数学分析教案第一章

第一篇：数学分析教案第一章

数学分析(mathematical analysis)课程简介

(计划课时:2时)

一、背景:从切线、面积等问题引入.1极限(limit)—— 变量数学的基本运算.2数学分析的基本内容：数学分析以极限作为工具来研究函数的一门学科（仅在实数范围内进行讨论）.主要研究微分(differential)和积分(integration)两种特殊的极限运算,利用这两种运算从微观和宏观两个方面研究函数,并依据这些运算引进并研究一些非初等函数.数学分析基本上是连续函数的微积分理论.3 数学分析的形成过程：孕育于古希腊时期:在我国很早就有极限思想.纪元前三世纪, Archimedes就有了积分思想.十七世纪以前是一个漫长的酝酿时期,是微积分思想的发展、成果的积累时期:十七世纪下半叶到十九时纪上半叶——微积分的创建时期:十九时纪上半叶到二十时纪上半叶——分析学理论的完善和重建时期.二、数学分析课的特点: 逻辑性很强, 很细致, 很深刻;先难后易, 是说开头四章有一定的难度, 若能努力学懂前四章(或前四章的80%),后面的学习就会容易一些;只要在课堂上专心听讲,一般是可以听得懂的,但即便能听懂,习题还是难以顺利完成.这是因为数学分析技巧性很强,只了解基本的理论和方法,不辅以相应的技巧,是很难顺利应用理论和方法的.论证训练是数学分析课基本的,也是重要的内容之一,也是最难的内容之一.一般懂得了证明后,能把证明准确、严密、简练地用数学的语言和符号书写出来，似乎是更难的一件事.因此, 理解证明的思维方式,学习基本的证明方法, 掌握叙述和书写证明的一般语言和格式, 是数学分析教学贯穿始终的一项任务.有鉴于此, 建议的学习方法是:课前要复习,做好必要的听课准备;课堂上认真听讲, 必须记笔记, 但要注意以听为主,力争在课堂上能听懂七、八成.课后不要急于完成作业, 先认真整理笔记, 补充课堂讲授中太简或跳过的推导,阅读教科书,学习证明或推导叙述和书写的格式与方法.基本掌握了课堂教学内容后, 再去做作业.在学习中,要养成多想问题的习惯,善于论证进行肯定，尤其要善于举反例进行否定;对概念不能有一点含糊,那是一个数学名词的固定含义,那是推理论证的根据.数学分析是数学系最重要的一门专业基础课，因为它不仅是大学数学系学生进校后首先面临的一门重要课程，而且大学本科乃至研究生阶段的很多后继课程在本质上都可以看作是它的延伸、深化或应用,至于它的基本概念、思想和方法，更可以说是无处不在.本课程的主要任务是：使学生获得极限论、单多元微积分、级数论等方面的系统知识；为后继数学专业课程（如微分方程、实变函数和复变函数、概率论、统计及有关的泛函分析、微分几何等选修课程）及普通物理课程等提供所需的基础理论和知识；提高学生思维能力，开发学生智能，加强“三基”（基础知识、基本理论、基本技能）训练及培养学生独立工作能力.数学分析是数学专业各个方向上考研必考的专业基础课(另一门是高等代数).三、课堂讲授方法:

1.关于教材与参考书目: 没有严格意义上的教科书.这是大学与中学教学不同的地方, 本课程主要从以下教科书中取材: [1] 华东师范大学数学系编，数学分析(上下册)(第三版)，高等教育出版社，2001.6.[2] 数学分析讲义(上下册)(第三版).刘玉琏 傅沛仁编.高等教育出版社，2001.[3] 数学分析新讲（一、二、三册).张筑生编.北京大学出版社，1991.[4] 微积分学教程(共八册).Γ.Μ.菲赫金哥尔茨著.人民教育出版社，1978.[5] 数学分析中的反例.王俊青编.电子科技大学出版社，1996.[6] 数学分析中的典型问题与方法.裴礼文编.高等教育出版社，2002.[7] 数学分析习题集题解(共六册).Б.Л.吉米多维奇编.费定辉等译，山东科技出版社，1983.本课程基本按[1]的逻辑顺序, 主要在[1]、[2]、[3]中取材.在讲授中, 有时会指出所讲内容的出处.本课程为适应课时少和学分制的要求,只介绍数学分析最基本的内容.因此删去了[1]中第十九和二十三等两章, 相应的内容作为选修课将在学完数学分析课之后开设.2.内容多,课时紧:大学课堂教学与中学不同的是,这里每次课介绍的内容很多,因此,内容重复的次数少,讲课只注重思想性与基本思路,具体内容或推导,特别是同类型或较简的推理论证及推导计算,可能讲得很简,留给课后的学习任务一般很重.3.讲解的重点:概念的意义与理解,几何直观,理论的体系,定理的意义、条件、结论.定理证明的分析与思路,具有代表性的证明方法,解题的方法与技巧.某些精细概念之间的本质差别.在第一、二章教学中,可能会写出某些定理证明,以后一般不会做特别具体的证明叙述.四、要求、辅导及考试：

1.学习方法:尽快适应大学的学习方法,尽快进入角色.课堂上以听为主,但要做课堂笔记.课后一定要认真复习消化,补充笔记.一般课堂教学与课外复习的时间比例应为1:3(国外这个比例通常是1: 4)对将来从事数学教学工作的师范大学本科生来说,课堂听讲的内容应该更为丰富:要认真评价教师的课堂教学,把教师在课堂上的成功与失败变为自己的经验.这对未来的教学工作是很有用的.2.作业:作业以[1]的练习题中划线以上的部分习题为主要内容,同时可参考[7]与[1]中划线以下部分的习题.大体上每个练习收一次作业,每次收作业总数的三分之一.作业的收交和完成情况有一个较详细的登记,缺交作业将直接影响学期总评成绩.作业要按数学排版格式书写恭整.要求活页作业, 要有作业封面, 尺寸为19.527.5cm.3.辅导:大体每周一次, 第一学期要求辅导时不缺席.4.考试:按学分制的要求, 只以最基本的内容进行考试, 大体上考课堂教学和所布置作业的内容, 包括[1]中的典型例题.开设三学期考三次.考试题为标准化试题.五.内容安排

1.课时分配: 第一学期16×6=96;第二学期18×6=108;第三学期18×4=72.2.内容分配: 第一学期一元函数微分学;第二学期一元函数积分学与级数论;第三学期二元函数微积分学.第一章 实数集与函数（计划课时：6 时）P1—22

§1 实 数（1时）

一．实数及其性质：回顾中学中关于实数集的定义.1.实数用无限小数表示的方法: 为了把有限小数(包括整数)表示为无限小数, 规定: 对于正有限小数(包括正整数)x,xa0.a1a2an时,其中0ai9,i1,2,,n,an0,a0为非负整数,记xa0.a1a2(an1)9999;而当xa0为正整数时,则记x(a01).9999;对于负有限小数(包括负整数)y,则先将y表示为无限小数,再在所得无限小数之前加负号;又规定数0表示为0.000.例如2.0112.010999,87.999.2.实数的大小: 定义1:(实数大小的概念)见[1]P1.定义2:(不足近似与过剩近似的概念)见[1]P2.命题: 设xa0.a1a2与yb0.b1b2为两个实数,则xyn,使得xnyn.例1 设x、y为实数，xy.证明：存在有理数r满足xry.[1]P17E1.3.实数的性质: ⑴.四则运算封闭性: ⑵.三歧性(即有序性): ⑶.Rrchimedes性:a,bR,ba0,nN,nab.⑷.稠密性: 有理数和无理数的稠密性, 给出稠密性的定义.⑸.实数集的几何表示 ─── 数轴: ⑺.两实数相等的充要条件: ab  0, ab  .二.区间和邻域的概念:见[1]P5 三.几个重要不等式: 1.绝对值不等式: 定义 a maxa , a .[1]P2 的六个不等式.2.其它不等式:

⑴ ab2ab, sinx  1.sinx  x.⑵ 均值不等式: 对a1,a2,,anR, 记

22 3 a1a2an1n

M(ai)  ai,(算术平均值)

nniG(ai)na1a2an

H(ai)ai,(几何平均值)i111n1ni1ain1i1ainn1nn111a1a2an.(调和平均值)有平均值不等式:

H(ai) G(ai) M(ai),等号当且仅当a1a2an时成立.⑶

Bernoulli 不等式: x1,有不等式(1x)n1nx, nN.当x1 且 x0, nN且n2时, 有严格不等式(1x)n1nx.nn证

由 1x0且1x0, (1x)n1(1x)111

nn

n n(1x)n(1x).(1x)1nx.⑷

利用二项展开式得到的不等式: 对h0, 由二项展开式

(1h)1nhnnn(n1)2n(n1)(n2)3hhhn, 2!3!

有(1h)上式右端任何一项.Ex [1]P4: 3，4，5，6；

§2 确界原理（2时）

一、有界数集:定义(上、下有界,有界), 闭区间、(a,b)(a,b为有限数）、邻域等都是有界数集，如集合 Ey ysinx, x( , )也是有界数集.

二、无界数集: 定义,( , ),( , 0),(0 , )等都是无界数集,如集 合 Ey y1, x(0 , 1)也是无界数集.x

三、确界:给出直观和刻画两种定义.(1)n例1 ⑴S1 infS_______.,则supS______,n⑵Ey ysinx, x(0,).则supE________, infE_________.例2 非空有界数集的上（或下）确界是唯一的.例3 设S和A是非空数集，且有SA.则有 supSsupA, infSinfA..例4 设A和B是非空数集.若对xA和yB,都有xy, 则有supAinfB.证yB,y是A的上界, supAy. supA是B的下界, supAinfB.例5 A和B为非空数集, SAB.试证明: infSmin infA , infB .证

xS,有xA或xB, 由infA和infB分别是A和B的下界,有xinfA或xinfB. xmin infA , infB .即min infA , infB 是数集S的下界,  infSmin infA , infB .又SA,  S的下界就是A的下界,infS是S的下界,  infS是A的下界,  infSinfA;同理有infSinfB.于是有

infSmin infA , infB .综上, 有 infSmin infA , infB .四、数集与确界的关系: 确界不一定属于原集合.以例1⑵为例做解释.五、确界与最值的关系:设E为数集.⑴E的最值必属于E, 但确界未必, 确界是一种临界点.⑵非空有界数集必有确界(见下面的确界原理), 但未必有最值.⑶若maxE存在, 必有 maxEsupE.对下确界有类似的结论.六、确界原理: Th(确界原理).Ex

[1]P9:

2，4，5.§3 函数概念(2时)

一.函数的定义:

1.函数: [1]P10—11的四点说明.2.定义域: 定义域和存在域.3.函数的表示法: 4.反函数: 一 一对应, 反函数存在定理.5.函数的代数运算:

1x, x1,2x, x1, x1, 和g(x)2二.分段函数: 以函数f(x)2, 为例介绍

x2, x, x1x1概念.f(x)32x1, 去掉绝对值符号.例2 f(x)x1,x，求 f(0), f(1), f(2).1x, x1.x10,x3, 例3 设 f(x)

求 f(5).(答案为8)ff(x5), x10. 三.复合函数: 例4 yf(u)u, ug(x)1x2.求 fg(x)fg(x).并求定义域.例5 ⑴

f(1x)xx1, f(x)_______________.⑵

fx2112)x2.则f(x)(xx2222A.x, B.x1,C.x2, D.x2.四.初等函数: 1.基本初等函数: 2.初等函数: 3.初等函数的几个特例: 设函数f(x)和g(x)都是初等函数, 则

⑴ f(x)是初等函数, 因为 f(x)

f(x)2.⑵

(x)maxf(x), g(x) 和 (x)minf(x), g(x)都是初等函数, 因为 (x)maxf(x), g(x)12f(x)g(x)f(x)g(x) ，(x)minf(x), g(x) 12f(x)g(x)f(x)g(x).⑶

幂指函数 f(x)g(x)f(x)0是初等函数,因为

f(x)g(x)elnf(x)g(x)eg(x)lnf(x).五.介绍一些特殊函数: 1.符号函数 2.Dirichlet函数 3.Riemann函数 4.取整函数

5.非负小数部分函数

Ex

[1]P15 1(4)(5)，2, 3，4，5, 6, 7，8；

§4 具有某些特性的函数(1时)

一、有界函数: 有界与无界函数的概念.例1 验证函数 f(x)5x2x23在R内有界.解法一

由2x23(2x)2(3)222x326x, 当x0时,有

f(x)5x5x5x2x232x2326x5263.f(0)03，对 xR, 总有 f(x)3, 即f(x)在R内有界.解法二

令 y5x2x23  关于x的二次方程 2yx25x3y0有实数根. 5224y20,  y225244,  y 2.解法三

令 x3tgt, t,对应x( , ).于是 2225x53tgt5sint1

222253tgt2f(x)2x32332tgt16costsec2tgtt3

526sin2t,  f(x)526sin2t526.例2 见[1]P17.例3 见[1]P17.二、关于单调函数、奇偶函数和周期函数(略)，参阅[1]P17—19，Ex

[1]P20 1，2, 3，4，5, 6, 7；

第二篇：数学分析教案

《数学分析Ⅲ》教案编写目录（1—16周，96学时）

课时教学计划（教案21-1）

课题：§21-1二重积分的概念

一、教学目的：

1．理解二重积分的概念，其中包括二重积分的定义、几何意义和存在性。2．理解二重积分的7条性质。

二、教学重点：二重积分的概念；二重积分的存在性和性质。

三、教学难点：二重积分的定义；二重积分的存在性。

四、教学方法：多媒体、问题讨论与黑板讲解穿插教学。

五、教学用具：黑板、CAI课件及硬件支持

六、教学过程：

[引例]：

（约5min，语言表述）

由平面图形的面积和曲顶柱体的体积引出二重积分的概念。平面图形的面积

（约40min，投影、图示与黑板讲解）

1．平面图形面积的定义；

2．平面图形可求面积的充分必要条件；

二重积分的定义及其存在性

1.2. 二重积分的定义；

二重积分存在的充分条件和必要条件。

二重积分的性质

（约25min，图示与黑板讲解）

结合二重积分的定义讲解二重积分的7条性质。

 补充例子：

（约10min，黑板讲解）

1．根据二重积分的定义计算二重积分； 2．根据二重积分的性质证明不等式。

七、课程小结：

（约5min，黑板讲解）

二重积分的定义；二重积分性质。

八、作业：P217习题

1，2，3，4，5，6，8。

课时教学计划（教案21-2）

课题：§21-2直角坐标系下二重积分的计算

一、教学目的：

掌握在直角坐标系下二重积分的计算方法。

二、教学重点：直角坐标系下二重积分的计算方法。

三、教学难点：定理21.8，21.9。

四、教学方法：多媒体、问题讨论与黑板讲解穿插教学。

五、教学用具：黑板、CAI课件及硬件支持

六、教学过程：

[引例]：

由曲顶柱体的体积引出二重积分计算的直观概念。 定理21.8，21.9的证明



X型、y型区域的讲解及其定理21.10的证明

 直角坐标系下二重积分的计算举例

教材中例1—例4。

 补充例子：

利用二重积分计算体积；

七、课程小结：

直角坐标系下二重积分的计算。

八、作业：P222习题

1，2，3，4，5，6，8。

（约5min，语言表述）

15min，投影、图示与黑板讲解）

（约25min，图示与黑板讲解）

（约30min，图示与黑板讲解）

（约20min，黑板讲解）

（约5min，黑板讲解）

（约

课时教学计划（教案21-3）

课题：二重积分的概念与计算习题课

一、教学目的：

1．巩固二重积分的概念，其中包括二重积分的定义、几何意义和存在性。2．巩固在直角坐标系下二重积分的计算方法。

二、教学重点：直角坐标系下二重积分的计算方法。

三、教学难点：直角坐标系下二重积分的计算方法。

四、教学方法：多媒体、问题讨论与黑板讲解穿插教学。

五、教学用具：黑板、CAI课件及硬件支持

六、教学过程：

 二重积分的概念与性质

（约95min，投影、图示与黑板讲解）

1．二重积分的概念复习； 2．二重积分的性质复习。



二重积分的计算

1.2.利用二重积分的定义和限制计算二重积分和某些不等式； 在直角坐标系下计算二重积分。

七、课程小结：

（约5min，黑板讲解）

二重积分的定义；二重积分性质；二重积分的计算。

八、作业：P278

总练习题

1，2。

课时教学计划（教案21-4）

课题：§21-3格林公式、曲线积分与路线的无关性

一、教学目的：

1.理解格林公式；

2.掌握格林公式在计算二重积分和曲线积分的方法。3.掌握曲线积分与路线无关的条件和应用方法。

二、教学重点：格林公式的理解和方法。

三、教学难点：定理21.11，21.12。

四、教学方法：多媒体、问题讨论与黑板讲解穿插教学。

五、教学用具：黑板、CAI课件及硬件支持

六、教学过程：

 格林公式，定理21.11的证明



例1—例3的讲解

 曲线积分与路线的无关性，定理21.12的证明

例4的讲解。

 补充例子：

利用二重积分计算曲线积分。

七、课程小结：

格林公式与曲线积分与路径无关的概念。

八、作业：P231习题

1，2，3，4，5，6，8。

15min，投影、图示与黑板讲解）

（约25min，图示与黑板讲解）

（约30min，图示与黑板讲解）

（约20min，黑板讲解）

（约5min，黑板讲解）

（约

课时教学计划（教案21-5）

课题：§21-4二重积分的变量变换

一、教学目的：

1.理解二重积分的变量变换的基本思想；

2.3.掌握二重积分变量变换的方法特别是极坐标变换。掌握在极坐标系下计算二重积分的方法。

二、教学重点：二重积分的变量变换。

三、教学难点：引理和定理21.13，21.14。

四、教学方法：多媒体、问题讨论与黑板讲解穿插教学。

五、教学用具：黑板、CAI课件及硬件支持

六、教学过程：

 二重积分的变量变换公式

（约15min，投影、图示与黑板讲解）



引理证明，定理21.13证明，例1，例2讲解

（约25min，图示与黑板讲解）

  用极坐标计算二重积分，定理21.14证明

（约20min，图示与黑板讲解）二重积分在极坐标系下化为累次积分，例3，例4，例5，例6讲解

（约35min，图示与黑板讲解）

七、课程小结：

（约5min，黑板讲解）

二重积分的变量变换，在极坐标系下计算二重积分的方法。

八、作业：P242习题

1，2，3，4，5。

课时教学计划（教案21-6）

课题：格林公式、曲线积分与路线的无关性

及积分变换习题课

一、教学目的：

1.2.巩固格林公式、曲线积分与路线的无关性及积分变换；

巩固格林公式、曲线积分与路线的无关性及积分变换的计算方法。

二、教学重点：格林公式、曲线积分与路线的无关性及积分变换

三、教学难点：格林公式、曲线积分与路线的无关性及积分变换

四、教学方法：多媒体、问题讨论与黑板讲解穿插教学。

五、教学用具：黑板、CAI课件及硬件支持

六、教学过程：

 讲解格林公式、曲线积分与路线的无关性的计算题

（约95min，投影、图示与黑板讲解）



讲解积分变换的计算题

七、课程小结：

（约5min，黑板讲解）

二重积分的定义；二重积分性质；二重积分的计算。

八、作业：P243

总练习题

7，8 6

课时教学计划（教案21-7）

课题：§21-5 三重积分

一、教学目的：

1.2.3.理解三重积分的概念；

掌握化三重积分为累次积分的方法； 掌握三重积分换元法。

二、教学重点：三重积分换元法

三、教学难点：定义和定理21.15

四、教学方法：多媒体、问题讨论与黑板讲解穿插教学。

五、教学用具：黑板、CAI课件及硬件支持

六、教学过程：

 三重积分的定义

（约15min，投影、图示与黑板讲解）



定理21.15证明，例1，例2讲解

（约25min，图示与黑板讲解）

  三重积分还原公式，柱面坐标变换，球面坐标变换（约20min，图示与黑板讲解）例3，例4，例5讲解

（约35min，图示与黑板讲解）

七、课程小结：

（约5min，黑板讲解）

三重积分的定义，在直角坐标、柱面坐标、球面坐标下计算三重积分的方法。

八、作业：P251习题

1，2，3，4，5。

课时教学计划（教案21-8）

课题：§21-6 重积分的应用

一、教学目的：

1.2.3.掌握重积分在求曲面面积的应用； 了解重积分在重心的应用； 了解重积分在转动惯量的应用。

二、教学重点：重积分求曲面面积

三、教学难点：运用重积分公式求解曲面面积

四、教学方法：多媒体、问题讨论与黑板讲解穿插教学。

五、教学用具：黑板、CAI课件及硬件支持

六、教学过程：

[引例]：

（约5min，语言表述）

由曲面的面积引出重积分的应用。



建立曲面面积的计算公式

（约40min，图示与黑板讲解）

  例1讲解

（约35min，图示与黑板讲解）简单介绍重积分在重心、转动惯量的应用

（约15min，图示与黑板讲解）

七、课程小结：

（约5min，黑板讲解）

曲面面积的概念，重积分在计算曲面面积、重心、转动惯量中的应用。

八、作业：P259 1，2。

课时教学计划（教案21-9）

课题：§21-8 反常二重积分

一、教学目的：

掌握反常二重积分及其计算

二、教学重点：反常二重积分及其计算

三、教学难点：反常二重积分及其计算

四、教学方法：多媒体、问题讨论与黑板讲解穿插教学。

五、教学用具：黑板、CAI课件及硬件支持

六、教学过程：



无界区域上的二重积分

（约10min，图示与黑板讲解）

    定理21.16，定理21.17的证明

（约40min，图示与黑板讲解）例1的讲解

（约15min，图示与黑板讲解）定理21.18，定理21.19

（约15min，图示与黑板讲解）无界函数上的二重积分及定理21.20

（约15min，图示与黑板讲解）

七、课程小结：

（约5min，黑板讲解）

曲面面积的概念，重积分在计算曲面面积、重心、转动惯量中的应用。

八、作业：P272 1，2，3。

课时教学计划（教案21-10）

课题：三重积分及重积分的应用习题课

一、教学目的：

1.巩固三重积分的概念，其中包括三重积分的定义、几何意义和存在性。2.巩固在直角坐标系下三重积分的计算方法。3.巩固化三重积分为累次积分的方法。4.巩固三重积分换元法。

二、教学重点：直角坐标系下三重积分的计算方法。

三、教学难点：三重积分换元法

四、教学方法：多媒体、问题讨论与黑板讲解穿插教学。

五、教学用具：黑板、CAI课件及硬件支持

六、教学过程：

 二重积分的概念与性质

1.三重积分的概念复习； 2.三重积分的性质复习。



三重积分的计算

1.化三重积分为累次积分；

2.在柱面坐标、球面坐标下计算三重积分； 3.计算曲面面积。

七、课程小结：

三重积分的定义；三重积分性质；三重积分的计算。

八、作业：P278

总练习题

15min，投影、图示与黑板讲解）

（约80min，投影、图示与黑板讲解）

（约5min，黑板讲解）

（约

课时教学计划（教案22-1）

课题：§22-1第一型曲面积分

一、教学目的：

1.2.第一型曲面积分的概念。第一型曲面积分的计算。

二、教学重点：第一型曲面积分计算

三、教学难点：第一型曲面积分计算

四、教学方法：多媒体、问题讨论与黑板讲解穿插教学。

五、教学用具：黑板、CAI课件及硬件支持

六、教学过程：

[引例]：

（约5min，语言表述）

由求曲面的质量引出第一型曲面积分的概念。

 第一型曲面积分的概念

（约25min，投影、图示与黑板讲解）



第一型曲面积分的计算

1.2.定理22.1第一型曲面积分计算公式

（约30min，投影、图示与黑板讲解）例1，例2的求解

（约35min，投影、图示与黑板讲解）

七、课程小结：

（约5min，黑板讲解）

第一型曲面积分的定义；第一型曲面积分的计算。

八、作业：P282 1，2，3，4

课时教学计划（教案22-2）

课题：§22-2第二型曲面积分

一、教学目的：

1.2.第二型曲面积分的概念。第二型曲面积分的计算。

二、教学重点：第二型曲面积分计算

三、教学难点：第二型曲面积分计算

四、教学方法：多媒体、问题讨论与黑板讲解穿插教学。

五、教学用具：黑板、CAI课件及硬件支持

六、教学过程：

[引例]：

（约5min，语言表述）

由求流量问题引出第二型曲面积分的概念。

 第二型曲面积分的概念

（约25min，投影、图示与黑板讲解）



第二型曲面积分的计算

1.2.3.定理22.2第二型曲面积分计算公式

（约30min，投影、图示与黑板讲解）例1，例2的求解

（约35min，投影、图示与黑板讲解）

简单介绍两类曲面积分的联系

七、课程小结：

（约5min，黑板讲解）

第二型曲面积分的定义；第二型曲面积分的计算。

八、作业：P289 1，2 12 课时教学计划（教案22-3）

课题：第一、二型曲面积分复习课

一、教学目的：

1.2.巩固第一型曲面积分、第二型曲面积分的概念。巩固第一型曲面积分、第二型曲面积分的计算。

二、教学重点：第一、二型曲面积分计算

三、教学难点：第一、二型曲面积分计算

四、教学方法：多媒体、问题讨论与黑板讲解穿插教学。

五、教学用具：黑板、CAI课件及硬件支持

六、教学过程：

 第一、二型曲面积分的概念

（约10min，投影、图示与黑板讲解）



第一、二型曲面积分的计算

1.2.习题巩固第一、二型曲面积分计算公式

（约75min，投影、图示与黑板讲解）简单介绍两类曲面积分的联系

（约10min，投影、图示与黑板讲解）

七、课程小结：

（约5min，黑板讲解）

第一、二型曲面积分的定义；第一、二型曲面积分的计算。

八、作业：P305 1，2

课时教学计划（教案22-4）

课题：§22-3高斯公式与斯托克斯公式

一、教学目的：

1.2.掌握高斯公式 掌握斯托克斯公式

二、教学重点：高斯公式与斯托克斯公式

三、教学难点：高斯公式与斯托克斯公式

四、教学方法：多媒体、问题讨论与黑板讲解穿插教学。

五、教学用具：黑板、CAI课件及硬件支持

六、教学过程：

 高斯公式的重要意义

（约5min，投影、图示与黑板讲解）



高斯公式

1.2. 定理22.3证明

（约25min，投影、图示与黑板讲解）例1的求解

（约15min，投影、图示与黑板讲解）

斯托克斯公式的重要意义

（约5min，投影、图示与黑板讲解）



斯托克说公式

1.2.3.定理22.4证明

（约15min，投影、图示与黑板讲解）例2的求解

（约10min，投影、图示与黑板讲解）

定理22.5及例3

（约20min，投影、图示与黑板讲解）

七、课程小结：

（约5min，黑板讲解）

高斯公式与斯托克斯公式；高斯公式与斯托克斯公式的计算

八、作业：P296 1，2，3，4 14 课时教学计划（教案22-5）

课题：§22-4场论初步

一、教学目的：

1.2.了解场的概念 掌握梯度场、散度场

二、教学重点：梯度场、散度场

三、教学难点：梯度场、散度场

四、教学方法：多媒体、问题讨论与黑板讲解穿插教学。

五、教学用具：黑板、CAI课件及硬件支持

六、教学过程：

 场的概念、向量场线

（约15min，投影、图示与黑板讲解）



梯度场的定义及其基本性质

（约20min，投影、图示与黑板讲解）

例1求解

（约15min，投影、图示与黑板讲解）

 散度场的定义及其基本性质

（约20min，投影、图示与黑板讲解）



例2求解

（约15min，投影、图示与黑板讲解）

了解其他场

（约10min，投影、图示与黑板讲解）

七、课程小结：

（约5min，黑板讲解）

场的概念；梯度场、散度场。

八、作业：P296 1，2，3，4。

课时教学计划（教案22-6）

课题：高斯公式与斯托克斯公式和场论初步复习课

一、教学目的：

1.2.巩固高斯公式与斯托克斯公式 巩固梯度场、散度场

二、教学重点：高斯公式与斯托克斯公式

三、教学难点：高斯公式与斯托克斯公式

四、教学方法：多媒体、问题讨论与黑板讲解穿插教学。

五、教学用具：黑板、CAI课件及硬件支持

六、教学过程：

 高斯公式与斯托克斯公式

（约15min，投影、图示与黑板讲解）



高斯公式与斯托克斯公式的计算

（约65min，投影、图示与黑板讲解）

复习场论知识

（约15min，黑板讲解）

七、课程小结：

（约5min，黑板讲解）

高斯公式与斯托克斯公式；高斯公式与斯托克斯公式的计算； 场的概念；梯度场、散度场。

八、作业：P305 3，4。

第三篇：数学分析 教案

第九章

空间解析几何

教学目标：

1．理解空间直角坐标系的概念,掌握两点间的距离公式.2．理解向量的概念、向量的模、单位向量、零向量与向量的方向角、方向余弦概念.3．理解向量的加法、数乘、点积与叉积的概念.4．理解基本单位向量，熟练掌握向量的坐标表示，熟练掌握用向量的坐标表示进行向量的加法、数乘、点积与叉积的运算.5．理解平面的点法式方程和空间直线的点向式方程（标准方程）、参数方程，了解平面和空间直线的一般式方程.6．理解曲面及其方程的关系，知道球面、柱面和旋转曲面的概念，掌握球面、以坐标轴为旋转轴、准线在坐标面上的旋转曲面及以坐标轴为轴的圆柱面和圆锥面的方程及其图形.7．了解空间曲线及其方程，会求空间曲线在坐标面内的投影.8．了解椭球面、椭圆抛物面等二次曲面的标准方程及其图形.教学重点：向量的概念，向量的加法、数乘、点积与叉积的概念，用向量的坐标表示进行向量的加法、数乘、点积与叉积的运算，平面的点法式方程，空间直线的标准式方程和参数方程，球面、以坐标轴为轴的圆柱面和圆锥面方程及其图形，空间曲线在坐标面内的投影.教学难点：向量的概念，向量的点积与叉积的概念与计算，利用向量的点积与叉积去建立平面方程与空间直线方程的方法，利用曲面的方程画出空间图形.教学方法：讲授为主的综合法 教学学时：14学时 教学手段：板书

学法建议：解析几何的实质是建立点与实数有序数组之间的关系，把代数方程与曲线、曲面对应起来，从而能用代数方法研究几何图形建议在本章的学习中，应注意对空间图形想象能力的培养，有些空间图形是比较难以想像和描绘的，这是学习本章的一个难点.为了今后学习多元函数重积分的需要，同学们应自觉培养这方面的能力.参考资料： 使用教材：《高等数学》（第三版），高职高专十一五规划教材，高等教育出版社，2011年5月，侯**主编.参考教材： 1.《高等数学》，21世纪高职高专精品教材，北京理工大学出版社，2005年5月，宋立温等主编.2.《高等数学》，教育部高职高专规划教材，高等教育出版社，2006年4月，盛祥耀主编.3.《高等数学》，第五版.同济大学数学教研室编，高等教育出版社.4.《高等数学应用205例》，李心灿编，1986年，高等教育出版社.5.《高等数学》，宋立温等主编，21世纪高职高专精品教材，北京理工大学出版社，2005年5月.第一节 空间直角坐标系与向量的概念

教学目标：

1．理解空间直角坐标系的概念,掌握两点间的距离公式.2．理解向量的概念、向量的模、单位向量、零向量与向量的方向角、方向余弦概念.3．理解向量的加法、数乘、点积与叉积的概念.4．理解基本单位向量，熟练掌握向量的坐标表示，熟练掌握用向量的坐标表示进行向量的加法、数乘的运算.教学重点：向量的概念，向量的加法、数乘的概念，用向量的坐标表示进行向量的加法、数乘的运算.教学难点：向量的概念.教学方法：讲授为主的综合法 教学学时：2学时 教学手段：板书

一、引入新课（3分钟）

(提问)举几个既有大小又有方向的量.(温故知新,进行一些必要知识铺垫。)

二、讲授新课（72分钟）

（一）空间直角坐标系（17分钟）

在空间,使三条数轴相互垂直且相交于一点O，这三条数轴分别称为x轴、y轴和z轴，一般是把x轴和y轴放置在水平面上，z轴垂直于水平面.z轴的正向按下述法则规定如下：伸出右手，让四指与大拇指垂直，并使四指先指向x轴的正向，然后让四指沿握拳方向旋转090指向y轴的正向，这时大拇指所指的方向就是z轴的正向(该法则称为右手法则).这样就组成了右手空间直角坐标系Oxyz.在此空间直角坐标系中，x轴称为横轴，y轴称为纵轴，简称坐标面.x轴与yz轴称为竖轴，O称为坐标原点;每两轴所确定的平面称为坐标平面，轴所确定的坐标面称为xOy坐标面，类似地有yOz坐标面，zOx坐标面。这些坐标面把空间分为八个部分，每一部分称为一个卦限.在空间直角坐标系中建立了空间的一点M与一组有序数(x,y,z)之间的一一对应关系。有序数组(x,y,z)称为点M的坐标；x,y,z分别称为x坐标，y坐标，z坐标.(提问)根据点的坐标的规定，点（0,0,c）在哪条坐标轴上，点（a，b，0）(a,0,c)在哪个坐标面上？（目的在于检验学生能否正确理解点与有序数组的对应关系，并在问题中正确应用.）

（二）向量的基本概念及线性运算（15分钟）1.向量的基本概念

（此部分内容在高中阶段已学，故可由教师引导，师生共同回忆完成）⑴向量的定义：既有大小，又有方向的量，称为向量或矢量．

⑵向量的模：向量的大小称为向量的模，用a或AB表示向量的模． ⑶单位向量 模为1的向量称为单位向量． ⑷零向量 模为０的向量称为零向量，零向量的方向是任意的.⑸向量的相等 大小相等且方向相同的向量称为相等的向量.⑹自由向量 在空间任意地平行移动后不变的向量,称为自由向量.2.向量的线性运算 ⑴ 向量的加法

① 三角形法则 若将向量a的终点与向量b的起点放在一起，则以a的起点为起点，以b的终点为终点的向量称为向量a与b的和向量，记为ab.这种求向量和的方法称为向量加法的三角形法则.②平行四边形法则 将两个向量a和b的起点放在一起，并以a和b为邻边作平行四边形，则从起点到对角顶点的向量称为ab.这种求向量和的方法称为向量加法的平行四边形法则.向量的加法满足下列运算律.交换律：ab=ba； 结合律：（ab）+c=a+（b+c）.⑵ 向量与数的乘法运算

实数与向量a的乘积是一个向量，称为向量a与数的乘积，记作a，并且规定：

①a a；

②当0时，a与a的方向相同；当0时，a与a的方向相反； ③当0时，a是零向量.设,都是实数，向量与数的乘法满足下列运算律：

结合律：(a)()a(a)；

分配律：()aaa , (a+b)=a+b.向量的加法运算和向量与数的乘法运算统称为向量的线性运算.⑶ 求与a同向的单位向量的方法 设向量a是一个非零向量，则与a同向的单位向量

eaa.a ⑷ 负向量 当1时，记(-1)a=-a，则-a与a的方向相反，模相等，-a称为向量a的负向量.⑸ 向量的减法 两向量的减法（即向量的差）规定为 a-b=a +(-1)b.向量的减法也可按三角形法则进行，只要把a与b的起点放在一起，a-b即是以b的终点为起点，以a的终点为终点的向量.（三）向量的坐标表示（40分钟）

1、向径及其坐标表示

⑴ 基本单位向量 i,j,k分别为与x轴,y轴,z轴同向的单位向量.⑵ 向径及其坐标表示

向径 终点为P的向量OP称为点P的向径,记为OP.点P(a1,a2,a3)的向径OP的坐标表达式为OP=a1ia2ja3k或简记为 OP={a1,a2,a3}.讲解例1（教师分析，师生共同完成本题目的求解，目的在于检验学生能否正确应用向径的坐标表示.）

2、向量M1M2的坐标表示

设以M1(x1,y1,z1)为起点,以M2(x2,y2,z2)为终点的向量M1M2的坐标表达式为 M1M2=(x2x1)i(y2y1)j(z2z1)k.讲解例2（教师分析，师生共同完成本题目的求解，目的在于检验学生能否正确应用向量M1M2的坐标表示.）

3、向量aa1ia2ja3k的模 a=a1a2a3.4、空间两点间距离公式

222点M1(x1,y1,z1)与点M2(x2,y2,z2)间的距离记为d(M1M2),则d(M1M2)M1M2, 而M1M2=(x2x1)i(y2y1)j(z2z1)k 所以d(M1M2)(x2x1)2(y2y1)2(z2z1)2

讲解例

3、例4（学生讲解，考察学生对所学知识进行运用的情况）5.坐标表示下的向量运算

设aa1ia2ja3k，bb1ib2jb3k，则有（1）ab(a1b1)i(a2b2)j(a3b3)k；（2）ab(a1b1)i(a2b2)j(a3b3)k；（3）a(a1ia2ja3k)a1ia2ja3k；（4）aba1b1,a2b2,a3b3（5）a∥ba=ba1a2a3.b1b2b3引导学生看书、探究证明方法.由老师分析归纳证明思路，指出定理的作用与用法.讲解例5（师生共同完成，让学生熟悉解题过程，旨在规范学生解题步骤，培养科学的学习方法与态度）

三、课堂练习（9分钟）教材169页1—5题.（检验学习效果，让学生在会的基础上，训练解题速度。旨在训练学生总结数学思想的能力，并在学习中注意这些数学思想的应用）

四、内容小结（4分钟）

（教师引导学生一起完成，让学生学会总结归纳）

（一）空间直角坐标系

（二）向量的基本概念及线性运算 1.向量的基本概念 2.向量的线性运算

（三）向量的坐标表示 1.向径及其坐标表示 2.向量M1M2的坐标表示

3.向量aa1ia2ja3k的模 a=a1a2a3.4.空间两点间距离公式 5.坐标表示下的向量运算

五、布置作业(2分钟)1.教材169页2、4、6题

2.预习第二节向量的点积与叉积

222第二节 向量的点积与叉积

教学目标：熟练掌握用向量的坐标表示进行向量点积与叉积的运算.教学重点：向量点积与叉积的概念.教学难点：用向量的坐标表示进行向量点积与叉积的运算.教学方法：讲授为主的综合法 教学学时：2学时 教学手段：板书

一、引入新课（5分钟）

(提问)1.向径及其坐标表示2.向量M1M2的坐标表示3.向量aa1ia2ja3k的模

222a2a34.空间两点间距离公式 a=a1(温故知新,为用向量的坐标表示进行向量点积与叉积的运算做一些必要的知识铺垫。)

二、讲授新课（64分钟）

（一）向量的点积（34分钟）

1、引例

已知力F与x轴正向夹角为，其大小为F,在力F的作用下，一质点M沿x轴由x=a移动到x=b,求力F所做的功？（创设学习的情景，激发学生学习数学的兴趣）

分析：在力F使质点M沿x轴由x=a移动到x=b,所做的功等于F的模与位移的模及其夹角余弦的积.解略.这个特殊问题中得出的关系是否具有普遍意义？引起思维的碰撞，引出向量的点积的定义.2、定义 设向量a,b之间的夹角为(0π)，则称abcos为向量a与b的数 量积，记作a·b，即 a·b=abcos.向量的点积又称“点积”或“内积”.讲解例1.（教师分析，师生共同完成本题目的求解，目的在于检验学生能否正确理解向量的点积的定义.）

向量的点积还满足下列运算律: 交换律：a·b= b·a；

分配律：(a+b)·c= a·c+b·c；

结合律：(a·b)=(a)·b(其中为常数).3、点积的坐标表示

（1）设aa1ia2ja3k，bb1ib2jb3k,则a·b=a1b1a2b2a3b3.（由学生自行得出点积的坐标表示公式，进一步加深对向量点积的定义的理解）（2）定理1：a⊥bab0a1b1a2b2a3b30

讲解例2.（学生讲解，考察学生对两向量正交充分必要条件的理解与应用能力）

4、向量a与b的夹角余弦

设aa1ia2ja3k，bb1ib2jb3k,则 cosa1b1a2b2a3b3ab =(0π).222222aba1a2a3b1b2b35、向量的方向余弦

设 向 量 aa1ia2ja3k与 x 轴 ,y 轴 ,z 轴 的 正 向 夹 角 分 别 为

,,(0,,π),称其为向量a的三个方向角，并称cos ,cos,cos为a的方向余弦，向量a的方向余弦的坐标表示为

cos且cos2cos2a1aaa212223, cosa2aaa212223, cosa3aaa212223，cos21.讲解例4（（师生共同完成.利用数学建模解决物理问题，让学生熟悉建模过程，规范解题步骤.数学来源于生活、服务生活，培养学生学数学、用数学的意识.）

（二）向量的叉积（30分钟）1.引例

设点O为一杠杆的支点，力F作用于杠杆上点P处，求力F对支点O的力矩.分析：力F对支点O的力矩等于F的模与向量OP的模及其夹角正弦的积.解略.（这个特殊问题中得出的关系是否具有普遍意义？引起思维的碰撞，引出向量的叉积的定义.）

2.叉积的定义

(1)定义 两个向量a与b的叉积是一个向量，记作a×b，它的模和方向分别规定如下：

①a×b=absin 其中是向量a与b的夹角；

②a×b的方向为既垂直于a又垂直于b，并且按顺序a,b,a×b符合右手法则.（2）向量的叉积满足如下运算律.反交换律：a×b=-b×a；

分配律：(a+b)×c=a×c+b×c；

结合律：(a×b)=(a)×b=a×(b)(其中为常数).讲解例5（学生讲解，考察学生对向量叉积定义的理解与应用能力）（3）定理2：a∥bab0.3.叉积的坐标表示

设aa1ia2ja3k，bb1ib2jb3k，则

a×b=(a2b3a3b2)i(a1b3a3b1)j(a1b2a2b1)k.可将a×b表示成一个三阶行列式的形式，计算时，只需将其按第一行展开即可.即

i j k a×b= a1 a2 a3.b1 b2 b3

讲解例6（师生共同完成，加深学生对叉积的坐标表示公式的记忆，让学生熟悉解题过程，旨在规范学生解题步骤，培养科学的学习方法与态度）

讲解例8(师生共同完成，训练学生解决实际问题的能力)

三、课堂练习（15分钟）

教材174页思考题1—3题.（检验学习效果，让学生在会的基础上，训练解题速度.）

四、内容小结（4分钟）

（教师引导学生一起完成，让学生学会总结归纳，训练学生总结数学思想的能力，并在学习中注意这些数学思想的应用.）

（一）向量的点积定义、坐标表示；

（二）向量的叉积定义、坐标表示及记忆方法.五、布置作业(2分钟)1.教材174页2、4、6、8题 2.预习第三节平面与直线

第四篇：《数学分析》教案

《数学分析》教案

S F 01(数)

C h0 数学分析课程简介

C h 1 实数集与函数

计划课时： Ch 0

2时

Ch 1

6时

P 1—8

说 明：

1．这是给数学系2001届学生讲授《数学分析》课编制的教案.该课程开设两学期, 总课时为1 8 0 学时, 是少课时型教案（后来又开设了一学期，增加了8 0 学时）.按照学分制的要求, 只介绍数学分析最基本的内容.本教案共2 7 9页，分2 1章.2.取材的教材: [1] 华东师范大学数学系编，数学分析，高等教育出版社，1996；

[2] 郑英元，毛羽辉，宋国东，数学分析习题课教程，高等教育出版社，1991； [3] 马振民，数学分析的方法与技巧选讲，兰州大学出版社，1999； [4] 马振民，吕克璞，微积分习题类型分析, 兰州大学出版社，1999； [5] W.Rudin, Principles of mathematical analysis, 1964.Ch 0

数学分析课程简介(2 时)一.数学分析(mathematical analysis)简介:

1.背景: 从切线、面积、计算sin32、实数定义等问题引入.2.极限(limit)—— 变量数学的基本运算：

3.数学分析的基本内容：数学分析以极限为基本思想和基本运算研究实变实值

函数.主要研究微分(differential)和积分(integration)两种特殊的极限运算,利用这两种运算从微观和宏观两个方面研究函数, 并依据这些运算引进并研究一些非初等函数.数学分析基本上是连续函数的微积分理论.微积运算是高等数学的基本运算.数学分析与微积分(calculus)的区别..二． 数学分析的形成过程：

1． 孕育于古希腊时期： 在我国，很早就有极限思想.纪元前三世纪, Archimedes 就有了积分思想.2.十七世纪以前是一个漫长的酝酿时期,是微积分思想的发展、成果的积累时期: 3． 十七世纪下半叶到十九时纪上半叶 —— 微积分的创建时期: 参阅《数学分

析选讲》讲稿(1997.8.10.)第三讲P72.4.十九时纪上半叶到二十时纪上半叶 —— 分析学理论的完善和重建时期：参阅 《数学分析选讲》讲稿第三讲P72—75.三.数学分析课的特点:

逻辑性很强, 很细致, 很深刻;先难后易, 是说开头四章有一定的难度, 倘能努力学懂前四章(或前四章的8000), 后面的学习就会容易一些;只要在课堂上专心听讲, 一般是可以听得懂的, 但即便能听懂,习题还是难以顺利完成.这是因为数学分析技巧性很强, 只了解基本的理论和方法, 不辅以相应的技巧, 是很难顺利应用理论和方法的.论证训练是数学分析课基本的,也是重要的内容之一, 也是最难的内容之一.一般懂得了证明后，能把证明准确、严密、简练地用数学的语言和符号书写出来，似乎是更难的一件事.因此, 理解证明的思维方式, 学习基本的证明方法, 掌握叙述和书写证明的一般语言和格式, 是数学分析教学贯穿始终的一项任务.有鉴于此, 建议的学习方法是: 预习, 课堂上认真听讲, 必须记笔记, 但要注意以听为主, 力争在课堂上能听懂七、八成.课后不要急于完成作业, 先认真整理笔记, 补充课堂讲授中太简或跳过的推导, 阅读教科书, 学习证明或推导的叙述和书写.基本掌握了课堂教学内容后, 再去做作业.在学习中, 要养成多想问题的习惯.四.课堂讲授方法:

1.关于教材: 没有严格意义上的教科书.这是大学与中学教学不同的地方, 本课程主要从以下教科书中取材:

[1] 华东师范大学数学系编，数学分析，高等教育出版社，1996；

[2] 郑英元，毛羽辉，宋国东，数学分析习题课教程，高等教育出版社，1991；

[3] 马振民，数学分析的方法与技巧选讲，兰州大学出版社，1999；

[4] 马振民，吕克璞，微积分习题类型分析, 兰州大学出版社，1999；

[5] W.Rudin, Principles of mathematical analysis, 1964.本课程基本按[1]的逻辑顺序, 主要在[1]、[4]、[3]中取材.在讲授中, 有时会指出所讲内容的出处.本课程为适应课时少和学分制的要求，只介绍数学分析最基本的内容.因此删去了[1]中第八、十五、十九和二十二等四章，相应的内容作为选修课将在学完数学分析课之后开设.2.内容多, 课时紧: 大学课堂教学与中学不同的是, 这里每次课介绍的内容很多, 因此, 内容重复的次数少, 讲课只注重思想性与基本思路, 具体内容或推导, 特别是同类型或较简的推理论证及推导计算, 可能讲得很简, 留给课后的学习任务一般很重.3.讲解的重点: 概念的意义与理解, 几何直观, 理论的体系, 定理的意义、条件、结论.定理证明的分析与思路, 具有代表性的证明方法, 解题的方法与技巧.某些精细概念之间的本质差别.在第一、二章教学中, 可能会写出某些定理证明, 以后一般不会做特别具体的证明叙述.五.要求、辅导及考试：

1.学习方法: 尽快适应大学的学习方法, 尽快进入角色.课堂上以听为主, 但要做课堂笔记.课后一定要认真复习消化, 补充笔记.一般课堂教学与课外复习的时间比例应为1 : 3(国外这个比例通常是 1 : 4.参《西北师大报》№191，2000.9.30.第二版:

本科节段如何培养高素质创新人材 ——

伯利克大学的启示.注: 伯利克大学乃美国加州大学伯利克分校.)对将来从事数学教学工作的师范大学本科生来说, 课堂听讲的内容应该更为丰富:

要认真评价教师的课堂教学, 把教师在课堂上的成功与失败变为自己的经验.这对未来的教学工作是很有用的.2.作业:

作业以[1]的练习题中划线以上的部分习题和[4]中的计算题为主要内容.大体上每两周收一次作业, 一次收清.每次重点检查作业总数的三分之一.作业的收交和完成情况有一个较详细的登记, 缺交作业将直接影响学期总评成绩.作业要按数学排版格式书写恭整.要求活页作业, 最好用西北师大稿纸.要有作业封面, 尺寸为19.527.5cm.作业布置方式: [1]P…, [4]P…

3.辅导: 大体每周一次, 第一学期要求辅导时不缺席.4.考试: 按学分制的要求, 只以最基本的内容进行考试, 大体上考课堂教学和所布置作业的内容, 包括[1]和[4]中的典型例题.考试题为标准化试题.Ch 1 实数集与函数(6时)

§ 1

实数集与确界（3时）

一．

实数集R：回顾中学中关于实数集的定义.1.四则运算封闭性: 2.三歧性(即有序性): 3.Rrchimedes性: a,bR, ba0, nN,  nab.4.稠密性: 有理数和无理数的稠密性, 给出稠密性的定义.5.实数集的几何表示 ─── 数轴: 6.两实数相等的充要条件: ab,  0, ab  .7.区间和邻域:

二.几个重要不等式:

1.绝对值不等式: 定义 a maxa , a .[1]P2 的六个不等式.2.其他不等式:

⑴ a2b22ab, sinx  1.sinx  x.⑵

均值不等式: 对aa1,a2,,nR, 记

M(aa1a2anni) n 1nai,(算术平均值)

i11n

G(ai)na1a2annai,(几何平均值)i1

H(ai)n11nnna11111.(调和平均值)1a2anni1aii1ai有平均值不等式:

H(ai) G(ai) M(ai),等号当且仅当a1a2an时成立.⑶

Bernoulli 不等式:(在中学已用数学归纳法证明过)x1,有不等式(1x)n1nx, nN.当x1 且 x0, nN且n2时, 有严格不等式(1x)n1nx.(现采用《数学教学研究》1991.№ 1马德尧文 “均值不等式妙用两则”中的证明)证 由 1x0且1x0, (1x)nn1(1x)n111 n n(1x)nn(1x).(1x)n1nx.⑷ 利用二项展开式得到的不等式: 对h0, 由二项展开式(1h)n1nhn(n1)2!h2n(n1)(n2)3!hh，3n 有(1h)n上式右端任何一项.三.有界数集与确界原理: 1.有界数集:

定义(上、下有界, 有界)，闭区间、(a,b)(a,b为有限数）、邻域等都是有界数集，集合 Ey ysinx, x( , )也是有界数集.无界数集: 定义,( , ),( , 0),(0 , )等都是无界数集，1, x(0 , 1)也是无界数集.x集合 Ey y2.确界: 给出直观和刻画两种定义.n(1)

例

1⑴

S1n,则supS______, infS_______.

⑵ Ey ysinx, x(0,).则

supE________, infE_________.例2 非空有界数集的上（或下）确界是唯一的.例3 设S和A是非空数集，且有SA.则有 supSsupA, infSinfA..例4 设A和B是非空数集.若对xA和yB,都有xy, 则有

supAinfB.证 yB, y是A的上界,  supAy. supA是B的下界,  supAinfB.例5 A和B为非空数集, SAB.试证明: infSmin infA , infB .证

xS,有xA或xB, 由infA和infB分别是A和B的下界,有

xinfA或xinfB. xmin infA , infB .即min infA , infB 是数集S的下界,  infSmin infA , infB .又SA,  S的下界就是A的下界,infS是S的下界,  infS是A的下界,  infSinfA;同理有infSinfB.于是有 infSmin infA , infB .综上, 有 infSmin infA , infB .3.数集与确界的关系: 确界不一定属于原集合.以例1⑵为例做解释.4.确界与最值的关系: 设 E为数集.⑴

E的最值必属于E, 但确界未必, 确界是一种临界点.⑵

非空有界数集必有确界(见下面的确界原理), 但未必有最值.⑶

若maxE存在, 必有 maxEsupE.对下确界有类似的结论.四.确界原理:

Th(确界原理).Ex

[1]P4 3，4，9，10；

P9

2，4，7⑴⑶.§ 2 初等函数(3时)

一.函数:

1.函数:

[1]P10—12的五点说明.2.定义域: 定义域和存在域.3.函数的表示法:

4.反函数:

一 一 对应, 反函数存在定理.5.函数的代数运算:

1x, x1,f(x)2, x1，2x, x1

二.分段函数: 以函数介绍概念.2x, x1,和g(x)2为例

x, x1例1 f(x)32x1, 去掉绝对值符号.x  1,x, 1x, x 1.例

2f(x)

求 f(0), f(1), f(2).例

3设 f(x)x3, x10,ff(x5), x10.求 f(5).(答案为8)

三.函数的复合:

例4 yf(u)定义域.例

5⑴

f(1x)xx1, f(x)_____________.112x2.则f(x)()xx222u, u g(x)1x.求

2fg(x)fg(x).并求

⑵

fx2

A.x, B.x1, C.x2, D.x2.[4]P407 E62.2四.初等函数:

1.基本初等函数:

2.初等函数: 3.初等函数的几个特例: 设函数f(x)和g(x)都是初等函数, 则

⑴ f(x)是初等函数, 因为 f(x)f(x)2.⑵ (x)maxf(x), g(x) 和 (x)minf(x), g(x)都是初等函数, 因为 (x)maxf(x), g(x) (x)minf(x), g(x)  ⑶ 幂指函数 f(x) f(x)g(x)1212f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x) , f(x)g(x).g(x)f(x)0是初等函数,因为

g(x)elnf(x)eg(x)lnf(x).五.有界函数: 有界函数概念.例6

验证函数 f(x)225x2x32在R内有界.2解法一 由2x3(2x)(3)25x2x322x326x, 当x0时,有

f(x)5x2x325x26x5263.f(0)03，

对 xR, 总有 f(x)3, 即f(x)在R内有界.解法二

令 y5x2x32,  关于x的二次方程 2yx225x3y0有实数根.22

 524y0,  y25244,  y2.解法三

令 xtgt, t,对应x( , ).于是 2223f(x)5x2x3252332tgt2533tgt2tgt322tgt15sint126costsect

 526sin2t,  f(x)526sin2t526.关于奇偶函数、周期函数和单调函数，参阅[1]P22—25，[4]P19—24.Ex [1]P19—20 1⑸，3，4，6；

P25 1，2，5，8，12；

[4]P34—36 54，55，56，67，68，71，81.

第五篇：(数学分析教案)第七章

第七章 实数的完备性

(9学时)§1 关于实数完备性的基本定理

教学目的要求： 掌握实数完备性的基本定理的内容，知道其证明方法.教学重点、难点：重点实数完备性的基本定理.难点是定理的证明,特别是柯西收敛准则和充分性的证明..学时安排:

4学时 教学方法:

讲授法.教学过程如下:

一、区间套定理与柯西收敛准则

定义1 设闭区间列{[an,bn]}具有如下性质：（1）[an,bn][an1,bn1],n1,2,;（2）nlim(bnan)0

则称{[an,bn]}为闭区间套，或简称区间套.定理7.1(区间套定理)若{[an,bn]}是一个区间套,则在实数系中存在唯一的一点使得[an,bn],n1,2,,即 证: 先证存在性

anbn,n1,2,.{[an,bn]}是一个区间套, 所以

a1a2anbnb2b,1

可设 limannn

nn且由条件2有 limbnlim(bnanbn)liman

由单调有界定理的证明过程有anbn,n1,2,.再证唯一性

bnan,n1,2,.设也满足anbn,n1,2,.那么,由区间套的条件2得

lim(bnan)0n故有

推论

若[an,bn](n1,2,)是区间套{[an,bn]}所确定的点,则对任给的0,存在N0,使得当

nN时有

[an,bn]U(,)

柯西收敛准则 数列{an}收敛的充要条件是: 对任给的0,存在N0,使得对m,nN有 |aman|.证

[必要性] 略.[充分性] 已知条件可改为：对任给的0,存在N0,使得对m,nN有|aman|.取mN，有对任给的0,存在N0,使得对nN有|aman|，即 在区间[aN,aN]内含有{an}中几乎所有的项（指的是{an}中除有限项的所有项）

令12则存在N1，在区间

[aN112,aN11]2内含有{an}中几乎所有的项，记该区间为[1,1].再令项，122则存在N2(N1)，在区间

[aN1122,aN1122]内含有{an}中几乎所有的记该区间为满足 [2,2][aN1122,aN1122][1,1]也含有{an}中几乎所有的项,且[1,1][2,2]及

2212n12

.依次继续令几乎所有的项,且满足 123,，,得一区间列{[n,n]},其中每个区间中都含有{an}中

[n,n][n1,n1],n1,2,;

nn12n10(n)，即时{[n,n]}是区间套.由区间套定理,存在唯一的一个数[n,n],n1,2,.再证nliman.由定理7.1的推论对任给的0,存在N0,使得当nN时有

[n,n]U(,)

liman即在U(,)内含{an}中除有限项的所有项,由定义1n.二、聚点定理与有限覆盖定理

定义2 设S为数轴上产的点集，为定点，若的任何邻域内都有含有S中无穷多个点，则称为点集S的一个聚点.例如:{(1)n1n有两聚点1,1.}1{}

n有一个聚点0.(a,b)内的点都是它的聚点,所以开区间集(a,b)有无穷多个聚点.聚点的等价定义;定义2对于点集S,若点的任何邻域内都含有S中异于的点,即U(;)S,则称为S的一个聚点.0limxn{x}Sn2定义若存在各项互异的数列,则其极限n称为S的一个聚点.三个定义等价性的证明: 证明思路为:2222.定义22的证明: 由定义2设为S的一个聚点,则对任给的0,存在xU(,)S.0令11,则存在x1U(,)S;

0令2min(,|x1|)2110,则存在x2U(;2)S,且显然x2x1;

令异;nmin(,|xn1|)20,则存在xnU(;n)S,且显然xn与x1,,xn1互

得S中各项互异的数列{xn},且由由闭区间套定理可证聚点定理.|nxn|n1limxn,知nn.定理7.2(Weierstrass聚点定理)实数轴上的任一有界无限点集S致少有一个聚点.证 S有界, 存在M0,使得S[M,M],记[a1,b1][M,M], 将[a1,b1]等分为两个子区间.因S为无限点集,故意两个子区间中至少有一个含有S中无穷多个点,记此子区间为[a2,b2],则[a1,b1][a2,b2]且b2a212(b1a1)M.再将[a2,b2]等分为两个子区间,则其中至少有一个含有S中无穷多个点,取出这样一个子区间记为[a3,b3],则[a2,b2][a3,b3],且依次继续得一区间列{[an,bn]},它满足:

[an,bn][an1,bn1],n1,2,;bnanM2n2b3a312(b2a2)M2

0(n)，即{[an,bn]}为闭区间套,且其中每一个闭区间都含有S中无穷多个点.由区间套定理, 存在唯一的一点使得[an,bn],n1,2,.由定理1的推论, 对任,).从而U(;)含有S给的0,存在N0,使得当nN时有[an,bn]U(中无穷多个点按定义2为S的一个聚点.推论(致密性定理)有界数列必含有收敛子列.证: 设{xn}为有界数列.若{xn}中有无限多个相等的项,显然成立.若数列{xn}中不含有无限多个相等的项,则{xn}在数轴上对应的点集必为有界无限点集,故由聚点定理,点集{xn}至少有一个聚点,记为.由定义2,存在{xn}的一个收敛子列(以为极限).由致密性定理证柯西收敛准则的充分性.柯西收敛准则 数列{an}收敛的充要条件是: 对任给的0,存在N0,使得对m,nN有 |aman|.证: [充分性] 先证{an}有界,由忆知条件取1,则存在正整数N, 则mN1及nN时有

|anaN1|1

由此得|an||anaN1aN1|1|aN1|.取Mmax{|a1|,|a2|,,|aN|,1|aN1|}则对一切的正整数n均有|an|M.再证{an}收敛,由致密性定理,数列{an}有收敛子列|aman|，|ankA|

|aA||anan||anA|2取mnk(kK)时得到 n

kk{ank},设klimankA

由条件及数列极限的定义, 对任给的0,存在K0,使得对m,n,kN有

所以klimankA

定义

3设S为数思轴上的点集,H为开区间集合(即H的每一个元素都是形如(,)的开区间).若S中的任何一个点都有含在H中至少一个开区间内,则称H为S的一个开覆盖,(H覆盖S).若H中开区间的个数是无限的(有限)的,则称H为S的一个无限开覆盖(人限开覆盖).如S(a,b),H{(xx,xx)|x(a,b)},H为S的一个无限开覆盖.定理7.3(海涅---博雷尔(Heine-Borel)有限覆盖定理)设H为闭区间[a,b]的一个(无限)开覆盖,则从H中可选出有限个开区间来覆盖[a,b].证 用反证法

设定理的结论不成立,即不能用H中有限个开区间来覆盖[a,b].将[a,b]等分为两个子区间,其中至少有一个不区间不能用H中有限个开区间来覆盖.记这个子区间为[a1,b1],则[a1,b1][a,b],且

b1a112(ba).122再将[a1,b1]等分为两个子区间,同样,其中至少有一个不区间不能用H中有限个开区间来覆盖.记这个子区间为[a2,b2],则[a2,b2][a1,b1],且依次继续得一区间列{[an,bn]},它满足:

[an,bn][an1,bn1],n1,2,;bnan12nb2a2(ba).(ba)0(n)，即{[an,bn]}为闭区间套,且其中每一个闭区间都不能用H中有限个开区间来覆盖 由闭区间套定理, 存在唯一的一点使得[an,bn],n1,2,,由于H为闭区间[a,b]的一个(无限)开覆盖,故存在(,)H,使得(,).于是,由定理7.1的推论,当n充分大时有[an,bn](,).即用H中一个开区间就能覆盖[an,bn]矛盾.课后记: 这一节理论性强,学生学习困难较大,我认为应从以下几个方面和学生共同学习这一节.1 如何理解记忆定理内容.2 如何掌握定理的证明方法.3 怎样应用定理及定理的证明方法去解决问题.在应用闭区间套定理时,应先构造一个闭区间套,构造的方法一般是二等分法,在应用有限覆盖定理时,应先构造一个开覆盖构造的方法一般与函数的连续性定义结合.应用聚点定理时,应先构造一数列等.教材中P163[2,2]中包含{an}的几乎所有项,是因为它中包含{an}的第N2项以后的所有项,这里应强掉,容易被忽略.在下节的教学中就让学一注意到在什么时候用实数的完备性定理,这是一个难点,重点.三、实数基本定理等价性的证明（未讲）

证明若干个命题等价的一般方法.本节证明七个实数基本定理等价性的路线 : 证明按以下三条路线进行: Ⅰ: 确界原理 单调有界原理

区间套定理

Cauchy收敛准则

确界原理;Ⅱ: 区间套定理

致密性定理

Cauchy收敛准则;

Ⅲ: 区间套定理

Heine–Borel 有限复盖定理

区间套定理.一.“Ⅰ” 的证明:(“确界原理

单调有界原理”已证明过).1.用“确界原理”证明“单调有界原理”: 定理7.4 单调有界数列必收敛.2.用“单调有界原理”证明“区间套定理”: 定理 7.5 设

是一闭区间套.则存在唯一的点,使对

有.推论1 若是区间套

确定的公共点, 则对, 当时, 总有.推论2 若是区间套确定的公共点, 则有 ↗, ↘，.3.用“区间套定理”证明“Cauchy收敛准则”:

定理 7.6 数列收敛 是Cauchy列.引理 Cauchy列是有界列.(证)

定理 7.6 的证明:(只证充分性)教科书P217—218上的证明留作阅读.现采用三等分的方法证明,该证法比较直观.4． 用“Cauchy收敛准则” 证明“确界原理” ：

定理7.7 非空有上界数集必有上确界 ；非空有下界数集必有下确界.证（只证“非空有上界数集必有上确界”）设时 , 显然有上确

界.下设为无限集, 取, 使

不是的上界，为的上界.对分区间 为的上界.依此得闭区间列

收敛;同理

为非空有上界数集.当

为有限集, 取.验证收敛.易见下证

不是的上界，为Cauchy列, 由Cauchy收敛准则,↘.设

↘

.有

↗

..用反证法验证的上界性和最小性.二.“Ⅱ” 的证明:

1.用“区间套定理”证明“致密性定理”:

定理7.8(Weierstrass)任一有界数列必有收敛子列.证（突出子列抽取技巧）

定理7.9 每一个有界无穷点集必有聚点.2．用“致密性定理” 证明“Cauchy收敛准则” ： 定理7.10 数列

收敛

是Cauchy列.有收敛子列

验证收敛子列的极证（只证充分性）证明思路 ：Cauchy列有界限即为的极限.三.“Ⅲ” 的证明: 1.用“区间套定理”证明“Heine–Borel 有限复盖定理”: 2.用“Heine–Borel 有限复盖定理” 证明“区间套定理”:

§2 闭区间上连续函数性质的证明

教学目的要求：

掌握定理的证明方法.教学重点、难点：重点是定理的证明方法,难点是什么情况下用哪一个定理.学时安排:

2学时 教学方法:

讲授法.教学过程: 一.有界性: 命题1 ，在上

.证法 一(用区间套定理).反证法.证法 二(用列紧性).反证法.证法 三(用有限复盖定理).二.最值性: 命题2(只证取得最大值)

证(用确界原理)参阅[1]P226[ 证法二 ] 后半段.三.介值性: 证明与其等价的“零点定理 ”.命题3(零点定理)

证法 一(用区间套定理).证法 二(用确界原理).不妨设 令有

.现证 ,(为此证明.由 ，.因此只能有

.在点连续和.于是，.由，在点

连续和

且).取

且, 则

非空有界，.有上确界.设，在上取得最大值和最小值.证法 三(用有限复盖定理).四.一致连续性: 命题4(Cantor定理)

证法 一(用区间套定理).证法 二(用列紧性).五.实数基本定理应用举例： 例1 设, 则是闭区间, 使

上的递增函数, 但不必连续.如果

.(山东大学研究生入学试题)，证法 一(用确界技术.参阅[3] P76例10 证法1)设集合

有界.由确界原理 ,下证 ⅰ）若 由., 有递增和, ⅱ）若,.于是 , 只能有, 则存在

↘,内的数列

.由

., 使递增，↗, 以及, 得

;也存在数列 , 就有式

;又, 有, 得, 可见

..由

有上确界.设

.则, , 则

不空;

.，对任何成立.令

于是有.证法二(用区间套技术, 参阅[3] P77例10 证法2)当时,或就是方程间, 设分 , 就是方程

在在上的实根.以下总设

或

.对分区点为.倘有下总设不会

出现这种情况).若如此得一级区间

上的实根.(为行文简练计, 以, 取;若, 取,.依此构造区间套, 使对

..时

↗, 对,有.由区间套定理, 任何,有现证事实上, 注意到和↘以及递增,就有.令 , 得例2 设在闭区间

于是有上函数

连续，.递增 , 且有

内有实根..由区间套定，.试证明: 方程

证 构造区间套理,有, 使对, ,使

在区间

.现证 的构造以及

↗

.事实上, 由在上的递增性和和↘， 有

.注意到在点连续，由Heine归并原则, 有 , ，.为方程

在区间

内的实根.例3 试证明: 区间

上的全体实数是不可列的.上的全体实数是可列的,即证(用区间套技术, 具体用反证法)反设区间 可排成一列:

把区间

.把区 三等分，所得三个区间中至少有一个区间不含，记该区间为一级区间间三等分，所得三个区间中至少有一个区间不含.„„.，记该区间为二级区间依此得区间套, 使对 而 , 有, 其中区间

.当然有 ，不含.由区间套定理，.但对

有

.矛盾.习题 课

（3学 时）

一．实数基本定理互证举例：

例4 用“区间套定理”证明“单调有界原理”.证 设数列递增有上界.取闭区间 , 使内含有数列, 取

不是的上界，是的上界.易见在闭区间 外仅含有质.„„.于是得区间套的无穷多项而在其外仅含有的有限项.对分的无穷多项, 而在使有的性,有公共点.易见在点的任何邻域内有数列的有限项，.例5 用“确界原理”证明“区间套定理”.证 界.由确设 由为区间套.先证每个界原理 , 数列,，为数列的下界, 而每个

为数列的上

有上确界, 数列.易见有

.有下确界.和

.例6 用“有限复盖定理”证明“聚点原理”.证(用反证法)设是的聚点, 则对的有限个点.„„.例7 用“确界原理”证明“聚点原理”.证 设为有界无限点集.构造数集

中大于的点有无穷多个.为有界无限点集, , 存在开区间

.反设, 使在的每一点都不

内仅有易见数集,由 非空有上界, 由确界原理，不是的上界

有上确界.设.则对中大于的点有无穷多个;由是内有的上界, 中大于

是的一的点仅有有限个.于是, 在个聚点.的无穷多个点,即课后记

强掉应先构造闭区间套、构造开覆盖、构造数列等的方法.通过大量的例子让同学们体会在什么时候用哪一个定理.