数学分析教案 (华东师大版)第十九章 含参量积分

第一篇：数学分析教案 (华东师大版)第十九章 含参量积分

《数学分析》教案

第十九章 含参量积分

教学目的：1.掌握含参量正常积分的概念、性质及其计算方法；2.掌握两种含参量反常积分的概念、性质及其计算方法；3.掌握欧拉积分的形式及有关计算。教学重点难点：本章的重点是含参量积分的性质及含参量反常积分的一致收敛性的判定；难点是一致收敛性的判定。教学时数：12学时

§ 1含参量正常积分

一.含参积分: 以实例

和

引入.定义含参积分 和

.含参积分提供了表达函数的又一手段.我们称由含参积分表达的函数为含参积分.1.含参积分的连续性:

Th19.5 若函数

在

Th19.8 若函数 和 在

在矩形域

上连续 , 则函数

上连续.(证)P172

在矩形域

上连续, 函数 在

上连续.上连续 , 则函数(证)P173

2.含参积分的可微性及其应用:

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1.含参无穷积分: 函数 可以是无穷区间).以 分表示的函数

.定义在

上（为例介绍含参无穷积 2.含参无穷积分的一致收敛性: 逐点收敛(或称点态收敛)的定义: 使

., , 引出一致收敛问题.定义(一致收敛性)设函数 , 使

分在

(关于)一致收敛.定义在 对

上.若对

成立, 则称含参无穷积Th 19.5(Cauchy收敛准则)积分收敛，在

上一致

对 成立.例1 证明含参量非正常积分

其中.但在区间

在

上一致收敛 ，内非一致收敛.P180

3.含参无穷积分与函数项级数的关系:

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Th 19.8 设函数 和

在

则函数 在

在

上连续.若积分

在.上收敛, 积分上可微,且

一致收敛.3.可积性: 积分换序定理.Th 19.9 设函数

在

有

例3 计算积分

P186

.在

上一致收敛, 则函数

上连续.若积分

在

上可积 , 且四.含参瑕积分简介:

§ 3 Euler积分

本节介绍用含参广义积分表达的两个特殊函数 , 即 和.它们统称为Euler积分.在积分计算等方面, 它们是很有用的两个特殊函数.一.Gamma函数 —— Euler第二型积分：

1.Gamma函数: 考虑无穷限含参积分

，《数学分析》教案

但 在区间

内闭一致收敛.即在任何 时, 对积分, 有

上 , , 而积分

一致收敛.因为

收敛.对积分 , 积分, 而积分

收敛.由M—判法, 它上一致收敛.们都一致收敛，在区间

作类似地讨论, 可得积分敛.于是可得如下结论: 的连续性:

也在区间

内闭一致收

在区间 在区间

内连续.的可导性: 内可导, 且

同理可得: 在区间

.内任意阶可导, 且

3.凸性与极值: ，.在区间 在区间

内严格下凸.(参下段)，内唯一的极限小值点(亦为最小值点)介于1与2 之间.4.的递推公式

函数表:

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5.时, 有意义.用其作为

内., 又可把 依此 , 可把 延拓到函数的延拓:

时 该式右端在 的定义, 即把 延拓到了 , 利用延拓后的 内.时也

时, 依式

延拓到 内除去 的所有点.经过如此延拓后的 例1 求

.)解 的图象如 P192图表19—2., ，.(查表得)，..6.函数的其他形式和一个特殊值:

函数.倘能如此, 可某些积分可通过换元或分部积分若干次后化为 查 函数表求得该积分的值.常见变形有: ⅰ> 令 , 有

= ，

考虑.《数学分析》教案

: 非负，和 , 时为正常积分;

时, 点

为瑕点.由被积函数(由Cauchy判法)积分

收敛.(易见

时积分

发散).数非负, : 时为正常积分;

时, 点

为瑕点.由被积函

和 ,(由Cauchy判法)积分

收敛.(易见

时积分

发散).综上, 时积分

，收敛.设D

于是, 积分 定义了D内的一个二元函数.称该函数为Beta函数, 记为 , 即

不难验证，=

函数在D内闭一致收敛.又被积函数在D内连续, 因此 , 函数是D内的二元连续函数.2.函数的对称性:

.证 =

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, 因此得 ,.ⅱ> 令 , 可得 ，.特别地 , ，.ⅲ> 令 , 有

=

= , 即 ，ⅳ> 令 , 可得

.ⅴ> ,.三.函数和

函数的关系:

函数和

函数之间有关系式

，3

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解 ，.例4 求积分

解 令 , 有

.I

.例5 计算积分.解

判敛 ,把该积分化为 , 该积分收敛.(亦可不进行

函数在其定义域内的值 , 即判得其收敛.)

I

.例6 , 求积分 ，5

第二篇：数学分析教案 (华东师大版)第二十章曲线积分

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第二十章 曲线积分

教学目的：1.理解第一、二型曲线积分的有关概念；2.掌握两种类型曲线积分的计算方法，同时明确它们的联系。

教学重点难点：本章的重点是曲线积分的概念、计算；难点是曲线积分的计算。教学时数：10学时

§ 1 第一型曲线积分

一.第一型线积分的定义:

1.几何体的质量: 已知密度函数 , 分析线段的质量 2.曲线的质量:

3.第一型线 积分的定义: 定义及记法.线积分,.4.第一型线积分的性质: P198

二.第一型线积分的计算:

1.第一型曲线积分的计算: 回顾“光滑曲线”概念.Th20.1 设有光滑曲线 义在上的连续函数.则

.(证)P199 ，.是定若曲线方程为 : , 则

.《数学分析》教案

, 即

.2.稳流场通过曲线(从一侧到另一侧)的流量: 解释稳流场.(以磁场为例)..求在单位时间内通过曲线AB从左处的切向量为 , 设有流速场

侧到右侧的流量E.设曲线AB上点

(是切向量方向与X轴正向的夹角.切向量方向按如下方法确定: 法线方 向是指从曲线的哪一侧到哪一侧, 在我们现在的问题中是指从左侧到右侧的方向.切向量方向与法线向按右手法则确定, 即以右手拇指所指为法线方向, 则食指所指为切线方向.).在弧段

上的流量 ，.因此 ，.由 , 得

.于是通过曲线AB从左侧到右侧的总流量E为

.3.第二型曲线积分的定义: 闭路积分的记法.按这一定义 , 有

沿平面曲线 从点A到点B所作的功为 力场

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A , B;函数 和

在L上连续, 则沿L的自然方向(即从点A到点B的方向)有

.(证略)例1 计算积分).积分从点A到点B或闭合, 路径为

ⅰ> 直线段AB

ⅱ> 抛物线

ⅲ> A(1, 1)路径.P205例1 例2 计算积分

ⅰ> 沿抛物线

ⅱ> 沿直线

;, L的两个端点为A(1, 1), B(2 ，D(2 , 1)B(2 , 3)A(1, 1), 折线闭合, 这里L :

从点O(0 , 0)到点B(1 , 2);

从点O(0 , 0)到点B(1 , 2);ⅲ> 沿折线闭合路径O(0,0)A(1,0)B(1,2)O(0,0).P205例1 , 其中L是螺 例3 计算第二型曲线积分 I = 旋线, 从

到 的一段.P207例3 例4 求在力场

ⅰ> 质点由点A

L :

第三篇：数学分析教案 (华东师大版)第十章定积分的应用

《数学分析》教案

第十章 定积分的应用

教学要求：

1.理解微元法的思想，并能够应用微元法或定积分定义将某些几何、物理等实际问题化成定积分；

2.熟练地应用本章给出的公式，计算平面区域的面积、平面曲线的弧长，用截面面积计算体积、旋转体的体积和它的侧面积、变力作功等。

教学重点：熟练地应用本章给出的公式，计算平面区域的面积、平面曲线的弧长，用截面面积计算体积、旋转体的体积和它的侧面积、变力作功等

教学时数：10学时

§ 1平面图形的面积（2 时）

教学要求：

1.理解微元法的思想，并能够应用微元法或定积分定义将某些几何、物理等实际问题化成定积分；

2.熟练地应用本章给出的公式，计算平面区域的面积。教学重点：熟练地应用本章给出的公式，计算平面区域的面积

一、组织教学：

二、讲授新课：

（一）直角坐标系下平面图形的面积 ： 1.简单图形：

型和

型平面图形.型和

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例

5求由双纽线

所围平面图形的面积.解 倾角为 的两条直线之间).以

轴对称;以

或

.(可见图形夹在过极点，代 方程不变，图形关于 代 , 方程不变, 图形关于 轴对称.参阅P242 图10-6 因此.三、小结：

§ 2 由平行截面面积求体积（2 时）

教学要求：熟练地应用本章给出的公式，用截面面积计算体积。教学重点：熟练地应用本章给出的公式，用截面面积计算体积

（一）已知截面面积的立体的体积: 设立体之截面面积为 推导出该立体之体积

..祖暅原理: 夫幂势即同 , 则积不容异.(祖暅系祖冲之之子 齐梁时人 , 大约在五世纪下半叶到六世纪初)例1

求由两个圆柱面

和

所围立体体积.P244 例1()

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和 在区间

上连续可导且

..则

上以

和

为端点的弧段的弧长为为证明这一公式 , 先证以下不等式 : 对 , ,有

Ch 1 §1 Ex 第5题(P4).其几何意义是: 在以点 超过第三边.事实上，和

为顶点的三角形中,两边之差不.为证求弧长公式, 在折线总长表达式中, 先用Lagrange中值定理, 然后对式插项进行估计.如果曲线方程为极坐标形式 出其参数方程

.于是

连续可导, 则可写.§ 4 旋转曲面的面积(1 时)教学要求：旋转曲面的面积。

教学重点：熟练地应用本章给出的公式，计算旋转曲面的面积

第四篇：数学分析 重积分

《数学分析》教案

第二十一章 重积分

教学目的：1.理解并掌握二重积分的有关概念及可积条件，进而会计算二重积分；2.理解三重积分的概念，掌握三重积分的计算方法，并能应用其解决有关 的数学、物理方面的计算问题；

教学重点难点：本章的重点是重积分的计算和格林公式；难点是化重积分为累次积分。

教学时数：22学时

§ 1 二重积分概念

一.矩形域上的二重积分 : 从曲顶柱体的体积引入.用直线网分割.定义 二重积分.例1 用定义计算二重积分

.用直线网

分割该正方形 , 在每个正方形上取其右上顶点为介点.解

.二.可积条件 : D

.大和与小和.Th 1 ，.《数学分析》教案

性质6

.性质7 中值定理.Th 若区域D 的边界是由有限条连续曲线()组成 , 例3 去掉积分

在D上连续 , 则

在D上可积.或

中的绝对值.§ 2 二重积分的计算

二.化二重积分为累次积分:

1.矩形域

上的二重积分:

用“ 体积为幂在势上的积分”推导公式.2.简单域上的二重积分: 简推公式, 一般结果]P219Th9.例1 ，.解法一 P221例3 解法二 为三角形, 三个顶点为 ,.例2 ,.P221例2.例3 求底半径为 的两直交圆柱所围立体的体积.P222例4.《数学分析》教案

解法一(直接计算积分)曲线AB的方程为

.方向为自然方向的反向.因此

.解法二(用Green公式)补上线段BO和OA(O为坐标原点), 成闭路.设所围

区域为D, 注意到 D为反向, 以及, 有

.例2 计算积分 I =, 其中L为任一不包含原点的闭区域D的边界(方向任意)P227例2 解 导数)..（和

在D上有连续的偏,.于是, I =.二.曲线积分与路线无关性:

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;.例6 验证式 P231例4

是恰当微分, 并求其原函数.§ 4 二重积分的变量变换:（4时）

1.二重积分的变量变换公式: 设变换 的Jacobi , 则

, 其中 是在该变换的逆变换

下平面上的区域 在

平面上的象.由条件

一般先引出变换

.而 , 这里的逆变换是存在的., 由此求出变换

.例1 ,.P235 例1.註

当被积函数形如 区域为直线型时, 可试用线性变换 , 积分.《数学分析》教案

极坐标变换: ,.广义极坐标变换: ,.例4.P240例3.例5(Viviani问题)求球体 被圆柱面

所割下立体的体积.P240例4.例6 应用二重积分求广义积分

.P241例5.例7 求橢球体

四.积分换序: 例8 连续.对积分的体积.P241例6.换序..例9 连续.对积分

换序..例10 计算积分

..§ 5 三重积分简介

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例2 , :.解.法一(内二外一), 其中 为椭圆域 , 即椭圆域, 其面积为.因此

.同理得 ,.因此.法二(内一外二)上下对称，为 的偶函数，1

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Th 21.13 P247.1.柱坐标: P248.例4 ，:

.P248例3 2.球坐标: P249.P 250例4.§ 6 重积分的应用

一、曲面的面积

设曲面方程为

.有连续的一阶偏导数.推导曲面面积公式 , 或.例1 P253例1`.3-

第五篇：数学分析教案 (华东师大版)第八章 不定积分

《数学分析》教案

第八章 不定积分

教学要求：

1.积分法是微分法的逆运算。要求学生：深刻理解不定积分的概念，掌握原函数与不定积分的概念及其之间的区别；掌握不定积分的线性运算法则，熟练掌握不定积分的基本积分公式。

2.换元积分公式与分部积分公式在本章中处于十分重要的地位。要求学生：牢记换元积分公式和选取替换函数（或凑微分）的原则，并能恰当地选取替换函数（或凑微分），熟练地应用换元积分公式；牢记分部积分公式，知道求哪些函数的不定积分运用分部积分公式，并能恰当地将被积表达式分成两部分的乘积，熟练地应用分部积分公式；独立地完成一定数量的不定积分练习题，从而逐步达到快而准的求出不定积分。

3.有理函数的不定积分是求无理函数和三角函数有理式不定积分的基础。要求学生：掌握化有理函数为分项分式的方法；会求四种有理最简真分式的不定积分，知道有理函数的不定积分（原函数）还是初等函数；学会求某些有理函数的不定积分的技巧；掌握求某些简单无理函数和三角函数有理式不定积分的方法，从理论上认识到这些函数的不定积分都能用初等函数表示出来。

教学重点：深刻理解不定积分的概念；熟练地应用换元积分公式；熟练地应用分部积分公式；

教学时数：18学时

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可见，若 { │ 有原函数 Ｒ}.，则 的全体原函数所成集合为

原函数的存在性: 连续函数必有原函数.(下章给出证明).可见, 初等函数在其定义域内有原函数;若 则 在区间 上有介值性.在区间 上有原函数, 例2.已知 为 的一个原函数，=5.求

.2.不定积分—— 原函数族：定义； 不定积分的记法；几何意义.例3

;

.（二）不定积分的基本性质: 以下设 和

有原函数.⑴

(先积分后求导, 形式不变应记牢！).⑵

..(先求导后积分, 多个常数需当心！)⑶

时，（被积函数乘系数，积分运算往外挪！）

⑷

由⑶、⑷可见, 不定积分是线性运算, 即对, 有

《数学分析》教案

教学要求： 换元积分公式与分部积分公式在本章中处于十分重要的地位。要求学生：牢记换元积分公式和选取替换函数（或凑微分）的原则，并能恰当地选取替换函数（或凑微分），熟练地应用换元积分公式；牢记分部积分公式，知道求哪些函数的不定积分运用分部积分公式，并能恰当地将被积表达式分成两部分的乘积，熟练地应用分部积分公式；独立地完成一定数量的不定积分练习题，从而逐步达到快而准的求出不定积分。

教学重点：熟练地应用换元积分公式；熟练地应用分部积分公式；

一、新课引入：由直接积分的局限性引入

二、讲授新课：

（一）.第一类换元法 ——凑微分法：

由

引出凑微公式.Th1 若

连续可导, 则

该定理即为：若函数

能分解为

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.凑法2.特别地, 有

.例9

.和.例10

例11.例12

=

凑法3

.例13 ⑴

⑵

例14

《数学分析》教案

.例23.例24.例25

例26

三、小结

.（二）第二类换元法 —— 拆微法： 从积分 出发，从两个方向用凑微法计算，即

=

=

=

引出拆微原理.Th2 设

是单调的可微函数,并且

又

具有原

函数.则有换元公式

(证)

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解 令 形, 有

有

.利用例22的结果, 并用辅助三角 =

=

例31

⑶正割代换: 正割代换简称为“割换”.是针对型如 根式施行的, 目的是去掉根号.方法是: 利用三角公式

有的 令

变量还愿时, 常用辅助三角形法.例32

解

.例33

.解法一

（用割换）

解法二

（凑微）

.《数学分析》教案

本题还可用割换计算, 但较繁.3.双曲代换: 利用双曲函数恒等式 掉型如 如:

的根式., 令 , 可去

.化简时常用到双曲函数的一些恒等式, 例40

.本题可用切换计算,但归结为积分题课例3., 该积分计算较繁.参阅后面习例41

解

.例42

.解

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解法三(用初等化简, 并凑微)

例45

解 =.代换法是一种很灵活的方法.三、小结

（三）.分部积分法:导出分部积分公式.介绍使用分部积分公式的一般原则.1.幂

X 型函数的积分: 分部积分追求的目标之一是: 对被积函数两因子之一争取求导, 以使该因子有较大简化, 特别是能降幂或变成代数函数.代价是另一因子用其原函数代替(一般会变繁), 但总体上应使积分简化或能直接积出.对“幂

” 型的积分, 使用分部积分法可使“幂”降次, 或对“

”求导以使其成为代数函数.例46

(幂对搭配，取对为u)

例47(幂三搭配，取幂为u)例48(幂指搭配，取幂为u)例49(幂指搭配，取幂为u)

《数学分析》教案

例56

=，解得.例57

= =，解得

三、小结

.§ 3 有理函数和可化为有理函数的积分(2学时)

教学要求：有理函数的不定积分是求无理函数和三角函数有理式不定积分的基础。要求学生：掌握化有理函数为分项分式的方法；会求四种有理最简真分式的不定积分，知道有理函数的不定积分（原函数）还是初等函数；学会求某些有理函数的不定积分的技巧；掌握求某些简单无理函数和三角函数有理式不定积分的方法，从理论上认识到这些函数的不定积分都能用初等函数表示出来。

教学重点：使学生掌握化有理函数为分项分式的方法；求四种有理最简真分式的不定积分，学会求某些有理函数的不定积分的技巧；求某些简单无理函数和三角函数有理式不定积分的方法，从理论上认识到这些函数的不定积分都能用初等函数表示出来。

《数学分析》教案

例5

求

例6 设

且具有连续导函数.计算积分

例7 , 求积分

二.含有二次三项式的积分:

例8

=

=

.例9

=

=.9-