数学分析论文

第一篇：数学分析论文

数学与统计学院

期中考试（论文）

学院：数学与统计学院专业：数学与应用数学班级：姓名：牟景峰

14级本科一班

2015年11月11日

讨论n元函数的极限的证明与计算方法

牟景峰

（陇东学院 数学与统计学院 甘肃 庆阳 745000）

【摘要】 联系一元函数定义、极限、以及极限的证明方法和计算方法讨论得出多元函数极限的证明和计算方法。

【关键词】 n元函数 极限 证明 计算方法

引言

在此之前我们已经学过一元函数，把一元函数的主要概念和极限推广到多元函数上是至关重要的，多元函数与一元函数相比，多元函数定义域的复杂性使得对讨论多元函数相关问题带来不便，因此，我们要在讨论多元函数时既要注意的多元函数与一元函数的区别，也要注意到它们的联系。这里我们将讨论两个问题，分别是多元函数极限的证明和计算方法。在此之前，我们首先给出多元函数的概念。

一、n元函数的概念

1、n维欧氏空间

众所周知，实数轴上的点与全体实数一一对应。在确定的坐标系下平面上的点与所有有序实数对（x,y）一一对应，空间中点与所有有序三元实数组（x,y,z）一一对应。一般来说，定义所有有序n元实数组(x1,x2,…,xn)所组成的集合为n维欧几里德（Euclid）空间，简称n维欧氏空间，记为Rn，即

Rn={（x1，x2，…，xn）；x1，x2，…，xn为实数}

2、n元函数的概念

⒈有了前面n维欧氏空间的概念我们就可以建立n元函数的概念了。我们学过一元和二元函数，将其推广到n（≥3）元函数，就没有什么原则上的困难。为此我们先建立n维欧氏空间

Rn={（x1，x2，…，xn）；x1，x2，…，xn为实数} 也就是说，Rn是全体有序的n个实数组的集合，把每个n元实数组看成Rn空间的点X=（x1，…，xi，…，xn），xi是它的第i（1≤i≤n）个坐标.Rn中的点X=（x1，…，xn）与Y=（y1,…,yn），当且仅当xiyi（1≤i≤n）时，才有X=Y成立。Rn的任何子集叫做n维点集。这样，n元函数不过是由n维点集到实数集的映射罢了。⒉设DRn,MR，fD×M,且对每个X=（x1，…，xn）D，有唯一确定的数uM与之对应，使（X,u）=（x1，…，xn；u）f，则称f为定义于D,取值于M的n元函数。记作

f:D→M；或u=f(X)=f(x1，…，xn),X=（x1，…，xn）D，D称为函数f的定义域，M称为f的取值域。

n元函数u=f(X)=f(x1，…，xn),X=（x1，…，xn）D的图像为集合 S={（x1，…，xn；u）{u=f(x1，…，xn),（x1，…，xn）D}Rn1}.当n≥3时，S就没有直观的几何表示，我们称它为Rn1空间的超曲面。

二、n元函数的极限的证明

00设f(X)是n元函数，D称为其定义域，x0=（x1,x2,…,x0n）是D的聚点。对于实数A,如果任给﹥0，存在﹥0，使得当x属于D且0﹤|x﹣x0|﹤时，就有

|f(X)﹣A|﹤，⑴

则称A是xx0时f(X)的极限，记为

xx0limf(X)=A.⑵

特别地，当n等于2时，也记作limf（x1，x2）=A 0xx10xx20注：U0（x0，）={（x1，…，xn）||xi﹣x1|﹤，i=1,2,…,n且（x1，x2，…，xn）≠（x,x,…,x）}或U（x0，）={（x1，…，xn）|0﹤01020n0(xk1nk02xk)﹤} 据上定义，要证，limf(X)=A，只需证对任意的﹥0，存在﹥0，当DU0（x0，xx0）X时，有，|f(X)﹣A|﹤。

这里找关键，通常是从不等式⑴入手，通过解⑴得到要找的，大家知道这往往是很困难的，常常要考虑函数f(X)本身的性态和一些解题技巧。一般地，证明⑵采取适当放大不等式⑴的方法。

000|f(X)﹣A|≤…≤|x1x1|·|g1（x）|+|x2x2|·|g2(x)|+…+|xnxn|·|gn（x）| ⑶(ⅰ)若|gi（x）|=M,（i=1,2,…,n）即gi（x）皆为常数，则取 M=max{M1,M2,…,Mn} 任意的﹥0取nM﹥0,当DU0（x0，）X时，有

00|f(X)﹣A|≤…≤|x1x1|M1+…+|xnxn|Mn﹤

M1M2Mn++…+nMnMnM≤即，limf(X)=A xx0

（ⅱ）若存在1﹥0，使gi（x）（i=1,2,…,n）在U0（x0，1）D内有界，即

当M﹥0,使任意的XU0（x0，1）D有 |gi（x）|=M,（i=1,2,…,n）于是，当XU0（x0，1）D时，有

00|f(X)﹣A|≤M（|x1x1|+…+|xnxn|）

任意的﹥0，取=min（，1）XU0（x0，1）D时，有 nM00|f(X)﹣A|≤M（|x1x1|+…+|xnxn|）=

即证明了：limf(X)=A xx0现在的问题是将如何将|f(X)﹣A|放大为满足（ⅰ）或（ⅱ）的不等式⑶，上面主要给出了证明的主要思想，至于说具体做法，要根据不同的函数来定。一般都是用直接放大法和变量替换，这里就不再重复，下面介绍一种利用代数方法导出的一种证明方法——多元多项式的带余除法（此方法仅适用于证明多元多项式的极限）。

由一元多项式的带余除法理论不难得到如下结果。

n00R定理1 设f(x1，…，xn)为n元多项式，则对任意的x0=（x1），,x2,…,x0n若存在多项式f1(x1，…，xn)、f2(x2，…，xn)、…、fn(xn)及常数M，使成立

000f(x1，…，xn)=（x1x1）f1(x1，…，xn)+（x2x2）f2(x2，…，xn)+…+（xnxn）fn(xn)+M

⑷

0事实上，应用一元多项式的带余除法，先用（x1x1）去除f(x1，…，xn)可得到

0f(x1，…，xn)=（x1x1）f1(x1，…，xn)+g1(x1，…，xn)0再用x2x2去除g1(x1，…，xn)可得到

0g(x2，…，xn)=（x2x2）f2(x2，…，xn)+g2（x3，…，xn）

0继续用x3x3去除g2（x3，…，xn）可得

0）f3（x3，…，xn）+g3（x4，…，xn）g2（x3，…，xn）=（x3x3……

0）fn(xn)+M gn1（xn）=（xnxn于是

000f(x1，…，xn)=（x1x1）f1(x1，…，xn)+（x2x2）f2(x2，…，xn)+…+（xnxn）fn(xn)+M

00推论1 n元多项式f(x1，…，xn)可表示为

⑷式f（x1,x2,…,x0n）=M 推论2 若n元多项式f(x1，…，xn)可表示为

⑷式，则表示式是唯一的。定理2 若n元多项式f(x1，…，xn)可表示为

⑷式，则

00(x1,x2,…,xn)(x1,x2,…,x0n)limf(x1，…，xn)=M 证明：由假设，⑷式成立，首先任意取定1﹥0，则f1（xi,xi1,…,xn），（i=1,2,…,n）00在点（x1,x2,…,x0n）的1空心邻域内有界，即存在K﹥0,使|f1（xi,xi1,…,xn）|

00≤K［|xixi0|﹤1，i=1,2,…,n.（x1，x2，…，xn）≠（x1］ ,x2,…,x0n）00此时，由⑷式得|f(x1，…，xn)﹣M|≤K（|x1x1|+…+|xnxn|），1），当|xixi0|﹤，且（x1，x2，…，xn）

nK00x≠（x1）时，有|f(，…，)﹣M|﹤K（，…，）= x,x2,…,x01nnnKnK任意的﹥0，取=min（从而证明了

00(x1,x2,…,xn)(x1,x2,…,x0n)limf(x1，…，xn)=M

00(x1,x2,…,xn)(x1,x2,…,x0n)定理3 若f(x1，…，xn)为n元多项式，且则f(x1，…，xn)﹣A可表示为

limf(x1，…，xn)=A，00f(x1，…，xn)﹣A=（x1x1）f1(x1，…，xn)+（x2x2）f2(x2，…，xn)+…+0（xnxn）fn(xn)其中f1(x1，…，xn)，f2(x2，…，xn)，…，fn(xn)为多项式。0证明：由定理1多项式f(x1，…，xn)﹣A可表示为f(x1，…，xn)﹣A=（x1x1）00）f2(x2，…，xn)+…+（xnxn）fn(xn)+M f1(x1，…，xn)+（x2x2据定理2，00(x1,x2,…,xn)(x1,x2,…,x0n)lim［f(x1，…，xn)﹣A］=M，又因为

00(x1,x2,…,xn)(x1,x2,…,x0n)limf(x1，…，xn)=A，从而，M=0，即本定理为真。

从以上结果我们就得到了用定义证明多元多项式极限的方法。

三、n元函数极限的计算方法

我们对求一元函数的极限研究的比较多，找到一些十分有效的方法，但对多元函数求极限的方法了解不够多。这里以二元函数为例介绍几种求极限的方法。

1、定义法

通过观察或求方向极限，求出一个数值，然后再用二元函数极限的定义证明该数值介绍二元函数的极限。例1 求(x,y)(0,0)limxy(x2y2)22xy解：当（x，y）沿y轴趋向于（0，0）时，此方向极限为0.下面证明0就是所求的极限值。

xy(x2y2)x2y2因为|﹣0|=xy·2≤xy

x2y2xy2所以任给﹥0，取S=，当x﹤S,y﹤S,（x，y）≠（0，0）时，xy(x2y2)xy(x2y2)有|﹣0|≤xy﹤·=，故lim=0 2222(x,y)(0,0)xyxy2、四则运算法

例2 求解：所以xy

(x,y)(1,2)x2xyy2lim(x,y)(1,2)(x,y)(1,2)lim(xy)3,lim(x2xyy2)3

xy=1.(x,y)(1,2)x2xyy2lim3、迫敛法

例3 求(x,y)(0,0)limx2y2 22xyxy|≤

x2y222xy解：因为当（x，y）≠（0,0）时，有0≤|而lim1(x2y2)12=xy 222xy(x,y)(0,0)1x2y2xy=0，所以lim=0 22(x,y)(0,0)2xy4、利用重要极限法

例4 求解：(x,y)(0,1)limsinxy x(x,y)(0,1)limsinxysinxysinxy=lim（·y）=lim·limy=1·1=1(x,y)(0,1)(x,y)(0,1)(x,y)(0,1)xxyxy5、有理化法

如要求极限的分子或分母中含有根式，将分子或分母有理化，常可解决问题。例5

(x,y)(0,0)limx2y21xy1=22

解：因为x2y21x2y2122(x2y2)(1x2y21)(1x2y2)21lim=1x2y21

而(x,y)(0,0)lim（1xy1）=2，所以

x2y21xy122(x,y)(0,0)=2

6、等价量代换法

例6

(x,y)(0,0)limsin(x5y5)

xy解：因为当（x，y）（0,0）时，x5y50,，所以sin(x5y5)~x5y5..故 lim(x,y)(0,0)sin(x5y5)x5y5=lim(x,y)(0,0)xyxy=(x,y)(0,0)lim(xy)(x4x3yx2y2xy3y4)

xy=(x,y)(0,0)lim（x4x3yx2y2xy3y4）

=0

7、取对数法

如要求的极限形如lim(x,y)(x,g)种形式，则通常应用先取对数而后求极限的方法。例7 求(x,y)(0,0)lim(x2y2)x22y

2222解：令Z=(xy)22x2y2x2y22222，则有㏑Z=xylnxy2，xylnxy2xyx2y2=0

x2y21lntt=lim（-t）=0.=limx2y2lnx2y2=limt01t01t02tt由例3结果得(x,y)(0,0)lim又令t=x2y2时，(x,y)(0,0)lim所以(x,y)(0,0)lim㏑Z=0，即

(x,y)(0,0)lim(x2y2)x22y=e0=1.8、设辅助未知法

适当的设辅助未知数，将二元函数转化为一元函数，然后再用一元函数求极限的方法求值。例8 求

10xyexy

x,y-∞,∞lim,y∞时，有t∞解：设x+y=t，则当x∞，所以x,y-∞,∞limxy10exyt10=limte=limt t∞t∞e10t10!10t910xylimlimlim=……==0，即=0 xyettt∞t∞x,y-∞,∞ee9、极坐标换元法

例9 求(x,y)(0,0)limxyxy22

xrcosxy解：设，有r=x2y2,当（x，y）（0，0）时，有r0，又

x2y2yrsin=rcossin，且对任意的，均有sincos≤1，所以(x,y)(0,0)limxyxy22=0.10、转换法

转换法是指将多元函数求极限转化为一元函数求极限的方法.例10 求x,y-∞,∞limx2y2exy

解:因为x2y2exy=(x2ex)ey+y2eyex, 所以x,y-∞,∞limx2y2exy=

x,y-∞,∞lim(x2ex)ey+

x,y-∞,∞limy2eyex

2yxlimx2eylimey+limyelime=0+0=0.x∞x∞y∞y∞以上我们主要介绍了二元函数极限的一些求法,但是,在一般情况下,要求一个二元或更多元函数的极限问题.需综合应用上述各有关方法.参考文献

［1］黄玉民，李成章.数学分析（下册）［M］.北京：科学出版社，1999（南开大学数学教学系列丛书）

［2］郑宪祖，王仲春，蔡伟，田学正，辛发元，刘夫孔，王利民.数学分析（下册）［M］陕西：陕西科学技术出版社，1985 ［3］刘玉琏，吕凤，范德新，王大海.数学分析第二版（下册）［M］.北京：高等教育出版社，1994 ［4］华东师范大学数学系.数学分析（下册）［M］.北京：高等教育出版社，2010 ［5］张天德，孙书荣.华东师大第四版（下册）辅导及习题精解.延边大学出版社 

第二篇：数学分析课程论文选题

1.初等函数的定义及分类。2.分段函数的性质及应用。3.复合函数的性质研究。

4.数列极限定义（N）的注。5.极限求法综述。

6.利用公理（实数连续性）证明极限的若干技巧。7.利用两边夹定理证明极限的若干技巧。8.极限证明方法综述。

9.连续函数的若干等价定义。

10.函数一致连续性的等价性及性质。

11．闭区间上的连续函数的性质及其应用。

12．初等函数的连续性及对中学数学教学的指导作用。13．实数的构造理论。

14．闭区间套定理的证明、推广及应用。15．有限覆盖定理的证明、推广及应用。16．实数的连续性定理的等价性。17．上、下确界的性质及应用。18．对各种导数的研究。

19．微分在近似计算中的应用。20．（高阶导数）莱布尼兹公式的应用及推广。21．拉格朗日中值定理的证明及应用。22．柯西中值定理的证明及应用。23．泰勒公式的证明及应用。

24．中值定理“中间值”的渐进性。25．罗尔中值定理的证明及应用。26．泰勒公式在近似计算中的应用。27．利用导数证明不等式。28．凸函数的等价定义。

29．凸函数在不等式证明中的应用。30.函数的最值研究。（一元、多元）31．函数的极值研究。（一元、多元）32．常用的几个函数的图象及性质。（正态分布的密度函数、函数……）33．不定积分计算中的若干技巧。34．分部积分法中U、V的选取技巧。35．换元积分法中的换元技巧。

36．有理函数的不定积分计算中的若干技巧。37．三角函数的不定积分计算中的若干技巧。38．黎曼积分的定义。39．可积准则的等价性。

40．积分变限函数的若干应用。41．积分等式证明的若干技巧。42．积分不等式证明的若干技巧。43．平面图形的面积的计算方法。44．积分中值定理的证明及推广。45．积分中值定理中间值的渐进性。46．（不同旋转轴的）旋转体体积的计算方法。47．微积分在物理学中的应用。48．微积分在经济学中的应用。49．正项级数判别法综述。50．绝对收敛级数的若干性质。51．一致收敛性质及其判别法。52．和函数的分析性质及其应用。53．将函数展开为幂级数的若干方法。54．幂级数的应用。

55．Fourier级数收敛定理的证明及应用。56．闭区间套定理的推广及其应用。

57．二元函数的极限、连续、偏导数、可微性之间的关系。58．方向导数的性质及其应用。59．多元函数极值的充要条件。60．Lagrange乘数法及应用。61．最小二乘法及应用。62．隐函数的存在性。

63．广义积分的收敛判别法。64．函数的性质及其应用。65．B函数的性质及其应用。

66．含参变量有限积分的性质及应用。67．含参变量无穷积分的性质及应用。68．二重积分的计算方法。69．三重积分的计算方法。70．重积分在几何中的应用。71．重积分在物理学中的应用。72．分片函数的重积分的计算方法。73．分片函数的可微性及其应用。74．第一型曲线积分的性质及其应用。75．格林公式及其应用。76．奥高公式及其应用。

77．奇偶对称性在重积分中的应用。78．奇偶对称性在曲线积分中的应用。79．代换技巧在曲线积分中的应用。80．第二型曲线（面）积分的计算方法。81．斯托克斯公式及其应用。

第三篇：数学分析

《数学分析》考试大纲

一、本大纲适用于报考苏州科技学院基础数学专业的硕士研究生入学考试。主要考核数学分析课程的基本概念、基本理论、基本方法。

二、考试内容与要求

(一)实数集与函数

1、实数：实数的概念，实数的性质，绝对值与不等式;

2、数集、确界原理：区间与邻域，有界集与无界集，上确界与下确界，确界原理;

3、函数概念：函数的定义，函数的表示法(解析法、列表法、和图象法)，分段函数；

4、具有某些特征的函数：有界函数，单调函数，奇函数与偶函数，周期函数。

要求：了解数学的发展史与实数的概念，理解绝对值不等式的性质，会解绝对值不等式；弄清区间和邻域的概念, 理解确界概念、确界原理，会利用定义证明一些简单数集的确界；掌握函数的定义及函数的表示法，了解函数的运算；理解和掌握一些特殊类型的函数。

(二)数列极限

1、极限概念；

2、收敛数列的性质：唯一性，有界性，保号性，单调性；

3、数列极限存在的条件：单调有界准则，迫敛性法则，柯西准则。

要求：逐步透彻理解和掌握数列极限的概念；掌握并能运用-N语言处理极限问题；掌握收敛数列的基本性质和数列极限的存在条件(单调有界函数和迫敛性定理)，并能运用；了解数列极限柯西准则,了解子列的概念及其与数列极限的关系；了解无穷小数列的概念及其与数列极限的关系.(三)函数极限

1、函数极限的概念，单侧极限的概念；

2、函数极限的性质：唯一性，局部有界性，局部保号性，不等式性，迫敛性；

3、函数极限存在的条件：归结原则（Heine定理），柯西准则；

4、两个重要极限；

5、无穷小量与无穷大量，阶的比较。

要求：理解和掌握函数极限的概念；掌握并能应用-, -X语言处理极限问题；了解函数的单侧极限，函数极限的柯西准则；掌握函数极限的性质和归结原则；熟练掌握两个重要极

限来处理极限问题。

(四)函数连续

1、函数连续的概念：一点连续的定义，区间连续的定义，单侧连续的定义，间断点及其分类；

2、连续函数的性质：局部性质及运算，闭区间上连续函数的性质（最大最小值性、有界性、介值性、一致连续性），复合函数的连续性，反函数的连续性；

3、初等函数的连续性。

要求：理解与掌握一元函数连续性、一致连续性的定义及其证明，理解与掌握函数间断点及其分类，连续函数的局部性质；理解单侧连续的概念；能正确叙述和简单应用闭区间上连续函数的性质；了解反函数的连续性，理解复合函数的连续性，初等函数的连续性。

（五）导数与微分

1、导数概念：导数的定义、单侧导数、导函数、导数的几何意义；

2、求导法则：导数公式、导数的运算(四则运算)、求导法则（反函数的求导法则，复合函数的求导法则，隐函数的求导法则，参数方程的求导法则）；

3、微分：微分的定义，微分的运算法则，微分的应用；

4、高阶导数与高阶微分。

要求：理解和掌握导数与微分概念，了解它的几何意义；能熟练地运用导数的运算性质和求导法则求函数的导数；理解单侧导数、可导性与连续性的关系，高阶导数的求法；了解导数的几何应用，微分在近似计算中的应用。

（六）微分学基本定理

1、中值定理：罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理；

2、几种特殊类型的不定式极限与罗比塔法则；

3、泰勒公式。

要求：掌握中值定理的内容、证明及其应用；了解泰勒公式及在近似计算中的应用，能够把某些函数按泰勒公式展开；能熟练地运用罗必达法则求不定式的极限

（七）导数的应用

1、函数的单调性与极值；

2、函数凹凸性与拐点.要求：了解和掌握函数的某些特性(单调性、极值与最值、凹凸性、拐点)及其判断方法，能利用函数的特性解决相关的实际问题。

（八）实数完备性定理及应用

1、实数完备性六个等价定理：闭区间套定理、单调有界定理、柯西收敛准则、确界存在定理、聚点定理、有限覆盖定理；

2、闭区间上连续函数整体性质的证明：有界性定理的证明，最大小值性定理的证明，介值性定理的证明，一致连续性定理的证明；

3、上、下极限。

要求：了解实数连续性的几个定理和闭区间上连续函数的性质的证明；理解聚点的概念，上、下极限的概念。

（九）不定积分

1、不定积分概念；

2、换元积分法与分部积分法；

3、几类可化为有理函数的积分；

要求：理解原函数和不定积分概念；熟练掌握换元积分法、分部积分法、有理式积分法、简单无理式和三角有理式积分法。

（十）定积分

1、定积分的概念：概念的引入、黎曼积分定义，函数可积的必要条件；

2、可积性条件：可积的必要条件和充要条件，达布上和与达布下和，可积函数类(连续函数，只有有限个间断点的有界函数，单调函数)；

3、微积分学基本定理：可变上限积分，牛顿-莱布尼兹公式；

4、非正常积分：无穷积分收敛与发散的概念，审敛法（柯西准则，比较法，狄利克雷与阿贝尔判别法）；瑕积分的收敛与发散的概念，收敛判别法。

要求：理解定积分概念及函数可积的条件；熟悉一些可积分函数类，会一些较简单的可积性证明；掌握定积分与可变上限积分的性质；能较好地运用牛顿-莱布尼兹公式，换元积分法，分部积分法计算一些定积分。掌握广义积分的收敛、发散、绝对收敛与条件收敛等概念；能用收敛性判别法判断某些广义积分的收敛性。

（十一）定积分的应用

1、定积分的几何应用：平面图形的面积，微元法，已知截面面积函数的立体体积，旋转体的体积平面曲线的弧长与微分，曲率；

2、定积分在物理上的应用：功、液体压力、引力。

要求：重点掌握定积分的几何应用；掌握定积分在物理上的应用；在理解并掌握“微元法”。

（十二）数项级数

1、级数的敛散性：无穷级数收敛，发散等概念，柯西准则，收敛级数的基本性质；

2、正项级数：比较原理，达朗贝尔判别法，柯西判别法，积分判别法；

3、一般项级数：交错级数与莱布尼兹判别法，绝对收敛级数与条件收敛级数及其性质，阿贝尔判别法与狄利克雷判别法。

要求：理解无穷级数的收敛、发散、绝对收敛与条件收敛等概念；掌握收敛级数的性质；能够应用正项级数与任意项级数的敛散性判别法判断级数的敛散性；熟悉几何级数调和级数与p级数。

（十三）函数项级数

1、一致收敛性及一致收敛判别法（柯西准则，优级数判别法，狄利克雷与阿贝尔判别法）；

2、一致收敛的函数列与函数项级数的性质（连续性，可积性，可微性）。

要求：掌握收敛域、极限函数与和函数一致敛等概念；掌握极限函数与和函数的分析性质(会证明)；能够比较熟练地判断一些函数项级数与函数列的一致收敛。

（十四）幂级数

1、幂级数：阿贝尔定理，收敛半径与收敛区间，幂级数的一致收敛性，幂级数和函数的分析性质；

2、几种常见初等函数的幂级数展开与泰勒定理。

要求：了解幂级数，函数的幂级数及函数的可展成幂级数等概念；掌握幂级数的性质；会求幂级数的收敛半径与一些幂级数的收敛域；会把一些函数展开成幂级数，包括会用间接展开法求函数的泰勒展开式

（十五）付里叶级数

1、付里叶级数：三角函数与正交函数系, 付里叶级数与傅里叶系数, 以２ 为周期函数的付里叶级数, 收敛定理；

2、以2L为周期的付里叶级数；

3、收敛定理的证明。

要求：理解三角函数系的正交性与函数的傅里叶级数的概念；掌握傅里叶级数收敛性判别法；能将一些函数展开成傅里叶级数；了解收敛定理的证明。

（十六）多元函数极限与连续

1、平面点集与多元函数的概念；

2、二元函数的极限、累次极限；

3、二元函数的连续性：二元函数的连续性概念、连续函数的局部性质及初等函数连续性。要求：理解平面点集、多元函数的基本概念；理解二元函数的极限、累次极限、连续性概念，会计算一些简单的二元函数极限；了解闭区间套定理，有限覆盖定理，多元连续函数的性质。（十七）多元函数的微分学

1、可微性：偏导数的概念，偏导数的几何意义，偏导数与连续性；全微分概念；连续性与可微性，偏导数与可微性；

2、多元复合函数微分法及求导公式；

3、方向导数与梯度；

4、泰勒定理与极值。

要求：理解并掌握偏导数、全微分、方向导数、高阶偏导数及极值等概念及其计算；弄清全微分、偏导数、连续之间的关系；了解泰勒公式；会求函数的极值、最值。

（十八）隐函数定理及其应用

1、隐函数：隐函数的概念，隐函数的定理，隐函数求导举例；

2、隐函数组：隐函数组存在定理，反函数组与坐标变换，雅可比行列式；

3、几何应用：平面曲线的切线与法线，空间曲线的切线与法平面，曲面的切平面和法线；条件极值：条件极值的概念，条件极值的必要条件。

要求：了解隐函数的概念及隐函数的存在定理，会求隐函数的导数；了解隐函数组的概念及隐函数组定理，会求隐函数组的偏导数；会求曲线的切线方程，法平面方程，曲面的切平面方程和法线方程；了解条件极值概念及求法。

（十九）重积分

1、二重积分概念：二重积分的概念，可积条件，可积函数，二重积分的性质；

2、二重积分的计算：化二重积分为累次积分，换元法（极坐标变换，一般变换）；

3、含参变量的积分；

4、三重积分计算：化三重积分为累次积分, 换元法（一般变换，柱面坐标变换，球坐标变换）；

5、重积分应用：立体体积，曲面的面积，物体的重心，转动惯量；

6、含参量非正常积分概念及其一致敛性：含参变量非正常积分及其一致收敛性概念，一致收敛的判别法(柯西准则，与函数项级数一致收敛性的关系，一致收敛的M判别法)，含参变量非正常积分的分析性质；

7、欧拉积分：格马函数及其性质,贝塔函数及其性质。

要求：了解含参变量定积分的概念与性质；熟练掌握二重、三重积分的概念、性质、计算及基本应用；了解含参变量非正常积分的收敛与一致收敛的概念；理解含参变量非正常积分一致收敛的判别定理，并掌握它们的应用；了解欧拉积分。

（二十）曲线积分与曲面积分

1、第一型曲线积分的概念、性质与计算，第一型曲面积分的的概念、性质与计算；

2、第二型曲线积分的概念、性质与计算，变力作功，两类曲线积分的联系；

3、格林公式，曲线积分与路线的无关性, 全函数；

4、曲面的侧，第二型曲面积分概念及性质与计算，两类曲面积分的关系;

5、高斯公式，斯托克斯公式，空间曲线积分与路径无关性；

6、场论初步：场的概念，梯度，散度和旋度。

要求：掌握两类曲线积分与曲面积分的概念、性质及计算；了解两类曲线积分的关系和两类曲面积分的关系；熟练掌握格林公式的证明及其应用，会利用高斯公式、斯托克斯公式计算一些曲面积分与曲线积分；了解场论的初步知识。

三、主要参考书

《数学分析》（第三版），华东师范大学数学系编，高等教育出版社，2004年。《数学分析中的典型问题与方法》，裴礼文，高等教育出版社，1993年。

四、主要题型：

填空题，选择题，计算题，解答题，证明题，应用题。

第四篇：数学分析

360《数学分析》考试大纲

一． 考试要求：掌握函数，极限，微分，积分与级数等内容。

二． 考试内容：

第一篇 函数

一元与多元函数的概念，性质，若干特殊函数，连续性。第二篇 极限

数列极限，一元与多元函数极限的概念及其性质，实数的连续性（确界原理，单调有界原理，区间套定理，聚点定理，有限覆盖定理等）。

第三篇 微分

一元与多元函数导数（偏导数）与微分的概念，性质，公式，法则及应用；函数的单调性与凸性，极值与拐点，渐进线，函数作图；隐函数。

第三篇 积分

不定积分的概念，性质，公式，法则；定积分的概念，性质，公式，法则及应用；反常积分与含参积分；重积分与曲线曲面积分。第四篇 级数

数项级数，函数项级数，幂级数与傅立叶级数的概念，性质，公式，法则及应用。

参考书目：华东师范大学数学系，数学分析（上，下，第三版），高等教育出版社，2001年。

第五篇：602数学分析

大连理工大学2018年硕士研究生入学考试大纲

科目代码：602科目名称：数学分析

试题分为两大类，第一类为简单证明和计算题，主要考查考生基本概念、基本定义、基本公式和基本计算方法的掌握程度，约占40%。第二类为证明题、逻辑推理题以及计算题，主要考查考生分析问题和解决问题的能力，约占60%。具体复习大纲如下：

一、数列极限

1、数列极限的概念，ε-N语言。

2、数列极限的性质和运算法则。

3、数列极限的存在性、求极限的一些方法。

4、基本列的定义，Cauchy原理及其应用。

5、无穷大和无穷小的概念以及无穷大与无穷小的联系。

6、数集的上、下确界，数列的上、下极限。

7、实数的六个等价定理。

8、Stolz定理。

二、函数极限与连续

1、集合的势，可数集与不可数集。

2、函数极限定义，ε—δ语言，函数极限的其他形式。

3、函数极限的性质，函数极限与数列极限的关系。

4、无穷小与无穷大的级的概念，o与O的运算规则。

5、函数在一点连续的定义及其性质，初等函数的连续性、间断点分类。

6、一致连续的定义，连续与一致连续的区别、一致连续的判别。

7、有界闭区间上连续函数的各种性质及其应用。

8、函数上、下极限的概念与性质。

三、函数的导数及其应用

1、导数的定义，导数的几何意义，导数及高阶导数的运算规则，导数和高阶导数的计算。

2、微分的定义及其运算规则，一阶微分形式的不变性。

3、微分学的中值定理及其应用。

4、函数的单调性，函数的极值和最值，函数的凹凸性等。

5、L’Hospital法则及应用。

6、Taylor定理、各种余项的Taylor展开（包括积分余项的Taylor展式）以及函数的Maclaurin展式，Taylor展开的应用。

7、函数作图。

四、不定积分

1、原函数的定义及不定积分的运算规则，基本公式。

2、不定积分的换元法与分部积分法。

3、有理函数及可有理化函数的不定积分。

五、定积分

1、定积分的定义，几何含义与物理含义。

2、定积分的性质与积分均值定理。

3、微积分基本定理。

4、可积的充分必要条件。

5、曲线的各种表示方式，光滑曲线的定义及切向量，光滑曲线的弧长。

6、定积分的计算，分部积分和换元公式。

7、面积原理，定积分在物理，几何中的应用。

六、多元函数极限与连续

1、Eculid空间的性质、点列极限的概念和性质。

2、开集与闭集、列紧与紧致、连通性。

3、多变元函数极限，累次极限、重极限。

4、多变元函数的连续与一致连续、连续函数的性质及其应用。

5、连续映射

七、多元函数微分学及其应用

1、偏导数、方向导数的定义及计算。

2、多元函数微分的概念，可微、连续和偏导之间的关系。

3、复合求导，高阶偏导数。

4、隐函数定理、隐映射与逆映射定理及其应用。

5、多元Taylor展式。

6、多元函数极值求法、条件极值。

7、曲面的各种表示方法，曲面的法向量，切平面方程。

八、重积分

1、重积分定义、几何意义与物理意义，重积分的可积性条件，重积分的性质。

2、重积分的计算。3．重积分的应用。

九、曲线积分和曲面积分

1、第一、第二型曲线积分的定义和计算及其物理意义。2．Green公式。

3、第一型曲面积分和第二型曲面积分的定义和计算及其物理意义。

4、Gauss公式和Stokes公式。

5、场论初步，梯度，散度，旋度的定义和物理意义。

6、有势场和势函数

十、数项级数

1、级数收敛的定义及基本性质。

2、正项级数的判别法。

3、绝对收敛与条件收敛。

4、一般项级数收敛性的判别。

5、级数的乘积。

6、无穷乘积。

十一、函数项级数和函数列

1、函数项级数、函数列的逐点收敛与一致收敛。

2、函数项级数和函数列一致收敛性的判别。

3、极限函数与和函数的性质。

4、幂级数的性质和函数的幂级数展开。

5、多项式可一致逼近连续函数定理。

6、幂级数的应用。

十二、广义积分和含参变量的积分

1、广义积分和含参量广义积分的定义与性质。

2、广义积分的收敛性判别、绝对收敛和条件收敛。

3、含参量广义积分一致收敛。

4、含参量广义积分的性质，极限各种换序。

5、Euler积分，Gamma函数和B函数

十三、Fourier积分

1、Fourier级数的定义和函数的Fourier级数展开。

2、Fourier级数的收敛性。

3、Fourier级数的Cesaro求和。

4、平方平均逼近和Weierstrass第二逼近定理。

5、Fourier积分与Fourier变换。附复习资料

1、《数学分析教程》，编者：常庚哲、史济怀，中国科学技术大学出版社，2013年，第三版

2、《数学分析》，编者：李成章、黄玉民，科学出版社，2005年，第二版