数学分析教案 (华东师大版)第一章实数集与函数

第一篇：数学分析教案 (华东师大版)第一章实数集与函数

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第一章 实数集与函数

导言 数学分析课程简介(2 学时)

一、数学分析(mathematical analysis)简介:

1.背景: 从切线、面积、计算sin32、实数定义等问题引入.2.极限(limit)—— 变量数学的基本运算：

3.数学分析的基本内容：数学分析以极限为基本思想和基本运算研究变实值函数.主要研究微分(differential)和积分(integration)两种特殊的极限运算,利用这两种运算从微观和宏观两个方面研究函数, 并依据这些运算引进并研究一些非初等函数.数学分析基本上是连续函数的微积分理论.微积运算是高等数学的基本运算.数学分析与微积分(calculus)的区别.二、数学分析的形成过程：

1.孕育于古希腊时期： 在我国，很早就有极限思想.纪元前三世纪, Archimedes就有了积分思想.2.十七世纪以前是一个漫长的酝酿时期,是微积分思想的发展、成果的积累时期.3.十七世纪下半叶到十九世纪上半叶 —— 微积分的创建时期.4.十九世纪上半叶到二十世纪上半叶 —— 分析学理论的完善和重建时期：

三、数学分析课的特点:

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星号的内容略讲或删去，相应的内容作为选修课将在数学分析选讲课开设.3.内容多,课时紧: 大学课堂教学与中学不同的是, 这里每次课介绍的内容很多, 因此, 内容重复的次数少, 讲课只注重思想性与基本思路, 具体内容或推导, 特别是同类型或较简的推理论证及推导计算, 可能讲得很简, 留给课后的学习任务一般很重.4.讲解的重点: 概念的意义与理解,几何直观,理论的体系,定理的意义、条件、结论.定理证明的分析与思路,具有代表性的证明方法,解题的方法与技巧.某些精细概念之间的本质差别.五.要求、辅导及考试：

1.学习方法:尽快适应大学的学习方法, 尽快进入角色.课堂上以听为主, 但要做课堂笔记.课后一定要认真复习消化, 补充笔记.一般课堂教学与课外复习的时间比例应为 : 3。

对将来从事数学教学工作的师范大学本科生来说, 课堂听讲的内容应该更为丰富: 要认真评价教师的课堂教学, 把教师在课堂上的成功与失败变为自己的经验.这对未来的教学工作是很有用的.2.作业: 作业以练习题中划线以上的部分习题为主要内容.大体上每周收一次作业, 一次收清.每次重点检查作业总数的三分之一.作业的收交和完成情况有一个较详细的登记, 缺交作业将直接影响学期总评成绩.作业要按数学排版格式书写工整.3.辅导: 大体每周一次, 第一学期要求辅导时不缺席.4.考试: 按教学大纲的要求, 只以最基本的内容进行考试, 大体上考课堂教学和所布置作业的内容, 包括[1]中的典型例题.考试题为标准化试题，理论证明题逐渐增多.第一章 实数集与函数

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3.三歧性(即有序性): 4.Rrchimedes性:

5.稠密性: 有理数和无理数的稠密性, 给出稠密性的定义.6.实数集的几何表示 ─── 数轴:

7.两实数相等的充要条件: 8.区间和邻域: 二.讲授新课：

（一）.几个重要不等式: 1.绝对值不等式: 定义

[1]P3 的六个不等式.2.其他不等式: ⑴

记 ⑵ 均值不等式: 对

(算术平均值)(几何平均值)(调和平均值)

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教学方法：讲授为主。

一、区间与邻域

二、有界数集与确界原理:

1.有界数集: 定义(上、下有界, 有界)，闭区间、邻域等都是有界数集，集合

为有限数）、也是有界数集.无界数集: 定义, 等都是无界数集, 集合 也是无界数集.2.确界:给出直观和刻画两种定义.例1 ⑴

则

⑵

则

例2 非空有界数集的上（或下）确界是唯一的.例3 设和

是非空数集，且有

则有

.例4 设和

是非空数集.若对和都有则有 证 是的上界, 是的下界，临沂师范学院《数学分析》教案

教学要求：

1.深刻理解函数的定义以及复合函数、反函数和初等函数的定义，熟悉函数的各种表示方法；

2.牢记基本初等函数的定义、性质及其图象。会求初等函数的存在域，会分析初等函数的复合关系。

教学重点：函数的概念。

教学难点：初等函数复合关系的分析。

一、函数:

1.函数: [1]P10—11的四点说明.2.定义域: 定义域和存在域.3.函数的表示法:

4.反函数: 一一对应,反函数存在定理.5.函数的代数运算:

二、分段函数: 以函数

介绍概念.例1

去掉绝对值符号.和

为例例

2求

例3 设

三、函数的复合:

求(答案为8)

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作业：

P15 3；4.(2)(3)；5.(2)；7:(3)；11

§4 具有某些特性的函数(2学时)教学目的：熟悉与初等函数性态有关的一些常见术语.教学目的：深刻理解有界函数、单调函数的定义；理解奇偶函数、周期函数的定义；会求一些简单周期函数的周期。

教学重点：函数的有界性、单调性。教学难点：周期函数周期的计算、验证。

一、有界函数: 有界函数概念.例6 验证函数

在

内有界.解法一

由

当

时,有

对

总有

即

关于的二次方程

在

内有界., 解法二 令根.有实数

解法三 令

对应

于是

第二篇：数学分析教案_(华东师大版)第十七章__多元函数微分学

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第十七章 多元函数微分学

教学目的：1.理解多元函数微分学的概念，特别应掌握偏导数、全微分、连续及偏导存在、偏导连续等之间的关系；2.掌握多元函数特别是二元函数可微性及其应用。

教学重点难点：本章的重点是全微分的概念、偏导数的计算以及应用；难点是复合函数偏导数的计算及二元函数的泰勒公式。教学时数：18学时

§ 1 可微性

一． 可微性与全微分：

1．可微性： 由一元函数引入.亦可写为 , 时

2．全微分:

.例1 考查函数

二.偏导数:

在点

处的可微性.P107例1 1.偏导数的定义、记法:

2.偏导数的几何意义: P109 图案17—1.《数学分析》教案

不存在.三.可微条件:

1.必要条件:

Th 1 设为函数定义域的内点.在点可微 , 和

存在 , 且

.(证)由于 , 微分记为

.定理1给出了计算可微函数全微分的方法.两个偏导数存在是可微的必要条件 , 但不充分.例10

考查函数

在原点的可微性.[1]P110 例5.2.充分条件:

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因此 , 即 , 在点 可微 ，.但

时, 有

, 沿方向

不存在，沿方向

极限

不存在;又 ,因此, 续.由 关于 和 对称,也在点

不存在 ，时，在点

处不连

处不连续.四.中值定理:

Th 4 设函数 在点 该邻域 , 则存在 , 使得 的某邻域内存在偏导数.若 和 ，属于.(证)例1

2设在区域D内

.证明在D内

.五.连续、偏导数存在及可微之间的关系：

六.可微性的几何意义与应用：

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简介二元复合函数 :

.以下列三种情况介绍复合线路图

;,;

.一.链导法则: 以“外二内二”型复合函数为例.Th 设函数

在点

在点

可微, 且

在点 D可微 , 函数

可微 , 则复合函数

,.(证)P118

称这一公式为链导公式.该公式的形式可在复合线路图中用所谓“分线加，沿线乘”或“并联加，串联乘”）来概括.对所谓“外三内二”、“外二内三”、“外一内二”等复合情况，用“并联加，串 联乘”的原则可写出相应的链导公式.《数学分析》教案

.P120例2 例7

设函数

可微 ,.求证

.二.复合函数的全微分: 全微分和全微分形式不变性.例8

.P122 例5

.利用全微分形式不变性求 , 并由此导出

和

§ 3 方向导数和梯度

一． 方向导数：

1． 方向导数的定义：

定义 设三元函数 在点 为从点 以表示 出发的射线.的某邻域 为 上且含于

内有定义.内的任一点 , 与 两点间的距离.若极限

存在 , 则称此极限为函数、.在点

沿方向 的方向导数 , 记为

或

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2.方向导数的计算:

Th 若函数 在点 方向导数都存在 , 且

可微 , 则 在点

处沿任一方向 的 +

+ , 其中、和 ，为 的方向余弦.(证)P125

+, 其中 和 对二元函数 是 的方向角.註

由 = 可见 , 为向量

+

+

，= , , , , , ，在方向 上的投影.例2(上述例1)解 ⅰ> 的方向余弦为

= , = , =.=1 , =

+., =

.因此 , =

+

=

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ⅰ>

.ⅱ>（+)=

+

.ⅲ>（）=

+

.ⅳ>.ⅴ>

()=

.证ⅳ> ,..§ 4 Taylor公式和极值问题

一、高阶偏导数: 1.高阶偏导数的定义、记法：

例9 求二阶偏导数和

.P128

例10.求二阶偏导数.P1282.关于混合偏导数: P129—131.3

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解 ,.=

+

+

+

= = +2

+

.=

+

+

+

= =

+

+

.=

+ +

.因此 ，+（+.令 , 或

.或 ……, 此时方程

化简为

二． 中值定理和泰肋公式：

凸区域.5

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例2 P136例5 2． 极值的必要条件：与一元函数比较.Th 3 设 =为函数 的极值点.则当

和存在时 , 有

.(证)函数的驻点、不可导点，函数的可疑点.3.极值的充分条件:

代数准备: 给出二元(实)二次型 矩阵为

.其.ⅰ> 是正定的, 顺序主子式全 ，是半正定的, 是负定的，顺序主子式全;ⅱ> , 其中

为 阶顺序主子式.是半负定的，.ⅲ> < 0时, 是不定的.7

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ⅰ>

时 , 时 ，为极小值点;ⅱ> 为极大值点;ⅲ> 时 , 不是极值点;ⅳ> 时 , 可能是极值点 , 也可能不是极值点.例3—7 P138—140 例6—10.四． 函数的最值：

例8 求函数

在域D = 上的最值.解 令

解得驻点为

..在边界

;

上 , , 驻点为 , 在边界

在边界 驻点为 ，上 , , 没有驻点;

上 , ，.9

第三篇：数学分析教案 (华东师大版)第十六章多元函数的极限与连续

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第十六章 多元函数的极限与连续

教学目的：1.明确认识多元函数与一元函数的相同和不同之处，进而掌握多元函数研究问题的手法与特点；2.明确研究多元函数的目的及多元函数的用途。教学重点难点：本章的重点是平面点集的有关概念与二元函数的连续性；难点是二元函数极限的讨论。教学时数：16学时

§ 1平面点集与多元函数

一.平面点集:平面点集的表示:1.常见平面点集:

⑴ 全平面和半平面 : , , ，满足的条件}.余集

.等.⑵ 矩形域: , }.⑶ 圆域: 开圆 , 闭圆 , 圆环.圆的个部分.极坐标表示, 特别是

和.型域..⑷ 角域: ⑸ 简单域:

型域和

2.邻域: 圆邻域和方邻域，圆邻域内有方邻域，方邻域内有圆邻域.空心邻域和实心邻域 , 空心方邻域与集

： 两点的距离

.《数学分析》教案

（或），..三.点列的极限: 设 定义 的定义(用邻域语言).例4

为点集., ,.例

5设 的一个聚点.则存在

中的点列 , 使

四.中的完备性定理:

1.Cauchy收敛准则:

先证{

}为Cauchy列

和

均为Cauchy列.2.闭集套定理: P116.3.聚点原理: 列紧性 , Weierstrass聚点原理.4.有限复盖定理: 五.二元函数:

1.二元函数的定义、记法、图象：

2.定义域：

例6

求定义域：

ⅰ>

;ⅱ>

.《数学分析》教案

例3

证明.(用极坐标变换)P94例2.2.相对极限及方向极限:

相对极限

和方向极限的定义.3.全面极限与相对极限的关系:

Th 1 ,对D的每一个子集E ,只要点

是E的聚点 , 就有.推论1 设 则极限也不存在.，是 的聚点.若极限

不存在 , 推论2 设 ， , 但

是 的聚点.若存在极限, 则极限不存在.对D内任一点列，但

和

推论3 极限,数列

通常为证明极限

收敛.存在，不存在, 可证明沿某个方向的极限不存在 , 或证明沿某两个方向的极限不相等, 或证明方向极限与方向有关.但应注意 , 沿任何方向的极限存在且相等

全面极限存在(以下例5).的两个累次极限.《数学分析》教案

2.全面极限与累次极限的关系:

⑴ 两个累次极限存在时, 可以不相等.(例9)

⑵ 两个累次极限中的一个存在时, 另一个可以不存在.例如函数

在点 的情况.⑶ 全面极限存在时, 两个累次极限可以不存在.例如例8中的函数,全面极限存在 , 但两个累次极限均不存在.⑷ 两个累次极限存在(甚至相等)

全面极限存在.(参阅例7).综上 , 全面极限、两个累次极限三者的存在性彼此没有关系.但有以下确定关系.Th 2 若全面极限

和累次极限

(或另一次序)都存在 , 则必相等.(证)P98.推论1 全面极限和两个累次极限三者都存在时 , 三者相等.系1给出了累次极限次序可换的一个充分条件.推论2 两个累次极限存在但不相等时 , 全面极限不存在.但两个累次极限中一个存在 , 另一个不存在

全面极限不存在.§ 3 二元函数的连续性

一． 二元函数的连续（相对连续）概念：由一元函数连续概念引入.1.连续的定义:

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2.一致连续性.(证)3.介值性与零点定理.(证)

第四篇：数学分析教案 (华东师大版)第八章 不定积分

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第八章 不定积分

教学要求：

1.积分法是微分法的逆运算。要求学生：深刻理解不定积分的概念，掌握原函数与不定积分的概念及其之间的区别；掌握不定积分的线性运算法则，熟练掌握不定积分的基本积分公式。

2.换元积分公式与分部积分公式在本章中处于十分重要的地位。要求学生：牢记换元积分公式和选取替换函数（或凑微分）的原则，并能恰当地选取替换函数（或凑微分），熟练地应用换元积分公式；牢记分部积分公式，知道求哪些函数的不定积分运用分部积分公式，并能恰当地将被积表达式分成两部分的乘积，熟练地应用分部积分公式；独立地完成一定数量的不定积分练习题，从而逐步达到快而准的求出不定积分。

3.有理函数的不定积分是求无理函数和三角函数有理式不定积分的基础。要求学生：掌握化有理函数为分项分式的方法；会求四种有理最简真分式的不定积分，知道有理函数的不定积分（原函数）还是初等函数；学会求某些有理函数的不定积分的技巧；掌握求某些简单无理函数和三角函数有理式不定积分的方法，从理论上认识到这些函数的不定积分都能用初等函数表示出来。

教学重点：深刻理解不定积分的概念；熟练地应用换元积分公式；熟练地应用分部积分公式；

教学时数：18学时

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可见，若 { │ 有原函数 Ｒ}.，则 的全体原函数所成集合为

原函数的存在性: 连续函数必有原函数.(下章给出证明).可见, 初等函数在其定义域内有原函数;若 则 在区间 上有介值性.在区间 上有原函数, 例2.已知 为 的一个原函数，=5.求

.2.不定积分—— 原函数族：定义； 不定积分的记法；几何意义.例3

;

.（二）不定积分的基本性质: 以下设 和

有原函数.⑴

(先积分后求导, 形式不变应记牢！).⑵

..(先求导后积分, 多个常数需当心！)⑶

时，（被积函数乘系数，积分运算往外挪！）

⑷

由⑶、⑷可见, 不定积分是线性运算, 即对, 有

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教学要求： 换元积分公式与分部积分公式在本章中处于十分重要的地位。要求学生：牢记换元积分公式和选取替换函数（或凑微分）的原则，并能恰当地选取替换函数（或凑微分），熟练地应用换元积分公式；牢记分部积分公式，知道求哪些函数的不定积分运用分部积分公式，并能恰当地将被积表达式分成两部分的乘积，熟练地应用分部积分公式；独立地完成一定数量的不定积分练习题，从而逐步达到快而准的求出不定积分。

教学重点：熟练地应用换元积分公式；熟练地应用分部积分公式；

一、新课引入：由直接积分的局限性引入

二、讲授新课：

（一）.第一类换元法 ——凑微分法：

由

引出凑微公式.Th1 若

连续可导, 则

该定理即为：若函数

能分解为

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.凑法2.特别地, 有

.例9

.和.例10

例11.例12

=

凑法3

.例13 ⑴

⑵

例14

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.例23.例24.例25

例26

三、小结

.（二）第二类换元法 —— 拆微法： 从积分 出发，从两个方向用凑微法计算，即

=

=

=

引出拆微原理.Th2 设

是单调的可微函数,并且

又

具有原

函数.则有换元公式

(证)

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解 令 形, 有

有

.利用例22的结果, 并用辅助三角 =

=

例31

⑶正割代换: 正割代换简称为“割换”.是针对型如 根式施行的, 目的是去掉根号.方法是: 利用三角公式

有的 令

变量还愿时, 常用辅助三角形法.例32

解

.例33

.解法一

（用割换）

解法二

（凑微）

.《数学分析》教案

本题还可用割换计算, 但较繁.3.双曲代换: 利用双曲函数恒等式 掉型如 如:

的根式., 令 , 可去

.化简时常用到双曲函数的一些恒等式, 例40

.本题可用切换计算,但归结为积分题课例3., 该积分计算较繁.参阅后面习例41

解

.例42

.解

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解法三(用初等化简, 并凑微)

例45

解 =.代换法是一种很灵活的方法.三、小结

（三）.分部积分法:导出分部积分公式.介绍使用分部积分公式的一般原则.1.幂

X 型函数的积分: 分部积分追求的目标之一是: 对被积函数两因子之一争取求导, 以使该因子有较大简化, 特别是能降幂或变成代数函数.代价是另一因子用其原函数代替(一般会变繁), 但总体上应使积分简化或能直接积出.对“幂

” 型的积分, 使用分部积分法可使“幂”降次, 或对“

”求导以使其成为代数函数.例46

(幂对搭配，取对为u)

例47(幂三搭配，取幂为u)例48(幂指搭配，取幂为u)例49(幂指搭配，取幂为u)

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例56

=，解得.例57

= =，解得

三、小结

.§ 3 有理函数和可化为有理函数的积分(2学时)

教学要求：有理函数的不定积分是求无理函数和三角函数有理式不定积分的基础。要求学生：掌握化有理函数为分项分式的方法；会求四种有理最简真分式的不定积分，知道有理函数的不定积分（原函数）还是初等函数；学会求某些有理函数的不定积分的技巧；掌握求某些简单无理函数和三角函数有理式不定积分的方法，从理论上认识到这些函数的不定积分都能用初等函数表示出来。

教学重点：使学生掌握化有理函数为分项分式的方法；求四种有理最简真分式的不定积分，学会求某些有理函数的不定积分的技巧；求某些简单无理函数和三角函数有理式不定积分的方法，从理论上认识到这些函数的不定积分都能用初等函数表示出来。

《数学分析》教案

例5

求

例6 设

且具有连续导函数.计算积分

例7 , 求积分

二.含有二次三项式的积分:

例8

=

=

.例9

=

=.9-

第五篇：数学分析 实数的完备性

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第七章 实数的完备性

教学目的：

1.使学生掌握六个基本定理，能准确地加以表述，并深刻理解其实质意义；

2.明确基本定理是数学分析的理论基础，并能应用基本定理证明闭区间上连续函数的基本性质和一些有关命题，从而掌握应用基本定理进行分析论证的能力。

教学重点难点：本章的重点是实数完备性的基本定理的证明；难点是基本定理的应用。

教学时数：8学时

§ 1 关于实数集完备性的基本定理（4学时）

教学目的：

1.使学生掌握六个基本定理，能准确地加以表述，并深刻理解其实质意义；

2.明确基本定理是数学分析的理论基础。

教学重点难点：实数完备性的基本定理的证明。一．确界存在定理：回顾确界概念．

Th 1 非空有上界数集必有上确界 ；非空有下界数集必有下确界.二.单调有界原理: 回顾单调和有界概念.Th 2 单调有界数列必收敛.《数学分析》教案

1.基本列 : 回顾基本列概念.基本列的直观意义.基本列亦称为Cauchy列.例1 验证以下两数列为Cauchy列 : ⑴

.⑵

解 ⑴

.;对，为使，易见只要.于是取

⑵..当 有 为偶数时 , 注意到上式绝对值符号内有偶数项和下式每个括号均为正号 , ，《数学分析》教案

.因此, 取 ,„„

2.Cauchy收敛原理: Th 4 数列

收敛

是Cauchy列.(要求学生复习函数极限、函数连续的Cauchy准则，并以Cauchy收敛原理为依据，利用Heine归并原则给出证明)五.致密性定理: 数集的聚点

定义 设 是无穷点集.若在点(未必属于 无穷多个点, 则称点 为

数集 集是闭区间是闭区间 = 的一个聚点.)的任何邻域内有 的有唯一聚点 , 但;设.是

;开区间 的全体聚点之的聚点集

中全体有理数所成之集, 易见

1.列紧性: 亦称为Weierstrass收敛子列定理.Th 5(Weierstrass)任一有界数列必有收敛子列.2.聚点原理 : Weierstrass聚点原理.Th 6 每一个有界无穷点集必有聚点.六.Heine–Borel 有限复盖定理: 1.复盖: 先介绍区间族

.《数学分析》教案

Ⅱ: 区间套定理 Ⅲ: 区间套定理

致密性定理

Cauchy收敛准则;

区间套定理.Heine–Borel 有限复盖定理

一.“Ⅰ” 的证明:(“确界原理

单调有界原理”已证明过).1.用“确界原理”证明“单调有界原理”: Th 2 单调有界数列必收敛.证

2.用“单调有界原理”证明“区间套定理”:

Th 3 设

.证

系1 若 当 时, 总有

是区间套.是区间套

确定的公共点, 则对.，是一闭区间套.则存在唯一的点 ,使对

有

系2 若 ↗ , ↘ ，确定的公共点, 则有

3.用“区间套定理”证明“Cauchy收敛准则”:

Th 4 数列

收敛

是Cauchy列.引理 Cauchy列是有界列.(证)Th 4 的证明:(只证充分性)教科书P217—218上的证明留作阅读.现采用[3]P70—71例2的证明, 即三等分的方法, 该证法比较直观.4． 用“Cauchy收敛准则” 证明“确界原理” ：

Th 1 非空有上界数集必有上确界 ；非空有下界数集必有下确界.《数学分析》教案

教学目的： 能应用基本定理证明闭区间上连续函数的基本性质和一些有关命题，从而掌握应用基本定理进行分析论证的能力。

教学重点难点：基本定理的应用。

一.有界性:

命题1 ，在

上

.证法 一(用区间套定理).反证法.证法 二(用列紧性).反证法.证法 三(用有限复盖定理).二.最值性:

命题2(只证取得最大值)证(用确界原理)参阅[1]P226[ 证法 二 ]后半段.三.介值性: 证明与其等价的“零点定理 ”.命题3(零点定理)证法 一(用区间套定理).证法 二(用确界原理).不妨设 令 ,有).取

> 且,.现证 , 则

非空有界，.，在

上取得最大值和最小值.有上确界.设

且 , ,(为此证明.由

在点 连续和