第十五章 含参变量的积分(数学分析)课件

第一篇：第十五章 含参变量的积分(数学分析)课件

第十五章

含参变量的积分

教学目的与要求 掌握含参变量的常义积分的定义及分析性质； 能应用含参变量的常义积分的分析性质证明某些理论问题.3 理解含参变量的反常积分的一致收敛的定义； 掌握含参变量的反常积分的一致收敛性的判别法及分析性质； 5 能利用参变量的反常积分的分析性质求函数的导数、积分等； 6 掌握Beta函数和Gamma函数的定义及其相互关系； 7 掌握Beta函数和Gamma函数的性质。

教学重点 应用含参变量的常义积分的分析性质证明某些理论问题； 2 求含参变量的常义积分的极限、导数、积分； 3 含参变量的反常积分的一致收敛的定义； 掌握含参变量的反常积分的一致收敛性的判别法及分析性质； 5 利用参变量的反常积分的分析性质求函数的导数、积分等 6 Beta函数和Gamma函数的性质。

教学难点 应用含参变量的常义积分的分析性质证明某些理论问题； 2 含参变量的反常积分的一致收敛的定义； 掌握含参变量的反常积分的一致收敛性的判别法及分析性质；

§1 含参变量的常义积分

教学目的 掌握含参变量的常义积分的定义及分析性质； 能应用含参变量的常义积分的分析性质证明某些理论问题.教学过程 含参变量的常义积分的定义（P373）含参变量的常义积分的分析性质 2.1 连续性定理P374

Theore1 m若函数f(x,y)在矩形域D[ a , b ]  [ c , d ]上连续 , 则函数I(x)f(x,y)dy在[ a , b ]上连续.cdTheorem2 若函数f(x,y)在矩形域D[ a , b ]  [ c , d ]上连续, 函数y1(x)和y2(x)在[ a , b ]上连续 , 则函数G(x)

例 1 求下列极限(1)limy2(x)y1(x)f(x,y)dy在[ a , b ]上连续.y011xydx(2)lim2211x1(1)nnn0dx

2.2 积分次序交换定理P375 例2 见教材P375.2.3 积分号下求导定理P375—376

Theore 3 m若函数f(x,y)及其偏导数fx都在矩形域D[ a , b ]  [ c , d ]上连续, 则函数I(x)dcf(x,y)dy在[ a , b ]上可导 , 且

dddf(x,y)dyfx(x,y)dy.ccdx

(即积分和求导次序可换).Theorem4设函数f(x,y)及其偏导数fx都在矩形域D[ a , b ]  [ c , d ]上连续, 函数y1(x)和y2(x)定义在[ a , b ], 值域在[ c , d ]上, 且可微 , 则含参积分

G(x)y2(x)y1(x)f(x,y)dy在[ a , b ]上可微 , 且

G(x)1y2(x)y1(x)(x)fx,y1(x)y1(x).fx(x,y)dyfx,y2(x)y2x

2例2

求下列函数的导数(1)F(y)(lnx02y)dx(y0)(2)F(y)ex12xy2dx

例3 计算积分 Iln(1x)01x2dx.例 4 设函数f(x)在点x0的某邻域内连续.验证当|x|充分小时 , 函数

x (x)(xt)n1f(t)dt (n1)!0(n)的n1阶导数存在 , 且 2.4(P376定理15.1.4)例4 求F(y)(x)f(x).sinyxayxdx的导数 by例5 研究函数 F(y)yf(x)其中f(x)是[0,1]上连续且为正的函数。 0x2y2dx 的连续性，1解

令g(x,y)yf(x)，则g(x,y)在[0,1][c,d]连续，其中0[c,d]。从而F(y)在22xyy0连续。当y0时，F(0)0

当y0时，记 mminf(x)0，则

x[0,1]F(y) 1yf(x)y1dxmdx marctan 0x2y2 0x2y2y 1若limF(y)存在，则

limF(y)limmarctany0y0y01y2m0F(0)

故F(y)在y0不连续。

或用定积分中值定理，当y0时，[0,1]，使

F(y) 1yf(x)ydxf() 0x2y2 0x2y2dx 11xf()arctany若limF(y)存在，则

y001f()arctan

y

limF(y)limf()arctany0y01y2m0

故F(y)在y0不连续。

问题1 上面最后一个式子能否写为

limf()arctany01f()0。y2事实上，是依赖于y的，极限的存在性还难以确定。例6 设f(x)在[a,b]连续，求证 x

y(x)f(t)sink(xt)dt

（其中 a,c[a,b]）

k c满足微分方程

ykyf(x)。证

令g(x,t)f(t)sink(xt)，则 2gx(x,t)kf(t)cosk(xt)，gxx(x,t)k2f(t)sink(xt)

它们都在[a,b][a,b]上连续，则

y(x) x cf(t)cosk(xt)dt

y(x)k x x cf(t)sink(xt)dtf(x)

xyk2yk cf(t)sink(xt)dtf(x)k cf(t)sink(xt)dtf(x)例7

设f(x)为连续函数，hh

F(x)[f(x)d]d

00求F(x)。

解

令xu，则

hhhxhF(x)[f(x)d]dd000xf(u)du

hhF(x)[f(xh)df(x)d]

00在第一项中令xhu，在第二项中令xu，则

x2hxhF(x)[xhf(u)duf(u)du]

xF(x)[f(x2h)2f(xh)f(x)]

问题2 是否有

 F(x)[f(x)d]d[f(x)d]d

x0x000例8

利用积分号下求导法求积分

/2hhhhI(a)解

令 f(x,a)0arctan(atanx)dx，|a|1

tanxarctan(atanx)

tanxx0x0,2时，f无定义，但limf(x,a)a，limf(x,a)0，故补充定义

x2

f(0,a)a，f(2,a)0

则f在[0,2][b,b]连续（0b1），从而I(a)在(1,1)连续。1, x(0,), |a|11a2tan2x2fa(x,a)

0, x0，|a|12显然fa(x,0)在x故有

/22点不连续，但fa(x,a)分别在[0,2](1,0)和[0,2](0,1)连续，/2

I(a)令tanxt 0fa(x,a)dx01dx，a(1,0)或a(0,1)221atanx11I(a)dt2222(1t)(1at)1a01 1a21a2t2a2t2a2dt 222(1t)(1at)01a2[]dt，222(1at)2(1|a|)0(1t)a(1,0)或a(0,1)

积分之

I(a)2ln(1a)C1，a(0,1)

I(a)2ln1(a)C2，a(1,0)

因为I(a)在(1,1)连续，故

I(0)limI(a)0limI(a)

a0a0得C1C20，从而得

I(a)2sgnaln(1|a|)，|a|1

作业：P378----379 2、3、5、6、8（2）（3）、11

§2 含参变量的反常积分

教学目的 理解含参变量的反常积分的一致收敛的定义； 掌握含参变量的反常积分的一致收敛性的判别法及分析性质； 3 能利用参变量的反常积分的分析性质求函数的导数、积分等；

教学过程 含参变量的反常积分的一致收敛

含参变量的反常积分有两种: 无穷区间上的含参变量的反常积分和无界函数的含参变量的反常积分.定义P379---381 无穷积分af(x,y)dx在区间[c,d]: 一致收敛: 0,A00,AA0,y[c,d]有

Af(x,y)dx;

A0非一致收敛: 00,A0,A0A,y0[c,d]有2 一致收敛性的判别法 2.1(Cauchy收敛原理)P381 2.2(Weierstrass判别法)P382 例1 证明:无穷积分

f(x,y)dx0.1cosxydx在R一致收敛.x2y22.3(Abel判别法和Dirichlet判别法)P382----385 2.4(Dini定理)P385 3 一致收敛积分的分析性质 3.1 连续性定理

3.2 积分次序交换定理 3.3 积分号下求导定理

例 2 利用积分号下求导求积分

In(a)dx，（n为正整数，a0）2n1(xa)0解

因为

11，aa00

(x2a)n1(x2a0)n17 dx而 2收敛，故 In(a)n1(xa)00dx 在aa00一致收敛。2n1(xa)0因为

dx1xarctan |20aa2a0xad故

dadx2xa0dx13/2 ()a22(xa)220d2da2dxdx135/22 ()()a2232220xa0(xa)由数学归纳法易证

dndandxdxn(1)n!22n1xa(xa)00(2n1)！(1)an22n2n12

dx(2n1)！a于是

In(a)2n12(2n)！(xa)02n12

例3 证明（1）e1yx2sinydx关于y[0,)一致收敛；

（2）e1yx2sinydy关于x[0,)不一致收敛。

证

（1）用分段处理的方法。A1，y0，令yxt 得

2|eAyx2sinydx||sinyyeyAt2dt||sinyy|etdt

0siny2|y|

因为 limy0sinyy0，则 0，0，当0y时，有 |eyxsinydx|A2siny2|y|

（1）

又

|eyx2siny|ex，y

22而 e1x2dx收敛，由M判别法，eyxsinydx在y[,)一致收敛，即0，1A01，AA0，有

|eyxsinydx|，y

（2）

A2上式对y0显然成立，结合（1）（2）式，有

yx

2|eAsinydx|，y[0,)

即e1yx2sinydx关于y[0,)一致收敛。

（2）因为x0时，sinydy发散，因此e11)yx2sinydy关于x[0,)不可能一致收敛。

例4 计算积分

a2x2e0(x2a2x2dx。

a(x)2x解 e0(x2)dxe0a(x)22axdxe2ae0dx

令 x2at xtedte0a(x)2xa(12)dxxe0a(x)2xdxe0a(x)2xda x

在第二项积分中令  ay，得 x9 e0a(x)2xadx(ya)2ye0dy

故

e(x2a2x2)dxe2aea(x)2xdxe2a

0

作业：P392—393 202、4（1）（2）、5、8、10、12、15 §3 Euler积分

教学目的 掌握Beta函数和Gamma函数的定义及其相互关系； 2 掌握Beta函数和Gamma函数的性质。

教学过程 Beta函数(第一类Euler积分)

1.1 定义

确定定义域 1.2 Beta函数的性质 P394 2 Gamma函数(第二类Euler积分)2.1 定义

(确定定义域)2.2 Gamma函数的性质 P395 3 Beta函数和Gamma函数的关系 P397 例1 求0xp1dx(p0,q0)； pq(1x)例2 证明：

11()241m1mxn（2）xedx()(n0,m1)

0nn（1）exdx4

作业： P404—405

1（1）（3）（7）（8）、3、7、9、10

第二篇：数学分析 重积分

《数学分析》教案

第二十一章 重积分

教学目的：1.理解并掌握二重积分的有关概念及可积条件，进而会计算二重积分；2.理解三重积分的概念，掌握三重积分的计算方法，并能应用其解决有关 的数学、物理方面的计算问题；

教学重点难点：本章的重点是重积分的计算和格林公式；难点是化重积分为累次积分。

教学时数：22学时

§ 1 二重积分概念

一.矩形域上的二重积分 : 从曲顶柱体的体积引入.用直线网分割.定义 二重积分.例1 用定义计算二重积分

.用直线网

分割该正方形 , 在每个正方形上取其右上顶点为介点.解

.二.可积条件 : D

.大和与小和.Th 1 ，.《数学分析》教案

性质6

.性质7 中值定理.Th 若区域D 的边界是由有限条连续曲线()组成 , 例3 去掉积分

在D上连续 , 则

在D上可积.或

中的绝对值.§ 2 二重积分的计算

二.化二重积分为累次积分:

1.矩形域

上的二重积分:

用“ 体积为幂在势上的积分”推导公式.2.简单域上的二重积分: 简推公式, 一般结果]P219Th9.例1 ，.解法一 P221例3 解法二 为三角形, 三个顶点为 ,.例2 ,.P221例2.例3 求底半径为 的两直交圆柱所围立体的体积.P222例4.《数学分析》教案

解法一(直接计算积分)曲线AB的方程为

.方向为自然方向的反向.因此

.解法二(用Green公式)补上线段BO和OA(O为坐标原点), 成闭路.设所围

区域为D, 注意到 D为反向, 以及, 有

.例2 计算积分 I =, 其中L为任一不包含原点的闭区域D的边界(方向任意)P227例2 解 导数)..（和

在D上有连续的偏,.于是, I =.二.曲线积分与路线无关性:

《数学分析》教案

;.例6 验证式 P231例4

是恰当微分, 并求其原函数.§ 4 二重积分的变量变换:（4时）

1.二重积分的变量变换公式: 设变换 的Jacobi , 则

, 其中 是在该变换的逆变换

下平面上的区域 在

平面上的象.由条件

一般先引出变换

.而 , 这里的逆变换是存在的., 由此求出变换

.例1 ,.P235 例1.註

当被积函数形如 区域为直线型时, 可试用线性变换 , 积分.《数学分析》教案

极坐标变换: ,.广义极坐标变换: ,.例4.P240例3.例5(Viviani问题)求球体 被圆柱面

所割下立体的体积.P240例4.例6 应用二重积分求广义积分

.P241例5.例7 求橢球体

四.积分换序: 例8 连续.对积分的体积.P241例6.换序..例9 连续.对积分

换序..例10 计算积分

..§ 5 三重积分简介

《数学分析》教案

例2 , :.解.法一(内二外一), 其中 为椭圆域 , 即椭圆域, 其面积为.因此

.同理得 ,.因此.法二(内一外二)上下对称，为 的偶函数，1

《数学分析》教案

Th 21.13 P247.1.柱坐标: P248.例4 ，:

.P248例3 2.球坐标: P249.P 250例4.§ 6 重积分的应用

一、曲面的面积

设曲面方程为

.有连续的一阶偏导数.推导曲面面积公式 , 或.例1 P253例1`.3-

第三篇：数学分析 曲面积分

《数学分析》教案

第二十二章 曲面积分

教学目的：1.理解第一、二型曲面积分的有关概念，并掌握其计算方法，同时明确它们的联系；2.掌握高斯公式与斯托克斯公式；3.理解有关场的概念，掌握梯度场、散度场、旋度场、管理场与有势场的性质及应用。

教学重点难点：本章的重点是曲面积分的概念、计算；难点是第二型曲面积分。教学时数：18学时

§ 1 第一型曲面积分

一.第一型面积分的定义:

1.几何体的质量: 已知密度函数 , 分析平面区域、空间几何体的质量定义及计算 2.曲面的质量:

3.第一型面积分的定义: 定义及记法., 面积分

.4.第一型面积分的性质:

二.第一型面积分的计算:

1.第一型曲面积分的计算: Th22.2 设有光滑曲面 续函数,则

.为 上的连.例4 计算积分, 其中 是球面

被平面

所截的顶部.P281

《数学分析》教案

D

上的连续函数, 以 的上侧为正侧(即), 则有

.证 P 类似地, 对光滑曲面

D., 在其前侧上的积分

对光滑曲面 D , 在其右侧上的积分

.计算积分 ，时, 通常分开来计算三个积分

,.为此, 分别把曲面 投影到YZ平面, ZX平面和XY平面上化为二重积分进行计算.投影域的侧由曲面 的定向决定.例1 计算积分,其中 是球面

在

部分取外侧.P287 例2 计算积分，为球面

取外侧.《数学分析》教案

对积分则有

:

;, 分别用

和

记上半球面和下半球面的外侧，:

.因此, =

+ =

.综上, =

§ 3 Gauss公式和Stokes 公式

.一.Gauss公式:

Th22.6 设空间区域V由分片光滑的双侧封闭曲面 围成.若函数

在V

上连续, 且有连续的一阶偏导数 , 则

, 其中 取外侧.称上述公式为Gauss公式或Остроградский―Gauss公式.《数学分析》教案

解

.由Gauss公式.例2 计算积分，其中 是边

.P291 长为的正方体V的表面取外侧.V : 解 应用Gauss公式 , 有

.例1 计算积分

在平面，为锥面

下方的部分，取外法线方向.解 设 为圆

取上侧 , 则

构成由其所围锥体 V的表面外侧 , 由Gauss公式 , 有 =

而

锥体V的体积

;

《数学分析》教案

二.Stokes公式:

空间双侧曲面的正侧与其边界闭合曲线L正向的匹配关系: 右手螺旋法则, 即当人站在曲面的正侧上, 沿边界曲线L行走时, 若曲面在左侧, 则把人的前进方向定为L的正向.1.Stokes定理:

Th22.7 设光滑曲面 的边界L是按段光滑的连续曲线.若函数、导数 , 则

和

在(连同L)上连续 ,且有一阶连续的偏

.其中 的侧与L的方向按右手法则确定.称该公式为Stokes公式.证 先证式.具体证明参阅P292.Stokes公式也记为.例5 计算积分 , 其中 L为平面

与各坐标平面的交线, 方向为: 从平面的上方往下看为逆时针方向.P294

第四篇：数学分析教案 (华东师大版)第二十章曲线积分

《数学分析》教案

第二十章 曲线积分

教学目的：1.理解第一、二型曲线积分的有关概念；2.掌握两种类型曲线积分的计算方法，同时明确它们的联系。

教学重点难点：本章的重点是曲线积分的概念、计算；难点是曲线积分的计算。教学时数：10学时

§ 1 第一型曲线积分

一.第一型线积分的定义:

1.几何体的质量: 已知密度函数 , 分析线段的质量 2.曲线的质量:

3.第一型线 积分的定义: 定义及记法.线积分,.4.第一型线积分的性质: P198

二.第一型线积分的计算:

1.第一型曲线积分的计算: 回顾“光滑曲线”概念.Th20.1 设有光滑曲线 义在上的连续函数.则

.(证)P199 ，.是定若曲线方程为 : , 则

.《数学分析》教案

, 即

.2.稳流场通过曲线(从一侧到另一侧)的流量: 解释稳流场.(以磁场为例)..求在单位时间内通过曲线AB从左处的切向量为 , 设有流速场

侧到右侧的流量E.设曲线AB上点

(是切向量方向与X轴正向的夹角.切向量方向按如下方法确定: 法线方 向是指从曲线的哪一侧到哪一侧, 在我们现在的问题中是指从左侧到右侧的方向.切向量方向与法线向按右手法则确定, 即以右手拇指所指为法线方向, 则食指所指为切线方向.).在弧段

上的流量 ，.因此 ，.由 , 得

.于是通过曲线AB从左侧到右侧的总流量E为

.3.第二型曲线积分的定义: 闭路积分的记法.按这一定义 , 有

沿平面曲线 从点A到点B所作的功为 力场

《数学分析》教案

A , B;函数 和

在L上连续, 则沿L的自然方向(即从点A到点B的方向)有

.(证略)例1 计算积分).积分从点A到点B或闭合, 路径为

ⅰ> 直线段AB

ⅱ> 抛物线

ⅲ> A(1, 1)路径.P205例1 例2 计算积分

ⅰ> 沿抛物线

ⅱ> 沿直线

;, L的两个端点为A(1, 1), B(2 ，D(2 , 1)B(2 , 3)A(1, 1), 折线闭合, 这里L :

从点O(0 , 0)到点B(1 , 2);

从点O(0 , 0)到点B(1 , 2);ⅲ> 沿折线闭合路径O(0,0)A(1,0)B(1,2)O(0,0).P205例1 , 其中L是螺 例3 计算第二型曲线积分 I = 旋线, 从

到 的一段.P207例3 例4 求在力场

ⅰ> 质点由点A

L :

第五篇：数学分析教案 (华东师大版)第十九章 含参量积分

《数学分析》教案

第十九章 含参量积分

教学目的：1.掌握含参量正常积分的概念、性质及其计算方法；2.掌握两种含参量反常积分的概念、性质及其计算方法；3.掌握欧拉积分的形式及有关计算。教学重点难点：本章的重点是含参量积分的性质及含参量反常积分的一致收敛性的判定；难点是一致收敛性的判定。教学时数：12学时

§ 1含参量正常积分

一.含参积分: 以实例

和

引入.定义含参积分 和

.含参积分提供了表达函数的又一手段.我们称由含参积分表达的函数为含参积分.1.含参积分的连续性:

Th19.5 若函数

在

Th19.8 若函数 和 在

在矩形域

上连续 , 则函数

上连续.(证)P172

在矩形域

上连续, 函数 在

上连续.上连续 , 则函数(证)P173

2.含参积分的可微性及其应用:

《数学分析》教案

1.含参无穷积分: 函数 可以是无穷区间).以 分表示的函数

.定义在

上（为例介绍含参无穷积 2.含参无穷积分的一致收敛性: 逐点收敛(或称点态收敛)的定义: 使

., , 引出一致收敛问题.定义(一致收敛性)设函数 , 使

分在

(关于)一致收敛.定义在 对

上.若对

成立, 则称含参无穷积Th 19.5(Cauchy收敛准则)积分收敛，在

上一致

对 成立.例1 证明含参量非正常积分

其中.但在区间

在

上一致收敛 ，内非一致收敛.P180

3.含参无穷积分与函数项级数的关系:

《数学分析》教案

Th 19.8 设函数 和

在

则函数 在

在

上连续.若积分

在.上收敛, 积分上可微,且

一致收敛.3.可积性: 积分换序定理.Th 19.9 设函数

在

有

例3 计算积分

P186

.在

上一致收敛, 则函数

上连续.若积分

在

上可积 , 且四.含参瑕积分简介:

§ 3 Euler积分

本节介绍用含参广义积分表达的两个特殊函数 , 即 和.它们统称为Euler积分.在积分计算等方面, 它们是很有用的两个特殊函数.一.Gamma函数 —— Euler第二型积分：

1.Gamma函数: 考虑无穷限含参积分

，《数学分析》教案

但 在区间

内闭一致收敛.即在任何 时, 对积分, 有

上 , , 而积分

一致收敛.因为

收敛.对积分 , 积分, 而积分

收敛.由M—判法, 它上一致收敛.们都一致收敛，在区间

作类似地讨论, 可得积分敛.于是可得如下结论: 的连续性:

也在区间

内闭一致收

在区间 在区间

内连续.的可导性: 内可导, 且

同理可得: 在区间

.内任意阶可导, 且

3.凸性与极值: ，.在区间 在区间

内严格下凸.(参下段)，内唯一的极限小值点(亦为最小值点)介于1与2 之间.4.的递推公式

函数表:

《数学分析》教案

5.时, 有意义.用其作为

内., 又可把 依此 , 可把 延拓到函数的延拓:

时 该式右端在 的定义, 即把 延拓到了 , 利用延拓后的 内.时也

时, 依式

延拓到 内除去 的所有点.经过如此延拓后的 例1 求

.)解 的图象如 P192图表19—2., ，.(查表得)，..6.函数的其他形式和一个特殊值:

函数.倘能如此, 可某些积分可通过换元或分部积分若干次后化为 查 函数表求得该积分的值.常见变形有: ⅰ> 令 , 有

= ，

考虑.《数学分析》教案

: 非负，和 , 时为正常积分;

时, 点

为瑕点.由被积函数(由Cauchy判法)积分

收敛.(易见

时积分

发散).数非负, : 时为正常积分;

时, 点

为瑕点.由被积函

和 ,(由Cauchy判法)积分

收敛.(易见

时积分

发散).综上, 时积分

，收敛.设D

于是, 积分 定义了D内的一个二元函数.称该函数为Beta函数, 记为 , 即

不难验证，=

函数在D内闭一致收敛.又被积函数在D内连续, 因此 , 函数是D内的二元连续函数.2.函数的对称性:

.证 =

《数学分析》教案

, 因此得 ,.ⅱ> 令 , 可得 ，.特别地 , ，.ⅲ> 令 , 有

=

= , 即 ，ⅳ> 令 , 可得

.ⅴ> ,.三.函数和

函数的关系:

函数和

函数之间有关系式

，3

《数学分析》教案

解 ，.例4 求积分

解 令 , 有

.I

.例5 计算积分.解

判敛 ,把该积分化为 , 该积分收敛.(亦可不进行

函数在其定义域内的值 , 即判得其收敛.)

I

.例6 , 求积分 ，5