高等数学教案ch 11 无穷级数

第一篇：高等数学教案ch 11 无穷级数

x

5、泰勒级数；

6、傅里叶级数的狄利克雷定理。

§11 1 常数项级数的概念和性质

一、常数项级数的概念

常数项级数 给定一个数列

u1 u2 u3    un   

则由这数列构成的表达式

u1  u2  u3     un    

叫做(常数项)无穷级数 简称(常数项)级数 记为un

n1即

unu1u2u3    un     其中 n1n1

余项 当级数un收敛时 其部分和s n是级数un的和s的近似值 它们之间的差值



rnssnun1un2   叫做级数un的余项

n1

例1 讨论等比级数(几何级数)

aqnaaqaq2    aqn   

n0的敛散性 其中a0 q叫做级数的公比

解 如果q1 则部分和

snaaqaq    aq2n1aaqnaqna

1q1q1qaa

当|q|1时 因为limsn 所以此时级数aqn收敛 其和为

1q1qnn0

当|q|>1时 因为limsn 所以此时级数aqn发散

nn0

如果|q|1 则当q1时 sn na 因此级数aqn发散

n0

当q1时 级数aqn成为

n0

aaaa   

时|q|1时 因为sn 随着n为奇数或偶数而等于a或零

所以sn的极限不存在 从而这时级数aqn也发散

n0a

综上所述 如果|q|1 则级数aq收敛 其和为 如果|q|1 则级数aqn发散

1qn0n0n

仅当|q|1时 几何级数aqna0)收敛 其和为n0a

1q

例2 证明级数

123  n  

是发散的

证 此级数的部分和为

sn123    nn(n1)2

显然 limsn 因此所给级数是发散的

n

例3 判别无穷级数

解 由于

un因此

sn1111        的收敛性

122334n(n1)111

n(n1)nn11111     122334n(n1)

(1)()    (从而

limsnlim(1nn1212131n11)1n1n11)1

n1所以这级数收敛 它的和是1

二、收敛级数的基本性质

n1n1性质1 如果级数un收敛于和s 则它的各项同乘以一个常数k所得的级数kun也收n1n1敛 且其和为ks(如果级数un收敛于和s 则级数kun也收敛 且其和为ks)n1n

1这是因为 设un与kun的部分和分别为sn与n 则

limnlim(ku1ku2    kun)klim(u1u2    un)klimsnks

nnnn 这表明级数kun收敛 且和为ks

n1

性质2 如果级数un、vn分别收敛于和s、 则级数(unvn)也收敛 且其和为n1n1n1s

这是因为 如果un、vn、(unvn)的部分和分别为sn、n、n 则

n1n1n1

limnlim[(u1v1)(u2v2)    (unvn)]

nn

lim[(u1u2    un)(v1v2    vn)]

n

lim(snn)s

n

性质

3在级数中去掉、加上或改变有限项 不会改变级数的收敛性

比如 级数1111        是收敛的

122334n(n1)1111        也是收敛的

122334n(n1)级数10000级数111        也是收敛的

3445n(n1)

性质4 如果级数un收敛 则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛 且其和不n1变

应注意的问题 如果加括号后所成的级数收敛 则不能断定去括号后原来的级数也收敛

例如 级数

(11)+(11)+  收敛于零 但级数1111  却是发散的

推论 如果加括号后所成的级数发散 则原来级数也发散

级数收敛的必要条件



性质5 如果un收敛 则它的一般项un 趋于零 即limun0

n1n0

（性质5的等价命题：若limun0，则级数un发散）

n0n1

证

设级数un的部分和为sn 且limsns 则

n1n

limunlim(snsn1)limsnlimsn1ss0

n0nnn

应注意的问题 级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件

例4 证明调和级数

11111        是发散的

23nn1n1收敛且其和为s sn是它的部分和

nn1

证 假若级数显然有limsns及lims2ns 于是lim(s2nsn)0

nnn

但另一方面

s2nsn1111111        

n1n22n2n2n2n21必定发散

nn1故lim(s2nsn)0 矛盾 这矛盾说明级数n

§11 2 常数项级数的审敛法

一、正项级数及其审敛法

正项级数 各项都是正数或零的级数称为正项级数



定理1 正项级数un收敛的充分必要条件它的部分和数列{sn}有界

n1n1n1n

1定理2(比较审敛法)设un和vn都是正项级数 且unvn(n1 2   ) 若级数vn收n1n1n1敛 则级数un收敛 反之 若级数un发散 则级数vn发散

证

设级数vn收敛于和 则级数un的部分和

n1n1

snu1u2    unv1 v2    vn(n1, 2,   )

即部分和数列{sn}有界 由定理1知级数un收敛

n1n1n1

反之 设级数un发散 则级数vn必发散 因为若级数

n1n1vn收敛 由上已证明的结论 将有级数un也收敛 与假设矛盾

n1n1n1

推论 设un和vn都是正项级数 如果级数vn收敛 且存在自然数N 使当nN时n1n1有unkvn(k0)成立 则级数un收敛 如果级数vn发散 且当nN时有unkvn(k0)成立

则级数un发散

n1

例1 讨论p级数



n1111111       

pppppn234n 的收敛性 其中常数p0

解 设p1 这时1p1 而调和级数1发散 由比较审敛法知 当p1时级数1pnnn1nn1n发散

设p1 此时有

nn111111dxdx[p1](n2, 3,   )

pppp1n1nn1xp1(n1)nn对于级数[n211] 其部分和 p1p1(n1)n12][p112p1]    [p111np111

]1p1p1(n1)(n1)

sn[13因为limsnlim[1nn1]1

p1(n1)111所以级数[收敛 从而根据比较审敛法的推论1可知 级数当p1]pp1p1nn2(n1)n1n时收敛



综上所述 p级数n11当p1时收敛 当p1时发散

pn1

例2 证明级数n1n(n1)是发散的

证 因为1n(n1)1(n1)21

n1而级数n11111        是发散的

n123n1根据比较审敛法可知所给级数也是发散的

n1n1

定理3(比较审敛法的极限形式)

设un和vn都是正项级数

(1)如果limnunvnunvnn1n1l(0l) 且级数vn收敛 则级数un收敛

(2)如果limnl0或limnunvnn1n1 且级数vn发散 则级数un发散

例3 判别级数sin1的收敛性

n1nsin

解 因为 limn1n1 而级数1发散

1n1nn根据比较审敛法的极限形式 级数sinn11发散

n

例4 判别级数ln(1n11)的收敛性

n2ln(1

解 因为 limn1)21n1 而级数收敛

21n1n2n根据比较审敛法的极限形式 级数ln(1n11)收敛

n2

定理4(比值审敛法 达朗贝尔判别法)设un为正项级数 如果

n1limnun1un

则当1时级数收敛 当1(或limnun1un)时级数发散 当 1时级数可能收敛也可能发散

例5 证明级数1是收敛的

解 因为 limn1111        112123123   (n1)un1un limn123   (n1)123    n limn101

n根据比值审敛法可知所给级数收敛

123n!

例6 判别级数112        的收敛性

23n10101010

解 因为 limnun1un(n1)!10nn1 lim lim

n1n!n10n10根据比值审敛法可知所给级数发散

例7 判别级数1的收敛性

(2n1)2nn

解 limnun1un lim(2n1)2nn(2n1)(2n2)1

这时1 比值审敛法失效 必须用其它方法来判别级数的收敛性

1112 而级数

因为收敛 因此由比较审敛法可知所给级数收敛

2(2n1)2nnn1n

定理5(根值审敛法 柯西判别法)

设un是正项级数 如果它的一般项un的n次根的极限等于

n1

limnnun

n则当1时级数收敛 当1(或limnun)时级数发散 当1时级数可能收敛也可能发散

例8 证明级数11113    n    是收敛的

223n 并估计以级数的部分和sn近似代替和s所产生的误差

解 因为 limnnun limnn11 lim0

nnnn所以根据根值审敛法可知所给级数收敛

以这级数的部分和sn近似代替和s所产生的误差为

|rn|



111    n1n2n3(n1)(n2)(n3)111    

(n1)n1(n1)n2(n1)n31

n(n1)n

例6判定级数n12(1)n2n的收敛性

解 因为

limnnunlim1n12(1)n

2n2所以 根据根值审敛法知所给级数收敛

定理6

(极限审敛法)

设un为正项级数

n1

(1)如果limnunl0(或limnun) 则级数un发散

nnn1

(2)如果p1 而limnpunl(0l) 则级数un收敛

nn1

例7 判定级数ln(1n11)的收敛性

2n

解 因为ln(111)~(n) 故 n2n2n

limn2unlimn2ln(1n121)limn21

nn2n根据极限审敛法 知所给级数收敛



例8 判定级数n1(1cosn1n)的收敛性

解 因为

limn3n2unlimn3n2n1(1cosn)limn2nn11212()

n2n2根据极限审敛法 知所给级数收敛

二、交错级数及其审敛法

交错级数 交错级数是这样的级数 它的各项是正负交错的

交错级数的一般形式为(1)n1un 其中un0

n1

例如 (1)n1n111cosn 不是交错级数

是交错级数 但(1)n1nnn1

定理6（莱布尼茨定理）

如果交错级数(1)n1un满足条件

n1

(1)unun1(n1 2 3   )

(2)limun0

n则级数收敛 且其和su1 其余项rn的绝对值|rn|un1

简要证明 设前n项部分和为sn

由s2n(u1u2)(u3u4)    (u2n 1u2n)

及

s2nu1(u2u3)(u4u5)    (u2n2u2n1)u2n

看出数列{s2n}单调增加且有界(s2nu1) 所以收敛

设s2ns(n) 则也有s2n1s2nu2n1s(n) 所以sns(n) 从而级数是收敛的 且snu1

因为 |rn|un1un2  也是收敛的交错级数 所以|rn|un1

例9 证明级数(1)n1 收敛 并估计和及余项

n11n

证

这是一个交错级数 因为此级数满足

(1)un11un1(n1, 2,  )

(2)limunlim10

nn1nnn由莱布尼茨定理 级数是收敛的 且其和su11 余项|rn|un1

1三、绝对收敛与条件收敛

绝对收敛与条件收敛

n1n1n1n1

若级数|un|收敛 则称级数un绝对收敛 若级数un

n1n1收敛 而级数|un|发散 则称级un条件收敛

例10 级数(1)n1n11n11是绝对收敛的 而级数是条件收敛的

(1)2nnn1n1n

1定理7 如果级数un绝对收敛 则级数un必定收敛

值得注意的问题

n1n1

如果级数|un|发散 我们不能断定级数un也发散



但是 如果我们用比值法或根值法判定级数|un|发散

n1则我们可以断定级数un必定发散

n1这是因为 此时|un|不趋向于零 从而un也不趋向于零 因此级数un也是发散的

n1

例11 判别级数sinna的收敛性

2nn1

1na1

解 因为|sin2|2 而级数2是收敛的

nnn1nnasinna所以级数|sin2绝对收敛

|也收敛 从而级数2nn1n1n

2例12 判别级数(1)n1n(11)n的收敛性

n12n2

解 由|un|1n(11)n 有limn2nn|un|111lim(1)ne1

2nn2可知limun0 因此级数(1)nnn111n2(1)发散

nn2

§ 11 3 幂级数

一、函数项级数的概念

函数项级数 给定一个定义在区间I 上的函数列{un(x)} 由这函数列构成的表达式

u1(x)u2(x)u3(x)    un(x)    称为定义在区间I上的(函数项)级数

记为un(x)

n1

收敛点与发散点

对于区间I内的一定点x0 若常数项级数un(x0)收敛 则称

n1点x0是级数un(x)的收敛点

若常数项级数un(x0)发散 则称

n1n1点x0是级数un(x)的发散点

n

1收敛域与发散域

函数项级数un(x)的所有收敛点的全体称为它的收敛域 所

n1 有发散点的全体称为它的发散域

和函数

在收敛域上 函数项级数un(x)的和是x的函数s(x)

n1s(x)称为函数项级数un(x)的和函数 并写成s(x)un(x)

n1n1

∑un(x)是un(x)的简便记法 以下不再重述

n1

在收敛域上 函数项级数∑un(x)的和是x的函数s(x)

s(x)称为函数项级数∑un(x)的和函数 并写成s(x)∑un(x)

这函数的定义就是级数的收敛域

部分和

函数项级数un(x)的前n项的部分和记作sn(x)

n1

函数项级数∑un(x)的前n项的部分和记作sn(x) 即

sn(x) u1(x)u2(x)u3(x)    un(x)

在收敛域上有limsn(x)s(x)或sn(x)s(x)(n)

n

余项

函数项级数un(x)的和函数s(x)与部分和sn(x)的差

n1

rn(x)s(x)sn(x)叫做函数项级数un(x)的余项

n1

函数项级数∑un(x)的余项记为rn(x) 它是和函数s(x)与部分和sn(x)的差 rn(x)s(x)sn(x)

在收敛域上有limrn(x)0

n

二、幂级数及其收敛性

幂级数

函数项级数中简单而常见的一类级数就是各项都幂函数的函数 项级数 这种形式的级数称为幂级数 它的形式是

a0a1xa2x2    anxn    

其中常数a0 a1 a2     an    叫做幂级数的系数

幂级数的例子

1xx2x3    xn     

1x121x    xn    

2!n!

注 幂级数的一般形式是

a0a1(xx0)a2(xx0)2    an(xx0)n    

经变换txx0就得a0a1ta2t2    antn    

幂级数

1xx2x3    xn    

可以看成是公比为x的几何级数 当|x|1时它是收敛的 当|x|1时 它是发散的 因此它的收敛

域为(1 1) 在收敛域内有

11xx2x3    xn    

1x

定理1(阿贝尔定理)如果级数anxn当xx0(x00)时收敛 则适合不等式

n0|x||x0|的一切x使这幂级数绝对收敛 反之 如果级数anxn当

n0xx0时发散 则适合不等式|x||x0|的一切x使这幂级数发散

证

先设x0是幂级数anx的收敛点 即级数anxn收敛 根据级数收敛的必要条件

n0n0n有limanx00 于是存在一个常数M 使 nnn| anx0 |M(n0, 1, 2,   )

这样级数n0anxn的的一般项的绝对值

xnxnxnn||ax|||M||

n0nx0x0x0n|anxn||anx0xnn因为当|x||x0|时 等比级数M||收敛 所以级数|anx|收敛 也就是级数anxn绝

x0n0n0n0对收敛

定理的

例1 求幂级数

n1(1)n1nxnx2x3n1xx    (1)   

n23n的收敛半径与收敛域

1a

解

因为 lim|n1| limn11

nan1nn所以收敛半径为R11



当x1时 幂级数成为(1)n1n11 是收敛的

n

1当x1时 幂级数成为() 是发散的 因此 收敛域为(1, 1]

nn1

例2 求幂级数1x1nx n!n012131xx    xn    2!3!n!的收敛域

1a(n1)!n! lim0

解

因为 lim|n1|  limnann(n1)!1nn!所以收敛半径为R 从而收敛域为(, )

例3 求幂级数n!xn的收敛半径

n0

解 因为

 lim|nan1an|  lim(n1)!n!n

所以收敛半径为R0 即级数仅在x0处收敛

例4 求幂级数(2n)!2n0(n!)x2n的收敛半径

解 级数缺少奇次幂的项 定理2不能应用 可根据比值审敛法来求收敛半径

幂级数的一般项记为un(x)(2n)!(n!)2x2n

因为 lim|nun1(x)un(x)| 4|x|2

当4|x|1即|x|21112时级数收敛 当4|x|1即|x|时级数发散 所以收敛半径为R 222[2(n1)]!x2(n1)(2n2)(2n1)(n1)2[(n1)!]2提示

(2n)!2nun(x)x(n!)2un1(x)x2

例5 求幂级数(x1)n2nn的收敛域

tn

nn12nn1

解 令tx1 上述级数变为an1an

因为  lim|n2nn1| n1

2(n1)2所以收敛半径R2

(1)1

当t2时 级数成为 此级数发散 当t2时 级数成为 此级数收敛 因此

nn1nn1tn级数n的收敛域为2t2 因为2x12 即1x3 所以原级数的收敛域为[1, 3)

n12n

三、幂级数的运算

设幂级数anx及n0nn0bnxn分别在区间(R, R)及(R, R)内收敛 则在(R, R)与(R, R)中较小的区间内有 加法 减法 n0anxbnx(anbn)xn

n0n0nnnnn0anxbnx(anbn)xn

n0n0

设幂级数∑anxn及∑bnxn分别在区间(R, R)及(R, R)内收敛 则在(R, R)与(R, R)中较

小的区间内有

加法 ∑anxn∑bnxn ∑(anbn)xn 

减法 ∑anxn∑bnxn ∑(anbn)xn 

乘法(anx)(bnxn)a0b0(a0b1a1b0)x(a0b2a1b1a2b0)x2   

nn0n0

(a0bna1bn1    anb0)xn   

性质1 幂级数anxn的和函数s(x)在其收敛域I上连续

n0

如果幂级数在xR(或xR)也收敛 则和函数s(x)在(R, R](或[R, R))连续

性质2 幂级数anxn的和函数s(x)在其收敛域I上可积 并且有逐项积分公式

n0

0xs(x)dx(anx)dx0n0xnn00anxdxxnann0n1xn1(xI)

逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径

性质3 幂级数anxn的和函数s(x)在其收敛区间(R R)内可导 并且有逐项求导公式

n0

s(x)(anx)n0nn0(anx)nanxn1(|x|R)

n1n逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径

例6 求幂级数1xn的和函数

n0n1

解 求得幂级数的收敛域为[1 1)

设和函数为s(x) 即s(x)

在xs(x)1xn x[1 1) 显然s(0)1

n0n11n1x的两边求导得 n1n011n1x)xn

[xs(x)](

n11xn0n0对上式从0到x积分 得

xs(x)1dxln1(x)

01xx

1ln(1x)0|x|11于是 当x 0时 有s(x)ln(1x) 从而s(x)x

x 1 x0x11n

1因为xs(x)x[xn1]dx

0n0n1n0n1

x0n0xndx0x1dxln1(x)

1x所以 当x0时 有s(x)1ln(1x)

x1ln(1x)0|x|1从而 s(x)x

 1 x0

例7 求级数(1)nn1的和

n0

解

考虑幂级数1xn 此级数在[1, 1)上收敛 设其和

n0n1函数为s(x) 则s(1)(1)nn1

n0(1)11ln

在例6中已得到xs(x)ln(1x) 于是s(1)ln2 s(1)ln 即22n0n1n

§11 4 函数展开成幂级数

一、泰勒级数

要解决的问题 给定函数f(x) 要考虑它是否能在某个区间内“展开成幂级数” 就是说 是否能找到这样一个幂级数 它在某区间内收敛 且其和恰好就是给定的函数f(x)

如果能找到这样的幂级数 我们就说 函数f(x)在该区间内能展开成幂级数 或简单地说函数f(x)能展开成幂级数 而该级数在收敛区间内就表达了函数f(x)

泰勒多项式 如果f(x)在点x0的某邻域内具有各阶导数 则在该邻域内f(x)近似等于

f(x)f(x0)f(x0)(xx0)f(x0)2!(xx0)2   

f(n1)f(n)(x0)n!(xx0)nRn(x)

其中Rn(x)()(n1)!(xx0)n1(介于x与x0之间)

泰勒级数 如果f(x)在点x0的某邻域内具有各阶导数f(x) f(x)    

f(n)(x)     则当n时 f(x)在点x0的泰勒多项式

pn(x)f(x0)f(x0)(xx0)成为幂级数

f(x0)f(x0)(xx0)f(x0)2!(xx0)2f(x0)2!(xx0)    2f(n)(x0)n!(xx0)n

f(x0)3!(xx0)    3f(n)(x0)n!(xx0)n   

这一幂级数称为函数f(x)的泰勒级数

显然 当xx0时 f(x)的泰勒级数收敛于f(x0)

需回答的问题 除了xx0外 f(x)的泰勒级数是否收敛? 如果收敛 它是否一定收敛于f(x)?

定理

设函数f(x)在点x0的某一邻域U(x0)内具有各阶导数 则f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是f(x)的泰勒公式中的余项Rn(x)当n0时的极限为零 即

nlimRn(x)0(xU(x0))

证明

先证必要性 设f(x)在U(x0)内能展开为泰勒级数 即

f(x)f(x0)f(x0)(xx0)f(x0)2!(xx0)    2f(n)(x0)n!(xx0)n    

又设sn1(x)是f(x)的泰勒级数的前n1项的和 则在U(x0)内sn1(x) f(x)(n)

而f(x)的n阶泰勒公式可写成f(x)sn1(x)Rn(x) 于是R n(x)f(x)sn1(x)0(n)

再证充分性 设Rn(x)0(n)对一切xU(x0)成立

因为f(x)的n阶泰勒公式可写成f(x)sn1(x)R n(x) 于是sn1(x)f(x)R n(x)f(x)

即f(x)的泰勒级数在U(x0)内收敛 并且收敛于f(x)

麦克劳林级数 在泰勒级数中取x00 得

f(0)f(0)xf(0)2!x    2f(n)(0)n!xn   

此级数称为f(x)的麦克劳林级数

展开式的唯一性 如果f(x)能展开成x的幂级数 那么这种展式是唯一的 它一定与f(x)的麦克劳林级数一致

这是因为 如果f(x)在点x00的某邻域(R R)内能展开成x的幂级数 即

f(x)a0a1xa2x    anx    

那么根据幂级数在收敛区间内可以逐项求导 有 f (x)a12a2x3a3x2   nanxn1    

f (x)2!a232a3x     n(n1)anx

n2

2n

    

f (x)3!a3   n(n1)(n2)anxn3     

  

  

  

  

   f(n)(x)n!an(n1)n(n1)   2an1x     

于是得

a0f(0) a1f (0) a2f(0)2!    anf(n)(0)n!   

应注意的问题 如果f(x)能展开成x的幂级数 那么这个幂级数就是f(x)的麦克劳林级数 但是 反过来如果f(x)的麦克劳林级数在点x00的某邻域内收敛 它却不一定收敛于f(x) 因此 如果f(x)在点x00处具有各阶导数 则f(x)的麦克劳林级数虽然能作出来 但这个级数是否在某个区间内收敛 以及是否收敛于f(x)却需要进一步考察

二、函数展开成幂级数

展开步骤

是否为零 如果Rn(x)0(n) 则f(x)在(R R)内有展开式

f(x)f(0)f(0)xf(0)2!x    2f(n)(0)n!xn   (RxR)

例1 将函数f(x)ex展开成x的幂级数

解 所给函数的各阶导数为f(x)e(n1 2   ) 因此f

1x1x2    1xn   

2!n!(n)

x

(n)

(0)1(n1 2   ) 于是得级数

它的收敛半径R

对于任何有限的数x、(介于0与x之间) 有

n1en1|x||x|x| e

|Rn(x)| |

(n1)!(n1)!|x|n10 所以 lim|Rn(x)|0 从而有展开式 而 limn(n1)!n

ex1x121x    xn   (x)

2!n!

例2 将函数f(x)sin x 展开成x的幂级数

解 因为f(n)(x)sin(xn )(n1 2

  )

2所以f(n)(0)顺序循环地取0 1 0 1   ((n0 1 2 3   ) 于是得级数

2n1x3x5n1x    (1)   

x3!5!(2n1)!它的收敛半径为R

对于任何有限的数x、(介于0与x之间) 有

sin[(n1)2(n1)!]xn1 |Rn(x)| |因此得展开式

|x|n1| 0(n )

(n1)!2n1x3x5n1x    (1)   (x)

sinxx3!5!(2n1)!

ex1x121x    xn   (x)

2!n!

例3 将函数f(x)(1 x)展开成x的幂级数 其中m为任意常数

解 f(x)的各阶导数为

f (x)m(1x)m1

f (x)m(m1)(1x)

        

f(n)(x)m(m1)(m2)  (mn1)(1x)mn

        

所以

f(0)1 f (0)m f (0)m(m1)    f(n)(0)m(m1)(m2)  (mn1)    于是得幂级数

1mx可以证明

(1x)m1mx

间接展开法

例4 将函数f(x)cos x展开成x的幂级数

解

已知

2n1x3x5n1x    (1)   (x)

sinxx3!5!(2n1)!m2m

m(m1)2!x2    m(m1)  (mn1)n!xn    

m(m1)2!x2    m(m1)  (mn1)n!xn   (1x1)

对上式两边求导得

cosx1x2x4x2n    (1)n   (x)

2!4!(2n)!1展开成x的幂级数

1x

2例5 将函数f(x)

解 因为211xx2    xn   (1x1)

1x把x换成x 得

11x2x4    (1)nx2n   (1x1) 21x注 收敛半径的确定 由1x21得1x1

例6 将函数f(x)ln(1x)展开成x的幂级数

解

因为f(x)1

1x而1是收敛的等比级数1xn0(1)nxn(1x1)的和函数 

11xx2x3    (1)nxn    

1x所以将上式从0到x逐项积分 得

n1x2x3x4nx

ln1(x)x    (1)   (1x1)

234n

1解

f(x)ln(1x)[ln(1x)]dx0xx01dx 1xxn1

[(1)x]dx(1)(1x1)

0n1n0n0xnnn

上述展开式对x1也成立 这是因为上式右端的幂级数当x1时收敛 而ln(1x)在x1处有定义且连续

例7 将函数f(x)sin x展开成(x

解

因为

sinxsin[并且有

cosx(

sinx(所以

sinx4(x4)的幂级数

4)]2[cos(x)sin(x)]

24444)111(x)2(x)4   (x)

2!44!4)(x4)11(x)3(x)5   (x)

3!45!4211[1(x)(x)2(x)3   ](x)

242!43!

4例8 将函数f(x)

解 因为

f(x)1展开成(x1)的幂级数

x24x3111111

2x1x1(x1)(x3)2(1x)2(3x)x4x34(1)8(1)24 nn11n(x1)n(x1)

(1)(1)n4n08n024n

n0(1)n(12n2122n3)(x1)n(1x3)

提示

1x2(x1)2(1x1)3x4(x1)4(1x1)

24n1x1n(x1)

(1)(11)

nx1n02212n1x1n(x1)

(1)(11)

nx1n04414收敛域的确定 由1

展开式小结 x1x11和11得1x3

2411xx2    xn   (1x1) 1xex1x121x    xn   (x)

2!n!sinxxx3x5x2n1    (1)n1   (x) 3!5!(2n1)!2nx2x4nxcosx1    (1)   (x) 2!4!(2n)!ln(1x)xx2x3x4xn1    (1)n   (1x1) 234n1m(m1)2!x2    m(m1)  (mn1)n!xn   (1x1)(1x)m1mx

§11 5 函数的幂级数展开式的应用

一、近似计算

例1 计算5240的近似值 要求误差不超过00001

解

因为5240524333(114)1/5

3所以在二项展开式中取m1 x14 即得

51114114912403(1428312   )

5352!353!3这个级数收敛很快 取前两项的和作为5240的近似值 其误差(也叫做截断误差)为

|r2|3（3

1411491149141831216   )2452!353!354!3141112[1()    ] 28818152!3611118

12532527402000018111)

534于是取近似式为52403(1为了使“四舍五入”引起的误差(叫做舍入误差)与截断误差之和不超过104 计算时应取五位小数 然后四舍五入 因此最后得

52402.9926

例2 计算ln 2的近似值 要求误差不超过00001

解

在上节例5中 令 x1可得

ln21111    (1)n1   .23n

如果取这级数前n项和作为ln2的近似值 其误差为

|rn|1.n1为了保证误差不超过104 就需要取级数的前10000项进行计算.这样做计算量太大了 我们必需用收敛较快的级数来代替它.把展开式

n1x2x3x4nx

ln1(x)x    (1)   (1x1)234n1中的x换成x  得

x2x3x ln(1x)x   (1x1)

234两式相减 得到不含有偶次幂的展开式

ln1x11ln1(x)ln1(x)2(xx3x5   )(1x1) 1x3533令1x2 解出x1 以x1代入最后一个展开式 得

1x

ln22(13111111   ) 333535737如果取前四项作为ln2的近似值 则误差为

|r4|2(

11111113   )***[1()    ]

99312111.11970000031143913111111) 333535737于是取 ln22(同样地 考虑到舍入误差 计算时应取五位小数

1111111 30.01235 50.00082 70.00007 0.333333335373因此得

ln 206931

例3 利用sinxx解

首先把角度化成弧度

9从而

x求sin9的近似值 并估计误差

3!1809(弧度)320(弧度)

1sin20203!20 

其次 估计这个近似值的精确度 在sin x 的幂级数展开式中令x 得

20111

sin     20203!205!207!20357等式右端是一个收敛的交错级数 且各项的绝对值单调减少 取它的前两项之和作为sin的近似值 起误差为

111

|r2| (0.2)55!201203000000.003876 因此取 0.157080 20205203于是得

sin9015643 这时误差不超过105

例4 计算定积分

x2120exdx 的近似值 要求误差不超过00001（取

210.56419）

解 将e的幂级数展开式中的x换成x 得到被积函数的幂级数展开式

ex21(x2)1!(x2)22!(x2)33!   

(1)nn0x2n(x).n!于是 根据幂级数在收敛区间内逐项可积 得

21122exdx0212[(1)n0n0x2n2]dxn!(1)n22nn!0xdx n01

(1111   ).24623252!273!前四项的和作为近似值 其误差为

|r4|所以

21111

294!90000820ex2dx1(112324252!16)0.52 0 5273!1

例5 计算积分

01sinxxdx 的近似值 要求误差不超过00001

解 由于limsinx1 因此所给积分不是反常积分 如果定义被积函数在x0处的值为1

x0x则它在积分区间[0 1]上连续.展开被积函数 有

sinxx2x4x6

1   (x)

x3!5!7!在区间[0 1]上逐项积分 得

01sinx111dx1    

x33!55!77!因为 收敛于和v 就说复数项级数收敛且和为uiv

绝对收敛

2如果级(univn)的各项的模所构成的级数un收敛

vnn1n1则称级数(univn)绝对收敛

n1

复变量指数函数 考察复数项级数

1z121z    zn    

2!n!x 可以证明此级数在复平面上是绝对收敛的 在x轴上它表示指数函数e 在复平面上我们用它来定义复变量指数函数 记为ez  即

ez1z121z    zn    

2!n!

欧拉公式 当x0时 ziy  于是

eiy1iy

1iy

(111(iy)2    (iy)n    2!n!12111yiy3y4iy5    2!3!4!5!121411yy   )i(yy3y5   )2!4!3!5!

cos yisin y

把y定成x得

ecos xi sin x

这就是欧拉公式

复数的指数形式 复数z可以表示为

zr(cos isin)rei 

其中r|z|是z的模  arg z是z的辐角

三角函数与复变量指数函数之间的联系

因为ecos xi sin x ecos xi sin x 所以 ixixix

e+e2cos x

ee2isin x

cosx1(eixeix) sinx1(eixeix)

22iixixxix这两个式子也叫做欧拉公式

复变量指数函数的性质

ez1z2ez1ez2

特殊地 有exiy ex ei y ex(cos y isin y)

§11.7 傅里叶级数 一、三角级数

三角函数系的正交性

三角级数 级数 a0(ancosnxbnsinnx)

2n1称为三角级数 其中a0 an bn(n  1 2   )都是常数

三角函数系

1 cos x sin x cos 2x sin 2x    cos nx sin nx   

三角函数系的正交性 三角函数系中任何两个不同的函数的乘积在区间[ ]上的积分等于零 即

cosnxdx0(n1 2   )

sinnxdx0(n1 2   )

sinkxcosnxdx0(k n1 2   )

sinkxsinnxdx0(k n1 2    kn)



coskxcosnxdx0(k n1 2    kn)

12三角函数系中任何两个相同的函数的乘积在区间[]上的积分不等于零 即

dx2

2cosnxdx(n 1 2   )

sinnxdx2(n 1 2   )

二、函数展开成傅里叶级数

问题 设f(x)是周期为2的周期函数 且能展开成三角级数

f(x)a02(akcoskxbksinkx)

k1那么系数a0 a1 b1    与函数f(x)之间存在着怎样的关系? 假定三角级数可逐项积分 则

f(x)cosnxdxa02cosnxdx[akcoskxcosnxdxbksinkxcosnxdx]

k1类似地f(x)sinnxdxbn

傅里叶系数

a0

an

bn11f(x)dx

f(x)cosnxdx(n 1 2   )

f(x)sinnxdx(n 1 2   ) 1系数a0 a1 b1    叫做函数f(x)的傅里叶系数

傅里叶级数 三角级数

a02(ancosnxbnsinnx)

n1 称为傅里叶级数 其中a0 a1 b1   是傅里叶系数

问题 一个定义在( )上周期为2的函数f(x) 如果它在一个周期上可积 则一定可以作出f(x)的傅里叶级数 然而 函数f(x)的傅里叶级数是否一定收敛? 如果它收敛 它是否一定收敛于函数f(x)? 一般来说 这两个问题的答案都不是肯定的

定理(收敛定理 狄利克雷充分条件)设f(x)是周期为2的周期函数 如果它满足 在一个周期内连续或只有有限个 1 f(x)4[sinxsin3x    sin2(k1)x    ]

32k1

(x x 0  2   )

例2 设f(x)是周期为2的周期函数 它在[)上的表达式为

f(x)x x0

0 0x将f(x)展开成傅里叶级数.解 所给函数满足收敛定理的条件 它在点x(2k1)(k0 1 2   )处不连续 因此 f(x)的傅里叶级数在x(2k1)处收敛于

11[f(x0)f(x0)](0)

222在连续点x(x(2k1))处级数收敛于f(x)

傅里叶系数计算如下

a01f(x)dx10xdx  2an1f(x)cosnxdx10xcosnxdx1xsinnxcosnx01[](1cosn)22nnn2 n1, 3, 5,    

n2

0 n2, 4, 6,   

bn

1nf(x)sinnxdx10xsinnxdx1[xcosnxsinnx0cosn] nnn2(1)n1(n 1 2   )

f(x)的傅里叶级数展开式为

f(x)

4(2cosxsinx)121sin2x(2cos3xsin3x)233121sin4x(2cos5xsin5x)   (x  x  3   ) 455

周期延拓 设f(x)只在[]上有定义 我们可以在[ )或( ]外补充函数f(x)的定义 使它拓广成周期为2的周期函数F(x) 在( )内 F(x)f(x).

例3 将函数

f(x)展开成傅里叶级数

解 所给函数在区间[ ]上满足收敛定理的条件 并且拓广为周期函数时 它在每一点x处都连续 因此拓广的周期函数的傅里叶级数在[ ]上收敛于f(x)

傅里叶系数为

a0

an1x  x0

x 0  x1f(x)dx1(x)dx0101xdx

12f(x)cosnxdx0(x)cosnxdx0

xcosnxdx4 n1, 3, 5,   

2(cosn1)n2

n0 n2, 4, 6,   

bn1f(x)sinnxdx10(x)sinnxdx10xsinnxdx0(n 1 2   )

于是f(x)的傅里叶级数展开式为

f(x)

三、正弦级数和余弦级数

当f(x)为奇函数时 f(x)cos nx是奇函数 f(x)sin nx是偶函数 故傅里叶系数为

an0(n0 1 2   )

bn2 411(cosx2cos3x2cos5x   )(x)

2350f(x)sinnxdx(n1 2 3   )

因此奇数函数的傅里叶级数是只含有正弦项的正弦级数

bnsinnx

n1

当f(x)为偶函数时 f(x)cos nx是偶函数 f(x)sin nx是奇函数 故傅里叶系数为

an20f(x)cosnxdx(n0 1 2 3   )

bn0(n1 2   )

因此偶数函数的傅里叶级数是只含有余弦项的余弦级数

a02ancosnx

n1

例4 设f(x)是周期为2的周期函数 它在[ )上的表达式为f(x)x 将f(x)展开成傅里叶级数

解 首先 所给函数满足收敛定理的条件 它在点x(2k1)(k0 1 2   )不连续 因此f(x)的傅里叶级数在函数的连续点x(2k1)收敛于f(x) 在点x(2k1)(k0 1 2   )收敛于

11[f(0)f(0)][()]0

其次 若不计x(2k1)(k0 1 2   ) 则f(x)是周期为2的奇函数 于是 an0(n0 1 2   ) 而

bn

220f(x)sinnxdx20xsinnxdx

[xcosnxsinnx22]cosnx(1)n1(n1 2 3   )

02nnnnf(x)的傅里叶级数展开式为

f(x)2(sinx111sin2xsin3x    (1)n1sinnx    23n

(x  x 3    )

例5 将周期函数u(t)E|sin1t|展开成傅里叶级数 其中E是正的常数

解 所给函数满足收敛定理的条件 它在整个数轴上连续 因此u(t)的傅里叶级数处处收敛于u(t)

因为u(t)是周期为2的偶函数 所以bn0(n1 2   ) 而

an20u(t)cosntdt20tEsincosntdt

E011[sinn()tsinn()t]dt 11cosn()tcosn()tE22]

[011nn22

4E(n0 1 2   )

(4n21)所以u(t)的傅里叶级数展开式为

u(t)4E(11cosnt)(t)

22n14n1

奇延拓与偶延拓 设函数f(x)定义在区间[0 ]上并且满足收敛定理的条件 我们在开区间( 0)内补充函数f(x)的定义 得到定义在( ]上的函数F(x) 使它在( )上成为奇函数(偶函数) 按这种方式拓广函数定义域的过程称为奇延拓(偶延拓) 限制在(0 ]上 有F(x)f(x)

例6 将函数f(x)x1(0x)分别展开成正弦级数和余弦级数

解

先求正弦级数 为此对函数f(x)进行奇延拓

bn20f(x)sinnxdx20(x1)sinnxdx2[xcosnxsinnxcosnx]0 nnn222 n1, 3, 5,    2n(1cosncosn)



2n n2, 4, 6,   n函数的正弦级数展开式为

x12[(2)sinx2sin2x1(2)sin3xsin4x    ](0x)

34在端点x0及x处 级数的和显然为零 它不代表原来函数f(x)的值

再求余弦级数 为此对f(x)进行偶延拓

an20f(x)cosnxdx20(x1)cosnxdx2[xsinnxcosnxsinnx]0 2nnn0 n2, 4, 6,    

2(cosn1)4

2 n1, 3, 5,    nn2

a020(x1)dx2x2[x]02 2

函数的余弦级数展开式为

x1 14(cosx2cos3x2cos5x   )(0x)

235

§11 8 周期为2l的周期函数的傅里叶级数

我们所讨论的周期函数都是以2为周期的 但是实际问题中所遇到的周期函数 它的周期不一定是2 怎样把周期为2l的周期函数f(x)展开成三角级数呢？

问题 我们希望能把周期为2l的周期函数f(x)展开成三角级数 为此我们先把周期为2l的周期函数f(x)变换为周期为2的周期函数

令xlt及f(x)f(llt)F(t) 则F(t)是以2为周期的函数

lt2l)f(lt)F(t) 这是因为F(t2)f[(t2)]f(于是当F(t)满足收敛定理的条件时 F(t)可展开成傅里叶级数

F(t)其中

ana02(ancosntbnsinnt)

n11F(t)cosntdt(n0 1 2   ) bnF(t)sinntdt(n1 2   )

1从而有如下定理

定理 设周期为2l的周期函数f(x)满足收敛定理的条件 则它的傅里叶级数展开式为

f(x)a0nxnx(ancosbnsin)

2n1ll其中系数an  bn 为

anf(x)cosll1lnxdx(n0 1 2   )

l

blnxn1llf(x)sinldx(n1 2   )

当f(x)为奇函数时

f(x)binnxns n1l

其中b2lln0f(x)sinnxldx(n  1 2   )

当f(x)为偶函数时

f(x)a02anxncos

n1l其中a2nlnxl0f(x)cosldx(n  0 1 2   )

例1 设f(x)是周期为4的周期函数 它在[2 2)上的表达式为

f(x)0 2x0(常数k0)k 0x2

将f(x)展开成傅里叶级数

解

这里l2

a1220kcosnx2dx[knsinnxn2]200(n0)

a102020dx1220kdxk

22k

b1n20ksinnx2dx[kncosnx2]2k 0n(1cosn)n0 于是

f(x)k22k(sinx213sin3x215sin5x2   )(x x0 2 4

   在x0 2 4    收敛于

k2)

 px 0l

例2 将函数M(x)x22展开成正弦级数

p(lx)2 l2xl

n1, 3, 5,    n2, 4, 6,   

解

对M(x)进行奇延拓 则

an0(n0 1 2 3   )

bn2lllp(lx)nx22pxnxnxM(x)sindx[sindxsindx]

l00ll2l2l2l对上式右边的

第二篇：高等数学教案ch 8.4～8.8

§8 4 多元复合函数的求导法则

设zf(u v) 而u(t) v(t) 如何求dz？

dt

设zf(u v) 而u(x y) v(x y) 如何求z和z？

xy

1 复合函数的中间变量均为一元函数的情形

定理1 如果函数u(t)及v(t)都在点t可导 函数zf(u v)在对应点(u v)具有连续偏导数 则复合函数zf[(t) (t)]在点t可导 且有

dzzduzdv

dtudtvdt

简要证明1 因为zf(u v)具有连续的偏导数 所以它是可微的 即有

dzzduzdv

uv又因为u(t)及v(t)都可导 因而可微 即有

dududt dvdvdt

dtdt代入上式得

dzzdudtzdvdt(zduzdv)dt

udtvdtudtvdt从而

dzzduzdv

dtudtvdt

简要证明2 当t取得增量t时 u、v及z相应地也取得增量u、v及z  由zf(u v)、u(t)及v(t)的可微性 有

zzuzvo()z[duto(t)]z[dvto(t)]o()

uvudtvdt

(zduzdv)t(zz)o(t)o()

udtvdtuvzzduzdv(zz)o(t)o()



tudtvdtuvtt令t0 上式两边取极限 即得

dzzduzdv

dtudtvdto()o()(u)2(v)2注limlim0(du)2(dv)20

tdtdtt0tt0推广 设zf(u v w) u(t) v(t) w(t) 则zf[(t) (t) (t)]对t 的导数为

dzzduzdvzdw

dtudtvdtwdt上述dz称为全导数

dt

2 复合函数的中间变量均为多元函数的情形

定理2 如果函数u(x y) v(x y)都在点(x y)具有对x及y的偏导数 函数zf(u v)在对应点(u v)具有连续偏导数 则复合函数zf [(x y) (x y)]在点(x y)的两个偏导数存在 且有

zzuzv zzuzv

xuxvxyuyvy

推广 设zf(u v w) u(x y) v(x y) w(x y) 则

zzuzvzw

zzuzvzw 

xuxvxwxyuyvywy

讨论

(1)设zf(u v) u(x y) v(y) 则z？z？

yx

提示 zzu zzuzdv

xuxyuyvdyz

(2)设zf(u x y) 且u(x y) 则z？？

yxffff

提示 zu zu

xuxxyuyyf这里z与是不同的 z是把复合函数zf[(x y) x y]中的y看作不变而对x的xxxffz偏导数 是把f(u x y)中的u及y看作不变而 对x的偏导数 与也朋类似

yyx的区别

3．复合函数的中间变量既有一元函数 又有多元函数的情形

定理3 如果函数u(x y)在点(x y)具有对x及对y的偏导数 函数v(y)在点y可导 函数zf(u v)在对应点(u v)具有连续偏导数 则复合函数zf[(x y) (y)]在点(x y)的两个偏导数存在 且有

zzuzdv

zzu 

xuxyuyvdy

z

例1 设zeusin v uxy vxy 求z和

xy

解 zzuzv

xuxvx

eusin vyeucos v1

ex y[y sin(xy)cos(xy)]

zzuzv

yuyvy

eusin vxeucos v1

exy[x sin(xy)cos(xy)]

例2 设uf(x,y,z)exff

解 uz

xxzx2y2z2 而zx2siny 求u和u

yx

2xex2y2z22zex2y2z22xsiny

 2x(12x2siny)ex2y2x4si2nyff

uz

yyzy

2yex2y2z22zex2y2z2x2cosy

2(yx4sinycoys)ex2y2x4si2ny

例3 设zuvsin t  而uet vcos t 求全导数dz

dt

解 dzzduzdvz

dtudtvdtt

vetu(sin t)cos t

etcos te tsin tcos t

et(cos tsin t)cos t 

2ww

例4 设wf(xyz xyz) f具有二阶连续偏导数 求及 xzx

解 令uxyz vxyz  则wf(u v)

f(u,v)f(u,v)f22等

引入记号 f1 f12 同理有f2f11uuvwfufvfyzf

2

xuxvx12ff

w(f1yzf2)1yf2yz2

xzzzzxyf12yf2yzf21xy2zf22

f11y(xz)f12yf2xy2zf22

f11f1f1uf1vfffxyf12 22u2vf21xyf22 f11zuzvzzuzvz

例5 设uf(x y)的所有二阶偏导数连续 把下列表达式转换成极坐标系中的形式

注

22u

(1)(u)2(u)2

(2)uxyx2y2解 由直角坐标与极坐标间的关系式得

uf(x y)f(cosθ sinθ)F( θ)

其中xcosθ ysinθ x2y2 arctan应用复合函数求导法则 得

uuxuyuuysincos

uu

xxx2uuyuxuucossin

uu

yyy2y x两式平方后相加 得

(u)2(u)2(u)212(u)2

xy再求二阶偏导数 得

2(u)(u) 

ux2xxxxu)co)sin susins(ucosusin

(co22222uusincosusinu2sincosusin 222

2cos22同理可得 222222uuusincosucosu2sincosucos 22sin2222y两式相加 得

22222uuu11u1u

222222[()u]

2xy

全微分形式不变性

设zf(u v)具有连续偏导数 则有全微分

dzzduzdv

uv如果zf(u v)具有连续偏导数 而u(x y) v(x y)也具有连续偏导数 则

zz

dzdxdy

xyzuzv)dx(zuzv)dy

（uxvxuyvyzuuzvv

(dxdy)(dxdy)

uxyvxy

zduzdv

uv由此可见 无论z 是自变量u、v的函数或中间变量u、v的函数 它的全微分形式是一样的 这个性质叫做全微分形式不变性

例6 设ze usin v ux y vxy 利用全微分形式不变性求全微分

解 dzzduzdv e usin vdu e ucos v dv uv

 e usin v(y dxx dy) e ucos v(dxdy)

(ye usin v e ucos v)dx(xe usin v e ucos v)dy

e xy [y sin(xy)cos(xy)]dx e xy [x sin(xy)cos(xy)]dy 

§8 5

隐函数的求导法则 一、一个方程的情形

隐函数存在定理1

设函数F(x y)在点P(x0 y0)的某一邻域内具有连续偏导数 F(x0 y0)0 Fy(x0 y0)0 则方程F(x y)0在点(x0 y0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数yf(x) 它满足条件y0f(x0) 并有

Fdyx

dxFy

求导公式证明 将yf(x)代入F(x y)0 得恒等式 F(x f(x))0

dy等式两边对x求导得 FF0

xydx由于F y连续 且Fy(x0 y0)0 所以存在(x0 y0)的一个邻域 在这个邻域同Fy 0 于是得 Fdyx

dxFy

例1 验证方程x2y210在点(0 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x0时y1的隐函数yf(x) 并求这函数的一阶与二阶导数在x0的值

解 设F(x y)x2y21 则Fx2x Fy2y F(0 1)0 Fy(0 1)20 因此由定理1可知 方程x2y210在点(0 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x0时y1的隐函数yf(x)

Fdydyxx 0

dxFyydxx0yx(x)dyyxyyy2x2d2y13； 1

dx2y2y2y3ydx2x0

2隐函数存在定理还可以推广到多元函数 一个二元方程F(x y)0可以确定一个一元隐函数 一个三元方程F(x y z)0可以确定一个二元隐函数

隐函数存在定理2

设函数F(x y z)在点P(x0 y0 z0)的某一邻域内具有连续的偏导数 且F(x0 y0 z0)0 Fz(x0 y0 z0)0  则方程F(x y z)0在点(x0 y0 z0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数zf(x y) 它满足条件z0f(x0 y0) 并有

FF

zx zy



xFzyFz

公式的证明 将zf(x y)代入F(x y z)0 得F(x y f(x y))0

将上式两端分别对x和y求导 得

FxFzz0 FyFzz0 

yx因为F z连续且F z(x0 y0 z0)0 所以存在点(x0 y0 z0)的一个邻域 使F z0 于是得

FF

zx zy

xFzyFz2z

例2.设xyz4z0 求2

x

解

设F(x y z) x2y2z24z 则Fx2x Fy2z4 222

zFx2xx

xFz2z42z

z(2x)x(x)(2x)x222zx2z(2x)x

x2(2z)2(2z)2(2z)

3二、方程组的情形

在一定条件下 由个方程组F(x y u v)0 G(x y u v)0可以确定一对二元函数uu(x y) vv(x y) 例如方程xuyv0和yuxv1可以确定两个二元函数uyx

v

x2y2x2y2y 事实上

xuyv0 vxuyuxxu1u22 

yyxyyvx222x2

yxyxy

如何根据原方程组求u v的偏导数？

隐函数存在定理设F(x y u v)、G(x y u v)在点P(x0 y0 u0 v0)的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数 又F(x0 y0 u0 v0)0 G(x0 y0 u0 v0)0 且偏导数所组成的函数行列

F(F,G)u式：

J(u,v)GuFv Gv在点P(x0 y0 u0 v0)不等于零 则方程组F(x y u v)0 G(x y u v)0在点P(x0 y0 u0 v0)的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数uu(x y) vv(x y) 它们满足条件u0u(x0 y0) v0v(x0 y0) 并有

FxFvFuFxGGGG(F,G)(F,G)

u1xv

v1ux

xJ(x,v)xJ(u,x)FuFvFuFvGuGvGuGv(F,G)(F,G)

u1

v1

yJ(y,v)yJ(u,y)FuFvFuFvGuGvGuGvFyFvGyGvFuFyGuGy

隐函数的偏导数: 设方程组F(x y u v)0 G(x y u v)0确定一对具有连续偏导数的 二元函数uu(x y) vv(x y) 则

FFuFv0,xuxvxuv 偏导数 由方程组确定

uvxxGxGuGv0.xxFFuFv0,yuyvyuv 偏导数 由方程组确定

uvyyGyGuGv0.yyv 例3 设xuyv0 yuxv1 求u v u和

yxxy 解 两个方程两边分别对x 求偏导 得关于u和v的方程组

xxuxuyv0xx uvyvx0xxyuxvxuyv当x2y2 0时 解之得u22 v22

xxyxxy

两个方程两边分别对x 求偏导 得关于u和v的方程组

yyxuvyv0yy uvuyx0yyxvyuxuyv当x2y2 0时 解之得u22 v22

yxyyxy

另解 将两个方程的两边微分得

udxxduvdyydv0xduydvvdyudx

 即

udyyduvdxxdv0yduxdvudyvdx解之得 duxuyvxvyudxdy

x2y2x2y dvyuxvxuyvdxdy

x2y2x2y2xuyvxvyu于是

u22 u22

xyxyxyyuxvxuyv

v22 v22 xxyyxy

例 设函数xx(u v) yy(u v)在点(u v)的某一领域内连续且有连续偏导数

又

(x,y)0 (u,v)xx(u,v)

(1)证明方程组



yy(u,v)在点(x y u v)的某一领域内唯一确定一组单值连续且有连续偏导数的反函数uu(x y) vv(x y)

(2)求反函数uu(x y) vv(x y)对x y的偏导数

解(1)将方程组改写成下面的形式

F(x,y,u,v)xx(u,v)0



G(x,y,u,v)yy(u,v)0则按假设

J(F,G)(x,y)0.(u,v)(u,v)由隐函数存在定理3 即得所要证的结论

(2)将方程组(7)所确定的反函数uu(x y)vv(x y)代入(7) 即得

xx[u(x,y),v(x,y)]



yy[u(x,y),v(x,y)]将上述恒等式两边分别对x求偏导数得

1xuxv

uxvx

yy0uvuxvx由于J0 故可解得

yy

u1 v1

JuxJvx

同理 可得

u1xv1x

 

yJvyJu

§8 6

多元函数微分学的几何应用

一

空间曲线的切线与法平面

设空间曲线的参数方程为

x(t) y(t) z(t)这里假定(t) (t) (t)都在[ ]上可导

在曲线上取对应于tt0的一点M0(x0 y0 z0)及对应于tt0t的邻近一点M(x0+x y0+y z0+z) 作曲线的割线MM0 其方程为

xx0yy0zz0 xyz当点M沿着趋于点M0时割线MM0的极限位置就是曲线在点M0处的切线 考虑 xx0yy0zz0

 xyzttt当MM0 即t0时 得曲线在点M0处的切线方程为

xx0yy0zz0 (t0)(t0)(t0)

曲线的切向量 切线的方向向量称为曲线的切向量 向量

T((t0) (t0) (t0))就是曲线在点M0处的一个切向量

法平面 通过点M0而与切线垂直的平面称为曲线在点M0 处的法平面 其法平面方程为

(t0)(xx0)(t0)(yy0)(t0)(zz0)0

例1 求曲线xt yt2 zt3在点(1 1 1)处的切线及法平面方程

解

因为xt1 yt2t zt3t2 而点(1 1 1)所对应的参数t1 所以

T (1 2 3)

于是 切线方程为

x1y1z 

123法平面方程为

(x1)2(y1)3(z1)0 即x2y3z6

讨论

1 若曲线的方程为

y(x) z(x)

问其切线和法平面方程是什么形式

提示 曲线方程可看作参数方程 xx y(x) z(x) 切向量为T(1 (x) (x))

2 若曲线的方程为

F(x y z)0 G(x y z)0

问其切线和法平面方程又是什么形式

提示 两方程确定了两个隐函数

y(x) z(x) 曲线的参数方程为

xx y(x) z(x) dydz0FFFxyzdydzdxdx由方程组可解得和 dydzdxdxGxGyGz0dxdxdydz,) dxdx

例2 求曲线x2y2z26 xyz0在点(1 2 1)处的切线及法平面方程 

dydz02x2y2zdxdx

解 为求切向量 将所给方程的两边对x求导数 得dy1dz0dxdx切向量为T(1, 解方程组得dyzxdzxy  dxyzdxyzdy0 dz1 dxdx从而T (1 0 1)

所求切线方程为

x1y2z1



101法平面方程为

(x1)0(y2)(z1)0 即xz0

在点(1 2 1)处

二 曲面的切平面与法线

设曲面的方程为

F(x y z)0

M0(x0 y0 z0)是曲面上的一点

并设函数F(x y z)的偏导数在该点连续且不同时为零 在曲面上 通过点M0任意引一条曲线 假定曲线的参数方程式为

x(t) y(t) z(t) tt0对应于点M0(x0 y0 z0) 且(t0) (t0) (t0)不全为零 曲线在点的切向量为

T ((t0) (t0) (t0))

考虑曲面方程F(x y z)0两端在tt0的全导数

Fx(x0 y0 z0)(t0)Fy(x0 y0 z0)(t0)Fz(x0 y0 z0)(t0)0

引入向量

n(Fx(x0 y0 z0) Fy(x0 y0 z0) Fz(x0 y0 z0))

易见T与n是垂直的 因为曲线是曲面上通过点M0的任意一条曲线 它们在点M0的切线都与同一向量n垂直 所以曲面上通过点M0的一切曲线在点M0的切线都在同一个平面上 这个平面称为曲面在点M0的切平面 这切平面的方程式是

Fx(x0 y0 z0)(xx0)Fy(x0 y0 z0)(yy0)Fz(x0 y0 z0)(zz0)0

曲面的法线 通过点M0(x0 y0 z0)而垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线 法线方程为

xx0yy0zz0

Fx(x0, y0, z0)Fy(x0, y0, z0)Fz(x0, y0, z0)

曲面的法向量 垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量 向量

n(Fx(x0 y0 z0) Fy(x0 y0 z0) Fz(x0 y0 z0))就是曲面在点M0处的一个法向量

例3 求球面x2y2z214在点(1 2 3)处的切平面及法线方程式

解

F(x y z) x2y2z214

Fx2x Fy2y  Fz2z 

Fx(1 2 3)2 Fy(1 2 3)4 Fz(1 2 3)6

法向量为n(2 4 6) 或n(1 2 3)

所求切平面方程为

2(x1)4(y2)6(z3)0 即x2y3z140

y2z3法线方程为x1

3讨论 若曲面方程为zf(x y) 问曲面的切平面及法线方程式是什么形式

提示

此时F(x y z)f(x y)z 

n(fx(x0 y0) fy(x0 y0) 1)

例4 求旋转抛物面zx2y21在点(2 1 4)处的切平面及法线方程

解

f(x y)x2y21

n(fx fy 1)(2x 2y 1)

n|(2 1 4)(4 2 1)

所以在点(2 1 4)处的切平面方程为

4(x2)2(y1)(z4)0 即4x2yz60

x2y1z4法线方程为 

421§8 7

方向导数与梯度

一、方向导数

现在我们来讨论函数zf(x y)在一点P沿某一方向的变化率问题

设l是xOy平面上以P0(x0 y0)为始点的一条射线 el(cos  cos )是与l同方向的单位向量 射线l的参数方程为

xx0t cos  yy0t cos (t0)

设函数zf(x y)在点P0(x0 y0)的某一邻域U(P0)内有定义 P(x0t cos  y0t cos )为l上另一点 且PU(P0) 如果函数增量f(x0t cos  y0t cos )f(x0 y0)与P到P0的距离|PP0|t的比值

f(x0tcos, y0tcos)f(x0,y0)

t当P沿着l趋于P0(即tt0)时的极限存在

则称此极限为函数f(x y)在点P0沿方向l的方向导数 记作fl(x0,y0) 即

fl(x0,y0)limt0f(x0tcos, y0tcos)f(x0,y0)

t

从方向导数的定义可知 方向导数

fl(x0,y0)就是函数f(x y)在点P0(x0 y0)处沿方向l的变化率

方向导数的计算

定理

如果函数zf(x y)在点P0(x0 y0)可微分 那么函数在该点沿任一方向l 的方向导数都存在 且有

fl(x0,y0)fx(x0,y0)cosfy(x0,y0)cos

其中cos  cos 是方向l 的方向余弦

简要证明 设xt cos  yt cos  则

f(x0tcos y0tcos)f(x0 y0)f x(x0 y0)tcosf y(x0 y0)tcoso(t)

所以

f(x0tcos, y0tcos)f(x0,y0)

limfx(x0,y0)cosfy(x0,y0)sin

tt0这就证明了方向导数的存在 且其值为

fl(x0,y0)fx(x0,y0)cosfy(x0,y0)cos提示 f(x0x,y0y)f(x0,y0)fx(x0,y0)xfy(x0,y0)yo((x)2(y)2)

xt cos  yt cos (x)2(y)2t

讨论 函数zf(x y)在点P 沿x轴正向和负向

沿y轴正向和负向的方向导数如何? 提示

ff

沿x轴正向时 cos cos0

lxff 沿x轴负向时 cos1 cos0  

lx2y

例1 求函数zxe在点P(1 0)沿从点P(1 0)到点Q(2 1)的方向的方向导数

解 这里方向l即向量PQ(1, 1)的方向 与l同向的单位向量为

el(1, 1)

22 因为函数可微分 且zx所以所求方向导数为

(1,0)e2y1 z(1,0)y(1,0)2xe2y(1,0)2

z112(1)2

l(1,0)22

2对于三元函数f(x y z)来说 它在空间一点P0(x0 y0 z0)沿el(cos  cos  cos )的方向导数为

fl(x0,y0,z0)limt0f(x0tcos, y0tcos,z0tcos)f(x0,y0,z0)

t

如果函数f(x y z)在点(x0 y0 z0)可微分 则函数在该点沿着方向el(cos  cos  cos 的方向导数为

fl(x0,y0,z0)fx(x0 y0 z0)cosfy(x0 y0 z0)cosfz(x0 y0 z0)cos

例2求f(x y z)xyyzzx在点(1 1 2)沿方向l的方向导数 其中l的方向角分别为60 45 60

解 与l同向的单位向量为

el(cos60 cos 45 cos60(1, 2, 1)

222因为函数可微分且

fx(1 1 2)(yz)|(1 1 2)3

fy(1 1 2)(xz)|(1 1 2)3

fz(1 1 2)(yx)|(1 1 2)2 所以

fl3132211(532)

2222(1,1,2)

二 梯度

设函数zf(x y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数 则对于每一点P0(x0 y0)D 都可确定一个向量

fx(x0 y0)ify(x0 y0)j

这向量称为函数f(x y)在点P0(x0 y0)的梯度 记作grad f(x0 y0) 即

grad f(x0 y0) fx(x0 y0)ify(x0 y0)j

梯度与方向导数 

如果函数f(x y)在点P0(x0 y0)可微分 el(cos  cos )是与方向l同方向的单位向量 则

fl(x0,y0)fx(x0,y0)cosfy(x0,y0)cos

 grad f(x0 y0)el

| grad f(x0 y0)|cos(grad f(x0 y0)^ el)

这一关系式表明了函数在一点的梯度与函数在这点的方向导数间的关系 特别 当向量el与grad f(x0 y0)的夹角0 即沿梯度方向时 方向导数

fl取得

(x0,y0)最大值 这个最大值就是梯度的模|grad f(x0 y0)| 这就是说 函数在一点的梯度是个向量 它的方向是函数在这点的方向导数取得最大值的方向 它的模就等于方向导数的最大值

f

讨论 的最大值

l

结论 函数在某点的梯度是这样一个向量 它的方向与取得最大方向导数的方向一致 而它的模为方向导数的最大值

我们知道 一般说来二元函数zf(x y)在几何上表示一个曲面 这曲面被平面zc(c是常数)所截得的曲线L的方程为

zf(x,y)



zc这条曲线L在xOy面上的投影是一条平面曲线L* 它在xOy平面上的方程为

f(x y)c

对于曲线L*上的一切点 已给函数的函数值都是c 所以我们称平面曲线L*为函数zf(x y)的等值线

若f x f y不同时为零 则等值线f(x y)c上任一点P0(x0 y0)处的一个单位法向量为

n1(fx(x0,y0),fy(x0,y0))

22fx(x0,y0)fy(x0,y0)这表明梯度grad f(x0 y0)的方向与等值线上这点的一个法线方向相同 而沿这个方f向的方向导数就等于|grad f(x0 y0)| 于是

nf

grafd(x0,y0)n

n

这一关系式表明了函数在一点的梯度与过这点的等值线、方向导数间的关系 这说是说 函数在一点的梯度方向与等值线在这点的一个法线方向相同 它的指向为从数值较低的等值线指向数值较高的等值线 梯度的模就等于函数在这个法线方向的方向导数

梯度概念可以推广到三元函数的情形 设函数f(x y z)在空间区域G内具有一阶连续偏导数 则对于每一点P0(x0 y0 z0)G 都可定出一个向量

fx(x0 y0 z0)ify(x0 y0 z0)jfz(x0 y0 z0)k

这向量称为函数f(x y z)在点P0(x0 y0 z0)的梯度 记为grad f(x0 y0 z0) 即

grad f(x0 y0 z0)fx(x0 y0 z0)ify(x0 y0 z0)jfz(x0 y0 z0)k

结论 三元函数的梯度也是这样一个向量 它的方向与取得最大方向导数的方向一致 而它的模为方向导数的最大值

如果引进曲面

f(x y z)c

为函数的等量面的概念 则可得函数f(x y z)在点P0(x0 y0 z0)的梯度的方向与过点P0的等量面 f(x y z)c在这点的法线的一个方向相同 且从数值较低的等量面指向数值较高的等量面 而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数

1

x2y2 解 这里f(x,y)212

xy 例3 求grad

因为 ff2y22x22 222

xy(xy)(xy)2y所以

gra d21222x22i222j

xy(xy)(xy)

例4 设f(x y z)x2y2z2 求grad f(1 1 2)

解 grad f(fx fy fz)(2x 2y 2z)

于是

grad f(1 1 2)(2 2 4)

数量场与向量场 如果对于空间区域G内的任一点M 都有一个确定的数量f(M) 则称在这空间区域G内确定了一个数量场(例如温度场、密度场等) 一个数量场可用一个数量函数f(M)来确定 如果与点M相对应的是一个向量F(M) 则称在这空间区域G内确定了一个向量场(例如力场、速度场等) 一个向量场可用一个向量函数F(M)来确定 而

F(M)P(M)iQ(M)jR(M)k

其中P(M) Q(M) R(M)是点M的数量函数

利用场的概念 我们可以说向量函数grad f(M)确定了一个向量场——梯度场 它是由数量场f(M)产生的 通常称函数f(M)为这个向量场的势 而这个向量场又称为势场 必须注意 任意一个向量场不一定是势场 因为它不一定是某个数量函数的梯度场

例5 试求数量场m所产生的梯度场 其中常数m>0

rrx2y2z2为原点O与点M(x y z)间的距离 rmx

解 (m)mxrr2xr3my同理

(m)3 (m)mz 3yrrzrrxiyjzk) 从而

gramdm(rrr2rryzx记erijk 它是与OM同方向的单位向量 则gradmme

rrrrr2r

上式右端在力学上可解释为 位于原点O 而质量为m 质点对位于点M而质量为l的质点的引力 这引力的大小与两质点的质量的乘积成正比、而与它们的距平方成反比 这引力的方向由点M指向原点 因此数量场m的势场即梯度场

rgradm称为引力场 而函数m称为引力势

r

r§88

多元函数的极值及其求法

一、多元函数的极值及最大值、最小值

定义

设函数zf(x y)在点(x0 y0)的某个邻域内有定义 如果对于该邻域内任何异于(x0 y0)的点(x y) 都有

f(x y)f(x0 y0))

则称函数在点(x0 y0)有极大值(或极小值)f(x0 y0)

极大值、极小值统称为极值 使函数取得极值的点称为极值点

例1 函数z3x24y2在点(0 0)处有极小值



当(x y)(0 0)时 z0 而当(x y)(0 0)时 z0 因此z0是函数的极小值

例2 函数zx2y2在点(0 0)处有极大值



当(x y)(0 0)时 z0 而当(x y)(0 0)时 z0 因此z0是函数的极大值

例3 函数zxy在点(0 0)处既不取得极大值也不取得极小值



因为在点(0 0)处的函数值为零 而在点(0 0)的任一邻域内 总有使函数值为正的点 也有使函数值为负的点

以上关于二元函数的极值概念 可推广到n元函数

设n元函数uf(P)在点P0的某一邻域内有定义 如果对于该邻域内任何异于P0的点P 都有

f(P)f(P 0))

则称函数f(P)在点P0有极大值(或极小值)f(P0)

定理1(必要条件)设函数zf(x y)在点(x0 y0)具有偏导数 且在点(x0 y0)处有极值 则有

fx(x0 y0)0 fy(x0 y0)0

证明 不妨设zf(x y)在点(x0 y0)处有极大值 依极大值的定义 对于点(x0 y0)的某邻域内异于(x0 y0)的点(x y) 都有不等式

f(x y)

特殊地 在该邻域内取yy0而xx0的点 也应有不等式

f(x y0)

这表明一元函数f(x y0)在xx0处取得极大值 因而必有

fx(x0 y0)0

类似地可证

fy(x0 y0)0

从几何上看 这时如果曲面zf(x y)在点(x0 y0 z0)处有切平面 则切平面

zz0fx(x0 y0)(xx0) fy(x0 y0)(yy0)成为平行于xOy坐标面的平面zz0

类似地可推得 如果三元函数uf(x y z)在点(x0 y0 z0)具有偏导数 则它在点(x0 y0 z0)具有极值的必要条件为

fx(x0 y0 z0)0 fy(x0 y0 z0)0 fz(x0 y0 z0)0

仿照一元函数 凡是能使fx(x y)0 fy(x y)0同时成立的点(x0 y0)称为函数zf(x y)的驻点

从定理1可知 具有偏导数的函数的极值点必定是驻点 但函数的驻点不一定是极值点



例如 函数zxy在点(0 0)处的两个偏导数都是零 函数在(0 0)既不取得极大值也不取得极小值



定理2(充分条件)

设函数zf(x y)在点(x0 y0)的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数 又fx(x0 y0)0 fy(x0 y0)0 令

fxx(x0 y0)A fxy(x0 y0)B fyy(x0 y0)C

则f(x y)在(x0 y0)处是否取得极值的条件如下

(1)ACB2>0时具有极值 且当A<0时有极大值 当A>0时有极小值

(2)ACB2<0时没有极值

(3)ACB20时可能有极值 也可能没有极值



在函数f(x y)的驻点处如果 fxx fyyfxy2>0 则函数具有极值 且当fxx<0时有极大值 当fxx>0时有极小值

极值的求法

第一步 解方程组

fx(x y)0 fy(x y)0

求得一切实数解 即可得一切驻点

第二步 对于每一个驻点(x0 y0) 求出二阶偏导数的值A、B和C

第三步 定出ACB2的符号 按定理2的结论判定f(x0 y0)是否是极值、是极大值 还是极小值

例4 求函数f(x y)x3y33x23y29x 的极值

fx(x,y)3x26x90 解 解方程组

2f(x,y)3y6y0y求得x1 3 y0 2 于是得驻点为(1 0)、(1 2)、(3 0)、(3 2)

再求出二阶偏导数

fxx(x y)6x6 fxy(x y)0 fyy(x y)6y6

在点(1 0)处 ACB2126>0 又A>0 所以函数在(1 0)处有极小值f(1 0)5

在点(1 2)处 ACB212(6)<0 所以f(1 2)不是极值

在点(3 0)处 ACB2126<0 所以f(3 0)不是极值

在点(3 2)处 ACB212(6)>0 又A<0 所以函数的(3 2)处有极大值 f(3 2)31

应注意的问题

不是驻点也可能是极值点

例如  函数zx2y2在点(0 0)处有极大值 但(0 0)不是函数的驻点 因此 在考虑函数的极值问题时 除了考虑函数的驻点外 如果有偏导数不存在的点 那么对这些点也应当考虑

最大值和最小值问题 如果f(x y)在有界闭区域D上连续 则f(x y)在D上必定能取得最大值和最小值 这种使函数取得最大值或最小值的点既可能在D的内部 也可能在D的边界上 我们假定 函数在D上连续、在D内可微分且只有有限个驻点 这时如果函数在D的内部取得最大值(最小值) 那么这个最大值(最小值)也是函数的极大值(极小值) 因此 求最大值和最小值的一般方法是 将函数f(x y)在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较 其中最大的就是最大值 最小的就是最小值 在通常遇到的实际问题中 如果根据问题的性质 知道函数f(x y)的最大值(最小值)一定在D的内部取得 而函数在D内只有一个驻点 那么可以肯定该驻点处的函数值就是函数f(x y)在D上的最大值(最小值)

例5 某厂要用铁板做成一个体积为8m3的有盖长方体水箱 问当长、宽、高各取多少时 才能使用料最省

8解 设水箱的长为xm 宽为ym 则其高应为m 此水箱所用材料的面积为

xyA2(xyy8x8)2(xy88)(x0, y0)

xyxyxy8)0 得x2 y2

A2(x令Ax2(y8)0yy2x

2根据题意可知 水箱所用材料面积的最小值一定存在 并在开区域D{(x y)|x>0 y>0}内取得 因为函数A在D内只有一个驻点 所以 此驻点一定是A的最小值点 即当水箱的长为2m、宽为2m、高为82m时 水箱所用的材料最省



22 因此A在D内的唯一驻点(2 2)处取得最小值 即长为2m、宽为2m、高为82m时 所用材料最省 

2从这个例子还可看出

在体积一定的长方体中 以立方体的表面积为最小

例6 有一宽为24cm的长方形铁板 把它两边折起来做成一断面为等腰梯形的水槽 问怎样折法才能使断面的面积最大？

解 设折起来的边长为xcm 倾角为 那末梯形断面的下底长为242x 上底长为242xcos 高为xsin 所以断面面积

A1(242x2xcos242x)xsin

2即A24xsin2x2sinx2sin cos(0

可见断面面积A是x和的二元函数 这就是目标函数 面求使这函数取得最大值的点(x )

令Ax24sin4xsin2xsin cos0

A24xcos2x2 cosx2(cos2sin2)0

由于sin 0 x0 上述方程组可化为

122xxcos0



2224cos2xcosx(cossin)0解这方程组 得60 x8cm

根据题意可知断面面积的最大值一定存在 并且在D{(x y)|0

二、条件极值

拉格朗日乘数法

对自变量有附加条件的极值称为条件极值

例如 求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积问题 设长方体的三棱的长为x y z 则体积Vxyz 又因假定表面积为a2 所以自变量x y z还必须满足附加条件2(xyyzxz)a2



这个问题就是求函数Vxyz在条件2(xyyzxz)a2下的最大值问题 这是一个条件极值问题

对于有些实际问题 可以把条件极值问题化为无条件极值问题



例如上述问题 由条件2(xyyzxz)a2 解得za2xy 于是得

2(xy)2

Vxy(a2xy)

2(xy)只需求V的无条件极值问题

在很多情形下 将条件极值化为无条件极值并不容易 需要另一种求条件极值的专用方法 这就是拉格朗日乘数法

现在我们来寻求函数zf(x y)在条件(x y)0下取得极值的必要条件

如果函数zf(x y)在(x0 y0)取得所求的极值 那么有

(x0 y0)0

假定在(x0 y0)的某一邻域内f(x y)与(x y)均有连续的一阶偏导数 而y(x0 y0)0

由隐函数存在定理 由方程(x y)0确定一个连续且具有连续导数的函数y(x) 将其代入目标函数zf(x y) 得一元函数

zf [x (x)]

于是xx0是一元函数zf [x (x)]的极值点 由取得极值的必要条件 有

dy0

dzxx0fx(x0,y0)fy(x0,y0)dxdxxx0即

fx(x0,y0)fy(x0,y0)x(x0,y0)0

y(x0,y0)从而函数zf(x y)在条件(x y)0下在(x0 y0)取得极值的必要条件是

fx(x0,y0)fy(x0,y0)x(x0,y0)0与(x0 y0)0同时成立

y(x0,y0)fy(x0,y0)

设 上述必要条件变为

y(x0,y0)fx(x0,y0)x(x0,y0)0

fy(x0,y0)y(x0,y0)0

(x0,y0)0

拉格朗日乘数法 要找函数zf(x y)在条件(x y)0下的可能极值点 可以先构成辅助函数

F(x y)f(x y)(x y)

其中为某一常数

然后解方程组

Fx(x,y)fx(x,y)x(x,y)0

Fy(x,y)fy(x,y)y(x,y)0

(x,y)0由这方程组解出x y及 则其中(x y)就是所要求的可能的极值点

这种方法可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形

至于如何确定所求的点是否是极值点 在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定

例7 求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积

解 设长方体的三棱的长为x y z 则问题就是在条件

2(xyyzxz)a2

下求函数Vxyz的最大值

构成辅助函数

F(x y z)xyz(2xy 2yz 2xz a2)

解方程组

Fx(x,y,z)yz2(yz)0Fy(x,y,z)xz2(xz)0F(x,y,z)xy2(yx)0

z22xy2yz2xza得xyz6a

6这是唯一可能的极值点

因为由问题本身可知最大值一定存在 所以最大值就在这个可能的值点处取得 此时V6a3

第三篇：高等数学教案ch 8.2 偏导数

§82

偏导数

一、偏导数的定义及其计算法

对于二元函数zf(x y) 如果只有自变量x 变化 而自变量y固定 这时它就是x的一元函数 这函数对x的导数 就称为二元函数zf(x y)对于x的偏导数

定义

设函数zf(x y)在点(x0 y0)的某一邻域内有定义 当y固定在y0而x在x0处有增量x时 相应地函数有增量

f(x0x y0)f(x0 y0)

如果极限

limx0f(x0x,y0)f(x0,y0)x

存在 则称此极限为函数zf(x y)在点(x0 y0)处对x的偏导数 记作

zxxx0yy0

fxxx0yy0 zxxx0yy0 或fx(x0,y0)

例如：

fx(x0,y0)limf(x0x,y0)f(x0,y0)xx0

类似地 函数zf(x y)在点(x0 y0)处对y 的偏导数定义为

limy0f(x0,y0y)f(x0,y0)y

记作 zyxx0yy0 fyxx0yy0 zyxx0yy0 或fy(x0 y0)

偏导函数

如果函数zf(x y)在区域D内每一点(x y)处对x的偏导数都存在 那么这个偏导数就是x、y的函数 它就称为函数zf(x y)对自变量x的偏导函数 记作

zx

fx zx 或fx(x,y)

偏导函数的定义式 fx(x,y)limx0f(xx,y)f(x,y)

x

类似地 可定义函数zf(x y)对y的偏导函数 记为

zy fy zy  或fy(x,y)

偏导函数的定义式 fy(x,y)lim求fxy0f(x,yy)f(x,y)y

fy时 只要把y暂时看作常量而对x求导数 求时 只要把x暂时看作常量而对y求导数

讨论 下列求偏导数的方法是否正确？

fx(x0,y0)fx(x,y)xx0 fy(x0,y0)fy(x,y)xx0 yy0yy0

fx(x0,y0)[df(x,y0)]xx fy(x0,y0)[df(x0,y)]yy

dx0dy0

偏导数的概念还可推广到二元以上的函数例如三元函数uf(x y z)在点(x y z)处对x的偏导数定义为

fx(x,y,z)limx0f(xx,y,z)f(x,y,z)

x其中(x y z)是函数uf(x y z)的定义域的内点 它们的求法也仍旧是一元函数的微分法问题

例1 求zx23xyy2在点(1 2)处的偏导数

zz3x2y

解 z2x3y

xyxx121328 y2zyx1y231227

例2 求zx2sin 2y的偏导数

z2x2cos2y

解 z2xsin2y

xy 例3 设zxy(x0,x1) 求证

zxylnx

证 zyxy1

xz1z2zyxlnxy

xy

xz1zxyxyxlnxyyy11xylnxxyxy2zlnx

例4 求rx2y2z2的偏导数

解 rxxxyz222xr ryyxyz222yr

例5 已知理想气体的状态方程为pV=RT(R为常数) 

求证 pVT1

VTppRT 证 因为pRT 2 VVV

VRT VR

pTp

T所以pV TV

pRRpVTRTRVRT21

VTppRpVV

例5 说明的问题 偏导数的记号是一个整体记号 不能看作分子分母之商

二元函数zf(x y)在点(x0 y0)的偏导数的几何意义 

fx(x0 y0)[f(x y0)]x是截线zf(x y0)在点M0处切线Tx对x轴的斜率

fy(x0 y0)[f(x0 y)]y是截线zf(x0 y)在点M0处切线Ty对y轴的斜率

偏导数与连续性 对于多元函数来说 即使各偏导数在某点都存在 也不能保证函数在该点连续 例如

xy22 x y0 f(x,y)xy2

2 200 x  y在点(0 0)有 fx(0 0)0 fy(0 0)0 但函数在点(0 0)并不连续

提示

f(x, 0)0 f(0, y)0

d

fx(0, 0)d[f(x, 0)]0 fy(0, 0)[f(0, y)]0

dxdy

当点P(x y)沿x轴趋于点(0 0)时 有

lim(x,y)(0,0)f(x,y)limf(x, 0)lim00

x0x0

当点P(x y)沿直线ykx趋于点(0 0)时 有

lim(x,y)(0,0)ykxkx2klim22222x0xkxxy1k2xy 

因此 lim(x,y)(0,0)f(x,y)不存在 故函数f(x y)在(0 0)处不连续

类似地 可定义函数zf(x y)对y的偏导函数 记为

f

z  zy  或fy(x,y)

yy偏导函数的定义式 fy(x,y)lim

二

高阶偏导数

y0f(x,yy)f(x,y)y

设函数zf(x y)在区域D内具有偏导数

zfx(x,y) x

zfy(x,y) y

那么在D内fx(x y)、fy(x y)都是x y 的函数 如果这两个函数的偏导数也存在 则称它们是函数zf(x y)的二偏导数 按照对变量求导次序的为同有下列四个二阶偏导数

如果函数zf(x y)在区域D内的偏导数fx(x y)、fy(x y)也具有偏导数

则它们的偏导数称为函数zf(x y)的二阶偏导数 按照对变量求导次序的 不同有下列四个二阶偏导数

z2zz2z()fxy(x,y)()2fxx(x,y)

yxxyxxx

z2zz2z()fyx(x,y)

()2fyy(x,y)

xyyxyyy

z2zz2zfxy(x,y)()fyx(x,y)称为混合偏导数 其中()yxxyxyyxz2z()2xxx2z2zz2z()()   (z)z

2yxxyxyyxyyy 同样可得三阶、四阶、以及n 阶偏导数  二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数

例6 设zxy3xyxy1 32

32z求2x3z、3x2z2z、和

yxxy

解 z3x2y23y3y z2x3y9xy2x

xy23z2

z 6xy6y2

32xx2z2z22

6xy9y1 6x2y9y21 xyyx

2z2z由例6观察到的问题

yxxy2z2z

定理 如果函数zf(x y)的两个二阶混合偏导数及在区域D内连续

yxxy那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等

类似地可定义二元以上函数的高阶偏导数

22z 例7 验证函数zlnx2y2满足方程z0

22xy 证 因为zlnx2y21ln(x2y2) 所以

zxxx2y2 zyyxy22

22y2x22z(xy)x2x2x2(x2y2)2(xy2)2

22x2y22z(xy)y2y2y2(x2y2)2(xy2)2

x2y2y2x22z2z因此 222222220

xy(xy)(xy)

例8．证明函数u1r2u2u2u满足方程2220

xyz 其中rx2y2z2

证 u12r12xx3

xrxrrr

同理

2u13xr13x23435x2rrxrr

2u13y523yrr2213z2 u5

23zrr22u2u2u13x213y13z2因此222(35)(35)(35)xyzrrrrrr22233(xyz)33r23350rr5rr



2x提示 u()23xxrr3x3r(r)r3x3r2xx

66rr

第四篇：高等数学教案ch 9 重积分

第九章

重积分

教学目的：

1、理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，知道二重积分的中值定理。

2、掌握二重积分的（直角坐标、极坐标）计算方法。

3、掌握计算三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算方法。

4、会用重积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、重心、转动惯量、引力等）。教学重点：

1、二重积分的计算（直角坐标、极坐标）；

2、三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算。

3、二、三重积分的几何应用及物理应用。教学难点：

1、利用极坐标计算二重积分；

2、利用球坐标计算三重积分；

3、物理应用中的引力问题。

§9 1 二重积分的概念与性质 一、二重积分的概念

1 曲顶柱体的体积

设有一立体 它的底是xOy面上的闭区域D 它的侧面是以D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面 它的顶是曲面zf(x y) 这里f(x y)0且在D上连续 这种立体叫做曲顶柱体 现在我们来讨论如何计算曲顶柱体的体积

首先 用一组曲线网把D分成n个小区域：

 1  2      n 

分别以这些小闭区域的边界曲线为准线 作母线平行于z轴的柱面 这些柱面把原来的曲顶柱体分为n个细曲顶柱体 在每个 i中任取一点( i   i) 以f( i   i)为 高而底为 i的平顶柱体的体积为 ： f( i   i)i(i1 2     n)

这个平顶柱体体积之和：Vf(i,i)i

i1n可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值 为求得曲顶柱体体积的精确值 将分割加密 只需取极限 即 Vlimf(i,i)i

0i1n其中是个小区域的直径中的最大值

2平面薄片的质量

设有一平面薄片占有xOy面上的闭区域D 它在点(x y)处的面密度为(x y) 这里(x y)0且在D上连续 现在要计算该薄片的质量M

用一组曲线网把D分成n个小区域

 1  2      n 

把各小块的质量近似地看作均匀薄片的质量

( i   i) i 

各小块质量的和作为平面薄片的质量的近似值 M(i,i)i

i1nn

将分割加细 取极限 得到平面薄片的质量Mlim(i,i)i

0i1其中是个小区域的直径中的最大值

定义 设f(x y)是有界闭区域D上的有界函数 将闭区域D任意分成n个小闭区域

 1  2      n 

其中 i表示第i个小区域 也表示它的面积 在每个 i上任取一点( i i) 作和

ni1f(i,i)i

如果当各小闭区域的直径中的最大值趋于零时 这和的极限总存在 则称此极限为函数f(x y)在闭区域D上的二重积分 记作f(x,y)d 即

DDf(x,y)dlim0i1f(i,i)i

nf(x y)被积函数 f(x y)d被积表达式 d面积元素 x y积分变量 D积分区域 积分和

直角坐标系中的面积元素

如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分D 那么除了包含边界点的一些小闭区域外 其余的小闭区域都是矩形闭区域 设矩形闭区域i的边长为xi和yi 则ixiyi 因此在直角坐标系中 有时也把面积元素d 记作dxdy 而把二重积分记作

Df(x,y)dxdy

其中dxdy叫做直角坐标系中的面积元素

二重积分的存在性 当f(x y)在闭区域D上连续时 积分和的极限是存在的

也就是说函数f(x y)在D上的二重积分必定存在 我们总假定函数f(x y)在闭区域D上连续 所以f(x y)在D上的二重积分都是存在的

二重积分的几何意义 如果f(x y)0 被积函数f(x y)可解释为曲顶柱体的在点(x y)处的竖坐标 所以二重积分的几何意义就是柱体的体积 如果f(x y)是负的 柱体就在xOy 面的下方 二重积分的绝对值仍等于柱体的体积 但二重积分的值是负的

二

二重积分的性质

性质1 设c1、c2为常数 则

[c1f(x,y)c2g(x,y)]dDc1f(x,y)dc2g(x,y)dDD

性质2如果闭区域D被有限条曲线分为有限个部分闭区域 则在D上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和 例如D分为两个闭区域D1与D2 则

Df(x,y)df(x,y)df(x,y)d

D1D

2性质3 1dd(为D的面积)

DD

性质4 如果在D上 f(x y)g(x y) 则有不等式

Df(x,y)dg(x,y)dD

特殊地

|f(x,y)d||f(x,y)|d

DD

性质5 设M、m分别是f(x y)在闭区域D上的最大值和最小值 为D的面积 则有

mDf(x,y)dM

性质6(二重积分的中值定理)设函数f(x y)在闭区域D上连续  为D的面积 则在D上至少存在一点( )使得

Df(x,y)df(,)

§9 2 二重积分的计算法

一、利用直角坐标计算二重积分

X型区域

D 

1(x)y2(x) axb 

Y 型区域

D 

1(x)y2(x) cyd 

混合型区域

设f(x y)0

D{(x y)| 1(x)y2(x) axb}

此时二重积分f(x,y)d在几何上表示以曲面zf(x y)为顶 以区域D为底的D曲顶柱体的体积

对于x0[a b]

曲顶柱体在xx0的截面面积为以区间[1(x0) 2(x0)]为底、以曲线zf(x0 y)为曲边的曲边梯形 所以这截面的面积为

A(x0)2(x0)1(x0)f(x0,y)dy

根据平行截面面积为已知的立体体积的方法 得曲顶柱体体积为

VA(x)dx[aabb2(x)1(x)f(x,y)dy]dx

即

Vf(x,y)d[Dab2(x)1(x)f(x,y)dy]dx

可记为

Df(x,y)ddxab2(x)1(x)f(x,y)dy

类似地 如果区域D为Y 型区域

D  1(x)y2(x) cyd 

则有

Df(x,y)ddycd2(y)1(y)f(x,y)dx

例1 计算xyd 其中D是由直线y

1、x2及yx所围成的闭区域

D

解 画出区域D

解法1

可把D看成是X型区域 1x2 1yx  于是

xydD21[xydy]dx1x21y2x1x4x22912]1[x]1dx(x3x)dx[2212428x2x

注 积分还可以写成xyddxxydyxdxydy

D1111

2解法2 也可把D看成是Y型区域 1y2 yx2  于是

xydD21[xydx]dyy2212y3y429x222[y]ydy(2y)dy[y]112288

例2 计算y1x2y2d 其中D是由直线y

1、x1及yx所围成的闭区D域

解

画出区域D 可把D看成是X型区域 1x1 xy1 于是

D1111y1xyddxy1xydy[(1x2y2)2]1dx(|x|31)dx x1x3131222211 2(x31)dx1

301

2也可D看成是Y型区域：1y1 1x

yD1xydydy12211y1x2y2dx

例3 计算xyd 其中D是由直线yx2及抛物线y2x所围成的闭区域

D

解 积分区域可以表示为DD1+D2

其中D1: 0x1, xyx D2: 1x4, 2yx 于是 Dxyddx01xxxydydx14xx2xydy

积分区域也可以表示为D 1y2 y2xy2 于是

Dxyddy12y2y2xydx[121x2y2y]y2dy221[y(y2)22y5]dy

4y621y4352[y2y]1524368

讨论积分次序的选择

例

4求两个底圆半径都等于的直交圆柱面所围成的立体的体积

解

设这两个圆柱面的方程分别为

x2y2 2及x2z2 2

利用立体关于坐标平面的对称性 只要算出它在第一卦限部分的体积V1 然后再乘以8就行了

第一卦限部分是以D{(x y)| 0yR2x2, 0x}为底 以zR2x2顶的曲顶柱体 于是

V8Rxd8dx220RR2x20R2x2dy8[R2x2y]0R0R2x2dx

D

8(R2x2)dx16R3

0R3

二

利用极坐标计算二重积分

有些二重积分 积分区域D 的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便 且被积函数用极坐标变量、 表达比较简单

这时我们就可以考虑利用极坐标来计算二重积分f(x,y)d

Dn按二重积分的定义f(x,y)dlimD0i1f(i,i)i

下面我们来研究这个和的极限在极坐标系中的形式

以从极点O出发的一族射线及以极点为中心的一族同心圆构成的网将区域D分为n个小闭区域 小闭区域的面积为

i1(ii)2i1i2i1(2ii)ii i(ii)2iiiii

其中i表示相邻两圆弧的半径的平均值

在i内取点(i , i) 设其直角坐标为( i  i)

则有 ii cosi ii sini

nn于是 lim即

0i1f(i,i)ilim0i1f(i cosi,i sini)i ii

Df(x,y)ds,sin)dd

f(coD若积分区域D可表示为

 1() 2()



则

Df(cos,sin)ddd2()1()f(cos,sin)d

讨论如何确定积分限?

Df(cos,sin)ddd()0f(cos,sin)d

Df(cos,sin)dd220d()0f(cos,sin)d

例5 计算exDy2dxdy 其中D是由中心在原点、半径为a 的圆周所围成的闭区域

解

在极坐标系中 闭区域D可表示为

0a  0 2  于是 xeD2y2dxdyeddD220[ed]d 0a220[12ae]0d 2221a(1e)d(1ea)

02

注 此处积分exD2y2dxdy也常写成x2y2a2xe2y2dxdy

利用x2y2a2ex2y2dxdy(1ea2)计算广义积分 0exdx

2设D1{(x y)|x2y2R2 x0 y0}

D2{(x y)|x2y22R2 x0 y0}

S{(x y)|0xR 0yR}

显然D1SD2 由于ex

xeD122y20 从则在这些闭区域上的二重积分之间有不等式

2y2dxdyexSy2dxdyexD22y2dxdy

因为

xeS2y2dxdyexdxeydy(exdx)2

000R2R2R2又应用上面已得的结果有

xeD12y2dxdy4(1eR)2

xeD22y2dxdy4(1e2R)

2于是上面的不等式可写成(1eR)(exdx)2(1e2R)

2R22404令R 上式两端趋于同一极限

4 从而exdx

2 02

例6 求球体x2y2z24a2被圆柱面x2y22ax所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积

解

由对称性 立体体积为第一卦限部分的四倍

V44a2x2y2dxdy

D其中D为半圆周y2axx2及x轴所围成的闭区域

在极坐标系中D可表示为

02a cos  0 

2于是

V44a22dd42dD02acos04a22d

32a22(1sin3)d32a2(2)

0332§93

三重积分 一、三重积分的概念

定义 设f(x y z)是空间有界闭区域上的有界函数 将任意分成n个小闭区域

v1 v2     vn

其中vi表示第i个小闭区域 也表示它的体积 在每个vi上任取一点(i i i) 作乘积f( i  i  i)vi(i1 2    n)并作和f(i,i,i)vi 如果当各小闭区域的直径

i1n中的最大值趋于零时

这和的极限总存在

则称此极限为函数f(x y z)在闭区域上的三重积分 记作f(x,y,z)dv

即



f(x,y,z)dvlim0i1f(i,i,i)vi

n

三重积分中的有关术语

——积分号

f(x y z)——被积函数

f(x y z)dv

——被积表达式

dv体积元素

x y z——积分变量

——积分区域

在直角坐标系中 如果用平行于坐标面的平面来划分 则vixi yizi  因此也把体积元素记为dv dxdydz 三重积分记作

f(x,y,z)dvf(x,y,z)dxdydz

当函数f(x y z)在闭区域上连续时 极限limf(i,i,i)vi是存在的

0i1n因此f(x y z)在上的三重积分是存在的 以后也总假定f(x y z)在闭区域上是连续的

三重积分的性质 与二重积分类似

比如

[c1f(x,y,z)c2g(x,y,z)]dvc1f(x,y,z)dvc2g(x,y,z)dv

f(x,y,z)dvf(x,y,z)dvf(x,y,z)dv

1212dvV 其中V为区域的体积 二、三重积分的计算

1 利用直角坐标计算三重积分

三重积分的计算 三重积分也可化为三次积分来计算 设空间闭区域可表为

z1(x y)zz2(x y) y1(x)yy2(x) axb

则

f(x,y,z)dv[Dz2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz]d

dxaby2(x)y1(x)y2(x)y1(x)[z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz]dy f(x,y,z)dz

f(x,y,z)dz

dxabdyz2(x,y)z1(x,y)即 f(x,y,z)dvadxy(x)1by2(x)dyz2(x,y)z1(x,y)其中D : y1(x) y y2(x) axb 它是闭区域在xOy面上的投影区域

提示

设空间闭区域可表为

z1(x y)zz2(x y) y1(x)yy2(x) axb

计算f(x,y,z)dv

基本思想

对于平面区域D

y1(x)yy2(x) axb内任意一点(x y) 将f(x y z)只看作z的函数 在区间[z1(x y)

z2(x y)]上对z积分 得到一个二元函数F(x y)

F(x,y)三重积分

z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz

然后计算F(x y)在闭区域D上的二重积分 这就完成了f(x y z)在空间闭区域上的 DF(x,y)d[Dz2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz]ddxaby2(x)y1(x)[z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz]dy

则 f(x,y,z)dv[Dz2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz]d

dxaby2(x)y1(x)y2(x)y1(x)[z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz]dy f(x,y,z)dz

dxabdyz2(x,y)z1(x,y)即

f(x,y,z)dvdxaby2(x)y1(x)dyz2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz

其中D : y1(x) y y2(x) axb 它是闭区域在xOy面上的投影区域

例1 计算三重积分xdxdydz 其中为三个坐标面及平面x2yz1所围成的闭区域

解 作图 区域可表示为:

0z1x2y 0y1(1x) 0x1

2于是

xdxdydz dx0111x20dy1x2y0xdz

xdx01x20(1x2y)dy2

140(x2x1x3)dx1

讨论 其它类型区域呢?

有时 我们计算一个三重积分也可以化为先计算一个二重积分、再计算一个定积分 设空间闭区域{(x y z)|(x y)Dz c1 zc2} 其中Dz是竖坐标为z 的平面截空间闭区域所得到的一个平面闭区域 则有

f(x,y,z)dvdzf(x,y,z)dxdy

c1Dzc

2例2 计算三重积分zdxdydz

222x2y其中是由椭球面22z21所围成的空

abc间闭区域

解 空间区域可表为: 22y2

x221z2 c zc

abc于是

c2cz2dxdydz z2dzdxdyab(1z)z2dz4abc3

2cDzcc1

5练习

1 将三重积分If(x,y,z)dxdydz化为三次积分 其中



(1)是由曲面z1x2y2 z0所围成的闭区域

(2)是双曲抛物面xyz及平面xy10 z0所围成的闭区域

(3)其中是由曲面zx22y2及z2x2所围成的闭区域

2 将三重积分If(x,y,z)dxdydz化为先进行二重积分再进行定积分的形式

其中由曲面z1x2y2 z0所围成的闭区域

2 利用柱面坐标计算三重积分

设M(x y z)为空间内一点 并设点M在xOy面上的投影P 的极坐标为P( ) 则这样的三个数、、z就叫做点M的柱面坐标 这里规定、、z的变化范围为

0< 0 2  

坐标面0   0 zz0的意义

点M 的直角坐标与柱面坐标的关系

xcos ysin zz 

xcosysinzz

柱面坐标系中的体积元素 dvdddz

简单来说 dxdydd  dxdydzdxdydzdd dz

柱面坐标系中的三重积分

f(x,y,z)dxdydzf(cos,sin,z)dddz



例3 利用柱面坐标计算三重积分zdxdydz 其中是由曲面zx2y2与平面z4所围成的闭区域

解 闭区域可表示为

2z4 02 02

于是

zdxdydzzdddz2

42

2ddzdz1d(164)d

00222006 12[8216]2

026

33 利用球面坐标计算三重积分

设M(x y z)为空间内一点 则点M也可用这样三个有次序的数r、、 来确定 其中

r为原点O与点M间的距离 为OM与z轴正向所夹的角 为从正z轴来看自x轴按逆时针方向转到有向线段OP的角 这里P为点M在xOy面上的投影 这样的三个数r、、 叫做点M的球面坐标 这里r、、 的变化范围为

0r< 0< 0 2

坐标面rr0 0 0的意义

点M的直角坐标与球面坐标的关系

xrsincos yrsinsin zrcos 

xrsincosyrsinsinzrcos

球面坐标系中的体积元素

dvr2sindrdd 

球面坐标系中的三重积分

f(x,y,z)dvf(rsincos,rsinsin,rcos)r2sindrdd

例4 求半径为a的球面与半顶角为的内接锥面所围成的立体的体积

解 该立体所占区域可表示为

0r2acos 0 02

于是所求立体的体积为

Vdxdydzrsindrdddd222acos000r2sindr

2sind02acos0r2dr

16a3304a34cossind(1cosa)

提示 球面的方程为x2y2(za)2a2 即x2y2z22az 在球面坐标下此球面的方程为r22arcos 即r2acos

§9 4 重积分的应用

元素法的推广

有许多求总量的问题可以用定积分的元素法来处理 这种元素法也可推广到二重积分的应用中 如果所要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性(就是说 当闭区域D分成许多小闭区域时 所求量U相应地分成许多部分量 且U等于部分量之和) 并且在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域d时 相应的部分量可近似地表示为f(x y)d 的形式 其中(x y)在d内 则称f(x y)d 为所求量U的元素 记为dU 以它为被积表达式 在闭区域D上积分

Uf(x,y)d

D这就是所求量的积分表达式

一、曲面的面积

设曲面S由方程 zf(x y)给出 D为曲面S在xOy面上的投影区域 函数f(x y)在D上具有连续偏导数fx(x y)和fy(x y) 现求曲面的面积A 

在区域D内任取一点P(x y) 并在区域D内取一包含点P(x y)的小闭区域d 其面积也记为d 在曲面S上点M(x y f(x y))处做曲面S的切平面T 再做以小区域d的边界曲线为准线、母线平行于z轴的柱面 将含于柱面内的小块切平面的面积作为含于柱面内的小块曲面面积的近似值 记为dA 又设切平面T的法向量与z轴所成的角为  则

d1fx2(x,y)fy2(x,y)d

dAcos这就是曲面S的面积元素

于是曲面S 的面积为

A1fx2(x,y)fy2(x,y)d

D或

A1(z)2(z)2dxdy

Dxy

设dA为曲面S上点M处的面积元素 dA在xOy面上的投影为小闭区域d M在xOy面上的投影为点P(x y) 因为曲面上点M处的法向量为n(fx fy 1) 所以

dA|n|d1fx2(x,y)fy2(x,y)d

提示 dA与xOy面的夹角为(n^ k) dAcos(n^ k)d

nk|n|cos(n^ k)1 cos(n^ k)|n|1

讨论 若曲面方程为xg(y z)或yh(z x) 则曲面的面积如何求？

ADyz1(x2x)()2dydzyzyx

或

A1(Dzxyz)2()2dzdx

其中Dyz是曲面在yOz面上的投影区域

Dzx是曲面在zOx面上的投影区域

例1 求半径为R的球的表面积

解 上半球面方程为zR2x2y2 x2y2R2

因为z对x和对y的偏导数在D x2y2R2上无界 所以上半球面面积不能直接求出 因此先求在区域D1 x2y2a2(aR)上的部分球面面积 然后取极限

x2y2a2RRxy222dxdyR02dardrRr220

2R(RR2a2)

于是上半球面面积为lim2R(RR2a2)2R2

aR整个球面面积为

A2A14R2

提示

zxxRxy222 zyyRxy222 1(z)2(z)2xyRRxy222

解 球面的面积A为上半球面面积的两倍

上半球面的方程为zR2x2y2 而

zxxRxy222 zyyRxy222

所以

A2x2y2R21(z2z2)()xyR2R

2x2y2R2R2x2y2R0dxdy2R0ddR220

4RR22 4R2

例2设有一颗地球同步轨道通讯卫星 距地面的高度为h36000km 运行的角速度与地球自转的角速度相同 试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比值(地球半径R6400km)

解 取地心为坐标原点 地心到通讯卫星中心的连线为z轴 建立坐标系

通讯卫星覆盖的曲面是上半球面被半顶角为的圆锥面所截得的部分 的方程为

zR2x2y2 x2y2R2sin2

于是通讯卫星的覆盖面积为

ADxy1(z2z2)()dxdyxyDxyRRxy222dxdy

其中Dxy{(x y)| x2y2R2sin2}是曲面在xOy面上的投影区域

利用极坐标 得

Ad02RsinRR220d2RRsinR220d2R2(1cos)

由于cosR 代入上式得

Rh

A2R2(1R)2R2hRhRh

由此得这颗通讯卫星的覆盖面积与地球表面积之比为 Ah36106

42.5%

4R22(Rh)2(366.4)106

由以上结果可知 卫星覆盖了全球三分之一以上的面积 故使用三颗相隔23角度的通讯卫星就可以覆盖几乎地球全部表面

二、质心

设有一平面薄片 占有xOy 面上的闭区域D 在点P(x y)处的面密度为(x y) 假定(x y)在D上连续 现在要求该薄片的质心坐标

在闭区域D上任取一点P(x y) 及包含点P(x y)的一直径很小的闭区域d(其面积也记为d) 则平面薄片对x轴和对y轴的力矩(仅考虑大小)元素分别为

dMxy(x y)d dMyx(x y)d

平面薄片对x轴和对y轴的力矩分别为

Mxy(x,y)d Myx(x,y)d

DD

设平面薄片的质心坐标为(x, y)平面薄片的质量为M 则有

xMMy yMMx 

于是

xMMyx(x,y)dD(x,y)dD yMxMy(x,y)dD(x,y)dD

在闭区域D上任取包含点P(x y)小的闭区域d(其面积也记为d) 则

平面薄片对x轴和对y轴的力矩元素分别为

dMxy(x y)d dMyx(x y)d

平面薄片对x轴和对y轴的力矩分别为

Mxy(x,y)d Myx(x,y)d

DD

设平面薄片的质心坐标为(x, y)平面薄片的质量为M 则有

xMMy yMMx 

于是

xMMyx(x,y)dD(x,y)dD yMxMy(x,y)dD(x,y)dD

提示 将P(x y)点处的面积元素d看成是包含点P的直径得小的闭区域 D上任取一点P(x y) 及包含的一直径很小的闭区域d(其面积也记为d) 则平面薄片对x轴和对y轴的力矩(仅考虑大小)元素分别为

讨论 如果平面薄片是均匀的 即面密度是常数 则平面薄片的质心(称为形心)如何求？

求平面图形的形心公式为

xd

xDyd yDdDdD

例3 求位于两圆2sin 和4sin 之间的均匀薄片的质心

解 因为闭区域D对称于y轴 所以质心C(x, y)必位于y轴上 于是x0

因为

ydDD2sinddsind04sin2sin2d7

22d213D

yd所以yDdD777 所求形心是C(0,)

33

3类似地 占有空间闭区域、在点(x y z)处的密度为(x y z)(假宽(x y z)在上连续)的物体的质心坐标是

x1Mx(x,y,z)dv y1My(x,y,z)dv z1Mz(x,y,z)dv



其中M(x,y,z)dv



例4 求均匀半球体的质心

解 取半球体的对称轴为z轴 原点取在球心上 又设球半径为a 则半球体所占空间闭区可表示为

{(x y z)| x2y2z2a2 z0}

显然 质心在z轴上 故xy0

zdvzdv

zdvdv3a8

故质心为(0, 0, 3a)

8提示  0ra 0 02

2

dvd2020drsindrsind020a220da02a3rdr32

zdv02d02da02a1a4123

rcosrsindrsin2ddrdr20024202

三、转动惯量

设有一平面薄片 占有xOy面上的闭区域D 在点P(x y)处的面密度为(x y) 假定(x y)在D上连续 现在要求该薄片对于x轴的转动惯量和y轴的转动惯量

在闭区域D上任取一点P(x y) 及包含点P(x y)的一直径很小的闭区域d(其面积也记为d) 则平面薄片对于x轴的转动惯量和y轴的转动惯量的元素分别为

dIxy2(x y)d  dI yx2(x y)d 

整片平面薄片对于x轴的转动惯量和y轴的转动惯量分别为

Ixy2(x,y)d Iyx2(x,y)d

DD

例5 求半径为a 的均匀半圆薄片(面密度为常量)对于其直径边的转动惯量

解 取坐标系如图 则薄片所占闭区域D可表示为

D{(x y)| x2y2a2 y0} 而所求转动惯量即半圆薄片对于x轴的转动惯量Ix 

Ixy2d2sin2dd

DD

sin d20a0a4d430sin d

2

1a41Ma2

424其中M1a2为半圆薄片的质量

2类似地 占有空间有界闭区域、在点(x y z)处的密度为(x y z)的物体对于x、y、z轴的转动惯量为

Ix(y2z2)(x,y,z)dv



Iy(z2x2)(x,y,z)dv



Iz(x2y2)(x,y,z)dv



例6 求密度为的均匀球体对于过球心的一条轴l的转动惯量

解 取球心为坐标原点 z轴与轴l重合 又设球的半径为a 则球体所占空间闭区域

{(x y z)| x2y2z2a2}

所求转动惯量即球体对于z轴的转动惯量Iz 

Iz(x2y2) dv

2222 cosr2sin sin)r2sindrdd

(r2sin2a82

3r4sindrdddsin3 dr4dra5a2M

000155其中M4a3为球体的质量

3提示

x2y2r2sin2cos2r2sin2 sin2r2sin2

四、引力

我们讨论空间一物体对于物体外一点P0(x0 y0 z0)处的单位质量的质点的引力问题

设物体占有空间有界闭区域 它在点(x y z)处的密度为(x y z) 并假定(x y z)在上连续

在物体内任取一点(x y z)及包含该点的一直径很小的闭区域dv(其体积也记为dv) 把这一小块物体的质量dv近似地看作集中在点(x y z)处 这一小块物体对位于P0(x0 y0 z0)处的单位质量的质点的引力近似地为

dF(dFx,dFy,dFz)

(G(x,y,z)(xx0)r3dv,G(x,y,z)(yy0)r3dv,G(x,y,z)(zz0)r3dv)

其中dFx、dFy、dFz为引力元素dF在三个坐标轴上的分量

r(xx0)2(yy0)2(zz0)2 G为引力常数 将dFx、dFy、dFz在上分别积分 即可得Fx、Fy、Fz 从而得F(Fx、Fy、Fz)

例7设半径为R的匀质球占有空间闭区域{(x y z)|x2y2z2R2) 求它对于位于点M0(0 0 a)(a>R)处的单位质量的质点的引力

解 设球的密度为0 由球体的对称性及质量分布的均匀性知Fx=Fy=0, 所求引力沿z轴的分量为

FzG0zadv[x2y2(za)2]3/2

G0(za)dzRRx2y2R2zdxdy[x2y2(za)2]3/22

G0(za)dzdR0R2R2z22d[(za)]23/20

R

2G0(za)(1R1R2aza22az)dz

2G0[2R1(za)dR22aza2]

aRR

2R32G0(2R2R)

3a24R31MG02G23aa



4R3其中M03为球的质量

上述结果表明 匀质球对球外一质点的引力如同球的质量集中于球心时两质点间的引力

第五篇：高等数学教案ch 8 多元函数微分法及其应用

§8 4 多元复合函数的求导法则

设zf(u v) 而u(t) v(t) 如何求dz？

dt

设zf(u v) 而u(x y) v(x y) 如何求z和z？

xy

1 复合函数的中间变量均为一元函数的情形

定理1 如果函数u(t)及v(t)都在点t可导 函数zf(u v)在对应点(u v)具有连续偏导数 则复合函数zf[(t) (t)]在点t可导 且有

dzzduzdv

dtudtvdt

简要证明1 因为zf(u v)具有连续的偏导数 所以它是可微的 即有

dzzduzdv

uv又因为u(t)及v(t)都可导 因而可微 即有

dududt dvdvdt

dtdt代入上式得

dzzdudtzdvdt(zduzdv)dt

udtvdtudtvdt从而

dzzduzdv

dtudtvdt

简要证明2 当t取得增量t时 u、v及z相应地也取得增量u、v及z  由zf(u v)、u(t)及v(t)的可微性 有

zzuzvo()z[duto(t)]z[dvto(t)]o()

uvudtvdt

(zduzdv)t(zz)o(t)o()

udtvdtuvo(t)o()

zzduzdv(zz)

tudtvdtuvtt令t0 上式两边取极限 即得

注limdzzduzdv

dtudtvdtlimt0o()to()t0(u)2(v)2t0(du2dv)()20dtdt

推广 设zf(u v w) u(t) v(t) w(t) 则zf[(t) (t) (t)]对t 的导数为

dzzduzdvzdw

dtudtvdtwdt上述dz称为全导数

dt

2 复合函数的中间变量均为多元函数的情形

定理2 如果函数u(x y) v(x y)都在点(x y)具有对x及y的偏导数 函数zf(u v)在对应点(u v)具有连续偏导数 则复合函数zf [(x y) (x y)]在点(x y)的两个偏导数存在 且有

zzuzv zzuzv

xuxvxyuyvy

推广 设zf(u v w) u(x y) v(x y) w(x y) 则

zzuzvzw

zzuzvzw 

xuxvxwxyuyvywy

讨论

(1)设zf(u v) u(x y) v(y) 则z？

xzzuzdv

提示 zzu 

z？ yxuxyuyvdy

(2)设zf(u x y) 且u(x y) 则z？

xz？ y

fufzfuf

提示 z 

xuxxyuyy这里z与xf是不同的 z是把复合函数zf[(x y) x y]中的y看作不变而对x的xx偏导数

ffz是把f(u x y)中的u及y看作不变而 对x的偏导数 与也朋类似

yyx的区别

3．复合函数的中间变量既有一元函数 又有多元函数的情形

定理3 如果函数u(x y)在点(x y)具有对x及对y的偏导数 函数v(y)在点y可导 函数zf(u v)在对应点(u v)具有连续偏导数 则复合函数zf[(x y) (y)]在点(x y)的两个偏导数存在 且有

zzuzdv

zzu 

xuxyuyvdy

例1 设zeusin v uxy vxy 求z和

xzy

解 zzuzv

xuxvx

eusin vyeucos v1

ex y[y sin(xy)cos(xy)]

zzuzv

yuyvy

eusin vxeucos v1

exy[x sin(xy)cos(xy)]

例2 设uf(x,y,z)exff

解 uz

xxzx22y2z2 而zx2siny 求u和

xuy

2xexy2z22zex2y2z22xsiny  2x(12x2siny)ex2y2x4si2ny

uffz yyzy2yexy2z22zex2y2z2x2cosy

2(yx4sinycosy)ex2y2x4si2ny

dt

例3 设zuvsin t  而uet vcos t 求全导数dz

解 dzzduzdvz

dtudtvdtt

vetu(sin t)cos t

etcos te tsin tcos t

et(cos tsin t)cos t 

例4 设wf(xyz xyz) f具有二阶连续偏导数

解 令uxyz vxyz  则wf(u v)

引入记号 f1xuxf(u,v)uvx求wx2w及xz

 f12f(u,v)uv等

f22 同理有f2f11ff

wuvf1yzf2

ff2w(f1yzf2)1yf2yz2xzzzz

xyf12yf2yzf21xy2zf22

f11y(xz)f12yf2xy2zf22

f1

1注 f1f1uf1vf2f2uf2vxyf12 xyf22f11f21zuzvzzuzvz

例5 设uf(x y)的所有二阶偏导数连续 把下列表达式转换成极坐标系中的形式

(1)(u2u)()2 xy22u(2)u

22xy解 由直角坐标与极坐标间的关系式得

uf(x y)f(cosθ sinθ)F( θ)

其中xcosθ ysinθ x2y2 arctan应用复合函数求导法则 得

uuuuuysinuxuycosxxx2uucosuuuuyuxsinyyy2yx





两式平方后相加 得

(u)2(u)2(u)212(u)2

xy再求二阶偏导数 得

2uuu()()

2 xxxxxuusinuusinsin(cos)cos(cos)



22u2usincos2usin2u2sincosusin2

2cos2 222同理可得

22u2u2usincos2ucos2u2sincosucos 2

22sin2y222两式相加 得

22u2u112u1u2u

u[()] 2222222xy

全微分形式不变性

设zf(u v)具有连续偏导数 则有全微分

dzzduzdv

uv如果zf(u v)具有连续偏导数 而u(x y) v(x y)也具有连续偏导数 则

zz

dzdxdy

xyzuzvzuzv)dx()dy

(uxyvxuyyvyzuuzvv

(dxdy)(dxdy)

uxvx

zduzdv

uv由此可见 无论z 是自变量u、v的函数或中间变量u、v的函数 它的全微分形式是一样的 这个性质叫做全微分形式不变性

例6 设ze usin v ux y vxy 利用全微分形式不变性求全微分

解 dzzduzdv e usin vdu e ucos v dv uv

 e usin v(y dxx dy) e ucos v(dxdy)

(ye usin v e ucos v)dx(xe usin v e ucos v)dy

e xy [y sin(xy)cos(xy)]dx e xy [x sin(xy)cos(xy)]dy 

§8 5

隐函数的求导法则 一、一个方程的情形

隐函数存在定理1

设函数F(x y)在点P(x0 y0)的某一邻域内具有连续偏导数 F(x0 y0)0 Fy(x0 y0)0 则方程F(x y)0在点(x0 y0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数yf(x) 它满足条件y0f(x0) 并有

dydxFxFy



求导公式证明 将yf(x)代入F(x y)0 得恒等式 F(x f(x))0

等式两边对x求导得 FFdy0

xydx由于F y连续 且Fy(x0 y0)0 所以存在(x0 y0)的一个邻域 在这个邻域同Fy 0 于是得 dydxFxFy

例1 验证方程x2y210在点(0 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x0时y1的隐函数yf(x) 并求这函数的一阶与二阶导数在x0的值

解 设F(x y)x2y21 则Fx2x Fy2y F(0 1)0 Fy(0 1)20 因此由定理1可知 方程x2y210在点(0 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x0时y1的隐函数yf(x)

dydxFxFyxy dydxx00

d2ydx2yxyy2yx(y2x)yy2x2y3d2y13；

dx2y1

x0

隐函数存在定理还可以推广到多元函数 一个二元方程F(x y)0可以确定一个一元隐函数 一个三元方程F(x y z)0可以确定一个二元隐函数

隐函数存在定理2

设函数F(x y z)在点P(x0 y0 z0)的某一邻域内具有连续的偏导数 且F(x0 y0 z0)0 Fz(x0 y0 z0)0  则方程F(x y z)0在点(x0 y0 z0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数zf(x y) 它满足条件z0f(x0 y0) 并有

FF

zx zy



xFzyFz

公式的证明 将zf(x y)代入F(x y z)0 得F(x y f(x y))0

将上式两端分别对x和y求导 得

FxFzz0 FyFzz0 xy因为F z连续且F z(x0 y0 z0)0 所以存在点(x0 y0 z0)的一个邻域 使F z0 于是得

FF

zx zy

xFzyFz

例2.设xyz4z0 22

2解

设F(x y z) x2y2z24z 则Fx2x Fy2z4

Fz2xx

xxFz2z42z22z求2x

zx2(2x)xzx(2x)x()22x2z(2x)x

(2z)2(2z)2(2z)

3二、方程组的情形

在一定条件下 由个方程组F(x y u v)0 G(x y u v)0可以确定一对二元函数uu(x y) vv(x y) 例如方程xuyv0和yuxv1可以确定两个二元函数uyx2y2 vxx2y2

yx2y2xx 事实上

xuyv0 vuyuxu1uyy vyxx

2yxy2x2y

2如何根据原方程组求u v的偏导数？

隐函数存在定理设F(x y u v)、G(x y u v)在点P(x0 y0 u0 v0)的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数 又F(x0 y0 u0 v0)0 G(x0 y0 u0 v0)0 且偏导数所组成的函数行列

F(F,G)u式：

JG(u,v)uFv Gv在点P(x0 y0 u0 v0)不等于零 则方程组F(x y u v)0 G(x y u v)0在点P(x0 y0 u0 v0)的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数uu(x y) vv(x y) 它们满足条件u0u(x0 y0) v0v(x0 y0) 并有

(F,G)

u1xJ(x,v)FxFvGxGvFuFvGuGvFyFvGyGv(F,G)

v1xJ(u,x)FuFxGuGxFuFvGuGvFuFyGuGy

u1(F,G)yJ(y,v)FuFvGuGv

v1(F,G)yJ(u,y)FuFvGuGv

隐函数的偏导数: 设方程组F(x y u v)0 G(x y u v)0确定一对具有连续偏导数的 二元函数uu(x y) vv(x y) 则

FFuFv0,uvxxx 偏导数u v由方程组确定 uvxxGv0.GxGuxxFFuFv0,uvyyyuv 偏导数 由方程组确定

uvyyGv0.GyGuyyv 例3 设xuyv0 yuxv1 求u v u和

xxyy 解 两个方程两边分别对x 求偏导 得关于u和v的方程组

xxuxuyv0xx uvvx0yxx

yvvyuxv当x2y2 0时 解之得uxu 

2222xxyxxy

两个方程两边分别对x 求偏导 得关于u和v的方程组

yyxuvyv0yy uvx0uyyyyuxuyvv当x2y2 0时 解之得uxv 

2222yxyyxy

另解 将两个方程的两边微分得

udxxduvdyydv0xduydvvdyudx

 即xdv0udyyduvdxyduxdvudyvdx

解之得 duxuyvx2y2dxxvyux2y2dy

dvyuxvx2y2dxxuyvx2y2dy

xuyvxvyu于是

u22 u22

xxyyxyyuxvxuyv

v22 v22 xxyyxy

例 设函数xx(u v) yy(u v)在点(u v)的某一领域内连续且有连续偏导数

又

(x,y)(u,v)0

xx(u,v)

(1)证明方程组

 yy(u,v)在点(x y u v)的某一领域内唯一确定一组单值连续且有连续偏导数的反函数uu(x y) vv(x y)

(2)求反函数uu(x y) vv(x y)对x y的偏导数

解(1)将方程组改写成下面的形式

F(x,y,u,v)xx(u,v)0



G(x,y,u,v)yy(u,v)0则按假设

J(F,G)(u,v)(x,y)(u,v)0.由隐函数存在定理3 即得所要证的结论

(2)将方程组(7)所确定的反函数uu(x y)vv(x y)代入(7) 即得

xx[u(x,y),v(x,y)]



yy[u(x,y),v(x,y)]将上述恒等式两边分别对x求偏导数得

由于J0 故可解得

yy

u1 v1

xJvxJu1xuxvuxvxyuyv0uxvx

同理 可得

u1xyJv

v1xyJu §8 6

多元函数微分学的几何应用

一

空间曲线的切线与法平面

设空间曲线的参数方程为

x(t) y(t) z(t)这里假定(t) (t) (t)都在[ ]上可导

在曲线上取对应于tt0的一点M0(x0 y0 z0)及对应于tt0t的邻近一点M(x0+x y0+y z0+z) 作曲线的割线MM0 其方程为

xx0xyy0yzz0z 当点M沿着趋于点M0时割线MM0的极限位置就是曲线在点M0处的切线 考虑

xx0yy0zz0 xyzttt当MM0 即t0时 得曲线在点M0处的切线方程为

xx0yy0zz0 (t0)(t0)(t0)

曲线的切向量 切线的方向向量称为曲线的切向量 向量

T((t0) (t0) (t0))就是曲线在点M0处的一个切向量

法平面 通过点M0而与切线垂直的平面称为曲线在点M0 处的法平面 其法平面方程为

(t0)(xx0)(t0)(yy0)(t0)(zz0)0

例1 求曲线xt yt2 zt3在点(1 1 1)处的切线及法平面方程

解

因为xt1 yt2t zt3t2 而点(1 1 1)所对应的参数t1 所以

T (1 2 3)

于是 切线方程为

y1z1

x1

123法平面方程为

(x1)2(y1)3(z1)0 即x2y3z6

讨论

1 若曲线的方程为

y(x) z(x)

问其切线和法平面方程是什么形式

提示 曲线方程可看作参数方程 xx y(x) z(x) 切向量为T(1 (x) (x))

2 若曲线的方程为

F(x y z)0 G(x y z)0

问其切线和法平面方程又是什么形式

提示 两方程确定了两个隐函数

y(x) z(x) 曲线的参数方程为

xx y(x) z(x) dydzFxFyFz0dydxdx由方程组可解得dydxdzGxGyGz0dxdx和dz

dx切向量为T(1, dydz,) dxdxdydz2x2y2z0dxdx得dydz10dxdx

例2 求曲线x2y2z26 xyz0在点(1 2 1)处的切线及法平面方程 

解 为求切向量 将所给方程的两边对x求导数

解方程组得dydxzxdzxy  yzdxyzdydx0在点(1 2 1)处

 dz1

dx从而T (1 0 1)

所求切线方程为

y2z1

x1

101法平面方程为

(x1)0(y2)(z1)0 即xz0

二 曲面的切平面与法线

设曲面的方程为

F(x y z)0

M0(x0 y0 z0)是曲面上的一点

并设函数F(x y z)的偏导数在该点连续且不同时为零 在曲面上 通过点M0任意引一条曲线 假定曲线的参数方程式为

x(t) y(t) z(t)

tt0对应于点M0(x0 y0 z0) 且(t0) (t0) (t0)不全为零 曲线在点的切向量为

T ((t0) (t0) (t0))

考虑曲面方程F(x y z)0两端在tt0的全导数

Fx(x0 y0 z0)(t0)Fy(x0 y0 z0)(t0)Fz(x0 y0 z0)(t0)0

引入向量

n(Fx(x0 y0 z0) Fy(x0 y0 z0) Fz(x0 y0 z0))

易见T与n是垂直的 因为曲线是曲面上通过点M0的任意一条曲线 它们在点M0的切线都与同一向量n垂直 所以曲面上通过点M0的一切曲线在点M0的切线都在同一个平面上 这个平面称为曲面在点M0的切平面 这切平面的方程式是

Fx(x0 y0 z0)(xx0)Fy(x0 y0 z0)(yy0)Fz(x0 y0 z0)(zz0)0

曲面的法线 通过点M0(x0 y0 z0)而垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线 法线方程为

xx0Fx(x0, y0, z0)yy0Fy(x0, y0, z0)zz0Fz(x0, y0, z0)

曲面的法向量 垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量 向量

n(Fx(x0 y0 z0) Fy(x0 y0 z0) Fz(x0 y0 z0))就是曲面在点M0处的一个法向量

例3 求球面x2y2z214在点(1 2 3)处的切平面及法线方程式

解

F(x y z) x2y2z214

Fx2x Fy2y  Fz2z 

Fx(1 2 3)2 Fy(1 2 3)4 Fz(1 2 3)6

法向量为n(2 4 6) 或n(1 2 3)

所求切平面方程为

2(x1)4(y2)6(z3)0 即x2y3z140

法线方程为x11y22z33

讨论 若曲面方程为zf(x y) 问曲面的切平面及法线方程式是什么形式

提示

此时F(x y z)f(x y)z 

n(fx(x0 y0) fy(x0 y0) 1)

例4 求旋转抛物面zx2y21在点(2 1 4)处的切平面及法线方程

解

f(x y)x2y21

n(fx fy 1)(2x 2y 1)

n|(2 1 4)(4 2 1)

所以在点(2 1 4)处的切平面方程为

4(x2)2(y1)(z4)0 即4x2yz60

y1z4法线方程为 x2

421 §8 7

方向导数与梯度

一、方向导数

现在我们来讨论函数zf(x y)在一点P沿某一方向的变化率问题

设l是xOy平面上以P0(x0 y0)为始点的一条射线 el(cos  cos )是与l同方向的单位向量 射线l的参数方程为

xx0t cos  yy0t cos (t0)

设函数zf(x y)在点P0(x0 y0)的某一邻域U(P0)内有定义 P(x0t cos  y0t cos )为l上另一点 且PU(P0) 如果函数增量f(x0t cos  y0t cos )f(x0 y0)与P到P0的距离|PP0|t的比值

f(x0tcos, y0tcos)f(x0,y0)t

当P沿着l趋于P0(即tt0)时的极限存在

则称此极限为函数f(x y)在点P0沿方向l的方向导数 记作flfl(x0,y0) 即

lim(x0,y0)f(x0tcos, y0tcos)f(x0,y0)tt0

从方向导数的定义可知 方向导数

fl(x0,y0)就是函数f(x y)在点P0(x0 y0)处沿方向l的变化率

方向导数的计算

定理

如果函数zf(x y)在点P0(x0 y0)可微分 那么函数在该点沿任一方向l 的方向导数都存在 且有

fl(x0,y0)fx(x0,y0)cosfy(x0,y0)cos

其中cos  cos 是方向l 的方向余弦

简要证明 设xt cos  yt cos  则

f(x0tcos y0tcos)f(x0 y0)f x(x0 y0)tcosf y(x0 y0)tcoso(t)

所以

limf(x0tcos, y0tcos)f(x0,y0)t0tfx(x0,y0)cosfy(x0,y0)sin

这就证明了方向导数的存在 且其值为

fl(x0,y0)fx(x0,y0)cosfy(x0,y0)cos提示 f(x0x,y0y)f(x0,y0)fx(x0,y0)xfy(x0,y0)yo((x)2(y)2)

xt cos  yt cos (x)2(y)2t

讨论 函数zf(x y)在点P 沿x轴正向和负向

沿y轴正向和负向的方向导数如何? 提示

沿x轴正向时 cos cos0

flfx

沿x轴负向时 cos1 cos0

ff lx

例1 求函数zxe2y在点P(1 0)沿从点P(1 0)到点Q(2 1)的方向的方向导数

解 这里方向l即向量PQ(1, 1)的方向 与l同向的单位向量为

el(12, 12)

e2y1

zy2xe2y2 因为函数可微分 且z所以所求方向导数为

zl(1,0)x(1,0)(1,0)(1,0)(1,0)1122(12)2

2对于三元函数f(x y z)来说 它在空间一点P0(x0 y0 z0)沿el(cos  cos  cos )的方向导数为

fllim(x0,y0,z0)f(x0tcos, y0tcos,z0tcos)f(x0,y0,z0)tt0

如果函数f(x y z)在点(x0 y0 z0)可微分 则函数在该点沿着方向el(cos  cos  cos 的方向导数为

fl(x0,y0,z0)fx(x0 y0 z0)cosfy(x0 y0 z0)cosfz(x0 y0 z0)cos

例2求f(x y z)xyyzzx在点(1 1 2)沿方向l的方向导数 其中l的方向角分

别为60 45 60

解 与l同向的单位向量为

el(cos60 cos 45 cos60(1, 2, 1)

222因为函数可微分且

fx(1 1 2)(yz)|(1 1 2)3

fy(1 1 2)(xz)|(1 1 2)3

fz(1 1 2)(yx)|(1 1 2)2 所以

fl1211332(532)2222(1,1,2)

二 梯度

设函数zf(x y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数 则对于每一点P0(x0 y0)D 都可确定一个向量

fx(x0 y0)ify(x0 y0)j

这向量称为函数f(x y)在点P0(x0 y0)的梯度 记作grad f(x0 y0) 即

grad f(x0 y0) fx(x0 y0)ify(x0 y0)j

梯度与方向导数 

如果函数f(x y)在点P0(x0 y0)可微分 el(cos  cos )是与方向l同方向的单位向量 则

fl(x0,y0)fx(x0,y0)cosfy(x0,y0)cos

 grad f(x0 y0)el

| grad f(x0 y0)|cos(grad f(x0 y0)^ el)

这一关系式表明了函数在一点的梯度与函数在这点的方向导数间的关系 特别 当向量el与grad f(x0 y0)的夹角0 即沿梯度方向时 方向导数

fl取得

(x0,y0)最大值 这个最大值就是梯度的模|grad f(x0 y0)| 这就是说 函数在一点的梯度是个向量 它的方向是函数在这点的方向导数取得最大值的方向 它的模就等于方向导数的最大值

讨论 fl的最大值



结论 函数在某点的梯度是这样一个向量 它的方向与取得最大方向导数的 方向一致 而它的模为方向导数的最大值

我们知道 一般说来二元函数zf(x y)在几何上表示一个曲面 这曲面被平面zc(c是常数)所截得的曲线L的方程为

zf(x,y)



zc这条曲线L在xOy面上的投影是一条平面曲线L* 它在xOy平面上的方程为

f(x y)c

对于曲线L*上的一切点 已给函数的函数值都是c 所以我们称平面曲线L*为函数zf(x y)的等值线

若f x f y不同时为零 则等值线f(x y)c上任一点P0(x0 y0)处的一个单位法向量为

n1fx2(x0,y0)fy2(x0,y0)(fx(x0,y0),fy(x0,y0))

这表明梯度grad f(x0 y0)的方向与等值线上这点的一个法线方向相同 而沿这个方向的方向导数f就等于|grad f(x0 y0)| 于是 nfn

n

gradf(x0,y0)

这一关系式表明了函数在一点的梯度与过这点的等值线、方向导数间的关系 这说是说 函数在一点的梯度方向与等值线在这点的一个法线方向相同 它的指向为从数值较低的等值线指向数值较高的等值线 梯度的模就等于函数在这个法线方向的方向导数

梯度概念可以推广到三元函数的情形 设函数f(x y z)在空间区域G内具有一阶连续偏导数 则对于每一点P0(x0 y0 z0)G 都可定出一个向量

fx(x0 y0 z0)ify(x0 y0 z0)jfz(x0 y0 z0)k

这向量称为函数f(x y z)在点P0(x0 y0 z0)的梯度 记为grad f(x0 y0 z0) 即

grad f(x0 y0 z0)fx(x0 y0 z0)ify(x0 y0 z0)jfz(x0 y0 z0)k

结论 三元函数的梯度也是这样一个向量 它的方向与取得最大方向导数的方向一致 而它的模为方向导数的最大值

如果引进曲面

f(x y z)c

为函数的等量面的概念 则可得函数f(x y z)在点P0(x0 y0 z0)的梯度的方向与过点P0的等量面 f(x y z)c在这点的法线的一个方向相同 且从数值较低的等量面指向数值较高的等量面 而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数

例3 求grad 1x2y2

 解 这里f(x,y)

因为 1x2y2ff2y2x 

222222xy(xy)(xy)2y2xij

(x2y2)2(x2y2)21所以

grad 2xy2

例4 设f(x y z)x2y2z2 求grad f(1 1 2)

解 grad f(fx fy fz)(2x 2y 2z)

于是

grad f(1 1 2)(2 2 4)

数量场与向量场 如果对于空间区域G内的任一点M 都有一个确定的数量f(M) 则称在这空间区域G内确定了一个数量场(例如温度场、密度场等) 一个数量场可用一个数量函数f(M)来确定 如果与点M相对应的是一个向量F(M) 则称在这空间区域G内确定了一个向量场(例如力场、速度场等) 一个向量场可用一个向量函数F(M)来确定 而

F(M)P(M)iQ(M)jR(M)k

其中P(M) Q(M) R(M)是点M的数量函数

利用场的概念 我们可以说向量函数grad f(M)确定了一个向量场——梯度场 它是由数量场f(M)产生的 通常称函数f(M)为这个向量场的势 而这个向量场又称为势场 必须注意 任意一个向量场不一定是势场 因为它不一定是某个数量函数的梯度场

例5 试求数量场m所产生的梯度场 其中常数m>0

rrx2y2z2为原点O与点M(x y z)间的距离

rmx 解 (m)m 23xrrxr同理

mym()3yrr (m)mz 3zrrymmxz2(ijk) 从而

gradrrrrryxz记erijk 它是与OM同方向的单位向量 则gradmmer

rrrrr2

上式右端在力学上可解释为 位于原点O 而质量为m 质点对位于点M而质量为l的质点的引力 这引力的大小与两质点的质量的乘积成正比、而与它们的距平方成反比 这引力的方向由点M指向原点 因此数量场m的势场即梯度场

rgradm称为引力场 而函数m称为引力势

r

r §88

多元函数的极值及其求法

一、多元函数的极值及最大值、最小值

定义

设函数zf(x y)在点(x0 y0)的某个邻域内有定义 如果对于该邻域内任何异于(x0 y0)的点(x y) 都有

f(x y)f(x0 y0))

则称函数在点(x0 y0)有极大值(或极小值)f(x0 y0)

极大值、极小值统称为极值 使函数取得极值的点称为极值点

例1 函数z3x24y2在点(0 0)处有极小值



当(x y)(0 0)时 z0 而当(x y)(0 0)时 z0 因此z0是函数的极小值

例2 函数zx2y2在点(0 0)处有极大值



当(x y)(0 0)时 z0 而当(x y)(0 0)时 z0 因此z0是函数的极大值

例3 函数zxy在点(0 0)处既不取得极大值也不取得极小值



因为在点(0 0)处的函数值为零 而在点(0 0)的任一邻域内 总有使函数值为正的点 也有使函数值为负的点

以上关于二元函数的极值概念 可推广到n元函数

设n元函数uf(P)在点P0的某一邻域内有定义 如果对于该邻域内任何异于P0的点P 都有

f(P)f(P 0))

则称函数f(P)在点P0有极大值(或极小值)f(P0)

定理1(必要条件)设函数zf(x y)在点(x0 y0)具有偏导数 且在点(x0 y0)处有极值 则有

fx(x0 y0)0 fy(x0 y0)0

证明 不妨设zf(x y)在点(x0 y0)处有极大值 依极大值的定义 对于点(x0 y0)的某邻域内异于(x0 y0)的点(x y) 都有不等式

f(x y)

特殊地 在该邻域内取yy0而xx0的点 也应有不等式

f(x y0)

这表明一元函数f(x y0)在xx0处取得极大值 因而必有

fx(x0 y0)0

类似地可证

fy(x0 y0)0

从几何上看 这时如果曲面zf(x y)在点(x0 y0 z0)处有切平面 则切平面

zz0fx(x0 y0)(xx0) fy(x0 y0)(yy0)成为平行于xOy坐标面的平面zz0

类似地可推得 如果三元函数uf(x y z)在点(x0 y0 z0)具有偏导数 则它在点

(x0 y0 z0)具有极值的必要条件为

fx(x0 y0 z0)0 fy(x0 y0 z0)0 fz(x0 y0 z0)0

仿照一元函数 凡是能使fx(x y)0 fy(x y)0同时成立的点(x0 y0)称为函数zf(x y)的驻点

从定理1可知 具有偏导数的函数的极值点必定是驻点 但函数的驻点不一定是极值点



例如 函数zxy在点(0 0)处的两个偏导数都是零 函数在(0 0)既不取得极大值也不取得极小值



定理2(充分条件)

设函数zf(x y)在点(x0 y0)的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数 又fx(x0 y0)0 fy(x0 y0)0 令

fxx(x0 y0)A fxy(x0 y0)B fyy(x0 y0)C

则f(x y)在(x0 y0)处是否取得极值的条件如下

(1)ACB2>0时具有极值 且当A<0时有极大值 当A>0时有极小值

(2)ACB2<0时没有极值

(3)ACB20时可能有极值 也可能没有极值



在函数f(x y)的驻点处如果 fxx fyyfxy2>0 则函数具有极值 且当fxx<0时有极大值 当fxx>0时有极小值

极值的求法

f(3 2)31

应注意的问题

不是驻点也可能是极值点

例如  函数zx2y2在点(0 0)处有极大值 但(0 0)不是函数的驻点 因此 在考虑函数的极值问题时 除了考虑函数的驻点外 如果有偏导数不存在的点 那么对这些点也应当考虑

最大值和最小值问题 如果f(x y)在有界闭区域D上连续 则f(x y)在D上必定能取得最大值和最小值 这种使函数取得最大值或最小值的点既可能在D的内部 也可能在D的边界上 我们假定 函数在D上连续、在D内可微分且只有有限个驻点 这时如果函数在D的内部取得最大值(最小值) 那么这个最大值(最小值)也是函数的极大值(极小值) 因此 求最大值和最小值的一般方法是 将函数f(x y)在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较 其中最大的就是最大值 最小的就是最小值 在通常遇到的实际问题中 如果根据问题的性质 知道函数f(x y)的最大值(最小值)一定在D的内部取得 而函数在D内只有一个驻点 那么可以肯定该驻点处的函数值就是函数f(x y)在D上的最大值(最小值)

例5 某厂要用铁板做成一个体积为8m3的有盖长方体水箱 问当长、宽、高各取多少时 才能使用料最省

解 设水箱的长为xm 宽为ym 则其高应为A2(xyy8xym 此水箱所用材料的面积为

8888x)2(xy)(x0, y0) xyxyxyy令Ax2(y82)0 Ay2(x82)0 得x2 y2

x

根据题意可知 水箱所用材料面积的最小值一定存在 并在开区域D{(x

y)|x>0 y>0}内取得 因为函数A在D内只有一个驻点 所以 此驻点一定是A的最小值点 即当水箱的长为2m、宽为2m、高为82m时 水箱所用的材料最省



22 因此A在D内的唯一驻点(2 2)处取得最小值 即长为2m、宽为2m、高为82m时 所用材料最省 

2从这个例子还可看出

在体积一定的长方体中 以立方体的表面积为最小

例6 有一宽为24cm的长方形铁板 把它两边折起来做成一断面为等腰梯形的水槽 问怎样折法才能使断面的面积最大？

解 设折起来的边长为xcm 倾角为 那末梯形断面的下底长为242x 上底长为242xcos 高为xsin 所以断面面积

A1(242x2xcos242x)xsin

2即A24xsin2x2sinx2sin cos(0

可见断面面积A是x和的二元函数 这就是目标函数 面求使这函数取得最大值的点(x )

令Ax24sin4xsin2xsin cos0

A24xcos2x2 cosx2(cos2sin2)0

由于sin 0 x0 上述方程组可化为



2224cos2xcosx(cossin)0解这方程组 得60 x8cm

根据题意可知断面面积的最大值一定存在 并且在D{(x y)|0

二、条件极值

拉格朗日乘数法

对自变量有附加条件的极值称为条件极值

例如 求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积问题 设长方体的三棱的长为x y z 则体积Vxyz 又因假定表面积为a2 所以自变量x y z还必须满足附加条件2(xyyzxz)a2



这个问题就是求函数Vxyz在条件2(xyyzxz)a2下的最大值问题 这是一个条件极值问题

对于有些实际问题 可以把条件极值问题化为无条件极值问题



例如上述问题  由条件2(xyyzxz)a2 解得z

Vxya22xy() 2(xy)a22xy2(xy)122xxcos0 于是得

只需求V的无条件极值问题

在很多情形下 将条件极值化为无条件极值并不容易 需要另一种求条件极值的专用方法 这就是拉格朗日乘数法

现在我们来寻求函数zf(x y)在条件(x y)0下取得极值的必要条件

如果函数zf(x y)在(x0 y0)取得所求的极值 那么有

(x0 y0)0

假定在(x0 y0)的某一邻域内f(x y)与(x y)均有连续的一阶偏导数 而y(x0 y0)0

由隐函数存在定理 由方程(x y)0确定一个连续且具有连续导数的函数y(x) 将其代入目标函数zf(x y) 得一元函数

zf [x (x)]

于是xx0是一元函数zf [x (x)]的极值点 由取得极值的必要条件 有

dzdxxx0fx(x0,y0)fy(x0,y0)dydxxx00

即

fx(x0,y0)fy(x0,y0)x(x0,y0)0

y(x0,y0)从而函数zf(x y)在条件(x y)0下在(x0 y0)取得极值的必要条件是

fx(x0,y0)fy(x0,y0)x(x0,y0)0与(x0 y0)0同时成立

y(x0,y0)

设fy(x0,y0)y(x0,y0) 上述必要条件变为

fx(x0,y0)x(x0,y0)0fy(x0,y0)y(x0,y0)0(x,y)000

拉格朗日乘数法 要找函数zf(x y)在条件(x y)0下的可能极值点 可以先构成辅助函数

F(x y)f(x y)(x y)

其中为某一常数

然后解方程组

Fx(x,y)fx(x,y)x(x,y)0Fy(x,y)fy(x,y)y(x,y)0 (x,y)0

由这方程组解出x y及 则其中(x y)就是所要求的可能的极值点

这种方法可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形

至于如何确定所求的点是否是极值点 在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定

例7 求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积

解 设长方体的三棱的长为x y z 则问题就是在条件

2(xyyzxz)a2

下求函数Vxyz的最大值

构成辅助函数

F(x y z)xyz(2xy 2yz 2xz a2)

解方程组

Fx(x,y,z)yz2(yz)0Fy(x,y,z)xz2(xz)0

Fz(x,y,z)xy2(yx)022xy2yz2xza得xyz6a

6这是唯一可能的极值点

因为由问题本身可知最大值一定存在 所以最大值就在这个可能的值点处取得 此时V6a3