第一篇:第六章 定积分的应用(三峡大学高等数学教案)[范文模版]
高等数学教案
定积分的应用
教学目的 第六章
定积分的应用
1、理解元素法的基本思想;
2、掌握用定积分表达和计算一些几何量(平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积)。
3、掌握用定积分表达和计算一些物理量(变力做功、引力、压力和函数的平均值等)。教学重点:
1、计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积。
2、计算变力所做的功、引力、压力和函数的平均值等。教学难点:
1、截面面积为已知的立体体积。
2、引力。
§6 1 定积分的元素法
回忆曲边梯形的面积
设yf(x)0(x[a b]) 如果说积分
Aaf(x)dx
b是以[a b]为底的曲边梯形的面积 则积分上限函数
A(x)af(t)dt
x就是以[a x]为底的曲边梯形的面积 而微分dA(x)f(x)dx 表示点x处以dx为宽的小曲边梯形面积的近似值Af(x)dxf(x)dx称为曲边梯形的面积元素
以[a b]为底的曲边梯形的面积A就是以面积元素f(x)dx为被积表达式 以 [a b]为积分区间的定积分
Aaf(x)dx
b
一般情况下 为求某一量U 先将此量分布在某一区间[a b]上 分布在[a x]上的量用函数U(x)表示 再求这一量的元素dU(x) 设dU(x)u(x)dx 然后以u(x)dx为被积表达式 以[a b]为积分区间求定积分即得
Uaf(x)dx
b
用这一方法求一量的值的方法称为微元法(或元素法)
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§6 2 定积分在几何上的应用
一、平面图形的面积
1.直角坐标情形
设平面图形由上下两条曲线yf上(x)与yf下(x)及左右两条直线xa与xb所围成 则面积元素为[f上(x) f下(x)]dx 于是平面图形的面积为
Sa[f上(x)f下(x)]dx
类似地由左右两条曲线x左(y)与x右(y)及上下两条直线yd与yc所围成设平面图形的面积为
Sc[右(y)左(y)]dy
例1 计算抛物线y2x、yx2所围成的图形的面积
解(1)画图
(2)确定在x轴上的投影区间: [0 1](3)确定上下曲线f上(x)x, f下(x)x2
(4)计算积分 db1
S(xx)dx[2x21x3]10033321
3例2 计算抛物线y22x与直线yx4所围成的图形的面积
解(1)画图
(2)确定在y轴上的投影区间: [2 4](3)确定左右曲线左(y)1y2, 右(y)y4
2(4)计算积分418
S2(y41y2)dy[1y24y1y3]426222y 例3 求椭圆x221所围成的图形的面积
ab 解 设整个椭圆的面积是椭圆在第一象限部分的四倍 椭圆在第一象限部分在x 轴上的投影区间为[0 a] 因为面积元素为ydx
所以 2S40ydx a椭圆的参数方程为: xa cos t yb sin t
于是
S40ydx4bsintd(acost)
2a0三峡大学高等数学课程建设组
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4absintdt2ab02(1cos2t)dt2abab
2202
2.极坐标情形
曲边扇形及曲边扇形的面积元素
由曲线()及射线 围成的图形称为曲边扇形 曲边扇形的面积元素为 dS1[()]2d 2曲边扇形的面积为
S1[()]2d 2
例4.计算阿基米德螺线a(a >0)上相应于从0变到2 的一段弧与极轴所围成的图形的面积
224a23
解: S01(a)2d1a2[13]02332
例5.计算心形线a(1cos)(a>0)所围成的图形的面积
解: S201[a(1cos]2da20(12cos1cos2)d
22232
a2[32sin1sin2]0a
242
二、体 积
1.旋转体的体积
旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体 这直线叫做旋转轴
常见的旋转体 圆柱、圆锥、圆台、球体
旋转体都可以看作是由连续曲线yf(x)、直线xa、ab 及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体
设过区间[a b]内点x 且垂直于x轴的平面左侧的旋转体的体积为V(x) 当平面左右平移dx后 体积的增量近似为V[f(x)]2dx
于是体积元素为
dV [f(x)]2dx
旋转体的体积为
Va[f(x)]2dx
例
1连接坐标原点O及点P(h r)的直线、直线xh 及x 轴围成一个直角三角形 将它绕x轴旋转构成一个底半径为r、高为h的圆锥体 计算这圆锥体的体积
解: 直角三角形斜边的直线方程为yrx
h
所求圆锥体的体积为
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22hrr1hr2
V0(x)dx2[1x3]0h3h32y2x 例2 计算由椭圆221所成的图形绕x轴旋转而成的旋转体(旋转椭球体)的体积
ab
解: 这个旋转椭球体也可以看作是由半个椭圆 h
yba2x2
a及x轴围成的图形绕x轴旋转而成的立体 体积元素为dV y 2dx
于是所求旋转椭球体的体积为
22a2 Vb2(a2x2)dxb2[a2x1x3]aaab
a33aa
例3 计算由摆线xa(tsin t) ya(1cos t)的一拱 直线y0所围成的图形分别绕x轴、y轴旋转而成的旋转体的体积
解
所给图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积为
Vx0y2dx0a2(1cost)2a(1cost)dt
a30(13cost3cos2tcos3t)dt
5 2a 3
所给图形绕y轴旋转而成的旋转体的体积是两个旋转体体积的差 设曲线左半边为x=x1(y)、右半边为x=x2(y) 则
22(y)dy0x1(y)dy
Vy0x22a2a22a2
2a2(tsint)2asintdt0a2(tsint)2asintdt
a30(tsint)2sintdt6 3a 3
2.平行截面面积为已知的立体的体积
设立体在x轴的投影区间为[a b] 过点x 且垂直于x轴的平面与立体相截 截面面积为A(x) 则体积元素为A(x)dx 立体的体积为
VaA(x)dx
例4 一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心 并与底面交成角 计算这平面截圆柱所得立体的体积
解 取这平面与圆柱体的底面的交线为x轴 底面上过圆中心、且垂直于x轴的直线为y轴 那么底圆的方程为x 2 y 2R 2 立体中过点x且垂直于x轴的截面是一个直角三角形 两个直角边分别为R2x2及R2x2tan 因而截面积为
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A(x)1(R2x2)tan 于是所求的立体体积为
2RR2R3tan
VR1(R2x2)tandx1tan[R2x1x3]R223
3例5 求以半径为R的圆为底、平行且等于底圆直径的线段为顶、高为h的正劈锥体的体积
解: 取底圆所在的平面为x O y平面 圆心为原点 并使x轴与正劈锥的顶平行 底圆的方程为x 2 y 2R 2 过x轴上的点x(R A(x)hyhR2x2 于是所求正劈锥体的体积为 VRhR2x2dx2R2h2co2sd1R2h 02R 三、平面曲线的弧长 设A B 是曲线弧上的两个端点 在弧AB上任取分点AM0 M1 M2 Mi1 Mi Mn1 MnB 并依次连接相邻的分点得一内接折线 当分点的数目无限增加且每个小段Mi1Mi都缩向一点时 如果此折线的长|Mi1Mi|的极限存在 则称此极限为曲线弧AB的弧长 并称此曲线i1n弧AB是可求长的 定理 光滑曲线弧是可求长的 1.直角坐标情形 设曲线弧由直角坐标方程 yf(x)(axb)给出 其中f(x)在区间[a b]上具有一阶连续导数 现在来计算这曲线弧的长度 取横坐标x为积分变量 它的变化区间为[a b] 曲线yf(x)上相应于[a b]上任一小区间[x xdx]的一段弧的长度 可以用该曲线在点(x f(x))处的切线上相应的一小段的长度来近似代替 而切线上这相应的小段的长度为 (dx)2(dy)21y2dx 从而得弧长元素(即弧微分) ds1y2dx 以1y2dx为被积表达式 在闭区间[a b]上作定积分 便得所求的弧长为 sa1y2dx 三峡大学高等数学课程建设组 b高等数学教案 定积分的应用 在曲率一节中 我们已经知道弧微分的表达式为ds1y2dx这也就是弧长元素因此 例1 计算曲线y2x2上相应于x从a到b的一段弧的长度 3解 yx2 从而弧长元素 13ds1y2dx1xdx 因此 所求弧长为 sab2221xdx[2(1x)2]ba[(1b)(1a)] 3333 3例2 计算悬链线ycchx上介于xb与xb之间一段弧的长度 c 解 yshx 从而弧长元素为 cds1sh2xdxchxdx cc因此 所求弧长为 bbb sbchxdx20chxdx2c[shxdx]b02cshcccc 2.参数方程情形 设曲线弧由参数方程x(t)、y(t)(t)给出 其中(t)、(t)在[ ]上具有连续导数 dy(t)因为 dx(t)d t 所以弧长元素为 dx(t)2(t)ds12(t)dt2(t)2(t)dt (t)所求弧长为 s2(t)2(t)dt 例3 计算摆线xa(sin) ya(1cos)的一拱(0 2)的长度 解 弧长元素为 dsa2(1cos)2a2sin2da2(1cos)d2asind 2所求弧长为 2s02asind2a[2cos]08a 222三峡大学高等数学课程建设组 高等数学教案 定积分的应用 3.极坐标情形 设曲线弧由极坐标方程 ()( )给出 其中r()在[ ]上具有连续导数 由直角坐标与极坐标的关系可得 x()cos y()sin( ) 于是得弧长元素为 dsx2()y2()d2()2()d 从而所求弧长为 s2()2()d 例4 求阿基米德螺线a(a>0)相应于 从0到2 一段的弧长 解 弧长元素为 dsa22a2da12d 于是所求弧长为 2s0a12da[2142ln(2142)] 作业:P284:2(2)(4),3,4,5(1),10,12,15(2),18,22,23,29,30 三峡大学高等数学课程建设组 高等数学教案 定积分的应用 §6 3 功 水压力和引力 一、变力沿直线所作的功 例 1把一个带q电量的点电荷放在r轴上坐标原点O处 它产生一个电场 这个电场对周围的电荷有作用力 由物理学知道 如果有一个单位正电荷放在这个电场中距离原点O为r的地方 那么电场对它的作用力的大小为 Fkq(k是常数) r2当这个单位正电荷在电场中从ra处沿r轴移动到rb(a 解: 在r轴上 当单位正电荷从r移动到r+dr时 电场力对它所作的功近似为k即功元素为dWk于是所求的功为 qdr r2qdr r2bkq2Wa11drkq[1]bakq() rabr 例2 在底面积为S的圆柱形容器中盛有一定量的气体 在等温条件下 由于气体的膨胀 把容器中的一个活塞(面积为S)从点a处推移到点b处 计算在移动过程中 气体压力所作的功 解 取坐标系如图 活塞的位置可以用坐标x来表示 由物理学知道 一定量的气体在等温条件下 压强p与体积V的乘积是常数k 即 pVk 或pk V 在点x处 因为VxS 所以作在活塞上的力为 FpSkSk xSx当活塞从x移动到xdx时 变力所作的功近似为kdx x即功元素为dWkdx x于是所求的功为 bbWakdxk[lnx]bakln xa 例3 一圆柱形的贮水桶高为5m 底圆半径为3m 桶内盛满了水 试问要把桶内的水全部吸出需作多少功? 解 作x轴如图 取深度x 为积分变量 它的变化区间为[0 5] 相应于[0 5]上任小区间[x xdx]的一薄层水的高度为dx 水的比重为98kN/m3 因此如x的单位为m 这薄层水的重力为9832dx 这薄层水吸出桶外需作的功近似地为 三峡大学高等数学课程建设组 高等数学教案 定积分的应用 dW882xdx 此即功元素 于是所求的功为 225(kj) xW088.2xdx88.2[]5088.222 5二、水压力 从物理学知道 在水深为h处的压强为ph 这里 是水的比重 如果有一面积为A 的平板水平地放置在水深为h处 那么平板一侧所受的水压力为 PpA 如果这个平板铅直放置在水中 那么 由于水深不同的点处压强p不相等 所以平板所受水的压力就不能用上述方法计算 例4 一个横放着的圆柱形水桶 桶内盛有半桶水 设桶的底半径为R 水的比重为 计算桶的一个端面上所受的压力 解 桶的一个端面是圆片 与水接触的是下半圆 取坐标系如图 在水深x处于圆片上取一窄条 其宽为dx 得压力元素为 dP2xR2x2dx 所求压力为 P02 xRxdx(R03R2rR3 [2(R2x2)2]033R22R2122x)d(R2x2) 三、引力 从物理学知道 质量分别为m 1、m 2 相距为r的两质点间的引力的大小为 FGm1m2 r2其中G为引力系数 引力的方向沿着两质点连线方向 如果要计算一根细棒对一个质点的引力 那么 由于细棒上各点与该质点的距离是变化的 且各点对该质点的引力的方向也是变化的 就不能用上述公式来计算 例5 设有一长度为l、线密度为的均匀细直棒 在其中垂线上距棒a单位处有一质量为m的质点M 试计算该棒对质点M的引力 解 取坐标系如图 使棒位于y轴上 质点M位于x轴上 棒的中点为原点O 由对称性知 引力在垂直方向上的分量为零 所以只需求引力在水平方向的分量 取y为积分变量 它的变化区间为[l, l] 在[l, l]上y点取长为dy 的一小段 其质量为dy 与M相距ra2y2 于2222是在水平方向上 引力元素为 dFxGmdyamdya Ga2y2a2y2(a2y2)3/2三峡大学高等数学课程建设组 高等数学教案 定积分的应用 引力在水平方向的分量为 Fx2lG2l2Gmlamdy1 223/222a(ay)4al 作业:P292:3(2),6 三峡大学高等数学课程建设组 高等数学教案 第五章 定积分 第五章 定积分 教学目的: 1、理解定积分的概念。 2、掌握定积分的性质及定积分中值定理,掌握定积分的换元积分法与分部积分法。 3、理解变上限定积分定义的函数,及其求导数定理,掌握牛顿—莱布尼茨公式。 4、了解广义积分的概念并会计算广义积分。 教学重点: 1、定积分的性质及定积分中值定理 2、定积分的换元积分法与分部积分法。 3、牛顿—莱布尼茨公式。 教学难点: 1、定积分的概念 2、积分中值定理 3、定积分的换元积分法分部积分法。 4、变上限函数的导数。§5 1 定积分概念与性质 一、定积分问题举例 1 曲边梯形的面积 曲边梯形 设函数yf(x)在区间[a b]上非负、连续 由直线xa、xb、y0及曲线yf(x)所围成的图形称为曲边梯形 其中曲线弧称为曲边 求曲边梯形的面积的近似值 将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形 每个小曲边梯形都用一个等宽的小矩形代替 每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积 则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值 具体方法是 在区间[a b]中任意插入若干个分点 ax0 x1 x2 xn1 xn b 把[a b]分成n个小区间 [x0 x1] [x1 x2] [x2 x3] [xn1 xn ] 它们的长度依次为x1 x1x0 x2 x2x1 xn xn xn1 经过每一个分点作平行于y 轴的直线段 把曲边梯形分成n个窄曲边梯形 在每个小区间 [xi1 xi ]上任取一点i 以[xi1 xi ]为底、f(i)为高的窄矩形近似替代第i个窄曲边梯形(i1 2 n) 把这样得到的n个窄矩阵形面积之和作为所求曲边梯形面积A的近似值 即 Af(1)x1 f(2)x2 f(n)xnf(i)xi i1n 求曲边梯形的面积的精确值 显然 分点越多、每个小曲边梯形越窄 所求得的曲边梯形面积A的近似值就越接近曲边梯天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室 高等数学教案 第五章 定积分 形面积A的精确值 因此 要求曲边梯形面积A的精确值 只需无限地增加分点 使每个小曲边梯形的宽度趋于零 记 max{x1 x2 xn } 于是 上述增加分点 使每个小曲边梯形的宽度趋于零 相当于令0 所以曲边梯形的面积为 Alimf(i)xi 0i1n 2 变速直线运动的路程 设物体作直线运动 已知速度vv(t)是时间间隔[T 1 T 2]上t的连续函数 且v(t)0 计算在这段时间内物体所经过的路程S 求近似路程 我们把时间间隔[T 1 T 2]分成n 个小的时间间隔ti 在每个小的时间间隔ti内 物体运动看成是均速的 其速度近似为物体在时间间隔ti内某点i的速度v(i) 物体在时间间隔ti内 运动的距离近似为Si v(i)ti 把物体在每一小的时间间隔ti内 运动的距离加起来作为物体在时间间隔[T 1 T 2]内所经过的路程S 的近似值 具体做法是 在时间间隔[T 1 T 2]内任意插入若干个分点 T 1t 0 t 1 t 2 t n1 t nT 2 把[T 1 T 2]分成n个小段 [t 0 t 1] [t 1 t 2] [t n1 t n] 各小段时间的长依次为 t 1t 1t 0 t 2t 2t 1 t n t n t n1 相应地 在各段时间内物体经过的路程依次为 S 1 S 2 S n 在时间间隔[t i1 t i]上任取一个时刻 i(t i1 i t i) 以 i时刻的速度v( i)来代替[t i1 t i]上各个时刻的速度 得到部分路程S i的近似值 即 S i v( i)t i (i1 2 n) 于是这n段部分路程的近似值之和就是所求变速直线运动路程S 的近似值 即 Sv(i)ti i1n 求精确值 记 max{t 1 t 2 t n} 当0时 取上述和式的极限 即得变速直线运动的路程 Slimv(i)ti 0i1n 设函数yf(x)在区间[a b]上非负、连续 求直线xa、xb、y0 及曲线yf(x)所围成的曲边梯形的面积 (1)用分点ax0x1x2 xn1xn b把区间[a b]分成n个小区间 [x0 x1] [x1 x2] [x2 x3] [xn1 xn ] 记xixixi1(i1 2 n) (2)任取i[xi1 xi] 以[xi1 xi]为底的小曲边梯形的面积可近似为 天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室 高等数学教案 第五章 定积分 f(i)xi(i1 2 n) 所求曲边梯形面积A的近似值为 Af()x iii1nn (3)记max{x1 x2 xn } 所以曲边梯形面积的精确值为 Alim0f()x iii1 设物体作直线运动 已知速度vv(t)是时间间隔[T 1 T 2]上t的连续函数 且v(t)0 计算在这段时间内物体所经过的路程S (1)用分点T1t0t1t2 t n1tnT2把时间间隔[T 1 T 2]分成n个小时间 段 [t0 t1] [t1 t2] [tn1 tn] 记ti titi1(i1 2 n) (2)任取i[ti1 ti] 在时间段[ti1 ti]内物体所经过的路程可近似为v(i)ti (i1 2 n) 所求路程S 的近似值为 Sv()tii1nni (3)记max{t1 t2 tn} 所求路程的精确值为 Slim0v()t iii 1二、定积分定义 抛开上述问题的具体意义 抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括 就抽象出下述定积分的定义 定义 设函数f(x)在[a b]上有界 在[a b]中任意插入若干个分点 a x0 x1 x2 xn1 xnb 把区间[a b]分成n个小区间 [x0 x1] [x1 x2] [xn1 xn] 各小段区间的长依次为 x1x1x0 x2x2x1 xn xn xn1 在每个小区间[xi1 xi]上任取一个点 i(xi1 i xi) 作函数值f( i)与小区间长度xi的乘积 天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室 高等数学教案 第五章 定积分 f( i)xi(i1 2 n) 并作出和 Sf(i)xi i1n记 max{x1 x2 xn} 如果不论对[a b]怎样分法 也不论在小区间[xi1 xi]上点 i 怎样取法 只要当0时 和S 总趋于确定的极限I 这时我们称这个极限I为函数f(x)在区间[a b]上的定积分 记作af(x)dx 即 limf(i)xi af(x)dx0i1bnb其中f(x)叫做被积函数 f(x)dx叫做被积表达式 x叫做积分变量 a 叫做积分下限 b 叫做积分上限 [a b]叫做积分区间 定义 设函数f(x)在[a b]上有界 用分点ax0x1x2 xn1xnb把[a b]分成n个小区间 [x0 x1] [x1 x2] [xn1 xn] 记xixixi1(i1 2 n) 任 i[xi1 xi](i1 2 n) 作和 Sf()xii1ni 记max{x1 x2 xn} 如果当0时 上述和式的极限存在 且极限值与区间[a b]的分法和 i的取法无关 则称这个极限为函数f(x)在区间[a b]上的定积分 记作即 根据定积分的定义 曲边梯形的面积为Aaf(x)dx 变速直线运动的路程为ST2v(t)dt 1baf(x)dx baf(x)dxlimf(i)xi 0i1nbT 说明 (1)定积分的值只与被积函数及积分区间有关 而与积分变量的记法无关 即 af(x)dxaf(t)dtaf(u)du (2)和f(i)xi通常称为f(x)的积分和 i1nbbb (3)如果函数f(x)在[a b]上的定积分存在 我们就说f(x)在区间[a b]上可积 函数f(x)在[a b]上满足什么条件时 f(x)在[a b]上可积呢? 定理 1设f(x)在区间[a b]上连续 则f(x)在[a b]上可积 天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室 高等数学教案 第五章 定积分 定理2 设f(x)在区间[a b]上有界 且只有有限个间断点 则f(x)在[a b]上可积 定积分的几何意义 在区间[a b]上 当f(x)0时 积分af(x)dx在几何上表示由曲线yf(x)、两条直线xa、xb 与x轴所围成的曲边梯形的面积 当f(x)0时 由曲线y f(x)、两条直线xa、xb 与x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方 定义分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值 babf(x)dxlimf(i)xilim[f(i)]xia[f(x)]dx 0i10i1nnb 当f(x)既取得正值又取得负值时 函数f(x)的图形某些部分在x轴的上方 而其它部分在x轴的下方 如果我们对面积赋以正负号 在x轴上方的图形面积赋以正号 在x轴下方的图形面积赋以负号 则在一般情形下 定积分af(x)dx的几何意义为 它是介于x轴、函数f(x)的图形及两条直线xa、xb之间的各部分面积的代数和 b用定积分的定义计算定积分 例1.利用定义计算定积分0x2dx 解 把区间[0 1]分成n等份分点为和小区间长度为 xii(i1 2 n1) xi1(i1 2 n) nn 取ii(i1 2 n)作积分和 n 1f(i)xii1i1nni2xi(i)21 ni1nnn1i2131n(n1)(2n1)1(11)(21) 3ni1n66nn 因为1 当0时 n 所以n n12xdxlim00i11(11)(21)1f(i)xinlim6nn 3利定积分的几何意义求积分: 例2用定积分的几何意义求0(1x)dx 解: 函数y1x在区间[0 1]上的定积分是以y1x为曲边以区间[0 1]为底的曲边梯形的面积 因为以y1x为曲边以区间[0 1]为底的曲边梯形是一直角三角形 其底边长及高均为1 所以 1天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室 高等数学教案 第五章 定积分 0(1x)dx211211 1三、定积分的性质 两点规定 (1)当ab时 (2)当ab时 af(x)dx0 af(x)dxbf(x)dx bbbab 性质 1函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差)即 a[f(x)g(x)]dxaf(x)dxag(x)dx bb 证明:a[f(x)g(x)]dxlim[f(i)g(i)]xi 0i1nnn limf(i)xilimg(i)xi 0i1b0i1 af(x)dxag(x)dx 性质2 被积函数的常数因子可以提到积分号外面 即 bakf(x)dxkaf(x)dxbnnbbb 这是因为akf(x)dxlimkf(i)xiklimf(i)xikaf(x)dx 0i10i1性质如果将积分区间分成两部分则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和即 af(x)dxaf(x)dxcbcbf(x)dx 这个性质表明定积分对于积分区间具有可加性 值得注意的是不论a b c的相对位置如何总有等式 af(x)dxaf(x)dxcf(x)dx af(x)dxaf(x)dxbf(x)dx 天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室 cbcbcb成立 例如 当a 高等数学教案 第五章 定积分 于是有 af(x)dxaf(x)dxbf(x)dxaf(x)dxca1dxadxba af(x)dx0(ab) af(x)dxag(x)dx(ab) ag(x)dxaf(x)dxa[g(x)f(x)]dx0 af(x)dxag(x)dx bbbbbbbbbbbbbcccbf(x)dx 性质 4如果在区间[a b]上f(x)1 则 性质 5如果在区间[ab]上 f(x)0 则 推论 1如果在区间[ab]上 f(x) g(x)则 这是因为g(x)f(x)0 从而 所以 推论2 |af(x)dx|a|f(x)|dx(ab) 这是因为|f(x)| f(x) |f(x)|所以 a|f(x)|dxaf(x)dxa|f(x)|dx 即 |af(x)dx|a|f(x)|dx| 性质6 设M 及m 分别是函数f(x)在区间[ab]上的最大值及最小值 则 m(ba)af(x)dxM(ba)(ab) 证明 因为 m f(x) M 所以 从而 m(ba)af(x)dxM(ba) 性质7(定积分中值定理) 如果函数f(x)在闭区间[ab]上连续 则在积分区间[ab]上至少存在一个点 使下式成立 bbbbbbb amdxaf(x)dxaMdxbbb天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室 高等数学教案 第五章 定积分 af(x)dxf()(ba) b这个公式叫做积分中值公式 证明 由性质6 m(ba)af(x)dxM(ba) 各项除以ba 得 b m1af(x)dxM bab再由连续函数的介值定理 在[ab]上至少存在一点 使 b f()1af(x)dx ba于是两端乘以ba得中值公式 af(x)dxf()(ba) b 积分中值公式的几何解释 应注意 不论ab 积分中值公式都成立 天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室 高等数学教案 第五章 定积分 §5 2 微积分基本公式 一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 设物体从某定点开始作直线运动 在t时刻所经过的路程为S(t) 速度为vv(t)S(t)(v(t)0) 则在时间间隔[T1 T2]内物体所经过的路程S可表示为 S(T2)S(T1)及T2v(t)dt 1T即 T2v(t)dtS(T2)S(T1) 1T 上式表明 速度函数v(t)在区间[T1 T2]上的定积分等于v(t)的原函数S(t)在区间[T1 T2]上的增量 这个特殊问题中得出的关系是否具有普遍意义呢? 二、积分上限函数及其导数 设函数f(x)在区间[a b]上连续 并且设x为[a b]上的一点我们把函数f(x)在部分区间[a x]上的定积分 af(x)dx xx称为积分上限的函数 它是区间[a b]上的函数 记为 (x)af(x)dx 或(x)af(t)dt 定理1 如果函数f(x)在区间[a b]上连续 则函数 (x)af(x)dx 在[a b]上具有导数 并且它的导数为 x (x)daf(t)dtf(x)(ax dxxx 简要证明 若x(a b) 取x使xx(a b) (xx)(x)a af(t)dtxxxxxxf(t)dtaf(t)dt xf(t)dtaf(t)dt x天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室 高等数学教案 第五章 定积分 xxxf(t)dtf()x 应用积分中值定理 有f()x 其中在x 与xx之间 x0时 x 于是 (x)limlimf()limf()f(x) x0xx0x 若xa 取x>0 则同理可证(x) f(a) 若xb 取x<0 则同理可证(x) f(b) 定理 2如果函数f(x)在区间[a b]上连续 则函数 (x)af(x)dx 就是f(x)在[a b]上的一个原函数 定理的重要意义 一方面肯定了连续函数的原函数是存在的 另一方面初步地揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系 三、牛顿莱布尼茨公式 定理 3如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间[a b]上的一个原函数 则 xaf(x)dxF(b)F(a) xb此公式称为牛顿莱布尼茨公式 也称为微积分基本公式 这是因为F(x)和(x)af(t)dt都是f(x)的原函数 所以存在常数C 使 F(x)(x)C(C为某一常数) 由F(a)(a)C及(a)0 得CF(a) F(x)(x)F(a) 由F(b)(b)F(a) 得(b)F(b)F(a) 即 af(x)dxF(b)F(a) xb 证明 已知函数F(x)是连续函数f(x)的一个原函数 又根据定理2 积分上限函数 (x)af(t)dt 也是f(x)的一个原函数 于是有一常数C 使 F(x)(x)C(axb) 当xa时 有F(a)(a)C 而(a)0 所以CF(a) 当xb 时 F(b)(b)F(a) 所以(b)F(b)F(a) 即 af(x)dxF(b)F(a) b 为了方便起见 可把F(b)F(a)记成[F(x)]ba 于是天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室 高等数学教案 第五章 定积分 aF(b)F(a) af(x)dx[F(x)]bb 进一步揭示了定积分与被积函数的原函数或不定积分之间的联系 例1.计算0x2dx 解 由于1x3是x2的一个原函数 所以 11213131xdx[1x3]1010 03333 3例2 计算1dx2 1x 解 由于arctan x是12的一个原函数 所以 1x 13 ( )7 dx[arctanx]3arctan3arctan(1)134121x2 1例3.计算21dx x 解 12ln 1ln 2ln 22xdx[ln|x|]11 例4.计算正弦曲线ysin x在[0 ]上与x轴所围成的平面图形的面积 解 这图形是曲边梯形的一个特例 它的面积 A0sinxdx[cosx]0(1)(1)2 例5.汽车以每小时36km速度行驶 到某处需要减速停车设汽车以等加速度a5m/s2刹车 问从开始刹车到停车 汽车走了多少距离? 解 从开始刹车到停车所需的时间 当t0时 汽车速度 v036km/h361000m/s10m/s 3600刹车后t时刻汽车的速度为 v(t)v0at 105t 当汽车停止时 速度v(t)0 从 v(t)105t 0 得 t2(s) 于是从开始刹车到停车汽车所走过的距离为 210(m) s0v(t)dt0(105t)dt[10t51t2]0222天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室 高等数学教案 第五章 定积分 即在刹车后 汽车需走过10m才能停住 例6.设f(x)在[0, )内连续且f(x)>0 证明函数F(x)在(0 )内为单调增加函数 xx 证明 d0 tf(t)dtxf(x) d0f(t)dtf(x) 故 dxdx0tf(t)dt x0f(t)dtxF(x)xf(x)0f(t)dtf(x)0tf(t)dt(0f(t)dt)xx2xxf(x)0(xt)f(t)dt(0f(t)dt)x2x 按假设 当0tx时f(t)>0(xt)f(t) 0 所以 0f(t)dt0 x0(xt)f(t)dt0 cosxetdtx212从而F (x)>0(x>0) 这就证明了F(x)在(0 )内为单调增加函数 例7.求limx0 解 这是一个零比零型未定式 由罗必达法则 limx0cosxetdtx2x212limx01cosxt2edtx2cosxlimsinxe1 x02x2e2提示 设(x)1etdt 则(cosx)1cosxt2edt dcosxet2dtd(cosx)d(u)dueu2(sinx)sinxecos2x dx1dxdudx 天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室 高等数学教案 第五章 定积分 §5 3 定积分的换元法和分部积分法 一、换元积分法 定理 假设函数f(x)在区间[a b]上连续 函数x(t)满足条件 (1)()a ()b (2)(t)在[ ](或[ ])上具有连续导数 且其值域不越出[a b] 则有 af(x)dxf[(t)](t)dt 这个公式叫做定积分的换元公式 证明 由假设知 f(x)在区间[a b]上是连续 因而是可积的 f [(t)](t)在区间[ ](或[ ])上也是连续的 因而是可积的 假设F(x)是f(x)的一个原函数 则 baf(x)dxF(b)F(a) 另一方面 因为{F[(t)]}F [(t)](t) f [(t)](t) 所以F[(t)]是f [(t)](t)的一个原函数 从而 bf[(t)](t)dtF[()]F[()]F(b)F(a) 因此 af(x)dxf[(t)](t)dt 例1 计算0a2x2dx(a>0) 解 ab0aa2x2dx 令xasint 02acostacostdt 2a2222(a0costdt1cos2t)dt 20天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室 高等数学教案 第五章 定积分 221a2 a[t1sin2t]0224提示 a2x2a2a2sin2tacost dxa cos t 当x0时t0 当xa时t 例2 计算02cos5xsinxdx 解 令tcos x 则 20cosxsinxdx02cos5xdcosx 011 1t5dt0t5dt[1t6]01 令cosxt提示 当x0时t1 当x时t0 2或 20cosxsinxdx02cos5xdcosx 521cos61cos601 [1cos6x]066266 例3 计算0sin3xsin5xdx 解 0sin3xsin5xdx0sin2x|cosx|dx 3 2sin2xcosxdxsin2xcosxdx 023 32sin20xdsinx32sin2xdsinx 55222 [sinx]0[sin2x]2(2)4 555525提示 sinxsinxsinx(1sin35323x)sin2x|cosx| 在[0, ]上|cos x|cos x 在[, ]上|cos x|cos x 4例4 计算x2dx 02x 1解 04x2dx 令2x1t21232x1t32 1tdt11(t23)dt t2312711122 [t33t]1[(9)(3)]232333天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室 高等数学教案 第五章 定积分 2t提示 x1 dxtdt 当x0时t1 当x4时t3 2例5 证明 若f(x)在[a a]上连续且为偶函数 则 af(x)dx20aaaf(x)dx 0a 证明 因为af(x)dxaf(x)dx0f(x)dx 而 所以 af(x)dx a0令xt af(t)dt0f(t)dt0f(x)dx a0aaaf(x)dx0aaf(x)dx0f(x)dx aa 0[f(x)f(x)]dxa2f(x)dx20f(x)dx 讨论 若f(x)在[a a]上连续且为奇函数 问af(x)dx? 提示 若f(x)为奇函数 则f(x)f(x)0 从而 aaf(x)dx0[f(x)f(x)]dx0 aa 例6 若f(x)在[0 1]上连续 证明 (1)02f(sinx)dx02f(cosx)dx(2)0xf(sinx)dx 20f(sinx)dx 证明(1)令xt 则 02f(sinx)dx20f[sin(t)]dt 2 2f[sin(t)]dt2f(cosx)dx 002(2)令xt 则 00xf(sinx)dx(t)f[sin(t)]dt t)]dt0(t)f(sint)dt 0(t)f[sin(0f(sint)dt0tf(sint)dt 天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室 高等数学教案 第五章 定积分 0f(sinx)dx0xf(sinx)dx 所以 0xf(sinx)dx20 f(sinx)dx x24xe x0 例7 设函数f(x)1 计算1f(x2)dx 1x01cosx 解 设x2t 则 14f(x2)dx1f(t)dt1201dt2tet2dt 01cost220 [tant]1[1et]0tan11e41 22222提示 设x2t 则dxdt 当x1时t1 当x4时t2 二、分部积分法 设函数u(x)、v(x)在区间[a b]上具有连续导数u(x)、v(x) 由 (uv)uv u v得u vu vuv 式两端在区间[a b]上积分得 baauvdx 或audv[uv]aavdu auvdx[uv]bbbbb这就是定积分的分部积分公式 分部积分过程 baavdu[uv]aauvdx auvdxaudv[uv]bbbbb 例1 计算 解 12arcsinxdx 0 12arcsinxdx0112[xarcsinx]012xdarcsinx0 102xdx 261x21 021221d(1x2) 1x212231 [1x]012122 例2 计算0exdx 解 令xt 则 10e1xdx20ettdt 天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室 1高等数学教案 第五章 定积分 20tdet 2[tet] 0 20etdt 2e2[et] 0 2 例3 设In02sinnxdx 证明 (1)当n为正偶数时 Inn1n331 nn242 2(2)当n为大于1的正奇数时 Inn1n342 nn2 53证明 In2sinnxdx0111102sinn1xdcosx n1 2x] 0 [cosxsin02cosxdsinn1x (n1)02cos2xsinn2xdx(n1)02(sinn2xsinnx)dx (n1)02sinn2xdx(n1)02sinnxdx (n1)I n 2(n1)I n 由此得 Inn1In2 n I2m2m12m32m531I0 2m2m22m442 I2m12m2m22m442I1 2m12m12m353而I002dx I102sinxdx1 2因此 I2m2m12m32m531 2m2m22m4422 I2m12m2m22m4422m12m12m353 例3 设In02sinnxdx(n为正整数) 证明 天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室 高等数学教案 第五章 定积分 I2m2m12m32m531 2m2m22m442 I2m12m2m22m442 2m12m12m353 证明 In02sinnxdx02sinn1xdcosx [cosxsinn1 2x] 0(n1)02cos2xsinn2xdx (n1)02(sinn2xsinnx)dx (n1)02sinn2xdx(n1)02sinnxdx (n1)I n 2(n1)I n 由此得 Inn1In2 n I2m2m12m32m531I0 2m2m22m442 I2m12m2m22m442I1 2m12m12m353特别地 I02dx02 I102sinxdx1 因此 I2m2m12m32m531 2m2m22m4422 I2m12m2m22m442 2m12m12m3 53天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室 高等数学教案 第五章 定积分 §5 4 反常积分 一、无穷限的反常积分 定义1 设函数f(x)在区间[a )上连续 取b>a 如果极限 blimaf(x)dx b存在 则称此极限为函数f(x)在无穷区间[a )上的反常积分 记作af(x)dx 即 a这时也称反常积分af(x)dx收敛f(x)dxlimaf(x)dx bb 如果上述极限不存在 函数f(x)在无穷区间[a )上的反常积分af(x)dx就没有意义 此时称反常积分af(x)dx发散 类似地 设函数f(x)在区间( b ]上连续 如果极限 alimaf(x)dx(a bb存在 则称此极限为函数f(x)在无穷区间( b ]上的反常积分 记作f(x)dx 即 天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室 高等数学教案 第五章 定积分 f(x)dxalimf(x)dx a这时也称反常积分f(x)dx收敛如果上述极限不存在 则称反常积分f(x)dx发散 设函数f(x)在区间( )上连续 如果反常积分 bbbbf(x)dx和0f(x)dx 都收敛 则称上述两个反常积分的和为函数f(x)在无穷区间( )上的反常积分 记作 0f(x)dx 即 f(x)dxf(x)dx00a0f(x)dx b limaf(x)dxlim0f(x)dx b这时也称反常积分f(x)dx收敛 如果上式右端有一个反常积分发散 则称反常积分f(x)dx发散 定义1 连续函数f(x)在区间[a )上的反常积分定义为 af(x)dxlimaf(x)dx bb 在反常积分的定义式中 如果极限存在 则称此反常积分收敛否则称此反常积分发散 类似地 连续函数f(x)在区间( b]上和在区间( )上的反常积分定义为 f(x)dxlimaf(x)dx abbf(x)dxlimaf(x)dxlim0f(x)dx ab0b 反常积分的计算 如果F(x)是f(x)的原函数 则 af(x)dxlimaf(x)dxlim[F(x)]ba bbb limF(b)F(a)limF(x)F(a) bx可采用如下简记形式 类似地 af(x)dx[F(x)]alimF(x)F(a) xF(b)limF(x) f(x)dx[F(x)]bxb天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室 高等数学教案 第五章 定积分 limF(x)limF(x) f(x)dx[F(x)]xx 例1 计算反常积分12dx 1x 解 11x2dx[arctanx] limarctanxlimarctanx xx ( ) 例2 计算反常积分0teptdt(p是常数 且p>0) 解 0teptdt[teptdt]0[1tdept]0 p [1tept1eptdt]0pp [1tept12ept]0pp lim[1tept12ept]1212 tpppp提示 limteptlimtptlim1pt0 ttetpe 例3 讨论反常积分a 解 当p1时 当p<1时 当p>1时 1dx(a>0)的敛散性 xpa1dx1dx[lnx] aaxxpa1dx[1x1p] a1pxpa1dx[1x1p] a1p a1pp1xp1p 因此 当p>1时 此反常积分收敛 其值为a 当p1时 此反常积分发散 p 1二、无界函数的反常积分 定义 2设函数f(x)在区间(a b]上连续 而在点a的右邻域内无界 取>0 如果极限 talimf(x)dx tbb存在 则称此极限为函数f(x)在(a b]上的反常积分 仍然记作af(x)dx 即 天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室 高等数学教案 第五章 定积分 af(x)dxtlimatbbf(x)dx 这时也称反常积分af(x)dx收敛 如果上述极限不存在 就称反常积分af(x)dx发散 类似地 设函数f(x)在区间[a b)上连续 而在点b 的左邻域内无界 取>0 如果极限 tbbblimf(x)dx abt存在 则称此极限为函数f(x)在[a b)上的反常积分 仍然记作af(x)dx 即 f(x)dx af(x)dxlimatbbt这时也称反常积分af(x)dx收敛 如果上述极限不存在 就称反常积分af(x)dx发散 设函数f(x)在区间[a b]上除点c(a 都收敛 则定义 cbaf(x)dxaf(x)dxcf(x)dx 否则 就称反常积分af(x)dx发散 瑕点 如果函数f(x)在点a的任一邻域内都无界 那么点a称为函数f(x)的瑕点 也称为无界 定义2 设函数f(x)在区间(a b]上连续 点a为f(x)的瑕点 函数f(x)在(a b]上的反常积分定义为 bbcbaf(x)dxtlimatbbf(x)dx 在反常积分的定义式中 如果极限存在 则称此反常积分收敛否则称此反常积分发散 类似地函数f(x)在[a b)(b为瑕点)上的反常积分定义为 f(x)dx af(x)dxlimatbbt 函数f(x)在[a c)(c b](c为瑕点)上的反常积分定义为 af(x)dxtlimcabtf(x)dxlimf(x)dx ttcb反常积分的计算 如果F(x)为f(x)的原函数 则有 天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室 高等数学教案 第五章 定积分 af(x)dxtlimatbbf(x)dxlim[F(x)]bt ta F(b)limF(t)F(b)limF(x) taxa可采用如下简记形式 aF(b)limF(x) af(x)dx[F(x)]bxab类似地 有 alimF(x)F(a) af(x)dx[F(x)]bxbb当a为瑕点时af(x)dx[F(x)]bF(x) aF(b)limxab当b为瑕点时af(x)dx[F(x)]bF(x)F(a) alimxbb当c(acb)为瑕点时 F(x)F(a)][F(b)limF(x)] af(x)dxaf(x)dxcf(x)dx[xlimcxcbcb 例4 计算反常积分 解 因为limxaa01dx 2ax21 所以点a为被积函数的瑕点 a2x 0a1alimarcsinx0 dx[arcsinx] 0a2xaaa2x2 1例5 讨论反常积分112dx的收敛性 x 解 函数12在区间[1 1]上除x0外连续 且lim12 x0xx0 0 由于112dx[1]lim(1)1 1xxx0x01即反常积分112dx发散 所以反常积分112dx发散 xx 例6 讨论反常积分a 解 当q1时 当q1时 bbbdx的敛散性 (xa)qdxbdx[ln(xa)] b aa(xa)qaxadx[1(xa)1q] b aa(xa)q1q天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室 高等数学教案 第五章 定积分 当q1时 dx[1(xa)1q] b1(ba)1q aa(x1qa)q1qb 因此 当q<1时 此反常积分收敛 其值为1(ba)1q 当q1时 此反常积分发散 1q 天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室 高等数学教案 第五章 定积分 天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室 高等数学教案 第五章 定积分 天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室 高等数学教案 微分方程 第七章 微分方程 教学目的: 1.了解微分方程及其解、阶、通解,初始条件和特等概念。2.熟练掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法。 3.会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程,会用简单的变量代换解某些微分方程。4. 会用降阶法解下列微分方程:y(n)f(x),yf(x,y)和yf(y,y) 5. 理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。 6.掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法,并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。 7.求自由项为多项式、指数函数、余弦函数,以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解。 8.会解欧拉方程,会解包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组。9.会解微分方程组(或方程组)解决一些简单的应用问题。教学重点: 1、可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法 (n) 2、可降阶的高阶微分方程yf(x),yf(x,y)和yf(y,y) 3、二阶常系数齐次线性微分方程; 4、自由项为多项式、指数函数、余弦函数,以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程; 教学难点: 1、齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程; 2、线性微分方程解的性质及解的结构定理; 3、自由项为多项式、指数函数、余弦函数,以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。 三峡大学高等数学课程建设组 高等数学教案 微分方程 §7 1 微分方程的基本概念 函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映 利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究 因此如何寻找出所需要的函数关系 在实践中具有重要意义 在许多问题中 往往不能直接找出所需要的函数关系 但是根据问题所提供的情况 有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式 这样的关系就是所谓微分方程 微分方程建立以后 对它进行研究 找出未知函数来 这就是解微分方程 例1 一曲线通过点(1 2) 且在该曲线上任一点M(x y)处的切线的斜率为2x 求这曲线的方程 解 设所求曲线的方程为yy(x) 根据导数的几何意义 可知未知函数yy(x)应满足关系式(称为微分方程) dy2x (1) dx此外 未知函数yy(x)还应满足下列条件 x1时 y2 简记为y|x12 (2)把(1)式两端积分 得(称为微分方程的通解) y2xdx 即yx2C (3)其中C是任意常数 把条件“x1时 y2”代入(3)式 得 212C 由此定出C1 把C1代入(3)式 得所求曲线方程(称为微分方程满足条件y|x12的解) yx21 例2 列车在平直线路上以20m/s(相当于72km/h)的速度行驶 当制动时列车获得加速度04m/s2 问开始制动后多少时间列车才能停住 以及列车在这段时间里行驶了多少路程? 解 设列车在开始制动后t秒时行驶了s米 根据题意 反映制动阶段列车运动规律的函数ss(t)应满足关系式 d2s0. (4)dt2此外 未知函数ss(t)还应满足下列条件 三峡大学高等数学课程建设组 高等数学教案 微分方程 t0时 s0 vds20 简记为s|=0 s|=20 (5) t0t0dt 把(4)式两端积分一次 得 vds0.4tC (6)1dt再积分一次 得 s02t2 C1t C2 (7)这里C1 C2都是任意常数 把条件v|t020代入(6)得 20C1 把条件s|t00代入(7)得0C2 把C1 C2的值代入(6)及(7)式得 v04t 20 (8) s02t220t (9)在(8)式中令v0 得到列车从开始制动到完全停住所需的时间 t2050(s) 0.4再把t50代入(9) 得到列车在制动阶段行驶的路程 s025022050500(m) 几个概念 微分方程 表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程 叫微分方程 常微分方程 未知函数是一元函数的微分方程 叫常微分方程 偏微分方程 未知函数是多元函数的微分方程 叫偏微分方程 微分方程的阶 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数 叫微分方程的阶 x3 yx2 y4xy3x2 y(4)4y10y12y5ysin2x y(n)10 一般n阶微分方程 F(x y y y(n))0 y(n)f(x y y y(n1)) 三峡大学高等数学课程建设组 高等数学教案 微分方程 微分方程的解 满足微分方程的函数(把函数代入微分方程能使该方程成为恒等式)叫做该微分方程的解 确切地说 设函数y(x)在区间I上有n阶连续导数 如果在区间I上 F[x (x) (x) (n)(x)]0 那么函数y(x)就叫做微分方程F(x y y y(n))0在区间I上的解 通解 如果微分方程的解中含有任意常数 且任意常数的个数与微分方程的阶数相同 这样的解叫做微分方程的通解 初始条件 用于确定通解中任意常数的条件 称为初始条件 如 xx0 时 yy0 y y0 一般写成 yxx0y0 yxx0y0 特解 确定了通解中的任意常数以后 就得到微分方程的特解 即不含任意常数的解 初值问题 求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题 如求微分方程yf(x y)满足初始条件yxx0y0的解的问题 记为 yf(x,y) yxx0y0 积分曲线 微分方程的解的图形是一条曲线 叫做微分方程的积分曲线 d2xk2x0 例3 验证 函数 xC1cos ktC2 sin kt是微分方程 的解 dt 2解 求所给函数的导数 dxkCsinktkCcoskt 12dtd2xk2Ccosktk2Csinktk2(CcosktCsinkt) 1212dt2d2x将2及x的表达式代入所给方程 得 dt k2(C1cos ktC2sin kt) k2(C1cos ktC2sin kt)0 d2xk2x0 这表明函数xC1cosktC2sinkt 满足方程2 因此所给函数是所给方程的解 dt三峡大学高等数学课程建设组 高等数学教案 微分方程 例4 已知函数xC1cosktC2sinkt(k0)是微分方程 x| t0 A x| t0 0 的特解 解 由条件x| t0 A及xC1 cos ktC2 sin kt 得 C1A 再由条件x| t0 0 及x(t)kC1sin ktkC2cos kt 得 C20 把C1、C2的值代入xC1cos ktC2sin kt中 得 xAcos kt 作业:P298:4 d2xk2x0的通解 求满足初始条件 2dt §7 2 可分离变量的微分方程 观察与分析 1 求微分方程y2x的通解 为此把方程两边积分 得 yx2C 一般地 方程yf(x)的通解为yf(x)dxC(此处积分后不再加任意常数) 2 求微分方程y2xy2 的通解 因为y是未知的 所以积分2xy2dx无法进行 方程两边直 接积分不能求出通解 为求通解可将方程变为 1dy2xdx 两边积分 得 y21x2C1 或y2yxC三峡大学高等数学课程建设组 高等数学教案 微分方程 可以验证函数y1是原方程的通解 x2C 一般地 如果一阶微分方程y(x, y)能写成 g(y)dyf(x)dx 形式 则两边积分可得一个不含未知函数的导数的方程 G(y)F(x)C 由方程G(y)F(x)C所确定的隐函数就是原方程的通解 对称形式的一阶微分方程 一阶微分方程有时也写成如下对称形式 P(x y)dxQ(x y)dy0 在这种方程中 变量x与y 是对称的 若把x看作自变量、y看作未知函数 则当Q(x,y)0时 有 dyP(x,y) dxQ(x,y)dxQ(x,y) dyP(x,y)若把y看作自变量、x看作未知函数 则当P(x,y)0时 有 可分离变量的微分方程 如果一个一阶微分方程能写成 g(y)dyf(x)dx(或写成y(x)(y))的形式 就是说 能把微分方程写成一端只含y的函数和dy 另一端只含x的函数和dx 那么原方程就称为可分离变量的微分方程 讨论 下列方程中哪些是可分离变量的微分方程?(1)y2xy 是 y1dy2xdx (2)3x25xy0 是 dy(3x25x)dx(3)(x2y2)dxxydy=0 不是 (4)y1xy2xy2 是 y(1x)(1y2)(5)y10xy 是 10ydy10xdx(6)yxy 不是 yx三峡大学高等数学课程建设组 高等数学教案 微分方程 可分离变量的微分方程的解法 第一步 分离变量 将方程写成g(y)dy f(x)dx的形式 第二步 两端积分g(y)dyf(x)dx 设积分后得G(y)F(x)C 第三步 求出由G(y)F(x)C所确定的隐函数y(x)或x(y)G(y)F(x)C y(x)或x(y)都是方程的通解 其中G(y)F(x)C称为隐式(通)解 例1 求微分方程dy2xy的通解 dx 解 此方程为可分离变量方程 分离变量后得 1dy2xdx y1dy2xdx y两边积分得 即 ln|y|x2C1 从而 yex2C1eC1ex 2因为eC1仍是任意常数 把它记作C 便得所给方程的通解 yCex 例2 铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比 已知t0时铀的含量为M0 求在衰变过程中铀含量M(t)随时间t变化的规律 解 铀的衰变速度就是M(t)对时间t的导数2dM dtdMM dtdM0 dt 由于铀的衰变速度与其含量成正比 故得微分方程其中(>0)是常数 前的曲面号表示当t增加时M单调减少 即由题意 初始条件为 M|t0M0 将方程分离变量得 dMdt M三峡大学高等数学课程建设组 高等数学教案 微分方程 两边积分 得dM()dt M即 lnMtlnC 也即MCet 由初始条件 得M0Ce0C 所以铀含量M(t)随时间t变化的规律MM0et 例3 设降落伞从跳伞塔下落后 所受空气阻力与速度成正比 并设降落伞离开跳伞塔时速度为零 求降落伞下落速度与时间的函数关系 解 设降落伞下落速度为v(t) 降落伞所受外力为Fmgkv(k为比例系数) 根据牛顿第二运动定律Fma 得函数v(t)应满足的方程为 mdvmgkv dt初始条件为 v|t00 方程分离变量 得 dvdt mgkvm两边积分 得mgkvm tC m1dvdt ln(mgkv)1kkC1ktmgCem(Ce即 v) kkmg将初始条件v|t00代入通解得C kktmg(1em) 于是降落伞下落速度与时间的函数关系为vkdy1xy2xy2的通解 例4 求微分方程dx 解 方程可化为 dy(1x)(1y2) dx分离变量得 三峡大学高等数学课程建设组 高等数学教案 微分方程 1dy(1x)dx 1y21dy(1x)dx 即1x2xC arctany1y22两边积分得 于是原方程的通解为ytan(x2xC) 作业:P304:1(1)(2)(3)(7)(9)(10),2(2)(4),3 §7 3 齐次方程 齐次方程 如果一阶微分方程12dyf(x,y)中的函数f(x, y)可写成 dxyy的函数 即f(x,y)() 则称这方程为齐次方程 xx 下列方程哪些是齐次方程? dyyy2x2dyyy (1)xyyyx0是齐次方程()21 dxxdxxx22dy1y 2(2)1xy1y不是齐次方程 dx1x222dyx2y2dyxy (3)(xy)dxxydy0是齐次方程 dxxydxyx22 (4)(2xy4)dx(xy1)dy0不是齐次方程 (5)(2xshdy2xy4 dxxy1yyy3ych)dx3xchdy0是齐次方程 xxx三峡大学高等数学课程建设组 高等数学教案 微分方程 yy2xsh3ychdyxxdy2thyy ydxdx3xx3xchx 齐次方程的解法 在齐次方程 ux分离变量 得 ydyy()中 令u 即yux 有 dxxxdu(u) dxdudx (u)uxdudx(u)ux 两端积分 得 求出积分后 再用y代替u 便得所给齐次方程的通解 xdydyxy dxdx 例1 解方程y2x2 解 原方程可写成 y2()dyyx 2ydxxyx1x2因此原方程是齐次方程 令 yux 于是原方程变为 ux即 xyu 则 xdyuxdu dxdxduu2 dxu1duu dxu1分离变量 得 三峡大学高等数学课程建设组 高等数学教案 微分方程 (1)du1udx x两边积分 得uln|u|Cln|x| 或写成ln|xu|uC 以y代上式中的u 便得所给方程的通解 x ln|y|yC x 例2 有旋转曲面形状的凹镜 假设由旋转轴上一点O发出的一切光线经此凹镜反射后都与旋转轴平行 求这旋转曲面的方程 解 设此凹镜是由xOy面上曲线L yy(x)(y>0)绕x轴旋转而成 光源在原点 在L上任取一点M(x, y) 作L的切线交x轴于A 点O发出的光线经点M反射后是一条平行于x轴射线 由光学及几何原理可以证明OAOM 因为 OAAPOPPMcotOP而 OMx2y2 于是得微分方程 yx yyxx2y2 y整理得dxx(x)21 这是齐次方程 dyyydxx(x)21 dyyy 问题归结为解齐次方程 令即 yxvdvvv21 即xyv 得vy dyydvv21 dy分离变量 得dvdy v21yyy, (v)2v21, CC两边积分 得 ln(vv21)lnylnC, vv21三峡大学高等数学课程建设组 高等数学教案 微分方程 y22yv1 C2C以yvx代入上式 得y22C(xC) 2这是以x轴为轴、焦点在原点的抛物线 它绕x轴旋转所得旋转曲面的方程为 y2z22C(xC) 2这就是所求的旋转曲面方程 例3 设一条河的两岸为平行直线 水流速度为a 有一鸭子从岸边点A游向正对岸点O 设鸭子的游速为b(b>a) 且鸭子游动方向始终朝着点O 已知OAh 求鸭子游过的迹线的方程 解 取O为坐标原点 河岸朝顺水方向为x轴 y 轴指向对岸 设在时刻t鸭子位于点P(x, y) 则鸭子运动速度 v(vx, vy)(dx, dy) 故有dxvx dyvydtdtx, y) v(abx, by) x2y2x2y2x2y2x2y2另一方面 vab(a, 0)b(因此dxvxa(x)21x 即dxa(x)21x dybyydyvybyydxa(x)21x dybyy 问题归结为解齐次方程 令 yxu 即xyu 得 yduau21 dyb分离变量 得duady u21by两边积分 得 arshu(lnylnC) bax1[(Cy)1b(Cy)1b] 将u代入上式并整理 得xy2C三峡大学高等数学课程建设组 aa高等数学教案 微分方程 以x|yh0代入上式 得C1 故鸭子游过的轨迹方程为 haay1by1bh()] 0yh x[()2hhb将ux代入arshu(lnylnC)后的整理过程 yaarshxb(lnylnC) yaxshln(Cy)ax1[(Cy)a(Cy)a] yy2bby1b1b1aax[(Cy)(Cy)]x[(Cy)a(Cy)a] 2C2bbb作业:P309:1(1)(3)(5),2 §7.4 线性微分方程 一、线性方程 线性方程 方程dyP(x)yQ(x)叫做一阶线性微分方程 dxdydyP(x)y0叫做对应于非齐次线性方程P(x)yQ(x)的齐次线性方程 dxdxdydyy1y0是齐次线性方程 dxdxx2如果Q(x)0 则方程称为齐次线性方程 否则方程称为非齐次线性方程 方程 下列方程各是什么类型方程? (1)(x2) (2)3x25x5y0y3x25x 是非齐次线性方程 (3)yy cos xesin x 是非齐次线性方程 (4)dy10xy 不是线性方程 dx三峡大学高等数学课程建设组 高等数学教案 微分方程 3dy3(y1)2dydxxx00或 (5)(y1) 不是线性方程 dxdydx(y1)2x 32齐次线性方程的解法 齐次线性方程 dyP(x)y0是变量可分离方程 分离变量后得 dxdyP(x)dx y两边积分 得 ln|y|P(x)dxC1 P(x)dx(CeC1) 或 yCe这就是齐次线性方程的通解(积分中不再加任意常数) 例 1求方程(x2)dyy的通解 dx 解 这是齐次线性方程 分离变量得 dydx yx2两边积分得 ln|y|ln|x2|lnC 方程的通解为 yC(x2) 非齐次线性方程的解法 将齐次线性方程通解中的常数换成x的未知函数u(x) 把 P(x)dx yu(x)e 设想成非齐次线性方程的通解 代入非齐次线性方程求得 P(x)dxP(x)dxP(x)dxu(x)eP(x)P(x)u(x)eQ(x) u(x)e化简得 u(x)Q(x)eP(x)dx 三峡大学高等数学课程建设组 高等数学教案 微分方程 u(x)Q(x)eP(x)dxdxC 于是非齐次线性方程的通解为 P(x)dxP(x)dx ye[Q(x)edxC] P(x)dxP(x)dxP(x)dx或 yCeeQ(x)edx 非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性方程通解与非齐次线性方程的一个特解之和 5dy2y(x1)2的通解 例2 求方程dxx1 解 这是一个非齐次线性方程 先求对应的齐次线性方程分离变量得 dy2y0的通解 dxx1dy2dx yx1两边积分得 ln y2ln(x1)ln C 齐次线性方程的通解为 yC(x1)2 用常数变易法 把C换成u 即令yu(x1)2 代入所给非齐次线性方程 得 52u(x1)2(x1)2 u(x1)2u(x1)x12 1u(x1)2 两边积分 得 u(x1)2C 3再把上式代入yu(x1)2中 即得所求方程的通解为 32 y(x1)[(x1)2C] 323 例3 有一个电路如图所示 其中电源电动势为EEmsint(Em、都是常数) 电阻R和电感L都是常量 求电流i(t) 三峡大学高等数学课程建设组 高等数学教案 微分方程 解 由电学知道 当电流变化时 L上有感应电动势L EL即 di 由回路电压定律得出 dtdiiR0 dtdiRiE dtLLdiRiEmsin t dtLL 把EEmsin t代入上式 得 初始条件为 i|t00 diRiEmsin t为非齐次线性方程 其中 dtLLER t P(t) Q(t)msinLL 方程由通解公式 得 i(t)eP(t)dtdtdtEP(t)dt[Q(t)edtC]eL(msin teLdtC) LRRRttEmReL(sinteLdtC) LRtEm(Rsin t Lcos t)CeL 222RL其中C为任意常数 将初始条件i|t00代入通解 得C因此 所求函数i(t)为 t LEmREmLe(Rsin t Lcos t) i(t)2R2L2R22L2 LEm R22L 2二、伯努利方程 伯努利方程 方程 dyP(x)yQ(x)yn(n0 1)dx叫做伯努利方程 三峡大学高等数学课程建设组 高等数学教案 微分方程 下列方程是什么类型方程? (1) (2)dy1y1(12x)y4 是伯努利方程 dx33dydyyxy5 yxy5 是伯努利方程 dxdxxy 1(3)y yyxy1 是伯努利方程 yxx (4)dy2xy4x 是线性方程 不是伯努利方程 dxdyP(x)y1nQ(x)dx 伯努利方程的解法 以yn除方程的两边 得 yn令z y1n 得线性方程 dz(1n)P(x)z(1n)Q(x) dxdyya(lnx)y2的通解 例4 求方程dxx 解 以y2除方程的两端 得 y2dy11yalnx dxxd(y1)11yalnx 即 dxx令zy1 则上述方程成为 dz1zalnx dxxa2这是一个线性方程 它的通解为 zx[C(lnx)2] 以y1代z 得所求方程的通解为 yx[C(lnx)2]1 经过变量代换 某些方程可以化为变量可分离的方程 或化为已知其求解方法的方程 例 5解方程 a2dy1 dxxy三峡大学高等数学课程建设组 高等数学教案 微分方程 解 若把所给方程变形为 dxxy dy即为一阶线性方程 则按一阶线性方程的解法可求得通解 但这里用变量代换来解所给方程 令xyu 则原方程化为 du11 即duu1 dxudxu分离变量 得 ududx u1两端积分得 uln|u1|xln|C| 以uxy代入上式 得 yln|xy1|ln|C| 或xCeyy1 作业:P315:1(1)(3)(5)(7)(9),2(1)(3)(5),7(1)(2) §7 5可降阶的高阶微分方程 一、y(n)f(x)型的微分方程 解法 积分n 次 y(n1)f(x)dxC1 y(n2)[f(x)dxC1]dxC2 例1 求微分方程ye2xcos x 的通解 解 对所给方程接连积分三次 得 ye2xsinxC1 三峡大学高等数学课程建设组 12高等数学教案 微分方程 ye2xcosxC1xC2 ye2xsinxC1x2C2xC3 这就是所给方程的通解 或 ye2xsinx2C1 ye2xcosx2C1xC2 ye2xsinxC1x2C2xC3 这就是所给方程的通解 例2 质量为m的质点受力F的作用沿Ox轴作直线运动 设力F仅是时间t的函数FF(t) 在开始时刻t0时F(0)F0 随着时间t的增大 此力F均匀地减小 直到tT时 F(T)0 如果开始时质点位于原点 且初速度为零 求这质点的运动规律 解 设xx(t)表示在时刻t时质点的位置 根据牛顿第二定律 质点运动的微分方程为 2dx m2F(t) dt141812121418由题设 力F(t)随t增大而均匀地减小 且t0时 F(0)F0 所以F(t)F0kt 又当tT时 F(T)0 从而 F(t)F0(1) 于是质点运动的微分方程又写为 tTd2xF0(1t) Tdt2mdx|0 其初始条件为x|t00 dtt0 把微分方程两边积分 得 dxF0(tt2)C 1 dtm2T再积分一次 得 F012t x(t)C1tC2 m26T由初始条件x|t00 得C1C20 三峡大学高等数学课程建设组 dx|0 dtt0高等数学教案 微分方程 于是所求质点的运动规律为 x 二、y f(x y)型的微分方程 解法 设yp则方程化为 pf(x p) 设pf(x p)的通解为p(xC1) 则 F012t3(t) 0tT m26Tdy(x,C1) dx原方程的通解为 y(x,C1)dxC2 例3 求微分方程 (1x2)y2xy 满足初始条件 y|x01 y|x03 的特解 解 所给方程是yf(x y)型的 设yp 代入方程并分离变量后 有 dp2xdx p1x2两边积分 得 ln|p|ln(1x2)C 即 pyC1(1x2)(C1eC) 由条件y|x03 得C13 所以 y3(1x2) 两边再积分 得 yx33xC2 又由条件y|x01 得C21 于是所求的特解为 yx33x1 例4 设有一均匀、柔软的绳索 两端固定 绳索仅受重力的作用而下垂 试问该绳索在平衡状态时是怎样的曲线? 三、yf(y y)型的微分方程 解法 设yp有 三峡大学高等数学课程建设组 高等数学教案 微分方程 y原方程化为 dpdpdydpp dxdydxdydpf(y,p) dydpf(y,p)的通解为yp(y C1) 则原方程的通解为 设方程pdy p dy(y,C1)xC2 dp dy 例5 求微分yyy20的通解 解 设yp 则yp代入方程 得 ypdp2p0 dy 在y0、p0时 约去p并分离变量 得 dpdy py两边积分得 ln|p|ln|y|lnc 即 pCy或yCy(Cc) 再分离变量并两边积分 便得原方程的通解为 ln|y|Cxlnc1 或 yC1eCx(C1c1) 作业:P323:1(1)(3)(5)(7)(9),2(1)(3)(5) 三峡大学高等数学课程建设组 高等数学教案 微分方程 §7 6 高阶线性微分方程 一、二阶线性微分方程举例 例1 设有一个弹簧 上端固定 下端挂一个质量为m 的物体 取x 轴铅直向下 并取物体的平衡位置为坐标原点 给物体一个初始速度v00后 物体在平衡位置附近作上下振动 在振动过程中 物体的位置x是t的函数 xx(t) 设弹簧的弹性系数为c 则恢复力fcx 又设物体在运动过程中受到的阻力的大小与速度成正比 比例系数为 则 Rdx dt 由牛顿第二定律得 md2xcxdx 2dtdt 移项 并记2nc k2 mmd2x2ndxk2x0则上式化为 dtdt2这就是在有阻尼的情况下 物体自由振动的微分方程 如果振动物体还受到铅直扰力 FHsin pt 的作用 则有 d2x2ndxk2xhsinpt dtdt2H其中h 这就是强迫振动的微分方程 m 例2 设有一个由电阻R、自感L、电容C和电源E串联组成的电路 其中R、L、及C为常数 电源电动势是时间t的函数 EEmsint 这里Em及也是常数 设电路中的电流为i(t) 电容器极板上的电量为q(t) 两极板间的电压为uc 自感电动势为EL 由电学知道 iqdqdi uc ELL Cdtdt三峡大学高等数学课程建设组 高等数学教案 微分方程 根据回路电压定律 得 ELdiqRi0 dtCd2ucducRCucEmsint 即 LC2dtdt或写成 d2ucducEm22usint 0c2dtLCdtR 1 这就是串联电路的振荡方程 其中02LLC 如果电容器经充电后撤去外电源(E0) 则上述成为 d2ucduc220uc0 2dtdt 二阶线性微分方程 二阶线性微分方程的一般形式为 yP(x)yQ(x)yf(x) 若方程右端f(x)0时 方程称为齐次的 否则称为非齐次的 二、线性微分方程的解的结构 先讨论二阶齐次线性方程 d2ydyQ(x)y0 yP(x)yQ(x)y0 即2P(x)dxdx 定理 1如果函数y1(x)与y2(x)是方程 yP(x)yQ(x)y0的两个解 那么 yC1y1(x)C2y2(x)也是方程的解 其中C1、C2是任意常数 齐次线性方程的这个性质表明它的解符合叠加原理 证明 [C1y1C2y2]C1 y1C2 y2 [C1y1C2y2]C1 y1C2 y2 因为y1与y2是方程yP(x)yQ(x)y0 所以有 y1P(x)y1Q(x)y10及y2P(x)y2Q(x)y20 从而 [C1y1C2y2]P(x)[ C1y1C2y2]Q(x)[ C1y1C2y2] 三峡大学高等数学课程建设组 高等数学教案 微分方程 C1[y1P(x)y1Q(x)y1]C2[y2P(x)y2Q(x)y2]000 这就证明了yC1y1(x)C2y2(x)也是方程yP(x)yQ(x)y0的解 函数的线性相关与线性无关 设y1(x) y2(x) yn(x)为定义在区间I上的n个函数 如果存在n个不全为零的常数k1 k2 kn 使得当xI 时有恒等式 k1y1(x)k2y2(x) knyn(x)0 成立 那么称这n个函数在区间I上线性相关 否则称为线性无关 判别两个函数线性相关性的方法 对于两个函数 它们线性相关与否 只要看它们的比是否为常数 如果比为常数 那么它们就线性相关 否则就线性无关 例如 1 cos2x sin2x 在整个数轴上是线性相关的 函数1 x x2在任何区间(a, b)内是线性无关的 定理2 如果如果函数y1(x)与y2(x)是方程 yP(x)yQ(x)y0 的两个线性无关的解 那么 yC1y1(x)C2y2(x)(C1、C2是任意常数)是方程的通解 例3 验证y1cos x与y2sin x是方程yy0的线性无关解 并写出其通解 解 因为 y1y1cos xcos x0 y2y2sin xsin x0 所以y1cos x与y2sin x都是方程的解 因为对于任意两个常数k1、k2 要使 k1cos xk2sin x0 只有k1k20 所以cos x与sin x在(, )内是线性无关的 因此y1cos x与y2sin x是方程yy0的线性无关解 方程的通解为yC1cos xC2sin x 例4 验证y1x与y2ex是方程(x1)yxyy0的线性无关解 并写出其通解 解 因为 三峡大学高等数学课程建设组 高等数学教案 微分方程 (x1)y1xy1y10xx0 (x1)y2xy2y2(x1)exxexex0 所以y1x与y2ex都是方程的解 因为比值e x/x 不恒为常数 所以y1x与y2ex在(, )内是线性无关的 因此y1x 与y2ex是方程(x1)yxyy0的线性无关解 方程的通解为yC1xC2e x 推论 如果y1(x) y2(x) yn(x)是方程 y(n)a1(x)y(n1) an1(x)y an(x)y0 的n个线性无关的解 那么 此方程的通解为 yC1y1(x)C2y2(x) Cnyn(x) 其中C1 C2 Cn为任意常数 二阶非齐次线性方程解的结构 我们把方程 yP(x)yQ(x)y0 叫做与非齐次方程 yP(x)yQ(x)yf(x)对应的齐次方程 定理3 设y*(x)是二阶非齐次线性方程 yP(x)yQ(x)yf(x)的一个特解 Y(x)是对应的齐次方程的通解 那么 yY(x)y*(x)是二阶非齐次线性微分方程的通解 证明提示 [Y(x)y*(x)]P(x)[ Y(x)y*(x)]Q(x)[ Y(x)y*(x)] [Y P(x)Y Q(x)Y ][ y* P(x)y* Q(x)y*] 0 f(x) f(x) 例如 YC1cos xC2sin x 是齐次方程yy0的通解 y*x22是yyx2 的一个特解 因此 yC1cos xC2sin xx22 是方程yyx2的通解 定理4 设非齐次线性微分方程 yP(x)yQ(x)yf(x)的右端f(x)几个函数之和 如 三峡大学高等数学课程建设组 高等数学教案 微分方程 yP(x)yQ(x)yf1(x) f2(x) 而y1*(x)与y2*(x)分别是方程 yP(x)yQ(x)yf1(x)与yP(x)yQ(x)yf2(x)的特解 那么y1*(x)y2*(x)就是原方程的特解 证明提示 [y1y2*]P(x)[ y1*y2*]Q(x)[ y1*y2*] [ y1*P(x)y1*Q(x)y1*][ y2*P(x)y2*Q(x)y2*] f1(x)f2(x) 作业:P331:1(1)(3)(5)(7),4(1)(3)(5) §7 7 二阶常系数齐次线性微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程 方程 ypyqy0 称为二阶常系数齐次线性微分方程 其中p、q均为常数 如果y1、y2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解 那么yC1y1C2y2就是它的通解 我们看看 能否适当选取r 使yerx 满足二阶常系数齐次线性微分方程 为此将yerx代入方程 ypyqy0 得 (r 2prq)erx 0 由此可见 只要r满足代数方程r2prq0 函数yerx就是微分方程的解 特征方程 方程r2prq0叫做微分方程ypyqy0的特征方程 特征方程的两个根r1、r2可用公式 pp24q r 1,22求出 三峡大学高等数学课程建设组 高等数学教案 微分方程 特征方程的根与通解的关系 (1)特征方程有两个不相等的实根r1、r2时 函数y1er1x、y2er2x是方程的两个线性无关的解 这是因为 函数y1er1x、y2er2x是方程的解 又因此方程的通解为 yC1er1xC2er2x (2)特征方程有两个相等的实根r1r2时 函数y1er1x、y2xer1x是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解 这是因为 y1er1x是方程的解 又 r1xr1x2r1x (xer1x)p(xer1x)q(xer1x)(2r1xr1xr1)ep(1)eqxe r1x 2er1x(2r1p)xe(r1pr1q)0 y1er1x(r1r2)x不是常数 ey2er2xy2xer1xx不是常数 所以y2xe也是方程的解 且y1er1xr1x 因此方程的通解为 yC1er1xC2xer1x (3)特征方程有一对共轭复根r1, 2i时 函数ye(i)x、ye(i)x是微分方程的两个线性无关的复数形式的解 函数yexcosx、yexsinx是微分方程的两个线性无关的实数形式的解 函数y1e(i)x和y2e(i)x都是方程的解 而由欧拉公式 得 y1e(i)xex(cosxisinx) y2e(i)xex(cosxisinx) 1y1y22excosx excosx(y1y2) 2三峡大学高等数学课程建设组 高等数学教案 微分方程 1y1y22iexsinx exsinx(y1y2) 2i故excosx、y2exsinx也是方程解 可以验证 y1excosx、y2exsinx是方程的线性无关解 因此方程的通解为 yex(C1cosxC2sinx) 求二阶常系数齐次线性微分方程ypyqy0的通解的步骤为 第一步 写出微分方程的特征方程 r2prq0 第二步 求出特征方程的两个根r1、r2 第三步 根据特征方程的两个根的不同情况 写出微分方程的通解 例1 求微分方程y2y3y0的通解 解 所给微分方程的特征方程为 r22r30 即(r1)(r3)0 其根r11 r23是两个不相等的实根 因此所求通解为 yC1exC2e3x 例2 求方程y2yy0满足初始条件y|x0 4、y| x02的特解 解 所给方程的特征方程为 r22r10 即(r1)20 其根r1r21是两个相等的实根 因此所给微分方程的通解为 y(C1C2x)ex 将条件y|x04代入通解 得C14 从而 y(4C2x)ex 将上式对x求导 得 y(C24C2x)ex 再把条件y|x02代入上式 得C22 于是所求特解为 x(42x)ex 例 3 求微分方程y2y5y 0的通解 解 所给方程的特征方程为 三峡大学高等数学课程建设组 高等数学教案 微分方程 r22r50 特征方程的根为r112i r212i 是一对共轭复根 因此所求通解为 yex(C1cos2xC2sin2x) n 阶常系数齐次线性微分方程 方程 y(n)p1y(n1)p2 y(n2) pn1ypny0 称为n 阶常系数齐次线性微分方程 其中 p1 p2 pn1 pn都是常数 二阶常系数齐次线性微分方程所用的方法以及方程的通解形式 可推广到n 阶常系数齐次线性微分方程上去 引入微分算子D 及微分算子的n次多项式 L(D)=Dn p1Dn1p2 Dn2 pn1Dpn 则n阶常系数齐次线性微分方程可记作 (Dn p1Dn1p2 Dn2 pn1Dpn)y0或L(D)y0 注 D叫做微分算子D0yy Dyy D2yy D3yy Dnyy(n) 分析 令yerx 则 L(D)yL(D)erx(rn p1rn1p2 rn2 pn1rpn)erxL(r)erx 因此如果r是多项式L(r)的根 则yerx是微分方程L(D)y0的解 n 阶常系数齐次线性微分方程的特征方程 L(r)rn p1rn1p2 rn2 pn1rpn0 称为微分方程L(D)y0的特征方程 特征方程的根与通解中项的对应 单实根r 对应于一项 Cerx 一对单复根r1 2 i 对应于两项 ex(C1cosxC2sinx) k重实根r对应于k项 erx(C1C2x Ck xk1) 一对k 重复根r1 2 i 对应于2k项 ex[(C1C2x Ck xk1)cosx(D1D2x Dk xk1)sinx] 例4 求方程y(4)2y5y0 的通解 解 这里的特征方程为 r42r35r20 即r2(r22r5)0 三峡大学高等数学课程建设组 高等数学教案 微分方程 它的根是r1r20和r3 412i 因此所给微分方程的通解为 yC1C2xex(C3cos2xC4sin2x) 例5 求方程y(4) 4y0的通解 其中0 解 这里的特征方程为 r4 40 它的根为r1,22(1i) r3,42(1i) 因此所给微分方程的通解为 ye2x(C1cos2xC2sin2x)e 2x(C3cos2xC4sin2x) 作业:P340:1(1)(3)(2)(4)(5)(6)(8),2(2)(4)(6) §7 8 二阶常系数非齐次线性微分方程 二阶常系数非齐次线性微分方程 方程 ypyqyf(x)称为二阶常系数非齐次线性微分方程 其中p、q是常数 二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程 的通解yY(x)与非齐次方程本身的一个特解yy*(x)之和 yY(x) y*(x) 当f(x)为两种特殊形式时 方程的特解的求法 一、f(x)Pm(x)ex 型 当f(x)Pm(x)ex时 可以猜想 方程的特解也应具有这种形式 因此 设特解形式为y*Q(x)ex 将其代入方程 得等式 三峡大学高等数学课程建设组 高等数学教案 微分方程 Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)Pm(x) (1)如果不是特征方程r2prq0 的根 则2pq0 要使上式成立 Q(x)应设为m 次多项式 Qm(x)b0xmb1xm1 bm1xbm 通过比较等式两边同次项系数 可确定b0 b1 bm 并得所求特解 y*Qm(x)ex (2)如果是特征方程 r2prq0 的单根 则2pq0 但2p0 要使等式 Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)Pm(x) 成立 Q(x)应设为m1 次多项式 Q(x)xQm(x) Qm(x)b0xm b1xm1 bm1xbm 通过比较等式两边同次项系数 可确定b0 b1 bm 并得所求特解 y*xQm(x)ex (3)如果是特征方程 r2prq0的二重根 则2pq0 2p0 要使等式 Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)Pm(x) 成立 Q(x)应设为m2次多项式 Q(x)x2Qm(x) Qm(x)b0xmb1xm1 bm1xbm 通过比较等式两边同次项系数 可确定b0 b1 bm 并得所求特解 y*x2Qm(x)ex 综上所述 我们有如下结论 如果f(x)Pm(x)ex 则二阶常系数非齐次线性微分方程ypyqy f(x)有形如 y*xk Qm(x)ex 的特解 其中Qm(x)是与Pm(x)同次的多项式 而k 按不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取为0、1或2 例1 求微分方程y2y3y3x1的一个特解 解 这是二阶常系数非齐次线性微分方程 且函数f(x)是Pm(x)ex型(其中Pm(x)3x1 0) 与所给方程对应的齐次方程为 y2y3y0 三峡大学高等数学课程建设组 高等数学教案 微分方程 它的特征方程为 r22r30 由于这里0不是特征方程的根 所以应设特解为 y*b0xb1 把它代入所给方程 得 3b0x2b03b13x1 比较两端x同次幂的系数 得 3b03 3b03 2b03b11 2b3b101由此求得b01 b1 于是求得所给方程的一个特解为 y*x 例2 求微分方程y5y6yxe2x的通解 解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程 且f(x)是Pm(x)ex型(其中Pm(x)x 2) 与所给方程对应的齐次方程为 y5y6y0 它的特征方程为 r25r 60 特征方程有两个实根r12 r23 于是所给方程对应的齐次方程的通解为 YC1e2xC2e3x 由于2是特征方程的单根 所以应设方程的特解为 y*x(b0xb1)e2x 把它代入所给方程 得 2b0x2b0b1x 比较两端x同次幂的系数 得 13132b01 2b01 2b0b10 2bb001三峡大学高等数学课程建设组 高等数学教案 微分方程 由此求得b01 b1 于是求得所给方程的一个特解为 121 y*x(x1)e2x 从而所给方程的通解为 yC1e2xC2e3x(x22x)e2x 提示 y*x(b0xb1)e2x(b0x2b1x)e2x [(b0x2b1x)e2x][(2b0xb1)(b0x2b1x)2]e2x [(b0x2b1x)e2x][2b02(2b0xb1)2(b0x2b1x)22]e2x y*5y*6y*[(b0x2b1x)e2x]5[(b0x2b1x)e2x]6[(b0x2b1x)e2x] [2b02(2b0xb1)2(b0x2b1x)22]e2x5[(2b0xb1)(b0x2b1x)2]e2x6(b0x2b1x)e2x [2b04(2b0xb1)5(2b0xb1)]e2x[2b0x2b0b1]e2x 方程ypyqyex[Pl(x)cosxPn(x)sinx]的特解形式 应用欧拉公式可得 ex[Pl(x)cosxPn(x)sinx] ex[Pl(x)12ei xei xP(x)ei xei x] n22i [Pe(i)x[Pe(i)x l(x)iPn(x)]l(x)iPn(x)] P(x)e(i)xP(x)e(i)x 其中P(x)(PlPni) P(x)(PlPni) 而mmax{l n} 设方程ypyqyP(x)e(i)x的特解为y1*xkQm(x)e(i)x 则y1*xkQm(x)e(i)必是方程ypyqyP(x)e(i)的特解 其中k按i不是特征方程的根或是特征方程的根依次取0或1 于是方程ypyqyex[Pl(x)cosxPn(x)sinx]的特解为 三峡大学高等数学课程建设组 12121212高等数学教案 微分方程 y*xkQm(x)e(i)xxkQm(x)e(i)x xkex[Qm(x)(cosxisinx)Qm(x)(cosxisinx) xk ex[R(1)m(x)cosxR(2)m(x)sinx] 综上所述 我们有如下结论 如果f(x)ex [Pl(x)cosxPn(x)sinx] 则二阶常系数非齐次线性微分方程 ypyqyf(x)的特解可设为 y*xk ex[R(1)m(x)cosxR(2)m(x)sinx] 其中R(1)m(x)、R(2)m(x)是m次多项式 mmax{l n} 而k 按i(或i)不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1 例3 求微分方程yyxcos2x的一个特解 解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程 且f(x)属于ex[Pl(x)cosxPn(x)sinx]型(其中0 2 Pl(x)x Pn(x)0) 与所给方程对应的齐次方程为 yy0 它的特征方程为 r210 由于这里i2i 不是特征方程的根 所以应设特解为 y*(axb)cos2x(cxd)sin2x 把它代入所给方程 得 (3ax3b4c)cos2x(3cx3d4a)sin2xxcos2x 比较两端同类项的系数 得 a b0 c0 d于是求得一个特解为 y*xcos2xsin2x 提示 y*(axb)cos2x(cxd)sin2x y*acos2x2(axb)sin2xcsin2x2(cxd)cos2x 三峡大学高等数学课程建设组 134 91349高等数学教案 微分方程 (2cxa2d)cos2x(2ax2bc)sin2x y*2ccos2x2(2cxa2d)sin2x2asin2x2(2ax2bc)cos2x (4ax4b4c)cos2x(4cx4a4d)sin2x y* y*(3ax3b4c)cos2x(3cx4a3d)sin2x 3a13b4c014由 得a b0 c0 d 3c0394a3d0作业:P347:1(1)(2)(5)(9)2(2)(3)(4) 三峡大学高等数学课程建设组 高等数学教案 重积分 重积分 【教学目标与要求】 1.理解二重积分、三重积分的概念,了解重积分的性质,知道二重积分的中值定理。2.掌握二重积分的(直角坐标、极坐标)计算方法。 3.掌握计算三重积分的(直角坐标、柱面坐标、球面坐标)计算方法。 4.会用重积分求一些几何量与物理量(平面图形的面积、体积、重心、转动惯量、引力等)。 【教学重点】 1.二重积分的计算(直角坐标、极坐标); 2.三重积分的(直角坐标、柱面坐标、球面坐标)计算。3.二、三重积分的几何应用及物理应用。 【教学难点】 1.利用极坐标计算二重积分; 2.利用球坐标计算三重积分; 3.物理应用中的引力问题。 【教学课时分配】(10学时)第1 次课 §1 第2 次课 §2 第3 次课 §3 第4 次课 §4 第5次课 习题课 【参考书】 [1]同济大学数学系.《高等数学(下)》,第五版.高等教育出版社.[2] 同济大学数学系.《高等数学学习辅导与习题选解》,第六版.高等教育出版社. [3] 同济大学数学系.《高等数学习题全解指南(下)》,第六版.高等教育出版社 高等数学教案 重积分 §10 1 二重积分的概念与性质 【回顾】定积分 设函数yf(x)在区间[a b]上非负、连续 求直线xa、xb、y0 及曲线yf(x)所围成的曲边梯形的面积 (1)分割:用分点ax0x1x2 xn1xn b把区间[a b]分成n个小区间 [x0 x1] [x1 x2] [x2 x3] [xn1 xn ] 记xixixi1(i1 2 n) (2)代替:任取i[xi1 xi] 以[xi1 xi]为底的小曲边梯形的面积可近似为 f(i)xi(i1 2 n) (3)作和:曲边梯形面积A的近似值为 Af()x iii1nn(4)取极限:记max{x1 x2 xn } 所以曲边梯形面积的精确值为 Alim0f()x iii1则 baf(x)dxAlimf(i)xi0i1n§10 1 二重积分的概念与性质 一、引例 1 曲顶柱体的体积V 设有一立体 它的底面是xOy面上的闭区域D 其侧面为母线平行于z轴的柱面 其顶是曲面zf(x y)非负连续 称为曲顶柱体 若立体的顶是平行于xoy面的平面。 体积=底面积高 现在我们来讨论如何计算曲顶柱体的体积 (i)分割:用任意曲线网把D分成n个小区域 : 1 2 n 分别以这些小闭区域的边界曲线为准线 作母线平行于z轴的柱面 这些柱面把原来的曲顶柱体分为n个细曲顶柱体 高等数学教案 重积分 (ii)代替:在每个 i中任取一点( i i) 以f( i i)为高而底为 i的平顶柱体的体积为 f( i i)i (i1 2 n) (iii)近似和: 整个曲顶柱体体积V Vf(i,i)i i1n分割得越细, 则右端的近似值越接近于精确值V, 若分割得“无限细”, 则右端近似值会无限接近于精确值V.(iv)取极限: 记 max{i的直径},1in 其中i的直径是指i中相距最远的两点的距离。则 Vlimf(i,i)i 其中(i,i)i 0i1n2平面薄片的质量 当平面薄板的质量是均匀分布时,质量 = 面密度×面积.若平面薄板的质量不是均匀分布的.这时, 薄板的质量不能用上述公式算, 应如何算该薄板的质量M? 设有一平面薄片占有xOy面上的闭区域D 它在点(x y)处的面密度为(x,y) 这里(x,y)非负连续 现在要计算该薄片的质量M (i)分割:用任意一组曲线网把D分成n个小区域: 1 2 n (ii)代替:把各小块的质量近似地看作均匀薄片的质量 mi( i i) i (iii)近似和: 各小块质量的和作为平面薄片的质量的近似值 M(i,i)i i1n高等数学教案 重积分 将分割加细 取极限 得到平面薄片的质量(iv)取极限: 记 max{的直径},i1in 则 Mlim(i,i)i 0i1n两个问题的共性:(1)解决问题的步骤相同: “分割, 代替,近似和,取极限” (2)所求量的结构式相同 曲顶柱体体积: Vlimf(i,i)i 0i1n平面薄片的质量: Mlim(i,i)i 0i1n二、二重积分的定义及可积性 定义: 设f(x y)是有界闭区域D上的有界函数 将闭区域D任意分成n个小闭区域 1 2 n 其中 i表示第i个小区域 也表示它的面积 在每个 i上任取一点( i i) 作和 f(i,i)i i1n如果当各小闭区域的直径中的最大值趋于零时 这和的极限总存在 则称此极限为函数f(x y)在闭区域D上的二重积分 记作 f(x,y)d 即 D limf(i,i)i f(x,y)d0i1Dnf(x y)被积函数 f(x y)d被积表达式 d面积元素 x y积分变量 D积分区域 积分和 直角坐标系中的面积元素 如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分D 那么除了包含边界点的一些小闭区域外 其余的小闭区域都是矩形闭区域 设矩形闭区域i的边长为xi和yi 则ixiyi 因此在直角坐标系中 有时也把面积元素d 记作dxdy 而把二重积分记作 高等数学教案 重积分 f(x,y)dxdy D其中dxdy叫做直角坐标系中的面积元素 二重积分的几何意义 如果f(x y)0 被积函数f(x y)可解释为曲顶柱体的在点(x y)处的竖坐标 所以二重积分的几何意义就是柱体的体积 如果f(x y)是负的 柱体就在xOy 面的下方 二重积分的绝对值仍等于柱体的体积 但二重积分的值是负的 说明:当函数f(x y)在闭区域D上连续时 则f(x y)在D上的二重积分必存在。于是我们总假定函数f(x y)在闭区域D上连续,所以f(x y)在D上的二重积分都是存在的。例1.利用二重积分定义计算:三.二重积分的性质 设D为有界闭区域,以下涉及的积分均存在。性质1 xydxdy,其中D{(x,y)|0x1,0y1}。 D[f(x,y)g(x,y)]df(x,y)dg(x,y)d DDD性质2 设k为常数,则性质3 kf(x,y)dkf(x,y)d DD1dd|D|,其中(|D|为D的面积) DD性质4 设DD1D2,且D1,D2无公共内点,则 f(x,y)df(x,y)df(x,y)d DD1D2性质5.若在D上 f(x y)g(x y) 则 f(x,y)dg(x,y)d DD特殊:(1)若在D上f(x,y)0,则 f(x,y)d0 D (2)|f(x,y)d||f(x,y)|d DD 这是因为|f(x,y)|f(x,y)|f(x,y)| 性质6 设M、m分别是f(x y)在闭区域D上的最大值和最小值 |D|为D的面积 则 高等数学教案 重积分 m|D|f(x,y)dM|D| D 性质7(二重积分的中值定理)设函数f(x y)在闭区域D上连续 为D的面积 则在D上至少存在一点(,)D,使 例2.比较下列积分的大小:f(x,y)df(,) D(xy)d,(xy)d,DD23其中D{(x,y)|(x2)2(y1)22} 小结 1.二重积分的定义: nf(,)f(x,y)dlimD0iii1i),(ddxdy2.二重积分的性质(与定积分性质相似) 教学方式及教学过程中应注意的问题 在教学过程中要注意二重积分的定义,性质以及应用,并且要与定积分的定义、性质进行比较,要结合实例,反复讲解。 师生活动设计 1.比较下列积分值的大小关系:I12xy1|xy|dxdy,I22|x||y|1|xy|dxdy,I31111|xy|dxdy 22(sinxcosy)d2,其中D为0x1,0y1。D2.证明:1讲课提纲、板书设计 作业 P137: 4(1)(3),5(1)(4) §10 2 二重积分的计算法 高等数学教案 重积分 一、利用直角坐标计算二重积分 X型区域 D 1(x)y2(x) axb Y 型区域 D 1(x)y2(x) cyd 混合型区域 设f(x y)0 D{(x y)| 1(x)y2(x) axb} 此时二重积分柱体的体积 对于x0[a b] 曲顶柱体在xx0的截面面积为以区间[1(x0) 2(x0)]为底、以曲线zf(x0 y)为曲边的曲边梯形 所以这截面的面积为 A(x0)2(x0)10f(x,y)d在几何上表示以曲面zf(x y)为顶 以区域D为底的曲顶D(x)1f(x0,y)dy 根据平行截面面积为已知的立体体积的方法 得曲顶柱体体积为 V即 V可记为 aA(x)dxa[(x)b2(x)a1(x)bb2(x)f(x,y)dy]dx f(x,y)d[Dbf(x,y)dy]dx f(x,y)dadx(x)D12(x)f(x,y)dy 类似地 如果区域D为Y 型区域 D 1(x)y2(x) cyd 则有 f(x,y)ddyDcd2(y)1(y)f(x,y)dx 例1 计算xyd 其中D是由直线y 1、x2及yx所围成的闭区域 D 解 画出区域D 方法一 可把D看成是X型区域 1x2 1yx 于是 422y2x1xx1293[] [x]dx(xx)dxxyd[xydy]dx1112112428212x2D注 积分还可以写成xyddxxydyxdxydy D11112x2x高等数学教案 重积分 解法2 也可把D看成是Y型区域 1y2 yx2 于是 422y3x22y29xyd1[yxydx]dy1[y2]ydy1(2y2)dy[y8]18 222D 例2 计算yD1x2y2d 其中D是由直线y 1、x1及yx所围成的闭区域 解 画出区域D 可把D看成是X型区域 1x1 xy1 于是 11[(1x2y2)2]1dx11(|x|31)dx y1xyddxy1xydyx1x3131221122D31(x31)dx 302 也可D看成是Y型区域:1y1 1x y1x2y2dydyD1D1y11x2y2dx 例3 计算 2xyd 其中D是由直线yx2及抛物线yx所围成的闭区域 解 积分区域可以表示为DD1+D2 其中D, xyx D2: 1x4, 2yx 于是 1: 0x1 xyddxD021xxxydydx14xx2xydy 积分区域也可以表示为D 1y2 y2xy2 于是 xyd1dyyDy222x12[y(y2)2y5]dy 2xydx[y]y2dyy122126y443152y2 [y2y]15 24368讨论积分次序的选择 例 4求两个底圆半径都等于的直交圆柱面所围成的立体的体积 解 设这两个圆柱面的方程分别为 x2y2 2及x2z2 2 高等数学教案 重积分 利用立体关于坐标平面的对称性 只要算出它在第一卦限部分的体积V1 然后再乘以8就行了 第一卦限部分是以D{(x y)| 0yR2x2, 0x}为底 以zR2x2顶的曲顶柱体 于是 V8DRxd8dx022RR2x20R2x2dy8[R2x2y]0R0R2x2dx 16R3 22(Rx)dx03 二 利用极坐标计算二重积分 8R 有些二重积分 积分区域D 的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便 且被积函数用极坐标变量、 表达比较简单 这时我们就可以考虑利用极坐标来计算二重积分 limf(i,i)i f(x,y)d 按二重积分的定义f(x,y)d0DnDi 1下面我们来研究这个和的极限在极坐标系中的形式 以从极点O出发的一族射线及以极点为中心的一族同心圆构成的网将区域D分为n个小闭区域 小闭区域的面积为 111222(ii)iiiii i2其中i表示相邻两圆弧的半径的平均值 在i内取点(i , i) 设其直角坐标为( i i) 则有 i(ii)2ii2i(2ii)ii ii cosi ii sini limf(i cosi,i sini)i ii f(i,i)i0i1i1nn于是 lim0即 f(x,y)df(cos,sin)dd DD若积分区域D可表示为 1() 2() 高等数学教案 重积分 则 f(cos,sin)dddD2()1()f(cos,sin)d 讨论如何确定积分限? f(cos,sin)ddd0D2D0()f(cos,sin)d f(cos,sin)dddxeD2()0f(cos,sin)d 例5 计算域 y2dxdy 其中D是由中心在原点、半径为a 的圆周所围成的闭区 解 在极坐标系中 闭区域D可表示为 0a 0 2 于是 exD2y2adxdyedd[ed]d [1e]0d 0002D22a22(1ea) 注 此处积分 122022d(1ea) dxdy 2exD22y2dxdy也常写成x2y2a2exy2 利用x2y2a2xey2dxdy(1ea)计算广义积分exdx 022 设D1{(x y)|x2y2R2 x0 y0} D2{(x y)|x2y22R2 x0 y0}S{(x y)|0xR 0yR} 显然D1SD2 由于ex 2y20 从则在这些闭区域上的二重积分之间有不等式 2exD12y2dxdyexSy2dxdyexD22y2dxdy 因为 exS2y2dxdyexdxeydy(exdx)2 000R2R2R2又应用上面已得的结果有 高等数学教案 重积分 exD12y2dxdy(1eR) 42exD22y2dxdy(1e2R) 42于是上面的不等式可写成(1eR2)(Rex2dx)2(1e2R2) 404令R 上式两端趋于同一极限 从而ex2dx 4 02 例6 求球体x2y2z24a2被圆柱面x2y22ax所截得的(含在圆柱面内的部分)立体的体积 解 由对称性 立体体积为第一卦限部分的四倍 V4D4a2x2y2dxdy 其中D为半圆周y2axx2及x轴所围成的闭区域 在极坐标系中D可表示为 02a cos 0于是 V4 22acos2d00D4add4224a22d 32322 a22(1sin3)da2() 03323 小结 1.二重积分化为累次积分的方法; 2.积分计算要注意的事项。 教学方式及教学过程中应注意的问题 在教学过程中要注意二重积分化为累次积分的方法:分直角坐标和极坐标,以及在计算时要注意事项,要结合实例,反复讲解。 师生活动设计 1.设f(x)C[0,1],且f(x)dxA,求Idxf(x)f(y)dy。 00x1112.交换积分顺序I22dacos0f(r,)dr,(a0) 讲课提纲、板书设计 高等数学教案 重积分 作业 P154: 1(2),(4);2(1),(3);6(2),(4);12(1),(3);13(3),(4);14(1),(2);15(1)(2) §103 三重积分 一、三重积分的概念 定义 设f(x y z)是空间有界闭区域上的有界函数 将任意分成n个小闭区域: v1 v2 vn 其中vi表示第i个小闭区域 也表示它的体积 在每个vi上任取一点(i i i) 作乘积f( i i i)vi(i1 2 n)并作和 f(i,i,i)vi 如果当各小闭区域的直径中的最大值i1n趋于零时 这和的极限总存在 则称此极限为函数f(x y z)在闭区域上的三重积分 记作f(x,y,z)dv 即 高等数学教案 重积分 limf(i,i,i)vi f(x,y,z)dv0i1n 三重积分中的有关术语 ——积分号 f(x y z)——被积函数 f(x y z)dv——被积表达式 dv体积元素 x y z——积分变量 ——积分区域 在直角坐标系中 如果用平行于坐标面的平面来划分 则vixi yizi 因此也把体积元素记为dv dxdydz 三重积分记作 f(x,y,z)dvf(x,y,z)dxdydz 当函数f(x y z)在闭区域上连续时 极限limf(i,i,i)vi是存在的 0i1n因此f(x y z)在上的三重积分是存在的 以后也总假定f(x y z)在闭区域上是连续的 三重积分的性质 与二重积分类似 比如 [c1f(x,y,z)c2g(x,y,z)]dvc1f(x,y,z)dvc2g(x,y,z)dv 12f(x,y,z)dvf(x,y,z)dvf(x,y,z)dv 12 dvV 其中V为区域的体积 二、三重积分的计算 1 利用直角坐标计算三重积分 三重积分的计算 三重积分也可化为三次积分来计算 设空间闭区域可表为 z1(x y)zz2(x y) y1(x)yy2(x) axb 则 f(x,y,z)dv[z(x,y)D1z2(x,y)f(x,y,z)dz]d dxbay(x)[z(x,y)11by2(x)z2(x,y)f(x,y,z)dz]dy f(x,y,z)dz dxay(x)1y2(x)dyz2(x,y)z1(x,y)高等数学教案 重积分 即 f(x,y,z)dvdxaby2(x)y1(x)dyz2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz 其中D : y1(x) y y2(x) axb 它是闭区域在xOy面上的投影区域 提示 设空间闭区域可表为 z1(x y)zz2(x y) y1(x)yy2(x) axb 计算f(x,y,z)dv 基本思想 对于平面区域D y1(x)yy2(x) axb内任意一点(x y) 将f(x y z)只看作z的函数 在区间[z1(x y) z2(x y)]上对z积分 得到一个二元函数F(x y) F(x,y)z2(x,y)1z(x,y)f(x,y,z)dz 然后计算F(x y)在闭区域D上的二重积分 这就完成了f(x y z)在空间闭区域上的三重积分 F(x,y)d[DD1z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz]ddxaby2(x)y1(x)[z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz]dy 则 f(x,y,z)dv[z(x,y)Dz2(x,y)f(x,y,z)dz]d z2(x,y) 1dxbay(x)[z(x,y)1by2(x)f(x,y,z)dz]dy f(x,y,z)dz f(x,y,z)dz dx即 ay(x)1y2(x)dyz2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dvadxy(x)dyz(x,y)11by2(x)z2(x,y)其中D : y1(x) y y2(x) axb 它是闭区域在xOy面上的投影区域 例1 计算三重积分域 解 作图 区域可表示为: 0z1x2y 0y(1x) 0x1 xdxdydz 其中为三个坐标面及平面x2yz1所围成的闭区12高等数学教案 重积分 于是 xdxdydz 0dx11x1x2y2dyxdz 00 0xdx11x2(1x2y)dy0 111 (x2x2x3)dx4048 讨论 其它类型区域呢? 有时 我们计算一个三重积分也可以化为先计算一个二重积分、再计算一个定积分 设空间闭区域{(x y z)|(x y)Dz c1 zc2} 其中Dz是竖坐标为z 的平面截空间闭区域所得到的一个平面闭区域 则有 f(x,y,z)dvcdzf(x,y,z)dxdy 1c2Dz2y2z2x 例2 计算三重积分zdxdydz 其中是由椭球面2221所围成的空间闭 abc2区域 解 空间区域可表为: x2y21z 2 c zc ab2c2于是 2zzdxdydz zdzdxdyab(12)z2dz4abc3 cc15cD2c2zc 练习: 例3 将三重积分If(x,y,z)dxdydz化为三次积分 其中 (1)是由曲面z1x2y2 z0所围成的闭区域 (2)是双曲抛物面xyz及平面xy10 z0所围成的闭区域 (3)其中是由曲面zx22y2及z2x2所围成的闭区域 例4 将三重积分If(x,y,z)dxdydz化为先进行二重积分再进行定积分的形式 其中由曲面z1x2y2 z0所围成的闭区域 2 利用柱面坐标计算三重积分 设M(x y z)为空间内一点 并设点M在xOy面上的投影P 的极坐标为P( ) 则这样的三个数、、z就叫做点M的柱面坐标 这里规定、、z的变化范围为 高等数学教案 重积分 0< 0 2 坐标面0 0 zz0的意义 点M 的直角坐标与柱面坐标的关系 xcos xcos ysin zz ysin zz 柱面坐标系中的体积元素 dvdddz 简单来说 dxdydd dxdydzdxdydzdd dz 柱面坐标系中的三重积分 f(x,y,z)dxdydzf(cos,sin,z)dddz 例5利用柱面坐标计算三重积分围成的闭区域 解 闭区域可表示为 2z4 02 02 于是 zdxdydz 其中是由曲面zxy与平面z4所 2zdxdydzzdddz 1d(164)d ddzdz0020201164 2[826]2026 324222 3 利用球面坐标计算三重积分 设M(x y z)为空间内一点 则点M也可用这样三个有次序的数r、、 来确定 其中 r为原点O与点M间的距离 为OM与z轴正向所夹的角 为从正z轴来看自x轴按逆时针方向转到有向线段OP的角 这里P为点M在xOy面上的投影 这样的三个数r、、 叫做点M的球面坐标 这里r、、 的变化范围为 0r< 0< 0 2 坐标面rr0 0 0的意义,点M的直角坐标与球面坐标的关系 xrsincos xrsincos yrsinsin zrcos yrsinsin zrcos高等数学教案 重积分 球面坐标系中的体积元素 dvr2sindrdd 球面坐标系中的三重积分 f(x,y,z)dvf(rsincos,rsinsin,rcos)r2sindrdd 例6 求半径为a的球面与半顶角为的内接锥面所围成的立体的体积 解 该立体所占区域可表示为 0r2acos 0 02 于是所求立体的体积为 Vdxdydzr2sindrdddd22acos000r2sindr 20sind2acos0r2dr 316a 33034cossind4a(1cosa) 3提示 球面的方程为x2y2(za)2a2 即x2y2z22az 在球面坐标下此球面的方程为r22arcos 即r2acos 小结 1.三重积分的定义和计算; 2.换元积分公式。 教学方式及教学过程中应注意的问题 在教学过程中要注意三重积分的定义和计算以及换元积分公式的应用,要结合实例,反复讲解。 师生活动设计 1.将If(x,y,z)dv用三次积分表示,其中由六个平面x0,x2,y1,x2y4,zx,z2所围成,f(x,y,z)C()。 2.设由锥面z2I(xyz)dv x2y2和球面x2y2z24所围成,计算讲课提纲、板书设计 作业 P164: 4,5,7,9(1)高等数学教案 重积分 §10 4 重积分的应用 一、曲面的面积 设曲面S由方程 zf(x y)给出 D为曲面S在xOy面上的投影区域 函数f(x y)在D上具有连续偏导数fx(x y)和fy(x y) 现求曲面的面积A 在区域D内任取一点P(x y) 并在区域D内取一包含点P(x y)的小闭区域d 其面积也记为d 在曲面S上点M(x y f(x y))处做曲面S的切平面T 再做以小区域d的边界曲线为准线、母线平行于z轴的柱面 将含于柱面内的小块切平面的面积作为含于柱面内的小块曲面面积的近似值 记为dA 又设切平面T的法向量与z轴所成的角为 则 dAd1f2(x,y)f2(x,y)d xycos这就是曲面S的面积元素 于是曲面S 的面积为 AD1fx2(x,y)fy2(x,y)d 高等数学教案 重积分 或 AD1(z)2(z)2dxdy xy 设dA为曲面S上点M处的面积元素 dA在xOy面上的投影为小闭区域d M在xOy面上的投影为点P(x y) 因为曲面上点M处的法向量为n(fx fy 1) 所以 dA|n|d1fx2(x,y)fy2(x,y)d 提示 dA与xOy面的夹角为(n^ k) dAcos(n^ k)d nk|n|cos(n^ k)1 cos(n^ k)|n|1 讨论 若曲面方程为xg(y z)或yh(z x) 则曲面的面积如何求? ADyz1(x)2(x)2dydz yz1(y2y2)()dzdx zx或 ADzx其中Dyz是曲面在yOz面上的投影区域 Dzx是曲面在zOx面上的投影区域 例1 求半径为R的球的表面积 提示 yzxzzzR 1()2()2 222222222xyxyRxyRxyRxy 解 球面的面积A为上半球面面积的两倍 上半球面的方程为zR2x2y2 而 yzxz 222222xyRxyRxy所以 A22xy2R21(z)2(z)2 xy2RdR dxdy2Rd2222200RRxyR0 22xy2R2 4RR22 4R2 例2设有一颗地球同步轨道通讯卫星 距地面的高度为h36000km 运行的角速度与高等数学教案 重积分 地球自转的角速度相同 试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比值(地球半径R6400km) 二、质心 设有一平面薄片 占有xOy 面上的闭区域D 在点P(x y)处的面密度为(x y) 假定(x y)在D上连续 现在要求该薄片的质心坐标 在闭区域D上任取一点P(x y) 及包含点P(x y)的一直径很小的闭区域d(其面积也记为d) 则平面薄片对x轴和对y轴的力矩(仅考虑大小)元素分别为 dMxy(x y)d dMyx(x y)d 平面薄片对x轴和对y轴的力矩分别为 Mxy(x,y)d Myx(x,y)d DD 设平面薄片的质心坐标为(x, y)平面薄片的质量为M 则有 xMMy yMMx 于是 xMyMx(x,y)dD(x,y)dD yMxMy(x,y)dD(x,y)dD 提示 将P(x y)点处的面积元素d看成是包含点P的直径得小的闭区域 D上任取一点P(x y) 及包含的一直径很小的闭区域d(其面积也记为d) 则平面薄片对x轴和对y轴的力矩(仅考虑大小)元素分别为 讨论 如果平面薄片是均匀的 即面密度是常数 则平面薄片的质心(称为形心)如何求? 求平面图形的形心公式为 xd xDyd yDdDdD 例3 求位于两圆2sin 和4sin 之间的均匀薄片的质心 解 因为闭区域D对称于y轴 所以质心C(x, y)必位于y轴上 于是x0 高等数学教案 重积分 因为 2ydsinddsindDD4sin02sin2d7 d22123 Dyd所以yDD77 所求形心是C(0, 7) 3d3 3类似地 占有空间闭区域、在点(x y z)处的密度为(x y z)(假宽(x y z)在上连续)的物体的质心坐标是 x1M1 x(x,y,z)dvyM1 y(x,y,z)dvzMz(x,y,z)dv 其中M(x,y,z)dv 例4 求均匀半球体的质心 提示 0ra 0 02 22adv22d00drsindr2sinddr2dr2a 00003a2zdv02d0242a1a132drcosrsindrsin2ddrdr2 0002420a2 三、转动惯量 设有一平面薄片 占有xOy面上的闭区域D 在点P(x y)处的面密度为(x y) 假定(x y)在D上连续 现在要求该薄片对于x轴的转动惯量和y轴的转动惯量 在闭区域D上任取一点P(x y) 及包含点P(x y)的一直径很小的闭区域d(其面积也记为d) 则平面薄片对于x轴的转动惯量和y轴的转动惯量的元素分别为 dIxy2(x y)d dI yx2(x y)d 整片平面薄片对于x轴的转动惯量和y轴的转动惯量分别为 Ixy2(x,y)d Iyx2(x,y)d DD高等数学教案 重积分 例5 求半径为a 的均匀半圆薄片(面密度为常量)对于其直径边的转动惯量 解 取坐标系如图 则薄片所占闭区域D可表示为 D{(x y)| x2y2a2 y0} 而所求转动惯量即半圆薄片对于x轴的转动惯量Ix Ixy2d2sin2dd DD 其中M0sin d02a4a2dsin d 4031a41Ma2 4241a2为半圆薄片的质量 2类似地 占有空间有界闭区域、在点(x y z)处的密度为(x y z)的物体对于x、y、z轴的转动惯量为 Ix Iy Iz(y2z2)(x,y,z)dv 22(zx)(x,y,z)dv (x2y2)(x,y,z)dv 例6 求密度为的均匀球体对于过球心的一条轴l的转动惯量 解 取球心为坐标原点 z轴与轴l重合 又设球的半径为a 则球体所占空间闭区域 {(x y z)| x2y2z2a2} 所求转动惯量即球体对于z轴的转动惯量Iz Iz(x2y2) dv (r2sin2 cos2r2sin2 sin2)r2sindrdd 8a52a2M 4rsindrdddsin drdr0005154323a其中M4a3为球体的质量 3提示 x2y2r2sin2cos2r2sin2 sin2r2sin2 四、引力 我们讨论空间一物体对于物体外一点P0(x0 y0 z0)处的单位质量的质点的引力问题 高等数学教案 重积分 设物体占有空间有界闭区域 它在点(x y z)处的密度为(x y z) 并假定(x y z)在上连续 在物体内任取一点(x y z)及包含该点的一直径很小的闭区域dv(其体积也记为dv) 把这一小块物体的质量dv近似地看作集中在点(x y z)处 这一小块物体对位于P0(x0 y0 z0)处的单位质量的质点的引力近似地为 dF(dFx,dFy,dFz) (G其中(x,y,z)(xx0)r3dv,G(x,y,z)(yy0)r3dF dv,G(x,y,z)(zz0)r3dv) dFx、dFy、dFz为引力元素 在三个坐标轴上的分量 r(xx0)2(yy0)2(zz0)2 G为引力常数 将dFx、dFy、dFz在上分别积分 即可得Fx、Fy、Fz 从而得F(Fx、Fy、Fz) 例7设半径为R的匀质球占有空间闭区域{(x y z)|x2y2z2R2) 求它对于位于点M0(0 0 a)(a>R)处的单位质量的质点的引力 解 设球的密度为0 由球体的对称性及质量分布的均匀性知Fx=Fy=0, 所求引力沿z轴的分量为 FzG0zadv [x2y2(za)2]3/ G0RRRR(za)dzdxdy 2223/2[xy(za)]x2y2R2z22R2z22 G0(za)dzd0Rd[(za)]23/20 2G011(za)()dz R22azR2aza1R(za)dR22aza2] aR32R 2G0(2R2R2) 3a4R31GM G 023aa2 2G0[2R高等数学教案 重积分 其中M4R30为球的质量 3上述结果表明 匀质球对球外一质点的引力如同球的质量集中于球心时两质点间的引力 小结 1.曲面面积的计算; 2.质心的计算; 3.转动惯量的定义和求解。 教学方式及教学过程中应注意的问题 在教学过程中要注意曲面面积的计算,质心的计算,转动惯量的定义和求解,要结合实例,反复讲解。 师生活动设计 1.设有一高度为h(t)(t为时间)的雪堆在融化过程中,其侧面满足方程2(x2y2),设长度单位为厘米, 时间单位为小时, 已知体积减少的速率与侧zh(t)h(t)面积成正比(比例系数 0.9), 问高度为130 cm 的雪堆全部融化需要多少小时?(2001考研)讲课提纲、板书设计 作业 P175: 1,2,4(1),7(1) 高等数学教案 重积分 习题课 一、重积分计算的基本方法 —— 累次积分法 1.选择合适的坐标系 使积分域多为坐标面(线)围成;被积函数用此坐标表示简洁或变量分离.2.选择易计算的积分序 积分域分块要少, 累次积分易算为妙.3.掌握确定积分限的方法 图示法;列不等式法(从内到外: 面、线、点) 二、重积分计算的基本技巧 1.交换积分顺序的方法 2.利用对称性或重心公式简化计算 3.消去被积函数绝对值符号 4.利用重积分换元公式 三、重积分的应用 1.几何方面 面积(平面域或曲面域), 体积 , 形心 2.物理方面 质量, 转动惯量, 质心, 引力 3.其它方面 四、例题分析 1.在均匀的半径为R的圆形薄片的直径上 , 要接上一个一边与直径等长的同样材料的均匀矩形薄片,使整个薄片的重心恰好落在圆心上 ,问接上去的均匀矩形薄片的另一边长 高等数学教案 重积分 度应为多少? 2.计算积分3.(xy)d,其中D由yD2x2y222x,xy4,xy12所围成。 计算二重积分 DI(xxye)dxdy, 其中 (1)D为圆域 x2y21;(2)D由直线yx,y1,x1围成 P182;6;(1),(3) 第九章 重积分 教学目的: 1、理解二重积分、三重积分的概念,了解重积分的性质,知道二重积分的中值定理。 2、掌握二重积分的(直角坐标、极坐标)计算方法。 3、掌握计算三重积分的(直角坐标、柱面坐标、球面坐标)计算方法。 4、会用重积分求一些几何量与物理量(平面图形的面积、体积、重心、转动惯量、引力等)。教学重点: 1、二重积分的计算(直角坐标、极坐标); 2、三重积分的(直角坐标、柱面坐标、球面坐标)计算。 3、二、三重积分的几何应用及物理应用。教学难点: 1、利用极坐标计算二重积分; 2、利用球坐标计算三重积分; 3、物理应用中的引力问题。 §9 1 二重积分的概念与性质 一、二重积分的概念 1 曲顶柱体的体积 设有一立体 它的底是xOy面上的闭区域D 它的侧面是以D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面 它的顶是曲面zf(x y) 这里f(x y)0且在D上连续 这种立体叫做曲顶柱体 现在我们来讨论如何计算曲顶柱体的体积 首先 用一组曲线网把D分成n个小区域: 1 2 n 分别以这些小闭区域的边界曲线为准线 作母线平行于z轴的柱面 这些柱面把原来的曲顶柱体分为n个细曲顶柱体 在每个 i中任取一点( i i) 以f( i i)为 高而底为 i的平顶柱体的体积为 : f( i i)i(i1 2 n) 这个平顶柱体体积之和:Vf(i,i)i i1n可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值 为求得曲顶柱体体积的精确值 将分割加密 只需取极限 即 Vlimf(i,i)i 0i1n其中是个小区域的直径中的最大值 2平面薄片的质量 设有一平面薄片占有xOy面上的闭区域D 它在点(x y)处的面密度为(x y) 这里(x y)0且在D上连续 现在要计算该薄片的质量M 用一组曲线网把D分成n个小区域 1 2 n 把各小块的质量近似地看作均匀薄片的质量 ( i i) i 各小块质量的和作为平面薄片的质量的近似值 M(i,i)i i1nn 将分割加细 取极限 得到平面薄片的质量Mlim(i,i)i 0i1其中是个小区域的直径中的最大值 定义 设f(x y)是有界闭区域D上的有界函数 将闭区域D任意分成n个小闭区域 1 2 n 其中 i表示第i个小区域 也表示它的面积 在每个 i上任取一点( i i) 作和 ni1f(i,i)i 如果当各小闭区域的直径中的最大值趋于零时 这和的极限总存在 则称此极限为函数f(x y)在闭区域D上的二重积分 记作f(x,y)d 即 DDf(x,y)dlim0i1f(i,i)i nf(x y)被积函数 f(x y)d被积表达式 d面积元素 x y积分变量 D积分区域 积分和 直角坐标系中的面积元素 如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分D 那么除了包含边界点的一些小闭区域外 其余的小闭区域都是矩形闭区域 设矩形闭区域i的边长为xi和yi 则ixiyi 因此在直角坐标系中 有时也把面积元素d 记作dxdy 而把二重积分记作 Df(x,y)dxdy 其中dxdy叫做直角坐标系中的面积元素 二重积分的存在性 当f(x y)在闭区域D上连续时 积分和的极限是存在的 也就是说函数f(x y)在D上的二重积分必定存在 我们总假定函数f(x y)在闭区域D上连续 所以f(x y)在D上的二重积分都是存在的 二重积分的几何意义 如果f(x y)0 被积函数f(x y)可解释为曲顶柱体的在点(x y)处的竖坐标 所以二重积分的几何意义就是柱体的体积 如果f(x y)是负的 柱体就在xOy 面的下方 二重积分的绝对值仍等于柱体的体积 但二重积分的值是负的 二 二重积分的性质 性质1 设c1、c2为常数 则 [c1f(x,y)c2g(x,y)]dDc1f(x,y)dc2g(x,y)dDD 性质2如果闭区域D被有限条曲线分为有限个部分闭区域 则在D上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和 例如D分为两个闭区域D1与D2 则 Df(x,y)df(x,y)df(x,y)d D1D 2性质3 1dd(为D的面积) DD 性质4 如果在D上 f(x y)g(x y) 则有不等式 Df(x,y)dg(x,y)dD 特殊地 |f(x,y)d||f(x,y)|d DD 性质5 设M、m分别是f(x y)在闭区域D上的最大值和最小值 为D的面积 则有 mDf(x,y)dM 性质6(二重积分的中值定理)设函数f(x y)在闭区域D上连续 为D的面积 则在D上至少存在一点( )使得 Df(x,y)df(,) §9 2 二重积分的计算法 一、利用直角坐标计算二重积分 X型区域 D 1(x)y2(x) axb Y 型区域 D 1(x)y2(x) cyd 混合型区域 设f(x y)0 D{(x y)| 1(x)y2(x) axb} 此时二重积分f(x,y)d在几何上表示以曲面zf(x y)为顶 以区域D为底的D曲顶柱体的体积 对于x0[a b] 曲顶柱体在xx0的截面面积为以区间[1(x0) 2(x0)]为底、以曲线zf(x0 y)为曲边的曲边梯形 所以这截面的面积为 A(x0)2(x0)1(x0)f(x0,y)dy 根据平行截面面积为已知的立体体积的方法 得曲顶柱体体积为 VA(x)dx[aabb2(x)1(x)f(x,y)dy]dx 即 Vf(x,y)d[Dab2(x)1(x)f(x,y)dy]dx 可记为 Df(x,y)ddxab2(x)1(x)f(x,y)dy 类似地 如果区域D为Y 型区域 D 1(x)y2(x) cyd 则有 Df(x,y)ddycd2(y)1(y)f(x,y)dx 例1 计算xyd 其中D是由直线y 1、x2及yx所围成的闭区域 D 解 画出区域D 解法1 可把D看成是X型区域 1x2 1yx 于是 xydD21[xydy]dx1x21y2x1x4x22912]1[x]1dx(x3x)dx[2212428x2x 注 积分还可以写成xyddxxydyxdxydy D1111 2解法2 也可把D看成是Y型区域 1y2 yx2 于是 xydD21[xydx]dyy2212y3y429x222[y]ydy(2y)dy[y]112288 例2 计算y1x2y2d 其中D是由直线y 1、x1及yx所围成的闭区D域 解 画出区域D 可把D看成是X型区域 1x1 xy1 于是 D1111y1xyddxy1xydy[(1x2y2)2]1dx(|x|31)dx x1x3131222211 2(x31)dx1 301 2也可D看成是Y型区域:1y1 1x yD1xydydy12211y1x2y2dx 例3 计算xyd 其中D是由直线yx2及抛物线y2x所围成的闭区域 D 解 积分区域可以表示为DD1+D2 其中D1: 0x1, xyx D2: 1x4, 2yx 于是 Dxyddx01xxxydydx14xx2xydy 积分区域也可以表示为D 1y2 y2xy2 于是 Dxyddy12y2y2xydx[121x2y2y]y2dy221[y(y2)22y5]dy 4y621y4352[y2y]1524368 讨论积分次序的选择 例 4求两个底圆半径都等于的直交圆柱面所围成的立体的体积 解 设这两个圆柱面的方程分别为 x2y2 2及x2z2 2 利用立体关于坐标平面的对称性 只要算出它在第一卦限部分的体积V1 然后再乘以8就行了 第一卦限部分是以D{(x y)| 0yR2x2, 0x}为底 以zR2x2顶的曲顶柱体 于是 V8Rxd8dx220RR2x20R2x2dy8[R2x2y]0R0R2x2dx D 8(R2x2)dx16R3 0R3 二 利用极坐标计算二重积分 有些二重积分 积分区域D 的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便 且被积函数用极坐标变量、 表达比较简单 这时我们就可以考虑利用极坐标来计算二重积分f(x,y)d Dn按二重积分的定义f(x,y)dlimD0i1f(i,i)i 下面我们来研究这个和的极限在极坐标系中的形式 以从极点O出发的一族射线及以极点为中心的一族同心圆构成的网将区域D分为n个小闭区域 小闭区域的面积为 i1(ii)2i1i2i1(2ii)ii i(ii)2iiiii 其中i表示相邻两圆弧的半径的平均值 在i内取点(i , i) 设其直角坐标为( i i) 则有 ii cosi ii sini nn于是 lim即 0i1f(i,i)ilim0i1f(i cosi,i sini)i ii Df(x,y)ds,sin)dd f(coD若积分区域D可表示为 1() 2() 则 Df(cos,sin)ddd2()1()f(cos,sin)d 讨论如何确定积分限? Df(cos,sin)ddd()0f(cos,sin)d Df(cos,sin)dd220d()0f(cos,sin)d 例5 计算exDy2dxdy 其中D是由中心在原点、半径为a 的圆周所围成的闭区域 解 在极坐标系中 闭区域D可表示为 0a 0 2 于是 xeD2y2dxdyeddD220[ed]d 0a220[12ae]0d 2221a(1e)d(1ea) 02 注 此处积分exD2y2dxdy也常写成x2y2a2xe2y2dxdy 利用x2y2a2ex2y2dxdy(1ea2)计算广义积分 0exdx 2设D1{(x y)|x2y2R2 x0 y0} D2{(x y)|x2y22R2 x0 y0} S{(x y)|0xR 0yR} 显然D1SD2 由于ex xeD122y20 从则在这些闭区域上的二重积分之间有不等式 2y2dxdyexSy2dxdyexD22y2dxdy 因为 xeS2y2dxdyexdxeydy(exdx)2 000R2R2R2又应用上面已得的结果有 xeD12y2dxdy4(1eR)2 xeD22y2dxdy4(1e2R) 2于是上面的不等式可写成(1eR)(exdx)2(1e2R) 2R22404令R 上式两端趋于同一极限 4 从而exdx 2 02 例6 求球体x2y2z24a2被圆柱面x2y22ax所截得的(含在圆柱面内的部分)立体的体积 解 由对称性 立体体积为第一卦限部分的四倍 V44a2x2y2dxdy D其中D为半圆周y2axx2及x轴所围成的闭区域 在极坐标系中D可表示为 02a cos 0 2于是 V44a22dd42dD02acos04a22d 32a22(1sin3)d32a2(2) 0332§93 三重积分 一、三重积分的概念 定义 设f(x y z)是空间有界闭区域上的有界函数 将任意分成n个小闭区域 v1 v2 vn 其中vi表示第i个小闭区域 也表示它的体积 在每个vi上任取一点(i i i) 作乘积f( i i i)vi(i1 2 n)并作和f(i,i,i)vi 如果当各小闭区域的直径 i1n中的最大值趋于零时 这和的极限总存在 则称此极限为函数f(x y z)在闭区域上的三重积分 记作f(x,y,z)dv 即 f(x,y,z)dvlim0i1f(i,i,i)vi n 三重积分中的有关术语 ——积分号 f(x y z)——被积函数 f(x y z)dv ——被积表达式 dv体积元素 x y z——积分变量 ——积分区域 在直角坐标系中 如果用平行于坐标面的平面来划分 则vixi yizi 因此也把体积元素记为dv dxdydz 三重积分记作 f(x,y,z)dvf(x,y,z)dxdydz 当函数f(x y z)在闭区域上连续时 极限limf(i,i,i)vi是存在的 0i1n因此f(x y z)在上的三重积分是存在的 以后也总假定f(x y z)在闭区域上是连续的 三重积分的性质 与二重积分类似 比如 [c1f(x,y,z)c2g(x,y,z)]dvc1f(x,y,z)dvc2g(x,y,z)dv f(x,y,z)dvf(x,y,z)dvf(x,y,z)dv 1212dvV 其中V为区域的体积 二、三重积分的计算 1 利用直角坐标计算三重积分 三重积分的计算 三重积分也可化为三次积分来计算 设空间闭区域可表为 z1(x y)zz2(x y) y1(x)yy2(x) axb 则 f(x,y,z)dv[Dz2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz]d dxaby2(x)y1(x)y2(x)y1(x)[z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz]dy f(x,y,z)dz f(x,y,z)dz dxabdyz2(x,y)z1(x,y)即 f(x,y,z)dvadxy(x)1by2(x)dyz2(x,y)z1(x,y)其中D : y1(x) y y2(x) axb 它是闭区域在xOy面上的投影区域 提示 设空间闭区域可表为 z1(x y)zz2(x y) y1(x)yy2(x) axb 计算f(x,y,z)dv 基本思想 对于平面区域D y1(x)yy2(x) axb内任意一点(x y) 将f(x y z)只看作z的函数 在区间[z1(x y) z2(x y)]上对z积分 得到一个二元函数F(x y) F(x,y)三重积分 z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz 然后计算F(x y)在闭区域D上的二重积分 这就完成了f(x y z)在空间闭区域上的 DF(x,y)d[Dz2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz]ddxaby2(x)y1(x)[z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz]dy 则 f(x,y,z)dv[Dz2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz]d dxaby2(x)y1(x)y2(x)y1(x)[z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz]dy f(x,y,z)dz dxabdyz2(x,y)z1(x,y)即 f(x,y,z)dvdxaby2(x)y1(x)dyz2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz 其中D : y1(x) y y2(x) axb 它是闭区域在xOy面上的投影区域 例1 计算三重积分xdxdydz 其中为三个坐标面及平面x2yz1所围成的闭区域 解 作图 区域可表示为: 0z1x2y 0y1(1x) 0x1 2于是 xdxdydz dx0111x20dy1x2y0xdz xdx01x20(1x2y)dy2 140(x2x1x3)dx1 讨论 其它类型区域呢? 有时 我们计算一个三重积分也可以化为先计算一个二重积分、再计算一个定积分 设空间闭区域{(x y z)|(x y)Dz c1 zc2} 其中Dz是竖坐标为z 的平面截空间闭区域所得到的一个平面闭区域 则有 f(x,y,z)dvdzf(x,y,z)dxdy c1Dzc 2例2 计算三重积分zdxdydz 222x2y其中是由椭球面22z21所围成的空 abc间闭区域 解 空间区域可表为: 22y2 x221z2 c zc abc于是 c2cz2dxdydz z2dzdxdyab(1z)z2dz4abc3 2cDzcc1 5练习 1 将三重积分If(x,y,z)dxdydz化为三次积分 其中 (1)是由曲面z1x2y2 z0所围成的闭区域 (2)是双曲抛物面xyz及平面xy10 z0所围成的闭区域 (3)其中是由曲面zx22y2及z2x2所围成的闭区域 2 将三重积分If(x,y,z)dxdydz化为先进行二重积分再进行定积分的形式 其中由曲面z1x2y2 z0所围成的闭区域 2 利用柱面坐标计算三重积分 设M(x y z)为空间内一点 并设点M在xOy面上的投影P 的极坐标为P( ) 则这样的三个数、、z就叫做点M的柱面坐标 这里规定、、z的变化范围为 0< 0 2 坐标面0 0 zz0的意义 点M 的直角坐标与柱面坐标的关系 xcos ysin zz xcosysinzz 柱面坐标系中的体积元素 dvdddz 简单来说 dxdydd dxdydzdxdydzdd dz 柱面坐标系中的三重积分 f(x,y,z)dxdydzf(cos,sin,z)dddz 例3 利用柱面坐标计算三重积分zdxdydz 其中是由曲面zx2y2与平面z4所围成的闭区域 解 闭区域可表示为 2z4 02 02 于是 zdxdydzzdddz2 42 2ddzdz1d(164)d 00222006 12[8216]2 026 33 利用球面坐标计算三重积分 设M(x y z)为空间内一点 则点M也可用这样三个有次序的数r、、 来确定 其中 r为原点O与点M间的距离 为OM与z轴正向所夹的角 为从正z轴来看自x轴按逆时针方向转到有向线段OP的角 这里P为点M在xOy面上的投影 这样的三个数r、、 叫做点M的球面坐标 这里r、、 的变化范围为 0r< 0< 0 2 坐标面rr0 0 0的意义 点M的直角坐标与球面坐标的关系 xrsincos yrsinsin zrcos xrsincosyrsinsinzrcos 球面坐标系中的体积元素 dvr2sindrdd 球面坐标系中的三重积分 f(x,y,z)dvf(rsincos,rsinsin,rcos)r2sindrdd 例4 求半径为a的球面与半顶角为的内接锥面所围成的立体的体积 解 该立体所占区域可表示为 0r2acos 0 02 于是所求立体的体积为 Vdxdydzrsindrdddd222acos000r2sindr 2sind02acos0r2dr 16a3304a34cossind(1cosa) 提示 球面的方程为x2y2(za)2a2 即x2y2z22az 在球面坐标下此球面的方程为r22arcos 即r2acos §9 4 重积分的应用 元素法的推广 有许多求总量的问题可以用定积分的元素法来处理 这种元素法也可推广到二重积分的应用中 如果所要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性(就是说 当闭区域D分成许多小闭区域时 所求量U相应地分成许多部分量 且U等于部分量之和) 并且在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域d时 相应的部分量可近似地表示为f(x y)d 的形式 其中(x y)在d内 则称f(x y)d 为所求量U的元素 记为dU 以它为被积表达式 在闭区域D上积分 Uf(x,y)d D这就是所求量的积分表达式 一、曲面的面积 设曲面S由方程 zf(x y)给出 D为曲面S在xOy面上的投影区域 函数f(x y)在D上具有连续偏导数fx(x y)和fy(x y) 现求曲面的面积A 在区域D内任取一点P(x y) 并在区域D内取一包含点P(x y)的小闭区域d 其面积也记为d 在曲面S上点M(x y f(x y))处做曲面S的切平面T 再做以小区域d的边界曲线为准线、母线平行于z轴的柱面 将含于柱面内的小块切平面的面积作为含于柱面内的小块曲面面积的近似值 记为dA 又设切平面T的法向量与z轴所成的角为 则 d1fx2(x,y)fy2(x,y)d dAcos这就是曲面S的面积元素 于是曲面S 的面积为 A1fx2(x,y)fy2(x,y)d D或 A1(z)2(z)2dxdy Dxy 设dA为曲面S上点M处的面积元素 dA在xOy面上的投影为小闭区域d M在xOy面上的投影为点P(x y) 因为曲面上点M处的法向量为n(fx fy 1) 所以 dA|n|d1fx2(x,y)fy2(x,y)d 提示 dA与xOy面的夹角为(n^ k) dAcos(n^ k)d nk|n|cos(n^ k)1 cos(n^ k)|n|1 讨论 若曲面方程为xg(y z)或yh(z x) 则曲面的面积如何求? ADyz1(x2x)()2dydzyzyx 或 A1(Dzxyz)2()2dzdx 其中Dyz是曲面在yOz面上的投影区域 Dzx是曲面在zOx面上的投影区域 例1 求半径为R的球的表面积 解 上半球面方程为zR2x2y2 x2y2R2 因为z对x和对y的偏导数在D x2y2R2上无界 所以上半球面面积不能直接求出 因此先求在区域D1 x2y2a2(aR)上的部分球面面积 然后取极限 x2y2a2RRxy222dxdyR02dardrRr220 2R(RR2a2) 于是上半球面面积为lim2R(RR2a2)2R2 aR整个球面面积为 A2A14R2 提示 zxxRxy222 zyyRxy222 1(z)2(z)2xyRRxy222 解 球面的面积A为上半球面面积的两倍 上半球面的方程为zR2x2y2 而 zxxRxy222 zyyRxy222 所以 A2x2y2R21(z2z2)()xyR2R 2x2y2R2R2x2y2R0dxdy2R0ddR220 4RR22 4R2 例2设有一颗地球同步轨道通讯卫星 距地面的高度为h36000km 运行的角速度与地球自转的角速度相同 试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比值(地球半径R6400km) 解 取地心为坐标原点 地心到通讯卫星中心的连线为z轴 建立坐标系 通讯卫星覆盖的曲面是上半球面被半顶角为的圆锥面所截得的部分 的方程为 zR2x2y2 x2y2R2sin2 于是通讯卫星的覆盖面积为 ADxy1(z2z2)()dxdyxyDxyRRxy222dxdy 其中Dxy{(x y)| x2y2R2sin2}是曲面在xOy面上的投影区域 利用极坐标 得 Ad02RsinRR220d2RRsinR220d2R2(1cos) 由于cosR 代入上式得 Rh A2R2(1R)2R2hRhRh 由此得这颗通讯卫星的覆盖面积与地球表面积之比为 Ah36106 42.5% 4R22(Rh)2(366.4)106 由以上结果可知 卫星覆盖了全球三分之一以上的面积 故使用三颗相隔23角度的通讯卫星就可以覆盖几乎地球全部表面 二、质心 设有一平面薄片 占有xOy 面上的闭区域D 在点P(x y)处的面密度为(x y) 假定(x y)在D上连续 现在要求该薄片的质心坐标 在闭区域D上任取一点P(x y) 及包含点P(x y)的一直径很小的闭区域d(其面积也记为d) 则平面薄片对x轴和对y轴的力矩(仅考虑大小)元素分别为 dMxy(x y)d dMyx(x y)d 平面薄片对x轴和对y轴的力矩分别为 Mxy(x,y)d Myx(x,y)d DD 设平面薄片的质心坐标为(x, y)平面薄片的质量为M 则有 xMMy yMMx 于是 xMMyx(x,y)dD(x,y)dD yMxMy(x,y)dD(x,y)dD 在闭区域D上任取包含点P(x y)小的闭区域d(其面积也记为d) 则 平面薄片对x轴和对y轴的力矩元素分别为 dMxy(x y)d dMyx(x y)d 平面薄片对x轴和对y轴的力矩分别为 Mxy(x,y)d Myx(x,y)d DD 设平面薄片的质心坐标为(x, y)平面薄片的质量为M 则有 xMMy yMMx 于是 xMMyx(x,y)dD(x,y)dD yMxMy(x,y)dD(x,y)dD 提示 将P(x y)点处的面积元素d看成是包含点P的直径得小的闭区域 D上任取一点P(x y) 及包含的一直径很小的闭区域d(其面积也记为d) 则平面薄片对x轴和对y轴的力矩(仅考虑大小)元素分别为 讨论 如果平面薄片是均匀的 即面密度是常数 则平面薄片的质心(称为形心)如何求? 求平面图形的形心公式为 xd xDyd yDdDdD 例3 求位于两圆2sin 和4sin 之间的均匀薄片的质心 解 因为闭区域D对称于y轴 所以质心C(x, y)必位于y轴上 于是x0 因为 ydDD2sinddsind04sin2sin2d7 22d213D yd所以yDdD777 所求形心是C(0,) 33 3类似地 占有空间闭区域、在点(x y z)处的密度为(x y z)(假宽(x y z)在上连续)的物体的质心坐标是 x1Mx(x,y,z)dv y1My(x,y,z)dv z1Mz(x,y,z)dv 其中M(x,y,z)dv 例4 求均匀半球体的质心 解 取半球体的对称轴为z轴 原点取在球心上 又设球半径为a 则半球体所占空间闭区可表示为 {(x y z)| x2y2z2a2 z0} 显然 质心在z轴上 故xy0 zdvzdv zdvdv3a8 故质心为(0, 0, 3a) 8提示 0ra 0 02 2 dvd2020drsindrsind020a220da02a3rdr32 zdv02d02da02a1a4123 rcosrsindrsin2ddrdr20024202 三、转动惯量 设有一平面薄片 占有xOy面上的闭区域D 在点P(x y)处的面密度为(x y) 假定(x y)在D上连续 现在要求该薄片对于x轴的转动惯量和y轴的转动惯量 在闭区域D上任取一点P(x y) 及包含点P(x y)的一直径很小的闭区域d(其面积也记为d) 则平面薄片对于x轴的转动惯量和y轴的转动惯量的元素分别为 dIxy2(x y)d dI yx2(x y)d 整片平面薄片对于x轴的转动惯量和y轴的转动惯量分别为 Ixy2(x,y)d Iyx2(x,y)d DD 例5 求半径为a 的均匀半圆薄片(面密度为常量)对于其直径边的转动惯量 解 取坐标系如图 则薄片所占闭区域D可表示为 D{(x y)| x2y2a2 y0} 而所求转动惯量即半圆薄片对于x轴的转动惯量Ix Ixy2d2sin2dd DD sin d20a0a4d430sin d 2 1a41Ma2 424其中M1a2为半圆薄片的质量 2类似地 占有空间有界闭区域、在点(x y z)处的密度为(x y z)的物体对于x、y、z轴的转动惯量为 Ix(y2z2)(x,y,z)dv Iy(z2x2)(x,y,z)dv Iz(x2y2)(x,y,z)dv 例6 求密度为的均匀球体对于过球心的一条轴l的转动惯量 解 取球心为坐标原点 z轴与轴l重合 又设球的半径为a 则球体所占空间闭区域 {(x y z)| x2y2z2a2} 所求转动惯量即球体对于z轴的转动惯量Iz Iz(x2y2) dv 2222 cosr2sin sin)r2sindrdd (r2sin2a82 3r4sindrdddsin3 dr4dra5a2M 000155其中M4a3为球体的质量 3提示 x2y2r2sin2cos2r2sin2 sin2r2sin2 四、引力 我们讨论空间一物体对于物体外一点P0(x0 y0 z0)处的单位质量的质点的引力问题 设物体占有空间有界闭区域 它在点(x y z)处的密度为(x y z) 并假定(x y z)在上连续 在物体内任取一点(x y z)及包含该点的一直径很小的闭区域dv(其体积也记为dv) 把这一小块物体的质量dv近似地看作集中在点(x y z)处 这一小块物体对位于P0(x0 y0 z0)处的单位质量的质点的引力近似地为 dF(dFx,dFy,dFz) (G(x,y,z)(xx0)r3dv,G(x,y,z)(yy0)r3dv,G(x,y,z)(zz0)r3dv) 其中dFx、dFy、dFz为引力元素dF在三个坐标轴上的分量 r(xx0)2(yy0)2(zz0)2 G为引力常数 将dFx、dFy、dFz在上分别积分 即可得Fx、Fy、Fz 从而得F(Fx、Fy、Fz) 例7设半径为R的匀质球占有空间闭区域{(x y z)|x2y2z2R2) 求它对于位于点M0(0 0 a)(a>R)处的单位质量的质点的引力 解 设球的密度为0 由球体的对称性及质量分布的均匀性知Fx=Fy=0, 所求引力沿z轴的分量为 FzG0zadv[x2y2(za)2]3/2 G0(za)dzRRx2y2R2zdxdy[x2y2(za)2]3/22 G0(za)dzdR0R2R2z22d[(za)]23/20 R 2G0(za)(1R1R2aza22az)dz 2G0[2R1(za)dR22aza2] aRR 2R32G0(2R2R) 3a24R31MG02G23aa 4R3其中M03为球的质量 上述结果表明 匀质球对球外一质点的引力如同球的质量集中于球心时两质点间的引力第二篇:同济版高等数学教案第五章 定积分
第三篇:第七章 微分方程(三峡大学高等数学教案)
第四篇:第十章____重积分(高等数学教案)
第五篇:高等数学教案ch 9 重积分