(数学分析教案)第二章（5篇范例）

第一篇：(数学分析教案)第二章

第二章 数列极限

（14学时）

§1 数列极限概念

教学目的与要求

1.理解数列极限概念并利用定义证明数列是否收敛.2.掌握无穷小数列概念并利用其证明数列是否收敛于指定的常数.教学重点: 数列极限概念.教学难点: 数列极限概念、利用数列极限定义证明数列是否收敛于指定的常数.学时安排: 4学时

教学方法：讲练结合。教学程序：

若函数f的定义域为全体正整数集合N+，则称

f:NR

或

f(n), nN

为数列．因正整数集N+的元素可按由小到大的顺序排列，故数列f(n)也可写作

a1,a2,,an,，或简单地记为{an}，其中an，称为该数列的通项．

关于数列极限，先举一个我国古代有关数列的例子．

例

1古代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其含义是：一根长为一尺的木棒，每天截下一半，这样的过程可以无限制地进行下去．

把每天截下部分的长度列出如下(单位为尺)：

1112n第一天截下2，第二天截下2，„„，第n天截下2，„„这样就得到一个数列

1111n,2,,n,222．或2.11nn不难看出，数列{2}的通项2随着n的无限增大而无限地接近于0．一般地说，对于数列{an}，若当n无限增大时an能无限地接近某一个常数a，则称此数列为收敛数列，常数a称为它的极限．不具有这种特性的数列就不是收敛数列．

收敛数列的特性是“随着n的无限增大，an无限地接近某一常数a”．这就是说，当n充分大时，数列的通项an与常数a之差的绝对值可以任意小．下面我们给出收敛数列及其极限的精确定义．

定义1 设{an}为数列，a为定数．若对任给的正数，总存在正整数N，使得当，n>N时有|ana|则称数列

{an收敛于a，定数a称为数列{an}的极限，并记作limanan，或ana(n).读作“当n趋于无穷大时，an的极限等于a或an趋于a”．

若数列{an}没有极限，则称{an}不收敛，或称{an}为发散数列．

定义1常称为数列极限的—N定义．下面举例说明如何根据N定义来验证数列极限．

10nn例

2证明，这里为正数 lim证

由于

110|,n

n111故对任给的>0，只要取N=，则当nN时，便有

|111|0|.N

n

即n

1lim0这就证明了nn.例

3证明

3n2lim23nn3

.分析

由于

3n299|2|2

n3n3n

(n3).(1)

9n因此，对任给的>o，只要，便有

3n2|23|, n3

(2)

9n时，(2)式成立．又由于(1)式是在n≥3的条件下成立的，故应取 即当

9Nmax{3,}.

据分析，当nN时有（2）式成立.于是本题得证.证

任给0,取注

本例在求N的过程中，(1)式中运用了适当放大的方法，这样求N就比较方便．但应注意这种放大必须“适当”，以根据给定的E能确定出N．又(3)式给出的N不一定是正整数．一般地，在定义1中N不一定限于正整数，而只要它是正数即可．

例4 证明n9Nmax{3,}.limqn=0，这里|q|<1．

证

若q=0，则结果是显然的．现设0<|q|<1．记我们有

h11|q|，则h>0．

|qn0||q|n

并由(1h)1+nh得到

n1,n(1h)

|q|n11.1nhnh

(4)

对任给的0,只要取就证明了nN1,nh则当nN时，由（4）式得|q0|.这

limqn0.注

本例还可利用对数函数ylgx的严格增性来证明(见第一章§4例6的注及(2)式)，简述如下：

对任给的>0(不妨设<1)，为使|q0||q|，只要

nlg|q|lg

即

nnnlglg|q|

（这里也假定0|q|1).N于是，只要取lglg|q|即可。

=1，其中a>0．

1n

例5 证明nlimna1证

(ⅰ)当a1时，结论显然成立.(ⅱ)当a1时，记a1，则0.由

a(1)1n1n(a1)

n1n得

任给0，由(5)式可见，当

a11na1n.(5)

时，就有a1，即|a1|.所以

1nna1N1nlimna1n.１(ⅲ)当0a1时，,1nna－１11(1)n1n1n1naa

则0.由a111a11ana11.1n1a1n1a

（6）

得任给0，由（6）式可见，当

n１a11N时，就有1a，即|a1|.1n1n所以n.关于数列极限的—N定义，应着重注意下面几点：

1．的任意性

定义1中正数的作用在于衡量数列通项an与定数a的接近程度，愈小，表示接近得愈好；而正数可以任意地小，说明an与a可以接近到任何程度．然而，尽管有其任意性，但一经给出，就暂时地被确定下来，以便依靠它来求出N，又既时limna1任意小的正数，那么2,3或2等等同样也是任意小的正数，因此定义1中不等式|ana|中的可用2,3或2等来代替．同时，正由于是任意小正数，我们可限定小于一个确定的正数(如在例4的注给出的证明方法中限定<1)．另外，定义1中的

2．N的相应性

一般说，N随的变小而变大，由此常把N写作N()，来强调N是依赖于的；但这并不意味着N是由所唯一确定的，因为对给定的，比如当N=100时，|ana｜＜也可改写成|ana|.n>N时有|ana|，则N=101或更大时此不等式自然也成立．这里重要的是能使得当•N的存在性，而不在于它的值的大小．另外，定义1中的，n>N也可改写成nN．

3．从几何意义上看，“当n>N时有|aa|”意味着：所有下标大于N的项aｎ都落在邻域U(a;)内；而在U(a;)之外，数列{an}中的项至多只有N个(有限个)．反之，任给>0，若在U(a;)之外数列{an}中

N，则当n>N时有anU(a,)，即当n>N时有|ana|<．由此，我们可写出数列极限的一种等价定义如下：

定义1

任给>0，若在U(a,)之外数列an中的项至多只有有限个，则称数列an收敛于极限a． 'n

由定义1，可知，若存在某０0，使得数列{an}中有无穷多个项落在U(a,0)之外，则{an}一定不以a为极限．

例6 证明{n}和{(1)}都是发散数列．

2证

对任何aR，取01，则数列{n}中所有满足na1的项(有无穷多个)显然2n都落在U(a;0)之外，故知{n}不以任何数a为极限，即{n}为发散数列.22nn1(a;)(1)}{(1)}中的所有奇数00a1

至于数列{，当时取，则在U之外有

10|a1|,n2项；当a1时取则在U（a;0)之外有{(1)}中的所有偶数项．所以{(1)}不以任何数a为极限，即{(1)}为发散数列．

例7 设nnnlimxnlimynan，做数列{zn}如下：

{zn}:x1,y1,x2,y2,,xn,yn,.证明nlimzna.n

证，因nlimxnlimyna,故对任给的0，数列{xn}和{yn}中落在U(a;)之外的项都至少只有有限个.所以数列{zn}中落在U(a;)之外的项也至多只有有限个．故由定义1'，证得nlimzna．

例8 设{an}为给定的数列，{bn}为对{an}增加、减少或改变有限项之后得到的数列．证明：数列{bn}与{an}同时为收敛或发散，且在收敛时两者的极限相等．

证

设{an}为收敛数列，且nlimana．按定义1，对任给的>0，数列{an}中落在'U(a;)之外的项至多只有有限个．而数列{bn}是对{an}增加、减少或改变有限项之后得到{bn}中的每一项都是{an}中确定的一项，的，故从某一项开始，所以{bn}中落在U(a;)之外的项也至多只有有限个．这就证得nlimbna．

现设{an}发散．倘若{bn}收敛，则因{an}可看成是对{bn}增加、减少或改变有限项之后得到的数列，故由刚才所证，{an}收敛，矛盾．所以当{an}发散时，{bn}也发散．

在所有收敛数列中，有一类重要的数列，称为无穷小数列，其定义如下：

定义2 若n，则称{an}为无穷小数列．

由无穷小数列的定义，不难证明如下命题：

定理2.1数列{an}收敛于a的充要条件是：{ana}为无穷小数列． Ⅳ 小结与提问:本节要求学生理解数列极限概念，利用定义证明数列是否收敛、是否收敛于指定的常数.要求学生课堂上给出nliman0limana和nliman不存在的“—N”定义.Ⅴ 课外作业: P２７ 2、3、4、6、7、8.§２ 收敛数列的性质

教学目的：熟悉收敛数列的性质；掌握求数列极限的常用方法。教学要求：（１）使学生理解并能证明数列性质、极限的唯一性、局部有界性、保号性、保不等式性；

（２）掌握并会证明收敛数列的四则运算定理、迫敛性定理，并会用这些定理求某些收敛数列的极限。

教学重点：迫敛性定理及四则运算法则及其应用。教学难点：数列极限的计算。学时安排: 4学时

教学方法：讲练结合。教学程序：

 引 言

上节引进“数列极限”的定义，并通过例题说明了验证n的方法，这是极限较基本的内容，要求掌握。为了学习极限的技巧及其应用极限来解决问题。还需要对数列的性质作进一步讨论。

limana

一、收敛数列的性质

性质１（极限唯一性）若数列性质２（有界性）若数列an收敛，则它只有一个极限。

nan收敛，则an为有界数列。

(1)注：有界性只是数列收敛的必要条件，而非充分重要条件。例如数列有界，但它不收敛。

性质３（保号性）若nlimana0（或a0），则对任何a(0,a)（或a(a,0)），存在正数Ｎ，使得当nN时有ana（或ana）。性质４（保不等式性）设数列an与bn均收敛，若存在正数N0，使得当nN0时有anlimbnanbn，则limnn。

limanlimbnn思考：如果把条件“anbn”换成“anbn”，那么能否把结论换成n？

保不等式性的一个应用：

limanalimanaa0(n1,2,3,)nn例1 设，证明：若，则n.思考：极限运算与一般函数运算可交换次序吗？ 性质５（迫敛性）设收敛数列can、bn都以a为极限，数列n满足：存在正数N0，limcnacnNacbn0nnn当时有，则数列收敛，且n.注：迫敛性不仅给出了判定数列收敛的一种方法，而且也提供了一个求数列极限的工具。

下面是其应用一例：

n的极限。例2 求数列n性质６（极限的四则运算法则）若

an、bn为收敛数列，则anbn,anbn,anbn也都收敛，且有

lim(anbn)ablimanlimbnnnn;lim(anbn)ablimanlimbnnnn.anlimbn0bb0若再做假设n及n，则数列n也收敛，且有

ananalimnlimnbblimbnnn.nn特别地，若bnc，则n，n.在求数列的极限时，常需要使用极限的四则运算法则。下举几例；

lim(anc)limanclimcanclimanamnmam1nm1a1na0limk1nbnkbnb1nb0，其中mk,am0,bk0.kk1例3 求alimnna1n例4 求，其中a1.例5 求nlimn(n1n).111lim222nn(n1)(2n).例6 求二

数列的子列

１． 引言

极限是个有效的分析工具。但当数列an的极限不存在时，这个工具随之失效。这能说明什么呢？难道n没有一点规律吗？当然不是！出现这种情况原因是我们是从“整个”数列的特征角度对数列进行研究。那么，如果“整体无序”，“部分”是否也无序呢？如果“部分”有序，可否从“部分”来推断整体的性质呢？简而言之，能否从“部分”来把握“整体”呢？这个“部分数列”就是要讲的“子列”。２． 子列的定义

a定义１

设

an为数列，nk为正整数集N的无限子集，且n1n2n3kn，则数列 an1,an2,,ank,

称为数列an的一个子列，简记为ank.an的子列ank的各项都来自an且保持这些项在an中的的an中取出无限多项，按照其在an中的顺序排成一个数列，就注

1由定义可见，先后次序。简单地讲，从是an的一个子列（或子列就是从an中顺次取出无穷多项组成的数列）。

注2 子列a中的n表示ankknk是kan中的第nk项，k表示 ank是ank中的第k项，ka中的第k项就是a中的第n项，故总有naa.即即nknaan，k.特别地，若nkk，则nknkn注3 数列an本身以及an去掉有限项以后得到的子列，称为an的平凡子列；不是平凡子列的子列，称为an的非平凡子列。

an与它的任一平凡子列如2k2k1都是n的非平凡子列。由上节例知：数列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限。a,aa那么数列an的收敛性与的非平凡子列的收敛性又有何关系呢？此即下面的结果：

an收敛an的任何非平凡子列都收敛。定理

数列由此定理可见，若数列an的任何非平凡子列都收敛，则所有这些子列必收敛于同一

an个极限。于是，若数列n有一个子列发散，或有两个子列收敛而极限不相等，则数列一定发散。这是判断数列发散的一个很方便的方法。a§3 数列极限存在的条件

教学目的与要求

掌握数列极限存在的单调有界定理、柯西(Cauchy)收敛准则，并会利用它们求极限、证明相关命题

教学重点: 单调有界定理、柯西(Cauchy)收敛准则.教学难点: 单调有界定理、柯西(Cauchy)收敛准则的证明及应用.学时安排: 4学时

教学方法：讲练结合。教学程序：

极限理论的两个基本问题: 极限的存在性问题, 极限的计算问题．本节将重点讨论极限的存在性问题．

为了确定某个数列是否存在极限，当然不可能将每个实数依定义一一验证，根本的办法是直接从数列本身的特征来作出判断．

首先讨论单调数列，其定义与单调函数相仿．若数列an的各项满足关系式

anan1anan1，1an则称为递增（递减）数列．递增数列和递减数列统称为单调数列．如n为递减数列，n1n2n则不是单调数列.n1为n递增数列，而

定理2．9(单调有界定理)在实数系中，有界的单调数列必有极限．

证

不妨设an为有上界的递增数列．由确界原理，数列an有上确界，记an．下面证明a就是an的极限．事实上，任给0，按上确界的定义，存在asup数列an中某一项aN，使得aan．又由an的递增性，当nN时有

aaNan．

另一方面，由于a是an的一个上界，故对一切an都有anaa．所以当nN时有

aana，limana即n．

同理可证有下界的递增数列必有极限，且其极限即为它的下确界． 例1 设

an1其中实数a2．证明数列an收敛．

111,n1,2,,aaa23n

证

显然an是递增的，下证an有上界．事实上，1111111n1n 12232232n21111111223n1n 122n

，1,2,.于是由单调有界定理，an收敛．

an1例2 证明数列

2,22,222,n个根号收敛，并求其极限．

证

记an

222，易见数列an是递增的．现用数学归纳法

来证明an有上界．

显然a122．假设an2，则有an12an222，从而对一切n有an2，即an有上界．

由单调有界定理，数列an有极限，记为a．由于

an12an，2对上式两边取极限得a2a，即有

2a1a20，解得a1或a2． 由数列极限的保不等式性，a1是不可能的，故有：n__lim2222．

例3 设S为有界数集．证明：若supSaS，则存在严格递增数列xnS，使得nlimxna．

__证

因a是S的上确界，故对任给的0,存在xS,使得xa．又因aS，故xa，从而有axa．

现取11，则存在x1S，使得

a1x1a

再取2min,ax1012，则存在x2S，使得

a2x2a，且有x2a2aax1x1．

一般地，按上述步骤得到xn1S之后，取使得

nmin,axn11n，则存在xnS，anxna，且有xnana(axn1)xn1.上述过程无限地进行下去，得到数列{xn}S，它是严格递增数列，且满足

anxnaan|xna|nlimxna1,n1,2,.n

这就证明了n.1lim(1)nn存在.例4 证明n

证先建

b整理后得不等式.n1ba0，对任一正整数n有

an1(n1)bn(ba)，an1bn[(n1)anb].（1）

11,b1n1n代入(1)式.由于 以

11(n1)anb(n1)(1)n(1)1n1n

, 1n11(1)(1)nn1n.故有

1{(1)n}n这就证明了为递增数列.1a1,b12n代人(1)式，得

再以a1

故有(n1)anb(n1)n(1n11)2n2.2n1111112n22n

4.n114n上式对一切正整数n都成立,即对一切偶数n有.联系到该数列的单调性，可知

n11114nn有上界．于是由单调有界定理推知对一切正整数n都有，即数列1(1)nn}是收敛的.数列{

n通常用拉丁字母e代表该数列的极限，即

1lim(1)nen

n, 它是一个无理数(待证)，其前十三位数字是.e2.7***.以e为底的对数称为自然对数，通常记

lnxlogex 单调有界定理只是数列收敛的充分条件．

定理2．10(柯西(Cauchy)收敛准则)数列{an}收敛的充要条件是：对任给的0，存在正整数N，使得当n,mN时有

m

n．

这个定理从理论上完全解决了数列极限的存在性问题，它的证明将在第七章给出．柯西收敛准则的条件称为柯西条件，它反映这样的事实：收敛数列各项的值愈到后面，彼此愈是接近，以至充分后面的任何两项之差的绝对值可小于预先给定的任意小正数．或者形象地说，aa收敛数列的各项越到后面越是“挤”在一起．另外，柯西收敛准则把N定义中an与a的关系换成了an与am的关系，其好处在于无需借助数列以外的数a，只要根据数列本身的特征就可以鉴别其(收)敛(发)散性．

例5 证明：任一无限十进小数0.b1b2bn的n位不足近似(n12,)所组成的数列

bb1b1b2bb,2,,122nn,101010

101010

(2)

满足柯西条件(从而必收敛)，其中bk为0,1,2,,9中的一个数，k1,2,.bb1b22nn.101010不妨设nm,则有 证 记bm1bm1bn911(1)m1m2nm1nm1aanm1010101010||=10

1111m(1nm)mm 1010

10an对任给的0,，取N1，则对一切nm.N有

|anam| 这就证明了数列(2)满足柯西条件．

Ⅳ 小结与提问:本节要求学生理解掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限、证明极限的存在性.Ⅴ 课外作业:

P３8 3、4、6、7、9、11、12.

第二篇：数学分析教案

《数学分析Ⅲ》教案编写目录（1—16周，96学时）

课时教学计划（教案21-1）

课题：§21-1二重积分的概念

一、教学目的：

1．理解二重积分的概念，其中包括二重积分的定义、几何意义和存在性。2．理解二重积分的7条性质。

二、教学重点：二重积分的概念；二重积分的存在性和性质。

三、教学难点：二重积分的定义；二重积分的存在性。

四、教学方法：多媒体、问题讨论与黑板讲解穿插教学。

五、教学用具：黑板、CAI课件及硬件支持

六、教学过程：

[引例]：

（约5min，语言表述）

由平面图形的面积和曲顶柱体的体积引出二重积分的概念。平面图形的面积

（约40min，投影、图示与黑板讲解）

1．平面图形面积的定义；

2．平面图形可求面积的充分必要条件；

二重积分的定义及其存在性

1.2. 二重积分的定义；

二重积分存在的充分条件和必要条件。

二重积分的性质

（约25min，图示与黑板讲解）

结合二重积分的定义讲解二重积分的7条性质。

 补充例子：

（约10min，黑板讲解）

1．根据二重积分的定义计算二重积分； 2．根据二重积分的性质证明不等式。

七、课程小结：

（约5min，黑板讲解）

二重积分的定义；二重积分性质。

八、作业：P217习题

1，2，3，4，5，6，8。

课时教学计划（教案21-2）

课题：§21-2直角坐标系下二重积分的计算

一、教学目的：

掌握在直角坐标系下二重积分的计算方法。

二、教学重点：直角坐标系下二重积分的计算方法。

三、教学难点：定理21.8，21.9。

四、教学方法：多媒体、问题讨论与黑板讲解穿插教学。

五、教学用具：黑板、CAI课件及硬件支持

六、教学过程：

[引例]：

由曲顶柱体的体积引出二重积分计算的直观概念。 定理21.8，21.9的证明



X型、y型区域的讲解及其定理21.10的证明

 直角坐标系下二重积分的计算举例

教材中例1—例4。

 补充例子：

利用二重积分计算体积；

七、课程小结：

直角坐标系下二重积分的计算。

八、作业：P222习题

1，2，3，4，5，6，8。

（约5min，语言表述）

15min，投影、图示与黑板讲解）

（约25min，图示与黑板讲解）

（约30min，图示与黑板讲解）

（约20min，黑板讲解）

（约5min，黑板讲解）

（约

课时教学计划（教案21-3）

课题：二重积分的概念与计算习题课

一、教学目的：

1．巩固二重积分的概念，其中包括二重积分的定义、几何意义和存在性。2．巩固在直角坐标系下二重积分的计算方法。

二、教学重点：直角坐标系下二重积分的计算方法。

三、教学难点：直角坐标系下二重积分的计算方法。

四、教学方法：多媒体、问题讨论与黑板讲解穿插教学。

五、教学用具：黑板、CAI课件及硬件支持

六、教学过程：

 二重积分的概念与性质

（约95min，投影、图示与黑板讲解）

1．二重积分的概念复习； 2．二重积分的性质复习。



二重积分的计算

1.2.利用二重积分的定义和限制计算二重积分和某些不等式； 在直角坐标系下计算二重积分。

七、课程小结：

（约5min，黑板讲解）

二重积分的定义；二重积分性质；二重积分的计算。

八、作业：P278

总练习题

1，2。

课时教学计划（教案21-4）

课题：§21-3格林公式、曲线积分与路线的无关性

一、教学目的：

1.理解格林公式；

2.掌握格林公式在计算二重积分和曲线积分的方法。3.掌握曲线积分与路线无关的条件和应用方法。

二、教学重点：格林公式的理解和方法。

三、教学难点：定理21.11，21.12。

四、教学方法：多媒体、问题讨论与黑板讲解穿插教学。

五、教学用具：黑板、CAI课件及硬件支持

六、教学过程：

 格林公式，定理21.11的证明



例1—例3的讲解

 曲线积分与路线的无关性，定理21.12的证明

例4的讲解。

 补充例子：

利用二重积分计算曲线积分。

七、课程小结：

格林公式与曲线积分与路径无关的概念。

八、作业：P231习题

1，2，3，4，5，6，8。

15min，投影、图示与黑板讲解）

（约25min，图示与黑板讲解）

（约30min，图示与黑板讲解）

（约20min，黑板讲解）

（约5min，黑板讲解）

（约

课时教学计划（教案21-5）

课题：§21-4二重积分的变量变换

一、教学目的：

1.理解二重积分的变量变换的基本思想；

2.3.掌握二重积分变量变换的方法特别是极坐标变换。掌握在极坐标系下计算二重积分的方法。

二、教学重点：二重积分的变量变换。

三、教学难点：引理和定理21.13，21.14。

四、教学方法：多媒体、问题讨论与黑板讲解穿插教学。

五、教学用具：黑板、CAI课件及硬件支持

六、教学过程：

 二重积分的变量变换公式

（约15min，投影、图示与黑板讲解）



引理证明，定理21.13证明，例1，例2讲解

（约25min，图示与黑板讲解）

  用极坐标计算二重积分，定理21.14证明

（约20min，图示与黑板讲解）二重积分在极坐标系下化为累次积分，例3，例4，例5，例6讲解

（约35min，图示与黑板讲解）

七、课程小结：

（约5min，黑板讲解）

二重积分的变量变换，在极坐标系下计算二重积分的方法。

八、作业：P242习题

1，2，3，4，5。

课时教学计划（教案21-6）

课题：格林公式、曲线积分与路线的无关性

及积分变换习题课

一、教学目的：

1.2.巩固格林公式、曲线积分与路线的无关性及积分变换；

巩固格林公式、曲线积分与路线的无关性及积分变换的计算方法。

二、教学重点：格林公式、曲线积分与路线的无关性及积分变换

三、教学难点：格林公式、曲线积分与路线的无关性及积分变换

四、教学方法：多媒体、问题讨论与黑板讲解穿插教学。

五、教学用具：黑板、CAI课件及硬件支持

六、教学过程：

 讲解格林公式、曲线积分与路线的无关性的计算题

（约95min，投影、图示与黑板讲解）



讲解积分变换的计算题

七、课程小结：

（约5min，黑板讲解）

二重积分的定义；二重积分性质；二重积分的计算。

八、作业：P243

总练习题

7，8 6

课时教学计划（教案21-7）

课题：§21-5 三重积分

一、教学目的：

1.2.3.理解三重积分的概念；

掌握化三重积分为累次积分的方法； 掌握三重积分换元法。

二、教学重点：三重积分换元法

三、教学难点：定义和定理21.15

四、教学方法：多媒体、问题讨论与黑板讲解穿插教学。

五、教学用具：黑板、CAI课件及硬件支持

六、教学过程：

 三重积分的定义

（约15min，投影、图示与黑板讲解）



定理21.15证明，例1，例2讲解

（约25min，图示与黑板讲解）

  三重积分还原公式，柱面坐标变换，球面坐标变换（约20min，图示与黑板讲解）例3，例4，例5讲解

（约35min，图示与黑板讲解）

七、课程小结：

（约5min，黑板讲解）

三重积分的定义，在直角坐标、柱面坐标、球面坐标下计算三重积分的方法。

八、作业：P251习题

1，2，3，4，5。

课时教学计划（教案21-8）

课题：§21-6 重积分的应用

一、教学目的：

1.2.3.掌握重积分在求曲面面积的应用； 了解重积分在重心的应用； 了解重积分在转动惯量的应用。

二、教学重点：重积分求曲面面积

三、教学难点：运用重积分公式求解曲面面积

四、教学方法：多媒体、问题讨论与黑板讲解穿插教学。

五、教学用具：黑板、CAI课件及硬件支持

六、教学过程：

[引例]：

（约5min，语言表述）

由曲面的面积引出重积分的应用。



建立曲面面积的计算公式

（约40min，图示与黑板讲解）

  例1讲解

（约35min，图示与黑板讲解）简单介绍重积分在重心、转动惯量的应用

（约15min，图示与黑板讲解）

七、课程小结：

（约5min，黑板讲解）

曲面面积的概念，重积分在计算曲面面积、重心、转动惯量中的应用。

八、作业：P259 1，2。

课时教学计划（教案21-9）

课题：§21-8 反常二重积分

一、教学目的：

掌握反常二重积分及其计算

二、教学重点：反常二重积分及其计算

三、教学难点：反常二重积分及其计算

四、教学方法：多媒体、问题讨论与黑板讲解穿插教学。

五、教学用具：黑板、CAI课件及硬件支持

六、教学过程：



无界区域上的二重积分

（约10min，图示与黑板讲解）

    定理21.16，定理21.17的证明

（约40min，图示与黑板讲解）例1的讲解

（约15min，图示与黑板讲解）定理21.18，定理21.19

（约15min，图示与黑板讲解）无界函数上的二重积分及定理21.20

（约15min，图示与黑板讲解）

七、课程小结：

（约5min，黑板讲解）

曲面面积的概念，重积分在计算曲面面积、重心、转动惯量中的应用。

八、作业：P272 1，2，3。

课时教学计划（教案21-10）

课题：三重积分及重积分的应用习题课

一、教学目的：

1.巩固三重积分的概念，其中包括三重积分的定义、几何意义和存在性。2.巩固在直角坐标系下三重积分的计算方法。3.巩固化三重积分为累次积分的方法。4.巩固三重积分换元法。

二、教学重点：直角坐标系下三重积分的计算方法。

三、教学难点：三重积分换元法

四、教学方法：多媒体、问题讨论与黑板讲解穿插教学。

五、教学用具：黑板、CAI课件及硬件支持

六、教学过程：

 二重积分的概念与性质

1.三重积分的概念复习； 2.三重积分的性质复习。



三重积分的计算

1.化三重积分为累次积分；

2.在柱面坐标、球面坐标下计算三重积分； 3.计算曲面面积。

七、课程小结：

三重积分的定义；三重积分性质；三重积分的计算。

八、作业：P278

总练习题

15min，投影、图示与黑板讲解）

（约80min，投影、图示与黑板讲解）

（约5min，黑板讲解）

（约

课时教学计划（教案22-1）

课题：§22-1第一型曲面积分

一、教学目的：

1.2.第一型曲面积分的概念。第一型曲面积分的计算。

二、教学重点：第一型曲面积分计算

三、教学难点：第一型曲面积分计算

四、教学方法：多媒体、问题讨论与黑板讲解穿插教学。

五、教学用具：黑板、CAI课件及硬件支持

六、教学过程：

[引例]：

（约5min，语言表述）

由求曲面的质量引出第一型曲面积分的概念。

 第一型曲面积分的概念

（约25min，投影、图示与黑板讲解）



第一型曲面积分的计算

1.2.定理22.1第一型曲面积分计算公式

（约30min，投影、图示与黑板讲解）例1，例2的求解

（约35min，投影、图示与黑板讲解）

七、课程小结：

（约5min，黑板讲解）

第一型曲面积分的定义；第一型曲面积分的计算。

八、作业：P282 1，2，3，4

课时教学计划（教案22-2）

课题：§22-2第二型曲面积分

一、教学目的：

1.2.第二型曲面积分的概念。第二型曲面积分的计算。

二、教学重点：第二型曲面积分计算

三、教学难点：第二型曲面积分计算

四、教学方法：多媒体、问题讨论与黑板讲解穿插教学。

五、教学用具：黑板、CAI课件及硬件支持

六、教学过程：

[引例]：

（约5min，语言表述）

由求流量问题引出第二型曲面积分的概念。

 第二型曲面积分的概念

（约25min，投影、图示与黑板讲解）



第二型曲面积分的计算

1.2.3.定理22.2第二型曲面积分计算公式

（约30min，投影、图示与黑板讲解）例1，例2的求解

（约35min，投影、图示与黑板讲解）

简单介绍两类曲面积分的联系

七、课程小结：

（约5min，黑板讲解）

第二型曲面积分的定义；第二型曲面积分的计算。

八、作业：P289 1，2 12 课时教学计划（教案22-3）

课题：第一、二型曲面积分复习课

一、教学目的：

1.2.巩固第一型曲面积分、第二型曲面积分的概念。巩固第一型曲面积分、第二型曲面积分的计算。

二、教学重点：第一、二型曲面积分计算

三、教学难点：第一、二型曲面积分计算

四、教学方法：多媒体、问题讨论与黑板讲解穿插教学。

五、教学用具：黑板、CAI课件及硬件支持

六、教学过程：

 第一、二型曲面积分的概念

（约10min，投影、图示与黑板讲解）



第一、二型曲面积分的计算

1.2.习题巩固第一、二型曲面积分计算公式

（约75min，投影、图示与黑板讲解）简单介绍两类曲面积分的联系

（约10min，投影、图示与黑板讲解）

七、课程小结：

（约5min，黑板讲解）

第一、二型曲面积分的定义；第一、二型曲面积分的计算。

八、作业：P305 1，2

课时教学计划（教案22-4）

课题：§22-3高斯公式与斯托克斯公式

一、教学目的：

1.2.掌握高斯公式 掌握斯托克斯公式

二、教学重点：高斯公式与斯托克斯公式

三、教学难点：高斯公式与斯托克斯公式

四、教学方法：多媒体、问题讨论与黑板讲解穿插教学。

五、教学用具：黑板、CAI课件及硬件支持

六、教学过程：

 高斯公式的重要意义

（约5min，投影、图示与黑板讲解）



高斯公式

1.2. 定理22.3证明

（约25min，投影、图示与黑板讲解）例1的求解

（约15min，投影、图示与黑板讲解）

斯托克斯公式的重要意义

（约5min，投影、图示与黑板讲解）



斯托克说公式

1.2.3.定理22.4证明

（约15min，投影、图示与黑板讲解）例2的求解

（约10min，投影、图示与黑板讲解）

定理22.5及例3

（约20min，投影、图示与黑板讲解）

七、课程小结：

（约5min，黑板讲解）

高斯公式与斯托克斯公式；高斯公式与斯托克斯公式的计算

八、作业：P296 1，2，3，4 14 课时教学计划（教案22-5）

课题：§22-4场论初步

一、教学目的：

1.2.了解场的概念 掌握梯度场、散度场

二、教学重点：梯度场、散度场

三、教学难点：梯度场、散度场

四、教学方法：多媒体、问题讨论与黑板讲解穿插教学。

五、教学用具：黑板、CAI课件及硬件支持

六、教学过程：

 场的概念、向量场线

（约15min，投影、图示与黑板讲解）



梯度场的定义及其基本性质

（约20min，投影、图示与黑板讲解）

例1求解

（约15min，投影、图示与黑板讲解）

 散度场的定义及其基本性质

（约20min，投影、图示与黑板讲解）



例2求解

（约15min，投影、图示与黑板讲解）

了解其他场

（约10min，投影、图示与黑板讲解）

七、课程小结：

（约5min，黑板讲解）

场的概念；梯度场、散度场。

八、作业：P296 1，2，3，4。

课时教学计划（教案22-6）

课题：高斯公式与斯托克斯公式和场论初步复习课

一、教学目的：

1.2.巩固高斯公式与斯托克斯公式 巩固梯度场、散度场

二、教学重点：高斯公式与斯托克斯公式

三、教学难点：高斯公式与斯托克斯公式

四、教学方法：多媒体、问题讨论与黑板讲解穿插教学。

五、教学用具：黑板、CAI课件及硬件支持

六、教学过程：

 高斯公式与斯托克斯公式

（约15min，投影、图示与黑板讲解）



高斯公式与斯托克斯公式的计算

（约65min，投影、图示与黑板讲解）

复习场论知识

（约15min，黑板讲解）

七、课程小结：

（约5min，黑板讲解）

高斯公式与斯托克斯公式；高斯公式与斯托克斯公式的计算； 场的概念；梯度场、散度场。

八、作业：P305 3，4。

第三篇：数学分析 教案

第九章

空间解析几何

教学目标：

1．理解空间直角坐标系的概念,掌握两点间的距离公式.2．理解向量的概念、向量的模、单位向量、零向量与向量的方向角、方向余弦概念.3．理解向量的加法、数乘、点积与叉积的概念.4．理解基本单位向量，熟练掌握向量的坐标表示，熟练掌握用向量的坐标表示进行向量的加法、数乘、点积与叉积的运算.5．理解平面的点法式方程和空间直线的点向式方程（标准方程）、参数方程，了解平面和空间直线的一般式方程.6．理解曲面及其方程的关系，知道球面、柱面和旋转曲面的概念，掌握球面、以坐标轴为旋转轴、准线在坐标面上的旋转曲面及以坐标轴为轴的圆柱面和圆锥面的方程及其图形.7．了解空间曲线及其方程，会求空间曲线在坐标面内的投影.8．了解椭球面、椭圆抛物面等二次曲面的标准方程及其图形.教学重点：向量的概念，向量的加法、数乘、点积与叉积的概念，用向量的坐标表示进行向量的加法、数乘、点积与叉积的运算，平面的点法式方程，空间直线的标准式方程和参数方程，球面、以坐标轴为轴的圆柱面和圆锥面方程及其图形，空间曲线在坐标面内的投影.教学难点：向量的概念，向量的点积与叉积的概念与计算，利用向量的点积与叉积去建立平面方程与空间直线方程的方法，利用曲面的方程画出空间图形.教学方法：讲授为主的综合法 教学学时：14学时 教学手段：板书

学法建议：解析几何的实质是建立点与实数有序数组之间的关系，把代数方程与曲线、曲面对应起来，从而能用代数方法研究几何图形建议在本章的学习中，应注意对空间图形想象能力的培养，有些空间图形是比较难以想像和描绘的，这是学习本章的一个难点.为了今后学习多元函数重积分的需要，同学们应自觉培养这方面的能力.参考资料： 使用教材：《高等数学》（第三版），高职高专十一五规划教材，高等教育出版社，2011年5月，侯**主编.参考教材： 1.《高等数学》，21世纪高职高专精品教材，北京理工大学出版社，2005年5月，宋立温等主编.2.《高等数学》，教育部高职高专规划教材，高等教育出版社，2006年4月，盛祥耀主编.3.《高等数学》，第五版.同济大学数学教研室编，高等教育出版社.4.《高等数学应用205例》，李心灿编，1986年，高等教育出版社.5.《高等数学》，宋立温等主编，21世纪高职高专精品教材，北京理工大学出版社，2005年5月.第一节 空间直角坐标系与向量的概念

教学目标：

1．理解空间直角坐标系的概念,掌握两点间的距离公式.2．理解向量的概念、向量的模、单位向量、零向量与向量的方向角、方向余弦概念.3．理解向量的加法、数乘、点积与叉积的概念.4．理解基本单位向量，熟练掌握向量的坐标表示，熟练掌握用向量的坐标表示进行向量的加法、数乘的运算.教学重点：向量的概念，向量的加法、数乘的概念，用向量的坐标表示进行向量的加法、数乘的运算.教学难点：向量的概念.教学方法：讲授为主的综合法 教学学时：2学时 教学手段：板书

一、引入新课（3分钟）

(提问)举几个既有大小又有方向的量.(温故知新,进行一些必要知识铺垫。)

二、讲授新课（72分钟）

（一）空间直角坐标系（17分钟）

在空间,使三条数轴相互垂直且相交于一点O，这三条数轴分别称为x轴、y轴和z轴，一般是把x轴和y轴放置在水平面上，z轴垂直于水平面.z轴的正向按下述法则规定如下：伸出右手，让四指与大拇指垂直，并使四指先指向x轴的正向，然后让四指沿握拳方向旋转090指向y轴的正向，这时大拇指所指的方向就是z轴的正向(该法则称为右手法则).这样就组成了右手空间直角坐标系Oxyz.在此空间直角坐标系中，x轴称为横轴，y轴称为纵轴，简称坐标面.x轴与yz轴称为竖轴，O称为坐标原点;每两轴所确定的平面称为坐标平面，轴所确定的坐标面称为xOy坐标面，类似地有yOz坐标面，zOx坐标面。这些坐标面把空间分为八个部分，每一部分称为一个卦限.在空间直角坐标系中建立了空间的一点M与一组有序数(x,y,z)之间的一一对应关系。有序数组(x,y,z)称为点M的坐标；x,y,z分别称为x坐标，y坐标，z坐标.(提问)根据点的坐标的规定，点（0,0,c）在哪条坐标轴上，点（a，b，0）(a,0,c)在哪个坐标面上？（目的在于检验学生能否正确理解点与有序数组的对应关系，并在问题中正确应用.）

（二）向量的基本概念及线性运算（15分钟）1.向量的基本概念

（此部分内容在高中阶段已学，故可由教师引导，师生共同回忆完成）⑴向量的定义：既有大小，又有方向的量，称为向量或矢量．

⑵向量的模：向量的大小称为向量的模，用a或AB表示向量的模． ⑶单位向量 模为1的向量称为单位向量． ⑷零向量 模为０的向量称为零向量，零向量的方向是任意的.⑸向量的相等 大小相等且方向相同的向量称为相等的向量.⑹自由向量 在空间任意地平行移动后不变的向量,称为自由向量.2.向量的线性运算 ⑴ 向量的加法

① 三角形法则 若将向量a的终点与向量b的起点放在一起，则以a的起点为起点，以b的终点为终点的向量称为向量a与b的和向量，记为ab.这种求向量和的方法称为向量加法的三角形法则.②平行四边形法则 将两个向量a和b的起点放在一起，并以a和b为邻边作平行四边形，则从起点到对角顶点的向量称为ab.这种求向量和的方法称为向量加法的平行四边形法则.向量的加法满足下列运算律.交换律：ab=ba； 结合律：（ab）+c=a+（b+c）.⑵ 向量与数的乘法运算

实数与向量a的乘积是一个向量，称为向量a与数的乘积，记作a，并且规定：

①a a；

②当0时，a与a的方向相同；当0时，a与a的方向相反； ③当0时，a是零向量.设,都是实数，向量与数的乘法满足下列运算律：

结合律：(a)()a(a)；

分配律：()aaa , (a+b)=a+b.向量的加法运算和向量与数的乘法运算统称为向量的线性运算.⑶ 求与a同向的单位向量的方法 设向量a是一个非零向量，则与a同向的单位向量

eaa.a ⑷ 负向量 当1时，记(-1)a=-a，则-a与a的方向相反，模相等，-a称为向量a的负向量.⑸ 向量的减法 两向量的减法（即向量的差）规定为 a-b=a +(-1)b.向量的减法也可按三角形法则进行，只要把a与b的起点放在一起，a-b即是以b的终点为起点，以a的终点为终点的向量.（三）向量的坐标表示（40分钟）

1、向径及其坐标表示

⑴ 基本单位向量 i,j,k分别为与x轴,y轴,z轴同向的单位向量.⑵ 向径及其坐标表示

向径 终点为P的向量OP称为点P的向径,记为OP.点P(a1,a2,a3)的向径OP的坐标表达式为OP=a1ia2ja3k或简记为 OP={a1,a2,a3}.讲解例1（教师分析，师生共同完成本题目的求解，目的在于检验学生能否正确应用向径的坐标表示.）

2、向量M1M2的坐标表示

设以M1(x1,y1,z1)为起点,以M2(x2,y2,z2)为终点的向量M1M2的坐标表达式为 M1M2=(x2x1)i(y2y1)j(z2z1)k.讲解例2（教师分析，师生共同完成本题目的求解，目的在于检验学生能否正确应用向量M1M2的坐标表示.）

3、向量aa1ia2ja3k的模 a=a1a2a3.4、空间两点间距离公式

222点M1(x1,y1,z1)与点M2(x2,y2,z2)间的距离记为d(M1M2),则d(M1M2)M1M2, 而M1M2=(x2x1)i(y2y1)j(z2z1)k 所以d(M1M2)(x2x1)2(y2y1)2(z2z1)2

讲解例

3、例4（学生讲解，考察学生对所学知识进行运用的情况）5.坐标表示下的向量运算

设aa1ia2ja3k，bb1ib2jb3k，则有（1）ab(a1b1)i(a2b2)j(a3b3)k；（2）ab(a1b1)i(a2b2)j(a3b3)k；（3）a(a1ia2ja3k)a1ia2ja3k；（4）aba1b1,a2b2,a3b3（5）a∥ba=ba1a2a3.b1b2b3引导学生看书、探究证明方法.由老师分析归纳证明思路，指出定理的作用与用法.讲解例5（师生共同完成，让学生熟悉解题过程，旨在规范学生解题步骤，培养科学的学习方法与态度）

三、课堂练习（9分钟）教材169页1—5题.（检验学习效果，让学生在会的基础上，训练解题速度。旨在训练学生总结数学思想的能力，并在学习中注意这些数学思想的应用）

四、内容小结（4分钟）

（教师引导学生一起完成，让学生学会总结归纳）

（一）空间直角坐标系

（二）向量的基本概念及线性运算 1.向量的基本概念 2.向量的线性运算

（三）向量的坐标表示 1.向径及其坐标表示 2.向量M1M2的坐标表示

3.向量aa1ia2ja3k的模 a=a1a2a3.4.空间两点间距离公式 5.坐标表示下的向量运算

五、布置作业(2分钟)1.教材169页2、4、6题

2.预习第二节向量的点积与叉积

222第二节 向量的点积与叉积

教学目标：熟练掌握用向量的坐标表示进行向量点积与叉积的运算.教学重点：向量点积与叉积的概念.教学难点：用向量的坐标表示进行向量点积与叉积的运算.教学方法：讲授为主的综合法 教学学时：2学时 教学手段：板书

一、引入新课（5分钟）

(提问)1.向径及其坐标表示2.向量M1M2的坐标表示3.向量aa1ia2ja3k的模

222a2a34.空间两点间距离公式 a=a1(温故知新,为用向量的坐标表示进行向量点积与叉积的运算做一些必要的知识铺垫。)

二、讲授新课（64分钟）

（一）向量的点积（34分钟）

1、引例

已知力F与x轴正向夹角为，其大小为F,在力F的作用下，一质点M沿x轴由x=a移动到x=b,求力F所做的功？（创设学习的情景，激发学生学习数学的兴趣）

分析：在力F使质点M沿x轴由x=a移动到x=b,所做的功等于F的模与位移的模及其夹角余弦的积.解略.这个特殊问题中得出的关系是否具有普遍意义？引起思维的碰撞，引出向量的点积的定义.2、定义 设向量a,b之间的夹角为(0π)，则称abcos为向量a与b的数 量积，记作a·b，即 a·b=abcos.向量的点积又称“点积”或“内积”.讲解例1.（教师分析，师生共同完成本题目的求解，目的在于检验学生能否正确理解向量的点积的定义.）

向量的点积还满足下列运算律: 交换律：a·b= b·a；

分配律：(a+b)·c= a·c+b·c；

结合律：(a·b)=(a)·b(其中为常数).3、点积的坐标表示

（1）设aa1ia2ja3k，bb1ib2jb3k,则a·b=a1b1a2b2a3b3.（由学生自行得出点积的坐标表示公式，进一步加深对向量点积的定义的理解）（2）定理1：a⊥bab0a1b1a2b2a3b30

讲解例2.（学生讲解，考察学生对两向量正交充分必要条件的理解与应用能力）

4、向量a与b的夹角余弦

设aa1ia2ja3k，bb1ib2jb3k,则 cosa1b1a2b2a3b3ab =(0π).222222aba1a2a3b1b2b35、向量的方向余弦

设 向 量 aa1ia2ja3k与 x 轴 ,y 轴 ,z 轴 的 正 向 夹 角 分 别 为

,,(0,,π),称其为向量a的三个方向角，并称cos ,cos,cos为a的方向余弦，向量a的方向余弦的坐标表示为

cos且cos2cos2a1aaa212223, cosa2aaa212223, cosa3aaa212223，cos21.讲解例4（（师生共同完成.利用数学建模解决物理问题，让学生熟悉建模过程，规范解题步骤.数学来源于生活、服务生活，培养学生学数学、用数学的意识.）

（二）向量的叉积（30分钟）1.引例

设点O为一杠杆的支点，力F作用于杠杆上点P处，求力F对支点O的力矩.分析：力F对支点O的力矩等于F的模与向量OP的模及其夹角正弦的积.解略.（这个特殊问题中得出的关系是否具有普遍意义？引起思维的碰撞，引出向量的叉积的定义.）

2.叉积的定义

(1)定义 两个向量a与b的叉积是一个向量，记作a×b，它的模和方向分别规定如下：

①a×b=absin 其中是向量a与b的夹角；

②a×b的方向为既垂直于a又垂直于b，并且按顺序a,b,a×b符合右手法则.（2）向量的叉积满足如下运算律.反交换律：a×b=-b×a；

分配律：(a+b)×c=a×c+b×c；

结合律：(a×b)=(a)×b=a×(b)(其中为常数).讲解例5（学生讲解，考察学生对向量叉积定义的理解与应用能力）（3）定理2：a∥bab0.3.叉积的坐标表示

设aa1ia2ja3k，bb1ib2jb3k，则

a×b=(a2b3a3b2)i(a1b3a3b1)j(a1b2a2b1)k.可将a×b表示成一个三阶行列式的形式，计算时，只需将其按第一行展开即可.即

i j k a×b= a1 a2 a3.b1 b2 b3

讲解例6（师生共同完成，加深学生对叉积的坐标表示公式的记忆，让学生熟悉解题过程，旨在规范学生解题步骤，培养科学的学习方法与态度）

讲解例8(师生共同完成，训练学生解决实际问题的能力)

三、课堂练习（15分钟）

教材174页思考题1—3题.（检验学习效果，让学生在会的基础上，训练解题速度.）

四、内容小结（4分钟）

（教师引导学生一起完成，让学生学会总结归纳，训练学生总结数学思想的能力，并在学习中注意这些数学思想的应用.）

（一）向量的点积定义、坐标表示；

（二）向量的叉积定义、坐标表示及记忆方法.五、布置作业(2分钟)1.教材174页2、4、6、8题 2.预习第三节平面与直线

第四篇：《数学分析》教案

《数学分析》教案

S F 01(数)

C h0 数学分析课程简介

C h 1 实数集与函数

计划课时： Ch 0

2时

Ch 1

6时

P 1—8

说 明：

1．这是给数学系2001届学生讲授《数学分析》课编制的教案.该课程开设两学期, 总课时为1 8 0 学时, 是少课时型教案（后来又开设了一学期，增加了8 0 学时）.按照学分制的要求, 只介绍数学分析最基本的内容.本教案共2 7 9页，分2 1章.2.取材的教材: [1] 华东师范大学数学系编，数学分析，高等教育出版社，1996；

[2] 郑英元，毛羽辉，宋国东，数学分析习题课教程，高等教育出版社，1991； [3] 马振民，数学分析的方法与技巧选讲，兰州大学出版社，1999； [4] 马振民，吕克璞，微积分习题类型分析, 兰州大学出版社，1999； [5] W.Rudin, Principles of mathematical analysis, 1964.Ch 0

数学分析课程简介(2 时)一.数学分析(mathematical analysis)简介:

1.背景: 从切线、面积、计算sin32、实数定义等问题引入.2.极限(limit)—— 变量数学的基本运算：

3.数学分析的基本内容：数学分析以极限为基本思想和基本运算研究实变实值

函数.主要研究微分(differential)和积分(integration)两种特殊的极限运算,利用这两种运算从微观和宏观两个方面研究函数, 并依据这些运算引进并研究一些非初等函数.数学分析基本上是连续函数的微积分理论.微积运算是高等数学的基本运算.数学分析与微积分(calculus)的区别..二． 数学分析的形成过程：

1． 孕育于古希腊时期： 在我国，很早就有极限思想.纪元前三世纪, Archimedes 就有了积分思想.2.十七世纪以前是一个漫长的酝酿时期,是微积分思想的发展、成果的积累时期: 3． 十七世纪下半叶到十九时纪上半叶 —— 微积分的创建时期: 参阅《数学分

析选讲》讲稿(1997.8.10.)第三讲P72.4.十九时纪上半叶到二十时纪上半叶 —— 分析学理论的完善和重建时期：参阅 《数学分析选讲》讲稿第三讲P72—75.三.数学分析课的特点:

逻辑性很强, 很细致, 很深刻;先难后易, 是说开头四章有一定的难度, 倘能努力学懂前四章(或前四章的8000), 后面的学习就会容易一些;只要在课堂上专心听讲, 一般是可以听得懂的, 但即便能听懂,习题还是难以顺利完成.这是因为数学分析技巧性很强, 只了解基本的理论和方法, 不辅以相应的技巧, 是很难顺利应用理论和方法的.论证训练是数学分析课基本的,也是重要的内容之一, 也是最难的内容之一.一般懂得了证明后，能把证明准确、严密、简练地用数学的语言和符号书写出来，似乎是更难的一件事.因此, 理解证明的思维方式, 学习基本的证明方法, 掌握叙述和书写证明的一般语言和格式, 是数学分析教学贯穿始终的一项任务.有鉴于此, 建议的学习方法是: 预习, 课堂上认真听讲, 必须记笔记, 但要注意以听为主, 力争在课堂上能听懂七、八成.课后不要急于完成作业, 先认真整理笔记, 补充课堂讲授中太简或跳过的推导, 阅读教科书, 学习证明或推导的叙述和书写.基本掌握了课堂教学内容后, 再去做作业.在学习中, 要养成多想问题的习惯.四.课堂讲授方法:

1.关于教材: 没有严格意义上的教科书.这是大学与中学教学不同的地方, 本课程主要从以下教科书中取材:

[1] 华东师范大学数学系编，数学分析，高等教育出版社，1996；

[2] 郑英元，毛羽辉，宋国东，数学分析习题课教程，高等教育出版社，1991；

[3] 马振民，数学分析的方法与技巧选讲，兰州大学出版社，1999；

[4] 马振民，吕克璞，微积分习题类型分析, 兰州大学出版社，1999；

[5] W.Rudin, Principles of mathematical analysis, 1964.本课程基本按[1]的逻辑顺序, 主要在[1]、[4]、[3]中取材.在讲授中, 有时会指出所讲内容的出处.本课程为适应课时少和学分制的要求，只介绍数学分析最基本的内容.因此删去了[1]中第八、十五、十九和二十二等四章，相应的内容作为选修课将在学完数学分析课之后开设.2.内容多, 课时紧: 大学课堂教学与中学不同的是, 这里每次课介绍的内容很多, 因此, 内容重复的次数少, 讲课只注重思想性与基本思路, 具体内容或推导, 特别是同类型或较简的推理论证及推导计算, 可能讲得很简, 留给课后的学习任务一般很重.3.讲解的重点: 概念的意义与理解, 几何直观, 理论的体系, 定理的意义、条件、结论.定理证明的分析与思路, 具有代表性的证明方法, 解题的方法与技巧.某些精细概念之间的本质差别.在第一、二章教学中, 可能会写出某些定理证明, 以后一般不会做特别具体的证明叙述.五.要求、辅导及考试：

1.学习方法: 尽快适应大学的学习方法, 尽快进入角色.课堂上以听为主, 但要做课堂笔记.课后一定要认真复习消化, 补充笔记.一般课堂教学与课外复习的时间比例应为1 : 3(国外这个比例通常是 1 : 4.参《西北师大报》№191，2000.9.30.第二版:

本科节段如何培养高素质创新人材 ——

伯利克大学的启示.注: 伯利克大学乃美国加州大学伯利克分校.)对将来从事数学教学工作的师范大学本科生来说, 课堂听讲的内容应该更为丰富:

要认真评价教师的课堂教学, 把教师在课堂上的成功与失败变为自己的经验.这对未来的教学工作是很有用的.2.作业:

作业以[1]的练习题中划线以上的部分习题和[4]中的计算题为主要内容.大体上每两周收一次作业, 一次收清.每次重点检查作业总数的三分之一.作业的收交和完成情况有一个较详细的登记, 缺交作业将直接影响学期总评成绩.作业要按数学排版格式书写恭整.要求活页作业, 最好用西北师大稿纸.要有作业封面, 尺寸为19.527.5cm.作业布置方式: [1]P…, [4]P…

3.辅导: 大体每周一次, 第一学期要求辅导时不缺席.4.考试: 按学分制的要求, 只以最基本的内容进行考试, 大体上考课堂教学和所布置作业的内容, 包括[1]和[4]中的典型例题.考试题为标准化试题.Ch 1 实数集与函数(6时)

§ 1

实数集与确界（3时）

一．

实数集R：回顾中学中关于实数集的定义.1.四则运算封闭性: 2.三歧性(即有序性): 3.Rrchimedes性: a,bR, ba0, nN,  nab.4.稠密性: 有理数和无理数的稠密性, 给出稠密性的定义.5.实数集的几何表示 ─── 数轴: 6.两实数相等的充要条件: ab,  0, ab  .7.区间和邻域:

二.几个重要不等式:

1.绝对值不等式: 定义 a maxa , a .[1]P2 的六个不等式.2.其他不等式:

⑴ a2b22ab, sinx  1.sinx  x.⑵

均值不等式: 对aa1,a2,,nR, 记

M(aa1a2anni) n 1nai,(算术平均值)

i11n

G(ai)na1a2annai,(几何平均值)i1

H(ai)n11nnna11111.(调和平均值)1a2anni1aii1ai有平均值不等式:

H(ai) G(ai) M(ai),等号当且仅当a1a2an时成立.⑶

Bernoulli 不等式:(在中学已用数学归纳法证明过)x1,有不等式(1x)n1nx, nN.当x1 且 x0, nN且n2时, 有严格不等式(1x)n1nx.(现采用《数学教学研究》1991.№ 1马德尧文 “均值不等式妙用两则”中的证明)证 由 1x0且1x0, (1x)nn1(1x)n111 n n(1x)nn(1x).(1x)n1nx.⑷ 利用二项展开式得到的不等式: 对h0, 由二项展开式(1h)n1nhn(n1)2!h2n(n1)(n2)3!hh，3n 有(1h)n上式右端任何一项.三.有界数集与确界原理: 1.有界数集:

定义(上、下有界, 有界)，闭区间、(a,b)(a,b为有限数）、邻域等都是有界数集，集合 Ey ysinx, x( , )也是有界数集.无界数集: 定义,( , ),( , 0),(0 , )等都是无界数集，1, x(0 , 1)也是无界数集.x集合 Ey y2.确界: 给出直观和刻画两种定义.n(1)

例

1⑴

S1n,则supS______, infS_______.

⑵ Ey ysinx, x(0,).则

supE________, infE_________.例2 非空有界数集的上（或下）确界是唯一的.例3 设S和A是非空数集，且有SA.则有 supSsupA, infSinfA..例4 设A和B是非空数集.若对xA和yB,都有xy, 则有

supAinfB.证 yB, y是A的上界,  supAy. supA是B的下界,  supAinfB.例5 A和B为非空数集, SAB.试证明: infSmin infA , infB .证

xS,有xA或xB, 由infA和infB分别是A和B的下界,有

xinfA或xinfB. xmin infA , infB .即min infA , infB 是数集S的下界,  infSmin infA , infB .又SA,  S的下界就是A的下界,infS是S的下界,  infS是A的下界,  infSinfA;同理有infSinfB.于是有 infSmin infA , infB .综上, 有 infSmin infA , infB .3.数集与确界的关系: 确界不一定属于原集合.以例1⑵为例做解释.4.确界与最值的关系: 设 E为数集.⑴

E的最值必属于E, 但确界未必, 确界是一种临界点.⑵

非空有界数集必有确界(见下面的确界原理), 但未必有最值.⑶

若maxE存在, 必有 maxEsupE.对下确界有类似的结论.四.确界原理:

Th(确界原理).Ex

[1]P4 3，4，9，10；

P9

2，4，7⑴⑶.§ 2 初等函数(3时)

一.函数:

1.函数:

[1]P10—12的五点说明.2.定义域: 定义域和存在域.3.函数的表示法:

4.反函数:

一 一 对应, 反函数存在定理.5.函数的代数运算:

1x, x1,f(x)2, x1，2x, x1

二.分段函数: 以函数介绍概念.2x, x1,和g(x)2为例

x, x1例1 f(x)32x1, 去掉绝对值符号.x  1,x, 1x, x 1.例

2f(x)

求 f(0), f(1), f(2).例

3设 f(x)x3, x10,ff(x5), x10.求 f(5).(答案为8)

三.函数的复合:

例4 yf(u)定义域.例

5⑴

f(1x)xx1, f(x)_____________.112x2.则f(x)()xx222u, u g(x)1x.求

2fg(x)fg(x).并求

⑵

fx2

A.x, B.x1, C.x2, D.x2.[4]P407 E62.2四.初等函数:

1.基本初等函数:

2.初等函数: 3.初等函数的几个特例: 设函数f(x)和g(x)都是初等函数, 则

⑴ f(x)是初等函数, 因为 f(x)f(x)2.⑵ (x)maxf(x), g(x) 和 (x)minf(x), g(x)都是初等函数, 因为 (x)maxf(x), g(x) (x)minf(x), g(x)  ⑶ 幂指函数 f(x) f(x)g(x)1212f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x) , f(x)g(x).g(x)f(x)0是初等函数,因为

g(x)elnf(x)eg(x)lnf(x).五.有界函数: 有界函数概念.例6

验证函数 f(x)225x2x32在R内有界.2解法一 由2x3(2x)(3)25x2x322x326x, 当x0时,有

f(x)5x2x325x26x5263.f(0)03，

对 xR, 总有 f(x)3, 即f(x)在R内有界.解法二

令 y5x2x32,  关于x的二次方程 2yx225x3y0有实数根.22

 524y0,  y25244,  y2.解法三

令 xtgt, t,对应x( , ).于是 2223f(x)5x2x3252332tgt2533tgt2tgt322tgt15sint126costsect

 526sin2t,  f(x)526sin2t526.关于奇偶函数、周期函数和单调函数，参阅[1]P22—25，[4]P19—24.Ex [1]P19—20 1⑸，3，4，6；

P25 1，2，5，8，12；

[4]P34—36 54，55，56，67，68，71，81.

第五篇：数学分析教案第一章

数学分析(mathematical analysis)课程简介

(计划课时:2时)

一、背景:从切线、面积等问题引入.1极限(limit)—— 变量数学的基本运算.2数学分析的基本内容：数学分析以极限作为工具来研究函数的一门学科（仅在实数范围内进行讨论）.主要研究微分(differential)和积分(integration)两种特殊的极限运算,利用这两种运算从微观和宏观两个方面研究函数,并依据这些运算引进并研究一些非初等函数.数学分析基本上是连续函数的微积分理论.3 数学分析的形成过程：孕育于古希腊时期:在我国很早就有极限思想.纪元前三世纪, Archimedes就有了积分思想.十七世纪以前是一个漫长的酝酿时期,是微积分思想的发展、成果的积累时期:十七世纪下半叶到十九时纪上半叶——微积分的创建时期:十九时纪上半叶到二十时纪上半叶——分析学理论的完善和重建时期.二、数学分析课的特点: 逻辑性很强, 很细致, 很深刻;先难后易, 是说开头四章有一定的难度, 若能努力学懂前四章(或前四章的80%),后面的学习就会容易一些;只要在课堂上专心听讲,一般是可以听得懂的,但即便能听懂,习题还是难以顺利完成.这是因为数学分析技巧性很强,只了解基本的理论和方法,不辅以相应的技巧,是很难顺利应用理论和方法的.论证训练是数学分析课基本的,也是重要的内容之一,也是最难的内容之一.一般懂得了证明后,能把证明准确、严密、简练地用数学的语言和符号书写出来，似乎是更难的一件事.因此, 理解证明的思维方式,学习基本的证明方法, 掌握叙述和书写证明的一般语言和格式, 是数学分析教学贯穿始终的一项任务.有鉴于此, 建议的学习方法是:课前要复习,做好必要的听课准备;课堂上认真听讲, 必须记笔记, 但要注意以听为主,力争在课堂上能听懂七、八成.课后不要急于完成作业, 先认真整理笔记, 补充课堂讲授中太简或跳过的推导,阅读教科书,学习证明或推导叙述和书写的格式与方法.基本掌握了课堂教学内容后, 再去做作业.在学习中,要养成多想问题的习惯,善于论证进行肯定，尤其要善于举反例进行否定;对概念不能有一点含糊,那是一个数学名词的固定含义,那是推理论证的根据.数学分析是数学系最重要的一门专业基础课，因为它不仅是大学数学系学生进校后首先面临的一门重要课程，而且大学本科乃至研究生阶段的很多后继课程在本质上都可以看作是它的延伸、深化或应用,至于它的基本概念、思想和方法，更可以说是无处不在.本课程的主要任务是：使学生获得极限论、单多元微积分、级数论等方面的系统知识；为后继数学专业课程（如微分方程、实变函数和复变函数、概率论、统计及有关的泛函分析、微分几何等选修课程）及普通物理课程等提供所需的基础理论和知识；提高学生思维能力，开发学生智能，加强“三基”（基础知识、基本理论、基本技能）训练及培养学生独立工作能力.数学分析是数学专业各个方向上考研必考的专业基础课(另一门是高等代数).三、课堂讲授方法:

1.关于教材与参考书目: 没有严格意义上的教科书.这是大学与中学教学不同的地方, 本课程主要从以下教科书中取材: [1] 华东师范大学数学系编，数学分析(上下册)(第三版)，高等教育出版社，2001.6.[2] 数学分析讲义(上下册)(第三版).刘玉琏 傅沛仁编.高等教育出版社，2001.[3] 数学分析新讲（一、二、三册).张筑生编.北京大学出版社，1991.[4] 微积分学教程(共八册).Γ.Μ.菲赫金哥尔茨著.人民教育出版社，1978.[5] 数学分析中的反例.王俊青编.电子科技大学出版社，1996.[6] 数学分析中的典型问题与方法.裴礼文编.高等教育出版社，2002.[7] 数学分析习题集题解(共六册).Б.Л.吉米多维奇编.费定辉等译，山东科技出版社，1983.本课程基本按[1]的逻辑顺序, 主要在[1]、[2]、[3]中取材.在讲授中, 有时会指出所讲内容的出处.本课程为适应课时少和学分制的要求,只介绍数学分析最基本的内容.因此删去了[1]中第十九和二十三等两章, 相应的内容作为选修课将在学完数学分析课之后开设.2.内容多,课时紧:大学课堂教学与中学不同的是,这里每次课介绍的内容很多,因此,内容重复的次数少,讲课只注重思想性与基本思路,具体内容或推导,特别是同类型或较简的推理论证及推导计算,可能讲得很简,留给课后的学习任务一般很重.3.讲解的重点:概念的意义与理解,几何直观,理论的体系,定理的意义、条件、结论.定理证明的分析与思路,具有代表性的证明方法,解题的方法与技巧.某些精细概念之间的本质差别.在第一、二章教学中,可能会写出某些定理证明,以后一般不会做特别具体的证明叙述.四、要求、辅导及考试：

1.学习方法:尽快适应大学的学习方法,尽快进入角色.课堂上以听为主,但要做课堂笔记.课后一定要认真复习消化,补充笔记.一般课堂教学与课外复习的时间比例应为1:3(国外这个比例通常是1: 4)对将来从事数学教学工作的师范大学本科生来说,课堂听讲的内容应该更为丰富:要认真评价教师的课堂教学,把教师在课堂上的成功与失败变为自己的经验.这对未来的教学工作是很有用的.2.作业:作业以[1]的练习题中划线以上的部分习题为主要内容,同时可参考[7]与[1]中划线以下部分的习题.大体上每个练习收一次作业,每次收作业总数的三分之一.作业的收交和完成情况有一个较详细的登记,缺交作业将直接影响学期总评成绩.作业要按数学排版格式书写恭整.要求活页作业, 要有作业封面, 尺寸为19.527.5cm.3.辅导:大体每周一次, 第一学期要求辅导时不缺席.4.考试:按学分制的要求, 只以最基本的内容进行考试, 大体上考课堂教学和所布置作业的内容, 包括[1]中的典型例题.开设三学期考三次.考试题为标准化试题.五.内容安排

1.课时分配: 第一学期16×6=96;第二学期18×6=108;第三学期18×4=72.2.内容分配: 第一学期一元函数微分学;第二学期一元函数积分学与级数论;第三学期二元函数微积分学.第一章 实数集与函数（计划课时：6 时）P1—22

§1 实 数（1时）

一．实数及其性质：回顾中学中关于实数集的定义.1.实数用无限小数表示的方法: 为了把有限小数(包括整数)表示为无限小数, 规定: 对于正有限小数(包括正整数)x,xa0.a1a2an时,其中0ai9,i1,2,,n,an0,a0为非负整数,记xa0.a1a2(an1)9999;而当xa0为正整数时,则记x(a01).9999;对于负有限小数(包括负整数)y,则先将y表示为无限小数,再在所得无限小数之前加负号;又规定数0表示为0.000.例如2.0112.010999,87.999.2.实数的大小: 定义1:(实数大小的概念)见[1]P1.定义2:(不足近似与过剩近似的概念)见[1]P2.命题: 设xa0.a1a2与yb0.b1b2为两个实数,则xyn,使得xnyn.例1 设x、y为实数，xy.证明：存在有理数r满足xry.[1]P17E1.3.实数的性质: ⑴.四则运算封闭性: ⑵.三歧性(即有序性): ⑶.Rrchimedes性:a,bR,ba0,nN,nab.⑷.稠密性: 有理数和无理数的稠密性, 给出稠密性的定义.⑸.实数集的几何表示 ─── 数轴: ⑺.两实数相等的充要条件: ab  0, ab  .二.区间和邻域的概念:见[1]P5 三.几个重要不等式: 1.绝对值不等式: 定义 a maxa , a .[1]P2 的六个不等式.2.其它不等式:

⑴ ab2ab, sinx  1.sinx  x.⑵ 均值不等式: 对a1,a2,,anR, 记

22 3 a1a2an1n

M(ai)  ai,(算术平均值)

nniG(ai)na1a2an

H(ai)ai,(几何平均值)i111n1ni1ain1i1ainn1nn111a1a2an.(调和平均值)有平均值不等式:

H(ai) G(ai) M(ai),等号当且仅当a1a2an时成立.⑶

Bernoulli 不等式: x1,有不等式(1x)n1nx, nN.当x1 且 x0, nN且n2时, 有严格不等式(1x)n1nx.nn证

由 1x0且1x0, (1x)n1(1x)111

nn

n n(1x)n(1x).(1x)1nx.⑷

利用二项展开式得到的不等式: 对h0, 由二项展开式

(1h)1nhnnn(n1)2n(n1)(n2)3hhhn, 2!3!

有(1h)上式右端任何一项.Ex [1]P4: 3，4，5，6；

§2 确界原理（2时）

一、有界数集:定义(上、下有界,有界), 闭区间、(a,b)(a,b为有限数）、邻域等都是有界数集，如集合 Ey ysinx, x( , )也是有界数集.

二、无界数集: 定义,( , ),( , 0),(0 , )等都是无界数集,如集 合 Ey y1, x(0 , 1)也是无界数集.x

三、确界:给出直观和刻画两种定义.(1)n例1 ⑴S1 infS_______.,则supS______,n⑵Ey ysinx, x(0,).则supE________, infE_________.例2 非空有界数集的上（或下）确界是唯一的.例3 设S和A是非空数集，且有SA.则有 supSsupA, infSinfA..例4 设A和B是非空数集.若对xA和yB,都有xy, 则有supAinfB.证yB,y是A的上界, supAy. supA是B的下界, supAinfB.例5 A和B为非空数集, SAB.试证明: infSmin infA , infB .证

xS,有xA或xB, 由infA和infB分别是A和B的下界,有xinfA或xinfB. xmin infA , infB .即min infA , infB 是数集S的下界,  infSmin infA , infB .又SA,  S的下界就是A的下界,infS是S的下界,  infS是A的下界,  infSinfA;同理有infSinfB.于是有

infSmin infA , infB .综上, 有 infSmin infA , infB .四、数集与确界的关系: 确界不一定属于原集合.以例1⑵为例做解释.五、确界与最值的关系:设E为数集.⑴E的最值必属于E, 但确界未必, 确界是一种临界点.⑵非空有界数集必有确界(见下面的确界原理), 但未必有最值.⑶若maxE存在, 必有 maxEsupE.对下确界有类似的结论.六、确界原理: Th(确界原理).Ex

[1]P9:

2，4，5.§3 函数概念(2时)

一.函数的定义:

1.函数: [1]P10—11的四点说明.2.定义域: 定义域和存在域.3.函数的表示法: 4.反函数: 一 一对应, 反函数存在定理.5.函数的代数运算:

1x, x1,2x, x1, x1, 和g(x)2二.分段函数: 以函数f(x)2, 为例介绍

x2, x, x1x1概念.f(x)32x1, 去掉绝对值符号.例2 f(x)x1,x，求 f(0), f(1), f(2).1x, x1.x10,x3, 例3 设 f(x)

求 f(5).(答案为8)ff(x5), x10. 三.复合函数: 例4 yf(u)u, ug(x)1x2.求 fg(x)fg(x).并求定义域.例5 ⑴

f(1x)xx1, f(x)_______________.⑵

fx2112)x2.则f(x)(xx2222A.x, B.x1,C.x2, D.x2.四.初等函数: 1.基本初等函数: 2.初等函数: 3.初等函数的几个特例: 设函数f(x)和g(x)都是初等函数, 则

⑴ f(x)是初等函数, 因为 f(x)

f(x)2.⑵

(x)maxf(x), g(x) 和 (x)minf(x), g(x)都是初等函数, 因为 (x)maxf(x), g(x)12f(x)g(x)f(x)g(x) ，(x)minf(x), g(x) 12f(x)g(x)f(x)g(x).⑶

幂指函数 f(x)g(x)f(x)0是初等函数,因为

f(x)g(x)elnf(x)g(x)eg(x)lnf(x).五.介绍一些特殊函数: 1.符号函数 2.Dirichlet函数 3.Riemann函数 4.取整函数

5.非负小数部分函数

Ex

[1]P15 1(4)(5)，2, 3，4，5, 6, 7，8；

§4 具有某些特性的函数(1时)

一、有界函数: 有界与无界函数的概念.例1 验证函数 f(x)5x2x23在R内有界.解法一

由2x23(2x)2(3)222x326x, 当x0时,有

f(x)5x5x5x2x232x2326x5263.f(0)03，对 xR, 总有 f(x)3, 即f(x)在R内有界.解法二

令 y5x2x23  关于x的二次方程 2yx25x3y0有实数根. 5224y20,  y225244,  y 2.解法三

令 x3tgt, t,对应x( , ).于是 2225x53tgt5sint1

222253tgt2f(x)2x32332tgt16costsec2tgtt3

526sin2t,  f(x)526sin2t526.例2 见[1]P17.例3 见[1]P17.二、关于单调函数、奇偶函数和周期函数(略)，参阅[1]P17—19，Ex

[1]P20 1，2, 3，4，5, 6, 7；