这时我们就可以考虑利用极坐标来计算二重积分

limf(i,i)i

f(x,y)d 按二重积分的定义f(x,y)d0DnDi

1下面我们来研究这个和的极限在极坐标系中的形式

以从极点O出发的一族射线及以极点为中心的一族同心圆构成的网将区域D分为n个小闭区域 小闭区域的面积为

111222(ii)iiiii

i2其中i表示相邻两圆弧的半径的平均值

在i内取点(i , i) 设其直角坐标为( i  i)

则有

i(ii)2ii2i(2ii)ii

ii cosi ii sini

limf(i cosi,i sini)i ii

f(i,i)i0i1i1nn于是 lim0即

f(x,y)df(cos,sin)dd

DD若积分区域D可表示为 1() 2()

 高等数学教案

重积分

则

f(cos,sin)dddD2()1()f(cos,sin)d

讨论如何确定积分限?

f(cos,sin)ddd0D2D0()f(cos,sin)d

f(cos,sin)dddxeD2()0f(cos,sin)d

例5 计算域 y2dxdy 其中D是由中心在原点、半径为a 的圆周所围成的闭区

解

在极坐标系中 闭区域D可表示为

0a  0 2 

于是 exD2y2adxdyedd[ed]d [1e]0d

0002D22a22(1ea)

注 此处积分

122022d(1ea)

dxdy

2exD22y2dxdy也常写成x2y2a2exy2

利用x2y2a2xey2dxdy(1ea)计算广义积分exdx

022

设D1{(x y)|x2y2R2 x0 y0} D2{(x y)|x2y22R2 x0 y0}S{(x y)|0xR 0yR}

显然D1SD2 由于ex

2y20 从则在这些闭区域上的二重积分之间有不等式

2exD12y2dxdyexSy2dxdyexD22y2dxdy

因为

exS2y2dxdyexdxeydy(exdx)2

000R2R2R2又应用上面已得的结果有 高等数学教案

重积分

exD12y2dxdy(1eR)

42exD22y2dxdy(1e2R)

42于是上面的不等式可写成(1eR2)(Rex2dx)2(1e2R2)

404令R 上式两端趋于同一极限

 从而ex2dx

4 02

例6 求球体x2y2z24a2被圆柱面x2y22ax所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积

解

由对称性 立体体积为第一卦限部分的四倍

V4D4a2x2y2dxdy

其中D为半圆周y2axx2及x轴所围成的闭区域

在极坐标系中D可表示为

02a cos  0于是

V4 

22acos2d00D4add4224a22d

32322

a22(1sin3)da2()

03323

小结

1.二重积分化为累次积分的方法；

2.积分计算要注意的事项。

教学方式及教学过程中应注意的问题

在教学过程中要注意二重积分化为累次积分的方法：分直角坐标和极坐标，以及在计算时要注意事项，要结合实例，反复讲解。

师生活动设计

1.设f(x)C[0,1]，且f(x)dxA，求Idxf(x)f(y)dy。

00x1112.交换积分顺序I22dacos0f(r,)dr，(a0)

讲课提纲、板书设计 高等数学教案

重积分

作业 P154: 1(2),(4);2(1),(3);6(2),(4);12(1),(3);13(3),(4);14(1),(2)；15（1）（2）

§103

三重积分 一、三重积分的概念

定义 设f(x y z)是空间有界闭区域上的有界函数 将任意分成n个小闭区域：

v1 v2     vn

其中vi表示第i个小闭区域 也表示它的体积 在每个vi上任取一点(i i i) 作乘积f(

i  i  i)vi(i1 2    n)并作和

f(i,i,i)vi 如果当各小闭区域的直径中的最大值i1n趋于零时

这和的极限总存在

则称此极限为函数f(x y z)在闭区域上的三重积分 记作f(x,y,z)dv

即

高等数学教案

重积分

limf(i,i,i)vi

f(x,y,z)dv0i1n

三重积分中的有关术语 ——积分号

f(x y z)——被积函数

f(x y z)dv——被积表达式

dv体积元素

x y z——积分变量

——积分区域

在直角坐标系中 如果用平行于坐标面的平面来划分 则vixi yizi  因此也把体积元素记为dv dxdydz 三重积分记作

f(x,y,z)dvf(x,y,z)dxdydz



当函数f(x y z)在闭区域上连续时 极限limf(i,i,i)vi是存在的

0i1n因此f(x y z)在上的三重积分是存在的 以后也总假定f(x y z)在闭区域上是连续的

三重积分的性质 与二重积分类似

比如

[c1f(x,y,z)c2g(x,y,z)]dvc1f(x,y,z)dvc2g(x,y,z)dv



12f(x,y,z)dvf(x,y,z)dvf(x,y,z)dv

12

dvV 其中V为区域的体积 二、三重积分的计算

1 利用直角坐标计算三重积分

三重积分的计算 三重积分也可化为三次积分来计算 设空间闭区域可表为

z1(x y)zz2(x y) y1(x)yy2(x) axb

则

f(x,y,z)dv[z(x,y)D1z2(x,y)f(x,y,z)dz]d

dxbay(x)[z(x,y)11by2(x)z2(x,y)f(x,y,z)dz]dy f(x,y,z)dz

dxay(x)1y2(x)dyz2(x,y)z1(x,y)高等数学教案

重积分

即 f(x,y,z)dvdxaby2(x)y1(x)dyz2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz

其中D : y1(x) y y2(x) axb 它是闭区域在xOy面上的投影区域

提示 设空间闭区域可表为

z1(x y)zz2(x y) y1(x)yy2(x) axb

计算f(x,y,z)dv

基本思想

对于平面区域D

y1(x)yy2(x) axb内任意一点(x y) 将f(x y z)只看作z的函数 在区间[z1(x y)

z2(x y)]上对z积分 得到一个二元函数F(x y)

F(x,y)z2(x,y)1z(x,y)f(x,y,z)dz

然后计算F(x y)在闭区域D上的二重积分 这就完成了f(x y z)在空间闭区域上的三重积分

F(x,y)d[DD1z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz]ddxaby2(x)y1(x)[z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz]dy

则 f(x,y,z)dv[z(x,y)Dz2(x,y)f(x,y,z)dz]d

z2(x,y)

1dxbay(x)[z(x,y)1by2(x)f(x,y,z)dz]dy f(x,y,z)dz

f(x,y,z)dz

dx即

ay(x)1y2(x)dyz2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dvadxy(x)dyz(x,y)11by2(x)z2(x,y)其中D : y1(x) y y2(x) axb 它是闭区域在xOy面上的投影区域

例1 计算三重积分域

解 作图 区域可表示为:

0z1x2y 0y(1x) 0x1 xdxdydz 其中为三个坐标面及平面x2yz1所围成的闭区12高等数学教案

重积分

于是

xdxdydz 0dx11x1x2y2dyxdz 00

0xdx11x2(1x2y)dy0

111

(x2x2x3)dx4048

讨论 其它类型区域呢?

有时 我们计算一个三重积分也可以化为先计算一个二重积分、再计算一个定积分 设空间闭区域{(x y z)|(x y)Dz c1 zc2} 其中Dz是竖坐标为z 的平面截空间闭区域所得到的一个平面闭区域 则有

f(x,y,z)dvcdzf(x,y,z)dxdy

1c2Dz2y2z2x

例2 计算三重积分zdxdydz 其中是由椭球面2221所围成的空间闭

abc2区域

解 空间区域可表为: x2y21z 2 c zc

ab2c2于是

2zzdxdydz zdzdxdyab(12)z2dz4abc3

cc15cD2c2zc

练习：

例3 将三重积分If(x,y,z)dxdydz化为三次积分 其中

(1)是由曲面z1x2y2 z0所围成的闭区域

(2)是双曲抛物面xyz及平面xy10 z0所围成的闭区域

(3)其中是由曲面zx22y2及z2x2所围成的闭区域

例4 将三重积分If(x,y,z)dxdydz化为先进行二重积分再进行定积分的形式

其中由曲面z1x2y2 z0所围成的闭区域

2 利用柱面坐标计算三重积分

设M(x y z)为空间内一点 并设点M在xOy面上的投影P 的极坐标为P( ) 则这样的三个数、、z就叫做点M的柱面坐标 这里规定、、z的变化范围为 高等数学教案

重积分

0< 0 2  

坐标面0   0 zz0的意义

点M 的直角坐标与柱面坐标的关系

xcos

xcos ysin zz  ysin

zz

柱面坐标系中的体积元素 dvdddz

简单来说 dxdydd  dxdydzdxdydzdd dz

柱面坐标系中的三重积分

f(x,y,z)dxdydzf(cos,sin,z)dddz



例5利用柱面坐标计算三重积分围成的闭区域

解 闭区域可表示为

2z4 02 02

于是

zdxdydz 其中是由曲面zxy与平面z4所

2zdxdydzzdddz

1d(164)d ddzdz0020201164

2[826]2026

324222

3 利用球面坐标计算三重积分

设M(x y z)为空间内一点 则点M也可用这样三个有次序的数r、、 来确定 其中 r为原点O与点M间的距离 为OM与z轴正向所夹的角 为从正z轴来看自x轴按逆时针方向转到有向线段OP的角 这里P为点M在xOy面上的投影 这样的三个数r、、 叫做点M的球面坐标 这里r、、 的变化范围为

0r< 0< 0 2

坐标面rr0 0 0的意义，点M的直角坐标与球面坐标的关系

xrsincos

xrsincos yrsinsin zrcos  yrsinsin

zrcos高等数学教案

重积分

球面坐标系中的体积元素

dvr2sindrdd 

球面坐标系中的三重积分

f(x,y,z)dvf(rsincos,rsinsin,rcos)r2sindrdd



例6 求半径为a的球面与半顶角为的内接锥面所围成的立体的体积

解 该立体所占区域可表示为

0r2acos 0 02

于是所求立体的体积为

Vdxdydzr2sindrdddd22acos000r2sindr

20sind2acos0r2dr

316a

33034cossind4a(1cosa)

3提示 球面的方程为x2y2(za)2a2 即x2y2z22az 在球面坐标下此球面的方程为r22arcos 即r2acos

小结

1.三重积分的定义和计算； 2.换元积分公式。

教学方式及教学过程中应注意的问题

在教学过程中要注意三重积分的定义和计算以及换元积分公式的应用，要结合实例，反复讲解。

师生活动设计

1.将If(x,y,z)dv用三次积分表示，其中由六个平面x0,x2,y1,x2y4,zx,z2所围成，f(x,y,z)C()。

2.设由锥面z2I(xyz)dv x2y2和球面x2y2z24所围成，计算讲课提纲、板书设计

作业 P164: 4，5，7，9（1）高等数学教案

重积分

§10 4 重积分的应用

一、曲面的面积

设曲面S由方程 zf(x y)给出 D为曲面S在xOy面上的投影区域 函数f(x y)在D上具有连续偏导数fx(x y)和fy(x y) 现求曲面的面积A 

在区域D内任取一点P(x y) 并在区域D内取一包含点P(x y)的小闭区域d 其面积也记为d 在曲面S上点M(x y f(x y))处做曲面S的切平面T 再做以小区域d的边界曲线为准线、母线平行于z轴的柱面 将含于柱面内的小块切平面的面积作为含于柱面内的小块曲面面积的近似值 记为dA 又设切平面T的法向量与z轴所成的角为  则

dAd1f2(x,y)f2(x,y)d

xycos这就是曲面S的面积元素

于是曲面S 的面积为 AD1fx2(x,y)fy2(x,y)d 高等数学教案

重积分

或

AD1(z)2(z)2dxdy

xy

设dA为曲面S上点M处的面积元素 dA在xOy面上的投影为小闭区域d M在xOy面上的投影为点P(x y) 因为曲面上点M处的法向量为n(fx fy 1) 所以

dA|n|d1fx2(x,y)fy2(x,y)d

提示 dA与xOy面的夹角为(n^ k) dAcos(n^ k)d

nk|n|cos(n^ k)1 cos(n^ k)|n|1

讨论 若曲面方程为xg(y z)或yh(z x) 则曲面的面积如何求？

ADyz1(x)2(x)2dydz

yz1(y2y2)()dzdx

zx或

ADzx其中Dyz是曲面在yOz面上的投影区域

Dzx是曲面在zOx面上的投影区域

例1 求半径为R的球的表面积

提示

yzxzzzR  1()2()2

222222222xyxyRxyRxyRxy

解 球面的面积A为上半球面面积的两倍

上半球面的方程为zR2x2y2 而

yzxz 

222222xyRxyRxy所以

A22xy2R21(z)2(z)2

xy2RdR dxdy2Rd2222200RRxyR0

22xy2R2

4RR22 4R2

例2设有一颗地球同步轨道通讯卫星 距地面的高度为h36000km 运行的角速度与高等数学教案

重积分

地球自转的角速度相同 试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比值(地球半径R6400km)

二、质心

设有一平面薄片 占有xOy 面上的闭区域D 在点P(x y)处的面密度为(x y) 假定(x y)在D上连续 现在要求该薄片的质心坐标

在闭区域D上任取一点P(x y) 及包含点P(x y)的一直径很小的闭区域d(其面积也记为d) 则平面薄片对x轴和对y轴的力矩(仅考虑大小)元素分别为

dMxy(x y)d dMyx(x y)d

平面薄片对x轴和对y轴的力矩分别为

Mxy(x,y)d Myx(x,y)d

DD

设平面薄片的质心坐标为(x, y)平面薄片的质量为M 则有

xMMy yMMx 

于是

xMyMx(x,y)dD(x,y)dD yMxMy(x,y)dD(x,y)dD

提示 将P(x y)点处的面积元素d看成是包含点P的直径得小的闭区域 D上任取一点P(x y) 及包含的一直径很小的闭区域d(其面积也记为d) 则平面薄片对x轴和对y轴的力矩(仅考虑大小)元素分别为

讨论 如果平面薄片是均匀的 即面密度是常数 则平面薄片的质心(称为形心)如何求？

求平面图形的形心公式为

xd

xDyd

yDdDdD

例3 求位于两圆2sin 和4sin 之间的均匀薄片的质心

解 因为闭区域D对称于y轴 所以质心C(x, y)必位于y轴上 于是x0 高等数学教案

重积分

因为

2ydsinddsindDD4sin02sin2d7

d22123

Dyd所以yDD77 所求形心是C(0, 7)

3d3

3类似地 占有空间闭区域、在点(x y z)处的密度为(x y z)(假宽(x y z)在上连续)的物体的质心坐标是

x1M1 x(x,y,z)dvyM1 y(x,y,z)dvzMz(x,y,z)dv



其中M(x,y,z)dv



例4 求均匀半球体的质心

提示

 0ra 0 02

22adv22d00drsindr2sinddr2dr2a

00003a2zdv02d0242a1a132drcosrsindrsin2ddrdr2

0002420a2

三、转动惯量

设有一平面薄片 占有xOy面上的闭区域D 在点P(x y)处的面密度为(x y) 假定(x y)在D上连续 现在要求该薄片对于x轴的转动惯量和y轴的转动惯量

在闭区域D上任取一点P(x y) 及包含点P(x y)的一直径很小的闭区域d(其面积也记为d) 则平面薄片对于x轴的转动惯量和y轴的转动惯量的元素分别为

dIxy2(x y)d  dI yx2(x y)d 

整片平面薄片对于x轴的转动惯量和y轴的转动惯量分别为

Ixy2(x,y)d Iyx2(x,y)d

DD高等数学教案

重积分

例5 求半径为a 的均匀半圆薄片(面密度为常量)对于其直径边的转动惯量

解 取坐标系如图 则薄片所占闭区域D可表示为

D{(x y)| x2y2a2 y0} 而所求转动惯量即半圆薄片对于x轴的转动惯量Ix 

Ixy2d2sin2dd

DD



其中M0sin d02a4a2dsin d

4031a41Ma2

4241a2为半圆薄片的质量

2类似地 占有空间有界闭区域、在点(x y z)处的密度为(x y z)的物体对于x、y、z轴的转动惯量为

Ix

Iy

Iz(y2z2)(x,y,z)dv

22(zx)(x,y,z)dv (x2y2)(x,y,z)dv



例6 求密度为的均匀球体对于过球心的一条轴l的转动惯量

解 取球心为坐标原点 z轴与轴l重合 又设球的半径为a 则球体所占空间闭区域

{(x y z)| x2y2z2a2}

所求转动惯量即球体对于z轴的转动惯量Iz 

Iz(x2y2) dv



(r2sin2 cos2r2sin2 sin2)r2sindrdd



8a52a2M

4rsindrdddsin drdr0005154323a其中M4a3为球体的质量

3提示

x2y2r2sin2cos2r2sin2 sin2r2sin2

四、引力

我们讨论空间一物体对于物体外一点P0(x0 y0 z0)处的单位质量的质点的引力问题 高等数学教案

重积分

设物体占有空间有界闭区域 它在点(x y z)处的密度为(x y z) 并假定(x y z)在上连续

在物体内任取一点(x y z)及包含该点的一直径很小的闭区域dv(其体积也记为dv) 把这一小块物体的质量dv近似地看作集中在点(x y z)处 这一小块物体对位于P0(x0 y0 z0)处的单位质量的质点的引力近似地为

dF(dFx,dFy,dFz)

(G其中(x,y,z)(xx0)r3dv,G(x,y,z)(yy0)r3dF

dv,G(x,y,z)(zz0)r3dv)

dFx、dFy、dFz为引力元素

在三个坐标轴上的分量

r(xx0)2(yy0)2(zz0)2 G为引力常数 将dFx、dFy、dFz在上分别积分 即可得Fx、Fy、Fz 从而得F(Fx、Fy、Fz)

例7设半径为R的匀质球占有空间闭区域{(x y z)|x2y2z2R2) 求它对于位于点M0(0 0 a)(a>R)处的单位质量的质点的引力

解 设球的密度为0 由球体的对称性及质量分布的均匀性知Fx=Fy=0, 所求引力沿z轴的分量为

FzG0zadv

[x2y2(za)2]3/ G0RRRR(za)dzdxdy 2223/2[xy(za)]x2y2R2z22R2z22

G0(za)dzd0Rd[(za)]23/20

2G011(za)()dz R22azR2aza1R(za)dR22aza2]

aR32R

2G0(2R2R2)

3a4R31GM

G 023aa2

2G0[2R高等数学教案

重积分

其中M4R30为球的质量

3上述结果表明 匀质球对球外一质点的引力如同球的质量集中于球心时两质点间的引力

小结

1.曲面面积的计算；

2.质心的计算；

3.转动惯量的定义和求解。

教学方式及教学过程中应注意的问题

在教学过程中要注意曲面面积的计算，质心的计算，转动惯量的定义和求解，要结合实例，反复讲解。

师生活动设计 1.设有一高度为h(t)(t为时间)的雪堆在融化过程中,其侧面满足方程2(x2y2)，设长度单位为厘米, 时间单位为小时, 已知体积减少的速率与侧zh(t)h(t)面积成正比(比例系数 0.9), 问高度为130 cm 的雪堆全部融化需要多少小时?(2001考研)讲课提纲、板书设计 作业 P175: 1，2，4（1），7（1）

高等数学教案

重积分

习题课

一、重积分计算的基本方法

—— 累次积分法

1.选择合适的坐标系

使积分域多为坐标面(线)围成;被积函数用此坐标表示简洁或变量分离.2.选择易计算的积分序

积分域分块要少, 累次积分易算为妙.3.掌握确定积分限的方法

图示法；列不等式法(从内到外: 面、线、点)

二、重积分计算的基本技巧 1.交换积分顺序的方法

2.利用对称性或重心公式简化计算 3.消去被积函数绝对值符号 4.利用重积分换元公式

三、重积分的应用 1.几何方面

面积(平面域或曲面域), 体积 , 形心 2.物理方面

质量, 转动惯量, 质心, 引力

3.其它方面

四、例题分析

1.在均匀的半径为R的圆形薄片的直径上 , 要接上一个一边与直径等长的同样材料的均匀矩形薄片,使整个薄片的重心恰好落在圆心上 ,问接上去的均匀矩形薄片的另一边长 高等数学教案

重积分

度应为多少? 2.计算积分3.(xy)d，其中D由yD2x2y222x，xy4，xy12所围成。

计算二重积分

DI(xxye)dxdy, 其中

（1）D为圆域 x2y21;（2）D由直线yx,y1,x1围成 P182;6;(1),(3)

第五篇：高等数学教案ch 8.4～8.8

§8 4 多元复合函数的求导法则

设zf(u v) 而u(t) v(t) 如何求dz？

dt

设zf(u v) 而u(x y) v(x y) 如何求z和z？

xy

1 复合函数的中间变量均为一元函数的情形

定理1 如果函数u(t)及v(t)都在点t可导 函数zf(u v)在对应点(u v)具有连续偏导数 则复合函数zf[(t) (t)]在点t可导 且有

dzzduzdv

dtudtvdt

简要证明1 因为zf(u v)具有连续的偏导数 所以它是可微的 即有

dzzduzdv

uv又因为u(t)及v(t)都可导 因而可微 即有

dududt dvdvdt

dtdt代入上式得

dzzdudtzdvdt(zduzdv)dt

udtvdtudtvdt从而

dzzduzdv

dtudtvdt

简要证明2 当t取得增量t时 u、v及z相应地也取得增量u、v及z  由zf(u v)、u(t)及v(t)的可微性 有

zzuzvo()z[duto(t)]z[dvto(t)]o()

uvudtvdt

(zduzdv)t(zz)o(t)o()

udtvdtuvzzduzdv(zz)o(t)o()



tudtvdtuvtt令t0 上式两边取极限 即得

dzzduzdv

dtudtvdto()o()(u)2(v)2注limlim0(du)2(dv)20

tdtdtt0tt0推广 设zf(u v w) u(t) v(t) w(t) 则zf[(t) (t) (t)]对t 的导数为

dzzduzdvzdw

dtudtvdtwdt上述dz称为全导数

dt

2 复合函数的中间变量均为多元函数的情形

定理2 如果函数u(x y) v(x y)都在点(x y)具有对x及y的偏导数 函数zf(u v)在对应点(u v)具有连续偏导数 则复合函数zf [(x y) (x y)]在点(x y)的两个偏导数存在 且有

zzuzv zzuzv

xuxvxyuyvy

推广 设zf(u v w) u(x y) v(x y) w(x y) 则

zzuzvzw

zzuzvzw 

xuxvxwxyuyvywy

讨论

(1)设zf(u v) u(x y) v(y) 则z？z？

yx

提示 zzu zzuzdv

xuxyuyvdyz

(2)设zf(u x y) 且u(x y) 则z？？

yxffff

提示 zu zu

xuxxyuyyf这里z与是不同的 z是把复合函数zf[(x y) x y]中的y看作不变而对x的xxxffz偏导数 是把f(u x y)中的u及y看作不变而 对x的偏导数 与也朋类似

yyx的区别

3．复合函数的中间变量既有一元函数 又有多元函数的情形

定理3 如果函数u(x y)在点(x y)具有对x及对y的偏导数 函数v(y)在点y可导 函数zf(u v)在对应点(u v)具有连续偏导数 则复合函数zf[(x y) (y)]在点(x y)的两个偏导数存在 且有

zzuzdv

zzu 

xuxyuyvdy

z

例1 设zeusin v uxy vxy 求z和

xy

解 zzuzv

xuxvx

eusin vyeucos v1

ex y[y sin(xy)cos(xy)]

zzuzv

yuyvy

eusin vxeucos v1

exy[x sin(xy)cos(xy)]

例2 设uf(x,y,z)exff

解 uz

xxzx2y2z2 而zx2siny 求u和u

yx

2xex2y2z22zex2y2z22xsiny

 2x(12x2siny)ex2y2x4si2nyff

uz

yyzy

2yex2y2z22zex2y2z2x2cosy

2(yx4sinycoys)ex2y2x4si2ny

例3 设zuvsin t  而uet vcos t 求全导数dz

dt

解 dzzduzdvz

dtudtvdtt

vetu(sin t)cos t

etcos te tsin tcos t

et(cos tsin t)cos t 

2ww

例4 设wf(xyz xyz) f具有二阶连续偏导数 求及 xzx

解 令uxyz vxyz  则wf(u v)

f(u,v)f(u,v)f22等

引入记号 f1 f12 同理有f2f11uuvwfufvfyzf

2

xuxvx12ff

w(f1yzf2)1yf2yz2

xzzzzxyf12yf2yzf21xy2zf22

f11y(xz)f12yf2xy2zf22

f11f1f1uf1vfffxyf12 22u2vf21xyf22 f11zuzvzzuzvz

例5 设uf(x y)的所有二阶偏导数连续 把下列表达式转换成极坐标系中的形式

注

22u

(1)(u)2(u)2

(2)uxyx2y2解 由直角坐标与极坐标间的关系式得

uf(x y)f(cosθ sinθ)F( θ)

其中xcosθ ysinθ x2y2 arctan应用复合函数求导法则 得

uuxuyuuysincos

uu

xxx2uuyuxuucossin

uu

yyy2y x两式平方后相加 得

(u)2(u)2(u)212(u)2

xy再求二阶偏导数 得

2(u)(u) 

ux2xxxxu)co)sin susins(ucosusin

(co22222uusincosusinu2sincosusin 222

2cos22同理可得 222222uuusincosucosu2sincosucos 22sin2222y两式相加 得

22222uuu11u1u

222222[()u]

2xy

全微分形式不变性

设zf(u v)具有连续偏导数 则有全微分

dzzduzdv

uv如果zf(u v)具有连续偏导数 而u(x y) v(x y)也具有连续偏导数 则

zz

dzdxdy

xyzuzv)dx(zuzv)dy

（uxvxuyvyzuuzvv

(dxdy)(dxdy)

uxyvxy

zduzdv

uv由此可见 无论z 是自变量u、v的函数或中间变量u、v的函数 它的全微分形式是一样的 这个性质叫做全微分形式不变性

例6 设ze usin v ux y vxy 利用全微分形式不变性求全微分

解 dzzduzdv e usin vdu e ucos v dv uv

 e usin v(y dxx dy) e ucos v(dxdy)

(ye usin v e ucos v)dx(xe usin v e ucos v)dy

e xy [y sin(xy)cos(xy)]dx e xy [x sin(xy)cos(xy)]dy 

§8 5

隐函数的求导法则 一、一个方程的情形

隐函数存在定理1

设函数F(x y)在点P(x0 y0)的某一邻域内具有连续偏导数 F(x0 y0)0 Fy(x0 y0)0 则方程F(x y)0在点(x0 y0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数yf(x) 它满足条件y0f(x0) 并有

Fdyx

dxFy

求导公式证明 将yf(x)代入F(x y)0 得恒等式 F(x f(x))0

dy等式两边对x求导得 FF0

xydx由于F y连续 且Fy(x0 y0)0 所以存在(x0 y0)的一个邻域 在这个邻域同Fy 0 于是得 Fdyx

dxFy

例1 验证方程x2y210在点(0 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x0时y1的隐函数yf(x) 并求这函数的一阶与二阶导数在x0的值

解 设F(x y)x2y21 则Fx2x Fy2y F(0 1)0 Fy(0 1)20 因此由定理1可知 方程x2y210在点(0 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x0时y1的隐函数yf(x)

Fdydyxx 0

dxFyydxx0yx(x)dyyxyyy2x2d2y13； 1

dx2y2y2y3ydx2x0

2隐函数存在定理还可以推广到多元函数 一个二元方程F(x y)0可以确定一个一元隐函数 一个三元方程F(x y z)0可以确定一个二元隐函数

隐函数存在定理2

设函数F(x y z)在点P(x0 y0 z0)的某一邻域内具有连续的偏导数 且F(x0 y0 z0)0 Fz(x0 y0 z0)0  则方程F(x y z)0在点(x0 y0 z0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数zf(x y) 它满足条件z0f(x0 y0) 并有

FF

zx zy



xFzyFz

公式的证明 将zf(x y)代入F(x y z)0 得F(x y f(x y))0

将上式两端分别对x和y求导 得

FxFzz0 FyFzz0 

yx因为F z连续且F z(x0 y0 z0)0 所以存在点(x0 y0 z0)的一个邻域 使F z0 于是得

FF

zx zy

xFzyFz2z

例2.设xyz4z0 求2

x

解

设F(x y z) x2y2z24z 则Fx2x Fy2z4 222

zFx2xx

xFz2z42z

z(2x)x(x)(2x)x222zx2z(2x)x

x2(2z)2(2z)2(2z)

3二、方程组的情形

在一定条件下 由个方程组F(x y u v)0 G(x y u v)0可以确定一对二元函数uu(x y) vv(x y) 例如方程xuyv0和yuxv1可以确定两个二元函数uyx

v

x2y2x2y2y 事实上

xuyv0 vxuyuxxu1u22 

yyxyyvx222x2

yxyxy

如何根据原方程组求u v的偏导数？

隐函数存在定理设F(x y u v)、G(x y u v)在点P(x0 y0 u0 v0)的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数 又F(x0 y0 u0 v0)0 G(x0 y0 u0 v0)0 且偏导数所组成的函数行列

F(F,G)u式：

J(u,v)GuFv Gv在点P(x0 y0 u0 v0)不等于零 则方程组F(x y u v)0 G(x y u v)0在点P(x0 y0 u0 v0)的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数uu(x y) vv(x y) 它们满足条件u0u(x0 y0) v0v(x0 y0) 并有

FxFvFuFxGGGG(F,G)(F,G)

u1xv

v1ux

xJ(x,v)xJ(u,x)FuFvFuFvGuGvGuGv(F,G)(F,G)

u1

v1

yJ(y,v)yJ(u,y)FuFvFuFvGuGvGuGvFyFvGyGvFuFyGuGy

隐函数的偏导数: 设方程组F(x y u v)0 G(x y u v)0确定一对具有连续偏导数的 二元函数uu(x y) vv(x y) 则

FFuFv0,xuxvxuv 偏导数 由方程组确定

uvxxGxGuGv0.xxFFuFv0,yuyvyuv 偏导数 由方程组确定

uvyyGyGuGv0.yyv 例3 设xuyv0 yuxv1 求u v u和

yxxy 解 两个方程两边分别对x 求偏导 得关于u和v的方程组

xxuxuyv0xx uvyvx0xxyuxvxuyv当x2y2 0时 解之得u22 v22

xxyxxy

两个方程两边分别对x 求偏导 得关于u和v的方程组

yyxuvyv0yy uvuyx0yyxvyuxuyv当x2y2 0时 解之得u22 v22

yxyyxy

另解 将两个方程的两边微分得

udxxduvdyydv0xduydvvdyudx

 即

udyyduvdxxdv0yduxdvudyvdx解之得 duxuyvxvyudxdy

x2y2x2y dvyuxvxuyvdxdy

x2y2x2y2xuyvxvyu于是

u22 u22

xyxyxyyuxvxuyv

v22 v22 xxyyxy

例 设函数xx(u v) yy(u v)在点(u v)的某一领域内连续且有连续偏导数

又

(x,y)0 (u,v)xx(u,v)

(1)证明方程组



yy(u,v)在点(x y u v)的某一领域内唯一确定一组单值连续且有连续偏导数的反函数uu(x y) vv(x y)

(2)求反函数uu(x y) vv(x y)对x y的偏导数

解(1)将方程组改写成下面的形式

F(x,y,u,v)xx(u,v)0



G(x,y,u,v)yy(u,v)0则按假设

J(F,G)(x,y)0.(u,v)(u,v)由隐函数存在定理3 即得所要证的结论

(2)将方程组(7)所确定的反函数uu(x y)vv(x y)代入(7) 即得

xx[u(x,y),v(x,y)]



yy[u(x,y),v(x,y)]将上述恒等式两边分别对x求偏导数得

1xuxv

uxvx

yy0uvuxvx由于J0 故可解得

yy

u1 v1

JuxJvx

同理 可得

u1xv1x

 

yJvyJu

§8 6

多元函数微分学的几何应用

一

空间曲线的切线与法平面

设空间曲线的参数方程为

x(t) y(t) z(t)这里假定(t) (t) (t)都在[ ]上可导

在曲线上取对应于tt0的一点M0(x0 y0 z0)及对应于tt0t的邻近一点M(x0+x y0+y z0+z) 作曲线的割线MM0 其方程为

xx0yy0zz0 xyz当点M沿着趋于点M0时割线MM0的极限位置就是曲线在点M0处的切线 考虑 xx0yy0zz0

 xyzttt当MM0 即t0时 得曲线在点M0处的切线方程为

xx0yy0zz0 (t0)(t0)(t0)

曲线的切向量 切线的方向向量称为曲线的切向量 向量

T((t0) (t0) (t0))就是曲线在点M0处的一个切向量

法平面 通过点M0而与切线垂直的平面称为曲线在点M0 处的法平面 其法平面方程为

(t0)(xx0)(t0)(yy0)(t0)(zz0)0

例1 求曲线xt yt2 zt3在点(1 1 1)处的切线及法平面方程

解

因为xt1 yt2t zt3t2 而点(1 1 1)所对应的参数t1 所以

T (1 2 3)

于是 切线方程为

x1y1z 

123法平面方程为

(x1)2(y1)3(z1)0 即x2y3z6

讨论

1 若曲线的方程为

y(x) z(x)

问其切线和法平面方程是什么形式

提示 曲线方程可看作参数方程 xx y(x) z(x) 切向量为T(1 (x) (x))

2 若曲线的方程为

F(x y z)0 G(x y z)0

问其切线和法平面方程又是什么形式

提示 两方程确定了两个隐函数

y(x) z(x) 曲线的参数方程为

xx y(x) z(x) dydz0FFFxyzdydzdxdx由方程组可解得和 dydzdxdxGxGyGz0dxdxdydz,) dxdx

例2 求曲线x2y2z26 xyz0在点(1 2 1)处的切线及法平面方程 

dydz02x2y2zdxdx

解 为求切向量 将所给方程的两边对x求导数 得dy1dz0dxdx切向量为T(1, 解方程组得dyzxdzxy  dxyzdxyzdy0 dz1 dxdx从而T (1 0 1)

所求切线方程为

x1y2z1



101法平面方程为

(x1)0(y2)(z1)0 即xz0

在点(1 2 1)处

二 曲面的切平面与法线

设曲面的方程为

F(x y z)0

M0(x0 y0 z0)是曲面上的一点

并设函数F(x y z)的偏导数在该点连续且不同时为零 在曲面上 通过点M0任意引一条曲线 假定曲线的参数方程式为

x(t) y(t) z(t) tt0对应于点M0(x0 y0 z0) 且(t0) (t0) (t0)不全为零 曲线在点的切向量为

T ((t0) (t0) (t0))

考虑曲面方程F(x y z)0两端在tt0的全导数

Fx(x0 y0 z0)(t0)Fy(x0 y0 z0)(t0)Fz(x0 y0 z0)(t0)0

引入向量

n(Fx(x0 y0 z0) Fy(x0 y0 z0) Fz(x0 y0 z0))

易见T与n是垂直的 因为曲线是曲面上通过点M0的任意一条曲线 它们在点M0的切线都与同一向量n垂直 所以曲面上通过点M0的一切曲线在点M0的切线都在同一个平面上 这个平面称为曲面在点M0的切平面 这切平面的方程式是

Fx(x0 y0 z0)(xx0)Fy(x0 y0 z0)(yy0)Fz(x0 y0 z0)(zz0)0

曲面的法线 通过点M0(x0 y0 z0)而垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线 法线方程为

xx0yy0zz0

Fx(x0, y0, z0)Fy(x0, y0, z0)Fz(x0, y0, z0)

曲面的法向量 垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量 向量

n(Fx(x0 y0 z0) Fy(x0 y0 z0) Fz(x0 y0 z0))就是曲面在点M0处的一个法向量

例3 求球面x2y2z214在点(1 2 3)处的切平面及法线方程式

解

F(x y z) x2y2z214

Fx2x Fy2y  Fz2z 

Fx(1 2 3)2 Fy(1 2 3)4 Fz(1 2 3)6

法向量为n(2 4 6) 或n(1 2 3)

所求切平面方程为

2(x1)4(y2)6(z3)0 即x2y3z140

y2z3法线方程为x1

3讨论 若曲面方程为zf(x y) 问曲面的切平面及法线方程式是什么形式

提示

此时F(x y z)f(x y)z 

n(fx(x0 y0) fy(x0 y0) 1)

例4 求旋转抛物面zx2y21在点(2 1 4)处的切平面及法线方程

解

f(x y)x2y21

n(fx fy 1)(2x 2y 1)

n|(2 1 4)(4 2 1)

所以在点(2 1 4)处的切平面方程为

4(x2)2(y1)(z4)0 即4x2yz60

x2y1z4法线方程为 

421§8 7

方向导数与梯度

一、方向导数

现在我们来讨论函数zf(x y)在一点P沿某一方向的变化率问题

设l是xOy平面上以P0(x0 y0)为始点的一条射线 el(cos  cos )是与l同方向的单位向量 射线l的参数方程为

xx0t cos  yy0t cos (t0)

设函数zf(x y)在点P0(x0 y0)的某一邻域U(P0)内有定义 P(x0t cos  y0t cos )为l上另一点 且PU(P0) 如果函数增量f(x0t cos  y0t cos )f(x0 y0)与P到P0的距离|PP0|t的比值

f(x0tcos, y0tcos)f(x0,y0)

t当P沿着l趋于P0(即tt0)时的极限存在

则称此极限为函数f(x y)在点P0沿方向l的方向导数 记作fl(x0,y0) 即

fl(x0,y0)limt0f(x0tcos, y0tcos)f(x0,y0)

t

从方向导数的定义可知 方向导数

fl(x0,y0)就是函数f(x y)在点P0(x0 y0)处沿方向l的变化率

方向导数的计算

定理

如果函数zf(x y)在点P0(x0 y0)可微分 那么函数在该点沿任一方向l 的方向导数都存在 且有

fl(x0,y0)fx(x0,y0)cosfy(x0,y0)cos

其中cos  cos 是方向l 的方向余弦

简要证明 设xt cos  yt cos  则

f(x0tcos y0tcos)f(x0 y0)f x(x0 y0)tcosf y(x0 y0)tcoso(t)

所以

f(x0tcos, y0tcos)f(x0,y0)

limfx(x0,y0)cosfy(x0,y0)sin

tt0这就证明了方向导数的存在 且其值为

fl(x0,y0)fx(x0,y0)cosfy(x0,y0)cos提示 f(x0x,y0y)f(x0,y0)fx(x0,y0)xfy(x0,y0)yo((x)2(y)2)

xt cos  yt cos (x)2(y)2t

讨论 函数zf(x y)在点P 沿x轴正向和负向

沿y轴正向和负向的方向导数如何? 提示

ff

沿x轴正向时 cos cos0

lxff 沿x轴负向时 cos1 cos0  

lx2y

例1 求函数zxe在点P(1 0)沿从点P(1 0)到点Q(2 1)的方向的方向导数

解 这里方向l即向量PQ(1, 1)的方向 与l同向的单位向量为

el(1, 1)

22 因为函数可微分 且zx所以所求方向导数为

(1,0)e2y1 z(1,0)y(1,0)2xe2y(1,0)2

z112(1)2

l(1,0)22

2对于三元函数f(x y z)来说 它在空间一点P0(x0 y0 z0)沿el(cos  cos  cos )的方向导数为

fl(x0,y0,z0)limt0f(x0tcos, y0tcos,z0tcos)f(x0,y0,z0)

t

如果函数f(x y z)在点(x0 y0 z0)可微分 则函数在该点沿着方向el(cos  cos  cos 的方向导数为

fl(x0,y0,z0)fx(x0 y0 z0)cosfy(x0 y0 z0)cosfz(x0 y0 z0)cos

例2求f(x y z)xyyzzx在点(1 1 2)沿方向l的方向导数 其中l的方向角分别为60 45 60

解 与l同向的单位向量为

el(cos60 cos 45 cos60(1, 2, 1)

222因为函数可微分且

fx(1 1 2)(yz)|(1 1 2)3

fy(1 1 2)(xz)|(1 1 2)3

fz(1 1 2)(yx)|(1 1 2)2 所以

fl3132211(532)

2222(1,1,2)

二 梯度

设函数zf(x y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数 则对于每一点P0(x0 y0)D 都可确定一个向量

fx(x0 y0)ify(x0 y0)j

这向量称为函数f(x y)在点P0(x0 y0)的梯度 记作grad f(x0 y0) 即

grad f(x0 y0) fx(x0 y0)ify(x0 y0)j

梯度与方向导数 

如果函数f(x y)在点P0(x0 y0)可微分 el(cos  cos )是与方向l同方向的单位向量 则

fl(x0,y0)fx(x0,y0)cosfy(x0,y0)cos

 grad f(x0 y0)el

| grad f(x0 y0)|cos(grad f(x0 y0)^ el)

这一关系式表明了函数在一点的梯度与函数在这点的方向导数间的关系 特别 当向量el与grad f(x0 y0)的夹角0 即沿梯度方向时 方向导数

fl取得

(x0,y0)最大值 这个最大值就是梯度的模|grad f(x0 y0)| 这就是说 函数在一点的梯度是个向量 它的方向是函数在这点的方向导数取得最大值的方向 它的模就等于方向导数的最大值

f

讨论 的最大值

l

结论 函数在某点的梯度是这样一个向量 它的方向与取得最大方向导数的方向一致 而它的模为方向导数的最大值

我们知道 一般说来二元函数zf(x y)在几何上表示一个曲面 这曲面被平面zc(c是常数)所截得的曲线L的方程为

zf(x,y)



zc这条曲线L在xOy面上的投影是一条平面曲线L* 它在xOy平面上的方程为

f(x y)c

对于曲线L*上的一切点 已给函数的函数值都是c 所以我们称平面曲线L*为函数zf(x y)的等值线

若f x f y不同时为零 则等值线f(x y)c上任一点P0(x0 y0)处的一个单位法向量为

n1(fx(x0,y0),fy(x0,y0))

22fx(x0,y0)fy(x0,y0)这表明梯度grad f(x0 y0)的方向与等值线上这点的一个法线方向相同 而沿这个方f向的方向导数就等于|grad f(x0 y0)| 于是

nf

grafd(x0,y0)n

n

这一关系式表明了函数在一点的梯度与过这点的等值线、方向导数间的关系 这说是说 函数在一点的梯度方向与等值线在这点的一个法线方向相同 它的指向为从数值较低的等值线指向数值较高的等值线 梯度的模就等于函数在这个法线方向的方向导数

梯度概念可以推广到三元函数的情形 设函数f(x y z)在空间区域G内具有一阶连续偏导数 则对于每一点P0(x0 y0 z0)G 都可定出一个向量

fx(x0 y0 z0)ify(x0 y0 z0)jfz(x0 y0 z0)k

这向量称为函数f(x y z)在点P0(x0 y0 z0)的梯度 记为grad f(x0 y0 z0) 即

grad f(x0 y0 z0)fx(x0 y0 z0)ify(x0 y0 z0)jfz(x0 y0 z0)k

结论 三元函数的梯度也是这样一个向量 它的方向与取得最大方向导数的方向一致 而它的模为方向导数的最大值

如果引进曲面

f(x y z)c

为函数的等量面的概念 则可得函数f(x y z)在点P0(x0 y0 z0)的梯度的方向与过点P0的等量面 f(x y z)c在这点的法线的一个方向相同 且从数值较低的等量面指向数值较高的等量面 而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数

1

x2y2 解 这里f(x,y)212

xy 例3 求grad

因为 ff2y22x22 222

xy(xy)(xy)2y所以

gra d21222x22i222j

xy(xy)(xy)

例4 设f(x y z)x2y2z2 求grad f(1 1 2)

解 grad f(fx fy fz)(2x 2y 2z)

于是

grad f(1 1 2)(2 2 4)

数量场与向量场 如果对于空间区域G内的任一点M 都有一个确定的数量f(M) 则称在这空间区域G内确定了一个数量场(例如温度场、密度场等) 一个数量场可用一个数量函数f(M)来确定 如果与点M相对应的是一个向量F(M) 则称在这空间区域G内确定了一个向量场(例如力场、速度场等) 一个向量场可用一个向量函数F(M)来确定 而

F(M)P(M)iQ(M)jR(M)k

其中P(M) Q(M) R(M)是点M的数量函数

利用场的概念 我们可以说向量函数grad f(M)确定了一个向量场——梯度场 它是由数量场f(M)产生的 通常称函数f(M)为这个向量场的势 而这个向量场又称为势场 必须注意 任意一个向量场不一定是势场 因为它不一定是某个数量函数的梯度场

例5 试求数量场m所产生的梯度场 其中常数m>0

rrx2y2z2为原点O与点M(x y z)间的距离 rmx

解 (m)mxrr2xr3my同理

(m)3 (m)mz 3yrrzrrxiyjzk) 从而

gramdm(rrr2rryzx记erijk 它是与OM同方向的单位向量 则gradmme

rrrrr2r

上式右端在力学上可解释为 位于原点O 而质量为m 质点对位于点M而质量为l的质点的引力 这引力的大小与两质点的质量的乘积成正比、而与它们的距平方成反比 这引力的方向由点M指向原点 因此数量场m的势场即梯度场

rgradm称为引力场 而函数m称为引力势

r

r§88

多元函数的极值及其求法

一、多元函数的极值及最大值、最小值

定义

设函数zf(x y)在点(x0 y0)的某个邻域内有定义 如果对于该邻域内任何异于(x0 y0)的点(x y) 都有

f(x y)f(x0 y0))

则称函数在点(x0 y0)有极大值(或极小值)f(x0 y0)

极大值、极小值统称为极值 使函数取得极值的点称为极值点

例1 函数z3x24y2在点(0 0)处有极小值



当(x y)(0 0)时 z0 而当(x y)(0 0)时 z0 因此z0是函数的极小值

例2 函数zx2y2在点(0 0)处有极大值



当(x y)(0 0)时 z0 而当(x y)(0 0)时 z0 因此z0是函数的极大值

例3 函数zxy在点(0 0)处既不取得极大值也不取得极小值



因为在点(0 0)处的函数值为零 而在点(0 0)的任一邻域内 总有使函数值为正的点 也有使函数值为负的点

以上关于二元函数的极值概念 可推广到n元函数

设n元函数uf(P)在点P0的某一邻域内有定义 如果对于该邻域内任何异于P0的点P 都有

f(P)f(P 0))

则称函数f(P)在点P0有极大值(或极小值)f(P0)

定理1(必要条件)设函数zf(x y)在点(x0 y0)具有偏导数 且在点(x0 y0)处有极值 则有

fx(x0 y0)0 fy(x0 y0)0

证明 不妨设zf(x y)在点(x0 y0)处有极大值 依极大值的定义 对于点(x0 y0)的某邻域内异于(x0 y0)的点(x y) 都有不等式

f(x y)

特殊地 在该邻域内取yy0而xx0的点 也应有不等式

f(x y0)

这表明一元函数f(x y0)在xx0处取得极大值 因而必有

fx(x0 y0)0

类似地可证

fy(x0 y0)0

从几何上看 这时如果曲面zf(x y)在点(x0 y0 z0)处有切平面 则切平面

zz0fx(x0 y0)(xx0) fy(x0 y0)(yy0)成为平行于xOy坐标面的平面zz0

类似地可推得 如果三元函数uf(x y z)在点(x0 y0 z0)具有偏导数 则它在点(x0 y0 z0)具有极值的必要条件为

fx(x0 y0 z0)0 fy(x0 y0 z0)0 fz(x0 y0 z0)0

仿照一元函数 凡是能使fx(x y)0 fy(x y)0同时成立的点(x0 y0)称为函数zf(x y)的驻点

从定理1可知 具有偏导数的函数的极值点必定是驻点 但函数的驻点不一定是极值点



例如 函数zxy在点(0 0)处的两个偏导数都是零 函数在(0 0)既不取得极大值也不取得极小值



定理2(充分条件)

设函数zf(x y)在点(x0 y0)的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数 又fx(x0 y0)0 fy(x0 y0)0 令

fxx(x0 y0)A fxy(x0 y0)B fyy(x0 y0)C

则f(x y)在(x0 y0)处是否取得极值的条件如下

(1)ACB2>0时具有极值 且当A<0时有极大值 当A>0时有极小值

(2)ACB2<0时没有极值

(3)ACB20时可能有极值 也可能没有极值



在函数f(x y)的驻点处如果 fxx fyyfxy2>0 则函数具有极值 且当fxx<0时有极大值 当fxx>0时有极小值

极值的求法

第一步 解方程组

fx(x y)0 fy(x y)0

求得一切实数解 即可得一切驻点

第二步 对于每一个驻点(x0 y0) 求出二阶偏导数的值A、B和C

第三步 定出ACB2的符号 按定理2的结论判定f(x0 y0)是否是极值、是极大值 还是极小值

例4 求函数f(x y)x3y33x23y29x 的极值

fx(x,y)3x26x90 解 解方程组

2f(x,y)3y6y0y求得x1 3 y0 2 于是得驻点为(1 0)、(1 2)、(3 0)、(3 2)

再求出二阶偏导数

fxx(x y)6x6 fxy(x y)0 fyy(x y)6y6

在点(1 0)处 ACB2126>0 又A>0 所以函数在(1 0)处有极小值f(1 0)5

在点(1 2)处 ACB212(6)<0 所以f(1 2)不是极值

在点(3 0)处 ACB2126<0 所以f(3 0)不是极值

在点(3 2)处 ACB212(6)>0 又A<0 所以函数的(3 2)处有极大值 f(3 2)31

应注意的问题

不是驻点也可能是极值点

例如  函数zx2y2在点(0 0)处有极大值 但(0 0)不是函数的驻点 因此 在考虑函数的极值问题时 除了考虑函数的驻点外 如果有偏导数不存在的点 那么对这些点也应当考虑

最大值和最小值问题 如果f(x y)在有界闭区域D上连续 则f(x y)在D上必定能取得最大值和最小值 这种使函数取得最大值或最小值的点既可能在D的内部 也可能在D的边界上 我们假定 函数在D上连续、在D内可微分且只有有限个驻点 这时如果函数在D的内部取得最大值(最小值) 那么这个最大值(最小值)也是函数的极大值(极小值) 因此 求最大值和最小值的一般方法是 将函数f(x y)在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较 其中最大的就是最大值 最小的就是最小值 在通常遇到的实际问题中 如果根据问题的性质 知道函数f(x y)的最大值(最小值)一定在D的内部取得 而函数在D内只有一个驻点 那么可以肯定该驻点处的函数值就是函数f(x y)在D上的最大值(最小值)

例5 某厂要用铁板做成一个体积为8m3的有盖长方体水箱 问当长、宽、高各取多少时 才能使用料最省

8解 设水箱的长为xm 宽为ym 则其高应为m 此水箱所用材料的面积为

xyA2(xyy8x8)2(xy88)(x0, y0)

xyxyxy8)0 得x2 y2

A2(x令Ax2(y8)0yy2x

2根据题意可知 水箱所用材料面积的最小值一定存在 并在开区域D{(x y)|x>0 y>0}内取得 因为函数A在D内只有一个驻点 所以 此驻点一定是A的最小值点 即当水箱的长为2m、宽为2m、高为82m时 水箱所用的材料最省



22 因此A在D内的唯一驻点(2 2)处取得最小值 即长为2m、宽为2m、高为82m时 所用材料最省 

2从这个例子还可看出

在体积一定的长方体中 以立方体的表面积为最小

例6 有一宽为24cm的长方形铁板 把它两边折起来做成一断面为等腰梯形的水槽 问怎样折法才能使断面的面积最大？

解 设折起来的边长为xcm 倾角为 那末梯形断面的下底长为242x 上底长为242xcos 高为xsin 所以断面面积

A1(242x2xcos242x)xsin

2即A24xsin2x2sinx2sin cos(0

可见断面面积A是x和的二元函数 这就是目标函数 面求使这函数取得最大值的点(x )

令Ax24sin4xsin2xsin cos0

A24xcos2x2 cosx2(cos2sin2)0

由于sin 0 x0 上述方程组可化为

122xxcos0



2224cos2xcosx(cossin)0解这方程组 得60 x8cm

根据题意可知断面面积的最大值一定存在 并且在D{(x y)|0

二、条件极值

拉格朗日乘数法

对自变量有附加条件的极值称为条件极值

例如 求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积问题 设长方体的三棱的长为x y z 则体积Vxyz 又因假定表面积为a2 所以自变量x y z还必须满足附加条件2(xyyzxz)a2



这个问题就是求函数Vxyz在条件2(xyyzxz)a2下的最大值问题 这是一个条件极值问题

对于有些实际问题 可以把条件极值问题化为无条件极值问题



例如上述问题 由条件2(xyyzxz)a2 解得za2xy 于是得

2(xy)2

Vxy(a2xy)

2(xy)只需求V的无条件极值问题

在很多情形下 将条件极值化为无条件极值并不容易 需要另一种求条件极值的专用方法 这就是拉格朗日乘数法

现在我们来寻求函数zf(x y)在条件(x y)0下取得极值的必要条件

如果函数zf(x y)在(x0 y0)取得所求的极值 那么有

(x0 y0)0

假定在(x0 y0)的某一邻域内f(x y)与(x y)均有连续的一阶偏导数 而y(x0 y0)0

由隐函数存在定理 由方程(x y)0确定一个连续且具有连续导数的函数y(x) 将其代入目标函数zf(x y) 得一元函数

zf [x (x)]

于是xx0是一元函数zf [x (x)]的极值点 由取得极值的必要条件 有

dy0

dzxx0fx(x0,y0)fy(x0,y0)dxdxxx0即

fx(x0,y0)fy(x0,y0)x(x0,y0)0

y(x0,y0)从而函数zf(x y)在条件(x y)0下在(x0 y0)取得极值的必要条件是

fx(x0,y0)fy(x0,y0)x(x0,y0)0与(x0 y0)0同时成立

y(x0,y0)fy(x0,y0)

设 上述必要条件变为

y(x0,y0)fx(x0,y0)x(x0,y0)0

fy(x0,y0)y(x0,y0)0

(x0,y0)0

拉格朗日乘数法 要找函数zf(x y)在条件(x y)0下的可能极值点 可以先构成辅助函数

F(x y)f(x y)(x y)

其中为某一常数

然后解方程组

Fx(x,y)fx(x,y)x(x,y)0

Fy(x,y)fy(x,y)y(x,y)0

(x,y)0由这方程组解出x y及 则其中(x y)就是所要求的可能的极值点

这种方法可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形

至于如何确定所求的点是否是极值点 在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定

例7 求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积

解 设长方体的三棱的长为x y z 则问题就是在条件

2(xyyzxz)a2

下求函数Vxyz的最大值

构成辅助函数

F(x y z)xyz(2xy 2yz 2xz a2)

解方程组

Fx(x,y,z)yz2(yz)0Fy(x,y,z)xz2(xz)0F(x,y,z)xy2(yx)0

z22xy2yz2xza得xyz6a

6这是唯一可能的极值点

因为由问题本身可知最大值一定存在 所以最大值就在这个可能的值点处取得 此时V6a3