第三章
复变函数的积分
复积分是研究解析函数的重要工具，解析函数的许多重要性质要利用复积分来证明。本章要建立的柯西积分定理和柯西积分公式是复变函数论的非常重要的基本定理和公式。
第一节、复积分的概念及其简单性质
1、复变函数积分的定义：
以下涉及的曲线均指光滑或逐段光滑的曲线，逐段光滑的简单闭曲线简称周线。
定义3.1设在复平面上有一条连接及两点的简单曲线C。设是在C上的连续函数。其中及是的实部及虚部。把曲线C用分点分成段更小的弧，在这里分点是在曲线C上按从到Z的次序排列的。如果是到的弧上任意一点，那么和式，也可以写成或者
在这里分别表示的实部与虚部。
按照关于实变函数的线积分的结果，当曲线C上的分点的个数无穷增加，而且
时，上面的四个式子分别有极限：
这时，我们说原和式有极限
这个极限称为函数f(z)沿曲线C的积分，记为
于是，我们有
定理3.1
若函数沿曲线连续,则沿可积,且有
2、复变函数积分的计算问题
如果C是简单光滑曲线：，并且及相应于及，那么上式右边的积分可以写成黎曼积分的形式，例如其中第一个可以写成，因此，我们有
我们可以看到，把形式地换成微分，就直接得到上式，因此有，当是分段光滑简单曲线时，我们仍然可以得到这些结论。
3、复变函数积分的基本性质
复变函数积分的基本性质：设及在简单曲线C上连续，则有
（1）
（2）
（3），其中曲线C是有光滑的曲线连接而成；
（4其中如果曲线用方程：表示，那么曲线就由给出。即积分是在相反的方向上取的。
如果C是一条简单闭曲线，那么可取C上任意一点作为取积分的起点，而且积分当沿C取积分的方向改变时，所得积分相应变号。
（5）
定理3.2(积分估值)
如果在C上，|f(z)| 两边取极限即可得结论。 例1、设C是连接及Z两点的简单曲线，那么，如果C是闭曲线，即，那么积分都是零。 例2、设C是圆，其中是一个复数，是一个正数，那么按反时针方向所取的积分。 证明：令，于是，从而 第二节 柯西积分定理 1、柯西积分定理：（证明中用到了第2部分的引理） 定理3.3 设是单连通区域的解析函数，设是内任一条简单闭曲线（周线），那么,其中，沿曲线的积分是按反时针方向取的。 证明：在C上任取一点，可以作出圆盘：,因为圆盘是凸区域，由引理2.2，在内有原函数。 由于C是一个紧集，由数学分析中的有限覆盖定理，存在有限多个圆盘覆盖了C；把这些圆盘按反时针方向依次排列为 并且用表示在这些圆盘中的原函数。取 其中是C上依序按反时针方向取的。由引理2.3，有 这里，用表示沿C从到的弧上的积分，用表示从到的线段上的积分。由引理2.3，有 因为构成中的一条闭合折线，所以由引理2.1，得； 定理3.4 设是一条简单闭曲线，函数在以为边界的有界闭区域上解析，那么。 推论3.5 是在内连接及两点的任一条简单曲线，那么沿 从到的积分值由及所确定，而不依赖于曲线，这时，积分记为 .证明：设是在内连接及两点的另一条简单曲线。则是D内的一条简单闭曲线，由（1），有,而 所以定理的结论成立。 定理3.6 设是单连通区域的解析函数，那么在内有原函数。 证明：取定，由定理3.1，得 是在D内确定得一个函数。取并取与充分接近，把 D中两个积分看作沿两条简单曲线取的，而其中一条是另一条曲线与连接及z的线段的并集。于是有 这里积分是沿及z的联线取的，同样可证，有。 例1、设D是不含a的一个单连通区域，并且，那么 其中m是不等于1的整数。另外，还设D在复平面上沿从a出发的任何射线割开而得的区域内，我们有 其中对数应理解为Ln(z-a)在D内的一个解析分支在z及的值。 注解1、我们可以用原函数求解析函数的积分； 注解2、区域的单连通性不能直接取掉。 注解3、柯西定理可以推广到多连通区域：设有n+1条简单闭曲线曲线中每一条都在其余曲线的外区域内，而且所有这些曲线都在的内区域，围成一个有界多连通区域D，D及其边界构成一个闭区域。设在上解析，那么令C表示D的全部边界，我们有 其中积分是沿C按关于区域D的正向取的。即沿按反时针方向，沿按顺时针方向取积分；或者说当点沿着C按所选定取积分的方向一同运动时，区域D总在它的左侧。因此 也有： 注解4、上面规定区域D的方向称为正向，以后，我们总是规定取正向，除非另有说明； 注解5、以上结论的证明见右图： 注解6、多连通区域内的不定积分与多值函数： 设f(z)是多连通区域D的解析函数。在D内作连接及z两点的任一条简单曲线。在某两条这样的曲线所包成的闭区域上，f(z)可能不解析，因此不能应用柯西定理，所以f(z)沿这两条曲线的积分可能不相等。假定这两个积分不相等。那么函数： 是多值的。 可是z当属于包含在D内的某一单连通区域时，取曲线如下：从沿一个固定的简单曲线到内一点，然后从沿在内一条简单曲线到z。沿这种曲线取积分所得的函数F(z)在内解析。改变从的曲线，我们能够得到不同的解析函数；它们是F(z)在内的不同解析分支。 例2、在圆环内，解析，在D内取定两点及。作连接及的两条简单曲线及，如图，取定Argz在的值为。当z沿从连续变动到时，z的幅角从连续变动到。于是当z沿从连续变动到时，z的幅角从连续变动到。 现在求沿的积分。令，则 从而 同样求得 这样，在含的一个单连通区域（在D内）内，相应，多值函数 有两个不同的解析分支 相应于连接及的其它曲线，还可得到在D内的其它解析分支，就是对数函数。 第二节、柯西积分定理 引理2.1 设是在单连通区域内的解析函数。设是内的一个多角形的周界。那么,在这里沿的积分是按反时针方向取的。 证明：先对C是三角形周界的情形进行证明，然后证明一般情形。 （1）C为三角形的周界 设，下面证明M=0。 等分给定的三角形的每一边，两两连接这些分点，给定的三角形被分成四个全等的三角形，它们的周界分别是，我们显然有： 因此，沿周界的积分中，至少有一个的模不小于M/4。不妨假设这个周界为： 对于这个三角形周界为，我们也把它等分成四个全等的三角形，其中一个的周界满足： 把这种作法一直进行下去，我们得到具有周界： 一个三角形序列，其中每一个包含后一个，而且有下面的不等式：，用U表示周界的长度，于是周界的长度是。现在估计的模。由于三角形序列中每一个包含它后面的全部三角形，而且，因此由数学分析中的闭区域套定理，得到存在一点属于序列中的所有三角形。 又因在有导数，所以，使得当并且时,于是当并且时。显然，当n充分大时，包含在所确定的圆盘内，因此当时，上式成立，且有，所以，其次，由于，我们有 于是当n充分大时，因此，有 即，由于的任意性，我们得到。 (2) C为一个多角形的周界P：如图，用对角线把以P为周界的多角形分成若干个三角形，就可以把沿P的积分表示成沿这些三角形周界的积分之和： 因此每条对角线上积分彼此相互抵消，再利用第一步的证明，有。 设f(z)及F(z)是区域D内确定的函数，F(z)是D内的一个解析函数，并且在D内，有F’(z)=f(z)，那么函数F(z)称为f(z)在区域是D内的一个不定积分或原函数；除去可能相差一个常数外，原函数是唯一确定的。即f(z)的任意两个不定积分或原函数的差是一个常数。事实上，设F(z)及G(z)都是f(z)在区域是D内的原函数，则有 其中，我们已经证明，在D内，有，因此。 凸区域：区域D是一个凸区域，如果连接D中任意两点的线段也包含在D内，即。 引理2.2 设是凸区域内的解析函数，那么在内有原函数。 证明：取定，任取，由区域D的凸性，有连接及z的线段一定包含在D中。令，记为。则F(z)是在D内确定的一个函数。 下面证明F是f在D内的一个原函数。取，连接及z的线段一定包含在D中。考虑顶点为的三角形，由引理2.1，得 其中 所以 由于f(z)在连续，使得 于是，从而有。 引理2.3 设f(z)是区域D内的连续函数，并且在D内有原函数F(z)。如果，并且C是D连接的一条曲线，那么 注解1、此引理说明，如果某一个区域内的连续函数有原函数，那么它沿这个区域内曲线的积分可以用原函数来计算，这是数学分析中牛顿-莱布尼茨公式的推广； 注解2、这时，积分值只与曲线的起点、终点有关，而与积分路径无关。 证明：如果曲线是C光滑曲线，那么有，因为，并且因为微积分基本定理对实变量复值函数显然成立，所以 如果曲线是分段光滑的曲线，那么分段计算，也可以证明结论成立。 第三节 柯西积分公式及其推论 1.柯西积分公式： 设在以圆为边界的闭圆盘上解析，沿C的积分为零。考虑积分 则有：（1）被积函数在上连续，积分I必然存在； （2）在上述闭圆盘上不解析，I的值不一定为0，例如； 现在考虑为一般解析函数的情况。作以心，以为半径的圆，由柯西定理，得 因此，I的值只与在点附近的值有关。令，则有 由于I的值只与在点附近的值有关，与无关，由在点的连续性，应该有，即 事实上，当趋近于0时，有 由于由在点的连续性，所以，使得当时，因此 即当趋近于0时，上式右边的有第二个积分趋近于0；而，因此，结论成立。 定理3.11 设D是以有限条简单闭曲线C为边界的有界区域。设在D及C所组成的闭区域上解析，那么在内任一点，有,其中，沿曲线C的积分是按反时针方向取的，我们称它为柯西公式。 证明：设，显然函数在满足的点处解析。 以到为心，作一个包含在内的圆盘，设其半径为，边界为圆。在上，挖去以为边界的圆盘，余下的点集是一个闭区域。在上，的函数以及解析，所以有 其中，沿曲线的积分是按关于D的正向取的，沿的积分是按反时针方向取的。因此，结论成立。 注解1、对于某些有界闭区域上的解析函数，它在区域内任一点所取的值可以用它在边界上的值表示出来。 注解2、柯西公式是解析函数的最基本的性质之一，对于复变函数理论本身及其应用都是非常重要的。 注解3、柯西公式有非常明确的物理背景和物理意义。 2.解析函数的无穷可微性 定理3.13 设是以有限条简单闭曲线为边界的有界区域。设在及所组成的闭区域上解析，那么在内有任意阶导数,证明：先证明结论关于时成立。设是D内另一点。 只需证明，当h趋近于0时，下式也趋近于0 现在估计上式右边的积分。设以z为心，以2d为半径的圆盘完全在D内，并且在这个圆盘内取z+h，使得0<|h| 因此当h趋近于0时，要证的积分趋于0。 现在用数学归纳法完成定理的证明。设n=k时，结论成立。取z及z+h同上，那么有 由此证明，当h趋近于0时，上式的右边趋于0，于是定理的结论当n=k+1时成立。 由定理3.13可知，若函数在区域D内解析，那么在D内有任意阶导数。 注解1、以上讨论表明，函数在一个区域内的解析性是很强的条件，和仅仅在一个点可导是有非常大的差异； 注解2、任意阶导数公式是柯西公式的直接推论； 3.柯西不等式和刘维尔（Liouville）定理 柯西不等式 设函数在以为边界的闭圆盘上解析，那么 其中。 证明：令是圆，那么，由导数公式，有 其中，n=0,1,2,…;0!=1。 注解1、上面的不等式称为柯西不等式。 注解2、如果在C上解析，那么我们称它为一个整函数，例如等。关于整函数，我们有下面的刘维尔定理： 刘维尔定理 有界整函数一定恒等常数。 证明有界整函数，即存在，使得。，f(z)在上解析。由柯西公式，有，令，可见，从而在C上恒等于常数。 4、莫勒拉定理 应用解析函数有任意阶导数，可以证明柯西定理的逆定理，莫勒拉定理 定理3.16 如果函数在区域D内连续，并且对于D内的任一条简单闭曲线C，我们有 那么在区域D内解析。 证明：作以为心的圆盘。在凸区域K内，函数f(z)连续，并且对于K内任何一个三角形的周界C，则可以证明f(z)在K内有原函数F(z)，即。于是F(z)在K内解析。由系4.1，在K内，在解析，从而有任意阶导数。又因为的任意性，结论成立。
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