数学分析教学大纲..

第一篇：数学分析教学大纲..

数学分析课程教学大纲

一、课程说明

1、课程性质

本课程是数学与应用数学专业的专业基础核心课程，是从初等数学到高等数学过渡的桥梁，是学生学习数学与应用数学专业其它后继课程的重要基础。掌握这门课程的基本理论和基本方法，对于学习本专业基础课和专业课以及进一步学习、研究和应用都是至关重要。数学分析以极限为基本思想和基本运算研究实变实值函数。主要研究微分和积分两种特殊的极限运算,利用这两种运算从微观和宏观两个方面研究函数, 并依据这些运算引进并研究一些非初等函数。数学分析基本上是连续函数的微积分理论。

2、教学目的与要求和要求

数学分析是数学与应用数学专业的一门主干基础课和必修课，本课程的目的是为后继课程提供必要的知识，同时通过本课程的教学，锻炼和提高学生的思维能力，培养学生掌握分析问题和解决问题的思想方法。本课程不仅对许多后继课程的学习有直接影响，而且对学生基本功的训练与良好素质的培养起着十分重要的作用。

本课程学习经典数学分析的基本知识，包括极限论、一元微积分学、级数论和多元微积分等基本内容，并用“连续量的演算体系及其数学理论”的观点统率整个体系。在教学上要求学生能掌握四个基本方面，即基本概念、基本理论、基本方法和基本技巧。在教学基本要求上分为三个档次，即牢固掌握、一般掌握和一般了解。

牢固掌握：基本概念明确，能联系几何与物理的直观背景，并能从正反两方面进行理解（极限论、一元微积分学和级数论的概念按此要求）；基本理论较扎实，具有较好的推理论证和分析问题的能力（极限论、一元微积分学和级数论的理论一般按此要求，但实数理论和定积分可积性理论除外）；基本方法较熟练，具备较好的运算和解决应用问题的能力，并能较灵活地运用基本技巧（本课程的一般方法和技巧按此要求，但含参变量积分的方法和技巧除外）。

一般掌握：对基本概念一般只要求能从正面理解（广义积分和多元微积分学的概念按此要求）；对基本理论一般要求能应用和了解如何证明（实数理论、定积分可积性理论和多元微积分学的理论按此要求）；对基本方法一般要求能掌握运用，但不要求很熟练和技巧性（含参变量积分的方法按此要求）。

一般了解：对基本理论只要求能应用，不要求掌握证明方法（隐函数存在定 1 理、重积分一般变量替换公式和富里埃级数收敛性理论按此要求）；对基本方法一般要求会做，不要求灵活技巧（如果讲授本大纲中的选讲内容，则按此要求）。

3、先修课程和后继课程

先修课程：初等数学，包括：代数，三角，立体几何，平面解析几何。后继课程：常微分方程，复变函数，实变函数，泛函分析。

4、教课时数分配

5、使用教材

《数学分析》第四版上、下册，华东师范大学数学系主编，高等教育出版社，2001年6月。

6、教学方法与手段

本课程以黑板讲授、学生自学、精讲精练相结合的教学方法为主，个别章节辅之以多媒体教学手段或数学实验手段。

在教学过程中，应当积极开展对教学要点与知识点与课程体系、教学方法与教学手段的改革，认真总结经验，并将教学改革的成果逐步吸收到教学中来，不断提高教学质量。要不断更新教学要点与知识点，逐步实现教学要点与知识点的现代化；要加强不同数学分支间的相互结合和相互渗透，进行课程和内容的重组；要突出数学思想方法的教学，加强数学应用能力的培养，注重运算技巧的训练；要尊重个性，发挥特长，探索现阶段因材施教的新方法、新模式；要不断探索以学生为主体有利于调动学生自主学习积极性的启发式、讨论式、研究式的教学方法；要积极采用现代教育技术手段，使传统的教学手段与现代教学手段相互结合，取长补短。

7、考核方式

本课程采用闭卷考试形式。

8、主要参考书目

《数学分析讲义》(第四版)，刘玉琏主编，高等教育出版社，2003年。

二、课程内容

第一章 实数集与函数（14课时）

第一节 实数（2课时）

1、教学目的与要求：掌握实数的基本概念和最常见的不等式，以备以后各章应用．

2、教学要点与知识点：实数的基本性质和绝对值的不等式,实数的有序性，稠密性，阿基米德性．实数的四则运算．

3、教学重点与难点：用无限小数统一表示实数的意义及引入不足近似值与过剩近似值的作用．

第二节 数集.确界原理（2课时）

1、教学目的与要求：

(1)基本要求：掌握实数的区间与邻域概念；分清最大值与上确界的联系与区别；结合具体集合，能指出其确界；能用一种方式，证明集合 A的上确界为 ．即：

xA,x, 且 a,x0A,x0a；

或 xA,x, 且 0,x0A, x0．

(2)较高要求：掌握确界原理的证明，并用确界原理认识实数的完备性．掌握实数的区间与邻域概念，掌握集合的有界性和确界概念．

2、教学要点与知识点：

实数的区间与邻域；集合的上下界，上确界和下确界；确界原理．

3、教学重点与难点：

(1)此节重点是确界概念和确界原理．不可强行要求一步到位，对多数学生可只布置证明具体集合的确界的习题．

(2)此节难点亦是确界概念和确界原理．对较好学生可布置证明抽象集合的确界的习题．

第三节 函数概念（2课时）

1、教学目的与要求：

(1)基本要求：掌握函数的定义与表示法；理解复合函数与反函数；懂得初等函数的定义，认识狄利克莱函数和黎曼函数．

(2)较高要求：函数是一种关系或映射的进一步的认识．掌握函数概念和不同的表示方法．

2、学要点与知识点：函数的定义与表示法；复合函数与反函数；初等函数．

3、教学重点与难点：通过狄利克莱函数和黎曼函数，使学生对函数的认识从具体上升到抽象．

第四节 具有某些特性的函数（4课时）

1、教学目的与要求：掌握函数的有界性，单调性，奇偶性和周期性．

2、教学要点与知识点：有界函数，单调函数，奇函数，偶函数和周期函数．

3、教学重点与难点：

(1)本节的重点是通过对函数的有界性的分析，培养学生了解研究抽象函数性质的方法．

(2)本节的难点是要求用分析的方法定义函数的无界性．对较好学生可初步教会他们用分析语言表述否命题的方法．

第二章 数列极限（12课时）

第一节 数列极限概念（4课时）

1、教学目的与要求：

(1)基本要求：理解数列极限的分析定义，学会证明数列极限的基本方法，懂得数列极限的分析定义中 与 N的关系．

(2)较高要求：学会若干种用数列极限的分析定义证明极限的特殊技巧．掌握数列极限概念。

2、学要点与知识点：数列极限．

3、教学重点与难点：

(1)本节的重点是数列极限的分析定义，要强调这一定义在分析中的重要性．具

lim10limnna0nk； ；(|a|1)，然后教会他们用这体教学中先教会他们证明 n些无穷小量来控制有关的变量（适当放大但仍小于这些无穷小量）．

(2)本节的难点仍是数列极限的分析定义．对较好学生可要求他们用数列极限的分析定义证明较复杂的数列极限，还可要求他们深入理解数列极限的分析定义．

第二节 数列极限的性质（2课时）

1、教学目的与要求：

(1)基本要求：理解数列极限的唯一性，有界性，保号性，保不等式性，迫敛性，四则运算法则，并会用其中某些性质计算具体的数列的极限．

(2)较高要求：掌握这些性质的较难的证明方法，以及证明抽象形式的数列极限的方法．掌握数列极限的主要性质，学会利用数列极限的性质求数列的极限．

2、学要点与知识点：数列极限的唯一性，有界性，保号性，保不等式性，迫敛性，四则运算法则和数列的子列及有关子列的定理．

3、教学重点与难点：(1)本节的重点是数列极限的性质的证明与运用．可对多数学生重点讲解其中几个性质的证明，多布置利用这些性质求具体数列极限的习题．

(2)本节的难点是数列极限性质的分析证明．对较好的学生，要求能够掌握这些性质的证明方法，并且会用这些性质计算较复杂的数列极限，例如：

第三节 数列极限存在的条件（4课时）

1、教学目的与要求：

(1)基本要求：掌握单调有界定理的证明，会用单调有界定理证明数列极限的存

1lim(1)nn存在的证明．理解柯西收敛准则的直观意义． 在性，其中包括 nnlimnn1．

(2)较高要求：会用单调有界定理证明数列极限的存在性，会用柯西收敛准则判别抽象数列（极限）的敛散性．

2、教学要点与知识点：单调有界定理，柯西收敛准则．

3、教学重点与难点：

（1)本节的重点是数列单调有界定理．对多数学生要求会用单调有界定理证明数列极限的存在性．

(2)本节的难点是柯西收敛准则．要求较好学生能够用柯西收敛准则判别数列的敛散性．

第三章 函数极限（16课时）

第一节 函数极限概念（2课时）

xxxxxx0x0；

1、教学目的与要求：掌握当 ； ； ； ；

xx0时函数极限的分析定义，并且会用函数极限的分析定义证明和计算较简单的函数极限．掌握各种函数极限的分析定义，能够用分析定义证明和计算函数的极限．

2、学要点与知识点：各种函数极限的分析定义．

3、教学重点与难点：本节的重点是各种函数极限的分析定义．对多数学生要求主要掌握当 xx0时函数极限的分析定义，并用函数极限的分析定义求函数的极限．

第二节 函数极限的性质（2课时）

1、教学目的与要求：

5(1)基本要求：掌握函数极限的唯一性，有界性，保号性，保不等式性，迫敛性，四则运算法则，并会用这些性质计算函数的极限．

(2)较高要求：理解函数极限的局部性质，并对这些局部性质作进一步的理论性的认识．掌握函数极限的性质．

2、教学要点与知识点：函数极限的唯一性，有界性，保号性，保不等式性，迫敛性，四则运算法则．

3、教学重点与难点：

（1）本节的重点是函数极限的各种性质．由于这些性质类似于数列极限中相应的性质，可着重强调其中某些性质与数列极限的相应性质的区别和联系．

（2）本节的难点是函数极限的局部性质．对较好学生，要求懂得这些局部的 （的大小）不仅与 有关，而且与点 x0有关，为以后讲解函数的一致连续性作准备．

第三节 函数极限存在的条件（2课时）

1、教学目的与要求：

(1)基本要求：掌握函数极限的归结，理解函数极限的柯西准则．(2)较高要求：能够写出各种函数极限的归结原理和柯西准则．

(3)函数极限的归结原理和函数极限的单调有界定理，理解函数极限的柯西准则

1、教学要点与知识点：函数极限的归结；函数极限的单调有界定理；函数极限的柯西准则．

2、教学重点与难点：

(1)本节的重点是函数极限的归结原理．要着重强调归结原理中数列的任意性．

(2)本节的难点是函数极限的柯西准则．要求较好学生能够熟练地写出和运用各种函数极限的归结原理和柯西准则．

第四节 两个重要的极限（3课时）

1、教学目的与要求：

limsinx1x的证明方法，利用两个重要极限计算函数极限(1)基本要求：掌握 x0与数列极限．

1lim1xxe证明方法．掌握两个重要极限：(2)较高要求：掌握 1sinx1limlim1x0x； xxe．

sinx11；lim1e．

2、学要点与知识点：两个重要极限：lim x0x xxxxx3、教学重点与难点：

(1)本节的重点是与两个重要的函数极限有关的计算与证明．可用方法：

1sin(x)lim1lim1(x)(x)0(x)(x) ；

(x)e，其中 (x)、(x)分别为任一趋于0或趋于∞的函数．

1lim1(2)本节的难点是利用迫敛性证明 xxe． 第五节 无穷小量与无穷大量（3课时）

1、教学目的与要求：

(1)基本要求：掌握无穷小量与无穷大量以及它们的阶数的概念．

(2)较高要求：能够写出无穷小量与无穷大量的分析定义，并用分析定义证明无穷小量与无穷大量．在计算及证明中，熟练使用“ o”与“ O”掌握无穷小量与无穷大量以及它们的阶数的概念．

2、学要点与知识点：无穷小量与无穷大量，高阶无穷小，同阶无穷小，等阶无穷小，无穷大．

3、教学重点与难点：

(1)本节的重点是无穷小量与无穷大量以及它们的阶数的概念．(2)本节的难点是熟练使用“ o”与“ O”进行运算．

第四章 函数的连续性（10课时）

第一节 连续性概念（3课时）

1、教学目的与要求：

(1)基本要求：掌握函数连续性概念，可去间断点，跳跃间断点，第二类间断点，区间上的连续函数的定义．

x(2)较高要求：讨论黎曼函数的连续性．掌握函数连续性概念．

2、学要点与知识点：函数在一点和在区间上连续的定义，间断点的分类．

3、教学重点与难点：

(1)函数连续性概念是本节的重点．对学生要求懂得函数在一点和在区间上连续的定义，间断点的分类．

(2)本节的难点是用较高的分析方法、技巧证明函数的连续性，可在此节中对较好学生布置有关习题．

第二节 连续函数的性质（4课时）

1、教学目的与要求：

(1)基本要求：掌握函数局部性质概念，可去间断点，跳跃间断点，第二类间断点；了解闭区间上连续函数的性质．

(2)较高要求：对一致连续性的深入理解．掌握连续函数的局部性质和闭区间上连续函数的整体性质．

2、学要点与知识点：

连续函数的局部保号性，局部有界性，四则运算；闭区间上连续函数的最大最小值定理，有界性定理，介值性定理，反函数的连续性，一致连续性．

3、教学重点与难点：

(1)函数连续性概念是本节的重点．要求学生掌握函数在一点和在区间上连续的定义，间断点的分类，了解连续函数的整体性质．对一致连续性作出几何上的解释．

(2)本节的难点是连续函数的整体性质，尤其是一致连续性和非一致连续性的特征．可在此节中对较好学生布置判别函数一致连续性的习题．

第三节 初等函数的连续性（1课时）

1、教学目的与要求：

(1)基本要求：掌握初等函数的连续性．

(2)较高要求：掌握指数函数的严格定义．了解指数函数的定义.2、教学要点与知识点：指数函数的定义；初等函数的连续性．

3、教学重点与难点：

(1)本节的重点是初等函数的连续性．要求学生会用初等函数的连续性计算极限．

(2)本节的难点是理解和掌握指数函数的性质．

第五章 导数和微分（20课时）

第一节 导数的概念（4课时）

1、教学目的与要求：

(1)基本要求：掌握函数在一点处的导数是差商的极限．了解导数的几何意义，理解费马定理．

(2)较高要求：理解达布定理．掌握导数的概念，了解费马定理、达布定理．

2、学要点与知识点：函数的导数，函数的左导数，右导数，有限增量公式，导函数．

3、教学重点与难点：

(1)本节的重点是导数的定义和导数的几何意义．会用定义计算函数在一点处的导数．

(2)本节的难点是达布定理．对较好学生可布置运用达布定理的习题． 第二节 求导法则（4课时）

1、教学目的与要求：熟练掌握求导法则和熟记基本初等函数的求导公式．

2、学要点与知识点：导数的四则运算，反函数求导，复合函数的求导，基本初等函数的求导公式．

3、教学重点与难点：求导法则 第三节 参变量函数的导数（2课时）

1.教学目的与要求： 熟练掌握参变量函数的导数的求导法则． 2.教学要点与知识点：参变量函数的导数的求导法则．

3、教学重点与难点：参变量函数的求导法则． 第四节 高阶导数（2课时）

1、教学目的与要求：

(1)基本要求：掌握高阶导数的定义，能够计算给定函数的高阶导数．(2)较高要求：掌握并理解参变量函数的二阶导数的求导公式掌握高阶导数的概念，了解求高阶导数的莱布尼茨公式．

2、教学要点与知识点：高阶导数；求高阶导数的莱布尼茨公式．

3、教学重点与难点：

(1)本节的重点是高阶导数的概念和计算．要求学生熟练掌握．

9(2)本节的难点是高阶导数的莱布尼茨公式，特别是参变量函数的二阶导数．要强调对参变量求导与对自变量求导的区别．可要求较好学生掌握求参变量函数的二阶导数．

第五节 微分（4课时）

1、教学目的与要求：

(1)基本要求：掌握高阶导数的定义，能够计算给定函数的高阶导数。(2)较高要求：掌握并理解参变量函数的二阶导数的求导公式掌握微分的概念和微分的运算方法，了解高阶微分和微分在近似计算中的应用。

2、教学要点与知识点：微分的概念，微分的运算法则，高阶微分，微分在近似计算中的应用。

3、教学重点与难点：

(1)本节的重点是掌握微分的概念，要讲清微分是全增量的线性主部。

(2)本节的难点是高阶微分，可要求较好学生掌握这些概念。

第六章

微分中值定理及其应用（22课时）

第一节 拉格朗日定理和函数的单调性（3课时）

1、教学目的与要求：掌握罗尔中值定理和拉格朗日中值定理，会用导数判别函数的单调性．

2、要点与知识点：

(1)基本要求：掌握罗尔中值定理和拉格朗日中值定理，会用导数判别函数的单调性．

(2)较高要求：掌握导数极限定理．罗尔中值定理；拉格朗日中值定理．

3、教学重点与难点：

(1)本节的重点是掌握罗尔中值定理和拉格朗日中值定理，要求牢记定理的条件与结论，知道证明的方法．

(2)本节的难点是用拉格朗日中值定理证明有关定理与解答有关习题．可要求较好学生掌握通过设辅助函数来运用微分中值定理．

第二节 柯西中值定理和不定式极限（4课时）

1、教学目的与要求：

(1)基本要求：了解柯西中值定理，掌握用洛必达法则求各种不定式极限．

10(2)较高要求：掌握洛必达法则

0型定理的证明．了解柯西中值定理。

02、教学要点与知识点：柯西中值定理；洛必达法则的使用．

3、教学重点与难点：

(1)本节的重点是掌握用洛必达法则求各种不定式极限．可强调洛必达法则的重要性，并总结求各种不定式极限的方法．

(2)本节的难点是掌握洛必达法则定理的证明，特别是第三节 泰勒公式（4课时）

1、教学目的与要求：

(1)基本要求：了解柯西中值定理，掌握用洛必达法则求各种不定式极限．

0(2)较高要求：掌握洛必达法则 0型定理的证明．理解带佩亚诺余项和带拉格

型的证明． 

朗日余项的泰勒公式、麦克劳林公式．

2、教学要点与知识点：带佩亚诺余项和带拉格朗日余项的泰勒公式、麦克劳林公式及其在近似计算中的应用．

3、教学重点与难点：

(1)本节的重点是理解带佩亚诺余项和带拉格朗日余项的泰勒公式、麦克劳林公式．

(2)本节的难点是掌握带佩亚诺余项和带拉格朗日余项的泰勒公式、麦克劳林公式的证明．对较好学生可要求掌握证明的方法．

第四节 函数的极值与最大(小)值（2课时）

1、教学目的与要求：

(1)基本要求：掌握函数的极值的第一、二充分条件；学会求闭区间上连续函数的最值及其应用．

(2)较高要求：掌握函数的极值的第三充分条件．掌握函数的极值与最大(小)值的概念．

2、教学要点与知识点：函数的极值与最值．

3、教学重点与难点：函数的不可导点和导函数（以及二阶导数）的零点（稳定点）凸区间，函数极值．

第五节 函数的凸性与拐点（2课时）

1、教学目的与要求：

（1）基本要求：掌握函数的凸性与拐点的概念，应用函数的凸性证明不等式．（2）较高要求：运用詹森不等式证明或构造不等式，左、右导数的存在与连续的关系．

2、学要点与知识点：函数的凸性与拐点．

3、教学重点与难点：(1)判断凸性的充分条件．

(2)本节的难点是运用詹森不等式证明不等式． 第六节 函数图象的讨论（4课时）

1、教学目的与要求：

(1)基本要求：掌握直角坐标系下显式函数图象的大致描绘．

(2)较高要求：能描绘参数形式的函数图象．掌握函数图象的大致描绘．

2、教学要点与知识点：作函数图象．

3、教学重点与难点：根据函数的性态表，以及函数的单调区间，凸区间，大致描绘函数图象．

第七章 实数的完备性（8课时）

第一节 关于实数集完备性的基本定理（3课时）

1、教学目的与要求：

(1)基本要求：掌握和运用区间套定理、致密性定理．

(2)较高要求：掌握聚点定理和有限覆盖定理的证明与运用．掌握区间套定理和柯西判别准则的证明，了解有限覆盖定理和聚点定理(较熟练运用致密性定理)．

2、教学要点与知识点：区间套定理、柯西判别准则的证明；聚点定理；有限覆盖定理．

3、教学重点与难点：

本节的重点是区间套定理和致密性定理．教会学生在什么样情况下应用区间套定理和致密性定理以及如何应用区间套定理和致密性定理．

本节的难点是掌握聚点定理和有限覆盖定理．教会较好学生如何应用聚点定理和有限覆盖定理．

第二节 闭区间上的连续函数性质的证明（4课时）

1、教学目的与要求：（1）基本要求：掌握用有限覆盖定理或用致密性定理证明闭区间上连续函数的有界性；用确界原理证明闭区间上的连续函数的最大(小)值定理；用区间套定理证明闭区间上的连续函数介值定理．

（2）较高要求：掌握用有限覆盖定理证明闭区间上的连续函数的有界性和一致连续性．证明闭区间上的连续函数性质．

2、教学要点与知识点：闭区间上的连续函数有界性的证明；闭区间上的连续函数的最大(小)值定理的证明；闭区间上的连续函数介值定理的证明；闭区间上的连续函数一致连续性的证明．

3、教学重点与难点：

(1)本节的重点是证明闭区间上的连续函数的性质．

(2)本节的难点是掌握用有限覆盖定理证明闭区间上的连续函数的一致连续性以及实数完备性的六大定理的等价性证明，对较好学生可布置这方面的习题．

第八章 不定积分（14课时）

第一节 不定积分的概念与基本积分公式（4课时）

1、教学目的与要求：熟练掌握原函数的概念和基本积分公式．掌握原函数的概念和基本积分公式

2、教学要点与知识点：原函数的概念；基本积分公式；不定积分的几何意义．

3、教学点与难点：原函数的概念，基本积分公式 第二节 换元积分法与分部积分法（4课时）

1、教学目的与要求：熟练掌握第一、二换元积分法与分部积分法．

2、教学要点与知识点：第一、二换元积分法；分部积分法．

3、教学重点与难点：换元积分法与分部积分法.第三节 有理函数和可化为有理函数的不定积分（4课时）

1、教学目的与要求：

(1)基本要求：有理函数的不定积分；三角函数有理式的不定积分；某些无理根式的不定积分．

(2)较高要求：利用欧拉代换求某些无理根式的不定积分会计算有理函数和可化为有理函数的不定积分．

2、教学要点与知识点：有理函数的不定积分；三角函数有理式的不定积分；某些无理根式的不定积分．

3、教学重点与难点：

(1)三角函数有理式的不定积分，某些无理根式的不定积分

(2)本节的难点是利用欧拉代换求某些无理根式的不定积分，可要求较好学生

掌握.第九章 定积分（20课时）

第一节 定积分的概念（3课时）

1、教学目的与要求：掌握定积分的定义，了解定积分的几何意义和物理意义．引进定积分的概念．

2、教学要点与知识点：定积分的定义．

3、教学重点与难点：定积分的定义及定积分的几何意义． 第二节 牛顿-莱布尼茨公式（2课时）

1、教学目的与要求：

(1)基本要求：熟练掌握和应用牛顿-莱布尼茨公式．(2)较高要求：利用定积分的定义来处理一些特殊的极限．

2、学要点与知识点：牛顿-莱布尼茨公式．

3、教学重点与难点：应用牛顿-莱布尼茨公式． 第三节 可积条件（3课时）

1、教学目的与要求：

(1)基本要求：掌握定积分的第一、二充要条件．

(2)较高要求：掌握定积分的第三充要条件．理解定积分的充分条件，必要条件和充要条件．

2、教学要点与知识点：

定积分的充分条件和必要条件；可积函数类

3、教学重点与难点：

(1)理解定积分的第一、二充要条件是本节的重点，要求学生必须掌握．(2)证明定积分的第一、二、三充要条件是本节的难点．对较好学生可要求掌 握这些定理的证明以及证明某些函数的不可积性．

第四节 定积分的性质（3课时）

1、教学目的与要求：

（1）基本要求：掌握定积分的基本性质和积分第一中值定理．（2）较高要求：较难的积分不等式的证明．

2、教学要点与知识点：定积分的基本性质；积分第一中值定理．

3、教学重点与难点：

(1)定积分的基本性质和积分第一中值定理是本节的重点，要求学生必须掌握并灵活应用．

(2)较难的积分不等式的证明是本节的难点．对较好学生可布置这方面的习题． 第五节 微积分学基本定理（4课时）

1、教学目的与要求：

(1)基本要求：掌握变限的定积分的概念；掌握微积分学基本定理和换 元积分法及分部积分法．

(2)较高要求：掌握积分第二中值定理和泰勒公式的积分型余项．

2、学要点与知识点：变上限的定积分；变下限的定积分；微积分学基本定理；积分第二中值定理，换元积分法；分部积分法；泰勒公式的积分型余项．

3、教学重点与难点：

(1)微积分学基本定理是本节的重点，要求学生必须掌握微积分学基本定理完整的条件与结论．

(2)积分第二中值定理和泰勒公式的积分型余项是本节的难点．对较好学生要求他们了解这些内容．

第十章 定积分的应用（10课时）

第一节平面图形的面积（2课时）

1、教学目的与要求：

(1)基本要求：掌握平面图形面积的计算公式，包括参量方程及极坐标方程所定义的平面图形面积的计算公式．

(2)较高要求：提出微元法的要领．掌握平面图形面积的计算公式． 2.教学要点与知识点：平面图形面积的计算公式．

3、教学重点与难点：

(1)本节的重点是平面图形面积的计算公式，要求学生必须熟记并在应用中熟练掌握．

(2)领会微元法的要领．

第二节 由平行截面面积求体积（1课时）

1、教学目的与要求：

掌握由平行截面面积求体积的计算公式．

2、教学要点与知识点：

由平行截面面积求体积的计算公式．

3、教学重点与难点：

平行截面面积求体积的计算公式，微元法的要领． 第三节平面曲线的弧长与曲率（2课时）

1、教学目的与要求：

（1）基本要求：掌握平面曲线的弧长计算公式．（2）较高要求：掌握平面曲线的曲率计算公式．

2、学要点与知识点：

平面曲线的弧长与曲率的计算公式．

3、教学重点与难点：平面曲线的弧长计算公式． 第四节 旋转曲面的面积（2课时）

1、教学目的与要求：

掌握求旋转曲面的面积的计算公式，包括求由参数方程定义的旋转曲面的面积；

掌握平面曲线的曲率的计算公式．

2、教学要点与知识点：旋转曲面的面积计算公式．

3、教学重点与难点：旋转曲面面积的计算公式，参数方程定义的旋转曲面的面积．

第五节 定积分在物理中的某些应用（3课时）

1、教学目的与要求：

(1)基本要求：要求学生掌握求液体静压力、引力、功与平均功率的计算公式．(2)较高要求：要求学生运用微元法导出求液体静压力、引力、功与平均功率的计算公式．掌握定积分在物理中的应用的基本方法．

2、教学要点与知识点：液体静压力；引力；功与平均功率．

3、教学重点与难点：液体静压力、引力、功与平均功率的计算公式．

十一章 反常积分（10课时）

第一节 反常积分的概念（2课时）

1、教学目的与要求：掌握无穷积分与瑕积分的定义与计算方法．掌握反常积分的定义与计算方法．

2、教学要点与知识点：无穷积分；瑕积分．

3、教学重点与难点：讲清反常积分是变限积分的极限． 第二节 无穷积分的性质与收敛判别（4课时）

1、教学目的与要求：

(1)基本要求：掌握无穷积分与瑕积分的定义，会用柯西判别法判别无穷积分与瑕积分的敛散性．

(2)较高要求：掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别法．掌握无穷积分的性质与收敛判别准则．

2、教学要点与知识点：无穷积分的收敛；条件收敛；绝对收敛；比较判别法；柯西判别法；狄利克雷判别法；阿贝尔判别法．

3、教学重点与难点：

(1)本节的重点是掌握判别无穷积分与瑕积分收敛的方法，要求学生主要学会用柯西判别法判别无穷积分与瑕积分的敛散性．

(2)本节的难点是用狄利克雷判别法或阿贝尔判别法判别无穷积分与瑕积分的敛散性，对较好学生布置这方面的习题．举例说明：当有 x

a|f(x)|dx收敛时，不一定limf(x)0，由此使学生对柯西准则有进一步的理解．

第三节 瑕积分的性质与收敛判别（2课时）

1、教学目的与要求：掌握瑕积分的定义，会用柯西判别法判别无穷积分与瑕积分的敛散性．掌握瑕积分的性质与收敛判别准则．

2、教学要点与知识点：瑕积分的收敛；

3、教学重点与难点：

（1）本节的重点是掌握判别瑕积分收敛的方法，要求学生主要学会用柯西判别法判别无穷积分与瑕积分的敛散性．

（2）本节的难点是用狄利克雷判别法或阿贝尔判别法判别无穷积分与瑕积分的敛散性，对较好学生布置这方面的习题．

第十二章 数项级数（14课时）

第一节 级数的收敛性（2课时）

1、教学目的与要求：

(1)基本要求：掌握数项级数收敛性的定义和基本性质，等比级数，调和级数．(2)较高要求：应用柯西收敛准则判别级数的敛散性．

2、学要点与知识点：数项级数收敛性的定义和基本性质；等比级数；调和级数．

3、教学重点与难点：数项级数收敛性的基本性质；应用柯西收敛准则判别级数的敛散性是一个难点，对较好的学生可提出相应要求．

第二节 正项级数（4课时）

1、教学目的与要求：

(1)基本要求：掌握比较判别法，比式判别法，根式判别法和积分判别法．(2)较高要求：介绍拉贝判别法．

2、教学要点与知识点：比较判别法；比式判别法；根式判别法；积分判别法．

3、教学重点与难点： 比较判别法，比式判别法，根式判别法，拉贝判别法。第三节 一般项级数（2课时）

1、教学目的与要求：

(1)基本要求：掌握条件收敛和绝对收敛的定义，掌握交错级数的莱布尼茨判别法．

(2)较高要求：掌握一般项级数的狄利克雷判别法与阿贝尔判别法，了解绝对收敛级数的性质．

2、教学要点与知识点：交错级数；莱布尼茨判别法； 狄利克雷判别法；阿贝尔判别法；条件收敛；绝对收敛．

3、教学重点与难点：

(1)本节的重点是要求学生必须熟练掌握交错级数的莱布尼茨判别法，掌握条件收敛和绝对收敛的定义，了解绝对收敛级数性质的结论．总结判别一般项级数的敛散性的各种方法．

(2)本节的难点是要求学生掌握一般项级数的狄利克雷判别法与阿贝尔判别法，要求较好学生掌握绝对收敛级数的性质．

第十三章 函数序列与函数项级数（10课时）

第一节 一致收敛性（4课时）

1、教学目的与要求：

18(1)基本要求：掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法．

(2)较高要求：掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别法．

2、学要点与知识点：函数序列与函数项级数一致收敛性的定义；函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则；函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法．

3、教学重点与难点：函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法．狄利克雷判别法和阿贝尔判别法．

第二节 一致收敛函数序列与函数项级数的性质（4课时）

1、教学目的与要求：

（1）基本要求：了解一致收敛函数序列与函数项级数的连续性，可积性和可微性的证明．

（2）较高要求：掌握一致收敛函数序列与函数项级数的连续性，可积性和可微性的证明．

2、学要点与知识点：一致收敛函数序列与函数项级数的连续性的判别；可积性的判别，可微性的判别．

3、教学重点与难点：一致收敛函数序列与函数项级数的连续性，可积性，可微性的结论．

第十四章 幂级数（10课时）

第一节 幂级数（4课时）

1、教学目的与要求：

（1）基本要求：掌握幂级数收敛半径和收敛区间的定义与求法，学会解答有关幂级数收敛半径和收敛区间的习题．

（2）较高要求：学会解答有关幂级数收敛区域的习题．掌握幂级数收敛半径和收敛区间的定义与求法，掌握幂级数的性质和运算．

2、教学要点与知识点：幂级数收敛半径和收敛区间的定义与求法；掌握幂级数收敛半径，收敛区间和收敛域的概念．

3、教学重点与难点：求幂级数收敛半径和收敛区间。第二节 函数的幂级数展开（4课时）

1、教学目的与要求：(1)基本要求：掌握泰勒级数和麦克劳林展开式，五种基本初等函数的幂级数展开．

(2)较高要求：学会用逐项求积和逐项求导的方法展开初等函数，并利用它们作间接展开．掌握泰勒级数和麦克劳林级数展开，初等函数的幂级数展开．

2、教学要点与知识点：泰勒级数和麦克劳林级数展开式的定义；五种基本初等函数的幂级数展开式．

3、教学重点与难点：泰勒级数和麦克劳林展开式，并利用五种基本初等函数的幂级数展开某些初函数或作间接展开．

第十五章 傅里叶级数（12课时）

第一节 傅里叶级数（3课时）

1、教学目的与要求：

（1）基本要求：掌握三角级数和傅里叶级数定义，了解傅里叶级数的收敛定理；能够展开比较简单的函数的傅里叶级数．

（2）较高要求：有关傅里叶级数的逐项求导和逐项求积的问题，向学生介绍引入傅里叶级数的意义(包括物理意义和数学意义)．

2、学要点与知识点：三角级数；正交函数系；傅里叶级数定义；傅里叶级数的收敛定理．

3、教学重点与难点：傅里叶级数的展开． 第二节 以 2l为周期的函数的展开式（4课时）

1、教学目的与要求：

(1)基本要求：掌握以 2l为周期的函数的傅里叶级数展开的基本方法．(2)较高要求：掌握通过对函数做奇延拓或偶延拓并展开为正弦级数或余弦级数的基本方法．掌握以 2l为周期的函数的展开式，偶函数和奇函数的傅里叶级数的展开，正弦级数，余弦级数．

2、教学要点与知识点：对以 2l为周期的函数作傅里叶级数展开的基本方法；偶函数和奇函数的傅里叶级数的展开；正弦级数；余弦级数

3、教学重点与难点：三角级数和傅里叶级数的展开式。第三节 收敛定理的证明（3课时）

1、教学目的与要求：

20（1）基本要求：掌握贝塞尔不等式，黎曼-勒贝格定理；了解收敛定理的证明要点．

（2）较高要求：理解收敛定理的证明．

2、教学要点与知识点：贝塞尔不等式，黎曼-勒贝格定理； 收敛定理的证明．

3、教学重点与难点：贝塞尔不等式和黎曼-勒贝格定理，收敛定理的证明．

第十六章 多元函数的极限与连续（14课时）

第一节平面点集与多元函数（4课时）

1、教学目的与要求：

(1)基本要求：了解平面中的邻域，开集，闭集，开域，闭域的定义，以及 R2的完备性，掌握二元及多元函数的定义．

(2)较高要求：掌握 R2的完备性定理．

2、教学要点与知识点：平面中的邻域，开集，闭集，开域，闭域的定义； R2的完备性；二元及多元函数的定义．

3、教学重点与难点：平面中的邻域，开集，闭集，开域，闭域等有关 R2的概念。

第二节 二元函数的极限（4课时）

1、教学目的与要求：

(1)基本要求：掌握二元函数的极限的定义，了解重极限与累次极限的区别与联系，熟悉判别极限存在性的基本方法．

(2)较高要求：掌握重极限与累次极限的区别与联系，能用来处理极限存在性问题．

2、教学要点与知识点：二元函数的极限的定义；累次极限．

3、教学重点与难点：一元函数极限与多元函数极限的联系与区别，重极限与累次极限的区别与联系。

第三节 二元函数的连续性（4课时）

1、教学目的与要求：

(1)基本要求：掌握二元函数的连续性的定义，了解有界闭域上连续函数的性质．

21(2)较高要求：掌握有界闭域上连续函数性质的证明要点，以及多元函数的局部性质和它们在有界闭域上的整体性质．

2、教学要点与知识点：二元函数的连续性的定义；有界闭域上连续函数的有界性，最大最小值定理，介值性定理和一致连续性．

3、教学重点与难点：有界闭域上多元连续函数的性质对

第十七章 多元函数微分学（22课时）

第一节 可微性（5课时）

1、教学目的与要求：

(1)基本要求：掌握多元函数偏导数，可微性与全微分的定义，熟记可微的必要条件与充分条件．

(2)较高要求：切平面存在定理的证明．

2、教学要点与知识点：多元函数偏导数，可微性与全微分的定义；可微的必要条件与充分条件．

3、教学重点与难点：

（1）本节的重点是多元函数偏导数，可微性与全微分的定义．

（2）通过讨论可微的必要条件与充分条件，弄清多元函数连续，存在偏导数与可微这三个分析性质之间的关系．

第二节 复合函数微分法（8课时）

1、教学目的与要求：

（1）基本要求：掌握复合函数求导的链式法则．

（2）较高要求：掌握链式法则的证明和理解一阶全微分形式不变性．

2、学要点与知识点：复合函数链式法则；复合函数的全微分；一阶全微分形式不变性．

3、教学重点与难点： 复合函数求导的链式法则，一阶全微分形式不变性 第三节 方向导数与梯度（2课时）

1、教学目的与要求：掌握方向导数与梯度的定义，掌握方向导数与梯度的计算．

2、教学要点与知识点：方向导数与梯度的定义；方向导数与梯度的计算公式．

3、教学重点与难点： 方向导数存在性与偏导数存在性和可微性的区别与联系． 第四节 泰勒公式与极值问题（4课时）

1、教学目的与要求：（1）基本要求：掌握二元函数的高阶偏导数与泰勒公式的定义，能够根据二元函数的极值的必要条件与充分条件寻找二元函数的极值与最大(小)值．

（2）较高要求：掌握混合偏导数与求导次序无关的定理的证明以及二元函数的极值的必要条件充分条件定理的证明．

2、教学要点与知识点：二元函数的高阶偏导数；中值定理与泰勒公式；二元函数的极值的必要条件与充分条件．

3、教学重点与难点： 二元函数的高阶偏导数和求二元函数的极值。

第十八章 隐函数定理及其应用（14课时）

第一节 隐函数（4课时）

1、教学目的与要求：

（1）基本要求：掌握隐函数存在的条件，理解隐函数定理的证明要点；学会隐函数求导法．

（2）较高要求：掌握隐函数定理的证明．

2、学要点与知识点：隐函数的定义；隐函数存在性定理；隐函数可微性定理．

3、教学重点与难点：

(1)本节的重点是隐函数定理，学会隐函数求导法．要求学生必须熟记隐函数定理的条件与结论，了解隐函数定理的证明要点．

(2)本节的难点是隐函数定理的严格证明，对较好学生在这方面提出要求． 第二节 隐函数组（3课时）

1、教学目的与要求：

(1)基本要求：掌握隐函数组和反函数组存在的条件，学会隐函数组和反函数组求导法．

（2）较高要求：理解隐函数组和反函数组定理的证明．

2、教学要点与知识点：隐函数组的定义； 隐函数组定理；反函数组的定义与求导法．

3、教学重点与难点： 隐函数组和反函数组存在的条件与证明。第三节 几何应用（2课时）

1、教学目的与要求：能够写出平面曲线的切线与法线方程，空间曲线的切线与法平面方程以及曲面的切平面与法线方程．掌握用隐函数和隐函数组求导法求平面曲线的切线与法线，求空间曲线的切线与法平面，求曲面的切平面与法线．

2、教学要点与知识点：平面曲线的切线与法线方程；空间曲线的切线与法平面方程；求曲面的切平面与法线方程．

3、教学重点与难点：平面曲线的切线与法线方程，空间曲线的切线与法平面方程以及曲面的切平面与法线方程的求法。

第四节 条件极值（3课时）

1、教学目的与要求：

(1)基本要求：了解拉格朗日乘数法的证明，掌握用拉格朗日乘数法求条件极值的方法．

(2)较高要求：用条件极值的方法证明或构造不等式．了解拉格朗日乘数法，学会用拉格朗日乘数法求条件极值．

2、教学要点与知识点：条件极值；拉格朗日乘数法．

3、教学重点与难点：

(1)本节的重点是用拉格朗日乘数法求条件极值．要求学生熟练掌握．(2)多个条件的的条件极值问题，计算量较大，可布置少量习题．

(3)在解决很多问题中，用条件极值的方法证明或构造不等式，是个好方法．可推荐给较好学生．

第十九章 含参量积分（14课时）

第一节 含参量正常积分（4课时）

1、教学目的与要求：

(1)基本要求：了解含参量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的证明，熟练掌握含参量正常积分的导数的计算公式．

(2)较高要求：掌握含参量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的证明．掌握含参量正常积分的连续性，可微性和可积性定理。

2、教学要点与知识点：含参量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的证明；含参量正常积分的导数的计算．

3、教学重点与难点： 参量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的证明.第二节 含参量反常积分（3课时）

1、教学目的与要求：

(1)基本要求：掌握含参量反常积分的一致收敛性及其判别法，含参量反常积分的性质，以及含参量反常积分的魏尔斯特拉斯判别法．(2)较高要求：掌握和应用狄里克雷判别法和阿贝尔判别法．掌握含参量反常积分的一致收敛性概念，含参量反常积分的性质，含参量反常积分的魏尔斯特拉斯判别法，了解狄里克雷判别法和阿贝尔判别法．

2、教学要点与知识点：含参量反常积分的一致收敛性及其判别法；含参量反常积分的性质；含参量反常积分的魏尔斯特拉斯判别法，狄里克雷判别法和阿贝尔判别法；含参量反常积分的连续性，可微性与可积性定理．

3、教学重点与难点：

(1)本节的重点是含参量反常积分的一致收敛性及魏尔斯特拉斯判别法．要求学生会用魏尔斯特拉斯判别法判别含参量反常积分的一致收敛性．

(2)本节的难点是狄里克雷判别法和阿贝尔判别法以及含参量反常积分的连续性，可微性与可积性定理的证明．对较好学生在这方面提出高要求，布置有关习题；另外，由于这方面内容与函数项级数部分有类似之处，还可要求他们作比较与总结．

第三节 欧拉积分（4课时）

1、教学目的与要求：

(1)基本要求：了解 函数与 函数的定义与有关性质．

(2)较高要求：了解 函数与 函数的关系公式．了解 函数与 函数的定义．

2、教学要点与知识点： 函数与 函数的定义； 函数与 函数的联系．

3、教学重点与难点： 函数与 函数的定义和性质，函数与 函数的关系．

第二十章 曲线积分（8课时）

第一节 第一型曲线积分（2课时）

1、教学目的与要求：掌握第一型曲线积分的定义，性质和计算公式．

2、教学要点与知识点：第一型曲线积分的定义，性质和计算公式．

3、教学重点与难点：第一型曲线积分的定义，性质和计算公式． 第二节 第二型曲线积分（4课时）

1、教学目的与要求：

25(1)基本要求：掌握第二型曲线积分的定义和计算公式，了解第一、二型曲线积分的差别．

(2)较高要求：了解两类曲线积分的联系．掌握第二型曲线积分的定义，性质和计算公式．

2、教学要点与知识点：第二型曲线积分的定义，性质和计算公式．

3、教学重点与难点：第二型曲线积分的定义和计算公式．

第二十一章 重积分（24课时）

第一节 二重积分概念（2课时）

1、教学目的与要求：

(1)基本要求：掌握二重积分的定义和性质，二重积分的充要条件，了解有界闭区域上的连续函数的可积性．

(2)较高要求：平面点集可求面积的充要条件．

2、教学要点与知识点：二重积分的定义和性质．

3、教学重点与难点： 二元函数可积的充要条件.第二节 直角坐标下二重积分的计算（4课时）

1、教学目的与要求：

(1)基本要求：掌握二重积分化为累次积分的方法和累次积分的积分次序的交换公式．

(2)较高要求：掌握二重积分化为累次积分公式的证明．掌握直角坐标下二重积分的计算公式．

2、教学要点与知识点：二重积分化为累次积分；累次积分的积分次序的交换．

3、教学重点与难点：

（1）直角坐标下二重积分的计算公式．（2）掌握二重积分化为累次积分公式的证明． 第三节 格林公式，曲线积分与路线无关性（4课时）

1、教学目的与要求：

(1)基本要求：掌握格林公式以及曲线积分与路线无关的条件，理解格林公式以及曲线积分与路线无关的条件的定理的证明．

(2)较高要求：掌握格林公式以及曲线积分与路线无关的条件定理应用的特殊技巧．

2、教学要点与知识点：格林公式；曲线积分与路线无关的条件．

3、教学重点与难点：格林公式以及曲线积分与路线无关的条件，并应用格林公式化二重积分为曲线积分和化曲线积分为二重积分，曲线积分与路线无关的条件的定理时掌握“挖”“补”等某些特殊技巧．

第四节 二重积分的变量变换（4课时）．

1、教学目的与要求：

(1)基本要求：了解二重积分的一般的变量变换公式，掌握二重积分的极坐标变换．

(2)较高要求：理解二重积分的一般的变量变换公式的证明．

2、教学要点与知识点：二重积分的一般的变量变换公式；极坐标变换公式．

3、教学重点与难点：

(1)本节的重点是极坐标变换公式，要求学生必须熟练掌握．

(2)本节的难点是二重积分的一般的变量变换公式的证明，可要求较好学生了解．

第五节 三重积分（4课时）

1、教学目的与要求：掌握三重积分的定义和性质，熟练掌握化三重积分为累次积分，及用柱面坐标变换和球面坐标变换计算三重积分的方法．

2、教学要点与知识点：三重积分的定义和性质；三重积分的积分换元法；柱面坐标变换；球面坐标变换．

3、教学重点与难点：三重积分的定义和性质，有界闭区域上的连续函数必可积． 第六节 重积分的应用（4课时）

1、教学目的与要求：学会用重积分计算曲面的面积，物体的重心，转动惯量与引力．

2、教学要点与知识点：曲面面积的计算公式；物体重心的计算公式；转动惯量的计算公式；引力的计算公式．

3、教学重点与难点：曲面面积的计算公式，物体重心的计算公式，转动惯量的计算公式和引力的计算公式，第二十二章 曲面积分（16课时）

第一节 第一型曲面积分（2课时）

1、教学目的与要求：(1)基本要求：掌握第一型曲面积分的定义和用显式方程表示的曲面的第一型曲面积分计算公式．

(2)较高要求：掌握用隐式方程或参量表示的曲面的第一型曲面积分计算公式．

2、教学要点与知识点：第一型曲面积分的定义和计算公式．

3、教学重点与难点：曲面的第一型曲面积分的定义和计算公式．隐式方程或参量表示的曲面的第一型曲面积分计算公式．

第二节 第二型曲面积分（4课时）

1、教学目的与要求：

(1)基本要求：掌握用显式方程的第二型曲面积分的定义和计算公式．(2)较高要求：掌握用隐式方程或参量表示的曲面的第二型曲面积分计算公式，掌握两类曲面积分的联系．

2、教学要点与知识点：曲面的侧；第二型曲面积分的定义和计算公式．

3、教学重点与难点：

(1)本节的重点是要求学生必须掌握第二型曲面积分的定义和计算公式，要强调一、二型曲面积分的区别，要讲清确定有向曲面侧的重要性．

(2)本节的难点是用隐式方程或参数方程给出的曲面的第二型曲面积分的计算公式以及两类曲面积分的联系，可对较好学生要求他们掌握．

第三节 高斯公式与斯托克斯公式（6课时）

1、教学目的与要求：

(1)基本要求：学会用高斯公式计算第二型曲面积分，用斯托克斯公式计算第二型曲线积分．懂得高斯公式与斯托克斯公式证明的思路，掌握沿空间曲线的第二型积分与路径无关的条件．

(2)较高要求：应用高斯公式与斯托克斯公式的某些特殊技巧．

2、教学要点与知识点：高斯公式；斯托克斯公式；沿空间曲线的第二型积分与路径无关的条件．

3、教学重点与难点：本节的重点是要求学生学会用高斯公式计算第二型曲面积分，用斯托克斯公式计算第二型曲线积分．要讲清应用两公式的条件并强调曲面与曲面的边界定向的关系．

第二篇：数学分析教学大纲

《数学分析》教学大纲

教学目的

1.通过本课程的教学，使学生获得极限论、一元微积分、无穷级数与多元微积分等方面的系统知识，正确理解和掌握数学分析的基本概念、基本理论和基本方法，提高学生的抽象思维、逻辑推理及分析运算能力；

2.为学生进一步学习复变函数论、常微分方程、概率论理数理统计、实变函数论等后继课程提供必要的数学概念、理论、方法以及运算技能；

3.使学生掌握本课程与此同时学数学内容的内在联系，加深对中学数学内容、方法的理解，为用高观点指导中学数学教学打下必要的基础。

4.本课程的教学应使学生理解的掌握常量与变量、直与曲、有限与无限、特殊与一般，具体与抽象等辨证关系，培养的辩证唯物主义观点；应重视数学思想方法的数学，培养学生学数学，用数学的能力，提高学生分析问题解决问题的能力。

教学内容

数学分析是现代数学的基础学科，是学习和掌握其它数学学科及科学技术的基础和工具，是数学专业的一门重要基础课程。在实数范围内用极限方法研究函数性质，本课程的基本内容包括：函数、极限与连续，一元函数微积分学，无穷级数与多元函数微积分学。

教学基本内容及要求

（一）第一章： 实数集与函数

1，教学基本要求 [目的要求]

（1）理解实数系，实数的性质与不等式；（2）准确理解上确界与下确界、确界存在定理；

(3)熟练掌握一元实函数、初等函数、基本初等函数、函数的表示；(4)掌握函数的有界、单调、周期性。[重点难点] 重点： 基本初等函数；难点：确界

2教学具体内容

实数系，实数的性质与不等式。上确界与下确界、确界存在定理。一元实函数、初等函数、基本初等函数、函数的表示。函数的有界、单调、周期性。

第二章： 数列极限

1，教学基本要求

[目的要求]（1）领会实数的性质，能用数列极限的定义进行分析、证明；（2）掌握数列极限定义、性质、四则运算，极限存在的条件。[重点难点] 重点：极限 ；难点：极限定义，极限存在的条件

2教学具体内容

数列、数列极限的定义、无穷小量，数列极限和性质，数列极限的四则运算；数列极限和性质，数列极限的四则运算；单调有界收敛定量Cauchy收敛定理。

第三章： 函数极限 1，教学基本要求

[目的要求]（1）准确理解函数极限的定义，性质、四则运算、与数列极限的关系；（2）熟练掌握单侧极限Cauchy收敛原理；

（3）熟练掌握两个重要极限，无穷小量与无穷大量的阶。[重点难点] 重点：两个重要极限 ；难点：函数极限的定义

2教学具体内容

函数极限定义、单侧极限、函数极限定义的推广。函数极限的性质――唯一性、局部保序性、局部有界性、夹逼性、函数极限的四则运算；函数极限与数列极限的关系――Heine定理、Cauchy收敛原理；两个重要极限 ；无穷小量的比较、高阶、同阶、等价无穷小量、无穷大量和比较、高阶、同阶、等价无穷大理、等价量、等价量的代换。

第四章：连续函数

1，教学基本要求

[目的要求]（1）熟练掌握连续函数的定义、连续函数的四则运算、不连续点的类型、反函数的连续性、复合函数 的连续性；

（2）掌握闭区间上连续函数的性质、理解一致连续的概念。[重点难点] 重点：连续函数的定义 ；难点：一致连续的概念

2教学具体内容

连续函数的定义、单侧连续、不连续点的类型；连续函数的四则运算，反函数连续性定理、复合函数的连续性，闭区间连续函数的有界性定义、最值性定理、零点存在定理、中间值定理、一致连续的概念、闭区间上连续函数的一致连续性；初等函数连续性质

第五章：导数与 微分

1，教学基本要求

[目的要求]（1）熟练掌握微分的定义、导数的定义、导数的四则运算和反函数的求导法则、复合函数的求导法则及其应用；

（2）理解一阶微分形式的不变性、高阶导数和高阶微分及运算法则；（3）会应用Leibniz公式、理解和掌握复合函数求高阶导数的链式法则。[重点难点]

重点：导数的定义；难点：复合函数的求导法则

2教学具体内容

导数的定义和微分的关系导数产生的背景、几何意义、单侧导数；用定义求导数、求导的四则运算、反函数求导法则、基本求导公式，复合函数求导法则——链式法则、一阶微分 形式的不变性；微分的定义、导数的定义和微分的关系；高阶导数的定义、运算、高阶微分的概念；参数形式的函数求导，参数方程所确定函数的高阶导数。

第六章：微分中值定理及其应用

1，教学基本要求

[目的要求]（1）使学生掌握微分中值定理、Taylor公式及其应用（函数的极值与最值；函数的凸性拐点）

（2）熟练掌握LHospital法则和应用；

（3）数学建模及函数方程的近似求解，会进行函数作图。[重点难点]

重点：中值定理；难点：Taylor公式 '2教学具体内容

函数单调性；极值、Fermat引理、Rolle定理、Lagrange中值定理、函数单调性凸函数、二阶导数与凸函数的关系、Cauchy中值定理；LHospital法则 ；Taylor公式及其Lagrange型余项、Peano 型余项；求极限、最值问题，求曲线的渐进线方程； 函数的凸性拐点；函数作图。

'第七章：实数的完备性定理

1，教学基本要求

[目的要求]

使学生掌握实数的完备性定理，确界原理，区间套定理等 [重点难点]

重点：区间套定理 ；难点：完备性定理

2教学具体内容

实数的基本定理；闭区间上的连续函数性质的证明。

第八章：不定积分

1，教学基本要求

[目的要求]（1）理解不定积分的概念、性质、运算和换元积分法、分部积分法；（2）熟练掌握不定积分的基本公式，分部积分法和换元积分法；

（3）掌握有理函数积分的计算、区分无理函数的积分和可化为有理函数积分的类型 [重点难点]

重点：分部积分法和换元积分法；难点：有理函数积分的计算

2教学具体内容

原函数、不定积分的定义、不定积分线性性质、不定积分的基本公式，基本积分表；换元积分法——第一类换元积分法、第二类换元积分法，分部积分法；有理函数、有理函数的积分、可化为有理函数不定积分的情况。

教学基本内容及要求

（二）第九章：定积分

1，教学基本要求

[目的要求]（1）重点掌握定积分的概念；

（2）了解可积的充要条件，可积函数类；

（3）掌握定积分的性质，微积分基本定理，定积分计算方法（换元法、分部积分法及奇偶函数的定积分等。

[重点难点]

重点：微积分基本定理；难点：定积分的概念

2教学具体内容

定积分的引入和概念； 积分上、下限函数，微积分基本定理；Riemann可积的充要条件和一些可积函数类；定积分的基本性质（定积分的基本性质：线性性，保序性，区间可加性和积分第一中值定理等）；定积分的计算（定积分的换元积分法和分部积分法，奇偶函数的定积分）。

第十章 ：

定积分的应用

1，教学基本要求

[目的要求]（1）重点掌握求面积、弧长、体积和侧面积：（2）了解微元法及其应用。

[重点难点]

重点：求面积 ；难点：微元法

2教学具体内容

求平面图形的面积；求几何体的体积 ；求曲线的弧长 ；求旋转体的侧面积

；定积分在理上的应用。

第十一章 ：

反常积分

1，教学基本要求

[目的要求]（1）掌握反常积分敛散性的定义，掌握一些重要的反常积分收敛和发散的例子，（2）理解并掌握绝对收敛和条件收敛的概念并能用反常积分的Cauchy收敛原理、非负函数反常积分的比较判别法、Cauchy判别法，（3）理解一般函数反常积分的Abel、Dirichlet判别法判别基本的反常积分。

[重点难点]

重点：反常积分敛散性的判定；难点：Abel、Dirichlet判别法

2教学具体内容

反常积分的概念和计算 ；绝对收敛和条件收敛的概念，反常积分的Cauchy收敛原理，非负函数反常积分的比较判别法，Cauchy判别法，以及一般函数反常积分的Abel,Dirichlet判别法。

第十二章：

数项级数

1，教学基本要求

[目的要求]（1）准确理解敛散性概念、级数收敛的必要条件和其它性质，（2）熟练地求一些级数的和；

4（3）比较熟练利用正项级数的收敛原理，比较判别法，Cauchy、D`Alembert判别法及其极限形式，Raabe判别法和积分判别法判别正项级数的敛散性；

（4）准确理解Leibniz级数，并比较熟练利用Leibniz级数，Abel、Dirichlet判别法判别一般级数的敛散性。

[重点难点]

重点：级数敛散性的判定；难点：Cauchy、D`Alembert判别法

2教学具体内容

数项级数及其敛散性概念，级数收敛的必要条件和其它性质，一些简单的级数求和。正项级数的概念，正项级数的收敛原理，比较判别法，Cauchy、D`Alembert及其极限形式，Raabe判别法和积分判别法；级数的Cauchy收敛原理，Leibniz级数及其判别法，Abel变换、条件收敛和绝对收敛概念，Abel、Dirichlet判别法，条件收敛和绝对收敛的级数具有的性质。

第十三章：

函数项级数

1，教学基本要求

[目的要求]（1）重点理解点态收敛、一致收敛和内闭一致收敛，函数列一致收敛的判别法；（2）掌握并学会应用函数项级数的Cauchy收敛原理，Weierstrass判别法，Abel、Dirichlet判别法，（3）掌握一致收敛级数的连续性、可导性和可积性

[重点难点]

重点：一致收敛级数的连续性、可导性和可积性 ；难点：一致收敛

2教学具体内容

点态收敛，收敛域，部分和函数，点态收敛函数项级数的基本问题，一致收敛、内闭一致收敛，函数列一致收敛的判别法。函数项级数的Cauchy收敛原理，Weierstrass判别法，Abel、Dirichlet判别法，一致收敛级数的连续性、可导性和可积性。

第十四章：

幂级数

1，教学基本要求

[目的要求]（1）掌握幂级数的收敛半径和收敛域及其半径求法，（2）掌握函数幂级数展开的条件，初等函数的幂级数展开 [重点难点]

重点：幂级数展开；难点：幂级数展开的条件

2教学具体内容

幂级数概念，收敛半径和收敛域，利用Cauchy-Hadamard定理，D`Alembert判别法求收敛半径，幂级数的连续、可导和可积性，利用幂级数的连续、可导和可积性求幂级数的和。函数幂级数展开的条件，初等函数的幂级数展开。

第十五章：

Fourier级数

1，教学基本要求

[目的要求]

熟练掌握函数的Fourier级数的概念和Fourier级数各种展开。

[重点难点]

重点：Fourier级数各种展开 ；难点：Fourier级数各种展开

2教学具体内容

Fourier级数的来历及与Taylor展开的比较；周期为2π的函数的Fourier展开；将函数展开为正弦级数与余弦级数；任意周期的函数的Fourier展开。将函数展开为正弦级数与余弦级数；任意周期的函数的Fourier展开。收敛定理的证明（说明思路，不证明）

第十六章：

多元函数的极限和连续

1，教学基本要求 [目的要求]（1）理解有界集，内点，边界点，孤立点，聚点，开集和闭集及其关系，闭包，（2）理解闭矩形套定理，Bolzano-Weierstrass定理，Cauchy收敛定理，Heine-Borel定理；（3）掌握多元函数的定义，多元函数的重极限和二次极限及其关系，多元函数的连续，、连续等性质，连续函数的有界性、最值定理、一致连续性定理、中间值定理，（4）掌握连通集和区域等概念。

[重点难点]

重点：多元函数的重极限和二次极限 ；难点多元函数的重极限和二次极限：

2教学具体内容

Rn的极限，有界集，内点，边界点，孤立点，聚点，开集和闭集及其关系，闭矩形套定理，Bolzano-Weierstrass定理，Cauchy收敛定理，Heine-Borel定理等。多元函数的定义，多元函数的重极限和二次极限及其关系。多元函数的连续，连续函数的性质：有界性、最值定理、一致连续性定理、中间值定理等，连通集和区域。

第十七章：

多元函数的微分学

1，教学基本要求

[目的要求]（1）重点掌握偏导数，方向导数，全微分，连续、可偏导、可微之间的关系，梯度，高阶偏导数和高阶全微分，（2）了解混合偏导数的相等，重点掌握多元复合函数的链式法及其应用，（3）了解一阶全微分的形式不变性。

[重点难点]

重点：偏导数 ；难点：多元复合函数的链式法

2教学具体内容

偏增量和全增量，偏导数，全微分，连续，可偏导，可微之间的关系；多元复合函数的链式法及其应用，一阶全微分的形式不变性。方向导数与梯度 ；高阶偏导数和高阶全微分，混合偏导数的相等，Taylor公式及Lagrange余项的计算；Taylor公式的简单应用，条件极值的几个基本结论；最小二乘法；函数的无条件极值与最值的计算；无条件极值在几何及不等式中的应用。

教学基本内容及要求

（三）第十八章： 隐函数定理及应用

1，教学基本要求

[目的要求]（1）理解隐函数，隐函数组，反函数组的概念及相关定理。

（2）熟练计算隐函数的导数；偏导数和高阶偏导数，计算隐函数组的导数；偏导数。（3）会求曲线的切线与法平面的方程；曲面在给定点处的切平面与法线方程。（4）掌握无条件极值与条件极值的求法。

[重点难点]

重点：隐函数的导数 ；难点：条件极值

2教学具体内容

一元及多元隐函数存在定理；由方程或方程组所确定的隐函数的偏导数的计算；通过变量变换进行方程的化简和变换。隐函数组 ；空间曲线的切线与法平面的概念及对应的切线与法平面方程的计算；曲面的切平面与法线的概念；会计算曲面在给定点处的切平面与法线方程；偏导数与在几何中的其它应用； 条件极值。

第十九章：

含参变量积分 1，教学基本要求

[目的要求]

（1）理解含参变量的常义积分的定义及分析性质；

（2）掌握含参变量的反常积分的一致收敛的判别法及一致收敛积分的分析性质；（3）掌握Beta函数和Gamma函数的性质、递推公式及二者之间的关系。[重点难点]

重点：含参变量积分的定义；难点：一致收敛积分

2教学具体内容

含参变量正常积分 ；含参变量的反常积分 ；掌握Beta函数和Gamma函数的定义、性质、递推公式及二者之间的关系。

第二十章：

曲线积分

1，教学基本要求

[目的要求]

理解第一、二类曲线积分的概念；掌握计算曲线积分的方法。[重点难点]

重点：曲线积分的计算 ；难点：曲线积分的概念

2教学具体内容

第一类曲线积分的概念；第一类曲线积分的性质；第一类曲线积分的计算公式。第二类曲线积分的概念及性质：方向性、线性性与路径可加性；第二类曲线积分的计算公式。

第二十一章：

重积分

1，教学基本要求

[目的要求]

（1）理解重积分的概念；掌握二重积分、三重积分的计算；（2）理解二重积分与三重积分的变量代换；（3）掌握重积分的应用

[重点难点]

重点：重积分的计算 ；难点：变量代换

2教学具体内容

二重积分的概念与了解二重积分七条基本性质、按定义计算有界闭区域上的重积分。直角坐标下二重积分的计算； Green公式与曲线积分与路径无关的条件 ；二重积分变量代换 ；三重积分的计算

；重积分的应用。

第二十二章

曲面积分

1，教学基本要求

[目的要求]（1）理解第一、二类曲面积分的概念；

（2）掌握利用Green公式、Gauss公式和Stokes公式计算曲线积分与曲面积分的方法；（3）理解曲线积分与路径无关的条件；理解梯度、通量与散度、旋度的概念。

[重点难点]

重点：Green公式、Gauss公式和Stokes公式；难点：曲面积分的概念

2教学具体内容

第一类曲面积分的概念、计算及应用。第二类曲面积分的概念及性质：方向性、线性性与曲面可加性；第二类曲面积分的计算及应用。Gauss公式及其应用；Stokes公式及其应用；Green公式、Gauss公式和Stokes公式三者之间的关系。

第三篇：数学分析课程教学大纲

《数学分析》课程教学大纲

(理工科师范类数学教育专业)

说明

数学分析是理工科师范类数学教育专业的一门必修的基础课。这门课程对于学员加深理论基础的学习，增强基本技能的训练，提高数学修养和业务素质，以便居高临下地分析和处理中学数学教材，有着重要作用。

本课程以极限概念为基础，主要内容为一元微积分的理论和应用。

本课程的教学目的一要求是：

一、使学员对极限思想与方法有较深刻的认识，弄清具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辩证关系，学习科学的思想方法，以利于辩证唯物主义世界观的培养与形成。

二、使学员掌握数学分析的基本知识、基本理论与基本技能，提高抽象思维、逻辑推理与运算的能力，并认识到数学分析在自然科学与社会科学中的广泛应用。

三、使学员对中学数学的有关内容有较深刻的理性认识，能深入浅出地处理好这些教材内容。

本大纲是在国家教委1990年颁布的《中学教师进修高等师范专科数学分析教学大纲》基础上修订而成。本课程课内学时为288学时，其中录像220学时(学时分配见下表)。

大纲内容

一、函数

（一）目的要求

１、正确理解和掌握函数概念，了解函数的各种表示法和记号；理解和掌握函数的四则运算与复合，会求函数的定义域；掌握反函数的定义和图象等。

２、理解和掌握有界函数与无界函数、单调函数、奇函数与偶函数、周期函数等概念。３、熟练掌握五种基本初等函数的定义与性质，能熟练地绘出它们的草图。

４、了解几个常用的非初等函数的例子。

（二）主要内容

１、函数概念（函数概念绝对值不等式定义域值域函数的符号图象 函数的各种表示法）

２、函数的特性种类（有界函数与无界函数单调函数奇函数与偶函数周期函数）３、函数的四则运算与复合４、反函数（定义存在的充要条件图象）

５、基本初等函数（幂函数指数函数对数函数三角函数反三角函数）６、初等函数（基本初等函数初等函数）

７、几个非初等函数的例子（整数部分函数小数部分函数符号函数狄里赫勒函数黎曼函数）

二、极限

（一）目的要求

１、理解和掌握数列极限与函数极限的概念，掌握它们的有关性质。

２、理解和掌握无穷小量与无穷大量的概念，掌握它们的有关性质。

３、会用“ε-N”、“ε-δ”、“ε-E” 等语言处理极限的有关问题。

４、能运用四则运算、两边夹定理、单调有界数列极限存在定理与两个重要极限，熟练地求极限。

（二）主要内容

１、数列极限的概念（数列数列极限的定义几何意义）

２、数列极限的性质（唯一性有界性保号性保序性两边夹定理四则运算定理单调有界数列极限存在定理）

３、子数列（子数列数列极限与子数列极限的关系）

４、函数极限的概念（在一点处函数极限的定义左、右极限及其与双边极限的关系 χ→∞时的极限几何意义）

５、函数极限的定理（函数极限的性质函数极限与数列极限的关系）

６、两个重要极限

limsinχ── χ ＝1lim（1＋1─ χ）χ＝ е

χ→0χ→∞

７、无穷小量与无穷大量（无穷小量与无穷大量的定义、关系、性质、无穷大量与无界的区别无穷小量比较）

三、连续函数

（一）目的要求

１、理解和掌握函数连续的概念，一致连续概念要清楚。

２、对于间断点及其分类要有清楚的了解。

３、掌握闭区间上连续函数的性质。

４、了解初等函数的连续性。

（二）主要内容

１、连续概念（一点处连续、单侧连续与区间上连续的定义间断点及其分类）

２、函数在一点处连续的性质（有界性全保号性四则运算复合函数的连续性反函数的连续性）

３、闭区间上连续函数的性质（价值性有界性量值定理一致连续定理（均暂不证明））

４、初等函数连续性

四、实数的连续性

（一）目的要求

１、了解实数集关于极限运算的封闭性。

２、了解实数连续性的几个基本定理的证明方法并掌握其条件与结论。

３、了解闭区间上连续函数的性质的证明方法。

（二）主要内容

１、几个基本定理（闭区间套定理确界确界存在定理聚点聚点定理有限覆盖定理柯西收敛准则）

２、闭区间上连续函数性质的证明（一致连续定理不证）

五、导数与微分

（一）目的要求

１、掌握导数与微分的概念及其几何意义，了解它们的应用。

２、能熟练地应用导数的定义与求导法则求函数的导数。

３、会求一些函数的高阶导数。

（二）主要内容

１、导数概念（概念引入导数定义几何意义可导与连续的关系）

２、求导法则（四则运算复合函数与反函数的导数基本公式表）

３、隐函数与参数方程求导（隐函数求导法则参数方程求导法则）

４、微分（微分定义几何意义微分与导数的关系微分法则一阶微分形式不变性微分在近似计算上的应用）

５、高阶导数与高阶微分（高阶导数莱布尼兹公式（不证）高阶微分）

６、几何应用（曲线的切线方程与法线方程两条曲线的交角弧长的微分）

六、微分学中值定理和泰勒公式

（一）目的要求

１、掌握中值定理的条件、结论和证明方法。

２、会用中值定理证明一些恒等式与不等式。

３、会求一些简单函数的泰勒展开式。

（二）主要内容

１、中值定理（费尔引理罗尔定理拉格朗日定理柯西定理）

２、泰勒公式（泰勒公式泰勒公式的余项（拉格朗日型））

七、导数的应用

（一）目的要求

１、能熟练地应用洛毕大法则求不定理的极限。

２、会利用导数判定函数的单调性，会求函数的极值和最大（小）值。

３、能运用导数较正确地作出函数的图象。

（二）主要内容

１、洛毕大法则（0 ─0 型∞─∞ 型（不证）其他不定型的转化）

２、函数的单调性（函数单调的充要条件函数严格单调的充要条件应用函数的单调性证明不等式）

３、函数的极值（极值概念极值判别法最大值与最小值）

４、函数作图（函数的凹凸性拐点渐近线函数作图）

八、不定积分

（一）目的要求

１、掌握原函数与不定积分概念。

２、熟练掌握换元积分法与分部积分法，了解不理函数积分法。

（二）主要内容

１、不定积分的概念（原函数与不定积分的概念不定积分的运算法则基本积分表）２、换元积分法（凑微分法典型代换法）

３、分部积分法

４、有理函数的积分（有理函数部分分式（了解原理，掌握方法））

∫dχ──────（χ2＋a2）n的递推公式

５、三角函数有理式和积分

九、定积分

（一）目的要求

１、正确理解和掌握定积分概念，了解可积准则，掌握可积函数类。

２、掌握定积分的性质，能熟练地应用牛顿－莱布尼兹公式计算定积分。

３、掌握并正确用换元积分法与分部积分法。

（二）主要内容

１、定积分概念（概念引入定积分的定义）

２、可积准则（大和与小和可积的必要条件可积的充要条件）

３、可积函数类（连续函数只有有限个间断点的有界函数单调有界函数可积分函数类与有原函数的函数类的区别）

４、定积分的性质（线性有限可加性单调性绝对可积性积分第一中值定理）５、定积分的计算（可变上限的定积分牛顿－莱布尼兹公式换元积分法分部积分法）

十、定积分的应用

（一）目的要求

１、掌握定积分在几何上的应用，了解定积分在物理上的应用。

２、了解定积分的近似计算。

（二）主要内容

１、定积分在几何上的应用（微元法平面区域的面积平面曲线的弧长利用截面面积计算立体体积旋转体的侧面积）

２、定积分在物理上的应用（静压力变力作功非均匀曲线的质量）

３、定积分在近似计算（梯形法抛物线法）

十一、数项级数

（一）目的要求

１、掌握无穷级数及其敛散性等基本概念。

２、了解收敛级数的性质。

３、能熟练使用几种常用的判敛法则。

（二）主要内容

１、数项级数的敛散性（无穷级数部分和收敛与发散和与余和收敛级数的性质收敛的必要条件柯西准则）

２、正项级数敛散性判别法（比较判别法级数通项比值极限法达朗贝尔判别法柯西判别法）

３、任意项级数敛散性判别法（绝对收敛与条件收敛交错级数莱布尼兹判别法）

十二、函数项级数

（一）目的要求

１、掌握函数项级数的收敛域、和函数与一致收敛等基本概念。

２、会使用一致收敛的优级数判别法。

３、掌握和函数与极限函数的分析性质。

４、了解极限、收敛的否定语句叙述。

（二）主要内容

１、函数项级数的收敛域（函数项级数收敛域和函数极限函数一致收敛极限与收敛的否定语句叙述）

２、一致收敛的判别法（柯西准则优级数判别法）

３、函数项级数的分析性质（和函数的连续性、可积性、可微性极限函数的连续性、可积性、可微性）

十三、幂级数

（一）目的要求

１、弄清幂级数及其收敛半径、收敛域等概念，会求幂级数的收敛半径与收敛域。２、明确幂级数和函数的分析性质。

３、了解函数能展成泰勒级数的条件，能将一些函数民成泰勒级数。

４、了解函数民开式在近似计算上的应用及三角函数表与对数表的造表原理。

（二）主要内容

１、幂级数的收敛域（幂级数阿贝尔定理收敛半径收敛域）

２、幂级数的性质（内闭一致收敛性和函数的连续性、可积性、可微性）

３、函数的泰勒展开（系数求法与展开式的唯一性可展成幂级数的充要条件 几个初等函数的幂级数展开式）

４、幂级数在近似计算上的应用（求方根的近似值e和π的近似值三角函数造表对数造表）

十四、广义积分

（一）目的要求

１、掌握广义积分的收敛、发散、绝对收敛与条件收敛等概念。

２、能用收敛性判别法判断一些广义积分的敛散性。

（二）主要内容

１、无穷区间上的广义积分（无穷积分的收敛与发散绝对收敛与条件收敛收敛准则收敛性判别法与级数的关系）

２、无界函数的广义积分（瑕积分的收敛与发散绝对收敛与条件收敛收敛准则收敛判别法与无穷积分的关系Г函数简介）

十五、多元函数微分学

（一）目的要求

１、掌握平面点集的一些基本概念与多元函数的概念。

２、理解和掌握二元函数的极限、二元函数的连续性等概念。

３、掌握偏导数、全微分等概念，能熟练地求偏导数与全微分，了解高阶偏导数的概念，能求高阶偏导数。

４、弄清全微分、偏导数与连续三者之间的关系。

（二）主要内容

１、平面点集（点的圆形领域内点聚点界点边界开集闭集区域）

２、二元函数的极限与连续性（多元函数概念二元函数的定义域二元函数的极限与累次极限二元函数连续的概念闭区间上连续函数的性质（不证））

３、偏导数与全微分（偏导数全微分高阶偏导数全微分与偏导数、连续三者之间的关系）

４、复合函数的偏导数（复合函数可导的充分条件链式公式一阶微分形式不变性）５、隐函数存在定理（一元隐函数存在定理隐函数的求导）

十六、二重积分

（一）目的要求

１、掌握二重积分的概念，了解它的性质。

２、会正确计算二重积分，并利用它计算空间形体的体积与平面图形的面积。３、了解三重积分的概念。

（二）主要内容

１、二重积分的概念（概念引入二重积分的定义二重积分的性质二重积分的性质二重积分存在的充分条件（不证））２、二重积分的计算（二重积分化为累次积分利用级坐标计算二重积分）

３、二重积分的应用（空间形体的体积平面图形的面积）

４、三重积分的概念计算方法举例

十七、曲线积分

（一）目的要求

１、掌握两类曲线积分的概念，会求曲线积分。

２、掌握格林公式、曲线积分与道路无关的条件。

（二）主要内容

１、两类曲线积分（第一型曲线积分的定义、性质与计算方法两类曲线积分的关系）２、格林公式

３、曲线积分与道路无关的条件

十八、微分方程简介

（一）目的要求

１、了解微分方程的一些基本概念。

２、掌握几种简单类型微分方程的解法。

（二）主要内容

１、基本概念（微分方程阶解初始条件特解通解）

２、一阶微分方程（可分离变量的微分方程齐次方程一阶线性方程全微分方程）

第四篇：厦大《数学分析》教学大纲

数学分析教学大纲

一、集合映射与函数(12学时)

实数概念、绝对值不等式、区间与邻域、有界集、确界与确界原理、函数概念、函数的几种表示法（解析法、列表法和图像法等），函数的四则运算、复合函数、反函数、基本初等函数、初等函数。具有某些特性的函数（有界函数、单调函数、奇函数与偶函数、周期函数）。

二、数列极限(12学时)

数列、数列极限的 定义，收敛数列——唯一性、有界性、保号性、不等式性、夹逼性、四则运 算，单调有界数列极限存在定理。柯西准则，重要极限

三、实数的完备性（14学时）。

区间套定理，数列的柯西（Cauchy）收敛准则，聚点原理，有界数列存在收敛子列，有限覆盖定理，闭 区间上连续函数性质的证明。实数完备性基本定理的等价性 *，上极限和下极限 *。

四、函数极限(16学时)

函数极限。定义，定义，单侧极限，函数极限的性质——唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性、夹逼性、四则运算、Heine 定理。函数极限的柯西准则。两个重要的极限公式，无穷小量、无穷大量及其阶的比较，记号 o，O，非正常极限，渐近线。

五、函数的连续性(14学时)

函数在一点的连续性、单侧连续性、间断点及其分类。在区间上连续的函数，连续函数的局部性质——有界性、保号性。连续函数的四则运算。复合函数的连续性。闭区间上连续函数的性质——有界性、取得最大值最小值性、介值性、一致连续性、反函数的连续性，初等函数连续性。

六、导数和微分(16学时)

引入问题（切线问题与瞬时速度问题）。导数定义，单侧导数、导函数、导数的几何意义、费马(Fermat)定理。和、积、商的导数、反函数的导数、复合函数的导数、初等函数的导数、参变量函数的导数、高阶导数、微分概念、微分的几何意义、微分的运算法则、一阶微分形式不变性、微分在近似计算中的 应用，高阶微分。

七、微分中值定理及其应用（24学时）

柯西（Cauchy）中值定理，不定式极限，洛比达（L'Hospital）法则，泰勒（Taylor）定理。（泰勒公式及其皮亚诺余项与拉格朗日余项）。近似计算，极值、最大值与最小值。曲线的凸凹性。拐点，函数图的讨论。方程近似解 *。

八、不定积分（12学时）

原函数与不定积分概念，基本积分表，线性运算法则，换元积分法、分部积分法，有理函数积分法，三角函数有理式的积分法，几种简单无理根式的积分。

九、定积分（18学时）

引入问题（曲边梯形面积与变力作功）。定积分定义，定积分的几何意义，牛顿——莱布尼茨公式，可积的必要条件，可积的充要条件，可积函数类。定积分性质——线性运算法则、区间可加性、不等式性质、绝对可积性，积分中值定理，微积分学基本定理。换元积分法，分部积分法，泰勒公式的积分型余项。上和与下和的性质 *。

十、定积分的应用（10学时）

简单平面图形面积。有平行截面面积求体积，曲线的弧长与微分、曲率 *。微元法、旋转体体积与侧面积，物理应用（液体静压力、引力、功、平均功率等）。定积分近似计算 *。

十一、反常积分（14学时）

无穷限反常积分概念、柯西准则，线性运算法则，绝对收敛、无穷限反常积分收敛性判别法：比较判别法，狄利克雷（Dirichlet）判别法，阿贝尔（Abel）判别法。无界函数反常积分概念，无界函数反常积分收敛性判别法。

十二、数项级数（12学时）

级数收敛与和的定义，柯西准则，收敛级数的基本性质，正项级数比较原则。比式判别法与根式判别法、积分判别法、拉贝（Raabe）判别法 *。一般项级数的绝对收敛与条件收敛，交错级数，莱布尼茨判别法，狄利克雷（Dirichlet）判别法，阿贝尔（Abel）判别法。绝对收敛级数的重排定理。

十三、函数列与函数项级数（14学时）

函数列与函数项级数的收敛与一致收敛概念，一致收敛的柯西准则。函数项级数的维尔斯特拉斯（Weierstrass）优级数判别法，狄利克雷（Dirichlet）判别法，阿贝尔（Abel）判别法，函数列极限函数与函数项级数和的连续性、逐项积分与逐项求导。

十四、幂级数（12学时）

幂级数的收敛半径与收敛区间，一致收敛性、连续性、逐项积分与逐项求导，幂级数的四则运算。泰勒级数、泰勒展开的条件，初等函数的泰勒展开、近似计算、复变量指数函数与欧拉（Euler）公式 *。

十五、Euclid空间上的极限和连续（14学时）

平面点集概念（邻域、内点、界点、开集、闭集、开域、闭域），平面点集的基本定理——区域套定理、聚点原理、有限覆盖定理。

二元函数概念。二重极限、累次极限，二元函数的连续性、复合函数的连续性定理、有界闭域上连续函数的性质。

十六、多元函数的微分学（32学时）

偏导数及其几何意义，全微分概念，全微分的几何意义，全微分存在的充分条件，全微分在近似计算中的应用，复合函数的偏导数与全微分，一阶微分形式不变性，方向导数与梯度，混合偏导数与其顺序无关性，高阶导数，高阶微分，二元函数的泰勒定理，二元函数的极值。隐函数定理及其应用，隐函数求导，隐函数组概念、隐函数组定理、隐函数组求导、反函数组与坐标变换，条件极值与拉格朗日乘数法。

十七、重积分（20学时）

二重积分定义与存在性，二重积分性质，二重积分计算（化为累次积分）。二重积分的换元法（极坐标与一般变换）。

三重积分定义与计算，三重积分的换元法（柱坐标、球坐标与一般变换）。

重积分应用（体积，曲面面积，重心、转动惯量、引力等）。

反常重积分 *。

无界区域上的收敛性概念 *。无界函数反常二重积分 *。

十八、曲线积分与曲面积分（26学时）

第一型和第二型曲线积分概念与计算，两类曲线积分的联系 *。

曲面的侧。第一型和第二型曲面积分概念与计算，格林（Green）公式，曲线积分与路径无关条件。高斯公式。斯托克斯公式。

十九、场论初步 *（场的概念、梯度场、散度场、旋度场、管量场与有势场）。

二十、含参量积分（14学时）

含参量积分概念、连续性、可积性与可微性，积分顺序的交换。

含参量反常积分的收敛与一致收敛，一致收敛的柯西准则。维尔斯特拉斯（Weierstrass）判别法。连续性、可积性与可微性，积分顺序的交换 *，T函数与B函数。

二十一、傅里叶（Fourier）级数（14学时）

三角级数、三角函数系的正交性、傅里叶（Fourier）级数，贝塞尔（Bessel）不等式，黎曼——勒贝格定理，按段光滑且以2为周期的函数展开，傅里叶级数的收敛定理，以2L为周期的函数的傅里叶级数，奇函数与偶函数的傅里叶级数，收敛定理的证明。

实施本大纲是说明：

1． 陈纪修等编写的数学分析上下册，是面向21世纪课程教材，本教学大纲以此教材为蓝本来制定。本课程是进一步学习复变函数论、微分方程、微分、概率论、实数函数与泛函分析等后继课程的先修基础课程。

2． 本课程总教学时数为342学时，其中讲授课与习题课之比大约为2：1（括号内的时数包括习题课时数）。

3． 在不影响基本要求的情况下，本大纲所列各单元讲授顺序和时数安排，可作适当调整。

4.本大纲列入带*号的内容供选学。

第五篇：数学分析课程教学大纲1

数学分析课程教学大纲

课程名称：数学分析/ Mathematical Analysis

学时/学分：264学时/18学分（其中课内学时264学时，实验上机0学时）先修课程：初等数学

适用专业：数学与应用数学、信息与计算科学 开课院（系、部、室）：数学与计算机科学学院

一、课程的性质与任务

数学分析是数学与应用数学专业一门重要的基础课。学好本课程为进一步学习微分方程、复变函数、数值计算方法以及概率论等后继课程必将打下坚实的基础。通过本课程的学习有助于学生树立辩证唯物主义思想和观点，有助于培养学生严密的逻辑思维能力和较强的抽象思维能力。本课程以极限为工具，研究函数的微分和积分的一门学科，其主要内容包括极限论、一元微积分理论、多元微积分和级数等四大部分。理论学时共264学时，分三学期完成：《数学分析I*》88学时；《数学分析II*》88学时；《数学分析III*》88学时。

其任务是：通过本课程的学习，使学生达到：

1、对极限思想和极限方法有深刻的认识，从而树立辩证唯物主义观点。

2、掌握数学分析的基本知识和基本理论，能熟练地进行基本运算（如求极限、导数、微分和积分等），并具有一定的逻辑思维能力和抽象思维能力，以及分析论证能力。

3、能应用微积分方法解决一定的实际问题。

二、《数学分析I*》课程的教学内容、基本要求与学时分配（总学时88）

（一）函数 6学时

1、熟练掌握函数、反函数、复合函数、单调函数、有界函数、奇偶函数与周期函数等概念。

2、会求函数的定义域。

3、了解函数的各种表示法，掌握分析（或解析）表示法特别对分段表示的函数要很好地理解。

4、熟悉基本初等函数，初等函数。

重点：函数、反函数、复合函数、单调函数、有界函数、奇偶函数与周期函数等概念。难点：反函数、复合函数的概念。

（二）极限 28学时

1、掌握数列极限、函数极限、无穷小量、无穷大量及确界概念，对极限的否定形式要有所了解。

2、会用“ε-N”，“ε-δ”，“ε-A”方法处理极限问题。

3、对下述性质与定理，如唯一性、有界性、保号性、柯西收敛定理和海涅定理等，能准确地叙述并会证明。

4、会运用四则运算、两边夹定理、单调有界数列极限存在定理及两个重要极限熟练地求极限。

5、理解无穷小量、无穷大量的概念，并会用无穷小量、无穷大量的性质处理极限问题。重点：极限的相关概念及其相关理论。

难点：极限的概念，柯西收敛定理和海涅定理。

（三）连续函数 8学时

1、理解一点连续、单侧连续与区间上连续的定义；理解间断点及其分类概念。理解保号性，有界性，四则运算，复合函数的连续性，反函数的连续性。

2、会准确叙述并会证明闭区间上连续函数的介值性，有界性，最值定理；一致连续定理（一致连续性定理的证明可不作要求），并进行相关证明。

3、了解初等函数的连续性。

重点：函数连续的概念及其相关性质。

难点：一点处连续、左右连续的概念和性质。

（四）实数的连续性 9学时

1、准确地叙述并会证明实数系的几个基本定理

区间套定理，确界概念，确界存在定理，单调有界数列极限存在定理，聚点原理，收敛准则，有限覆盖定理。

2、会用上述定理处理某些证明问题。

重点：用实数的连续性的几个定理处理有关证明问题。难点：实数的连续性几个定理的证明及其等价性。

（五）导数与微分 14学时

1、掌握导数（包括单侧导数与导函数）的概念，熟悉它的几何意义，掌握可导与连续的关系。

2、能熟练地应用导数定义与四则运算，复合函数的导数，反函数的导数，基本公式表，隐函数求导法，参数方程求导法求函数的导数。

3、会求一些函数的高阶导数。

4、理解微分的定义，微分的几何意义，微分与导数的关系，微分法则，一阶微分形式的不变法，会用微分进行近似计算。

重点：导数（包括单侧导数与导函数）微分的概念，导数微分的计算。难点：导数（包括单侧导数函数）微分的概念

（六）微分中值定理及泰勒公式，导数的应用 23学时

1、能正确叙述并证明费尔马引理，罗尔中值定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理。

2、会用中值定理证明一些恒等式与不等式。

3、会求一些简单函数的泰勒展开式。

4、能熟练地应用洛毕大法则求不定型的极限。

0“"型与”"型(型不证),其它形式的不定型转化成以上两种形式的不定型。0

5、函数单调性判别法。理解函数单调的充要条件，函数严格单调的充要条件，应用函数的单调性证明不等式。

6、理解极值概念，极值判别法，最大值与最小值概念，能熟练地求函数的极值和最大（小）值。

7、理解函数的凹凸性，拐点，渐近线等概念，会用有关的知识讨论函数的凹凸性及拐点，能应用导数较正确地作出函数的图像。

重点：中值定理的相关应用。难点：中值定理的证明。

三、《数学分析II*》课程的教学内容、基本要求与学时分配（总学时88）

（一）不定积分 18学时

1、掌握原函数与不定积分的概念，熟记基本积分表，理解线性运算法则。

2、熟练掌握换元积分法与分部积分法。

3、掌握有理函数积分法，三角函数有理式的积分。

4、掌握简单无理函数的积分。重点：不定积分计算

难点：原函数与不定积分的概念，无理函数的积分。

（二）定积分 18学时

1、掌握定积分概念。

2、可积的必要条件。理解大和与小和及其性质，可积的充要条件。

3、理解可积的充要条件，并能应用它判断或证明函数的可积性（包括可积函数类）。

4、定积分的性质。熟悉定积分的线性，有限可加性，单调性，绝对可积性，积分中值定理。

5、理解可变上限的定积分的性质并能熟练的处理相关问题。

6、能熟练应用牛顿——莱布尼兹公式、换元积分法和分部积分法计算定积分。

7、了解定积分的近似计算方法。

重点：可积理论，定积分的性质与计算。难点：大小和的性质，可积准则。

（三）定积分的应用 10学时

1、会用微元法解决几何、物理中的一些问题。

2、掌握平面图形的面积，已知截面面积函数的立体体积，旋转体的侧面积，曲线的弧长与曲率。

3、定积分在物理上的应用：会求压力、功、静力矩、重心。重点：几何与物理上的应用。难点：微元法思想。

（四）级数 42学时

1、数项级数

（1）掌握无穷级数的收敛、发散、和、绝对收敛及条件收敛等概念。（2）掌握收敛级数的性质（包括绝对收敛与条件收敛的性质）。（3）熟练掌握正项级数的敛散性判别法。

（4）掌握交错级数的莱布尼兹判别法，理解任意项级数的狄利克雷、阿贝耳判别法。（5）了解级数的重排性质（黎曼定理不证明）。重点：级数收敛的性质，正项级数收敛判别法。

难点：级数收敛的定义，绝对收敛及条件收敛等概念及其判别。

2、数项级数

（1）理解收敛域、极限函数、和函数和一致收敛等概念。

（2）熟练掌握优级数判别法；理解狄利克雷判别法、阿贝耳判别法。

（3）理解函数列的极限函数的连续性、可积性、可微性、函数项级数的和函数的连续性、可积性（逐项积分）与可微性（逐项微分）。会用性质处理一些相关问题。

重点：函数项级数一致收敛的性质、和函数的分析性质。难点：函数项级数一致收敛的概念。

3、幂级数

（1）理解幂级数、函数的泰勒级数的概念，了解函数可展成泰勒级数的条件。

（2）掌握幂级数的内闭一致收敛性，和函数的连续性，可积性（逐项积分）与可微性（逐项微分）。

（3）熟练掌握幂级数的收敛半径与收敛域的求法。（4）能用幂级数做某些近似计算。

重点：幂级数收敛的性质，和函数的性质和计算。难点：和函数的计算。

4、傅里叶哀级数

（1）掌握三角函数系的正交性与函数的傅里叶级数的概念。（2）能正确叙述傅里叶级数收敛性判别法。（3）能将一些函数展成傅里叶级数。

重点：傅里叶级数收敛定理及函数的傅里叶级数的展开。难点：傅里叶级数收敛定理的证明（可不做要求）。

四、《数学分析III*》课程的教学内容、基本要求与学时分配（总学时88学时）

（一）多元函数及其连续性 10学时

1、掌握平面点集的有关概念，多元函数的极限，累次极限以及连续性等概念。

2、了解闭区域套定理、聚点原理、有限覆盖定理以及多元连续函数的性质。重点：多元函数的极限、累次极限以及连续性等概念，多元函数的性质 难点：平面点集的概念，多元函数极限的概念。

（二）多元函数微分学 14学时

1、掌握偏导数、全微分、方向导数、高阶偏导数等概念。

2、掌握全微分、偏导数、连续三者之间的关系。

3、会求函数的偏导数、全微分、方向导数。

4、了解多元函数的泰勒公式。

5、理解极值和最值的概念，掌握极值的必要条件，充分条件，会求多员函数的极值和某些函数的最大（小）值。

重点：偏导数、全微分的概念和计算，极值和最值的判别和计算。难点：全微分的概念，泰勒公式。

（三）隐函数 14学时

1、了解隐函数、函数行列式、条件极值的概念。

2、能用隐函数存在定理判别隐函数的存在性，会求隐函数的导数或偏导数。

3、理解条件极值的概念及Lagrange's乘数法。会求多元函数的条件极值。

4、会求曲线的切线方程和法平面方程，曲面的切平面方程和法线方程。重点：隐函数的概念和存在定理的应用。难点：隐函数存在定理的证明。

（四）反常积分与含有参变量的积分 14学时

1、掌握反常积分（无穷积分、瑕积分）收敛、发散、绝对收敛与条件收敛等概念。

2、能用收敛性判别法判断一些广义积分的敛散性。

3、理解含有参变量积分的概念和分析性质，了解Г-函数、-函数的性质。

4、能用收敛性判别法判断一些广义含参积分的敛散性。

重点：反常积分与含参积分收敛、发散、绝对收敛与条件收敛的性质与判别.难点：含参积分的分析性质的证明。

（五）重积分 18学时

1、理解二重积分与三重积分的概念。

2、理解二重积分与三重积分的性质。

3、掌握直角坐标系及极坐标系下二重积分的计算方法，能将三重积分化为累次积分，并利用柱面坐标、球面坐标计算三重积分。

4、会求一些图形的面积、体积以及一些物体的质量和重心。重点：二重积分与三重积分的计算。难点：二重积分与三重积分换元积分法。

（六）曲线积分与曲面积分 18学时

1、理解第一型曲线积分及第二型曲线积分的定义、性质，掌握第一型、第二型曲线积分的计算方法，了解第二型曲线积分与第一型曲线积分的关系；掌握格林公式。

2、理解第一型曲面积分的定义、性质；第二型曲面积分的定义、性质，掌握第一型、第二型曲面积分的计算方法，了解第二型曲面积分与第一型曲面积分的关系；理解奥——高公式,了解斯托克斯公式。

3、了解场论初步。

重点：第一、第二曲线积分与曲面积分的计算，格林公式与高斯公式。难点：第一、第二曲线积分与曲面积分的概念，斯托克斯公式。

五、推荐教材和主要参考书：

1、推荐教材：

(1)刘玉琏 等编著，《数学分析讲义》（上、下册）北京：高等教育出版，第四版，2003。

2、推荐参考书：(1)谢惠民等，《数学分析讲义》（上、下册），北京： 高等教育出版。(2)陈纪修等著，《数学分析》（上、下册，北京： 高等教育出版。(3)华东师范大学数学系 著，《数学分析 》（上、下册），北京：高等教育出版。(4)裴礼文 著，《数学分析典型问题与方法》，北京：高等教育出版社出版。

大纲制订者：刘学飞

大纲审定者： 组合数学课程教学大纲

课程名称：组合数学/ Combinatory Mathematics 学时/学分： 48学时/3学分(上机实验0学时）

先修课程：数学分析/高等数学、高等代数/线性代数、离散数学、运筹学。适用专业：数学与应用数学模块2/数学与应用数学模块1 开课院（系、部、室）：数学与计算机科学学院

一、课程的性质与任务

《组合数学》是数学与应用数学专业的一门选修基础课程本课程的任务是介绍组合分析的基础知识、基本原理和基本方法。目的与任务是为学习算法分析奠定基础。

二、课程内容、基本要求与学时分配

（一）排列与组合 9学时 理解加法原理与乘法原理的基本含义。2 理解排列与组合的定义。掌握排列的生成算法和邻位互换算法。4 理解组合的生成。能求解允许重复的组合问题。6 能给出常用等式的组合意义。7 掌握排列与组合的应用实例。8 理解Stirling近似公式。

重点：排列的生成算法和邻位互换算法。难点：Stirling近似公式及其应用。

（二）母函数与递推关系

13学时 掌握母函数的概念和它的基本性质及其应用。2 掌握递推关系及其应用。3 掌握常系数递推关系的求解。了解整数拆分及相关性质和Ferrers图象。5 理解指数型母函数。掌握母函数与递推关系的应用实例。掌握错排问题、Stirling数、Catalan数的组合意义及相关结论。重点：母函数的概念及其基本性质与其应用。

难点：错排问题、Catalan数的组合意义及相关结论。

（三）容斥原理与鸽巢原理

12学时 掌握容斥原理及其应用。2 会解错排问题。会熟练地解决有限制排列。4 了解Mobius反演。掌握鸽巢原理及其应用。会解决简单的Ramsey问题并记住常见的Ramsey数。重点：容斥原理、鸽巢原理及其应用。难点：Ramsey问题。

（四）Polya定理

7学时 1 了解群的有关概念。2 了解置换群的概念。掌握循环群的基本性质。了解Burnside引理的条件与结论。理解Polya定理的基本内容，掌握Polya定理的应用。6 了解母函数的Polya定理。7 掌握图的计数方法。

重点：置换群、循环群的基本性质。难点：Polya定理及其应用。

（五）区组设计与编码

7学时 了解拉丁方的概念。2 了解域的有关概念。掌握Galois域GF(pn)上的多项式的运算。4 了解正交拉丁方。掌握均衡不完全的区组设计（BIBD）的基本原理。6 了解GF(p)域上的射影空间的有关概念。理解Hadamard矩阵，掌握Hadamard矩阵的构成。8 了解编码理论的基本概念。了解线性码和Hamming码、陪集译码法、BIBD和编码。重点：均衡不完全的区组设计（BIBD）的基本原理。难点：陪集译码法、BIBD和编码。

三、推荐教材和主要参考书 推荐教材：

（1）卢开澄，组合数学,北京：清华大学出版社,1999。2 主要参考书：

（1）L.Comet.谭明术等译，高等组合学，大连：大连理工大学出版社，1991。（2）柯召等，组合论，北京：科学出版社，1981。（3）柳柏濂，组合矩阵论，北京：科学出版社，1996。注：对模块1/2的课时分别用/分开。

大纲制订者：刘学飞 大纲审定者：

泛函分析课程教学大纲

课程名称：泛函分析/ Functional Analysis 学时/学分：64学时/4学分（其中课内学时64学时，实验上机0学时）先修课程：数学分析，高等代数，复变函数，实变函数 适用专业：数学与应用数学 开课院（系、部、室）：数学与计算机科学学院

一、课程的任务与性质

泛函分析是数学与应用数学本科专业的一门重要的专业必修课程，是数学分析，高等代数，复变函数，实变函数的后续课程，是了解近代数学的一个窗口。它对加强学生的数学修养具有十分重要的意义。其任务是使学生学会和养成使用抽象的分析方法，为学习现代数学打下良好的基础。

二、课程内容、基本要求与学时分配

1、了解集合的对等与基数的概念。

2、理解可数集合及其基本性质。

3、知道不可数集合的存在性以及证明方法。

4、了解一维空间中内点、聚点、界点的概念。

5、理解开集、闭集、完备集的概念以及直线上开集、闭集的构造方法。

6、理解外测度的定义。

7、了解可测集的概念及其基本性质和知道不可测集的存在。

8、了解可测集类。

9、了解可测函数的基本性质。

10、解叶果洛夫定理。

11.、理解可测函数的构造。

12.、知道依测度收敛的概念及其有关的定理。

13、了解勒贝格积分的定义，理解勒贝格积分的性质。

14、熟悉积分的极限定理。

15、理解有界变差函数及其性质。

16、理解不定积分的概念和有关性质、了解斯蒂阶积分。重点：测度与勒贝格积分。

难点：可数与不可数集的概念和性质。

1、理解度量空间中的极限，稠密集以及可分空间的概念。

2、理解连续映照以及相关定理，特别是压缩映射原理。

3、理解柯西列的概念和懂得一般度量空间完备化方法。

4、掌握线性赋范空间及巴拿赫空间的基本性质。

重点：连续算子、线性赋范空间及巴拿赫空间的基本性质。难点：度量空间的完备化。

（一）预备知识

24学时

（二）度量空间和线性賦范空间

10学时

（三）线性有界算子和线性连续泛函

8学时

1、理解线性有界算子和线性连续泛函。

2、了解线性算子空间和共轭空间，知道广义函数大意。重点：线性有界算子和线性连续泛函

难点：现行线性算子空间和共轭空间

（四）内积空间和希尔伯特空间

10学时

1、理解投影定理。

2、了解希尔伯特空间中的规范正交系概念。

3、掌握希尔伯特空间上的连续线性泛函。

4、了解自伴算子、算子和正常算子。

重点：希尔伯特空间上的连续线性泛函的表示理论。难点：规范正交系及其性质。

1、理解泛函延拓定理和了解C[a,b]的共轭空间。

2、理解共轭算子。

3、熟悉纲定理和一致有界性定理

4、知道强收敛、弱收敛和一致收敛的概念。重点：泛函延拓定理、一致有界性定理。难点：共轭算子。

（五）巴拿赫空间中的基本定理

8学时

（六）线性算子的谱

4学时

1、了解谱的概念

2、理解有界线性算子谱的基本性质

3、了解紧集和全连续算子和自伴全连续算子的谱论。重点：有界线性算子谱的基本性质。难点：谱的概念与性质。

三、使用教材和主要参考书

1、推荐教材：

（1）程其襄等编著，实变函数与泛函分析基础，北京：高等教育出版社。

2、推荐参考书：

（1）薛昌兴，实变函数与泛函分析基础，北京：高教出版社。

（2）夏道行等著，实变函数与泛函分析基础，北京：高教出版社（第二版）。（3）周民强 著，实变函数论，北京大学出版社。

（4）郑维行、王声望 著，实变函数与泛函分析概要（第一、二册），高教出版社。

大纲制订者：刘学飞 大纲审定者：

运筹与优化课程教学大纲

课程名称：运筹与优化/ Operations and Optimization

学时/学分：48学时/3学分（其中课内学时48学时，实验上机0学时）

先修课程：高等代数或线性代数，概率论与数理统计，数值计算方法，算法语言等 适用专业：数学与应用数学 开课院（系、部、室）：数学与计算机科学学院

一、课程的性质、目的与任务

本课程是数学与应用数学专业基础课程之一。其任务是使学生从理论和实践上掌握数学优化的基本原理和基本方法，培养学生对典型的数学优化模型及基本算法的理解与应用能力。

二、课程内容、基本要求与学时分配

（一）绪论

了解运筹与优化这门科学的产生、发展、现状、应用及相关知识;介绍开设本课程的背景意义、注意之处、与其它课程的相互联系、教学安排、学习方法、相关参考书;介绍本课程的主要内容；介绍相关软件；对学生提出要求等。

（二）线性规划（LP）

4学时

1.理解LP建模及实际背景。

2.掌握LP(二维)的图解法、LP的标准型、LP解的相关基本概念（可行解、可行域、基、基可行解、可行基）。了解LP问题解的几种情况。

3.了解LP的几何意义（可选择其中的结论证明），掌握可行域顶点与基可行解的重要对应关系。

重点：LP(二维)的图解法，LP解的相关基本概念。难点：可行域顶点与基可行解的重要对应关系。

（三）LP的单纯形法 6学时

1．了解单纯形法原理及运算过程中的基本概念。2．熟练掌握单纯形法计算方法（特别是表上运算）。

3．掌握LP问题的大M法、两阶段法，了解LP问题的退化情况。重点：单纯形法计算方法。难点: 大M法、两阶段法。

（四）LP问题的应用举例 2学时

列举几个典型的LP问题数学模型，培养学生建立LP模型的基本能力。重点：数学建模思想。难点：建模方法。

（五）对偶理论 4学时

1．了解单纯形法的矩阵描述及改进单纯形法。

2．了解LP对偶问题提出的背景，会写出一个LP问题的对偶问题。3．掌握对偶理论的基本性质（特别是互补松驰条件的应用）。4．了解对偶单纯形法及灵敏度分析。重点：对偶问题的性质。难点：互补松驰性。

（六）运输问题

4学时 掌握产销平衡的运输问题的数学模型及表上运算方法，了解产销不平衡情形。重点：产销平衡的运输问题。难点：产销不平衡问题。

（七）整数规划 4学时

1．掌握整数规划的常用两种算法之一（分支定界法与割平面法）。2．掌握0-1规划的隐枚举法。掌握指派问题的解法。重点：整数规划的分支定界法、指派问题。难点: 整数规划的割平面法。

（八）非线性规划

8学时

1．了解非线性规划问题提出的意义及一般数学模型与相关概念。

2．掌握多元无约束极值问题的2-3个常用算法（如最速下降法、共轭梯度法、变尺度法、牛顿法等），了解这些算法各自的优缺点。

3．了解约束条件下的极值问题有关基本概念及算法。重点：无约束极值问题的几种算法。难点：变尺度法。

（九）动态规划初步 4学时

1.了解动态规划的基本原理（多阶段决策的动态规划方法）。2.通过举例（典型问题）要求学生掌握应用本原理的基本方法。重点：动态规划的基本原理。难点：动态规划方法求解方法。

（十）网络优化 4学时

1．掌握最小生成树、最短路、网络最大流算法。了解最小费用最大流问题的算法。了解一些著名网络优化问题。

2．会求关键路线（CPM）。了解GERT（图解评审法）。重点：最短路、网络最大流算法。难点：最小费用最大流问题算法。

（十一）排队论 6学时

1．了解排队系统模型及基本概念。

2．了解顾客到达时间和服务时间的分布。

3．掌握几个常用排队模型（M/M/

1、M/M/1/N/、M/M/1/ /m）中相关参数的计算。重点是M/M/1模型。

4．了解多服务台排队模型。重点：重点是M/M/1模型。难点：模型的有关指标。

（十二）机动与总复习 2学时

三、推荐教材和主要参考书

1．推荐教材：

（1）运筹学教材编写组, 运筹学，北京：清华大学出版社，1998。2．主要参考书：

（1）张莹，运筹学基础，北京：清华大学出版社，1995。

（2）罗荣桂，新编运筹学题解，武汉：华中科技大学出版社，2002。

（3）胡运权，运筹学基础及应用，哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，1988。

（4）M S Bazarra , J Jarvis.Linear programming and network flows.New York: John Wiley & Sons , Inc.，1977。

（5）S Bradley，应用数学规划，瞿立林等译，北京：机械工业出版社，1986。（6）胡运权，运筹学习题集，北京：清华大学出版社，1995。

大纲制订者：刘学飞

大纲审定者：