数学分析教案 (华东师大版)第十章定积分的应用

第一篇：数学分析教案 (华东师大版)第十章定积分的应用

《数学分析》教案

第十章 定积分的应用

教学要求：

1.理解微元法的思想，并能够应用微元法或定积分定义将某些几何、物理等实际问题化成定积分；

2.熟练地应用本章给出的公式，计算平面区域的面积、平面曲线的弧长，用截面面积计算体积、旋转体的体积和它的侧面积、变力作功等。

教学重点：熟练地应用本章给出的公式，计算平面区域的面积、平面曲线的弧长，用截面面积计算体积、旋转体的体积和它的侧面积、变力作功等

教学时数：10学时

§ 1平面图形的面积（2 时）

教学要求：

1.理解微元法的思想，并能够应用微元法或定积分定义将某些几何、物理等实际问题化成定积分；

2.熟练地应用本章给出的公式，计算平面区域的面积。教学重点：熟练地应用本章给出的公式，计算平面区域的面积

一、组织教学：

二、讲授新课：

（一）直角坐标系下平面图形的面积 ： 1.简单图形：

型和

型平面图形.型和

《数学分析》教案

例

5求由双纽线

所围平面图形的面积.解 倾角为 的两条直线之间).以

轴对称;以

或

.(可见图形夹在过极点，代 方程不变，图形关于 代 , 方程不变, 图形关于 轴对称.参阅P242 图10-6 因此.三、小结：

§ 2 由平行截面面积求体积（2 时）

教学要求：熟练地应用本章给出的公式，用截面面积计算体积。教学重点：熟练地应用本章给出的公式，用截面面积计算体积

（一）已知截面面积的立体的体积: 设立体之截面面积为 推导出该立体之体积

..祖暅原理: 夫幂势即同 , 则积不容异.(祖暅系祖冲之之子 齐梁时人 , 大约在五世纪下半叶到六世纪初)例1

求由两个圆柱面

和

所围立体体积.P244 例1()

《数学分析》教案

和 在区间

上连续可导且

..则

上以

和

为端点的弧段的弧长为为证明这一公式 , 先证以下不等式 : 对 , ,有

Ch 1 §1 Ex 第5题(P4).其几何意义是: 在以点 超过第三边.事实上，和

为顶点的三角形中,两边之差不.为证求弧长公式, 在折线总长表达式中, 先用Lagrange中值定理, 然后对式插项进行估计.如果曲线方程为极坐标形式 出其参数方程

.于是

连续可导, 则可写.§ 4 旋转曲面的面积(1 时)教学要求：旋转曲面的面积。

教学重点：熟练地应用本章给出的公式，计算旋转曲面的面积

第二篇：数学分析教案 (华东师大版)第二十章曲线积分

《数学分析》教案

第二十章 曲线积分

教学目的：1.理解第一、二型曲线积分的有关概念；2.掌握两种类型曲线积分的计算方法，同时明确它们的联系。

教学重点难点：本章的重点是曲线积分的概念、计算；难点是曲线积分的计算。教学时数：10学时

§ 1 第一型曲线积分

一.第一型线积分的定义:

1.几何体的质量: 已知密度函数 , 分析线段的质量 2.曲线的质量:

3.第一型线 积分的定义: 定义及记法.线积分,.4.第一型线积分的性质: P198

二.第一型线积分的计算:

1.第一型曲线积分的计算: 回顾“光滑曲线”概念.Th20.1 设有光滑曲线 义在上的连续函数.则

.(证)P199 ，.是定若曲线方程为 : , 则

.《数学分析》教案

, 即

.2.稳流场通过曲线(从一侧到另一侧)的流量: 解释稳流场.(以磁场为例)..求在单位时间内通过曲线AB从左处的切向量为 , 设有流速场

侧到右侧的流量E.设曲线AB上点

(是切向量方向与X轴正向的夹角.切向量方向按如下方法确定: 法线方 向是指从曲线的哪一侧到哪一侧, 在我们现在的问题中是指从左侧到右侧的方向.切向量方向与法线向按右手法则确定, 即以右手拇指所指为法线方向, 则食指所指为切线方向.).在弧段

上的流量 ，.因此 ，.由 , 得

.于是通过曲线AB从左侧到右侧的总流量E为

.3.第二型曲线积分的定义: 闭路积分的记法.按这一定义 , 有

沿平面曲线 从点A到点B所作的功为 力场

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A , B;函数 和

在L上连续, 则沿L的自然方向(即从点A到点B的方向)有

.(证略)例1 计算积分).积分从点A到点B或闭合, 路径为

ⅰ> 直线段AB

ⅱ> 抛物线

ⅲ> A(1, 1)路径.P205例1 例2 计算积分

ⅰ> 沿抛物线

ⅱ> 沿直线

;, L的两个端点为A(1, 1), B(2 ，D(2 , 1)B(2 , 3)A(1, 1), 折线闭合, 这里L :

从点O(0 , 0)到点B(1 , 2);

从点O(0 , 0)到点B(1 , 2);ⅲ> 沿折线闭合路径O(0,0)A(1,0)B(1,2)O(0,0).P205例1 , 其中L是螺 例3 计算第二型曲线积分 I = 旋线, 从

到 的一段.P207例3 例4 求在力场

ⅰ> 质点由点A

L :

第三篇：数学分析教案 (华东师大版)第十九章 含参量积分

《数学分析》教案

第十九章 含参量积分

教学目的：1.掌握含参量正常积分的概念、性质及其计算方法；2.掌握两种含参量反常积分的概念、性质及其计算方法；3.掌握欧拉积分的形式及有关计算。教学重点难点：本章的重点是含参量积分的性质及含参量反常积分的一致收敛性的判定；难点是一致收敛性的判定。教学时数：12学时

§ 1含参量正常积分

一.含参积分: 以实例

和

引入.定义含参积分 和

.含参积分提供了表达函数的又一手段.我们称由含参积分表达的函数为含参积分.1.含参积分的连续性:

Th19.5 若函数

在

Th19.8 若函数 和 在

在矩形域

上连续 , 则函数

上连续.(证)P172

在矩形域

上连续, 函数 在

上连续.上连续 , 则函数(证)P173

2.含参积分的可微性及其应用:

《数学分析》教案

1.含参无穷积分: 函数 可以是无穷区间).以 分表示的函数

.定义在

上（为例介绍含参无穷积 2.含参无穷积分的一致收敛性: 逐点收敛(或称点态收敛)的定义: 使

., , 引出一致收敛问题.定义(一致收敛性)设函数 , 使

分在

(关于)一致收敛.定义在 对

上.若对

成立, 则称含参无穷积Th 19.5(Cauchy收敛准则)积分收敛，在

上一致

对 成立.例1 证明含参量非正常积分

其中.但在区间

在

上一致收敛 ，内非一致收敛.P180

3.含参无穷积分与函数项级数的关系:

《数学分析》教案

Th 19.8 设函数 和

在

则函数 在

在

上连续.若积分

在.上收敛, 积分上可微,且

一致收敛.3.可积性: 积分换序定理.Th 19.9 设函数

在

有

例3 计算积分

P186

.在

上一致收敛, 则函数

上连续.若积分

在

上可积 , 且四.含参瑕积分简介:

§ 3 Euler积分

本节介绍用含参广义积分表达的两个特殊函数 , 即 和.它们统称为Euler积分.在积分计算等方面, 它们是很有用的两个特殊函数.一.Gamma函数 —— Euler第二型积分：

1.Gamma函数: 考虑无穷限含参积分

，《数学分析》教案

但 在区间

内闭一致收敛.即在任何 时, 对积分, 有

上 , , 而积分

一致收敛.因为

收敛.对积分 , 积分, 而积分

收敛.由M—判法, 它上一致收敛.们都一致收敛，在区间

作类似地讨论, 可得积分敛.于是可得如下结论: 的连续性:

也在区间

内闭一致收

在区间 在区间

内连续.的可导性: 内可导, 且

同理可得: 在区间

.内任意阶可导, 且

3.凸性与极值: ，.在区间 在区间

内严格下凸.(参下段)，内唯一的极限小值点(亦为最小值点)介于1与2 之间.4.的递推公式

函数表:

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5.时, 有意义.用其作为

内., 又可把 依此 , 可把 延拓到函数的延拓:

时 该式右端在 的定义, 即把 延拓到了 , 利用延拓后的 内.时也

时, 依式

延拓到 内除去 的所有点.经过如此延拓后的 例1 求

.)解 的图象如 P192图表19—2., ，.(查表得)，..6.函数的其他形式和一个特殊值:

函数.倘能如此, 可某些积分可通过换元或分部积分若干次后化为 查 函数表求得该积分的值.常见变形有: ⅰ> 令 , 有

= ，

考虑.《数学分析》教案

: 非负，和 , 时为正常积分;

时, 点

为瑕点.由被积函数(由Cauchy判法)积分

收敛.(易见

时积分

发散).数非负, : 时为正常积分;

时, 点

为瑕点.由被积函

和 ,(由Cauchy判法)积分

收敛.(易见

时积分

发散).综上, 时积分

，收敛.设D

于是, 积分 定义了D内的一个二元函数.称该函数为Beta函数, 记为 , 即

不难验证，=

函数在D内闭一致收敛.又被积函数在D内连续, 因此 , 函数是D内的二元连续函数.2.函数的对称性:

.证 =

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, 因此得 ,.ⅱ> 令 , 可得 ，.特别地 , ，.ⅲ> 令 , 有

=

= , 即 ，ⅳ> 令 , 可得

.ⅴ> ,.三.函数和

函数的关系:

函数和

函数之间有关系式

，3

《数学分析》教案

解 ，.例4 求积分

解 令 , 有

.I

.例5 计算积分.解

判敛 ,把该积分化为 , 该积分收敛.(亦可不进行

函数在其定义域内的值 , 即判得其收敛.)

I

.例6 , 求积分 ，5

第四篇：定积分的几何应用教案

4.3.1 定积分在几何上的应用

教材：

《高等数学》第一册第四版，四川大学数学学院高等数学教研室，2009 第四章第三节 定积分的应用

教学目的：

1.理解掌握定积分的微元法；

2.会用微元法计算平面图形的面积、立体的体积、平面曲线的弧长、旋转曲面的面积。

教学重点：定积分的微元法。

教学难点：

计算平面图形的面积、立体体积、平面曲线弧长、旋转曲面面积时的微元如何选取和理解。

教学时数：3学时

教学过程设计：通过大量例题来理解用微元法求定积分在几何上的各种应用。

部分例题：

(1)求平面图形的面积

由定积分的定义和几何意义可知，函数y=f(x)在区间[a,b]上的定积分等于由函数y=f(x)，x=a，x=b 和轴所围成的图形的面积的代数和。由此可知通过求函数的定积分就可求出曲边梯形的面积。

例如：求曲线fx2和直线x=l，x=2及x轴所围成的图形的面积。

分析：由定积分的定义和几何意义可知，函数在区间上的定积分等于由曲线和直线，及轴所围成的图形的面积。

所以该曲边梯形的面积为

f21x223137xdx

31333222(2)求旋转体的体积

(I)由连续曲线y=f(x)与直线x=a、x=b(a

ab(Ⅱ)由连续曲线y=g(y)与直线y=c、y=d(c

cd(III)由连续曲线y=f(x)(f(x)0)与直线x=a、x=b(0a

abx2y2例如：求椭圆221所围成的图形分别绕x轴和y轴旋转一周而成的旋ab转体的体积。

分析：椭圆绕x轴旋转时，旋转体可以看作是上半椭圆b2yax2(axa)，与x轴所围成的图形绕轴旋转一周而成的，因此椭圆ax2y21所围成的图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积为 a2b2b2vy(ax2)aab2213a2(axx)aa3a2dxb2a2aa(a2x2)dx

4ab23椭圆绕y轴旋转时，旋转体可以看作是右半椭圆xa2by2,(byb)，与bx2y2y轴所围成的图形绕y轴旋转一周而成的，因此椭圆221所围成的图形绕

aby轴旋转一周而成的旋转体的体积为

a2a22vy(by)dy2bbb

a2213b422(byy)babb33b2bb22(bydy)

(3)求平面曲线的弧长

(I)、设曲线弧由参数方程

{x(t)(t)

y(t)给出其中'(t),'(t)在[,]上连续，则该曲线弧的长度为s'['(t)2][t(2d)。]x()(Ⅲ)设曲线弧的极坐标方程为rr()()，其中r'()在[,]上连续，则该曲线弧的长度为sr2()[r()']2d()。

x21例如：求曲线ylnx从x=l到x=e之间一段曲线的弧长。

42解：y'x122x，于是弧长微元为

ds1y'2，x111dx1()2dx(x)dx。

22x2x所以，所求弧长为：s

e1111x21e(x)dx(lnx)1(e21)。2x224

第五篇：数学分析 重积分

《数学分析》教案

第二十一章 重积分

教学目的：1.理解并掌握二重积分的有关概念及可积条件，进而会计算二重积分；2.理解三重积分的概念，掌握三重积分的计算方法，并能应用其解决有关 的数学、物理方面的计算问题；

教学重点难点：本章的重点是重积分的计算和格林公式；难点是化重积分为累次积分。

教学时数：22学时

§ 1 二重积分概念

一.矩形域上的二重积分 : 从曲顶柱体的体积引入.用直线网分割.定义 二重积分.例1 用定义计算二重积分

.用直线网

分割该正方形 , 在每个正方形上取其右上顶点为介点.解

.二.可积条件 : D

.大和与小和.Th 1 ，.《数学分析》教案

性质6

.性质7 中值定理.Th 若区域D 的边界是由有限条连续曲线()组成 , 例3 去掉积分

在D上连续 , 则

在D上可积.或

中的绝对值.§ 2 二重积分的计算

二.化二重积分为累次积分:

1.矩形域

上的二重积分:

用“ 体积为幂在势上的积分”推导公式.2.简单域上的二重积分: 简推公式, 一般结果]P219Th9.例1 ，.解法一 P221例3 解法二 为三角形, 三个顶点为 ,.例2 ,.P221例2.例3 求底半径为 的两直交圆柱所围立体的体积.P222例4.《数学分析》教案

解法一(直接计算积分)曲线AB的方程为

.方向为自然方向的反向.因此

.解法二(用Green公式)补上线段BO和OA(O为坐标原点), 成闭路.设所围

区域为D, 注意到 D为反向, 以及, 有

.例2 计算积分 I =, 其中L为任一不包含原点的闭区域D的边界(方向任意)P227例2 解 导数)..（和

在D上有连续的偏,.于是, I =.二.曲线积分与路线无关性:

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;.例6 验证式 P231例4

是恰当微分, 并求其原函数.§ 4 二重积分的变量变换:（4时）

1.二重积分的变量变换公式: 设变换 的Jacobi , 则

, 其中 是在该变换的逆变换

下平面上的区域 在

平面上的象.由条件

一般先引出变换

.而 , 这里的逆变换是存在的., 由此求出变换

.例1 ,.P235 例1.註

当被积函数形如 区域为直线型时, 可试用线性变换 , 积分.《数学分析》教案

极坐标变换: ,.广义极坐标变换: ,.例4.P240例3.例5(Viviani问题)求球体 被圆柱面

所割下立体的体积.P240例4.例6 应用二重积分求广义积分

.P241例5.例7 求橢球体

四.积分换序: 例8 连续.对积分的体积.P241例6.换序..例9 连续.对积分

换序..例10 计算积分

..§ 5 三重积分简介

《数学分析》教案

例2 , :.解.法一(内二外一), 其中 为椭圆域 , 即椭圆域, 其面积为.因此

.同理得 ,.因此.法二(内一外二)上下对称，为 的偶函数，1

《数学分析》教案

Th 21.13 P247.1.柱坐标: P248.例4 ，:

.P248例3 2.球坐标: P249.P 250例4.§ 6 重积分的应用

一、曲面的面积

设曲面方程为

.有连续的一阶偏导数.推导曲面面积公式 , 或.例1 P253例1`.3-