数学分析教案 (华东师大版)第十二章 数项级数（共5篇）

第一篇：数学分析教案 (华东师大版)第十二章 数项级数

《数学分析》教案

第十二章 数项级数

教学目的：1.明确认识级数是研究函数的一个重要工具；2.明确认识无穷级数的收敛问题是如何化归为部分和数列收敛问题的；3.理解并掌握收敛的几种判别法，记住一些特殊而常用的级数收敛判别法及敛散性。

教学重点难点：本章的重点是级数敛散性的概念和正项级数敛散性的判别；难点是一般级数敛散性的判别法。

教学时数：18学时

§ 1 级数的收敛性

一． 概念 ：

1． 级数 ：级数，无穷级数;通项(一般项 , 第 项), 前 项部分和等概念(与中学的有关概念联系).级数常简记为

.2.级数的敛散性与和 : 介绍从有限和入手, 引出无限和的极限思想.以在中学学过的无穷等比级数为蓝本 , 定义敛散性、级数的和、余和以及求和等概念.例1 讨论几何级数 的敛散性.（这是一个重要例题！）

解 时,.级数收敛;时, 级数发散;时, ，《数学分析》教案

3.级数与数列的关系 :

对应部分和数列{

}，收敛

{

}收敛;对每个数列{ 于是,数列{ }, 对应级数 , 对该级数, 有 收敛.=

.}收敛

级数

可见 , 级数与数列是同一问题的两种不同形式.4.级数与无穷积分的关系 : , 其中.无穷积分可化为级数;对每个级数, 定义函数 , 易见有

=.即级数可化为无穷积分.综上所述 , 级数和无穷积分可以互化 , 它们有平行的理论和结果.可以用其中的一个研究另一个.二.级数收敛的充要条件 —— Cauchy准则 ：把部分和数列{

}收敛的Cauchy准则翻译成级数的语言，就得到级数收敛的Cauchy准则.Th(Cauchy准则)

.收敛

和

N, 由该定理可见, 去掉或添加上或改变(包括交换次序)级数的有限项 , 不会影响级数的敛散性.但在收敛时 , 级数的和将改变.去掉前

项的级数表为 或

.《数学分析》教案

性质2

和

收敛，收敛, 且有

=

、.问题 :、三者之间敛散性的关系.收敛 , 则任意加括号后所得级数也收敛 ,且和不变.(收敛数列满足结合律)性质3 若级数 例8 考查级数 该例的结果说明什么问题 ?

从开头每两项加括号后所得级数的敛散性.§ 2 正项级数

一.正项级数判敛的一般原则 :

1.正项级数 : 2.基本定理 : Th 1 设 散时, 有.则级数，收敛

.且当

发

↗;任意加括号不影响敛散性..(证)正项级数敛散性的记法.3.正项级数判敛的比较原则 : Th 2 设则

ⅰ>

< ，<

;

和

是两个正项级数 , 且

时有 ，= ⅱ>

= ，

及 时

《数学分析》教案

ⅰ> 若 ，<

;ⅱ> 若 ，=

.证 ⅰ> 不妨设 时就有

成立 , 有

依次相乘 , , 即

.由 , 得 ，<

.ⅱ> 可见

往后递增 ，.推论(检比法的极限形式)设则 ⅰ> < , =

<

为正项级数 , 且 ，.;ⅱ> > 或 =

.(证)註 倘用检比法判得

= , 则有.检比法适用于 和 有相同因子的级数,特别是

中含有因子

者.例4 判断级数 的敛散性.《数学分析》教案

检根法适用于通项中含有与 有关的指数者.检根法优于检比法.例7 研究级数 的敛散性.解 ，.例8 判断级数

和 的敛散性.解 前者通项不趋于零 , 后者用检根法判得其收敛.3． 积分判别法 ：

Th 5 设在区间 积分

上函数

且↘.则正项级数

与

共敛散.证 对

且

.例9 讨论 级数的敛散性.解 考虑函数

积分当

时收敛 ,时收敛 , 时发散.0时

在区间 时发散.上非负递减.级数

当

时, , 级数发散.《数学分析》教案

解 时, ,(或).……

例2 判断级数的敛散性 , 其中.解 时 , 有;时 ，.例3 设数列

有界.证明

.证 设

.例4 设 且数列

有正下界.证明级数

.证 设

.例5.若, 则

.证;又

.例6 设 例7 设

.若级数和

收敛 ,则级数

收敛..证明

《数学分析》教案

有效的方法是利用等价无穷小判别法.例10

设函数 证明:

在点

有连续的二阶导数, 且

.试

⑴

若 , 则级数 发散.⑵

若 , 则级数 收敛.（2002年西北师大硕士研究生入学试题）

解 把函数 公式, 有间.在点

展开成带二阶Lagrange型余项的Maclaurin, 介于 与 之

⑴

若 数.有 ,则当 充分大时

不变号, 可认为

是同号级 ∽ , 发散.⑵

若 内有界, 设 注意到 在点

连续，在点 的某邻域, 有 |

|=

., 收敛.3

《数学分析》教案

一.交错级数 : 交错级数 , Leibniz型级数.Th 1(Leibniz)Leibniz型级数必收敛 , 且余和的符号与余和首项相同 , 并有

.证(证明部分和序列 的两个子列 和

收敛于同一极限.为此先证明 递增有界.)

, ↗;又 , 即数列

有界.由单调有界原理, 数列

收敛.设

...由证明数列

有界性可见 ,.余和

亦为型级数，余和 与 同号, 且

.例1 判别级数的敛散性.解 时 , 由Leibniz判别法, 收敛;时, 项 , 发散.二.绝对收敛级数及其性质 :

《数学分析》教案

ⅱ> 反设不真 , 即.由 =.而

和= ，中至少有一个收敛 , 不妨设以及 ,与

和

, 收敛 ，条件收敛矛盾.⑶ 绝对收敛级数的可重排性: 更序级数的概念.Th 4 设且= 是.的一个更序.若, 则，证 ⅰ> 若 互相控制.于是 ,，则

，和

是正项级数 , 且它们的部分和可以, 且和相等.ⅱ> 对于一般的

.正项级数由 , =.和 , =

分别是正项级数和 = , 和

= 的更序., 据Th 1 , , 且有

收敛.由上述ⅰ>所证 , 有，= , 由该定理可见 , 绝对收敛级数满足加法交换律.是否只有绝对收敛级数才满足加法交换律呢 ? 回答是肯定的.Th 5(Riemann)若级数), 存在级数 的更序

条件收敛 , 则对任意实数(甚至是 , 使得

=.证 以Leibniz级数

为样本 , 对照给出该定理的证明.关于无穷和的交换律 , 有如下结果:

《数学分析》教案

.证 注意到 , 有

.分部求和公式是离散情况下的分部积分公式.事实上 ，.可见Abel变换式中的

相当于上式中的, 而差 相当于 , 和式相当于积分.引理2(Abel)设有，则、和

如引理1.若

.单调 , 又对 ,证 不妨设 ↘.9

《数学分析》教案

不妨设 ↘0 ，对

.此时就有

.由Cauchy收敛准则 , 收敛.取 ↘0 , , 由Dirichlet判别法 , 得交错级数

收敛.可见Leibniz判别法是Dirichlet判别法的特例.由Dirichlet判别法可导出 Abel判别法.事实上 , 由数列 界 , 收敛 , 设

单调趋于零 , 敛, 级数

↘0.证明级数

有界，级数

.考虑级数

收敛 , 又级数

单调有, 收

收敛.例4 设 收敛.和

对

证

，时，.可见 得级数时, 级数的部分和有界.由Dirichlet判别法推

收敛.收敛.同理可得级数数

《数学分析》教案 的敛散性.解 从首项开始,顺次把两项括在一起, 注意到

以及 级数

例5 设级数

收敛.证明级数

收敛.，所论级数发散., 证.由Abel或Dirichlet判法, 收敛.例6 , 判断级数的敛散性.解., 现证 级数

收敛 : 因

时不

, 又 ↘ , 由Dirichlet判法，级数

收敛.故本题所论级数发散.例7 判断级数的绝对收敛性.解 由Dirichlet判法,得级数收敛.但.仿例6 讨论,知本题所论级数条件收敛.3

《数学分析》教案

证法二 ，收敛.↘ ，.由Dirichlet判法，5-

第二篇：数学分析 数项级数

《数学分析》教案

第十二章 数项级数

教学目的：1.明确认识级数是研究函数的一个重要工具；2.明确认识无穷级数的收敛问题是如何化归为部分和数列收敛问题的；3.理解并掌握收敛的几种判别法，记住一些特殊而常用的级数收敛判别法及敛散性。

教学重点难点：本章的重点是级数敛散性的概念和正项级数敛散性的判别；难点是一般级数敛散性的判别法。

教学时数：18学时

§ 1 级数的收敛性

一． 概念 ：

1． 级数 ：级数，无穷级数;通项(一般项 , 第 项), 前

项部分和等概念(与中学的有关概念联系).级数常简记为

.2.级数的敛散性与和 : 介绍从有限和入手, 引出无限和的极限思想.以在中学学过的无穷等比级数为蓝本 , 定义敛散性、级数的和、余和以及求和等概念.例1 讨论几何级数 的敛散性.（这是一个重要例题！）

解 时,.级数收敛;时, 级数发散;

《数学分析》教案

解

3.级数与数列的关系 :

对应部分和数列{

}，收敛

{

}收敛;，.级数发散.对每个数列{ 于是,数列{}, 对应级数 , 对该级数, 有 收敛.=

.}收敛

级数

可见 , 级数与数列是同一问题的两种不同形式.4.级数与无穷积分的关系 : , 其中.无穷积分可化为级数;对每个级数, 定义函数 , 易见有

=.即级数可化为无穷积分.综上所述 , 级数和无穷积分可以互化 , 它们有平行的理论和结果.可以用其中的一个研究另一个.二.级数收敛的充要条件 —— Cauchy准则 ：把部分和数列{

}收敛的Cauchy准则翻译成级数的语言，就得到级数收敛的Cauchy准则.Th(Cauchy准则)

.收敛

和

N，《数学分析》教案

性质2

和

收敛，收敛, 且有

=

.性质3 若级数变.收敛 , 则任意加括号后所得级数也收敛 ,且和不

§ 2 正项级数

一.正项级数判敛的一般原则 :

1.正项级数 : 2.基本定理 : Th 1 设 散时, 有.则级数，收敛

.且当

发

↗;任意加括号不影响敛散性..(证)3.正项级数判敛的比较原则 : Th 2 设则

ⅰ>

收敛，收敛;

和

是两个正项级数 , 且

时有 ，ⅱ> 发散，发散.(ⅱ> 是ⅰ>的逆否命题)例1 考查级数的敛散性.解 有

即

《数学分析》教案

ⅱ> 可见

往后递增 ，.推论(检比法的极限形式)设则 ⅰ> < , 散.(证)例4 判断级数

为正项级数 , 且 ，.发

收敛;ⅱ> > 或 = 的敛散性.解 ，收敛

.例5 讨论级数的敛散性.解.因此, 当 , 发散 时,;时,;时, 级数成为

2.检根法(Cauchy 判别法): 也是以几何级数作为比较的对象建立的判别法.Th 4 设为正项级数 , 且

及 , 当

时 ，ⅰ> 若 ，收敛;

《数学分析》教案

⑴.⑵ 对 , 有

.⑶

;特别地 , 有

,.⑷ 时 , 有.⑸.⑹

充分大时 , 有

.例1 判断级数

的敛散性.解 时, ,(或).例2 判断级数的敛散性 , 其中.解 时 , 有

收敛

;时 ，发散

.例3 设数列

有界.证明

.《数学分析》教案

二.利用同阶或等价无穷小判敛 :

例8 判断下列级数的敛散性: ⑴;⑵

;⑶

;⑷

;⑸

.例9 判断下列级数的敛散性: ⑴

;⑵

.三． 利用级数判敛求极限 ：

原理 : 常用判定级数

收敛的方法证明

或

.例10 证明.例11 证明.例12 设 ↘

.若

收敛，.证 对 , 由

收敛, 有

, 即;，1

绝

《数学分析》教案

Th 3 ⅰ> 若

，则，.ⅱ> 若 条件收敛 , 则 ,.证 ⅰ> 由

ⅱ> 反设不真 , 即.由 =.而

三.级数乘积简介:

和

和= , , ⅰ> 成立.中至少有一个收敛 , 不妨设以及 ,与

和

, 收敛 ，条件收敛矛盾.1.级数乘积 : 级数乘积 , Cauchy积.[1] P20—21.2．级数乘积的Cauchy定理:

四.型如的级数判敛法：

Th(Abel判别法)设 ⅰ> 级数则 级数 收敛.收敛，ⅱ> 数列

单调有界.证(用Cauchy收敛准则 , 利用Abel引理估计尾项)设 , 有 , 由

收敛 ，对.于是当

时对

时 , 对 有

.由Cauchy收敛准则 ，收敛.2.Dirichlet判别法:

《数学分析》教案

，时，.可见 得级数时, 级数的部分和有界.由Dirichlet判别法推

收敛.收敛.同理可得级数数

习题 课

例1 判断级数的敛散性.解 注意到 亦可)., 所论级数绝对收敛 , 故收敛.(用D-判法 例2 考查级数 的绝对及条件收敛性.解

时为Leibniz型级数, ……, 条件收敛;时 , 绝对收敛.例3 若 敛 ? 解

未必.考查交错级数

.交错级数 是否必收

.这是交错级数 , 有

.但该级数发散.因为否则应有级数

收敛.《数学分析》教案

故本题所论级数发散.例7 判断级数的绝对收敛性.解 由Dirichlet判法,得级数收敛.但.仿例6 讨论,知本题所论级数条件收敛.例8 设级数证 先证数列收敛.事实上,绝对收敛,收敛.证明级数

收敛 ,收敛.收敛.令 有 , 则数列 收敛 ,故有界.设 , 于是由Abel变换, ,(或

而 数列 和 收敛，数列 ，部分和数列

收敛.又

收敛.收敛 , 例9 设数列

收敛.收敛 , 级数

收敛.证明级数

证 注意到 ，收敛.7，.由

第三篇：数项级数教案

《数学分析》教案

第十二章

数

项

级

数

教学目的：（1）理解敛散性概念、级数收敛的性质，熟练求一些级数的和；（2）熟练利用正项级数的收敛原理，比较判别法，Cauchy、D`Alembert判别法及其极限形式，积分判别法判别正项级数的敛散性；（3）理解Leibniz级数，熟练利用Leibniz级数，Abel、Dirichlet判别法判别一般级数的敛散性。

教学重点：上、下极限及其性质，数项级数及其敛散性概念，级数的基本性质，正项级数的判别法，任意项级数的判别法。

教学难点：判别法的应用。

主要教学方法：充分利用教材，采用启发式的课堂教学与讨论相结合的形式组织教学，注意讲授课时与习题课课时的分配，精讲多练，保证必要的习题量。同时，充分利用多媒体辅助教学，注重物理知识背景、几何意义的介绍和数学方法的应用，提高教学效果。

§1 级数的收敛性

1． 级数概念

在初等数学中，我们知道：任意有限个实数u1,u2,,un相加，其结果仍是一个实数，在本章将讨论——无限多个实数相加——级数——所可能出现的情形及特征。如

111123n

从直观上可知，其和为1。2222又如，1(1)1(1)。

其和无意义； 若将其改写为：(11)(11)(11)

则其和为：0；

若写为：

1[(1)1][(1)1]

则和为：1。（其结果完全不同）。问题：无限多个实数相加是否存在和；

如果存在，和等于什么。

定义

1给定一个数列un，将它的各项依次用加号“+”连接起来的表达式

u1u2u3un

（1）称为数项级数或无穷级数（简称级数），其中un称为级数（1）的通项。级数（1）简记为：2． 级数的收敛性 un1n，或

un。

《数学分析》教案

记

Snuk1nku1u2un

称之为级数un1n的第n个部分和，简称部分和。

定义若数项级数un1n的部分和数列Sn收敛于S（即limSnS），则称数项级

n数un1n收敛，称S为数项级数

un1n的和，记作

Sun1n=u1u2u3un。

若部分和数列Sn发散，则称数项级数例1 试讨论等比级数（几何级数）

un1n发散。

aqn1n1aaqaq2aqn1，(a0)的收敛性。

例2 讨论级数

1111 122334n(n1)的收敛性。

3． 收敛级数的性质

由于级数un1n的敛散性是由它的部分和数列Sn来确定的，因而也可以认为数项级数

un1n是数列Sn的另一表现形式。反之，对于任意的数列an，总可视其为数项级数

un1na1(a2a1)(a3a2)(anan1) 的部分和数列，此时数列an与级数a1(a2a1)(a3a2)(anan1)有 相同的敛散性，因此，有

定理1（级数收敛的Cauchy准则）

注：级数（1）发散的充要条件是：存在某个00，对任何正整数N，总存在正整数

m0(N),p0，有

um01um02um0p00。

《数学分析》教案

推论

（必要条件）若级数（1）收敛，则

limun0。

n注：此条件只是必要的，并非充分的，如下面的例3。例3 讨论调和级数

1的敛散性。例4 应用级数收敛的柯西准则证明级数 111 23n1n2收敛。

定理2

若级数un1n与vn1n都有收敛，则对任意常数c,d，级数

(cun1ndvn)也收敛，且

(cun1ndvn)cundvn。

n1n1即对于收敛级数来说，交换律和结合律成立。

定理

3去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性。

（即级数的敛散性与级数的有限个项无关，但其和是要改变的）。

若级数un1n收敛，设其和为S，则级数

un1un2

也收敛，且其和为

，它代表用Sn代替S时所产生的误差。RnSSn。并称为级数un的第n个余项（简称余项）n1定理在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和。

注意：从级数加括号后的收敛，不能推断加括号前的级数也收敛（即去括号法则不成立）。如：(11)(11)(11)000 收敛，而级数

1111 是发散的。

作业：P5 1、2、5 §2 正 项 级 数

一

正项级数收敛性的一般判别原则

同号级数 正项级数

定理12-2-

1正项级数证明：

定理12-2-2（比较原则）设un1n收敛部分和数列Sn有界。

un1n和

vn1n均为正项级数，如果存在某个正数N，使得对

《数学分析》教案

nN都有

unvn，则（1）若级数vn1n收敛，则级数

un1n也收敛；

（2）若级数证明： 例1 考察un1n发散，则级数

vn1n也发散。

1的收敛性。2nn1n1推论（比较判别法的极限形式）设

un1n和

vn1n是两个正项级数，若

lim unl，nvn则（1）当0l时，级数

un1n、vn1n同时收敛或同时发散；

（2）当l0且级数vn1nn收敛时，级数

un1nn也收敛；

（3）当l且vn1发散时，级数

un1也发散。

例2 讨论级数 例3 由级数12nn 的收敛性。

11sin的发散性，可知级数nn是发散的。

二

比式判别法和根式判别法

定理12-2-

3（达朗贝尔判别法，或称比式判别法）设

un为正项级数，且存在某个正整数N0及常数q(0,1)：

（1）若对nN0，有

un1q，则级数un收敛 ； unun11，则级数un发散。un（2）若对nN0，有

(2)证明：

推论（比式判别法的极限形式）设

un为正项级数，且

《数学分析》教案

limun1q，nunn则（1）当q1时，级数u收敛；

（2）当q1（可为）时，级数（3）当q1时，级数例4讨论级数

un发散；

11可能收敛，也可能发散。如：，unn2。n225258258[23(n1)] 115159159[14(n1)]的收敛性。例5 讨论级数n1nx(x0)的收敛性。

定理12-2-4（柯西判别法，或称根式判别法）

设数N0及正常数l，（1）若对nN0，有（2）若对nN0，有 证明：由比较判别法即可得。推论（根式判别法的极限形式）设

nun为正项级数，且存在某个正整

unl1，则级数un收敛； un1，则级数un发散。

nun为正项级数，且

limnunl，n则（1）当l1时，级数un收敛；

（2）当l1（可为）时，级数（3）当q1时，级数

un发散；

11可能收敛，也可能发散。如：，unn2。n2(1)n例6 讨论级数 的敛散性。

2n说明：因 limun1qlimnunq

这就说明凡能用比式判别法判定收敛性的级数，也能用根式判别nnun法来判断，即根式判别法较之比式判别法更有效。但反之不能，如例6。

三

积分判别法

特点：积分判别法是利用非负函数的单调性和积分性质，并以反常积分为比较对象来判断正项级数的敛散性。定理12-9 设f(x)为[1,)上非负减函数，则正项级数

f(n)与反常积分1f(x)dx同时收敛或同时发

《数学分析》教案

散。

证明：由假设f(x)为[1,)上非负减函数，则对任何正数A，f(x)在[1，A]上可积，从而有

f(n)nn1f(x)dxf(n1)，n2,3,

依次相加，得

f(n)n2mmm1f(x)dxf(n1)f(n)

n2n1mm1若反常积分收敛，则对m，有

Sm于是，知

级数

反之，若级数f(n)f(1)f(x)dxf(1)n11m1f(x)dx。

f(n)收敛。

m1n1f(n)收敛，则对任意正整数m(1)，有

mf(x)dxSm1f(n)f(n)S。

又因f(x)为[1,)上非负减函数，故对任何A1，有

0故知，反常积分A1f(x)dxSnS, nAn1。

1f(x)dx收敛。

同理可证它们同时发散。例7 讨论下列级数

11（1）p，（2），（3）pn1nn2n(lnn)1 pn3n(lnn)(lnlnn)的敛散性。作业：P16

1、（1）—（4），2、（1）—（3）

§3 一般 项 级 数

一 交错级数

若级数的各项符号正负相间，即

称为交错级数。

定理12-3-1（莱布尼茨判别法）若交错级数(1)n1n1un，(un0,n)

(1)n1n1un满足下述两个条件：

（1）数列un单调递减；（2）limun0。

n《数学分析》教案

则级数证明 (1)n1n1un收敛。且此时有(1)n1unu1。

n1推论

若级数(1)n1n1un满足莱布尼茨判别法的条件，则其余项估计式为

Rnkn1(1)n1k1ukun1。

11；（2）(1)n1； n1(2n1)!n1例：判别下列级数的收敛性：（1）

(1)n1（3）

二 绝对收敛级数及其性质 若级数

(1)n1n1n。n10un各项绝对值所组成的级数

un收敛，则称原级数

un绝对收敛。

定理12-3-2 绝对收敛的级数一定收敛。

证明：由绝对收敛的定义及级数收敛的柯西准则即可得。

说明：对于级数是否绝对收敛，可用正项级数的各判别法进行判别。例1 对任何实数，级数 n1nn!n是绝对收敛的。

若级数un收敛，但级数n1u发散，则称级数

un条件收敛。

如：(1)n111n1n1n是条件收敛的；(1)和(1)是绝对收敛的。nn1(2n1)!n110n1全体收敛的级数可分为绝对收敛级数和条件收敛级数两大类。

绝对收敛的级数有以下性质： 1． 级数的重排 定理12-3-

3设级数un绝对收敛，且其和等于S，则任意重排后所得到的级数也绝对收敛，且其和也不变。注意：（1）由条件收敛的级数重排后所得到的级数，不一定收敛；即使收敛，也不一定收敛于原来的和数。

（2）条件收敛的级数适当重排后，可得到发散级数，或收敛于事先指定的任何数。如：设 (1)n1n1111111111A，n234567811111An1

1则

(1)，2n1n24682 而 (1)n1n11111113A11，(1)n11n325742n2n1《数学分析》教案

它正是第1个级数的重排。2．级数的乘积 设有收敛级数

uvnu1u2unA，（1）v1v2vnB。

（2）n它们每一项所有可能的乘积为：

u1v1

u1vu1v3

„

u1vn

„

u2v1

u2v2

u2v3

„

u2vn

„

u3v1

u3v2

u3v3

„

u3vn

„

（3）

„

„

„

„

„

„

unv1

unv2

unv3

„

unvn

„

„

„

„

„

„

„

定理12-3-4（柯西定理）若级数（1）、（2）都绝对收敛，则对（3）中所有乘积uivj按任意顺序排列所得到的级数例2 等比级数

wn也绝对收敛，且和等于AB。

12n=1rrr，r1 1r是绝对收敛的，将（rn2)按（15）的顺序排列。则得到

1222nn1(rr)(rrr)(rr) =2(1r)n1个2n

=12r3r(n1)r.注：（3）中所有乘积uivj可以按各种方法排成不同的级数，常用的有按正方形顺序：

u1v1u1v2u2v2u2v1u2v3u2v3u3v3u3v2u3v1； 或对角线顺序：

u1v1u1v2u2v1u1v3u2v2u3v1。

三

阿贝耳判别法和狄利克雷判别法

本段介绍两个判别一般项级数收敛性的方法，先引进一个公式：

引理（分部求和公式，也称阿贝尔变换）设i，vi(i1,2,,n)为两组实数，若令

kv1v2vk，(k1,2,,n)

则有下列求和公式成立：

《数学分析》教案

vi1nii(12)1(23)2(n1n)n1nn。

证明：直接计算可得。

推论（阿贝尔引理）若（1）1,2,,n单调数组；

（2）对任一正整数k(1kn)有kv1v2vkA，记

{k}，则有

maxk

k1nkkv3A。

证明：由阿贝尔引理即可得。

定理12-3-

5（阿贝尔判别法）若{an}为单调有界数列，且级数

bn收敛，则级数

abnna1b1a2b2anbn

收敛。

证明：由阿贝尔引理及柯西准则即可得。如：由此判别法可知，当级数un收敛时，级数

收敛。unnp(p0)，unn1

定理12-3-6（狄利克雷判别法）若{an}为单调递减数列，且liman0，又级数

nbn的部分和数列有界，则级数

abnna1b1a2b2anbn

收敛。

证明：同定理12-3-5。

例3 若数列{an}为单调递减，且liman0，则级数

n

ansinnx，ancosnx

对任何x(0,2)都收敛。

解：由狄利克雷判别法即得。

本章基本概念：

级数，正项级数，任意项级数，交错级数，绝对和条件收敛

本章思考题:

1、如何理解级数与数列敛散性之间的关系？

2、各种判别法的应用条件和适用性是什么？

《数学分析》教案

3、怎样理解级数理论的思想和实践应用？

P24

1、（1）—（4）

第四篇：2015考研数学之数项级数

2015考研数学之数项级数

数项级数是数一和数三的考研考点，普明考研数学崔老师给学员梳理下这部分知识点。

设un是一个数列，则称，简称级数，uuuun123为一个数项级数．．．．．．n1

或一般项。S称为级数的部分和。uuuuun称为数项级数的通项n123n．．．．．

若其极限值S存在称级数收敛，S为该级数的和；若该极限值不存在，称级数发散。

第五篇：数学分析教案 (华东师大版)第八章 不定积分

《数学分析》教案

第八章 不定积分

教学要求：

1.积分法是微分法的逆运算。要求学生：深刻理解不定积分的概念，掌握原函数与不定积分的概念及其之间的区别；掌握不定积分的线性运算法则，熟练掌握不定积分的基本积分公式。

2.换元积分公式与分部积分公式在本章中处于十分重要的地位。要求学生：牢记换元积分公式和选取替换函数（或凑微分）的原则，并能恰当地选取替换函数（或凑微分），熟练地应用换元积分公式；牢记分部积分公式，知道求哪些函数的不定积分运用分部积分公式，并能恰当地将被积表达式分成两部分的乘积，熟练地应用分部积分公式；独立地完成一定数量的不定积分练习题，从而逐步达到快而准的求出不定积分。

3.有理函数的不定积分是求无理函数和三角函数有理式不定积分的基础。要求学生：掌握化有理函数为分项分式的方法；会求四种有理最简真分式的不定积分，知道有理函数的不定积分（原函数）还是初等函数；学会求某些有理函数的不定积分的技巧；掌握求某些简单无理函数和三角函数有理式不定积分的方法，从理论上认识到这些函数的不定积分都能用初等函数表示出来。

教学重点：深刻理解不定积分的概念；熟练地应用换元积分公式；熟练地应用分部积分公式；

教学时数：18学时

《数学分析》教案

可见，若 { │ 有原函数 Ｒ}.，则 的全体原函数所成集合为

原函数的存在性: 连续函数必有原函数.(下章给出证明).可见, 初等函数在其定义域内有原函数;若 则 在区间 上有介值性.在区间 上有原函数, 例2.已知 为 的一个原函数，=5.求

.2.不定积分—— 原函数族：定义； 不定积分的记法；几何意义.例3

;

.（二）不定积分的基本性质: 以下设 和

有原函数.⑴

(先积分后求导, 形式不变应记牢！).⑵

..(先求导后积分, 多个常数需当心！)⑶

时，（被积函数乘系数，积分运算往外挪！）

⑷

由⑶、⑷可见, 不定积分是线性运算, 即对, 有

《数学分析》教案

教学要求： 换元积分公式与分部积分公式在本章中处于十分重要的地位。要求学生：牢记换元积分公式和选取替换函数（或凑微分）的原则，并能恰当地选取替换函数（或凑微分），熟练地应用换元积分公式；牢记分部积分公式，知道求哪些函数的不定积分运用分部积分公式，并能恰当地将被积表达式分成两部分的乘积，熟练地应用分部积分公式；独立地完成一定数量的不定积分练习题，从而逐步达到快而准的求出不定积分。

教学重点：熟练地应用换元积分公式；熟练地应用分部积分公式；

一、新课引入：由直接积分的局限性引入

二、讲授新课：

（一）.第一类换元法 ——凑微分法：

由

引出凑微公式.Th1 若

连续可导, 则

该定理即为：若函数

能分解为

《数学分析》教案

.凑法2.特别地, 有

.例9

.和.例10

例11.例12

=

凑法3

.例13 ⑴

⑵

例14

《数学分析》教案

.例23.例24.例25

例26

三、小结

.（二）第二类换元法 —— 拆微法： 从积分 出发，从两个方向用凑微法计算，即

=

=

=

引出拆微原理.Th2 设

是单调的可微函数,并且

又

具有原

函数.则有换元公式

(证)

《数学分析》教案

解 令 形, 有

有

.利用例22的结果, 并用辅助三角 =

=

例31

⑶正割代换: 正割代换简称为“割换”.是针对型如 根式施行的, 目的是去掉根号.方法是: 利用三角公式

有的 令

变量还愿时, 常用辅助三角形法.例32

解

.例33

.解法一

（用割换）

解法二

（凑微）

.《数学分析》教案

本题还可用割换计算, 但较繁.3.双曲代换: 利用双曲函数恒等式 掉型如 如:

的根式., 令 , 可去

.化简时常用到双曲函数的一些恒等式, 例40

.本题可用切换计算,但归结为积分题课例3., 该积分计算较繁.参阅后面习例41

解

.例42

.解

《数学分析》教案

解法三(用初等化简, 并凑微)

例45

解 =.代换法是一种很灵活的方法.三、小结

（三）.分部积分法:导出分部积分公式.介绍使用分部积分公式的一般原则.1.幂

X 型函数的积分: 分部积分追求的目标之一是: 对被积函数两因子之一争取求导, 以使该因子有较大简化, 特别是能降幂或变成代数函数.代价是另一因子用其原函数代替(一般会变繁), 但总体上应使积分简化或能直接积出.对“幂

” 型的积分, 使用分部积分法可使“幂”降次, 或对“

”求导以使其成为代数函数.例46

(幂对搭配，取对为u)

例47(幂三搭配，取幂为u)例48(幂指搭配，取幂为u)例49(幂指搭配，取幂为u)

《数学分析》教案

例56

=，解得.例57

= =，解得

三、小结

.§ 3 有理函数和可化为有理函数的积分(2学时)

教学要求：有理函数的不定积分是求无理函数和三角函数有理式不定积分的基础。要求学生：掌握化有理函数为分项分式的方法；会求四种有理最简真分式的不定积分，知道有理函数的不定积分（原函数）还是初等函数；学会求某些有理函数的不定积分的技巧；掌握求某些简单无理函数和三角函数有理式不定积分的方法，从理论上认识到这些函数的不定积分都能用初等函数表示出来。

教学重点：使学生掌握化有理函数为分项分式的方法；求四种有理最简真分式的不定积分，学会求某些有理函数的不定积分的技巧；求某些简单无理函数和三角函数有理式不定积分的方法，从理论上认识到这些函数的不定积分都能用初等函数表示出来。

《数学分析》教案

例5

求

例6 设

且具有连续导函数.计算积分

例7 , 求积分

二.含有二次三项式的积分:

例8

=

=

.例9

=

=.9-